¶. ¶. ¶ºìàð¶Ú²Ü ². ². ê²Ð²ÎÚ²Ü

вÜð²Ð²ÞÆì

سûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ï³ññ»ñ

11 (ÁݹѳÝáõñ & ÑáõÙ³ÝÇï³ñ Ñáëù»ñ)

ºñ&³Ý ¾¹Çà äñÇÝï 2010 1

гëï³ïí³Í ¿ ÐÐ ÎñÃáõÃÛ³Ý ¨ ·ÇïáõÃÛ³Ý Ý³Ë³ñ³ñáõÃÛ³Ý ÏáÕÙÇó Approved by the Ministry of Education and Science of RA

Ðî¸ 373.167.1:512(075) ¶Ø¸ 22.14 ó72 ¶ 479 ¶¨áñ·Û³Ý ¶.¶., ê³Ñ³ÏÛ³Ý ².². ¶ 479 гÝñ³Ñ³ßÇí ¨ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³ÉÇ½Ç ï³ññ»ñ: гÝñ³ÏñÃ. ¹åñ. 11-ñ¹ ¹³ë. ¹³ë³·Çñù (ÁݹѳÝáõñ ¨ ÑáõÙ³ÝÇï³ñ Ñáëù»ñÇ Ñ³Ù³ñ).- ºñ.: ¾¹Çà äñÇÝï, 2010.- 136 ¿ç:

ÊÙµ³·Çñ гٳϳñ·ã³ÛÇÝ ³ß˳ï³ÝùÝ»ñÁ`

¾. ²Ûí³½Û³Ý Ü. ¶¨áñ·Û³ÝÇ

¶Ø¸ 22.14 ó72

ISBN 978-9939-52-112-1  ¶¨áñ·Û³Ý ¶.¶., 2010  ê³Ñ³ÏÛ³Ý ².²., 2010  ¾¹Çà äñÇÝï Ññ³ï³ñ³ÏãáõÃÛáõÝ 2010

2

²ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódz ²ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódz ÏáãíáõÙ ¿

f ( x) = xa µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ýáõÝÏódzݫ áñï»Õ a ¬Ý ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ áñ¨¿ ÃÇí ¿£ Ø»Ýù ÏáõëáõÙݳëÇñ»Ýù ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÁ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ« »ñµ

a = n ϳ٠a = 1 / n « áñï»Õ n -Á µÝ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ ¸áõù ³ñ¹»Ý ͳÝáà »ù ³ÛÝåÇëÇ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇÝ« ÇÝãåÇëÇù »Ýª ³) f ( x) = x ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ( a = 1 ), 2 µ) f ( x ) = x ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ( a = 2 ): ÐÇß»Ýù ݳ¨« áñ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ³) ¹»åùáõÙ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕ ¿« ÇëÏ µ) ¹»åùáõÙª (0,0) ·³·³Ãáí å³ñ³µáÉ£

¢1. ´Ý³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódz ÆÝãå»ë Ïï»ëÝ»Ýù ëïáñ¨« µÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ ß³ï ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñáí ÝÙ³Ý ¿ ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇÝ« »ñµ n -Á Ï»Ýï ¿« ¨ ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇݪ »ñµ n -Á ½áõÛ· ¿£ Ü³Ë áõëáõÙݳëÇñ»Ýù f ( x) = x n ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ« »ñµ n -Á Ï»Ýï ¿£

1) üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ ¿ª D( f ) = (− ∞ , ∞ ) « ù³ÝÇ áñ x n Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ áñáßí³Í ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ÃíÇ Ñ³Ù³ñ£ 2) üáõÝÏóÇ³Ý Ï»Ýï ¿« ù³ÝÇ áñ Ï»Ýï n -Ç ¹»åùáõÙ f (− x) = (− x)n = −xn = − f (x):

3) üáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ù»Ï ½ñ᪠f (0 ) = 0 £ 4) üáõÝÏóÇ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿« »ñµ x ∈ (0, ∞ ) ¨ µ³ó³ë³Ï³Ýª »ñµ x ∈ (− ∞,0) £ üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ¨ »ññáñ¹ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£

5) üáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ ¿ª 3

E ( f ) = (− ∞, ∞ ) « ù³ÝÇ áñ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ³ñÅ»ù ( y ∈ R ³ñÅ»ùÁ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = n y Ï»ïáõÙ): л勉µ³ñ« ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ ãáõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ áõ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ£

üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ (0; 0 ), (1;1), (− 1; − 1) Ï»ï»ñáí ¨ ³Û¹ Ï»ï»ñáõ٠ѳïáõÙ ¿ y = x áõÕÇÕÁ£ ºñµ n = 1 « ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ³Û¹ áõÕÕÇ Ñ»ï£ ºñµ n > 1 «

ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ 0 < x < 1 ï»Õ³Ù³ëáõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ y = x áõÕÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ ÙÇç¨ (ù³ÝÇ áñ ³Û¹ ¹»åùáõÙ y

0 < f ( x) = x n < x )« ÇëÏ x = 1 Ï»ïÇó ³çª ³Û¹ áõÕÕÇó í»ñ¨ (³Û¹ ¹»åùáõÙ f ( x) = x n > x )£ ²ñ·áõÙÝ»ïÝ»ñÇ ³Ýí»ñç ٻͳݳÉáõ Ñ»ï ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ٻͳÝáõÙ »Ý: ø³ÝÇ áñ ýáõÝÏóÇ³Ý Ï»Ýï ¿, Ýñ³ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇ Ýϳïٳٵ: ÜÏ© 1-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ Ï»Ýï óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ë˻ٳïÇÏ ï»ëùÁ£ ²ÛÅÙ ùÝݳñÏ»Ýù

y=x n

y=x 1 -1

1

O

x

-1 n=2k+1 ÜÏ. 1

f ( x) = x n ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ« »ñµ n -Á ½áõÛ· ¿£ 1) üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ ¿ª D( f ) = (− ∞; ∞ ) £ 2) üáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿: Æñáù« ½áõÛ· n -Ç ¹»åùáõÙ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x -Ç Ñ³Ù³ñ n f (− x) = (− x ) = x n = f ( x) £ üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳٳã³÷ ¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ýϳïٳٵ£

3) üáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ù»Ï ½ñ᪠f (0 ) = 0 £ 4) üáõÝÏóÇ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿« »ñµ x ≠ 0 (ù³ÝÇ áñ n -Á ½áõÛ· ¿)£ üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£

5) üáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áõÙ ¿ (− ∞; 0 ] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ³×áõÙª [0; ∞ ) -áõÙ£ 6) üáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 0 -Ý ¿« áñÁ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = 0 Ï»ïáõÙ£ üáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ£

7) üáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ

¿ª E ( f ) = [0, ∞ ) « ù³ÝÇ áñ ³ÛÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙdzÛÝ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ³ñÅ»ùÝ»ñ« ÙÛáõë ÏáÕÙÇó« Ï³Ù³Û³Ï³Ý y áã µ³ó³ë³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ x = n y Ï»ïáõ٠ѳí³ë³ñ ¿ y -Ç£ üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ (0; 0 ), (1; 1), (− 1;1) Ï»ï»ñáí ¨ ³Û¹ Ï»ï»ñáõ٠ѳïáõÙ ¿ y = x 2 å³ñ³µáÉÁ£ ºñµ n = 2 , ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ³Û¹ å³ñ³µáÉÇ Ñ»ï£ ºñµ 4

n > 2 « ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ − 1 < x < 1 ï»Õ³Ù³ëáõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ å³ñ³µáÉÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ ÙÇ稫 ÇëÏ x = 1 Ï»ïÇó ³ç ¨ x = −1 Ï»ïÇó ӳ˪ å³ñ³µáÉÇó í»ñ¨£ Îááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ëϽµÝ³Ï»ïÇó ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ³Ýí»ñç Ñ»é³Ý³Éáõ Ñ»ï ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ٻͳÝáõÙ »Ý£ ÜÏ© 2-áõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ ½áõÛ· óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ë˻ٳïÇÏ ï»ëùÁ£

y=x n n=2k y=x

1

-1

O

1

x

ÜÏ. 2

1.

à±ñ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ ÏáãíáõÙ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódz£

2.

à±ñÝ ¿ µÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£

3.

º±ñµ ¿ µÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¨ »±ñµ ¿ Ï»Ýï£

4.

àñá±Ýù »Ý µÝ³Ï³Ý óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ£

5.

ÆÝãå»±ë »Ý Ï³Ëí³Í ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ óáõóÇãÇ ½áõÛ· ϳ٠ϻÝï ÉÇÝ»Éáõó£

6.

