Gesti´on ´optima de recursos naturales y medioambientales M´aster B´asico de Investigaci´ on en Econom´ıa Curso 2010-2011

UniversidaddeValladolid Departamento de Economía Aplicada

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Tema 1

Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

2 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Introducci´on

Construir un modelo econ´ omico simple, con los recursos naturales como input productivo: Q = Q(K, R). (recurso natural en sentido ´amplio) Determinar las condiciones para un uso eficiente de los recursos naturales. Caracter´ısticas de un uso socialmente ´ optimo de los recursos

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

3 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

La econom´ıa y su funci´on de producci´on

Un u ´nico bien, Q, invertido/consumido. Dos inputs productivos: capital, K y recurso natural no renovable, R. Tecnolog´ıas productivas m´as habituales en econom´ıa: Funci´ on Cobb-Douglas (CD) Q = AK α Rβ

A, α, β > 0

Funci´ on con elasticidad de sustituci´ on constante (CES) Q = A αK −θ + βR−θ

Francisco Cabo (UVA)


−ε/θ

A, α, β, ε > 0

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

− 1 < θ 6= 0

2010-2011

4 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Esenciabilidad del recurso natural Definici´on de recurso esencial: Absorci´on de residuos. Valor recreativo: satisfacci´ on y bienestar humanos. Desde una perspectiva ecol´ ogica: supervivencia del ecosistema. Esencial como input productivo Q(K, 0) = 0,

∀K ≥ 0

CS: → R y K esenciales, CES:→ R y K esenciales (resp. no esenciales) si θ > 0 (resp. θ < 0). ¿Es sostenible el proceso productivo en el largo plazo?

Recurso esencial ↔ Recurso sustituible Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

5 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Elasticidad de sustituci´on R-K En qu´e medida el recurso puede ser sustitu´ıdo por el capital. Definici´on Proporci´on en la que cambia el ratio K/R como respuesta a un cambio (de un 1%) en el ratio de productividades marginales, QR /QK . Definici´on general σ=

d(K/R) K/R d(QR /QK ) QR /QK

σ = 0: sustituci´on imposible, CS: → σ = 1, Francisco Cabo (UVA)

→

en competencia perfecta σ=

d(K/R) K/R d(pR /pK ) pR /pK

σ → ∞: sustituci´ on perfecta. CES:→ σ =

1 1+θ .

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

6 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Sustituibilidad para un recurso cada vez m´as escaso

Escasez en el stock de recurso no renovable presiona su precio al alza. ↑

pR R →↓ pK K

La magnitud de este efecto depende de la elasticidad de sustituci´on Elasticidad alta (baja), R f´acilmente (dif´ıcilmente) reemplazado por K, Escasez del recurso efecto poco (muy) importante.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

7 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

¿Es factible el crecimiento sostenido? Criterio de sostenibilidad Consumo per c´apita no decreciente mantenido indefinidamente. Condici´on de sostenibilidad si poblaci´ on y tecnolog´ıa son constantes: CD Q = AK α Rβ Competencia perfecta y RCS (α + β = 1) R (esencial) suficientemente sustitu´ıble por K: CES Q = A αK −θ + βR−θ R No esencial:


− ε

σ=

θ

α > β.

Competencia perfecta y RCS (α + β = 1)

1 > 1. 1+θ

Crecimiento tecnol´ ogico vs. crecimiento poblacional

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

8 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Regla de Hartwick

Condiciones para garantizar la sostenibilidad: Condiciones (anteriores) sobre la tecnolog´ıa productiva de la econom´ıa Regla de Hartwick del ahorro: Las rentas provenientes de un programa (eficiente) de extracci´on del recurso natural no-renovable deben invertirse en su totalidad en capital “reproducible” (f´ısico o humano). Que sea factible un crecimiento sostenido depende adem´as de las posibilidades de sustituci´on de la econom´ıa.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

9 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Posibilidades de sustituci´on del recurso en la econom´ıa Desacuerdo en la literatura sobre la elasticidad de sustituci´on de R por K: debe inferirse emp´ıricamente. Puntos de debate: Capacidad del capital reproducible para sustituir el valor recreativo del recurso y su papel en la supervicencia del ecosistema. Paper limitado del capital y trabajo para sustituir recurso en su capacidad para absorber residuos. Reducci´ on en las capacidades de sustituci´ on a medida que las restricciones medioambientales se hagan m´as restrictivas. Desarrollo tecnol´ ogico puede ser un acicate que incremente las posibilidades de sustituci´ on en el futuro. Diferente calidad de los diferentes recursos. Incertidumbre sobre la cantidad y localizaci´ on de los stocks de recurso. Recursos renovables pueden actuar como un backstok de los recursos no-renovables (energ´ıas renovables-petr´ oleo). Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

10 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso Objetivo: Distribuci´on (temporal) ´ optima del recurso natural que maximize una funci´on de bienestar social. Funci´on de bienestar social: W = W (U0 , U1 , . . . , UT ) , Ut Utilidad agregada en t = 0, 1, . . . , T . Funci´on de bienestar social utilitarista: suma ponderada de utilidades de individuos relevantes (conjunto de personas que viven en t). W = α0 U0 + α1 U1 + · · · + αT UT . En cada instante Ut0 > 0 (creciente) Ut00 < 0 (c´ oncava)

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

11 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso

Pesos: factor de descuento social constante: W = U0 +

1 1 1 U1 + U2 + · · · + UT . 2 1+ρ (1 + ρ) (1 + ρ)T

Funci´on de utilidad social en tiempo continuo: Z W =

T

U (Ct )e−ρt dt.

