Profr. Efraín Soto Apolinar.

Gráficas de las funciones racionales Ahora vamos a estudiar de una manera geométrica las ideas de comportamiento de los valores que toma la función cuando los valores de x crecen mucho. Es importante que hayas entendido los argumentos que se dieron en la sección anterior para poder justificar por qué las gráficas de cada función tienen la forma que se muestra en cada ejemplo. Empezamos con un ejemplo muy sencillo de función racional. Estudia analíticamente la gráfica de la función racional: y=

1 x−2

Ejemplo 1

Calcula su dominio y su contradominio. • La primera pregunta que debes hacer al encontrar una función racional es: ¿Qué valor de x hace que el denominador de la función sea cero?

Comentario

• En este caso la respuesta es muy sencilla: «Si x = 2, entonces, x − 2 = 0.» • Entonces, la función no está definida cuando x = 2, porque en ese caso tenemos división entre cero. • En ese punto la función no tiene gráfica. • Observa que el signo del cociente depende del denominador, porque el numerador siempre es positivo. • Para valores en los que x > 2, el resultado de x − 2 es positivo. • Entonces, los resultados del cociente 1/( x − 2) también serán positivos. • Por otra parte, cuando x < 2, se tiene que x − 2 < 0. • Ahora los valores de y = 1/( x − 2) serán negativos. • Como en la cercanía del punto x = 2, los valores del cociente crecen mucho, la gráfica de la función se va a infinito por un lado y a menos infinito por el otro. • Para calcular el dominio de la función vamos a responder la pregunta: ¿Para qué valores de x la función asigna valores a y?

Comentario

• La respuesta a esta pregunta es: «para todos los números reales, excepto 2». • La excepción del 2 se debe a que cuando x = 2 el denominador se hace cero y la división no tiene sentido entonces. • Este resultado se escribe así: R − {2}.

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y 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

1 x−2

6

7

x

Asíntota

−2 −1 0 −1

f (x) =

−2 −3 −4 −5

• El contradominio consiste en el conjunto de los números reales, excepto el cero. • Eso es evidente de la gráfica y del análisis que se acaba de hacer. • Entonces, el contradominio de la función es: R − {0}.

Para justificar que el cero no está en el contradominio de la función observa que si existe algún 1 = 0, necesariamente debemos tener que 1 = 0 · ( x − 2) = 0. Aquí hemos valor x para el cual x−2 llegado a una conclusión que no tiene sentido: 1 6= 0. Esto nos indica que la suposición inicial no tiene sentido. Esa suposición inicial decía: «existe algún 1 valor x para el cual = 0», la cual es, entonces, falsa. x−2 Estudia analíticamente la gráfica de la función racional: Ejemplo 2

y=

1 x−r

Calcula su dominio y su contradominio. • La primera pregunta que debes hacer al encontrar una función racional es: Comentario

¿Qué valor de x hace que el denominador de la función sea cero? • La respuesta es muy sencilla: «Si x = r, entonces, x − r = 0.» • La función no está definida cuando x = r ¿Puedes explicar por qué? • Para valores en los que x > r, el resultado de x − r es positivo. • Entonces, los resultados del cociente 1/( x − r ) también serán positivos. www.aprendematematicas.org.mx

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• Y cuando x < r, se tiene que x − r < 0, con lo que los valores de 1/( x − r ) serán negativos. • Como en la cercanía del punto x = r los valores del cociente crecen mucho, la gráfica de la función se va a infinito por un lado y a menos infinito por el otro. • La siguiente gráfica muestra esta situación: y

f (x) =

1 x−r

x

Asíntota

r

• De nuevo, la discontinuidad de la función aparece en el punto en el que el denominador se hace cero. • El dominio de esta función corresponde al conjunto: R − {r }. • El contradominio consiste en el conjunto de los números reales, excepto el cero. • Eso es evidente de la gráfica y del análisis que se acaba de hacer. • Entonces, el contradominio de la función es: R − {0}.

Podemos generalizar los ejemplos anteriores y considerar casos en los que el denominador de la función racional tenga más de una raíz. Estudia analíticamente la función racional: y=

1 ( x + 1)( x − 2)

Ejemplo 3

• Empezamos calculando las raíces del denominador:

( x + 1)( x − 2) = 0 x+1 = 0 x−2 = 0

⇒ ⇒ x = −1 ⇒ x=2

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• Entonces, esta función no está definida para x = −1 ni para x = 2. • La gráfica de esta función tiene tres ramas. • Las ramas de la gráfica se formaron porque las raíces del denominador son puntos donde la gráfica tiene una discontinuidad. • Observa que se formaron 3 intervalos: (−∞, −1), (−1, 2) y (2, ∞). • Ahora vamos a estudiar los signos de esta función en los intervalos que se forman. • Como el numerador siempre es positivo, el signo del cociente es igual al signo del denominador. • Cuando x < −1 el signo del cociente es positivo. • Para concluir esto, sustimos un valor de x menor que −1 y consideramos el signo de cada factor que interviene en la función. • Si el resultado es positivo, escribimos +, si es negativo, −. Al final multiplicamos los signos para conocer el signo de la función en el intervalo considerado. sgn(y) =