à±ñÝ ¿ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ« »Ã» óáõóÇãÁ` ³) ½áõÛ· ¿, µ) Ï»Ýï ¿:

7.

à±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ ¿ ·ïÝíáõÙ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ« »Ã» óáõóÇãÁ` ³) ½áõÛ· ¿« µ) Ï»Ýï ¿,

8.

γéáõó»É ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ« »Ã» óáõóÇãÁ` ³) ½áõÛ· ¿« µ) Ï»Ýï ¿£

1©

¸Çóáõù f (x ) = x 26 £ ´³Õ¹³ï»É Ãí»ñÁ© ³) f (7 ) ¨ f (8) ,

·) f (−24) ¨ f (− 23) , ») f (− 52 ) ¨ f (52) ,

2©

¸Çóáõù f (x ) = x 31 £ ´³Õ¹³ï»É Ãí»ñÁ©

µ) f (0,3) ¨ f (0, 4 ) ,

¹) f (− 5,5) ¨ f (− 5, 4 ), ½) f (− 7,3) ¨ f (8) £

³) f (13) ¨ f (12) ,

µ) f (0,02 ) ¨ f (0,01) ,

») f (− 73) ¨ f (73) ,

½) f (− 5,9 ) ¨ f (6) £

·) f (− 4 ) ¨ f (−10) ,

¹) f (− 9, 4 ) ¨ f (− 9,5) ,

5

3© лï¨Û³É Ãí»ñÁ ¹³ë³íáñ»É ³×Ù³Ý Ï³ñ·áí© ³) (3,4 )2 , (3,4)5 , (3,4)3 , 4

7

µ) (0,7 )4 , (0,7 )9 , 0,7 , 4

5

·)  2  ,  2  ,  2  ,

5

4©

5

5

¹) f (x ) = (x + 1)3 ,

6©

7©

8

8

µ) f (x ) = x 3 ,

») f (x ) = (x − 1)4 + 2 ,

·) f (x ) = (x − 1)4 ,

½) f (x) = (x + 1)3 − 8 £

ú·ïí»Éáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó« ·ïÝ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ x -»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ© ³) x 11 > 0 ,

µ) x 9 ≤ 0 ,

·) x 10 > 0 ,

¹) x 6 ≤ 0 ,

») x 12 ≥ 0 ,

½) x 10 > −53 ,

¿) x 8 ≤ −30 ,

Á) x 5 > −32 ,

Ã) x 3 ≤ −125 £

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ« û·ïí»Éáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó. ³) x12 = 1 ,

µ) x 5 = 35 ,

·) x 6 = 7 6 ,

¹) x 5 = − x 7 ,

») x15 = x 9 ,

½) x 8 = x 2 £

ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ« û·ïí»Éáí ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó© ³) x 2 < 4 ,

8©

8

γéáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ¨ Ýᯐ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý áõ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ©

³) f (x ) = x 4 ,

5©

7

9 9 9£ ¹)   ,   ,

µ) x 2 > 0,25 ,

3 ·) x >

1 £ 8

ä³ñ½»óÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ. ³)

3

a3

¢2.

− b3

f (x) =

3

2 2 µ) a + b , 1 1

a−b , 1 1

a2

1 n x

+ b2

·)

x −8 2 x3

+

1 2x 3

£

+4

ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ Ýñ³ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ

Ø»Ýù ³ñ¹»Ý ͳÝáà »Ýù Ïáïáñ³Ï³ÛÇÝ óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÇÝ ¨ ·Çï»Ýù« áñ x ÃíÇ m ³ëïÇ׳ÝÁ« áñï»Õ m -Á ¨ n -Á µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý« ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ¿ áã µ³ó³ë³Ï³Ý x n m ÃíÇ Ñ³Ù³ñª áñå»ë n ³ëïÇ׳ÝÇ ³ñÙ³ï x ÃíÇóª m

x n = n xm :

6

(1)

1

²ÛÅÙ Ýß»Ýù f (x ) = x n ýáõÝÏódzÛÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£ 1) üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ÏÇë³³é³ÝóùÝ ¿ª

D ( f ) = [0; ∞ ) £ 2) üáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ áã µ³ó³ë³Ï³Ý ÏÇë³³é³ÝóùÝ ¿ª E ( f ) = [0; ∞ ) « ù³ÝÇ áñ Ýñ³ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ÷áùñ ã»Ý 0 -Çó« ÇëÏ Ï³Ù³Û³Ï³Ý y ≥ 0 ³ñÅ»ù ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = y n Ï»ïáõÙ£ 3) üáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ Ù»Ï ½ñ᪠f (0 ) = 0 ¨ ¹ñ³Ï³Ý ¿« »ñµ x ∈ (0, ∞ ) £ üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ£ 4) üáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ, ù³ÝÇ áñ 0 ≤ x1 < x 2 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿« áñ n x1 < n x 2 £ 5) üáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 0 -Ý ¿« áñÁ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = 0 Ï»ïáõÙ£ üáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ£ üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³ÝóÝáõÙ ¿ (0; 0 ), (1;1) Ï»ï»ñáí ¨ ³Û¹ Ï»ï»ñáõ٠ѳïáõÙ ¿ y = x áõÕÇÕÁ£ ºñµ n = 1 , ³ÛÝ Ñ³ÙÁÝÏÝáõÙ ¿ ³Û¹ áõÕÕÇ Ñ»ï£ ºñµ n > 1 « ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ 0 < x < 1 ï»Õ³Ù³ëáõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ y = x áõÕÕÇó í»ñ¨« ù³ÝÇ áñ

x >1⇒1< n x < x £ ²ñ·áõÙ»ÝïÇ ³Ýí»ñç ٻͳݳÉáõ Ñ»ï ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ٻͳÝáõÙ »Ý£ 1

ÜϳñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ¿ f (x ) = x n ýáõÝÏ-

y= x

0 < x x £ ÆëÏ x = 1 Ï»ïÇó ³ç ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ Ï·ïÝíÇ y = x ¨ y = 1 áõÕÇÕÝ»ñÇ ÙÇ稫 ù³ÝÇ áñ

1

y=1 O

ódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ë˻ٳïÇÏ ï»ëùÁ£

1.

y =x

1 n

1

x ÜÏ. 3

ÆÝãåÇëDZ Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¨ ÇÝãå»±ë ¿ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ ÃíÇ Ïáïáñ³Ï³ÛÇÝ óáõóÇãáí ³ëïÇ׳ÝÁ:

2.

à±ñÝ ¿ f ( x ) = x1 n ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ:

3.

à±ñ ù³éáñ¹áõÙ ¿ ·ïÝíáõÙ f ( x ) = x1 n ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

4.

ØáÝáïá±Ý ¿ ³ñ¹Ûáù f ( x ) = x1 n ýáõÝÏódzÝ:

5.

à±ñÝ ¿ f ( x ) = x1 n ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

6.

γéáõó»É f ( x ) = x1 3 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: 7

1

9© ¸Çóáõù f (x ) = x 7 £ ´³Õ¹³ï»É Ãí»ñÁ© ³) f (15 ) ¨ f (14) ,

µ) f (5,3) ¨ f (5,4 ),

·) f (0 ) ¨ f (8,3) £

10© ¸Çóáõù f (x ) = 15 x £ ´³Õ¹³ï»É Ãí»ñÁ© ³) f (9 ) ¨ f (7) ,

µ) f (7,09 ) ¨ f (7,1) ,

·) f (− 22 ) ¨ f (−20) ,

¹) f (− 3,2 ) ¨ f (− 3,1),

») f (− 23) ¨ f (23) ,

½) f (− 8,1) ¨ f (6,2) £

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ (11-12)© 1

11© ³) f (x ) = x 3 ,

1

·) f (x ) = x 4 ,

µ) f (x ) = 3 x , 1

5 12© ³) f (x ) =  1  , − x 3  

·) f (x ) = 5

8x , 2 x − 3x + 1 2

¹) f (x ) = 4 x :

µ) f (x ) = 3

3 , x 2 −4

¹) f (x ) = 7

5 x − 10 £ x2 − 5x + 4

13© γéáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ© 1

³) f (x ) =

x, 1

¹) f (x ) = − x 4 ,

µ) f (x ) = x 2 ,

·) f (x ) = (x − 1)3 ,

») f (x ) = 5 x + 3 ,

½) f (x ) = 3 x − 8 £

1

14© ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ© 1

³) x 4 = ¹)

3

7,

x = −3 ,

1

µ) x 6 = 3 4 , 1

»)

