GUÍA DOCENTE

BACHILLERATO GENERAL UNIFICADO

ÁREA DE MATEMÁTICA

SEGUNDO CURSO - BLOQUE UNO

Contenido Introducción del bloque de Números y Funciones

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Verificación de prerrequisitos

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Ejemplo didáctico para empezar el estudio de la función racional

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Ejercicio para tarea.

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Evaluación.

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Proyecto: diseño de una caja

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Recursos Web recomendados

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Glosario de términos

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Introducción del bloque de Números y Funciones El conjunto de los números reales es nuestro conjunto universo y es la base sobre la cual se desarrolla la gran pirámide que constituye el mundo matemático. Ahora bien, en la educación básica, los estudiantes desarrollan progresivamente la noción de número hasta llegar a tratar con el conjunto de números reales, sus operaciones básicas y propiedades. Los estudiantes deben profundizar el conocimiento de este conjunto utilizándolo en la resolución de problemas algebraicos. El concepto de función es, posiblemente, el más importante en Matemática; difícilmente, se puede representar un fenómeno sin el auxilio de este concepto. Los estudiantes parten y amplían el conocimiento previo de funciones, desarrollado en primero de bachillerato. Las destrezas adquiridas en el estudio del álgebra, la manipulación de expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones son cimientos que facilitan el estudio del concepto de función. Se integra lo anteriormente aprendido la noción de función, que incluye sus diversas representaciones (tabla, gráfica y ley de asignación), el estudio del dominio y el recorrido y el análisis de las variaciones. La solución de las ecuaciones debe comprenderse como el método para encontrar un cero o la imagen de una función. En el presente curso, se estudiarán diferentes clases de funciones tales como la función polinomial, racional y trigonométrica (llamadas elementales) y sus características, las mismas que nos permiten interpretar y conocer el mundo: comportamiento y evolución en la economía, predicciones y estimaciones, tiempos y velocidades, entre otros. Este bloque es fundamental para la preparación de los estudiantes hacia estudios universitarios. En este curso los objetivos para este bloque son: · Aplicar modelos de funciones polinomiales (lineales y cuadráticas), racionales, con radicales o trigonométricas en la resolución de problemas. · Reconocer cuándo un problema puede ser modelado mediante una función lineal, cuadrática o trigonométrica. · Comprender conceptos de dominio, de recorrido (rango) y de función mediante la utilización de tablas, gráficas, una ley de asignación y relaciones matemáticas (por ejemplo, ecuaciones algebraicas). · Determinar al conjunto solución de ecuaciones e inecuaciones que contengan expresiones polinomiales, racionales, con radicales y trigonométricas; y reconocerlo como un subconjunto de los números reales. · Determinar el comportamiento local y global de función (de una variable) polinomial, racional, con radicales, trigonométricas, o de una función definida a trozos o por casos mediante funciones de los tipos mencionados, a partir del análisis de su dominio, recorrido, monotonía, simetría, concavidad, extremos, asíntotas, intersecciones con los ejes y sus ceros. · Operar (suma, resta, multiplicación, división, composición e inversión) con funciones (de una variable) polinomiales, racionales, con radicales, trigonométricas, o aquellas definidas por trozos o casos mediante funciones de los tipos mencionados. · Utilizar las TIC con el objetivo: a) Graficar funciones polinomiales, racionales, con radicales y trigonométricas. b) Manipular el dominio y el recorrido (rango) para producir gráficas. c) Analizar las características geométricas de funciones polinomiales, con radicales y trigonométricas (intersecciones con los ejes, monotonía, extremos y asíntotas).

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Verificación de prerrequisitos Antes de empezar el desarrollo de destrezas con criterios de desempeño es importante verificar los conocimientos previos y los prerrequisitos. Para esto, se puede elaborar una prueba de diagnóstico, una lista de cotejo a partir de la observación del desempeño del los estudiantes o formar grupos para emular el programa de televisión ¿Quién quiere ser millonario? Para lo cual se debe elaborar una batería suficiente de preguntas (esta estrategia también puede usarse al final de un proceso). Para iniciar el estudio del bloque 1, se recomienda que desarrolle junto con sus alumnos las siguientes actividades, encaminadas a verificar y afirmar los conocimientos previos. Tome en cuenta que, en general, ningún aprendizaje puede desarrollarse sin una base previa de conocimientos. La nivelación de prerrequisitos garantiza un avance homogéneo de todo el grupo, es conveniente hacerlo al inicio del año escolar, ya que si no se lo hace aquí, a medida que avance el tiempo la diferencia de conocimientos entre unos y otros alumnos se incrementa. Es importante mencionar que si el docente identifica debilidad en algunos tópicos tratados en el año anterior, puede crear nuevos ejercicios, tomando como base los que se proponen a continuación (se puede recurrir a un simple cambio de datos). Encuentra los valores de y coordenadas (1, 8) y (-2, 3).

