UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

GUIA DE ESTUDIO:

METODOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

DISEÑO: Ing. Luis Antonio Achoy Bustamante. Ing. José Antonio Castro Inzunza.

CULIACAN, SINALOA, ENERO DE 2006.

METODOS PARA LA TOMA DE DECISIONES OBJETIVO GENERAL DEL CURSO:

El alumno será capaz de determinar la solución óptima de problemas relacionados con inventarios y la importancia de su control; así mismo, planteará y desarrollará la ruta crítica de un proyecto, buscando la optimización de tiempo y costo.

EJES TEMÁTICOS:

I.- SISTEMAS DE INVENTARIOS. 1.1 1.2 1.3

Importancia. Conceptos y costos básicos. Modelos de inventaros. 1.3.1 Modelos determinísticos. 1.3.1.1 Cantidad económica del pedido (CEP), enfoque tabular. 1.3.1.2 Cantidad económica del pedido, usando Cálculo. 1.3.1.3 Punto de reorden y tiempo de adelanto. 1.3.1.4 Modelo CEP con descuento. 1.3.1.5 Modelo CEP con agotamiento. 1.3.1.6 Modelo del tamaño del lote de producción. 1.3.1.7 Sistema ABC ( a investigar ) 1.3.1.8 Otros sistemas de inventarios ( a investigar ).

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AL FINALIZAR EL CAPITULO SERA CAPAZ DE:

Definir que es un Inventario y su importancia en los negocios.

Conceptualizar los diferentes tipos de costos que intervienen en el manejo de los inventarios.

Identificar los diferentes Modelos que rigen el comportamiento de los Inventarios.

Interpretar analítica y gráficamente los Modelos.

Conocer las ventajas o desventajas de cada Modelo.

Aplicar a situaciones prácticas los Modelos mas adecuados.

Tomar decisiones basadas en resultados obtenidos con los Modelos.

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1.1

IMPORTANCIA.

Aproximadamente a principios de 1915 se dió atención al desarrollo de los modelos matemáticos que permiten tomar decisiones para el establecimiento óptimo de los niveles de inventario. El tener niveles muy grandes de inventario ocasiona un incremento en los costos de mantenimiento, si se tiene un nivel bajo, esto ocasiona que no se pueda satisfacer la demanda o tener paros en la producción. Una mala decisión en cuanto a los niveles de inventario puede ser un factor importante en el buen funcionamiento y éxito de un negocio o industria. En un término amplio, un inventario son recursos utilizables que se encuentran almacenados en un punto determinado del tiempo. En el medio fabril, el inventario incluirá materias primas, artículos en proceso y terminados. En el medio comercial los inventarios se refieren a artículos disponibles para su venta. En algunos casos los inventarios pueden incluir personal, activos no físicos tales como cuentas por cobrar o dinero en efectivo. La función básica de los inventarios es el desglose, esto significa que permite separar las actividades de producción, distribución y comercialización.

1.2

CONCEPTOS Y COSTOS BÁSICOS

Para estudiar los inventarios se han desarrollado diferentes modelos, los cuales dependen de ciertas características, de acuerdo a esto se pude hacer la siguiente clasificación: Modelos comerciales.- Son aquellos en que los inventarios se reabastecen de proveedores externos a la empresa. Modelos de producción.- Los inventarios se reabastecen por medio de una corrida de producción.

En los modelos comerciales se supone que el inventario se reabastece de forma instantánea y en los de producción el reabastecimiento se hace en forma paulatina. Para desarrollar los modelos es necesario establecer el tipo de demanda, esta puede ser: Determinística.- Se conoce la demanda y se puede considerar constante o variable en el tiempo. Estocástica.- La demanda tiene un comportamiento aleatorio. En algunos casos se puede ajustar por medio de una distribución de probabilidad.

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Otro factor a considerar en la formulación de los modelos de inventarios es el tiempo de adelanto o demora en la entrega, este se define como el tiempo que transcurre entre el inicio de la operación de reabastecimiento y la recepción del pedido. Este tiempo puede ser de carácter deterministico o probabilístico. La política de pedidos, se refiere a la cantidad que debe pedirse o producirse y cuando deben hacerse los pedidos o relizarse las corridas de producción. Existen dos tipos de sistemas de pedidos: Punto de orden (inventarios perpetuos).- En estos se mantiene un perpetuo de inventarios, los registros se revisan de manera continua y cuando el nivel del inventario llega a cierto valor, se inicia el proceso de reabastecimiento. Revisión periódica.- Los inventarios no se revisan de manera continua, más bien se hacen a intervalos de tiempo fijo, se determina la cantidad en el inventario, esta se compara con el nivel deseado, la diferencia es lo que se pide. En algunos modelos es posible considerar la existencia de agotamiento, esto ocurre cuando la demanda excede a la cantidad en el inventario. Los agotamientos pueden ser accidentales o planeados, en el caso de que el agotamiento pueda ser entregado en fecha posterior, se dice que existen pedidos retroactivos. Por último, se debe considerar el horizonte de tiempo del modelo, este puede ser infinito o finito. COSTOS BÁSICOS: Para desarrollar los diferentes modelos de inventarios es necesario tomar en cuenta diferentes tipos de costos, por desgracia algunos de ellos son difíciles de estimar, por este motivo solo se consideran cuatro costos principales: Costo del pedido.- Se incurre en estos costos en cualquier momento que se inicie alguna actividad tendiente al reabastecimiento del inventario. Estos costos se asocian principalmente a los de tipo administrativo y de oficina, algunos de los más importantes son: procesamiento y manejo de las órdenes de compra, el transporte, la recepción, inspección, colocación del inventario, contabilización y auditoria y el pago al proveedor. Un supuesto básico, es el de considerar que estos costos son independientes del tamaño de los pedidos. En el caso de los modelos de producción se utiliza el término de Costo de preparación, estos se refieren a todos los costos involucrados en la preparación para una corrida de producción. Costo de conservación.- Estos costos se tienen al mantener un cierto nivel de inventario durante un periodo específico de tiempo. Los más importantes son: costo de oportunidad del dinero invertido en ellos, costo de almacenamiento físico (renta, refrigeración, iluminación, pago de personal, registros, seguridad etc.), depreciación, impuestos, seguros, deterioro y obsolescencia. Estos costos se expresan como un costo por unidad de tiempo. Por facilidad se supone que son proporcionales al número promedio de unidades en el inventario.

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Costo de agotamiento.- Se producen cuando no se puede satisfacer la demanda con el inventario que se tiene. Estos costos dependen de si se permiten pedidos retroactivos, si estos no se permiten, estos darán como resultado la pérdida permanente de ventas. Este generalmente se puede calcular como un costo fijo por agotamiento o determinarse por unidad. Costo de adquisición.- Se refiere a los costos de compra de los productos a un proveedor externo. Se considera que este costo puede ser fijo sin importar el número de unidades adquiridas o en algunos se pueden tener descuentos por volumen de compra.

1.3

MODELOS DE INVENTARIOS.

Recordemos que un modelo matemático es una expresión donde se relacionan dos o más variables de acuerdo a las características del fenómeno que trata de representar, en estos generalmente se hacen idealizaciones o simplificaciones para que el modelo sea más sencillo. Esto produce a su vez que el modelo solo se pueda aplicar bajo las condiciones que fue formulado, con la consecuente pérdida de generalidad y exactitud.

1.3.1 MODELOS DETERMINISTICOS. En primer lugar se consideran los modelos de inventarios donde la demanda es deterministica, es decir, que se mantenga constante en el transcurso del tiempo o puede ser variable, pero que esta variabilidad no tenga un comportamiento aleatorio. 1.3.1.1

MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DEL PEDIDO (CEP). ENFOQUE TABULAR

El modelo más sencillo de inventarios es el clásico, al que generalmente se le conoce como CEP. Para formular el modelo se hacen las siguientes consideraciones:

Se conoce la demanda con certidumbre y es constante en el tiempo. El tiempo de adelanto es cero. Se emplea un sistema de punto de orden y de revisión continua. El inventario se reabastece cuando ha llegado exactamente a cero. El reabastecimiento es instantáneo. La cantidad del pedido es constante para cada pedido. El problema implica un sistema de etapa única. Se considera un horizonte de tiempo infinito y continuo. Se considera que todos los costos son constantes.

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Planteamiento del modelo: El objetivo es determinar la cantidad del pedido

Q que haga que el costo total del

inventario sea mínimo. Los costos principales que se consideran son los costos de mantenimiento y los costos de los pedidos.

CTotal = C Pedido + C Mantenimiento

Consideremos que se hace un pedido de magnitud

Q , esto hace que el inventario llegue al

nivel máximo, enseguida el inventario empieza a agotarse de forma constante hasta llegar a cero, en este nivel se hace de nuevo un pedido que reabastece el inventario al máximo, en forma gráfica se representa:

Q

Tiempo Primero analizaremos los costos de los pedidos, como se mencionó anteriormente se considera que estos costos se mantienen fijos y no dependen de la magnitud de Q . Para determinar el costo de los pedidos basta multiplicar el número de pedidos N por el costo por pedido C 0 . El número de pedidos se obtiene al dividir la demanda total entre el tamaño del pedido .

D Q

N= El costo de los pedidos será entonces:

C P = NC 0 =

D C0 Q

Ahora consideremos los costos de mantenimiento o conservación del inventario, para esta hay que considerar el tiempo que permanece cada unidad en el inventario multiplicada por el costo de mantenimiento C m . Es posible calcular este costo utilizando el concepto de inventario promedio, para este modelo este se calcula:

QP =

Q 2

Entonces el costo de mantener el inventario en cada periodo es:

CM =

El costo total del inventario es:

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Q Cm 2

CT = NC 0 + QP C m =

D Q C0 + C m Q 2

Es posible determinar el nivel de inventario óptimo utilizando un enfoque tabular, para esto se debe variar el número de pedidos hasta determinar el valor del número de pedidos que haga que el costo total sea mínimo. Ejemplo: Consideremos una empresa la cual espera tener una demanda de 8000 unidades durante el año, los costos por pedido son de $1250 y los costos de conservación son de $25 por unidad por año, determinar el tamaño óptimo del pedido para tener los costos mínimos del inventario. Debemos hacer cálculos del costo total para diferentes números de pedidos, si N = 1 , entonces

Q = 8000 y el inventario promedio es QP = 4000 , entonces el costo total es:

CT = (1)(1250) + (4000)(25) = 1250 + 100000 = 101250 Para

N = 2 tendremos que Q = 4000 y QP = 2000

CT = (2)(1250) + (2000)(25) = 2500 + 50000 = 52500 Para

N = 3 tendremos que Q = 2667 y QP = 1333

CT = (3)(1250) + (1333)(25) = 3750 + 33325 = 37075 Resumiendo los cálculos en la siguiente tabla: Número de pedidos N

Tamaño del pedido

Inventario promedio

Costo de mantenimiento

Costo de los pedidos

Costos totales

Q

QP

CM

C

CT

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

8000 4000 2667 2000 1600 1333 1143 1000 889 800 727

4000 2000 1333 1000 800 667 572 500 445 400 364

100000 50000 33325 25000 20000 16675 14300 12500 11125 10000 9100

1250 2500 3750 5000 6250 7500 8750 10000 11250 12500 13750

101250 52500 37075 30000 26250 24175 23050 22500 22375 22500 22850

De acuerdo a los resultados de la tabla el número óptimo de pedidos es de 9, el tamaño de los pedidos es Q = 889 unidades, con un costo mínimo total de $ 22 375.