0

ρ factor de descuento social.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

12 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso Restricciones din´ amicas: Stock de recurso

t

Z St = S0 −

Rτ dτ. 0

Equivalently, S˙ t = −Rt ,

S(0) = S0 .

Variaci´on en el stock de recurso no-renovable determinada por su tasa de extracci´on. Recurso agotado completamente al final del horizonte temporal, T . Stock de capital K˙ t = Q(Kt , Rt ) − Ct ,

K(0) = K0 .

Output no consumido acumulado como capital f´ısico. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

13 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso Problema a resolver: Problema din´amico en tiempo continuo. Horizonte temporal infinito. Dos restricciones din´amicas. ∞

Z max

Ct ,Rt

U (Ct )e−ρt dt,

0

s.a.: S˙ t = −Rt , S(0) = S0 , ˙ Kt = Q(Kt , Rt ) − Ct , K(0) = K0 .

Principio del m´aximo de Pontryagin. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

14 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso

Hamiltoniano descontado: H(Ct , Rt , St , Kt , Pt , wt ) = U (Ct ) + Pt (−Rt ) + wt (Q(Kt , Rt ) − Ct ). Condiciones necesarias de optimalidad: i) UC0 t = wt ,

) (Condiciones de eficiencia est´atica)

ii) Pt = wt QRt , iii) P˙t = ρPt

) (Condiciones de eficiencia din´amica)

iv) w˙ t = (ρ − QKt ) wt

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

15 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso

Condiciones de eficiencia est´ atica  i) Beneficio marginal de 1 unidad de output:

consumo: UC0 t inversi´on en Kt : wt

ii) Valor marginal del stock de recurso, Pt , coincide con la productividad marginal del capital, QRt × el valor marginal del output (que coincide con el valor marginal del capital), wt .

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

16 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso Condiciones de eficiencia din´ amica Todos los activos (K o S) han de proporcionar el mismo rendimiento (invariante en t): la tasa de descuento social ρ. iii) Regla de Hotelling: condici´ on de eficiencia intertemporal Tasa de crecimiento del precio sombra del recurso (tasa de rendimiento), ha de ser igual a la tasa de descuento social: P˙t =ρ Pt

⇔

Pt = P0 eρt

El precio descontado del recurso ha de ser constante (condici´on de eficiencia para cualquier activo). iv) Rendimiento del capital (tasa de crecimiento de su precio sombra mas su productividad marginal) ha de ser igual ala tasa de descuento social. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

17 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso Elasticidad de f (x) con respecto a x 0

(x) Sea f (x), se define la elasticidad xf = − ff (x) x.

Tasa de crecimiento del consumo De i) y iv) se obtiene: C˙ 1 = (QK (K, R) − ρ) , C η

η=−

00 ∂UC0 C UCC = − C ∂C UC0 UC0

con η la elasticidad de sustituci´ on intertemporal. En qu´e medida los consumidores est´an dispuestos a: cambiar consumo presente por futuro, distribuir el consumo a lo largo del tiempo (smooth consumption). Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

18 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Funci´on de bienestar social y extracci´on o´ptima del recurso

Infinitas trayectorias verifican la Regla de Hotelling (condici´on necesaria). Condiciones necesarias i), ii), iii) (Hottelling) y iv). Condiciones iniciales: K0 , S0 . Condici´on de transversalidad lim Pt e−ρt xt = P0 lim xt = 0.

t→∞

t→∞

P0 < P0∗ sobre-utilizaci´ on del recurso. Se agota en T < ∞. P0 > P0∗ infra-utilizaci´ on del recurso. No se agota: lim xt > 0. t→∞

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

19 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Modelo simple: extracci´ on ´ optima del recurso natural

Extensi´on: incorporar costes de extracci´on Costes de extracci´ on dependientes de: Cantidad extra´ıda: Rt . Stock remanente de recurso, St . Gt = G(Rt , St ). G(S)

GS=f(S) 0 Incrementa el precio bruto del recurso. No afecta su tasa de crecimiento. Costes de extracci´on relacionados con el stock de recurso:GS < 0 Ralentiza la tasa de crecimiento del precio neto del recurso. Inicialmente: Precio m´as alto, tasas de extracci´ on m´as moderadas, mayor stock de recurso conservado.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