para que la función ( ) =

−

pase por los puntos de

Solución Reemplazamos el valor de las coordenadas de los puntos en la expresión dada ( ) = , así: (1) = 8 ⇒ 8 =

Con el punto (1, 8) se tiene

−

Con el punto (-2, 3) se tiene (−2) = 3 ⇒ 3 = −2 Restando las ecuaciones

1-

se2 tiene 5 = 3

m en la ecuación 1 se tiene 8 = −

⇔

−

1

− ⇔

2

=

=−

Luego de este proceso se sugiere escribir la expresión completa de la función. Por último trazar en un plano cartesiano la representación gráfica de la misma. De este ejemplo se pueden generar una serie de ejercicios similares que permitan un repaso de la función lineal, sus elementos y características.

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Un malabarista sobre un monociclo, lanza una pelota verticalmente hacia arriba en el aire. La altura, a metros de la pelota por encima del suelo después de t segundos se puede representar por la expresión a = 2 + 9t – 3t2, t ³ 0 1) Encuentra la altura inicial de la pelota por encima del suelo (es decir, su altura en el instante en que se libera la pelota) 2) Demuestre que la altura de la pelota después de un segundo es de 8 metros. 3) En un momento (tiempo t) posterior, la pelota de nuevo se encuentra a una altura de 8 metros: (a) Escriba una ecuación que t (el tiempo) debe satisfacer cuando el balón está a una altura de 8 metros. (b) Resuelve la ecuación algebraica. Solución:

(1) Para encontrar la altura inicial de la pelota, se asume que t = 0 s, es decir, en este instante la pelota está a punto de salir de las manos del malabarista. Entonces, reemplazamos esta información en la expresión a = 2 + 9t – 3t2 a = 2 + 9 × 0 – 3 × 02 = 2 a=2m Esto significa que antes de ser liberada la pelota, está se encuentra a una altura de 2 m respecto del piso.

(2) Igual que en el caso anterior, reemplazamos t=1 en la expresión a = 2 + 9t – 3t2 a = 2 + 9 × 1 – 3 × 12 = 10 a=8m Con esto se ratifica que cuando ha transcurrido un segundo, la pelota se encuentra a 8 metros del piso.

(3) Ahora la información que se tiene es la altura y reemplazando este dato en la expresión a = 2 + 9t – 3t2 se tiene: (a)

a = 8 m 8 = 2 + 9t – 3t2

La expresión encontrada es una ecuación de segundo grado cuya variable es el tiempo. Resolviendo se tiene (b)

3t2 – 9t + 6 = 0 3(t2 (t – 2)(t – 1) = 0

–

3t

+

2)

=

0

t = 2 s, o t =1s. Esto nos indica que la pelota está a una altura de 8 metros para dos instantes, una al subir (t =1s) y otra al bajar (t = 2 s).

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El boceto muestra parte de la gráfica de la curva y = a (x – h)2 + k, donde a, h, k Î

.

(a) El vértice esta en el punto (3, 1). Reconozca en él los valores de h y de k. (b) Si conocemos que el punto P tiene por coordenadas (5, 9). Muestre que el valor de a = 2. (c) A partir de los literales anteriores muestre que la ecuación de la curva se puede escribir como y = 2x2 – 12x + 19.

Solución (a) Puesto que las coordenadas del vértice son (h,k) y las coordenadas indicadas (3,1) tenemos que h=3, k=1. (b) Reemplazamos los valores de h, k en la expresión y = a (x – h)2 + k, tenemos y = a (x –3)2 + 1, luego las coordenadas del punto (5,9) 9=a (5-3)2+1 9=4a+1 a=2 Con esto queda verificado que a=2 conocidos el vértice y el punto (5,9). (c) En la expresión y = a (x – h)2 + k reemplazamos los valores de a=2, h=3y y=9 y = 2 (x – 3)2 + 1 desarrollando el cuadrado de la diferencia se tiene que y = 2 (x2 - 6x + 9) + 1 reduciendo términos, nos queda y = 2 x2 - 12x + 19. Así se demuestra que la ecuación de la curva representada es y = 2 x2 - 12x + 19.