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El utilizar este enfoque tabular nos lleva a realizar una gran cantidad de cálculos, sin embargo, es posible obtener el valor mínimo de la ecuación utilizando el Cálculo Diferencial.

1.3.1.2

CANTIDAD ECONOMICA DEL PEDIDO, USANDO CALCULO.

El enfoque tabular para calcular el valor de

Q puede ser muy tardado y en ocasiones

inexacto. Es posible calcular este valor usando como herramienta el Cálculo Diferencial.. Recordemos que por medio de la derivada se puede calcular el valor máximo o mínimo de una función, para esto se debe derivar la función e igualarla a cero para determinar los valores críticos. La función de costo total es

CT =

D Q C 0 + C m .Si derivamos con respecto a Q e Q 2

igualamos a cero:

dCT C C DC C d   =  DC 0 Q −1 + m Q  = − DC 0 Q − 2 + m = − 2 0 + m = 0 dQ dQ  2  2 2 Q Despejando

Q se obtiene la expresión:

Q=

2 DC 0 Cm

Este valor es el que proporciona el costo total mínimo. Utilicemos ahora la fórmula para el problema que resolvimos de manera tabular, donde teníamos que D = 8000 , C 0 = 1250 y

C m = 25 , sustituyendo:

Q=

2(8000)(1250) = 894.4 ≈ 895 unidades 25

En el enfoque tabular se obtuvo Q = 889, que es un valor muy cercano al exacto. Otras cantidades que se calculan para este modelo son:

D 8000 = = 8.93 ≈ 9 por año Q 895 1 1 Tiempo entre pedidos t = = = 0.111 meses = 40.5 ≈ 41 días N 9 8000 895 Costo total CT = (1250) + (25) = 11173.184 + 11187.5 = $22360.684 895 2 Número de pedidos N =

9

GRAFICO OBTENIDO CON DERIVE6 En el Gráfico anterior se aprecia que el Costo total del inventario ( y) , va decreciendo a medida que el tamaño del pedido( x ) va aumentando hasta que llega al valor crítico 895. Después de este valor comienza de nuevo a subir. Existe un Gráfico para cada condición de demanda ( D ), costo de pedido ( Co ) y costo de mantenimiento o conservación ( Cm ).

Problema: Una compañía manufacturera adquiere de un proveedor externo una refacción que utiliza en la fabricación de equipos estereofónicos. La demanda de los equipos es de 10000 unidades al año y se puede considerar constante. El costo asociado a los pedidos es de $ 25 por pedido. Actualmente la compañía utiliza el criterio de cargar el 20% del precio de compra como costo de mantenimiento anual por unidad, el precio de compra es de $ 6.25 la unidad, determine:

a) La cantidad óptima del pedido b) El número de pedidos y el tiempo entre los mismos c) El costo total del inventario.

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Solución: Los datos a utilizar son los siguientes:

D = 10000 C 0 = 25 C m = 0.2(6.25) = 1.25 a) Cantidad óptima del pedido

b) Número de pedidos

N=

Tiempo entre pedidos

c) Costo total

1.3.1.3

CT =

Q=

2 DC 0 2(10000)(25) = = 632.45 ≈ 633 Cm 1.25

D 10000 = = 15.8 ≈ 16 Q 633

t=

1 1 = = 0.0625 año = 22.8 ≈ 23 días N 16

D Q 10000 633 C0 + Cm = (25) + (1.25) = 394.94 + 395.63 = 790.56 Q 2 633 2

PUNTO DE REORDEN Y TIEMPO DE ADELANTO.

En el modelo CEP se consideró que el tiempo de adelanto es cero. En la práctica es poco probable que esto ocurra. Llamemos t a al tiempo de adelanto, el cual se refiere al tiempo que debe transcurrir desde el momento que se hace el pedido hasta que se recibe, este valor puede ser mayor o menor al tiempo entre pedidos, también llamado tiempo del ciclo. El objetivo es determinar a que nivel de inventario R debe hacerse el pedido para que éste llegue cuando el nivel del inventario es cero. La ecuación para calcular este valor es:

t R = ta D −  a  t Donde

Q 

t a  es la parte entera de la fracción.  t 

Para el caso donde el tiempo de adelanto es menor que el tiempo del ciclo.

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Nivel de inventario

Cantidad de pedido Q Nivel de inventario para reordenar

R

Tiempo ta t

Problema: Supongamos que en el problema de la compañía manufacturera se tiene un tiempo de adelanto de 5 días, determine el nivel del inventario al que se debe realizar el pedido.

Solución: Tenemos que

D = 10000

t R = ta D −  a  t

t = 23 y

Q = 633 , sustituyendo en la fórmula:

[ ]

Q = 5 10000  − 5 633 = 136.98 − (0)(633) ≈ 137    23  365 

Cuando el nivel del inventario llegue a 137 unidades debe realizarse el pedido.

1.3.1.4

MODELO CEP CON DESCUENTO.

En algunos casos se pueden tener descuentos cuando se compran los productos en grandes cantidades. Para evaluar el impacto de los descuentos en los costos totales del inventario se le agrega a estos el costo de adquisición y se toma el que tenga menor valor. Primero se calcula el valor de

Q que hace mínimo el costo del inventario y se determina si

se encuentra en el intervalo donde se hace el descuento, si no se encuentra, se evalúa entonces el costo con descuento y sin descuento.

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D Q C 0 + C m + DPSD Q 2

Costo sin descuento

CT =

Costo con descuento

CTD =

Q D C 0 + D C m + DPD QD 2

Donde:

PSD es el precio sin descuento PD es el precio con descuento QD es la cantidad a la que se da el descuento. Ejemplo: Una empresa se dedica a la venta de equipos de video, se ha estimado que los costos por pedido es de $20, los costos de conservación es de $100 por unidad por año, se estima una demanda constante de 365 unidades al año, el precio de compra de los equipos es de $500. El proveedor ha ofrecido un descuento del 2% si se hacen compras en lotes de 20 o más equipos, determine la política óptima de pedidos para minimizar el costo total. Solución: En primer lugar debemos determinar el tamaño del pedido que hace mínimos los costos del inventario.

Q=

2 DC 0 = Cm

2(365)(20) = 12.08 ≈ 12 100

Este valor queda fuera del rango de descuento, entonces calculamos el costo total usando el precio con y sin descuento. Costo sin descuento

CT =

D Q 365 12 C 0 + C m + DPSD = (20) + (100) + (365)(500) = 183708.33 Q 2 12 2

Costo con descuento. Para tener el descuento debemos pedir cuando menos un precio con descuento de

CTD =

QD = 20 , con

PD = 500 − (0.02)(500) = 490

Q D 365 20 C 0 + D C m + DPD = (20) + (100) + (365)(490) = 180215 20 2 QD 2

13

De acuerdo a los resultados la decisión es la de hacer pedidos de 20 productos con lo que se disminuyen los costos totales.

GRAFICO HECHO CON DERIVE6

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1.3.1.5

MODELO CEP RETROACTIVOS.

CON

AGOTAMIENTO.

SE

PERMITEN

PEDIDOS

En los modelos analizados anteriormente se ha considerado que la demanda se satisface con el nivel de inventario que se tiene. Existen dos modelos de agotamiento: aquellos en los que el agotamiento se considera como una venta perdida y aquellos en los que la demanda se satisface de manera retroactiva, es decir que la demanda se cubre al llegar el pedido de reabastecimiento. Si analizamos el segundo caso, siempre que se incurre en agotamientos se tendrán costos por la falta de existencia. Para este caso los costos en que se incurren son de tipo administrativos, como transporte, tiempo extra, etc. Al permitir el agotamiento es posible disminuir el número de productos en el inventario y un número menor de pedidos. Para formular el modelo se deben considerar los efectos que causan los agotamientos sobre el inventario promedio y en los costos por agotamiento, en forma gráfica los ciclos del inventario se representan: Nivel de inventario

S Q

t2

B Tiempo t1 Donde:

tc

S es el nivel máximo del inventario B es el agotamiento Los componentes de los costos del modelo son: Costo total = Costo de los pedidos + Costo de conservación + Costos de agotamiento. Para deducir las fórmulas que se obtienen a partir del modelo, se requieren algunos conceptos del Cálculo Diferencial y del Algebra Lineal, tales como las Derivadas Parciales y la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

CT =

D S2 (Q − S ) 2 C0 + Cm + Ca Q 2Q 2Q

Primero analicemos cada uno de los costos parciales que intervienen en el Modelo. 1).- Costo de pedidos. Este queda determinado por el producto del número de pedidos y el costo de cada pedido, como ya se ha considerado desde el modelo clásico CEP.

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D C o Q

Costo de pedidos= 

2).- Costo de conservación o mantenimiento. Está dado por la multiplicación del costo de mantenimiento por unidad y periodo, por el número promedio de unidades que se tienen en el inventario. En el modelo con agotamiento, el inventario promedio es el inventario promedio por la porción del ciclo de inventario. Por lo tanto, el costo de conservación se calcula de la siguiente manera: Inventario promedio por ciclo=(área bajo la línea de demanda) ÷ (longitud del ciclo) cuando existe inventario

1 ( )( S )(t1 ) = 2 tc Usando la relación entre triángulos semejantes de la gráfica del modelo, puede observarse que:

t1 t1 + t 2 t c = = S Q Q

Por lo tanto,

t1 =

St c Q

Sustituyendo en la ecuación del inventario promedio por ciclo:

St 1 ( )( S) c 2 Q = tc

=

S2 2Q

Dado que la conducta de los inventarios es repetitiva, el inventario promedio considerado Para un número grande de ciclos sería también

S2 . Por lo cual, el costo de mantenimiento 2Q

se expresa de la siguiente forma:

 S2  C m  2Q 

costo de conservación = 

3).- Costo de agotamiento.- Se obtiene multiplicando el número promedio de unidades que no se tienen disponibles por el costo de agotamiento por unidad por periodo. número promedio área bajo la línea de unidades faltantes = ( durante el )

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÷ ( longitud del ciclo )

por ciclo

agotamiento

=

(1 / 2)( B)(t 2 ) tc

Utilizando de nuevo la relación de triángulos similares,

t 2 t1 + t 2 t c = = B Q Q Por lo tanto,

t2 =

tc B Q

Sustituyendo en la ecuación de los faltantes promedio, tenemos:

tc B 1 Q Número promedio de unidades faltantes por ciclo= ( )( B) 2 tc

=

B2 2Q

Para un número grande de ciclos:

Costo de agotamiento =

 B2   C a  2Q 

Al combinarse los tres componentes de costos, resulta la función de costo total para el Modelo:

CT = Como

DC o S 2 C m B 2 C a + + Q 2Q 2Q

B =Q−S :

CT =

DC o S 2 C m (Q − S ) 2 C a + + Q 2Q 2Q

Para la etapa del análisis y solución óptima del modelo de los agotamientos , donde se generan las diferentes fórmulas se usa el Cálculo Diferencial porque existen dos variables Q y S:

CT =

D S2 (Q − S ) 2 C0 + Cm + C a ……………………(1) Q 2Q 2Q

Se obtiene la derivada parcial respecto a la variable Q:

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∂CT DC S 2 Cm Ca S 2Ca = − 2o − + − ∂Q 2 Q 2Q 2 2Q 2 Simplificando la derivada:

∂CT DC C S2 = − 2o − (C m + C a ) + a …………………..(2) 2 ∂Q 2 Q 2Q Derivando (1) respecto a la variable S:

2 SC a ∂CT 2 SC m = − Ca + ∂S 2Q 2Q Simplificando:

SC a S ∂CT SC m = − Ca + = (C m + C a ) − C a ………………(3) ∂S Q Q Q Igualando a cero los miembros del lado derecho de (2) y (3), se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

−

DC o C S2 − (C m + C a ) + a = 0 ……….(4) 2 2 2 Q 2Q S (C m + C a ) − C a = 0 ……….(5) Q

Para resolver el sistema, usemos el método de sustitución. Despejando S de (5) y sustituirla en (4):

S=

−

QC a ……….(6) Cm + Ca

DC o C S2 − (C m + C a ) + a = 0 2 2 2 Q 2Q

DC o C S2 − 2 − (C m + C a ) = − a 2 2 Q 2Q DC o C S2 + (C m + C a ) = a 2 2 2 Q 2Q

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(−1)

 QC a  DC o  C m + C a + Q2 2Q 2

2

   (C + C ) = C a m a 2

2

Q 2Ca DC o (C m + C a ) 2 C + (C m + C a ) = a 2 2 2 Q 2Q 2

DC o Ca C + = a 2 2(C m + C a ) 2 Q

2

2 DC o Ca = Ca − 2 Cm + Ca Q

2 DC o C a (C m + C a ) − C a = Cm + Ca Q2

2 DC o C a C m + C a − C a = Cm + Ca Q2 2

2

2

2 DC o CaCm = 2 Cm + Ca Q Q2 =

∴ Q=

Q=

2 DC o Cm

2 DC o (C m + C a ) Ca Cm

2 DC o (C m + C a ) Ca Cm

Cm + Ca . Cantidad óptima de pedido. Ca

Para encontrar el valor de S, se sustituye Q en la ecuación (6) y resulta:

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S= El costo de agotamiento

2 DC 0 Cm

Ca Cm + Ca

C a se da por unidad por tiempo.

Otras cantidades que se calculan son:

Número de pedidos

N=

Tiempo entre pedidos

t=

DC m 2C 0 2C 0 DC m

Ca Cm + Ca Cm + Ca Ca

CT = 2C 0 C m D

Costo total

Ca Cm + Ca

Ejemplo: Una compañía se dedica a la venta de equipos de excursionismo. Es distribuidora única de una tienda de campaña ligera. La demanda tiende a ser constante en 1000 unidades al mes. El costo de conservación de las tiendas es de $5 al año. El proveedor esta ubicado en un lugar cercano por lo que se puede garantizar la entrega inmediata. El costo de colocar un pedido es de $20. Los administradores consideran que los clientes son relativamente estables puesto que no existe competencia en ese lugar. Debido a esto es posible satisfacer los pedidos en forma retroactiva de la demanda. Se ha estimado un costo por agotamiento de $1.5 por unidad por año. Determinar: a) La cantidad óptima de los pedidos b) El número máximo de productos en el inventario c) El tiempo entre pedidos d) El número de pedidos e) El costo total Solución: Los datos importantes del problema son:

D = 1000 unidades al mes .Se debe transformar a demanda anual D = 12000 al año C m = $5 por unidad por año C a = $ 1.5 por unidad por año C 0 = $20 por pedido a) Cantidad óptima de los pedidos

Q=

2 DC 0 Cm

Cm + Ca = Ca

20

(309.83)(2.08)=644.44 ≈ 645

b) Nivel máximo de productos en el inventario:

S=

2 DC 0 Cm

Ca Cm + Ca

2(12000)(20) 1.5 = (309.83)(0.4804) = 148.8 ≈ 149 5 5 + 1.5

Podemos observar que el nivel máximo del inventario es de 72 en lugar de 310 como lo marcaría el CEP clásico. c) Tiempo entre pedidos:

t=

2C 0 DC m

Cm + Ca = Ca

2(20) 5 + 1 .5 = (0.0258)(2.081) = 0.0537 años (12000)(5) 1 .5

t = 19.6 días ≈ 20 días

d) Número de pedidos

N=

DC m 2C 0

Ca = Cm + Ca

(12000)(5) 1 .5 = (38.72)(0.48) = 18.58 ≈ 19 2(20) 5 + 1 .5

e) Costo total.

CT = 2C 0 C m D

Ca = Cm + Ca

2(20)(5)(12000)

21

1.5 = (1549.19)(0.48) = 743.611 5 + 1.5

1.3.1.6

MODELO DEL TAMAÑO DEL LOTE DE PRODUCCIÓN.

En las empresas que se dedican a la fabricación de algún producto, reabastecen su inventario por medio de una corrida de producción. Los costos que se consideran en este modelo son los mismos que el CEP, con la diferencia de que C 0 es considerado ahora como los costos asociados a la preparación de la corrida de producción, estos pueden ser la mano de obra y la preparación de la maquinaria. Los costos totales están dados: Costo total del inventario = Costo de preparación + Costo de conservación.

El costo de preparación se incurre cada vez que se realiza una corrida de producción, si consideramos que se tiene una demanda constante donde

D , entonces el número de corridas es D

Q

,

Q es el tamaño óptimo del lote de producción, por lo tanto: CP =

D C0 Q

Para los costos de conservación es necesario determinar los productos que permanecen en el inventario. En este modelo se supone que los productos que se van fabricando y se van incorporando al proceso, es decir, tendremos una tasa a la que se producen r2 y una tasa a la que

r1 . Para que se pueda tener inventario se debe cumplir que r2 > r1 . El nivel máximo de inventario que se alcanza es M , en forma gráfica esto se representa: se utilizan

M

t1

t2

t1 el inventario crece a razón r2 − r1 , hasta alcanzar el valor máximo M , en el periodo t 2 el inventario se reduce a una tasa constante r1 . Haciendo estas consideraciones se En el periodo

tiene que el inventario promedio se calcula:

QP =

r Q 1 − 1 2  r2

22

  

El costo total del inventario es:

CT =

D Q r C 0 + 1 − 1 Q 2  r2

 C m 

Al resolver el modelo utilizando cálculo:

Primero derivemos respecto a la variable

DC C dCT r = − 2 o + m (1 − 1 ) dQ 2 r2 Q

Q.

Igualando a cero la derivada para despejar la variable

−

Q:

DC o C m r + (1 − 1 ) = 0 2 2 r2 Q

−

DC o C r = − m (1 − 1 ) 2 2 r2 Q 2 DC o = Q2 r1 C m (1 − ) r2 Q=

Por lo tanto:

Q=

Tamaño óptimo del lote de producción:

2C 0 D  r  C m 1 − 1   r2 

 r C m D1 − 1  r2 N= 2C 0

Número de corridas: Se obtiene sustituyendo Q en

2 DC o r C m (1 − 1 ) r2

N=

  

D Q

 r CT = 2C 0 C m D1 − 1  r2

Costo total del inventario:

23

  

Tiempo entre corridas :

t=

1 . N

t=

2C 0  r C m D1 − 1  r2

  

Problema: Una empresa ha decidido comenzar a fabricar una refacción que antes la adquiría a un proveedor externo. La demanda es de 1000 unidades al mes; el costo por corrida de producción es de $20 y el costo de mantenimiento es de $ 5 por unidad por año. Una vez que la maquinaria se encuentra en operación, puede fabricar 2500 unidades mensuales. A la empresa le gustaría determinar: a) El tamaño óptimo del lote de producción b) El número de corridas y el tiempo entre las mismos. c) El costo total del inventario. Solución: Los datos del problema son:

C 0 = 20 costo de preparación C m = 5 costo de mantenimiento, por unidad por año r2 = 2500 unidades por mes r1 = 1000 unidades por mes a) Tamaño del lote de producción

Q=

2C 0 D 2(20)(12000) = = 400 unidades por lote de producción   1000  r1  51 −  C m 1 −   2500   r2 

b) Número de pedidos:

 r C m D1 − 1  r2 N= 2C 0

  1000   5(12000)1 −  =  2500  = 30 corridas de producción 2(20)

24

Tiempo entre corridas.

t=

2C 0  r C m D1 − 1  r2

  

=

2(20) = 0.0333 año = 12.167 días  1000  5(12000)1 −   2500 

c) Costo total.

 r CT = 2C 0 C m D1 − 1  r2

  = 

 1000  2(20)(5)(12000)1 −  = 1200 anuales.  2500 

25

PREGUNTAS DE REPASO

1.- Explique la diferencia entre modelos de inventarios determinísticos y estocásticos.

2.- Identifique las funciones básicas de los inventarios.

3.- Explique la diferencia que existe entre un modelo comercial y uno de producción.

4.- Definir cada uno de los siguientes términos: a).- tiempo de adelanto. b).- agotamiento. c).- pedidos retroactivos. d).- horizonte de tiempo del modelo.

5.- ¿Cuáles son los factores de costo que se consideran en la mayoría de los modelos de inventarios ?.

6.- ¿ Cuáles son las consideraciones básicas en las que se fundamenta el modelo clásico CEP ?.

7.- Explique las diferencias que existen entre el modelo CEP clásico y el modelo CEP con agotamiento.

26

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Una empresa se dedica a la venta de equipos para el acondicionamiento físico, actualmente la demanda es de 10 equipos mensuales, se ha determinado que el costo de efectuar un pedido es de $ 1500. El costo de mantenimiento se considera como el 15% del precio de compra que es de $2300, usando el enfoque tabular, determine: El número de pedidos que debe realizar para que el costo total del inventario sea mínimo. El tamaño del pedido. El tiempo entre pedidos.

2.- Resuelva el problema anterior utilizando las fórmulas de la cantidad económica del pedido.

3.- Una compañía se dedica a la venta de acumuladores para automóvil, actualmente esta manejando una marca que tiene un costo de compra de $350, se estima que la demanda mensual es de 40 acumuladores y se mantiene aproximadamente constante, la política de la compañía es cargar un 20% por concepto de conservación del inventario, los costos asociados para realizar un pedido son: Transporte y acomodo Gastos administrativos Revisión de los acumuladores

$1000 $ 150 $ 250

Usando el modelos de CEP, determine: El tamaño óptimo de los pedidos. El número de pedidos y el tiempo entre estos. El costo total del inventario.