23 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Ap´ endice I

Optimizaci´on din´amica en tiempo continuo: Ap´endice 1 Problema a resolver: Z a) max W = u(t)

T

Z F (u(t), x(t), t)dt,

T

→

0

F (u(t), x(t))e−ρt dt,

0

b) x(t) ˙ = f (u(t), x(t), t)

x(0) = x0 (condici´ on inicial),

c) x(T )e−r(T )t ≥ 0. u(t) variable de control, x(t) variable de estado, T horizonte temporal finito/infinito F (•) funci´on objetivo o funci´ on de bienestar x˙ = f (•) ecuaci´on de movimiento o traslaci´ on Para T < ∞ condici´on c) implica x(T ) ≥ 0 (el stock de recurso no puede hacerse negativo al final del horizonte temporal). Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

24 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Ap´ endice I

Optimizaci´on din´amica en tiempo continuo: Ap´endice 1 Hamiltoniano descontado: H(u(t), x(t), λ(t), t) = F (u(t), x(t)) + λ(t)f (u(t), x(t), t). λ(t) Variable de coestado o precio sombra asociado a x(t). Valor marginal de x(t). Condiciones necesarias de primer orden: (principio del m´aximo) ∂H 1

∂u 2

3

= 0,

∂H λ˙ = ρλ − , ∂x

 

x˙ = f (u, x, t) x(0) = x0 .



Francisco Cabo (UVA)

(Ecuaciones de Euler)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

25 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Ap´ endice I

Optimizaci´on din´amica en tiempo continuo: Ap´endice 1

Condiciones de transversalidad: (slackness) λ(T )x(T ) = 0.

Condiciones suficientes Condiciones suficientes de Mangasarian F (u, x) y f (u, x) c´ oncavas en u y x. Condiciones suficientes de Arrow y Kurz Definiendo H ∗ (x, λ, t) = maxu H ∗ (u, x, λ, t), H ∗ (x, λ, t) c´ oncava en x fijados (λ, t).

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

26 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Ap´ endice I

Optimizaci´on din´amica en tiempo continuo: Ap´endice 1 Problema con horizonte infinito: Z ∞ a) max W = F (u(t), x(t), t)dt, u(t)

Z →

0

∞

F (u(t), x(t))e−ρt dt,

0

b) x(t) ˙ = f (u(t), x(t), t)

x(0) = x0 (condici´ on inicial),

c) limt→∞ x(T )e−r(T )t ≥ 0. Condiciones necesarias de primer orden no var´ıan. Condici´on de transversalidad (habitual). lim λ(t)x(t)e−ρt = 0.

t→∞

Valor del stock de recurso asint´ oticamente nulo. Condici´on de transversalidad (si no hay descuento). lim H(t) = 0.

t→∞ Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

27 / 94

1. Uso ´ optimo y eficiente de los recursos medioambientales

Ap´ endice I

Tema 2

Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

28 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Introducci´on Hidrocarburos (carb´on, gas, petr´ oleo) y minerales no energ´eticos (cobre, aluminio...). Objetivo Dado un stock fijo de reservas de un recurso no-renovable, ¿cu´al es la extracci´on ´ optima a lo largo de un determinado per´ıodo temporal? Diferentes recursos no-renovables: posibilidades de sustituci´on. Condici´on necesaria de extracci´ on ´ optima: Regla de Hotelling. Extracci´on social ´optima; bajo econom´ıa de mercado; monopolio. Modelo simple con 2 per´ıodos → T per´ıodos. Curva de demanda con un “choke price” (a partir del cual la demanda se anula): Recurso no esencia o existencia de sustitutos. La extracci´on del recurso no da lugar a ninguna externalidad negativa. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

29 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de un recurso no-renovable: 2 per´ıodos Dos per´ıodos 0, 1. Stock inicial del recurso conocido, S. Funci´on de demanda de recurso en el instante t, lineal: Pt = a − bRt ,

a, b > 0.

P0 = a − bR0 ,

P1 = a − bR1 .

A partir de un “choke price”, a, la cantidad demandada es nula: El recurso es no-esencial, o Sustituto econ´ omicamente atractivo para Pt ≥ a. P a

Bt

R

Francisco Cabo (UVA)

R

a/b Gesti´ on o ´t ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

30 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de un recurso no-renovable: 2 per´ıodos

Bt , beneficio social bruto por la extracci´ on y consumo de Rt . Z Bt ≡ B(Rt ) = 0

Rt

R2 (a − bR)dR = aR − b 2

R t = aRt − b 0

Rt2 . 2

N SBt , beneficio social neto: N SBt = Bt − cRt = aRt − b

Rt2 − cRt . 2

c coste marginal, constante, de extraer 1 unidad adicional de recurso.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

31 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Pol´ıtica social ´optima de extracci´on Programa de extracci´ on socialmente ´ optimo: maximiza el bienestar social. Modelo sobre el que comparar otros programas de extracci´on. Funci´on de bienestar social: utilidad descontada. W = W (U0 , U1 ) = U0 +