6

x = 82 ,

1

·) x 3 = 5 , 1

2

½) x 6 = 10 3 £

Ø15© ²åñ³ÝùÇ ·ÇÝÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ѳçáñ¹³µ³ñ µ³ñÓñ³óñÇÝ 10%-áí£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ù³ÝDZ ïáÏáëáí µ³ñÓñ³ó³í ³åñ³ÝùÇ ·ÇÝÁ ëϽµÝ³Ï³ÝÇ Ñ³Ù»Ù³ï£ Ø16© ²åñ³ÝùÇ ·ÇÝÁ »ñÏáõ ³Ý·³Ù ѳçáñ¹³µ³ñ Çç»óñÇÝ 10%-áí£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ù³ÝDZ ïáÏáëáí Çç³í ³åñ³ÝùÇ ·ÇÝÁ ëϽµÝ³Ï³ÝÇ Ñ³Ù»Ù³ï£

¢3© òáõóã³ÛÇÝ

ýáõÝÏódz

òáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódz ÏáãíáõÙ ¿

f (x ) = a x ýáõÝÏódzݫ áñï»Õ a -Ý 1-Çó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ 8

Üß»Ýù óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ¨ ϳéáõó»Ýù ·ñ³ýÇÏÁ£ 1) üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ ¿ Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁª

D ( f ) = (− ∞ , ∞ ) £

2) üáõÝÏóÇ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³£ üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ¨ »ñÏñáñ¹ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ 3) üáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³£ Àݹ áñáõÙ« ³ÛÝ ³×áÕ ¿« »Ã» a > 1 ¨ Ýí³½áÕª »Ã» 0 < a < 1 £ 4) üáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³³é³ÝóùÁª E ( f ) = (0, ∞ )£ 5) üáõÝÏóÇ³Ý ãáõÝÇ ½ñáÝ»ñ, ٻͳ·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ£ 6) üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ ¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ª (0, 1) Ï»ïáõÙ, o ù³ÝÇ áñ a = 1 £

a > 1 ¹»åùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ y = 1 áõÕÕÇó í»ñ, ¨ ¹»åÇ ³ç ·Ý³ÉÇë ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ٻͳÝáõÙ »Ý£ ºñÏñáñ¹ ù³éáñ¹áõÙ ³ÛÝ ·ïÝíáõÙ ¿ y = 1 áõÕÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ ÙÇç¨ ¨ ¹»åÇ Ó³Ë ·Ý³ÉÇë ³Ýí»ñç Ùáï»ÝáõÙ ¿ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ (ÝÏ© 4, ³). y y

0 < a 1

y =a

y =a

x

x

1

a y=1

a

y=1

1 1

a

a

-1

O ³)

1

1

x

-1 O ÜÏ. 4

1

x

µ)

0 < a < 1 ¹»åùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÝ ³é³çÇÝ ù³éáñ¹áõÙ ·ïÝíáõÙ ¿ y = 1 áõÕÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ ÙÇç¨ ¨ ¹»åÇ ³ç ·Ý³ÉÇë ³Ýí»ñç Ùáï»ÝáõÙ ¿ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ£ ºñÏñáñ¹ ù³éáñ¹áõÙ ³ÛÝ ·ïÝíáõÙ ¿ y = 1 áõÕÕÇó í»ñ, ¨ ¹»åÇ Ó³Ë ·Ý³ÉÇë ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÝ ³Ýí»ñçٻͳÝáõÙ »Ý (ÝÏ© 4, µ)£

1.

à±ñ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ ÏáãíáõÙ óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódz£

2.

à±ñÝ ¿ óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£

3.

à±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ ¿ ·ïÝíáõÙ óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: 9

4.

º±ñµ ¿ óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¨ »±ñµª Ýí³½áÕ:

5.

à±ñÝ ¿ óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

6.

γéáõó»É y = 3 x ¨ y = (1 3)x ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ:

17© γéáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ¨ ·ïÝ»É ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ© x

1 µ) y =   ,

³) y = 2 x ,

·) y = −5 x ,  2 x x 1 ¹) y = (1,5)x − 4 , ») y = −  + 5 , ½) y = −3 2 + 1 : 3 18 . ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ« áñáÝó ¹»åùáõÙ f óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ª 1) ³×áõÙ ¿« 2) Ýí³½áõÙ ¿© x ³) f (x ) = a ,

µ) f ( x ) = (a − 1)x ,

·) f ( x) = (2a + 3)x ,

¹) f ( x) = a £

x

Ø 19© ¶ñ³ýÇÏáñ»Ý å³ñ½»É« û ù³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ© µ) (0,1)x − 3 = 0 ,

³) 7 x = 5 ,

·) 4 +

( 3)

x

= 0,

20© ´³ÝÏáõÙ ¹ñí»É ¿ 1000000 ¹ñ³Ù ³í³Ý¹ª ï³ñ»Ï³Ý 10% ïáÏáë³¹ñáõÛùáí, µ³ñ¹ ïáÏáëÇ Ñ³ßí³ñÏáí (³ÛëÇÝùÝ, Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ï³ñí³ í»ñçáõÙ ï³ñ»ëϽµáõÙ »Õ³Í ·áõÙ³ñÝ ³í»É³ÝáõÙ ¿ 10% -áí): ³) àñù³±Ý ·áõÙ³ñ ÏÉÇÝÇ µ³ÝÏáõÙ 1 ï³ñÇ Ñ»ïá: µ) àñù³±Ý »Ï³Ùáõï Ïáõݻݳ ³í³Ý¹³ïáõÝ 2 ï³ñÇ Ñ»ïá: ·) ¶ï»ù ³í³Ý¹Ç ·áõÙ³ñÇ ýáõÝÏóÇáÝ³É Ï³Ëí³ÍáõÃÛáõÝÁ ï³ñÇÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÇó: ¹) ø³ÝDZ ï³ñÇ Ñ»ïá ·áõÙ³ñÁ Ï·»ñ³½³ÝóÇ 1450000 ¹ñ³ÙÁ: Ø 21© ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ٻͳ·áõÛÝ áõ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ. ³) y = 6

x

,

µ) y = (0,1)x ,

·) y = 3 sin x − 1 £

2

Ø 22© ¶ñ³ýÇÏáñ»Ý óáõÛó ï³É« áñ ѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x = 0 © ³) 5 x = 1 − x ,

µ) (0,3)x = 2 x + 1 ,

·)

23© ²ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Ó¨³÷áË»É c ⋅ a ï»ëùÇ©

3

( 5)

−x

− 1 = 0,3 x £

x

³) 3 x +3 ⋅ 9 2 x −1 ,

µ) 6 x + 2 ⋅ 2 3 x −1 ,

¹) (0,5)

»)

1−5 x

⋅ 32 x + 4 ,

( 9) 4

6 x +3

⋅

·) 5 x +3 ⋅ (0,1)

2− x

( 3)

2 x −1

,

½)

( 125 )

Ø24© гßí»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ© ³) 4 x + 4 − x « »Ã» 2 x + 2 − x = 7 , µ) 5 2 x + 5 −2 x « »Ã» 5 x + (0,2 )x = 3 , 10

4 x−2

,

⋅ 55 −3 x :

1 ·) 9 x + 1x « »Ã» 3 x + x = 5 : 3

9

Ø25© ²å³óáõó»É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ© ³) sin 4 α + cos 4 α = 1 –

1 2 sin 2α , 2

µ) cos 4 α − sin 4 α = cos 2α :

Ø26© ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ© 1 ³) sin π − arcsin  ,

3  3  ·) cos 2π − arccos  , 4 

3π 2 − arccos  , 5  2 π 1 ¹) cos + arcsin  : 6 2 µ) sin 

¢4© òáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ¸Çï³ñÏ»Ýù å³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁª (1) ax = b , x áñï»Õ a > 0, a ≠ 1 £ ø³ÝÇ áñ f (x ) = a óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ µáÉáñ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿« áõñ»Ùݪ »Ã» b ≤ 0 « ³å³ a x = b ѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ« x »Ã» b > 0 « ³å³ a = b ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÙÇ³Ï ÉáõÍáõÙ£ ÈáõÍÙ³Ý ÙdzÏáõÃÛáõÝÁ µËáõÙ ¿ óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝ ÉÇÝ»Éáõó« ù³ÝÇ áñ ÙáÝáïáÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ãÇ Ï³ñáÕ ï³ñµ»ñ Ï»ï»ñáõÙ ÁݹáõÝ»É ÙǨÝáõÛݪ b ³ñÅ»ùÁ£ ²Û¹ ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ ѳñϳíáñ ¿ b ÃÇíÁ Ý»ñϳ۳óÝ»É a ÑÇÙùáí ³ëïÇ׳ÝÇ ï»ëùáíª b = a c « áñÇó Ñ»ïá (1) ѳí³ë³ñáõÙÁ Ïëï³Ý³

a x = ac ï»ëùÁ« ÇëÏ í»ñçÇÝÇë ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x = c £