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Considerando la siguiente función ( ) = 3 − 6 + 7. (a) Exprese ( ) en la forma ( − ℎ ) + , donde , ℎ, ∈ ℤ . (b) Para el gráfico de ( ) escriba: à Las coordenadas del vértice. à La ecuación del eje de simetría. (c) Encuentre las coordenadas de la intersección con el eje vertical. (d) Realice el gráfico de ( ), mostrando claramente el vértice, los puntos de corte con los ejes coordenados y la representación del eje de simetría.

Solución (a) Escribimos la función ( ) = 3 − 6 + 7 de la forma ( ) = ( − ℎ ) + completando el trinomio cuadrado perfecto. En la expresión dada, extraemos el factor común 3 ( ) = 3(

− 2 + 7/3)

Completamos el trinomio cuadrado perfecto con los dos primeros términos del paréntesis. Para ello, añadimos un cero conveniente (en este caso 1 − 1) ( ) = 3(

− 2 + 1 − 1 + 7/3)

los tres primeros términos (

− 2 + 1) forman el trinomio buscado

( ) = 3(( − 1) − 1 + 7/3) reduciendo términos se tiene ( ) = 3(( − 1) + 4/3) operando se concluye que ( ) = 3( − 1) + 4 (b) De lo anterior se deduce que las coordenadas del vértice son (1,4) y la ecuación del eje de simetría es x=4, esta ecuación se la puede determinar con usando la fórmula

=

.

(c) Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de la función con el eje vertical, es suficiente reemplazar el valor de x=0 en la expresión f(x). Con esto se obtiene el punto (0,7) (d) En el siguiente gráfico se observa el vértice de coordenadas (1,4); el punto de corte con el eje vertical de coordenadas (0,7) y el eje de simetría de ecuación x=1.

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Nota: El gráfico puede aprovecharse para indicar los intervalos de monotonía, la simetría, paridad, el uso del discriminante para evidenciar que no hay cortes de la gráfica con el eje horizontal, entre otras características. Para el gráfico que se muestra a continuación, realice el en diferentes diagramas cartesianos, los gráficos de 1. y=f(x+2) 2. y=f(x)-2 3. ½ y=f(x)

Solución Sugerencia: Con el propósito de que las traslaciones y homotecias sean más fáciles de interpretar, se sugiere considerar algunos puntos relevantes de la gráfica para realizar en sus coordenadas la transformación que sugiere cada ejercicio. 1. La expresión y=f(x+2) advierte una traslación horizontal en virtud de que la variable x está afectada por la constante 2. Para ello hay que tomar en cuenta que, el eje de las abscisas se desplaza 2 unidades a la derecha, o lo que es lo mismo, la gráfica se desplaza 2 unidades a la izquierda, así:

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2. La expresión y=f(x)+2 advierte una traslación vertical en virtud de que la variable y (f(x)) está afectada por la constante 2. El gráfico de esta función, es el mismo gráfico de la función f(x), pero desplazada 2 unidades hacia arriba en el eje de las ordenadas tal como se muestra en la gráfica

3. Se puede notar que la expresión ½ y=f(x), es equivalente a y = 2 f(x), lo que advierte una homotecia (contracción). En donde cada valor de f(x) debe ser duplicado para obtener 2f(x). Note que la intersección con el eje horizontal permanece invariable, no se presenta ninguna alteración después de la transformación, esto se debe a que el valor de la coordenada y de ese punto es igual a cero (0=2)

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En este mismo sentido se sugiere trabajar las siguientes transformaciones, con la gráfica propuesta en el ejercicio que se acaba de desarrollar o con una propuesta por usted. =

( ),

=

,

=− ( ) y

= (− ) , entre otras.