U1 , 1+ρ

ρ, tasa de descuento social. Utilidad en cada instante = Beneficio social neto. W = N SB0 +

N SB1 . 1+ρ

Restricciones t´ecnicas. Stock inicial fijo, S. R0 + R1 = S. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

32 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Pol´ıtica social ´optima de extracci´on Problema de maximizaci´on con restricci´ on de igualdad: max W = N SB0 +

R0 ,R1

N SB1 , 1+ρ

s.a.: S = R0 + R1 . Funci´on Lagrangiana: L(R0 , R1 , λ) = W + λ(S − R0 − R1 ). Condiciones de maximizaci´ on: De donde se obtiene:

∂L ∂L = = 0. ∂R0 ∂R1

a − bR0 − c =

a − bR1 − c . 1+ρ

O teniendo en cuenta las funciones de demanda: P1 − c P0 − c = . 1+ρ Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

33 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Pol´ıtica social ´optima de extracci´on

Condici´on equivalente: ρ=

(P1 − c) − (P0 − c) . P0 − c

P − c precio neto, renta o royalty del recurso. La tasa de variaci´on del precio neto del per´ıodo 0 al per´ıodo 1 coincide con la tasa de descuento social. Denotando P0 = Pt−1 , P1 = Pt y c = ct = ct−1 : Regla de Hotelling. ρ=

Francisco Cabo (UVA)

(Pt − ct ) − (Pt−1 − ct−1 ) . Pt−1 − ct−1

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

34 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de un recurso no-renovable: T per´ıodos Tiempo discreto → tiempo continuo. Eliminar costes de extracci´ on i.e. considerar Pt como el precio neto. Demanda del recurso no lineal, P (R). P K

U(R)

0

P(R)

R

R

Z

R

Utilidad social = Beneficio neto social: U (R) =

˜ R. ˜ P (R)d

0

Utilidad marginal por la utilizaci´ on del recurso P (R) = Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

∂U . ∂R 2010-2011

35 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de un recurso no-renovable: T per´ıodos Funci´on de bienestar social utilitarista. Descuento a la tasa ρ a lo largo de un per´ıodo finito (0, T ). T

Z W =

U (R(t))e−ρt dt.

0

Problema: Maximizar el bienestar social eligiendo: R(t),

∀t ∈ [0, T ].

T instante final (end´ ogeno).

Sujeto a: Z

T

Z R(t)dt = S,

⇔

S(t) = S −

t

R(τ )dτ 0

0

or equivalently: ˙ S(t) = −R(t). Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

36 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de un recurso no-renovable: T per´ıodos Problema a maximizar: Z max R(t),T

T

U (R(t))e−ρt dt,

0

˙ s.a.: S(t) = −R(t),

S(0) = S.

Dos opciones: Principio del m´aximo de Pontryagin/ resoluci´on no formal. Para maximizar W , la extracci´ on en cada instante, R(t), debe garantizar que la utilidad marginal descontada sea independiente de t: ∂U −ρt e = Cte. ∂R Caso contrario ser´ıa posible aumentar el bienestar incrementando la extracci´on en per´ıodos con alta utilidad marginal y reduciendo en per´ıodos con baja utilidad marginal. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

37 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de un recurso no-renovable: T per´ıodos ∂U (R(t)) = P (t), considerar una utilidad marginal ∂R(t) descontada constante equivale a un precio neto descontado constante: Dado que

∂U −ρt e = P (t)e−ρt = Cte = P0 . ∂R De donde se obtiene la Regla de eficiencia de Hotelling. P (t) = P0 eρt ⇔

P˙ (t) = ρ. P (t)

Junto con esta condici´on necesaria, el problema estar´a completamente resuelto conociendo: P0 , T, R(t), P (T ) y R(T ). Para ello es preciso especificar una forma funcional para la demanda: P (R) = Ke−aR , Francisco Cabo (UVA)

a > 0.

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

38 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de un recurso no-renovable: T per´ıodos En el instante final: S(T ) = R(T ) = 0. Teniendo en cuenta la Regla de Hotelling y la funci´ on de demanda: K = P (T ) = P0 eρT . Y por tanto, P (t) = P0 eρt = Ke−aR(t) = P0 eρT e−aR(t) . De donde, integrando se obtiene la tasa de extracci´ on lineal en t: R(t) = Sustituyendo esta expresi´on en

ρ(T − t) . a

RT

R(t)dt = S, se obtiene el T ´optimo: s 2aS T = . ρ 0

De donde se obtiene inmediatamente K, P0 y R0 . Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

39 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de recurso no-renovable: Competencia perfecta m empresas maximizar beneficios: mercado en competencia perfecta. Dado el precio del recurso, P (t), cada empresa j ∈ {1, . . . m}, decide la cantidad a extraer, Rj para maximizar beneficios: Z T Πj (t)e−it dt, max Rj (t) 0   Z T X m m X ˙   Rj (t) dt = S ⇔ S = − s.a.: Rj (t). 0

j=1

j=1

con Πj (t) = P (t)Rj (t), Beneficio de la empresa j. Cada empresa extrae de forma que el beneficio marginal descontado sea el mismo en cada instante: M Πj (t)e−it = Francisco Cabo (UVA)