úñÇÝ³Ï 1£ ÈáõÍ»Ýù 2 x = 45 16 ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ 45 16 = 2

2+

4 5

= 2 2,8 « ³ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ 2 x = 2 2,8 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñÇ Éáõ-

ÍáõÙÝ ¿ª x = 2,8 £ ä³ï³ë˳ݪ 2,8 £ 11

²ÛÝ ¹»åùáõÙ« »ñµ (1) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x -Ç ÷á˳ñ»Ý ·ñí³Í ¿ ÷á÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ« ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý Ó¨áí£

úñÇÝ³Ï 2£ ÈáõÍ»Ýù

(0,2)2 x −8 x = 125 2

ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ¶ñ»Éáí ³ÛÝ

5 − (2 x

2

−8 x

5

) = 5 3, 5

ï»ëùáí« Ïëï³Ý³Ýù

2 x 2 − 8 x + 3,5 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ« áñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª x1 = 0,5 , x 2 = 3,5 £ ä³ï³ë˳ݪ 0,5; 3,5 £ êïáñ¨ Ù»Ýù ÏùÝݳñÏ»Ýù óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÙÇ ù³ÝÇ` ³é³í»É Ñ³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáÕ ï»ë³ÏÝ»ñ£ ³) гí³ë³ñáõÙÝ»ñ« áñáÝù ³ëïÇ׳ÝÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ï³·áñÍٳٵ µ»ñíáõÙ »Ý å³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñٳݣ

úñÇÝ³Ï 3£ ÈáõÍ»Ýù 3 x +3 11 ⋅ 2 + 10 ⋅ 2 x −1 = 4 8 ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿

11 3 2 x −1  ⋅ 24 + 10  = , 4  8 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ, áñï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýùª

2 x −1 =

1 ⇔ 2 x −1 = 2− 4 ⇔ x − 1 = −4 ⇔ x = −3 £ 16

úñÇÝ³Ï 4£ ÈáõÍ»Ýù

x +1

ä³ï³ë˳ݪ − 3 £

x

 5  ⋅  4  = 20 ⋅ 3 x −3     5 2 ѳí³ë³ñáõÙÁ£ Ò¨³÷áË»Éáí« ëï³ÝáõÙ »Ýù© x

5 5 4 20 x 8 ⋅ ⋅  = ⋅ 3 ⇔ 2x = ⋅ 3x £ 2 2 5 27 27 ì»ñçÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ µ³Å³Ý»Éáí 3 x -Ç« Ïëï³Ý³Ýù x

3

2 = 2     3 3 å³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ« áñÇ ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x = 3 £ ä³ï³ë˳ݪ 3 £ 12

µ) гí³ë³ñáõÙÝ»ñ« áñáÝù ³ëïÇ׳ÝÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ï³·áñÍٳٵ µ»ñíáõÙ »Ý

a 2x + p ⋅ a x + q = 0

(2)

ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñٳݣ ì»ñçÇÝë a x = t ï»Õ³¹ñٳٵ ѳݷáõÙ ¿ t 2 + pt + q = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ£

úñÇÝ³Ï 5£ ÈáõÍ»Ýù 9 x − 24 ⋅ 3 x − 2 = 1 ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ µ»ñíáõÙ ¿

3 2 x − 24 ⋅ ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýùª

1 x ⋅3 = 1 32

3 ⋅ 32 x − 8 ⋅ 3 x − 3 = 0 £ Ü߳ݳϻÉáí 3 = t « Ïëï³Ý³Ýù x

3t 2 − 8t − 3 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ« áñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª t1 = − 1 3 , t 2 = 3 £ ì»ñ³¹³éݳÉáí Ý߳ݳÏÙ³ÝÁª Ïëï³Ý³Ýù

1 ¨ 3x = 3 3 å³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ« áñáÝóÇó ³é³çÇÝÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ« ù³ÝÇ áñ 3 x > 0 « ÇëÏ »ñÏñáñ¹Ç ³ñÙ³ïÝ ¿ª x = 1 £ ä³ï³ë˳ݪ 1 £ ·) гí³ë³ñáõÙÝ»ñ« áñáÝù ³ëïÇ׳ÝÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ï³·áñÍٳٵ µ»ñíáõÙ »Ý (3) c 2x + p ⋅ c x ⋅ d x + q ⋅ d 2x = 0 ï»ëùÇ Ñ³Ù³ë»é ѳí³ë³ñٳݣ ø³ÝÇ áñ d 2 x > 0 µáÉáñ x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ« µ³Å³Ý»Éáí (3) ѳí³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ x c d 2 x -Ç ¨ Ý߳ݳϻÉáí   = t , Ïëï³Ý³Ýù Ýñ³Ý ѳٳñÅ»ù d  t 2 + pt + q = 0 3x = −

ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

úñÇÝ³Ï 6£ ÈáõÍ»Ýù 9 x +1 + 5 ⋅ 6 x − 4 x +1 = 0 13

ѳí³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿

9 ⋅ 9 x + 5 ⋅ 3x ⋅ 2 x − 4 ⋅ 4 x = 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñÇ »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ µ³Å³Ý»Éáí 4 x -Ç« Ïëï³Ý³Ýù©

3 9 ⋅   2

2x

x

3 + 5 ⋅   − 4 = 0 £ 2

Ü߳ݳϻÉáí (3 2 ) = t « ѳݷáõÙ »Ýù 9t 2 + 5t − 4 = 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ« áñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª t1 = −1, t 2 = 4 9 £ ì»ñ³¹³éݳÉáí Ý߳ݳÏÙ³ÝÁ, Ïëï³x

ݳÝù x

x

 3  = −1 ¨  3  = 4 9     2 2 å³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ« áñáÝóÇó ³é³çÇÝÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ« ÇëÏ »ñÏñáñ¹Ç ³ñÙ³ïÝ ¿ª x = −2 £ ä³ï³ë˳ݪ − 2 £

1.

à± ñÝ ¿ å³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

2.

ø³ÝDZ ÉáõÍáõÙ áõÝÇ (1) ѳí³ë³ñáõÙÁ« »Ã»ª ³) b > 0 « µ) b ≤ 0 £

3.

ÆÝãå»±ë »Ý ÉáõÍáõÙ (2) ï»ëùÇ óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

4.

ÆÝãå»±ë »Ý ÉáõÍáõÙ (3) ï»ëùÇ óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ£

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (27-28). x

x

x

¹)  1  = 16 ,

 4

¹)

( 0,5 )

81

µ) (0,2 )

= 125 ,

·)

») (0,25)2 x −1 = 64 ,

29© ä³ñ½»É ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÇ Ýß³ÝÁ . ³) 2 x = 7 ,

x

½)  1  = 3 3 :

x −3

= 32 ,

5,

»)  2  = 16 ,

3

28© ³) 3 x + 2 = 81 , 2 −x

·) (0,2 )x =

µ) 5 = 0,2 ,

27© ³) 2 x = 32 ,

µ) 3 x = 0,6 ,

 3

( 3)

x −5

= 27 ,

½) (0,125)3−x = 2 2 £

·) (0,2 )x = 6,3 ,

¹) (0,9 )x = 9 :

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (30-38).