4.- Si en el problema anterior el proveedor ofrece un descuento del 10% si se compran 200 acumuladores o más, ¿Se debe cambiar la política de pedidos?.

27

5.- La empresa Cartón y Papel de México S. A. Compra el papel para elaborar el cartón a un proveedor a un precio de $800 la tonelada, la demanda del papel es de 60 toneladas al mes y se mantiene constante, se ha decidido cargar el 20% del precio de compra como costo de mantenimiento. Como el proveedor se encuentra fuera de la ciudad, carga un costo de $ 3500 por cada pedido, independientemente de la magnitud de este, la compañía tiene costos internos de $ 400 por cada pedido, principalmente en gastos administrativos. Utilizando el modelo CEP, determine: El tamaño óptimo del pedido. El número de pedidos y el tiempo entre estos. El nivel del inventario a que se deben realizar los pedidos. Si estos tardan en llegar 4 días. Se debe cambiar el tamaño del pedido, si se ofrece un descuento del 8%, si se hacen pedidos de 200 ton o más.

6.- Una empresa se dedica a la venta de equipos especializados y es el único proveedor en la región, de tal manera que se puede permitir pedidos retroactivos, la demanda de los equipos es de 5 mensualmente los cuales tiene un costo de $ 8500 cada uno. Se considera que el costo de mantenimiento es del 15% del precio de compra. Debido a que el proveedor se encuentra fuera del país, los costos asociados a los pedidos son de $ 3500. Si se estima que el costo del faltante es de $80 por artículo por mes, determine: El El El El

tamaño óptimo del pedido. nivel máximo del inventario y del faltante. número de pedidos y el tiempo entre estos. costo total del inventario.

7.- La empresa Chiles S.A. fabrica y vende chiles enlatados, se considera que la demanda es de 150 latas diarias y que se pueden fabricar 250 latas diarias, el costo de realizar una corrida de producción es de $500 y el costo de mantenimiento es de $0.35 al mes, determine el tamaño óptimo del lote de producción para minimizar los costos del inventario.

8.- La compañía zapatera Delta compra grandes cantidades de piel para fabricar sus zapatos. Se ha determinado que el costo de efectuar un pedido es de $20, el costo de conservación de las unidades de piel (aproximadamente 20 pie2) es de $40 al año. Se ha pronosticado una demanda aproximadamente constante de 6400 unidades de piel al año. Determinar: La cantidad óptima de los pedidos. El número y tiempo entre pedidos. El costo total de la política de inventarios.

9.- Una empresa tiene la siguiente situación, una demanda constante de 1200 unidades al año, un

28

costo de los pedidos de $5; el costo de conservación del inventario es del 16% del precio de compra sin descuento. El precio normal sin descuento es de $2.5. El proveedor al cual se le compran los artículos le ofrece un descuento del 5% si adquiere 100 o más y del 10% si compra 300 o más. ¿Cuál descuento debe aceptar la empresa?. Si lo hay.

10.- Una compañía fabrica el sistema de engranes que se utiliza en equipos pesados para la construcción. El sistema se fabrica en una línea de ensamble continua que opera a una velocidad constante de 120 unidades diarias. En un torno especial se fabrica un subensamble que se utiliza en los engranes a una velocidad de 400 subensambles al día. Cuando se están ensamblando los engranes los subensambles se entregan directamente de la línea de fabricación, en caso contrario se toman del inventario. El costo de mantenimiento es de $2 por pieza al año, el costo de preparación para realizar una corrida de producción es de $110, determine: La cantidad óptima de la corrida de producción para la producción del torno que la línea de ensamble requiera. El número de corridas de fabricación. El costo total de inventario.

29

II.- RUTA CRÍTICA.

2.1 Introducción. 2.2 Definición de Actividades y relación de precedencia. 2.2.1 Análisis de redes. 2.3 Determinación de la ruta crítica. 2.4 Intercambios o trueques entre tiempo y costos. 2.4.1 Reducción de los tiempos de las actividades (tiempos de urgencia) 2.5 Manejo de la incertidumbre en una red de proyecto PERT/CPM. 2.6 Desarrollo de un problema usando PERT/CPM.

AL FINALIZAR EL CAPITULO SERA CAPAZ DE:

Definir las actividades que conforman un proyecto.

Describir las secuencias de actividades con sus respectivas precedencias.

Conocer la terminología y fundamentos de los Métodos que intervienen en la planeación y desarrollo de los proyectos.

Encontrar la Ruta Crítica de un proyecto..

Evaluar la incertidumbre para la terminación de un proyecto . Manejar los trueque tiempo-costos en un proyecto.

Aplicar a situaciones prácticas los Métodos mas adecuados.

Tomar decisiones basadas en resultados obtenidos con los Métodos.

30

2.1

INTRODUCCIÓN.

Uno de los trabajos más desafiantes a los que se enfrenta un administrador, es sin duda alguna la dirección de un proyecto de gran escala, el cual requiere coordinar numerosas actividades, optimizando tiempos y sobre todo costos. Para ello existen dos métodos o técnicas de investigación de operaciones con una relación muy cercana. El método PERT (técnica de evaluación y revisión de programas o Program Evaluation and Review Technique) desarrollado por la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957 para controlar los tiempos de ejecución de diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales y el método CPM ( método de la ruta crítica o Critical Path Method), fue desarrollado en el mismo año y país, por el centro de investigación de operaciones para las firmas Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes de un proyecto. La diferencia entre el método PERT y el CPM, es que el primero se enfoca al análisis de los tiempos con incertidumbre para llevar a cabo las actividades, mientras que el CPM se refiere al intercambio entre tiempos y costos. Debido a estas diferencias el primero se aplicó en mayor medida a los proyectos de investigación y el CPM al área de la construcción. En este curso se estudian los dos aspectos, las incertidumbres en los tiempos, así como, los intercambios entre tiempos y costos, por este motivo se hace referencia al método PERT/CPM. PERT Y CPM se han aplicado en una gran variedad de proyectos, entre ellos se cuentan los siguientes tipos: 1.- Construcción de una nueva planta. 2.- Investigación y desarrollo de un nuevo producto. 3.- Proyectos de exploración del espacio. 4.- Producción de películas. 5.- Construcción de un barco. 6.- Proyectos patrocinados por el gobierno para el desarrollo de sistemas bélicos. 7.- Relocalización de una instalación grande. 8.- Mantenimiento de un reactor nuclear. 9.- Instalación de un sistema de información administrativo. 10.- Realización de una campaña publicitaria.

Inherentes al desarrollo de un proyecto, surgen preguntas a las que hay que dar repuesta, tales como: 1.- ¿ Cómo puede trazarse una gráfica del proyecto que ayude a visualizar el flujo de actividades ?. 2.- ¿Cuál es el tiempo total requerido para terminar un proyecto, si no ocurren retrasos?.

31

3.- ¿ Cuándo deben iniciar y terminar (lo más tarde ) las actividades individuales para cumplir con el tiempo de terminación del proyecto ?. 4.- ¿ Cuándo deben iniciar y terminar ( lo más pronto ) las actividades individuales si no ocurren retrasos ?. 5.- ¿ Cuáles son las actividades cuello de botella críticas en las que se deben evitar retrasos para prevenir que se atrase la terminación de un proyecto ?. 6.- Para las otras actividades, ¿ cuánto retraso puede tolerarse sin retrasar la terminación de un proyecto ?. 7.- Dadas las incertidumbres en la estimación precisa de las duraciones de las actividades,¿ cuál es la probabilidad de que un proyecto termine a tiempo ?. 8.- Si se gasta dinero adicional para acelerar un proyecto, ¿ cuál es la manera menos costosa de intentar cumplir con la meta de terminación ?. 9.- ¿ Cómo deben supervisarse los costos sobre la marcha para tratar de mantener el proyecto dentro del presupuesto. La primera etapa del método PERT/CPM consiste en identificar todas la actividades asociadas con un proyecto y sus interrelaciones. Primero consideraremos el caso donde tenemos un proyecto donde se conocen los tiempos en que se realizan las actividades con certidumbre, consideremos el siguiente ejemplo: Una compañía desea desarrollar un nuevo producto para afeitar. Después de un estudio se encontró que las actividades y sus tiempos estimados para realizar el proyecto son:

Actividad

Tiempo estimado para terminar (semanas)

Diseño del producto Diseñar el empaque Ordenar y recibir los materiales para el producto Ordenar y recibir los materiales para el empaque Fabricar el producto Fabricar el empaque Empacar el producto Prueba de mercado del producto Prueba de mercado del empaque Entregar a los distribuidores

6 2 3 3 4 3 6 4 1 2

A la compañía le interesa saber cual es el tiempo en que se debe llevar a cabo el proyecto.

32

2.2

DEFINICIÓN DE ACTIVIDADES Y RELACIÓN DE PRECEDENCIA.

La primera etapa del método PERT/CPM consistió en identificar todas las actividades asociadas con el proyecto y sus interrelaciones. En el proyecto anterior solo se describe la lista de actividades, más no se establece la relación de precedencia, además de que algunas actividades se pueden realizar en forma simultánea. Generalmente esta información la proporcionan los encargados de realizar el proyecto, para poder establecer de forma más ordenada la relación de precedencia, las actividades se deben codificar por medio de letras o números. Para el ejemplo se han establecido las siguientes relaciones: Código de actividad A B C D E F G H I J

Descripción de la Actividad

Predecesores

-Diseño del producto -Diseñar el empaque -Ordenar y recibir los materiales para el producto -Ordenar y recibir los materiales para el empaque -Fabricar el producto -Fabricar el empaque -Empacar el producto -Prueba de mercado del producto -Prueba de mercado del empaque -Entregar a los distribuidores

Tiempo Estimado

-

6 2

A

3

B C D E F G,H I

3 4 3 6 4 1 2

Una vez que se tiene la matriz de secuencias y de tiempos, debemos construir una red que permita establecer las interrelaciones entre las actividades. Aunque no existe un procedimiento general para elaborar estas redes, se establecen las siguientes reglas: Antes de que se pueda iniciar una actividad, todas las precedentes deben haberse terminado. Las flechas ( arcos ) solo indican precedencia lógica, ni su longitud ni su dirección tienen significado alguno. Cada flecha debe comenzar y terminar en un nodo ( círculo o rectángulo ) de evento. Ningún nodo de la red puede estar directamente conectado por más de una flecha. Cuando se enumeran los nodos es aconsejable, hacerlo en múltiplos de 10, (cuando son redes grandes) para que sea fácil incorporar actividades que se han omitido.

Todas las flechas de la red deben estar dirigidas de izquierda a derecha.