∂Πj (t) −it e = P (t)e−it = P0 . ∂Rj (t)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

40 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de recurso no-renovable: Competencia perfecta

Competencia perfecta: tipo de inter´es de mercado, i = tasa “privada” de descuento del consumo = tasa de rendimiento del capital. Planificador central Competencia perfecta P˙ P˙ =ρ =i P P Condiciones equivalentes interpretando beneficios (areas bajo curva de demanda) como cantidades de utilidad, y suponiendo i = ρ. P (t) > 0 al tener un stock fijo de recurso: renta por la escasez del recurso.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

41 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de recurso no-renovable: Monopolio Conociendo la demanda, P (R) el monopolio decide la cantidad a extraer, R(t), (y por tanto el precio, P (R)) para maximizan beneficios. Problema para la empresa monopol´ıstica: Z T Z T −it Π(t)e dt = P (R(t))R(t)e−it dt, max R(t)

0

0 T

Z s.a.:

R(t)dt = S

⇔

˙ S(t) = −R(t).

0

Beneficio Marginal descontado id´entico en cada instante: M Π(t)e−it =

∂Π(t) −it e = Cte., ∂R(t)

M Π(t) = M Π(0)eit . Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

42 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Extracci´on de recurso no-renovable: Monopolio Competencia perfecta M Πj (t) = P (t)

Monopolio M Π(t) = P 0 (R(t))R(t) + P (R(t)).

Competencia perfecta: Precio ex´ ogeno Monopolio: Precio funci´ on de la cantidad (demanda conocida P (R)). Beneficio marginal inferior al precio P 0 (R(t)) < 0. El Beneficio marginal (y no el precio) crece a la tasa i. Para la funci´on de demanda P (R) = Ke−aR , se tiene: s s   i(T − t) 2ahS 2iS 2iSa R(t) = , T = , R(0) = , P (0) = K exp . ah i ah h

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

43 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Comparaci´on: Competencia perfecta - Monopolio

Si el tipo de inter´es de mercado coincide con el o´ptimo social, la extracci´on bajo competencia perfecta coincide con el ´optimo social. Extracci´on bajo monopolio siempre sub-´ optimo respecto al bienestar social. Per´ıodo de extracci´on m´as largo bajo monopolio. Precio inicial mayor bajo monopolio. El precio crece a una tasa menor bajo monopolio. Bajo monopolio extracci´ on menor al comienzo del per´ıodo y mayor al final. Monopolio aliado del conservacionismo.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

44 / 94

2. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos no-renovables

Tema 3

Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

45 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Introducci´on Un recurso renovable tiene capacidad de reproducci´ on y crecimiento. 1

Organismos vivos, capacidad para crecer: pesquer´ıas, bosques, . . .

2

Sistemas inanimados con capacidad de regeneraci´on por procesos f´ısico-qu´ımicos: atm´osfera o sistemas marinos. Asimilan contaminantes.

3

Tierras de cultivo. La fertilidad se regenera con procesos biol´ogicos (abonos) o f´ısicos (irrigaci´ on).

4

Energ´ıa solar, e´olica, geot´ermica. Realmente no son un stock sino un flujo (su utilizaci´on actual no disminuye su empleo futuro).

Econom´ıa de los recursos renovables a nivel general, si bien existen diferencias entre: bosques. pesquer´ıas, ´areas salvajes, sistemas marinos, . . . Proporcionan m´ ultiples servicios: recreativos, medioambientales. Al igual que los no-renovables, pueden ser esquilmados. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

46 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Introducci´on Objetivo Extracci´on ´ optima de un recurso natural renovable a lo largo de un determinado per´ıodo temporal. Extracci´on de un recurso renovable bajo libre acceso. Programa de extracci´ on ´ optima con derechos de propiedad privados. “Tragedia de los comunes”: recursos de libre acceso tienden a ser sobre-explotados. Extinci´ on m´as probable que con derechos de propiedad bien definidos. La extracci´on con derechos de propiedad privados en competencia perfecta, puede coincidir con el ´ optimo social bajo ciertas condiciones. Esto no sucede bajo monopolio. Pol´ıticas para aproximar el comportamiento extractivo de libre acceso al ´optimo social. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

47 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Crecimiento biol´ogico de recursos renovables: fun. log´ıstica Crecimiento biol´ogico en ausencia de extracci´ on humana. Sin restricciones medioambientales crecimiento exponencial: ˙ S(t) = S(t)x ⇔ S(t) = S0 ext . a la tasa intr´ınseca de crecimiento, x. El ecosistema impone una capacidad m´axima (“carrying capacity”) de crecimiento de la especie. Propiedad de compensaci´on crecimiento depende negativamente del stock existente del recurso: ˙ S(t) = x(S)S(t),

x0 (S) < 0.