En el mismo sistema de ejes cartesianos representa gráficamente ( ) = 5 + 2 y ( ) = 3 continuación, encuentre la solución a los siguientes conjuntos: (1) { : ( ) = ( )}. (2) { : 3 ≤ 5 + 2}

.A

Solución Para graficar las funciones ( ) = 5 + 2 y ( ) = 3 , se puede realizar una tabla de valores y representarlos en un sistema cartesiano en una hoja de papel milimetrado (escoger una escala adecuada), también se puede usar una calculadora gráfica o un software y se obtendrá el siguiente dibujo:

(1) Con base en la observación de la gráfica podemos dar una solución aproximada al pedido { : ( ) = ( )}, conjunto formado por cada elemento del dominio de las funciones ( ) y ( ) que cumple la condición de tener el mismo valor en la ordenada correspondiente. {-¼, 2}. O a su vez dar solución al sistema de ecuaciones de las dos funciones y encontrar los valores para los cuales se cumple la igualdad. Para ello, igualamos las dos funciones y resolvemos la ecuación cuadrática, Así: ( )= 5 +2 ( ) = 3 ( )= ( ) 5 +2=3 ; 0 = 3 − 5 − 2; = 2; = −

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Estos valores = 2 y = − , son los valores para los cuales se cumple la condición ( ) = ( ). En este momento es posible señalar en la gráfica los puntos correspondientes y anotar sus coordenadas. (2) Para resolver este ejercicio, buscamos los valores de x que cumplen la desigualdad ( ) ≤ ( ) en el gráfico anterior

Como se observa, 3 ≤ 5 + 2 se cumple cuando la parábola está debajo de la recta. Esto sucede en el intervalo marcado de rojo en el eje de las x. Para determinar exactamente el intervalo de solución, desarrollamos la desigualdad 3 ≤ 5 + 2 . 3 ≤ 5 + 2, 3 − 5 − 2 ≤ 0, ( − 2) + ≤ 0. Podemos resolver la desigualdad por los siguientes métodos:

Propiedad de monotonía Completación del cuadrado

· Primer método.- El producto ( − 2) + ≤ 0, requiere que los factores sean de distinto signo para que se cumpla la proposición, para ello tenemos dos casos: i) El primer factor negativo y el segundo positivo, así 1 >0 3 1 >− 3

−2≤0

+

≤2 Gráficamente se expresa

>−

≤2 −

2

1 3

Juntando las dos soluciones, buscamos su intersección

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− ≤

−

≤2

1 3

2

La gráfica nos muestra claramente que la solución para el primer caso es ii)

∈ − ,2

El primer factor positivo y el segundo negativo, así 1 0 (lo que busca el joyero es reducir el costo), con lo cual, la gráfica correspondiente al problema se expresa

Indique que, con esta gráfica, ya podemos dar una respuesta aproximada, en este caso la respuesta puede ser x=5. Esto significa que el largo del rectángulo es de 5 cm, reemplazando este valor en la expresión (3) se tiene que y=2,16 cm. Esto implica que la cantidad de material gastado es de 10 cm del material de tipo A (por los dos lados de 5 cm) y 4,32 cm del material de tipo B (por los dos lados de 2,16 cm).

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Ahora reemplazamos estos valores en la expresión de costos y tenemos = 4(5) + 6(2,16) = 4(5) + 6(2,16) = 32,96 Esto significa que al joyero le cuesta 32,96 dólares adornar la placa. Una vez resuelta la situación de aprendizaje, se debe conducir a la conceptualización del conocimiento adquiridos. y para ello se pueden usar varias estrategias. En este caso, usaremos un mentefacto conceptual. El mentefacto conceptual es un organizador mental que permite identificar con claridad la red conceptual de conocimientos y sus relaciones jerárquicas, es decir, identificar el tópico que se ha trabajado en el aula y ubicarlo en relación a otro tópico de mayor jerarquía en el que este se enmarca (supraordenada), señalar las características esenciales del tópico en cuestión (isoordenada), reconocer las posibles subclasificaciones del tópico tratado (infraordenada), para así evitar la confusión con otros tópicos de su misma clase (exclusión). El siguiente esquema resume lo expuesto

Supraordenada

Isoordenada

Concepto

Exclusión

Infraordenada

Antes de realizar el mentefacto correspondiente a la función racional, haga preguntas que guíen a sus estudiantes a determinar las siguientes proposiciones: P1: Las funciones racionales son un tipo de funciones. P2: Las funciones racionales son funciones de la forma f(x)=P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios distintos de cero. P3. Las funciones racionales en su forma algebraica pueden estar expresadas como ( ) ( ) ( )= ( ) = + + ( )

( )

P4: Las funciones racionales no son fracciones.

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Ordenando en el mentefacto tenemos

Funciones Las funciones racionales son funciones de la forma f(x)=P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios distintos de cero.