33

Las actividades de la red deben desglosarse lo necesario, de tal manera que no se establezcan actividades innecesarias. Se pueden utilizar actividades ficticias, con el objeto de evitar la conexión de dos nodos por más de una flecha. En las redes existen dos tipos o procedimientos de identificación o simbología: AOA ( actividades en los arcos o activity on arc ) donde cada actividad esta representada por un arco, un nodo se usa para separar una actividad ( arco que sale ) de cada uno de sus predecesores ( arcos que llegan ) por lo cual la secuencia de arcos muestra las relaciones de precedencia entre actividades. El otro tipo es AON ( actividades en los nodos o activity on node ), donde cada actividad se representa por un nodo. Los arcos solo se usan para indicar las relaciones de precedencia entre las actividades. Las versiones originales de PERT y CPM usaban las redes de proyecto AOA, por lo que se convirtieron en el tipo convencional durante algunos años. Sin embargo las redes de proyecto AON tienen algunas ventajas importantes respecto a las redes AOA para comunicar justo la misma información. 1.-. Es mucho más sencillo construir las redes de proyecto AON que las redes AOA. 2.- Es más fácil que los usuarios no experimentados, que incluyen muchos administradores, entiendan las redes de proyecto AON que las AOA. 3.- Es más sencillo revisar las redes de proyecto AON que las AOA cuando se hacen cambios en el proyecto.

Para una red tipo AOA: La primera red debe contener la secuencia de actividades y su duración, la nomenclatura básica a usar es:

i

Código de la actividad Duración estimada Dij

34

j

De acuerdo a la matriz de secuencias, la red de actividades correspondiente es:

C

E

2 A

3 3

4 4

G

6

6

I

1

8 B

J

9

1

10

2

H

2

D

5

F

6

3

4

7

3

Para una red tipo AON:

6

A

C 3

E 4

G G

0

6

INICIO

1 4 2

B

3

D

3

35

F

H

I

J 2 0 FIN

2.3

DETERMINACIÓN DE LA RUTA CRÍTICA.

Para calcular la duración del proyecto debemos determinar la ruta crítica la cual se define como la secuencia de actividades con más duración que aparezca en la red del proyecto. Para determinar la ruta crítica se utiliza el procedimiento de revisión hacia adelante y hacia atrás. En la revisión hacia adelante en AOA se calculan los tiempos próximos de iniciación y de terminación. Para esto utilizaremos la siguiente nomenclatura: Código de la actividad TPI ij , Dij , TPFij

[

i

]

j

Donde: TPI ij es el tiempo próximo de iniciación

TPFij es el tiempo próximo de finalización Para establecer estos tiempos se usan los siguientes criterios: El TPI ij de la primera actividad es cero,

TPFij = TPI ij + Dij para toda actividad Si a una actividad le antecede solo una , entonces el TPI j , j +1 = TPFij Si a una actividad le TPI j , j +1 = Max TPFkj , TPFlj , TPFmj ,..

{

anteceden

}

dos

o

más

entonces,

Realizando la revisión hacia adelante de la red de actividades: C E

2 A

[0,6,6]

[6,3,9]

3

[9,4,13]

4 G

[13,6,19]

1

I

8 B

H

[2,2,2]

D

5

[2,3,5]

F

6

[19,1,20]

J

9

[20,2,22]

10

[8,4,12]

7

[5,3,8]

Nótese que en el nodo 8 convergen 2 actividades, entonces el tiempo de iniciación más próximo es el mayor. El siguiente paso es hacer la revisión hacia atrás, con esto se calculan los tiempos lejano de iniciación y lejano de terminación. Al hacer esto podemos determinar el tiempo que se puede demorar cada actividad. Para realizar esta revisión se usa la nomenclatura:

i

Código de la actividad TLI ij , H ij , TLFij

(

)

Donde:

36

j

TLI ij es el tiempo más lejano de iniciación TLFij es el tiempo más lejano de finalización Holgura o tiempo flotante

H ij

Para calcular estos tiempos se usa la relación TLI ij = TLFij − Dij , igual que en la revisión hacia adelante, donde convergen dos o más actividades, se toma el valor más pequeño de los tiempos más lejanos de iniciación. El TLFij = TPFij de la última actividad

TLI ij = TLFij − Dij para toda actividad Si a una actividad le antecede solo una , entonces el TLFij = TLI j , j +1 Si a una actividad salen TLFij = Min TLI k , j +1 , TLI l , j +1 , TLI m, j +1 ,..

{

dos

}

o

más

entonces,

La holgura es H ij = TLFij − TPFij = TLI ij − TPI ij Realizando la revisión hacia atrás de la red de actividades: C

2 A

1

[0,6,6] (0,0,6)

E

[6,3,9] (6,0,9)

3

[9,4,13] (9,0,13)

4

[13,6,19] (13,0,19)

B

I

8

H

[0,2,2] (7,7,9)

G

D

5

[2,3,5] (9,7,12)

F

6

7

[5,3,8]

[8,4,12] (15,7,19)

[19,1,20] (19,0,20)

J

9

[20,2,22]

10

(20,0,22)

(12,7,15)

La ruta crítica para esta red, son las actividades cuya holgura es cero, que es A-C-E-G-IJ. La cual se encuentra marcada con líneas más gruesas. Las actividades sobre la ruta B-D-F-H-I-J algunas tienen tiempo de holgura o flotante, este se define como el tiempo en que puede demorar una actividad sin alterar la duración del proyecto en general. Para el tipo AON, se construye una tabla que contenga las trayectorias y sus longitudes:

Trayectorias

Longitud

Inicio>A>C>E>G>I>J>fin Inicio>B>D>F>H>I>J>fin

6+3+4+6+1+2=22 semanas 2+3+3+4+1+2=15 semanas

37

Como se observa en la tabla anterior, la primera trayectoria se define como la ruta crítica

del proyecto.

Ahora para determinar la holgura que tienen las actividades , se deben calcular los tiempos de inicio y terminación más cercanos y más lejanos de cada actividad. IC= tiempo de inicio más cercano para una actividad dada. TC= tiempo de terminación más cercano para una actividad dada. TC=IC+duración (estimada ) de la actividad. Pasada hacia adelante. IC=0 TC=6

IC=6 TC=9

A

6

IC=9 TC=13

C

E

3

4

G G

0 INICIO

IC=13 TC=19 IC=19 TC=20

6 IC=0 TC=0

I

1 4

B

2

3

IC=0 TC=2

D

3

IC=2 TC=5

F

1

IC=20 TC=22 J 2

H

0 FIN

IC=8 TC=12

IC=5 TC=8

Para calcular los tiempos de inicio y terminación más lejanos.

IL= tiempo de inicio más lejano para una actividad dada. TL= tiempo de terminación más lejano para una actividad dada. IL=TL-duración ( estimada ) de la actividad. Pasada hacia atrás. IL=0 TL=6 IL=0 TL=0 0

IL=6 TL=9

A

6

IL=9 TL=13

C 3

IL=13 TL=19

E 4

IL=19 TL=20

G 6

INICIO

1 4 2

B IL=7 TL=9

3

D

3

IL=9 TL=12

F IL=12 TL=15

38

H

IL=15 TL=19

I

IL=20 TL=22 J 2 0 FIN

En un mismo gráfico se representan todos los tiempos: Inicio (más cercano, más lejano) Terminación (más cercano, más lejano) I(0,0) I(6,6) I(9,9) T(6,6) T(9,9) T(13,13) I(0,0) T(0,0) 0

A6

6

C 3

I(13,13) T(19,19)

E 4

I(19,19) I(20,20) T(20,20) T(22,22)

G 6

INICIO

1 4 2

B I(0,7) T(2,9)

D

3 I(2,9) T(5,12)

F

3 I(5,12) T(8,15)

I

H

I(8,15) T(12,19)

J 2 0 FIN

I(20,20) T(22,22)

Para calcular la holgura de cada actividad, construimos la siguiente tabla: Actividad A B C D E F G H I J

Holgura ( TL- TC ) 0 7 0 7 0 7 7 7 0 0

¿ Está en la ruta crítica ? sí no sí no sí no no no sí sí

La holgura nos permite identificar cuales actividades y cuanto pueden retrasarse sin alterar la terminación del proyecto.

Con el análisis hecho hasta aquí, podemos dar respuesta a las primeras seis preguntas planteadas al inicio del tema.

39

2.4 INTERCAMBIOS O TRUEQUES ENTRE TIEMPO Y COSTO. Hasta este momento, hemos concentrado la atención en los aspectos de tiempo del PERT/CPM y en que debe tenerse cuidado para satisfacer una fecha de terminación. No se han analizado los costos de los recursos asociados con cumplir con la fecha de terminación, o con los costos asociados con reducir el tiempo de terminación. En muchas actividades de la red es posible reducir el tiempo de realización, esto con un incremento en su costo de realización. Generalmente se logra al aumentar el número de personas que intervienen en la realización de la actividad, haciendo pagos extras para disminuir una fecha de entrega, utilizando más maquinaria, etc. Sin embargo las actividades no pueden reducirse más allá de cierto límite, sin importar la cantidad de dinero o recursos adicionales que se utilicen. Existe el concepto de quiebre, el cuál se refiere a acelerar cierto número de actividades para reducir la duración de un proyecto a menos de su valor normal. En la siguiente figura se muestra la relación entre tiempo y costo en un proyecto representativo. Cada punto de la curva representa un intercambio de tiempo y costo. Se observa que existe un programa de tiempo mínimo y uno de costo mínimo. Costo del proyecto Programa de tiempo mínimo

Costo mínimo

Programa de costo mínimo

Tiempo mínimo

Tiempo de terminación

Para ilustrar el procedimiento de reducción o compresión del tiempo del proyecto se considera la siguiente red:

[7,5,12] (9,2,14)

5

[12,3,15] (14,2,17)

E A

1

[0,3,3] (0,0,3)

B

2

F C

3

[3,4,7] (3,0,7 ) G

4

[3,6,9] (4,1,10)

[7,6,13] (7,0,13) H

[9,3,12] (10,1,13)

40

D

6

[13,4,17] (13,0,17 )

7

Se tiene que en esta red la ruta crítica es A – B - C – D con un tiempo de duración de 17 días. Para iniciar el proceso de reducción de la red se supone que el costo a 17 días es el mínimo y que para reducir el tiempo es necesario tener incrementos de costo en las actividades. 2.4.1 REDUCCIÓN DE LOS TIEMPOS DE LAS ACTIVIDADES (TIEMPOS DE URGENCIA) Para determinar que actividades deben reducirse y en cuanto, es necesario saber: el costo esperado asociado con cada actividad; el tiempo más breve posible de cada actividad si se aplican el máximo de recursos; el costo esperado para la actividad y asociado con el tiempo más corto posible, se utiliza la siguiente nomenclatura para representar estos factores: tn