Funci´ on log´ıstica   S(t) ˙ S(t) = G(S) = gS(t) 1 − , Smax Smax capacidad m´axima, g, tasa de crecimiento natural o intr´ınseca. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

48 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Crecimiento biol´ogico de recursos renovables: fun. log´ıstica G(S)

0

SMSY

Smax S

Caracter´ısticas: Capacidad m´axima que puede soportar el ecosistema: Smax . Funci´on cuadr´atica del stock. M´aximo crecimiento para Smax /2. Crecimiento nulo cuando el stock de recurso es cero (o Smax ). Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

49 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Crecimiento biol´ogico de recursos renovables: fun. log´ıstica Extensi´on 1: Nivel m´ınimo cr´ıtico, por debajo del cual la especie se extingue.

G(S)

0 SMSY

Francisco Cabo (UVA)

Smax

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

S

2010-2011

50 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Crecimiento biol´ogico de recursos renovables: fun. log´ıstica Extensi´on 2: Para niveles bajos del stock el crecimiento promedio aumenta con el stock.

G(S)

0 Francisco Cabo (UVA)

S0

Smax S

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

51 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Crecimiento biol´ogico de recursos renovables: fun. log´ıstica

Extensi´on 3: Si el stock cae por debajo de Smin , extinci´on. G(S)

0 SMSY

Smax S

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

52 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Extracci´on de estado estacionario

Extracci´on de estado estacionario La extracci´on, H, coincide con la tasa natural de crecimiento, G(S), a lo largo de un per´ıodo de tiempo. Definiendo la din´amica del stock: S˙ = G(S) − H, la extracci´on de estado estacionario ha de verificar: S˙ = 0,

Francisco Cabo (UVA)

i.e. G(S) = H.

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

53 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Extracci´on de estado estacionario ´ Extracci´on m´axima sostenible, HM SY . Unico nivel del stock, SM SY , estado estacionario con tasa de crecimiento natural y tasa de extracci´on, m´aximas. G(S) HMSY=GMSY H1=G1

0

S1U

SMSY S 1L

S Smax

Extracci´on, H1 < HM SY , factible asociada a dos niveles del stock. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

54 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Extracci´on de un recurso renovable: an´alisis est´atico An´alisis est´atico tiene sentido: Los agentes no tienen en cuenta el futuro. Las mismas caracter´ısticas para cada per´ıodo. Principales supuestos: 1 Cantidad extra´ ıda, H, depende del esfuerzo de extracci´on, E, y del tama˜ no del stock de recurso, S: H = H(E, S). 2

3

Cantidad extra´ıda por unidad de esfuerzo proporcional al tama˜ no del stock: H = eS i.e. H = eES, E e coeficiente de captura. Crecimiento del stock de recurso renovable: crecimiento biol´ogico menos cantidad extra´ıda: S˙ = G(S) − H. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

55 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Extracci´on de un recurso renovable: an´alisis est´atico 4

Coste de extracci´on lineal/proporcional al esfuerzo: C = wE.

5

Beneficios, funci´on de la cantidad extra´ıda: B(H).

6

En un equilibrio de mercado, el beneficio para las empresas extractoras: V = P H. P el precio del recurso.

7

Funci´on de demanda de mercado del recurso: P = P (H),

Francisco Cabo (UVA)

P 0 (H) < 0.

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

56 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

An´alisis est´atico bajo condiciones de libre acceso No hay derechos de propiedad o el recurso es propiedad de todos. Agentes compiten por extraer el recurso. No hay mecanismo para impedir el acceso al recurso de nuevas empresas extractoras. En competencia perfecta el beneficio de extracci´ on ha de ser nulo, i.e. el precio neto es cero. C = V. Incentivos para un extractor individual bajo libre acceso: Extraer siempre que exista posibilidad de beneficio de la captura actual. Aunque reducir capturas actuales (para permitir mayores capturas futuras) pueda ser beneficioso desde el punto de vista colectivo, para cada extractor no es racional reducir la extracci´ on pues no tiene garant´ıa de que ´el obtenga los beneficios futuros. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

57 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

An´alisis est´atico bajo condiciones de libre acceso Costes totales de extracci´on: C = wE = w

H . eS

Funci´on de la tasa de extracci´ on y del stock de recurso. En equilibrio H = G(S) y, suponiendo una funci´ on log´ıstica:   w S G(S) = g 1− . C=w eS e Smax Coste, funci´on lineal del stock. Rendimientos de la extracci´ on: v = HP (H). Asumiendo una funci´on de demanda “plausible” P = aG(S)1/εd , los rendimientos tienen forma de U invertida en S. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

58 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

An´alisis est´atico bajo condiciones de libre acceso Equilibrio de libre acceso: doble equilibrio, bio-econ´ omico. Renta de equilibrio nula C = V . Stock de recurso constante G(S) = H.