30© ³) 6 3 x + 2 = 6 2 x + 7 , ·) 4 x + 2 = 2 ⋅ 8 x −1 , 14

µ) 5 4 x +1 = (0,2 )x −6 ,

(

¹) 25 x −0,5 = 125 0,2

)

3− x

:

µ) 10 ⋅ (0,5)x − 2 3− x = 64 ,

31© ³) 5 x + 2 − 9 ⋅ 5 x −1 = 116 ,

1 ·)  

2 x +1

3

1 + 5 ⋅    3

2 x −1

1 ¹)  

= 138 ,

6

1 + 4 ⋅   6

x

µ)  2  ⋅  9 

x +3

⋅ 25 x −1 = 5, 4x ⋅ 5x 33© ³) 9 x −1 = 2 x −1 ,

µ) 4 x + 9 x +1 = 2 ⋅ 4 x +1 − 3 ⋅ 9 x ,

35© ³) 10 2 x +13 = 2 x + 26 ⋅ 5 3 x ,

¹) 3 x + 26 ⋅ 125 x = 15 2 x +13 :

36© ³) 3 2 x − 80 ⋅ 3 x − 81 = 0 ,

µ) 49 x − 6 ⋅ 7 x − 7 = 0 ,

1 1 ·)   − 5 ⋅   − 6 = 0 ,

¹)  1 

2 x+2

( 2)

µ) 31+

x

x

6

3

− 16 = 0 ,

38© ³) 9 x + 6 x = 2 ⋅ 4 x ,

+ 31−

x

x +1

+9:

= 10 ,

µ) 4 ⋅ 9 x + 12 x = 3 ⋅ 4 2 x , x

·) 9 ⋅ 9 x + 5 ⋅ 6 x = 4 x +1 , 1

1 = 8 ⋅    3

¹) 5 ⋅ 5 x − 24 = 25 ⋅ (0,2 )x +1 :

·) 18 x + 27 ⋅ 2 3− x = 14 ⋅ 3 x +1 ,

x+ x+ ») 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 13 ⋅

)

µ) 2 x −1 ⋅ 3 x −1 = 3 2 x ,

·) 8 x −1 ⋅ 9 2 x − 3 = 6 x + 3 ,

x

2

(

¹) 11x −1 − 7 x −1 = 4 11x − 2 + 7 x − 2 :

·) 2 x + 3 − 7 x − 2 = 7 x −1 + 2 x ,

1

= 567 :

x −1

») (0,2 )3 x −6 = (0,5)4 x −8 :

34© ³) 2 x −1 − 3 x = 3 x −1 − 2 x + 2 ,

x

x −1

µ) 9 ⋅ 5 x −1 − 3 x +1 = 0 ,

¹) 5 2 x + 6 = 3 3 x + 9 ,

37© ³) 2 x − 6 ⋅

2

= 40 ,

3 = , 3 8 8     (0,04)x ⋅ 9 x −1 = 625 £ ¹) 33 x

32© ³) 7 x ⋅ 2 x −1 = 98 ,

 36 

x +1

½) 32 x −1 − 9 x −1 + 27 3

») 5 x + 5 x +1 − 5 x −1 = 725 ,

·) 2

x −1

¹) 3 x + 4 + 45 ⋅ 6 2 = 9 ⋅ 2 x + 2 ,

( 6) , x

x ½) 7 ⋅ 5 + 2 ⋅

( 35 )

x

− 5⋅ 7x = 0:

Ø 39© ¶ïÝ»É a -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ« áñáÝó ¹»åùáõ٠ѳí³ë³ñáõÙÝ áõÝÇ ÉáõÍáõÙ © ³) (0,3)x = 5a − 8 ,

µ)  7 

5

x +1

=

1 , 2a + 3

·)

( 2)

x

=

a : 1− a

40© ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á© 2 x 2 − 3 x + 1 ≥ 0 , 5 x − 4 < 0

³) 

 2 µ) 5 x + 9 x − 2 < 0 , 7 x + 3 ≤ 0

 2 ·) 3 x − x − 10 > 0 : 2 x + 14 ≥ 0

15

¢5© òáõóã³ÛÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ ä³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ »Ýª

ax > b ¨ ax < b

(1)

³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ« áñï»Õ a -Ý 1-Çó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ Ü³Ë ùÝݳñÏ»Ýù b ≤ 0 ¹»åùÁ£ Ø»Ýù ·Çï»Ýù« áñ a x Ù»ÍáõÃÛáõÝÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ¹ñ³Ï³Ý ¿£ ¸³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿« áñ, »Ã» b ≤ 0 « ³å³ a x > b ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª (− ∞ , ∞ )« »Ã» b ≤ 0 « ³å³ a x < b ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍáõÙ ãáõÝÇ£ ÈáõÍáõÙÝ»ñÁ ÝáõÛÝÝ »Ý ݳ¨ áã ËÇëï ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ£ ºñµ b -Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿« ѳñϳíáñ ¿ ³ÛÝ Ý»ñϳ۳óÝ»É a ÑÇÙùáí ³ëïÇ׳ÝÇ ï»ëùáíª b = a c « áñÇó Ñ»ïá (1) ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ Ïëï³Ý³Ý a x > a c ¨ a x < a c ï»ëù»ñÁ£

x ºÝó¹ñ»Ýù a > 1 £ ø³ÝÇ áñ f (x ) = a óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áõÙ ¿ ³ÙµáÕç Ãí³-

ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³« ÇëÏ c Ï»ïáõÙ Ýñ³ ³ñÅ»ùÁ ѳí³ë³ñ ¿ a c « áõñ»ÙÝ x > c ¹»åùáõÙ ÏáõݻݳÝùª a x > a c « ÇëÏ x < c ¹»åùáõÙª a x < a c (ÝÏ. 5³)£ л勉µ³ñ« y y

ax

ax

ac

ac

ax

ax

y= a x

y= a x x c x

O

a >1 ³)

x c x O

x

ÝÏ. 5

x

0 < a 1 « ³å³ª ³) a x > a c ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x > c « µ) a x < a c ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x < c £ x гٳÝÙ³Ýáñ»Ý« ѳßíÇ ³éÝ»Éáí« áñ 0 < a < 1 ¹»åùáõÙ f (x ) = a óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏ-

óÇ³Ý Ýí³½áõÙ ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ Ïëï³Ý³Ýù (ÝÏ. 5µ)© »Ã» 0 < a < 1 « ³å³ª ³) a x > a c ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x < c « µ) a x < a c ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x > c £ 16

ÜáõÛÝ Ó¨áí »Ý ÉáõÍíáõ٠ݳ¨ å³ñ½³·áõÛÝ áã ËÇëï ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ© îñí³Í óáõóã³ÛÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ å³ñ½³·áõÛÝ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý µ»ñ»Éáõ ѳٳñ ÏÇñ³éíáõÙ »Ý ³ÛÝ Ù»Ãá¹Ý»ñÁ« áñáÝó Ù»Ýù ͳÝáóó³Ýù óáõóã³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë£ ²Ûëï»Õ ϳñ¨áñ ¿ Ý߻ɫ áñ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ a x ï»ëùÇ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý íñ³ µ³Å³Ý»Éáõó ëï³óí³Í ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ ëϽµÝ³Ï³ÝÇÝ« ù³ÝÇ áñ a x > 0 ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ûñÇݳÏÝ»ñ£

úñÇÝ³Ï 1£ ÈáõÍ»Ýù 3 3 ⋅   4 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ 3

x −3

3 + 4 ⋅   4

x −1

>7

x

x

4 3 4 3 3 ⋅   ⋅   + 4 ⋅ ⋅   > 7 3 4 3  4 ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýùª x

x

2

 3   64 + 16 ⋅ > 7 ⇔  3  >  3         £  3 4  9 4  4 ä³ï³ë˳ݪ (− ∞ , 2 )£

úñÇÝ³Ï 2£ ÈáõÍ»Ýù 4 x +1 − 9 ⋅ 2 x + 2 + 32 ≥ 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿

4 ⋅ 2 2 x − 36 ⋅ 2 x + 32 ≥ 0 ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñÁ 2 x = t Ý߳ݳÏáõÙáí ѳݷáõÙ ¿ t 2 − 9t + 8 ≥ 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ£ ¶ïÝ»Éáí t 2 − 9t + 8 = 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁª t1 = 1, t 2 = 8 « Ïëï³Ý³Ýù.

2 x ≤ 1 t ≤ 1 x ≤ 0 ⇔ t ≥ 8 2 x ≥ 8 ⇔  x ≥ 3 ⇔ x ∈ (− ∞; 0]U [3; ∞ )£   

ä³ï³ë˳ݪ (− ∞; 0] U [3; ∞ ) £

úñÇÝ³Ï 3£ ÈáõÍ»Ýù 25 x + 8 ⋅ 15 x − 3 2 x + 2 ≤ 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ£ ²ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿

52 x + 8 ⋅ 5 x ⋅ 3 x − 9 ⋅ 32 x ≤ 0 17

³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñÇ »ñÏáõ ÏáÕÙ»ñÁ µ³Å³Ý»Éáí 3 2 x -Ç« ÏáõݻݳÝù. 2x

x

 5 + 8⋅ 5 − 9 ≤ 0 £     3 3 = t « Ïëï³Ý³Ýù

Ü߳ݳϻÉáí (5 3)

x

t 2 + 8t − 9 ≤ 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ« áñÁ ѳٳñÅ»ù ¿ t ≥ −9 t ≤ 1  ѳٳϳñ·ÇÝ£ ì»ñ³¹³éݳÉáí Ý߳ݳÏÙ³ÝÁ« Ïëï³Ý³Ýù©  5  x  3  ≥ −9    x ∈ (− ∞; ∞ ) ⇔ ⇔ (− ∞; 0]  0 x : x ≤ 0  5  ≤  5       3   3  ä³ï³ë˳ݪ (− ∞, 0] £

1. à ñá±Ýù »Ý å³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ 2. à± ñÝ ¿ a x > b ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ« »Ã» b ≤ 0 £ 3. à± ñÝ ¿ a x < b ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ« »Ã» b ≤ 0 £ 4. à± ñÝ ¿ a x > a c ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ« »Ã»ª ³) a > 1 « µ) 0 < a < 1 £ 5. à± ñÝ ¿ a x ≤ a c ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ« »Ã»ª ³) a > 1 « µ) 0 < a < 1 £

ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ (41-50).