Tiempo normal (esperado para cada actividad)

cn

Costo asociado con el tiempo normal de la actividad

tc

Tiempo reducido, el menor tiempo posible para terminar la actividad

cc

Costo de reducción, el costo asociado con el menor tiempo posible

Los valores de los factores anteriores para la red que se considera se dan en la siguiente tabla: Actividad A B C D E F G H

tn

cn

tc

cc

3 4 6 4 5 3 6 3

300 500 1000 600 1200 500 800 900

2 2 3 3 2 3 5 2

360 900 1600 650 1500 500 1050 1200

Con los valores anteriores es posible calcular los costos de reducción por unidad de tiempo, para esto se usa la fórmula: S=

cc − cn t n − tc

Cada actividad tendrá una reducción máxima de tiempo que se calcula t D = tn − tc , los resultados se dan en la siguiente tabla: Actividad A B C D E F G H

tn

cn

tc

cc

tD

3 4 6 4 5 3 6 3

300 500 1000 600 1200 500 800 900

2 2 3 3 2 3 5 2

360 900 1600 650 1500 500 1050 1200

1 2 3 1 3 0 1 1

41

S 60 200 200 50 100 0 250 300

Costo normal

$ 5800

Costo de $ 7760 urgencia Iniciaremos el proceso de reducción de la red, se observa que las actividades A-B-C-D se encuentran sobre la ruta crítica. Dado que la actividad D es la que tiene un menor costo de reducción por unidad de tiempo que es $50, se reduce esta actividad en un día, la red resultante y el costo se dan a continuación:

[7,5,12] (8,1,13)

5

[12,3,15] (13,1,16)

E A

1

[0,3,3] (0,0,3)

B

2

F C

3

[3,4,7] (3,0,7 ) G

4

[3,6,9] (4,1,10)

D

6

[7,6,13] (7,0,13)

7

[13,3,16] (13,0,16)

H Tiempo 16 días

[9,3,12] (10,1,13)

Costo 5800 + 50 5850

Las actividades A-B-C-D siguen estando sobre la ruta crítica y la actividad D se ha reducido al máximo. La siguiente actividad que debemos reducir es la A puesto que se encuentra sobre la ruta crítica y tiene el menor costo de reducción, la reducimos en un día, la red resultante y su costo es:

[6,5,11] (7,1,12)

[11,3,14] (12,1,15)

5 E A

1

[0,2,2] (0,0,2)

B

2

F C

3

[2,4,6] (2,0,6) G

4

[2,6,8] (3,1,9)

[6,6,12] (6,0,12)

D

6

[12,3,15] (12,0,15)

H

[8,3,11] (9,1,12)

Tiempo 15 días Costo 5800 + 60 5910

42

7

La ruta crítica sigue siendo las actividades A-B-C-D pero las actividades A y D se han reducido al máximo, por lo tanto las actividades B y C son elegibles para reducción, las dos tienen el mismo costo de reducción, pero debemos elegir la actividad B puesto que esta reduce el tiempo de dos rutas. La actividad B se puede reducir en 2 días, esto nos indica que es posible reducirla en esa cantidad, pero debemos reducirla solo un día, para evitar tener una red no valida.

[5,5,10] (6,1,11)

5

[10,3,13] (11,1,14)

E A

1

[0,2,2] (0,0,2)

B

2

F C

3

[2,3,5] (2,0,5) G

4

[2,6,8] (2,0,8)

[5,6,11] (5,0,11)

D

6

7

[11,3,14] (11,0,14)

H Tiempo 14 días

[8,3,11] (8,0,11)

Costo 5910 +

200 6110 Con la reducción hecha a la actividad B en un día se han creado dos rutas críticas: A-B-CD y A-G-H-D. Tenemos ahora la posibilidad de considerar las dos rutas críticas para su reducción, si utilizamos el mismo razonamiento, debemos escoger las actividades cuyo costo de reducción de tiempo sea menor, pero debido a que tenemos dos rutas críticas, al disminuir el tiempo en una de ellas también debemos hacerlo en la otra para evitar tener una red no valida. Dado que el costo de reducción de la actividad G es menor que en la H, entonces reducimos esta actividad y al mismo tiempo se reduce la actividad B, la nueva red resultante es:

[4,5,9] (5,1,10)

5

[9,3,12] (10,1,13)

E A

1

[0,2,2] (0,0,2)

B

2

F C

3

[2,2,4] (2,0,4) G

4

[2,5,7] (2,0,7 )

[4,6,10] (4,0,10)

D

6

7

[10,3,13] (10,0,13)

H

[7,3,10] (7,0,10)

Tiempo 13 días Costo 6110 + 200 250 6560

43

Las últimas actividades que son factibles de reducir son C y H, estas se deben reducir en forma simultánea, los resultados se muestran en la siguiente red:

[4,5,9] (4,0,9)

5

[9,3,12] (9,0,12)

E A

1

F

B

2

[0,2,2] (0,0,2)

C

3

[2,2,4] (2,0,4) G

[4,5,9] (4,0,9)

7

[9,3,12] (9,0,12)

H

4

[2,5,7] (2,0,7 )

D

6

Tiempo 12 días

[7,2,9] (7,0,9)

Costo 6560 + 200 300 7060

Al hacer esta reducción todas las rutas son críticas, por lo que al hacer una reducción en una de ellas se debe hacer en todas. Pero todas las actividades de la ruta A-B-C-D se han reducido al máximo, entonces ya no es posible reducir más el tiempo del proyecto.

2.5 INCERTIDUMBRE EN UNA RED PERT/CPM Al aplicar el método PERT/CPM a proyectos de construcción y mantenimiento, es posible contar con estimaciones bastante confiables de los tiempos de duración de las actividades, puesto que generalmente se cuenta con suficiente información histórica de la actividades. Pero en los proyectos de investigación y desarrollo, en los que la tecnología cambia con rapidez y los productos son nuevos, es posible que sea difícil hacer una estimación confiable de los tiempos de duración de las actividades. Para considerar lo anterior, en el método PERT/CPM es posible manejar tres estimaciones del tiempo: El tiempo más probable ( t m ), es el tiempo que se requiere para terminar la actividad en condiciones normales; Tiempo pesimista ( t p ), es el tiempo máximo que se necesita para terminar la actividad si se encuentran demoras considerables y el tiempo optimista ( t o ) es el tiempo mínimo que se requiere para terminar una actividad si todo ocurre en tiempo ideal. Usando las tres estimaciones, es posible calcular el tiempo esperado para la duración de una actividad, mediante la fórmula:

Tiempo(t) o

m

p

te =

t o + 4t m + t p 6 44

Supongamos que en el problema de la red anterior se consideran lo s tiempos siguientes para la estimación de los tiempos esperados: Código

to

tm

tp

te

A B C D E F G H I J

3.0 1.0 1.5 1.2 2.0 1.8 3.0 2.0 0.5 0.8

5.5 1.5 3.0 3.2 3.5 2.8 6.5 4.2 0.8 2.1

11.0 5.0 4.5 4.0 8.0 5.0 7.0 5.2 2.3 2.8

6 2 3 3 4 3 6 4 1 2

Los tiempos estimados de cada actividad se dan en la última columna, estos coinciden con los tiempos utilizados para calcular la ruta crítica.

Con las tres estimaciones de las actividades es posible determinar el grado de incertidumbre que se tiene en terminar el proyecto en el tiempo estimado. Para hacer el cálculo de la probabilidad se deben calcular la varianza del tiempo de cada una de las actividades, usando la ecuación:

 t p − to     6 

2

σ 2 t = 

Las varianzas de las actividades se dan en la tabla: Actividad

Varianza

A B C D E F G H I J

1.78 0.44 0.56 0.22 1.00 0.28 0.44 0.28 0.09 0.11

45

A partir de estos datos podemos determinas cuales actividades son las que tienen mayor variabilidad. Al calcular la ruta crítica se utilizaron los tiempos esperados de duración para los tiempos de la actividades, en realidad lo que se obtuvo fue una duración esperada para el proyecto, puesto que cada actividad varíe en su tiempo de duración en vez de que sea fija. El tiempo de terminación del proyecto será variable y en particular si existen variaciones considerables en las actividades de la ruta crítica. Si las variaciones en los tiempos de las actividades de la ruta crítica dan como resultado uno o más de los tiempos sean mayores que los esperado, entonces el tiempo de terminación del proyecto será mayor a lo esperado, por el contrario, si los tiempos de las actividades de la ruta crítica da como resultado variabilidad menor a al esperado, es muy probable que se termine el proyecto en el tiempo esperado. La variabilidad del proyecto se calcula sumando las varianzas de las actividades que se encuentran sobre la ruta crítica, para el ejemplo:

σ 2 = σ 21 A + σ 2 tC + σ 2 tE + σ 2 tG + σ 2 tI + σ 2 tJ σ 2 = 1.78 + 0.56 + 1.00 + 0.44 + 0.09 + 0.11 = 3.98 La desviación estándar del proyecto es σ = 3.98 ≈ 2 semanas.

Si consideramos que la distribución de los tiempos sobre la ruta crítica se puede aproximar usando la Distribución Normal, es posible calcular probabilidades para diferentes tiempos de terminación, por ejemplo, ¿Cuál seria la probabilidad de terminar el proyecto en un tiempo de 26 semanas? Tomando como valor medio el tiempo de la ruta crítica µ = 22 y como el valor de la variable aleatoria x ≤ 26 , entonces se quiere P( x ≤ 26) , usando la fórmula para estandarizar valores de la distribución normal:

z= z=

x−µ

σ

26 − 22 =2 2

Tenemos que calcular el área bajo la curva normal mostrada.

46

2 2

2 6

0

2

La probabilidad de terminar el proyecto en menos de 26 semanas es:

P( x ≤ 26) = P ( z ≤ 2) = 0.5 + 0.4772 = 0.9772 = 97.72%

Esto nos indica que es bastante probable terminar el proyecto en un tiempo de 26 semanas o menos.

47

2.6 DESARROLLO Y SOLUCION DE UN PROBLEMA . USANDO PERT/CPM.

La compañía RELIABLE CONSTRUCTION acaba de ganar una licitación de $ 5.4 millones de dólares para construir una nueva planta para un fabricante importante. El fabricante necesita que la planta esté en operación en un año. Por lo tanto, el contrato incluye las siguientes cláusulas: •

Una multa de $ 300 000 dólares si Reliable no termina la construcción en el término de 47 semanas a partir de ahora.

•

Para proporcionar un incentivo adicional por la construcción rápida, se pagará un bono de $ 150 000 si la planta queda terminada en 40 semanas.

Primeramente se centrará la atención en cumplir con el tiempo límite de 47 semanas para terminar el proyecto.

A continuación se muestra la Tabla de actividades, predecesores y su duración :

Actividad A B C D E F G H I J K L M N

Descripción

Predecesores inmed.

Excavación Colocar cimientos Levantar paredes Colocar el techo Plomería exterior Plomería interior Aplanados exteriores Pintura exterior Cableado eléctrico Aplanados interiores Colocar pisos Pintura interior Colocar accesorios ext. Colocar accesorios int.

A B C C E D E,G C F,I J J H K,L

48

Duración estimada 2 semanas 4 “ 10 “ 6 “ 4 “ 5 “ 7 “ 9 “ 7 “ 8 “ 4 “ 5 “ 2 “ 6 “

La red del proyecto correspondiente es: Usando el criterio AON ( actividades en los nodos ).