Función racional

( )=

( ) ( )

f ( x ) = mx + b +

Fracción

r ( x) Q( x )

Ejercicio para tarea. Molde para queso.- Graficar y representar con una función racional la situación en la que un hojalatero tiene que construir un molde de forma cilíndrica para elaborar quesos, sabiendo que el volumen del molde debe ser de dos decímetros cúbicos. Refugio para animales.- Se ha estudiado que para una cierta cantidad de animales rescatados de un desastre natural, se necesita 1000 metros cuadrados de superficie. Para ello se dispone dentro de una hacienda un terreno a orillas de un río y de 5000 dólares para el cerramiento, se ha decidido que el refugio debe tener forma de rectángulo (como se muestra en la R y 1000 m2 imagen), se conoce que cada metro de cerca instalado en el lado í paralelo al rio cuesta 10 dólares y cada metro de cerca instalado en o x los otros dos lados es de 6 dólares. Encuentre las expresiones algebraicas que describen la situación y resuelva el sistema encontrado e interprete la solución (se sugiere graficar en el mismo plano cartesiano la función racional y la recta 1000 = ; 5000 = 10 + 6 ) Recipiente para miel.- Determinar las medidas óptimas para envasar un litro de miel (1 dm3) para esto se han pensado en dos tipos de recipientes, un paralelepípedo de base cuadrada y un cilindro. Evaluación. Antes de sugerir estrategias de evaluación, se debe aclarar que, según Roger Standaert, toda evaluación tiene 4 fases: recopilar, evaluar, decidir y reportar. También indica que si el objetivo es guiar u orientar al estudiante, se trata de una evaluación formativa, en cambio, si el propósito de la evaluación es reunir datos para emitir un certificado o diploma, se trata de una evaluación sumativa. Observemos las similitudes y las diferencias que propone Roger Standaert:

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Para elaborar una evaluación, sea esta formativa o sumativa, es importante considerar cómo hacer preguntas, para ello veamos la siguiente clasificación tomado del libro Aprender a Enseñar de Roger Standaert.

A continuación se señala para cada tipo de pregunta un ejemplo: ·

Pregunta abierta de respuesta corta: ¿De cuántas formas se puede expresar una función racional en su forma algebraica?

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·

Pregunta abierta, largas o extensas. Encuentra el dominio de la función f(x)= 3/(x+2) y elabora un gráfico. ¿Qué semejanzas existen entre la función racional y la función cuadrática?

·

Preguntas cerradas pre-codificadas. En este tipo de preguntas se distinguen las de verdadero y falso y las de opción múltiple. La función racional f(x)=x/(x+1) no está determinada para x=0 verdadero/falso La función racional f(x)=x/(x+1) no está definida para x=-1 verdadero/falso ¿Para qué valores, la función racional f(x)=3/(x2-1) no está definida? a) 2 y -2 b) 1 y -1 c) 0 y -1 d) 0 y 1

·

Preguntas no-precodificadas. Busca la característica que corresponde a cada una de las funciones y escribe la letra correspondiente sobre la línea de puntos Funciones……… Lineal…………… Cuadrática………….. Valor absoluto………. Racional………………..

a) característica b) parábola c) pendiente d) asíntota e) dominio f) recorrido g) híbrida (por partes o a trozos)

Escribe la función a la que corresponda las siguientes expresiones ¨ ¨ ¨ ¨

f(x)=x/2 f(x)=x2/x f(x)=x/x2 f(x)=(x2+2)/7

A Lineal B Cuadrática C Racional

Para la participación en clase y para la elaboración de trabajos en grupo o de investigación, se puede usar una rúbrica como la que se indica: Evaluación criterial de Participación en clase

· Participación pertinente, activa, lidera la discusión. · Domina el tema propuesto, logra conectarlo y explicarlo en sus diferentes aspectos. · Viene preparado a la clase con los textos leídos, con apuntes, preguntas, interrogantes, 10-9

observaciones, propuestas, ejemplos. Se refiere a las lecturas con una visión crítica, demostrando análisis y reflexión. · Presenta una actitud positiva, escucha y respeta la opinión de sus compañeros/profesora. Demuestra mentalidad abierta, fomenta un buen clima de aprendizaje. · Llega puntualmente.

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· Participación oportuna, aporta buenos elementos. · Demuestra conocimientos generales del tema. · Casi siempre viene preparado a clases, con los textos leídos, con apuntes, preguntas y 8-6

·

5-3