+ =+ (−)(−)

• Para el siguiente intervalo, cuando el valor de x está entre x = −1 y x = 2, el signo es negativo. Sustituyendo cero, vemos que: sgn(y) =

+ =− (+)(−)

• Y para el último intervalo, cuando x > 2 el signo del cociente es positivo: sgn(y) =

+ =+ (+)(+)

• Con esta información sabemos por dónde pasa la gráfica de la función. • Sustituyendo algunos valores podemos obtener mayor información para poder hacer un bosquejo de la gráfica. • Por ejemplo, cuando x = 0, tenemos que y = −1/2. • La gráfica de esta gráfica se muestra enseguida:

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sgn(y) significa «el signo de y».

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y 5 f (x) =

4

1 ( x + 1)( x − 2)

3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

−2 −3 −4 −5 • El dominio de esta función es evidente de su gráfica: R − {−1, 2}. • Pero el contradominio no es tan sencillo. • Sabemos que el intervalo (0, ∞) es parte del contradominio. y • Pero para la parte negativa, no sabemos, porque no conocemos cuál es de punto máximo de la rama que está en el intervalo (−1, 2). • Por simetría, parece que el máximo está a la misma distancia de las dos aristas. 1

x

−1

1

2

−1

−2

• Vamos a calcular el valor de y en ese punto: y(0.5) =

1 1 4 =− = − = −0.4 (1.5)(−1.5) 2.25 9

• Vamos a suponer que ese valor es el máximo que toma esa rama de la gráfica de la función. www.aprendematematicas.org.mx

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 i • Entonces, el contradominio sería: −∞, − 49 ∪ (0, ∞). Observa que no podemos asegurar que el contradominio está correcto, porque no tenemos certeza de que el máximo de la rama de la gráfica de la función esté exactamente en el punto que propusimos. Para los ejemplos de esta sección con una aproximación así será suficiente.

Profesor:

Sí hay una manera de calcular el máximo de una función en un intervalo, pero eso lo estudiaremos el siguiente semestre. Por ahora con una aproximación así se considerará correcto.

De hecho, el máximo de esa rama

Grafica la función racional: y=

Ejemplo 4

x2

x +1

está en x = 0.5, tal como supusimos.

• Si tratamos de resolver la pregunta: «¿para qué valores de x el denominador de la función se hace cero?», veremos que: x2 + 1 = 0 ⇒ x 2 = −1 • Que nos indica que el denominador de esta función nunca se hace cero. • Esto a su vez nos dice que la gráfica de esta función no tiene asíntotas. • Y esto es así porque la división siempre está definida. • Pero hay algo más en esta función. • Observa que el numerador ahora es el monomio: x. • Dado que el denominador siempre es positivo, el signo de la función está determinado por el signo del numerador. • Cuando x < 0 el signo de y será negativo y cuando x > 0 el signo de y será positivo. • Pero cuando x = 0, todo el cociente se hace cero: y (0) =

0 =0 1

• Esto nos indica que la gráfica de la función pasa por el origen. y 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

−4

−3

−2

−1−0.1

f (x) =

x x2 + 1 Profesor:

x 1

2

3

4

Pregunte cómo los valores de m y n explican el comportamiento de la función.

5

−0.2 −0.3 −0.4 −0.5 www.aprendematematicas.org.mx

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• Como esta función está definida para cualquier valor de x, su dominio es R. • Observa que como el denominador crece más rápido que el numerador, el valor absoluto del cociente decrece conforme los valores de x se alejan del origen, para x > 1. • Precisamente, cuando x = 1, la función toma el valor 0.5. • El contradominio de esta función al parecer es [−0.5 : 0.5].

Ahora vamos a resolver un ejemplo que es a la vez muy parecido al anterior y también muy diferente. Ya verás por qué. Grafica la función racional: y=

x x2 − 1

Ejemplo 5

• Este problema es muy parecido al anterior porque la función solamente cambia en un signo. • Pero este cambio ocasiona que ahora aparezcan dos asíntotas, lo que hace que a la vez sea muy diferente. • Empezamos calculando las raíces del polinomio denominador: x2 − 1 = 0

x2 = 1

⇒

⇒

√ x=± 1

• Las asíntotas están en x = 1, y en x = −1. • Ahora vamos a estudiar los signos en los intervalos que se forman. • Para eso vamos a reescribir la ecuación de la siguiente forma factorizada: y=

x ( x − 1)( x + 1)

• Como el numerador se hace cero cuando x = 0, tenemos cuatro intervalos: 3 Primer Intervalo: (−∞, −1). sgn(y) =

− =− (−)(−)

3 Segundo Intervalo: (−1, 0). sgn(y) =

3 Tercer Intervalo: (0, 1). sgn(y) =

+ =− (+)(−)

3 Cuarto Intervalo: (1, −∞).

− =+ (−)(+)

sgn(y) =

+ =+ (+)(+)

• Ahora vamos a graficar la función:

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y 5 f (x) =

4

x2

x −1

3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

−2 −3 −4 −5 • El dominio de esta función es R − {−1, 1}. • Su contradominio es: R, gracias a la rama del intervalo (−1, 1).