41© ³) 2 x < 16 ,

x

¹)  1  ≥ 64 ,

»)  2  < 9 ,

¿) (0,25)x > 16 ,

Á)

x

3

4

42© ³)

( 7)

x +1

 49    7

¹) 

3−5 x

>

18

9

x −7

5 ⋅   6

1 , 343

6− x

x

½)  1  ≤ 27 ,

3

4

( 2)

x

≥ 0,125 ,

Ã)

16 , ≤ 45

») 2

2 x +3

x

3

< 0,04 £ x+2

≤ 27 ,  9  ½) (0, 2 ) 2 x −5 > 125 :

< 0,25 , µ)

( 5)

  ·)  3   

µ) (0,2 )x −1 < 25 ,

< 49 ,

Ø43© ³) 3 x +1 ⋅ 5 x − 2 < 27 , ·)  5 

·) (0,2 )x < 125 ,

µ) 5 x ≥ 0,2 ,

( 2) ⋅ ( 4) x+2

27  ¹)    25 

x −1

3

x −3

5 ⋅   9  

≥ 32 ,

2 x −1

>

5 £ 81

Ø 44© ³) 2

3 x 2 + x −6

¹) (0,6)

3  µ)  32   8 

> 0,25 ,

3− x + 7

>

»)  5 

25 , 9

6

2 x 2 +3 x − 2

x +1

≤

1 , 16

·) (1,5)

5 x −3 − 6

½) 81 ⋅ (1,8)

> 1,44 ,

≤

8 , 27

x 2 −9 − 6

> 25 :

µ) 7 ⋅ 3 x −3 − 6 ⋅ 3 x − 4 < 5 ,

Ø 45© ³) 3 ⋅ 2 x + 2 − 5 ⋅ 2 x −1 ≥ 19 , ·) 8 ⋅ (0,8)x −1 − 5 ⋅ (0,8)x +1 < 7,5 ,

¹) 2 3− x − 7 ⋅ (0,5)x ≤ 8 : µ) (2,5)x − 4 ⋅ 5 x < 0 ,

46© ³) 4 ⋅ 6 x ≥ 9 ⋅ 4 x , ·) 2 3 x − 1,25 ⋅ 10 x ≥ 0 ,

¹)

1 > 8 ⋅ 5−x : 10 x x

16 47© ³) 9 − x < x + 2 , 6

µ) 2 2

·) 10 2 x −5 > 5 x − 2 ⋅ 8

x−

8 3

≤ 3 2 x −4 ,

¹) 15 2 x −1 < 27 x −1 ⋅ 5 x +1 :

,

Ø 48© ³) 2 x + 2 + 3 x −5 < 3 x −1 + 2 x − 2 ,

(

µ) 5 x +10 − 3 x +10 ≥ 3 x +12 − 5 x +11 ,

)

·) 3 x + 6 − 7 x + 4 < 2 3 x + 4 + 7 x +3 ,

49© ³) 9 ⋅ 3 2 x − 82 ⋅ 3 x + 9 ≥ 0 ,

(

)

¹) 3 x − 5 x − 2 ≥ 2 3 x −3 + 5 x − 4 : µ) 4 ⋅ 4 x − 65 ⋅ 2 x + 16 < 0 , ¹) 5x−3 + 5⋅ (0,2)x−4 ≤ 26:

·) 31− 2 x − 82 ⋅ 3− x −1 + 3 ≥ 0 ,

µ) 3 ⋅ 5 2 x −1 + 0,4 ⋅ 15 x ≥ 9 x ,

50© ³) 2 2 x + 5 ⋅ 6 x −1 ≥ 9 x ,

x

¹) 7 ⋅ 3 x +1 + 3 ⋅ 7 x +1 ≥ 58 ⋅ 21 2 :

·) 3 ⋅ 41− x + 2 ⋅ 91− x < 35 ⋅ 6 − x , Ø 51© ³) 5 ⋅ 2 x + 8 ⋅ 5 x − 2 < 2,8 ⋅

−1

( 10 ) , x

µ) 49

−x

+ 49 ⋅ 25− x −1 ≥ 2,96 ⋅ 35 − x :

Ø 52© ܳí³ÏÁ ¨ ɳëïÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¹áõñë »Ï³Ý Ý³í³Ñ³Ý·ëïÇó£ Ðáë³ÝùÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ Ù»Ï Å³Ù ÉáÕ³Éáõó Ñ»ïá ݳí³ÏÁ »ï ßñçí»ó ¨ ÉáÕ³ó ¹»åÇ É³ëïÁ£ ܳí³Ñ³Ý·ëïÇó ¹áõñë ·³Éáõó áñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï ³Ýó ݳí³ÏÁ ÏѳݹÇåÇ É³ëïÇÝ£ Ø 53© ܳí³ÏÁ ¨ ɳëïÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¹áõñë »Ï³Ý Ý³í³Ñ³Ý·ëïÇó£ Ðáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï »ñÏáõ ų٠ÉáÕ³Éáõó Ñ»ïá ݳí³ÏÁ »ï ßñçí»ó ¨ ÉáÕ³ó ¹»åÇ É³ëïÁ£ ܳí³Ñ³Ý·ëïÇó ¹áõñë ·³Éáõó áñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï ³Ýó ݳí³ÏÁ ÏѳݹÇåÇ É³ëïÇÝ£ Ø54. ܳí³ÏÁ ¨ ɳëïÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ¹áõñë »Ï³Ý Ý³í³Ñ³Ý·ëïÇó£ ºñµ ɳëïÁ ·ïÝíáõÙ ¿ñ ݳí³Ñ³Ý·ëïÇó 3ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³« ݳí³ÏÁ »ï ßñçí»ó ¨ ÉáÕ³ó ¹»åÇ É³ëïÁ£ ܳí³Ñ³Ý·ëïÇó DZÝã Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³ ݳí³ÏÁ ÏѳݹÇåÇ É³ëïÇÝ£ 19

¢1. Èá ³ñÇÃÙÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÁ ܳËáñ¹ ·ÉËáõÙ Ù»Ýù ï»ë³Ýù« áñ 2 x = b ѳí³ë³ñáõÙÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý b -Ç ¹»åùáõÙ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï£ àñáß b -»ñÇ Ñ³Ù³ñ Ù»Ýù ϳñáÕ »Ýù ·ñ»É« û áñÝ ¿ ³Û¹ ³ñÙ³ïÁ£ úñÇݳϫ »Ã» b = 8 « ³å³ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿ª x = 3 £ ÆëÏ ÇÝãå»±ë ¿ ·ñíáõÙ« ûñÇݳϫ 2 x = 7 ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÁ« ³ÛëÇÝùÝ` DZÝã ³ëïÇ×³Ý å»ïù ¿ µ³ñÓñ³óÝ»É 2 ÃÇíÁ 7 ëï³Ý³Éáõ ѳٳñ£ ²Ûë ѳñóÇÝ å³ï³ë˳ݻÉáõ ѳٳñ Ý»ñÙáõÍíáõÙ ¿ Éá·³ñÇÃÙÇ Ñ³ëϳóáõÃÛáõÝÁ£

b ÃíÇ Éá·³ñÇÃÙ a ÑÇÙùáí« áñï»Õ a > 0 « a ≠ 1 « ÏáãíáõÙ ¿ ³ÛÝ ÃÇíÁ« áñáí å»ïù ¿ ³ëïÇ×³Ý µ³ñÓñ³óÝ»É a ÑÇÙùÁ b ÃÇíÁ ëï³Ý³Éáõ ѳٳñ£ b ÃíÇ Éá·³ñÇÃÙÁ a ÑÇÙùáí Ý߳ݳÏáõÙ »Ýª log a b (ϳñ¹³óíáõÙ ¿ª Éá·³ñÇÃÙ a ÑÇÙùáí b )£ ²ÛÉ Ëáëù»ñáíª log a b ÃÇíÁ ax = b ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ ¿, ³ÛëÇÝùÝ`

a log a b = b :