C A V

0 Francisco Cabo (UVA)

SOA SMSY Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

S 2010-2011

59 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

An´alisis est´atico bajo condiciones de libre acceso

Un equilibrio de libre acceso no implica necesariamente: SOA < SM SY . Incrementos del coste de una unidad de esfuerzo, w, incrementa (en valor absoluto) la pendiente de la funci´ on de costes, que gira en sentido de las agujas del reloj en torno al punto (0, Smax ). Aumenta el stock de equilibrio. Un aumento de la demanda incrementa el precio para cada nivel del stock. Reduce el stock de equilibrio.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

60 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Equilibrio est´atico asumiendo propiedad privada del recurso Bajo libre acceso, beneficio de largo plazo nulo al no existir barreras para excluir nuevas empresas extractoras. Estableciendo derechos de propiedad el equilibrio de libre acceso, A, no ´ maximiza beneficios. Estos se maximizan en B: ∂V /∂S = ∂C/∂S. Stock si existen derechos de propiedad supera al de libre acceso, SB > SOA . C A

B

V

0 Francisco Cabo (UVA)

SOA

SB

S

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

61 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Extracci´on de estado estacionario bajo propiedad privada An´alisis de la din´amica de la extracci´ on del recurso introduciendo el tiempo expl´ıcitamente. El propietario del recurso maximiza el valor presente del flujo de beneficios a lo largo de un horizonte temporal. Z PV =

T

Z(t)e−it dt.

0

Tasa de descuento, i, coste de oportunidad del capital de la empresa. El empresario mantiene su capital en el negocio de extraer si obtiene un rendimiento no inferior a la tasa de rendimiento de la econom´ıa, i. Coste de extracci´on: C(t) = C(H(t), S(t)).

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

62 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Extracci´on de estado estacionario bajo propiedad privada Un recurso renovable es un activo financiero/bien de capital. No extraer ⇔ invertir en un bien de capital El recurso no extra´ıdo es productivo. Se reproduce incrementando el stock futuro. Decisiones de extracci´on comparando costes y beneficios marginales de incrementar el stock de recurso. Coste de oportunidad de mantener una unidad sin extraer Beneficio que se obtendr´ıa si se vendiese al precio p y se invirtiese a la tasa i. Beneficio marginal de mantener una unidad sin extraer El precio de la unidad no extra´ıda puede apreciarse: p. ˙ Un mayor stock significa menores costes de extracci´on: ∂C/∂S < 0. La unidad no extra´ıda incrementa el stock en G0 (S), que se valora al precio p(t). Condici´on de equilibrio de los activos: ∂C ip = p˙ − + G0 (S)p ∂S Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

63 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Agentes maximizadores de beneficios, ∂C/∂S = 0 Nos centramos en el equilibrio de estado estacionario. En estado estacionario el precio del recurso no var´ıa. Suponiendo adem´as ∂C/∂S = 0, la regla de Hotelling ser´a: i = G0 (S). La tasa de rendimiento coincide con la tasa de crecimiento biol´ogico. G(S)

pte=i

0 Francisco Cabo (UVA)

SPV SMSY

Smax S

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

64 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Agentes maximizadores de beneficios, ∂C/∂S = 0

i > 0: P´erdidas de renta futura por mayor extracci´on actual son descontadas. ∂C/∂S = 0: La reducci´ on del stock no supone un perjuicio por mayores costes. En consecuencia: SP V < SM SY . Suponiendo una tasa de descuento nula, la regla de Hotelling ser´ıa G0 (S) = 0 y por tanto: SP V = SM SY . Dif´ıcil suponer individuos con tasa nula de descuento.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

65 / 94

3. Extracci´ on ´ optima de los recursos: recursos renovables

Agentes maximizadores de beneficios, ∂C/∂S 6= 0 Costes de extracci´on aumentan al reducirse el stock de recurso: Equilibrio de estado estacionario: 1 ∂C < i. G0 (S) = i + p ∂S

∂C ∂S

< 0.

Menor G0 (S) mayor stock de recurso. Intuici´on: Permitir un mayor stock implica el beneficio de menores costes de extracci´on. G(S) pte=i+∂ C/(p∂ S) 0. dD dB 1 dD dB = , ⇔ = . dM dM α dA dM Contribuci´ on a da˜ nos de 1 u de Contribuci´on a beneficios de 1 = u de flujo de emisiones flujo de emisiones Contribuci´on a beneficios de 1 Contribuci´ on a da˜ nos de 1 u de = u de flujo de emisiones stock de contaminaci´on % α Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

86 / 94

4. Control de la contaminaci´ on

An´alisis de estado estacionario con da˜no tipo stock C) r > 0, α > 0. Una mayor tasa de descuento disminuye el valor actual de da˜ nos futuros. Aumenta el precio sombra. dB (1+r/α) dM dB dM

dD dM

µ** µ*

M* M** Francisco Cabo (UVA)

∧ M

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

M 2010-2011

87 / 94

4. Control de la contaminaci´ on

An´alisis de estado estacionario con da˜no tipo stock

B) r > 0, α = 0; D) r = α = 0 α = 0 contaminante persistente de modo perfecto. Un nivel de emisiones positivo no puede ser eficiente. M > 0 implica que el stock de contaminaci´ on crece ilimitadamente. ´ Unico nivel de emisiones posible: M = 0. M > 0 s´olo puede mantenerse ilimitadamente si se produce un cambio tecnol´ ogico.