INICIO

0

A

2

A

D

G

6

B

4

C

10

E

7

J

8

4

7

H

I

F

5

9 K

M

L

4

2

N

TERMINACION

49

0

6

5

Para determinar cuál es la ruta crítica, se analizan las trayectorias y sus longitudes. A continuación se da la Tabla que contiene dichos conceptos:

Trayectoria

Longitud

INICIO

A

B

C

D

G

H

M

INICIO

A

B

C

E

H

M

INICIO

A

B

C

E

F

J

INICIO

A

B

C

E

F

J

L

N

INICIO

A

B

C

I

J

K

N

TERMINACION

INICIO

A

B

I

J

L

C

TERMINACION

2+4+10+6+7+9+2

=40 semanas

TERMINACION

2+4+10+4+9+2

=31 semanas

K

2+4+10+4+5+8+4+6 =43 semanas

N

N

TERMINACION

TERMINACION 2+4+10+4+5+8+5+6 =44 semanas

TERMINACION

2+4+10+7+8+4+6

=41 semanas

2+4+10+7+8+5+6

=42 semanas

Se observa que la trayectoria INICIO A B C E F J L N TERMINACION tiene la mayor duración de tiempo ( 44 semanas ), por lo cual es la ruta crítica.

Siguiendo con la secuencia del análisis, ahora se construye un diagrama que contempla los tiempos de inicio y terminación más cercanos, bajo la siguiente regla: El tiempo de inicio más cercano de una actividad es igual al mayor de los tiempos de terminación más cercanos de sus predecesores inmediatos. En símbolos, IC=TC mayor de los predecesores inmediatos. Además: TC=IC+ duración de la actividad.

A este proceso se le denomina “corrida hacia adelante”.

50

INICIO

0

A

IC=0 TC=2

2

A

B

C

IC=16 TC=22

D

IC=22 TC=29

G

6

IC=2 TC=6

4

IC=6 TC=16

10

E

7

J

8

F

5

IC=20 TC=25 IC=29 TC=38

H

IC=16 TC=23

IC=16 TC=20

4

7

I

IC=25 TC=33

9 K

L

4

IC=33 TC=38

IC=33 TC=37 IC=38 TC=40

M

5

2

N

6 IC=38 TC=44

TERMINACION

51

0

IC=44 TC=44

Posteriormente se analizan los tiempos de inicio y terminación más lejanos a lo que comúnmente se le denomina “ corrida hacia atrás “. Las reglas son: El tiempo de terminación más lejano de una actividad es igual al menor de los tiempos de inicio más lejanos de sus sucesores inmediatos. En símbolos, TL=IL menor de los sucesores inmediatos. IL=TL-duración de la actividad. Por lo cual, el diagrama es el siguiente:

INICIO

IL=0 TL=0

0

A

2

IL=0 TL=2

4

IL=2 TL=6

A

B

C

IL=20 TL=26

D

IL=26 TL=33

G

6

IL=6 TL=16

10

E

7

J

8

F

5

IL=20 TL=25 IL=33 TL=42

H

IL=18 TL=25

IL=16 TL=20

4

7

I

IL=25 TL=33

9 K

L

4

IL=33 TL=38

IL=34 TL=38 IL=42 TL=44

M

5

2

N

6 IL=38 TL=44

TERMINACION

52

0

IL=44 TL=44

Cuando ya se conocen los tiempos de inicio y terminación más cercanos y más lejanos, respectivamente, éstos se pueden plasmar en otro diagrama como el que se muestra a continuación:

INICIO

0

A

2

I=(0,0) T=(2,2)

4

I=(2,2) T=(6,6)

A

B

C

I=(16,20) T=(22,26)

D

I=(22,26) T=(29,33)

G

6

I=(0,0) T=(0,0)

10

E

I

7

J

8

F

5

I=(20,20) T=(25,25) I=(29,33) T=(38,42)

H

I=(16,18) T=(23,25)

I=(16,16) T=(20,20)

4

7

I=(6,6) T=(16,16)

9 K

I=(25,25) T=(33,33)

L

4

I=(33,33) T=(38,38)

I=(33,34) T=(37,38) I=(38,42) T=(40,44)

M

5

2

N

6 I=(38,38) T=(44,44)

TERMINACION

53

0

I=(44,44) T=(44,44)

Para determinar la holgura de cada una de las actividades del proyecto, debemos considerar que: holgura=TL-TC.

Actividad

Holgura

A B C D E F G H I J K L M N

0 0 0 4 0 0 4 4 2 0 1 0 4 0

¿ Está en la ruta crítica ? sí sí sí no sí sí no no no sí no sí no sí

Se observa que todas las actividades que pertenecen a la ruta crítica, tienen como holgura cero. Con el análisis hecho hasta ahora surge la pregunta, ¿ cuál es la probabilidad de terminar el proyecto a tiempo ( 47 semanas ) ?. Ya que de no hacerlo, se incurriría en una multa. Considerando que la duración real de las actividades es la que se estimó desde un principio, cuando menos para las actividades de la ruta crítica. En la práctica se considera que la duración de cada actividad es una variable aleatoria que tiene alguna Distribución de Probabilidad. El método PERT toma en cuenta la incertidumbre con el cálculo de tres tipos de estimaciones para la duración de una actividad a fin de obtener información básica acerca de su distribución de probabilidad. Estas son: Estimación más probable ( m )= estimación del valor más probable de la duración. Estimación optimista ( o ) = estimación de la duración en condiciones más favorables . Estimación pesimista ( p )= estimación de la duración en condiciones más desfavorables. Como se mostró en el esquema de la página 46, las estimaciones optimista y pesimista se encuentran hacia los extremos de la distribución, mientras que la más probable proporciona un punto alto de la distribución. PERT también supone que la forma de la distribución de probabilidad es la de una Distribución Beta a la cuál se apega dicho esquema.

54

Para calcular la media y la varianza de la Distribución de Probabilidad Beta, se usan las

o + 4m + p  p−o 2 y σ =  , respectivamente. 6  6  2

µ=

siguientes dos fórmulas:

En la práctica se requiere consultar a los responsables de las brigadas que trabajan en cada actividad para que proporcionen la información referente a estas tres estimaciones. A continuación se muestra la Tabla que las contiene para el problema en cuestión:

Actividad

Estimación

Estimación más

optimista (o) aproximada (m) A B C D E F G H I J K L M N

1 2 6 4 1 4 5 5 3 3 4 1 1 5

Estimación

Media

pesimista ( p )

2 3½ 9 5½ 4½ 4 6½ 8 7½ 9 4 5½ 2 5½

3 8 18 10 5 10 11 17 9 9 4 7 3 9

(

µ)

2 4 10 6 4 5 7 9 7 8 4 5 2 6

Varianza (

σ2) 1/9 1 4 1 4/9 1 1 4 1 1 0 1 1/9 4/9

Si se construye una tabla que contenga las trayectorias y sus longitudes a través de la red del proyecto cuando la duración de cada actividad es igual a la estimación pesimista

Trayectoria

Longitud

INICIO

A

B

C

D

G

H

M

INICIO

A

B

C

E

H

M

TERMINACION

3+8+18+5+17+3

INICIO

A

B

C

E

F

J

K

3+8+18+5+10+9+4+9 =66 semanas

INICIO

A

B

C

E

F

J

L

N

INICIO

A

B

C

I

J

K

N

TERMINACION

INICIO

A

B

I

J

L

C

TERMINACION

N

N

TERMINACION

3+8+18+10+11+17+3 =70 semanas =54 semanas

TERMINACION 3+8+18+5+10+9+7+9 =69 semanas

TERMINACION

55

3+8+18+9+9+4+9

=60 semanas

3+8+18+9+9+7+9

=63 semanas

La ruta crítica media es la ruta a través del proyecto que sería la ruta crítica si la duración de cada actividad fuera igual a su media. Por lo cual la ruta crítica media de la red del B C E F J L N TERMINACION proyecto es INICIO A Para analizar la Distribución de Probabilidad de la duración del proyecto, es necesario conocer tres atributos de ella: 1.- Su media. La cual se considera como la suma de medias de las duraciones para las actividades en la ruta crítica media y se simboliza con µ p . 2.- Su varianza. Esta es la suma de varianzas de las duraciones para las Actividades en la ruta crítica media. Se simboliza con

σ p2 .

3.- Su forma. Se puede suponer que es la de una distribución normal.

Actividades en la ruta crítica media

Media

Varianza

A B C E F J L

2 4 10 4 5 8 5

1/9 1 4 4/9 1 1 1

N

6

4/9

µ p = 44

Duración del proyecto

σ 2p = 9

Para obtener una aproximación de la probabilidad de cumplir con la fecha de entrega del proyecto, ahora utilizaremos los valores calculados: T= duración del proyecto ( en semanas ), que tiene una Distribución Normal con

µ p = 44 y

σ 2p = 9. d= fecha de entrega del proyecto= 47 semanas.

Ka =

d −µ p

σp

Con el valor

=

47 − 44 =1 3

K a =1 se lee en la Tabla de la Distribución Normal para el área bajo la curva

de probabilidades y se obtiene el valor 0.1587, el cual se debe restar a 1.000 lo que da aproximadamente 0.84.

56

Simbólicamente se representa por:

P(T ≤ d ) = P(normal estàndar ≤ K a ) = 1 − P(normal estàndar > K a ) = 1 − 0.1587 ≈ 0.84

Este valor de 84 % no deja de ser una mera aproximación de la probabilidad de cumplir con el proyecto en el tiempo pactado, ya que fue obtenido con valores medios y en la práctica esto puede implicar que haya solo de un 70 a 80 % de posibilidad. Por lo anteriormente expuesto, quién administra el proyecto, en lugar de correr un riesgo significativo de que la compañía incurra en una multa de $ 300 000, debe decidir investigar cuánto costaría reducir la duración del proyecto a cerca de 40 semanas. Si el trueque entre tiempo y costo es favorable, la compañía quizá pueda ganar el bono de $ 150 000 ofrecido por terminar a más tardar en 40 semanas. Si se determina gastar más dinero para acelerar el proyecto, ¿ cuál es la manera menos costosa de intentar cumplir con el tiempo de terminación fijado ?. En la mayoría de las aplicaciones, se supone que una actividad con quiebre parcial en cualquier nivel dará una combinación de tiempo y costo que está en algún punto del segmento de recta entre estos dos puntos. Costo de la actividad Costo de quiebre

Quiebre

Costo Normal

Normal

Tiempo de Quiebre

Tiempo normal

Duración de la actividad

Para contestar esta última pregunta, es necesario conocer datos adicionales sobre las actividades del proyecto. Por ejemplo el supervisor de la brigada responsable de colocar los aplanados indica que si agrega dos empleados temporales y usa tiempo extra podrá reducir la duración de esta actividad de 8 a 6 semanas, que es el mínimo posible. Por lo cual la estimación del costo de un quiebre completo se hace bajo las siguientes consideraciones:

57

Actividad J ( colocar aplanados ) Punto normal: tiempo= 8 semanas, costo= $ 430 000. Tiempo de quiebre: tiempo=6 semanas, costo=$490 000. Reducción máxima en tiempo= 2 semanas. Costo de quiebre por semana ahorrada=

$490000 − $430000 = $30000 2

A continuación se muestra la Tabla que contiene dicha información adicional: Tiempo Costo Actividad Normal Quiebre Normal Quiebre A 2 semanas 1 semana $180 000 $ 280 000 B 4 semanas 2 semanas $320 000 $ 420 000 C 10 semanas 7semanas $620 000 $ 860 000 D 6 semanas 4 semanas $260 000 $340 000 E 4 semanas 3 semanas $410 000 $ 570 000 F 5 semanas 3 semanas $180 000 $ 260 000 G 7 semanas 4 semanas $900 000 $1020 000 H 9 semanas 6 semanas $200 000 $380 000 I 7 semanas 5 semanas $210 000 $ 270 000 J 8 semanas 6 semanas $430 000 $ 490 000 K 4 semanas 3 semanas $160 000 $ 200 000 L 5 semanas 3 semanas $250 000 $ 350 000 M 2 semanas 1 semana $100 000 $200 000 N 6 semanas 3 semanas $ 330 000 $ 510 000

Máxima reducción 1 semana 2 semanas 3 semanas 2 semanas 1 semana 2 semanas 3 semanas 3 semanas 2 semanas 2 semanas 1 semana 2 semanas 1 semana 3 semanas

Costo de quiebre por semana ahorrada $ 100 000 $ 50 000 $ 80 000 $ 40 000 $ 160 000 $ 40 000 $ 40 000 $ 60 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 40 000 $ 50 000 $ 100 000 $ 60 000

¿ Qué actividades deben acelerarse ?. Al sumar las columnas de costo normal y costo de quiebre de la tabla anterior, se obtiene: Suma de costos normales= $ 4 550 000. Suma de costos de quiebre=$ 6 150 000. Recordando que la compañía recibirá $ 5.4 millones por realizar este proyecto ( esta cifra excluye el bono de $ 150 000 por terminar en 40 semanas y la multa de $ 300 000 por no terminar en 47 semanas ). Además en la compañía se debe haber contemplado una ganancia considerable por el proyecto, si los costos de las actividades se pudieran mantener cercanos a los $ 4.55 millones. Como se vio anteriormente, si todas las actividades se realizan de manera normal, la duración prevista del proyecto sería de 44 semanas ( si pueden evitarse los retrasos ). Si todas las actividades tuvieran un quiebre completo, un cálculo similar encontraría que esta duración se reduciría a 28 semanas. Pero el costo de hacerlo sería prohibitivo ( $ 6.15 millones ), es claro que la aceleración completa de todas las actividades no es una opción a considerar.

58

¿ Cuál es la manera menos costosa de acelerar algunas actividades para reducir la duración ( estimada ) del proyecto al nivel especificado ( 40 semanas ) ?. Una técnica para resolver este problema es el análisis de costo marginal, que usa la última columna de la tabla anterior. Para ello lo más conveniente es construir una nueva tabla que enumere las rutas a través del proyecto y la longitud actual de cada una:

Actividad de quiebre

Costo de quiebre

Longitud de la ruta ABCDGHM ABCEHM ABCEFJKN ABCEFJLN ABCIJKN ABCIJLN 40 31 43 44 41 42

Como la cuarta trayectoria en la tabla es la más larga ( 44 semanas ), la única forma de reducir la duración del proyecto una semana es reducir la duración de las actividades en esta ruta una semana. Al comparar el costo de quiebre por semana ahorrada, el costo menor es $ 30 000 para la actividad J. Nótese que la actividad I con este mismo costo no está en esta ruta. Por lo tanto , el primer cambio es acelerar la actividad J lo suficiente para reducir su duración una semana. Este cambio da como resultado una reducción en la longitud de cada trayectoria que incluye la actividad J ( tercera, cuarta, quinta y sexta rutas ) una semana, como se muestra en el segundo renglón de la siguiente tabla. Como la cuarta ruta todavía es la más larga ( 43 semanas ), se repite el proceso para encontrar la actividad en ella que cuesta menos acortar. De nuevo es la actividad J, como ya que se indicó que esta actividad permite una reducción máxima de 2 semanas Esta segunda reducción de una semana en la actividad J lleva al tercer renglón de la tabla siguiente. La cuarta trayectoria todavía es la más larga ( 42 semanas ), pero la actividad J no puede acelerarse más. Entre las otras actividades de esta ruta, la F es ahora la de reducción menos costosa ( $ 40 000 por semana ). Por lo cual se acelera una semana esta actividad y se obtiene el cuarto renglón y debido a que la actividad permite una segunda reducción, se obtiene el último renglón de la tabla, en la cual se observa que la primera, cuarta y sexta ruta tienen duración de 40 semanas que es lo deseado. Actividad de quiebre

Costo de quiebre

J J F F

$ 30 000 $ 30 000 $ 40 000 $ 40 000

Longitud de la ruta ABCDGHM ABCEHM ABCEFJKN ABCEFJLN ABCIJKN ABCIJLN 40 31 43 44 41 42 40 31 42 43 40 41 40 31 41 42 39 40 40 31 40 41 39 40 40 31 39 40 39 40

Si queremos seguir reduciendo el tiempo en las actividades, se deben revisar las otras tres rutas y determinar cuáles son las actividades que presenten menores costos de reducción. El proceso de reducción de las actividades J y F, tienen un costo de $ 140 000 que es un poco menos que el bono de $ 150 000 por terminar a más tardar en 40 semanas.

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Reducir las actividades J y F a sus tiempos de quiebre conduce a tener tres rutas críticas a través de la red, como se muestra a continuación:

INICIO

0

A

2

I=(0,0) T=(2,2)

4

I=(2,2) T=(6,6)

A

B

C

I=(16,20) T=(22,22)

D

I=(22,22) T=(29,29)

G

6

I=(0,0) T=(0,0)

10

E

I

7

J

8

F

5

I=(20,20) T=(23,23) I=(29,29) T=(38,38)

H

I=(16,16) T=(23,23)

I=(16,16) T=(20,20)

4

7

I=(6,6) T=(16,16)

9 K

I=(25,25) T=(29,29)

L

4

I=(29,29) T=(34,34)

I=(29,30) T=(33,34) I=(38,38) T=(40,40)

M

5

2

N

6 I=(34,34) T=(40,40)

TERMINACION

60

0

I=(40,40) T=(40,40)

Existe otra opción para determinar la manera menos costosa de reducir actividades en un proyecto, la denominada formulación de un Modelo de Programación Lineal que consiste básicamente en el proceso de maximización y minimización de funciones con más de una variable. Este proceso involucra la aplicación de matrices ( Procesos de Investigación de Operaciones ). La siguiente etapa en el análisis del problema es el manejo de los costos de las actividades, lo cual requiere de una planeación y supervisión escrupulosa a medida que se van realizando las actividades. Este proceso lo contempla esa parte llamada CONTABILIDAD DE COSTOS.

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Cristina Phillips está a cargo de la planeación y coordinación del programa de capacitación para administración de ventas. Cristina ha enumerado la siguiente información de actividades para este proyecto:

Actividad

Descripción de la actividad

Predecesores inmediatos

A B C D E

Elegir lugar Obtener oradores Plan de viaje de oradores Preparar y enviar folleto Aceptar reservaciones

A,B A,B D

Duración estimada 2 semanas 3 semanas 2 semanas 2 semanas 3 semanas

Construya la red del proyecto para este caso.

2.- Reconsidere el problema anterior. Cristina a hecho una planeación mas detallada para este proyecto y ahora tiene la siguiente lista extendida de actividades:

Actividad

Descripción de la actividad

A B C D E F G H I J K

Predecesores inmediatos

Elegir lugar Obtener oradores clave Obtener otros oradores Plan de viaje de oradores clave Plan de viaje de otros Oradores Contratar comidas Negociar tarifas hoteles Preparar folleto Preparar y enviar folleto Aceptar reservaciones Preparar material didáctico

Construya la nueva red del proyecto.

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Duración estimada

B A,B

2 semanas 1 semanas 2 semanas 2 semanas

A,C

3 semanas

A A C,G H I C,F

2 semanas 1 semanas 1 semanas 1 semanas 3 semanas 4 semanas

3.- Construya la red de proyecto para un proyecto con la siguiente lista de actividades:

Actividad

A B C D E F G H I J K L M N

Predecesores inmediatos

Duración estimada

A B B B C D,E F G,H I I J K L

1 mes 2 meses 4 meses 3 meses 2 meses 3 meses 5 meses 1 mes 4 meses 2 meses 3 meses 3 meses 5 meses 4 meses

4.- Usted y varios amigos planean preparar una cena de lasaña. Las tareas a realizar, sus Predecesores inmediatos y sus duraciones estimadas son las siguientes:

Tarea

A B C D E F G H I J K L

Descripción de la tarea

Tarea que debe preceder

Comprar queso Rebanar el queso A Batir dos huevos Mezclar huevos y queso C Rebanar cebollas y hongos Cocinar la salsa de tomate E Hervir bastante agua Cocinar la pasta G Escurrir la pasta H Unir los ingredientes I,F,D,B Precalentar el horno Hornear la lasaña J,K

Tiempo

30 minutos 5 minutos 2 minutos 3 minutos 7 minutos 25 minutos 15 minutos 10 minutos 2 minutos 10 minutos 15 minutos 30 minutos

a) Construya la red de proyecto para preparar la cena. b) Encuentre todas las trayectorias y longitudes a través de la red. ¿ Cuál es la ruta Crítica ?. c) Encuentre el tiempo de inicio más cercano y de terminación más cercano para cada Actividad.

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d) Encuentre el tiempo de inicio más lejano y de terminación más lejano para cada actividad. e) Encuentre la holgura para cada actividad. ¿ Cuál de las trayectorias es la ruta crítica ?. f) Por una llamada telefónica, tuvo una interrupción de 6 minutos cuando debió haber estado cortando las cebollas y hongos. ¿ Cuánto se retrasará la cena ?. Si usa el procesador de alimentos, que reduce el tiempo de corte de 7 a 2 minutos, ¿ todavía está atrasada la cena ?.

5.-

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BIBLIOGRAFIA

1.- Investigación de Operaciones Hillier y Lieberman Mc Graw Hill. Séptima Edición. 2.- Modelos Cuantitativos para Administración. Davis/McKeown Grupo Editorial Iberoamérica. 3.- Métodos de Investigación de Operaciones. Juan Prawda Editorial Limusa. 4.- Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa Eppend Gould Editorial Prentice-Hall 5.- Investigación de Operaciones G. T. Stevens Editorial Mc Graw-Hill 6.- Fundamentos de Investigación de Operaciones Robert Thieraut Editorial Limusa 7.- Investigación de Operaciones Taha Editorial Representaciones y Servicios de la Ingeniería

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