Compara las funciones y sus gráficas de los dos últimos ejemplos. ¿Cuál crees que es la razón del que las dos funciones, a pesar de ser tan parecidas tengan gráficas muy diferentes? Ahora observa que para que

x2

− 1 > 0 se requiere que

x2

Sugiera encontrar las raíces del

> 1.

Por eso, en el intervalo (−1, 1) el denominador es negativo.

denominador cada función.

Algo nuevo en el último ejemplo consiste en que esta función tiene una raíz, y está en x = 0. Grafica la función racional: y=

Ejemplo 6

1 x ( x + 1)( x − 1)

• En esta función el denominador tiene 3 raíces: 3 x=0

3 x = −1

3 x=1

• Debido a esto la gráfica de la función tiene 3 asíntotas en esos puntos. • Vamos a estudiar los signos de y en los intervalos que se forman debido a las asíntotas.

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Profesor:

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de

Profr. Efraín Soto Apolinar.

3 Primer intervalo: (−∞, −1) sgn(y) =

3 Tercer intervalo: (0, 1)

+ =− (−)(−)(−)

sgn(y) =

3 Cuarto intervalo: (1, ∞)

3 Segundo intervalo: (−1, 0) sgn(y) =

+ =− (+)(+)(−)

+ =+ (−)(+)(−)

sgn(y) =

+ =+ (+)(+)(+)

• La gáfica de la función es la siguiente:

Profesor: Permita que los estudiantes calculen el dominio y contradominio

y 5 f (x) =

4

1 x ( x − 1)( x + 1)

de la función a partir de la gráfica.

3 2 1

−4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

x

−2 −3 −4 −5

Hasta aquí hemos visto funciones racionales con asíntotas horizontales, por ejemplo, el eje x. Algunas otras funciones presentan asíntotas verticales, por ejemplo x = 1. Hay todavía otra posibilidad. Una asíntota también puede ser inclinada. Este caso ocurrirá cuando n = m + 1, es decir, cuando el grado del polinomio del numerador sea mayor al grado del polinomio del denominador en una unidad. Para calcular la ecuación de la asíntota inclinada es una buena idea hacer la división que indica la función racional. El resultado nos dirá cómo se comportan los valores de y cuando los valores de x estén suficientemente alejados de las asíntotas. El siguiente ejemplo considera ese caso. Estudia analíticamente la función: y=

x2 + 1 x−1

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Ejemplo 7

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Para conocer cómo se comportan los valores de y cuando x crece mucho, dividiremos en el numerador como en el denominador entre 3 x: x2 + 1 x+ x2 + 1 x = = x−1 x−1 1− x

1 x 1 x

• Por el denominador, sabemos que una asíntota vertical está en x = 1. • Más aún, cuando x = 0, y = −1. • Observa que el numerador siempre es positivo. • Esto nos dice dos cosas: 3 que el signo del cociente depende del denominador, y 3 que esta función no corta al eje x. • Cuando x es muy grande, los segundos términos de cada parte de la fracción se hacen muy pequeños. • Entonces, los valores de y cuando x es crece mucho tienden a crecer a la misma rapidez que x. • Esto indica que crece igual de rápido que una recta de pendiente 1. • Es decir, la gráfica de esta función cuando x se va a ∞ ó a −∞ se parece mucho a una recta con pendiente 1. • En este caso, la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal, pues si tuviera, no podría tener una asíntota inclinada. • Para calcular la ecuación de la asíntota se sugiere realizar la división indicada en la definición de la función racional. • Al realizar la división obtenemos: x−1

x x2 − x2

+

1

+

x x x 0x

+ 1 −

+ 1 + 1 + 2

• Entonces, la asíntota inclinada (u oblicua) es: y = x + 1. • Observa que la pendiente de la recta coincide con la que se dedujo en en análisis inicial. • Enseguida se muestra la gráfica de esta función:

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y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

−4

−3

−2

−1

−1 −2 −3 −4 −5

f (x) =

x2 + 1 x−1

x y=

1

2

3

+1

4

5

x

• Verifica si los puntos P(2, 5) y Q(3, 5) están sobre la gráfica de la función. • Se te queda como ejercicio calcular el dominio y el contradominio de esta función.

Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Albert Einstein

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. www.aprendematematicas.org.mx

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Profr. Efraín Soto Apolinar.

Última revisión: 07 de agosto de 2010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: [email protected]

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