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

88 / 94

4. Control de la contaminaci´ on

Modelo din´amico de contaminaci´on + recurso no-renovable Perspectiva m´as amplia. Contaminante mixto: flujo-stock. ´Indice de presi´ on medioambiental, E = E(R, A), depende de la tasa de extracci´ on de recurso, R, y del stock acumulado de contaminaci´ on, A. Costes de extracci´on dependen de la cantidad extra´ıda pero no del stock remanente. Contaminaci´on procedente de la extracci´ on y consumo de un recurso no-renovable. Dos tipos de da˜ nos: A trav´es de la funci´ on de utilidad: U = U (C, E(R, A)). A trav´es de la funci´ on de producci´ on: Q = Q(K, R, E(R, A)). Efecto sobre Q de la tasa de extracci´ on del recurso, R: efecto directo, e indirecto a trav´es de E.

Din´amica de la contaminaci´ on acumulada en el medioambiente: A˙ = M (R) − αA. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

89 / 94

4. Control de la contaminaci´ on

Modelo din´amico de contaminaci´on + recurso no-renovable Gastos defensivos o de limpieza Actividades de limpieza de la contaminaci´ on operan de forma adicional a la tasa natural a la que decae la concentraci´ on de contaminaci´on. Din´amica del stock de contaminaci´ on: A˙ = M (R) − αA − F (V ). F (V ): Reducci´on de la contaminaci´ on asociada a un gasto defensivo V . Problema din´amico de optimizaci´ on: Z

∞

max

R,C,V

U (C, E(R, A))e−ρt ,

0

s.a.: S˙ = −R, S(0) = S0 , A˙ = M (R) − αA − F (V ),

A(0) = A0 , ˙ K = Q(K, R, E(R, A)) − C − G(R) − V,

K(0) = K0 .

ρ tasa de descuento de la utilidad. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

90 / 94

4. Control de la contaminaci´ on

Modelo din´amico de contaminaci´on + recurso no-renovable Precios medidos en unidades de utilidad. 3 variables de estado: con precios sombra asociados:

S P

K w

A λ

Resoluci´on del modelo: Uc = w,

(1)

P = UE ER + wQR + wQE ER − wGR + λMR ,

(2)

w = −λFV , P˙ = ρP,

(3)

w˙ = ρw − QK w, λ˙ = ρλ + αλ − UE EA − wQE EA .

(5)

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

(4) (6)

2010-2011

91 / 94

4. Control de la contaminaci´ on

Modelo din´amico de contaminaci´on + recurso no-renovable 1

Uc = w Valor marginal 1 u. out- Valor marginal 1 u. output para = put para consumo, UC aumentar stock de capital, w.

2

P = UE ER + wQR + wQE ER − wGR + λMR Precio neto de recurso Valor de la productividad neta = − del recurso, wQR − wGR , medioambiental, P 3 costes por da˜ no: UE ER : P´erdida de utilidad por el incremento de la presi´on medioambiental por un incremento marginal del recurso. wQE ER : Valor de la p´erdida de producci´ on por el incremento de la presi´ on medioambiental por un incremento marginal del recurso. λMR : Valor del da˜ no causado indirectamente

Econom´ıa perfectamente competitiva no internaliza costes por da˜ no. Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

92 / 94

4. Control de la contaminaci´ on

Modelo din´amico de contaminaci´on + recurso no-renovable wQR = P + wGR − UE ER − wQE ER − λMR no Valor da˜ no Valor da˜ Precio Precio Costes ex- Valor da˜ no flujo en U flujo en Q bruto neto tracci´on stock wQR = P +wGR −UE ER −wQE ER −λMR Unidades utlidad

P + wGR − UE ER − wQE ER P + wGR − UE ER

Precio bruto

Daño stock Tasa stock óptima

P + wGR

Daño flujo producción

P

Tasa flujo óptima

Daño flujo utilidad Coste marginal extracción

Precio neto

Tiempo

Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

93 / 94

4. Control de la contaminaci´ on

Modelo din´amico de contaminaci´on + recurso no-renovable Utilidad

Utilidad

MC(social)

MC

MB

MB

MC(privado)

wQR* Tasa óptima

Tiempo

M*

Tiempo

M*

MC=MC(social)= P + wGR − UE ER − wQE ER − λMR , MC(privado)= P + wGR ,

MB= wQR ,

tasa ´optima= −UE ER − wQE ER − λMR . Francisco Cabo (UVA)

Gesti´ on o ´ptima de recursos naturales y medioambientales

2010-2011

94 / 94