(1)

سëݳíáñ³å»ë« í»ñÁ Ýßí³Í 2 x = 7 ѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x = log 2 7 £ ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ »Ã» a > 0 ¨ a ≠ 1 , ³å³ a x = b ѳí³ë³ñáõÙÝ ³ñÙ³ï ãáõÝÇ, »ñµ b ≤ 0 ¨ áõÝÇ ÙÇ³Ï ³ñÙ³ï, »ñµ b > 0 : л勉µ³ñ,

log a b ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ áñáßí³Í ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ b > 0 , a > 0 , a ≠ 1: (1) µ³Ý³Ó¨Á ÏáãíáõÙ ¿ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝ: ²ÛÝ óáõÛó ¿ ï³ÉÇë« áñ

log a b = x ⇔ b = a x :

(2)

²Ûë ѳٳñÅ»ùáõÃÛáõÝÇó ³ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ý Ñ»ï¨áõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁª 20

³) log a 1 = 0 , µ) log a a = 1 , áñï»Õ m -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿£

·) log a a m = m ,

ºÃ» Éá·³ñÇÃÙÇ ÑÇÙùÁ 10 ¿« ³å³ log 10 b ·ñ»É³Ó¨Ç ÷á˳ñ»Ý Ïñ×³ï ·ñáõÙ »Ýª lg b « ÇëÏ 10 ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÁ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙÝ»ñ£

úñÇÝ³Ï 1£ ³) log 3 81 = 4 « ù³ÝÇ áñ 81 = 3 4 , µ) log 2 0,25 = −2 « ù³ÝÇ áñ 0, 25 = 2 −2 , ·) lg 0,1 = −1 « ù³ÝÇ áñ 0,1 = 10 −1 £

úñÇÝ³Ï 2£ ¶ïÝ»Ýù log 16 128 -Á£ Ü߳ݳϻÝù log16 128 = x £ гٳӳÛÝ (2) ѳٳñÅ»ùáõÃÛ³Ý, 128= 16x « áñï»ÕÇóª 2 7 = 2 4 x ¨ x = 1,75 : ä³ï³ë˳ݪ log 16 128 = 1,75 £

úñÇÝ³Ï 3£ ¶ïÝ»Ýù x -Á« »Ã» ѳÛïÝÇ ¿« áñ ³) log 3 x = 2 , µ) log 2 ( x − 1) = 4 , ·) log 0, 2 x = −2 £ ú·ïí»Éáí (2) ѳٳñÅ»ùáõÃÛáõÝÇó« Ïëï³Ý³Ýùª ³) x = 3 2 = 9 , µ) x − 1 = 2 4 « áñï»ÕÇóª x = 17 , ·) x = (0,2 )−2 = 25 £

úñÇÝ³Ï 4£ гßí»Ýù 9 −2 log 3 5 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ£ ú·ïí»Éáí ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ (1) ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó, ëï³ÝáõÙ »Ýù©

(

9 −2 log 3 5 = 3 −4 log 3 5 = 3log 3 5

)

−4

= 5−4 =

1 £ 625

1.

ÆÝãåÇëDZ a ¨ b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿ ë³ÑÙ³ÝíáõÙ b ÃíÇ Éá·³ñÇÃÙÁ a ÑÇÙùáí£

2.

ê³Ñٳݻù log a b ÃÇíÁ£

3.

à±ñÝ ¿ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ£

4.

à±ñÝ ¿ 3 x = 12 ѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ£

5.

àñá±Ýù »Ý ï³ëÝáñ¹³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÁ£

6.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ© ³) log a 1 , µ) log a a £

7.

ÖßÙ³ñÇ±ï ¿ ³ñ¹Ûáù ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁª ³) log 4 64 = 3 , ·) log 0, 2 5 = −1 £

µ) log 7 50 = 2 ,

21

гßí»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ (55-58)©

55 . ³) log 3 81 ,

µ) log 2 16 ,

·) log 0,1 1000 ,

¹) lg 0,001 £

56 . ³) log 2 5 4 ,

µ) lg 100 ,

·) log 5 253 5 ,

¹) log 1 49 7 £

57 . ³) 5

10

2 log 5 12 ,

µ) 8

58 . ³) log 4 8 ,

7

4 log 8 3 ,

·) 7

0 , 5 log 7 16 ,

·) log 25 1 ,

µ) log 9 27 ,

125

59 . ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ©

µ) (0,5) = 3 ,

·) 10 − x = 6 ,

x

³) 8 x = 5 ,

¹) 9

log 3 8 £

¹) log 1 16

1£ 8

¹) 2 x +1 = 9 £

60 . ¶ïÝ»É x ÃÇíÁ« »Ã» ³) log 6 x = 1 ,

µ) log 5 x = −1 ,

·) log 0, 2 x = −2 ,

¹) log 3 ( 2 x − 1) = 2 ,

») log 2 ( x + 7) = 5 ,

½) log 0 , 5 x 2 = 4 £

2

61 . ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ© µ) lg 1 − x 2 , ·) log 0,5 x − 2 £ ³) log 8 x 2 − 9 , 3+ x

(

)

(

)

Ø62. ²åñ³ÝùÇ ·ÇÝÁ µ³ñÓñ³óñÇÝ 20 %-áí, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ýáñ ·ÇÝÁ Çç»óñÇÝ 20 %-áí£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ù³ÝDZ ïáϳëáí ÷áËí»ó ³åñ³ÝùÇ ·ÇÝÁ ëϽµÝ³Ï³ÝÇ Ñ³Ù»Ù³ï£ Ø63. ²åñ³ÝùÇ ·ÇÝÁ Çç»óñÇÝ 20 %-áí, ³ÛÝáõÑ»ï¨ Ýáñ ·ÇÝÁ µ³ñÓñ³óñÇÝ 20 %-áí£ ²ñ¹ÛáõÝùáõÙ ù³ÝDZ ïáϳëáí ÷áËí»ó ³åñ³ÝùÇ ·ÇÝÁ ëϽµÝ³Ï³ÝÇ Ñ³Ù»Ù³ï£

¢2. Èá ³ñÇÃÙÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Èá·³ñÇÃÙ å³ñáõݳÏáÕ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñ Ó¨³÷áË»ÉÇë ϳñ¨áñ ¹»ñ »Ý ˳ÕáõÙ Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ© ò³Ýϳó³Í a > 0 , a ≠ 1 ÑÇÙùÇ ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý b > 0 « c > 0 Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ© I. log a bc = log a b + log a c ,

b = log a b − log a c , c III. log a b m = m log a b « áñï»Õ m -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí ¿£ log c b IV. log a b = « »Ã» c ≠ 1 £ log c a II. log a

²å³óáõóÙ³Ý Ñ³Ù³ñ û·ïíáõÙ »Ýù ÑÇÙÝ³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó« ѳٳӳÛÝ áñÇ` 22

a log a b = b , a log a c = c :

(1)

´³½Ù³å³ïÏ»Éáí ³Ûë ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ« Ïëï³Ý³Ýù©

a log a b +log a c = bc , áñï»ÕÇó« ݳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýÇ (2) ѳٳñÅ»ùáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ« Ñ»ï¨áõÙ ¿ I ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ (1) ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ³é³çÇÝÁ µ³Å³Ý»Éáí »ñÏñáñ¹Ç íñ³« Ïëï³Ý³Ýù©

a log a b −log a c =

b, c

áñÁ ѳٳñÅ»ù ¿ II ѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ£ ²å³óáõó»Ýù III ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ú·ïí»Éáí ÑÇÙÝ³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÇó ¨ ³ëïÇ׳ÝÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó« ëï³ÝáõÙ »Ýù©

(

a m log a b = a log a b

)

m

= bm ,

áñÁ ѳٳñÅ»ù ¿ III ѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ£ ²å³óáõó»Ýù IV ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ« áñÁ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ÙÇ ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙÇó Ù»Ï ³ÛÉ ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙÇ ³ÝóÙ³Ý µ³Ý³Ó¨£ Üϳï»Ýù« áñ ѳٳӳÛÝ III ѳí³ë³ñáõÃ۳ݫ

log a b ⋅ log c a = log c a log a b = log c b , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ IV µ³Ý³Ó¨Á£

log 3 40 − log 3 10 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ£ 2 log 3 4 ú·ïí»Éáí II-IV ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó« ëï³ÝáõÙ »Ýù.

úñÇÝ³Ï 1£ гßí»Ýù

1 log 3 40 − log 3 10 log 3 4 1 = = log16 4 = log16 16 2 = : 2 log 3 4 log 3 16 2

ä³ï³ë˳ݪ

1 : 2

îñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Éá·³ñÇÃÙ»É a ÑÇÙùáí« Ý߳ݳÏáõÙ ¿ ѳßí»É ³Û¹ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Éá·³ñÇÃÙÁ a ÑÇÙùáí£

úñÇÝ³Ï 2£

9x 3 5 y 2

³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ Éá·³ñÇÃÙ»Ýù 3 ÑÇÙùáí£ z2 ú·ïí»Éáí I-III ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó« ëï³ÝáõÙ »Ýù.

 9x3 5 y 2 log 3   z2 

  = log 9 + log x 3 + log 5 y 2 − log z 2 = 3 3 3 3   2 = 2 + 3 log 3 x + log 3 y − 2 log 3 z : 5 23

81 ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ£ 3 ú·ïí»Éáí ³ÝóÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Çó« ³ÛÝáõÑ»ï¨` II-III ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇó« ëï³ÝáõÙ »Ýù.

úñÇÝ³Ï 3£ гßí»Ýù log 27

81 1 1 4− 4 log 3 81 − log3 3 log3 3 − log 3 3 2 81 3 2 =7 = = = = 3 3 6 log3 27 log 3 3 3 log 3 27 log3

log 27

1 6

ä³ï³ë˳ݪ 1 £ Èá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñ Ó¨³÷áË»ÉÇë Ñ³×³Ë û·ï³Ï³ñ »Ý ÉÇÝáõ٠ݳ¨ Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ³) log a p b = 1 log a b « p

p µ) log a b = log a p b « ·) log a b =

1 , (2) log b a

áñï»Õ a -Ý« b -Ý ¹ñ³Ï³Ý« ÇëÏ p -Ý« q -Ý` Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ãí»ñ »Ý« Áݹ áñáõÙ« a ≠ 1 « p ≠ 0 , ÇëÏ ·)-áõ٠ݳ¨ b ≠ 1 £ ²é³çÇÝ ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ³å³óáõóíáõÙ ¿ ³ÝóÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Ç ¨ III ѳïÏáõÃÛ³Ý û·ÝáõÃÛ³Ùµª

log a p b =

log a b 1 = log a b £ p log a a p

µ) ѳïÏáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ ³)-Çó ¨ III-Çó, ÇëÏ ·) ѳïÏáõÃÛáõÝÁª ³ÝóÙ³Ý µ³Ý³Ó¨Çó:

a 2b3 = 5 £ ú·ïí»Éáí Éá·³ñÇÃÙÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ¨ (2³)-Çó« ëï³ÝáõÙ »Ýù.

úñÇÝ³Ï 4£ ¶ïÝ»Ýù log a b -Ý« »Ã» ѳÛïÝÇ ¿« áñ log

log л勉µ³ñª

b

(

)

b

a 2 b 3 = 2 log b a 2 + log b b 3 = 4 log b a + 6 =

4 + 6 = 5 « áñï»ÕÇóª log a b = −4 £ log a b

4 + 6£ log a b ä³ï³ë˳ݪ − 4 £

1.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Éá·³ñÇÃÙÁ£

2.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ù³Ýáñ¹Ç Éá·³ñÇÃÙÁ£

3.

¶ñ»ù III ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ£

4.

ÆÝãå»±ë »Ý ÙÇ ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙÇó ³ÝóÝáõÙ Ù»Ï ³ÛÉ ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙÇ£

5.

¶ñ»ù (2) ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£

24

гßí»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ (64-67)©

64 . ³) lg 25 + lg 4 ,

6

¹) log 5 75 − log 5 3 ,

6

3

65 . ³) log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 ,

µ) log 8 12 − log 8 15 + log 8 20 ,

·) 1 log 7 36 − log 7 14 − 3 log 7 3 21 ,

(

)

(

¹) 2 log 1 6 − 1 log 1 400 − 4 log 1

2

5

)

(

66 . ³) log 5 7 + 2 6 + log 5 7 − 2 6 , 67 . ³)

½) 2 log 2 6 − log 2 9 £

») log 1 54 − log 1 2 , 3

2

·) 3 log 6 3 + log 6 8 ,

µ) log 1 4 + log 1 9 ,

)

5

4

45 £

5

(

)

µ) log 1,5 3 + 6 − log 1, 5 2 + 6 £

log 5 36 − log 5 12 , log 5 9

lg 8 + lg 18 , lg 4 + lg 3

µ)

1 log 7 14 − log 7 56 log 2 24 − 1 log 2 72 3 2 , ¹) , ·) 1 1 log 6 30 − log 6 150 log 3 18 − log 3 72 2 3 68 . Èá·³ñÇÃÙ»É 10 ÑÇÙùáí ( a > 0, b > 0, c > 0 )© 1 ³) 100 a 3 b 2 c , µ) 0,001a 4 b −3 c 4 , ·) 10 3 a 2 b 2 c −3 , ¹)

a5 , 0,1c 2 b

»)

0,01b 3 3

Ø69. ²å³óáõó»É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ©

2

b c

0 ,5

³) log a b ⋅ log b c = log a c ,

7 3 ½) 0 ,1 b £ 3 2 c a

,

µ) log a b ⋅ log b a = 1 £

гßí»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ (70-72)©

70 . ³) log 2 7 ⋅ log 7 0,25 ,

µ) log 5 11 ⋅ log 11 0,04 ,

·) log 3 4 ⋅ log 16 9 , ») log 7 9 ⋅ log

71 . ³) 10

1− 2 lg 5

3

¹) log 27 125 ⋅ log

7,

3: ½) log 25 81 ⋅ log 3 125 :

µ) 3 log 3 6 − 2 ,

·) 251+ log 5 2 ,

,

Ø72. ³) 36 log 6 5 + 101− lg 2 − 3 log 9 36 ,

(

·) 5 log 25 9 + 3 log 9 25

)

log 2 5

µ) 81

1 log 5 3

(

¹) 2 log 8 27 +3 £

+ 27

log 9 36

¹) 25 log 0 , 2 6 + 4

,

5

+3

)

4 log 7 9

1 log 0 , 5 6 lg 18

,

:

Ø73. ¶ïÝ»É log a b -Ý« »Ã» ³) log a a 3 b 2 = 7 , ¹) log a

a5 =6, b4

µ) log

a

») log

a

a2 b = 9 ,

·) log b a 4 b 6 = 10 ,

b b =1, a4

½) log b

b10 = 5£ a5 25

Ø74. à±ñ x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¿ ×ßÙ³ñÇï ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ( a > 0, a ≠ 1 )© ³) log a x 2 = 2 log a x ,

µ) log a x 2 = 2 log a (− x ) ,

·) log a x 2 = 2 log a | x | ,

¹) log a x 3 = 3 log a x £

75 . ¸Çóáõù (bn ) -Á q ѳÛï³ñ³ñáí »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿ ( bn > 0 ), ¨ an = lg bn , n = 1,2,K £ ³) ¶ïÝ»É a2 − a1 , a9 − a8 , a42 − a41 ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: µ) ¶ïÝ»É an +1 − an ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ n = 1,2,K : ·) ²å³óáõó»É, áñ (an ) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿ ¨ ·ïÝ»É Ýñ³ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ£

Ø76. ¶ïÝ»É Ýßí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ« áñï»Õ x1 -Á ¨ x 2 -Á ïñí³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý© ³) 2 x 2 − 7 x + 2 = 0, ·) x 2 − 4 x − 3 = 0,

4 x12 + 4 x 22 ,

µ) 3x 2 − 6 x − 2 = 0,

x12 + x 22 − x12 ⋅ x 22 ,

3x1 3 x 2 £ + x2 x1

¢3© Èá ³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódz Èá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ÏáãíáõÙ ¿

f ( x ) = log a x µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ýáõÝÏódzݫ áñï»Õ a -Ý 1-Çó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ Üß»Ýù Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ£

1) üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¹ñ³Ï³Ý ÏÇë³³é³ÝóùÝ ¿ª D( f ) = (0, ∞ )£ 2) üáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ ¿ª

E ( f ) = (− ∞ , ∞ ) £ Æñáù« Ï³Ù³Û³Ï³Ý y ³ñÅ»ù ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = a y Ï»ïáõÙ« ù³ÝÇ áñ log a a y = y £ üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ³é³çÇÝ ¨ ãáññáñ¹ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ£ 3) üáõÝÏóÇ³Ý ÙáÝáïáÝ ¿ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ£ Àݹ áñáõÙ« ³ÛÝ ³×áÕ ¿« »Ã» a > 1 ¨ Ýí³½áÕª »Ã» 0 < a < 1 £ ²å³óáõó»Ýù« áñ a > 1 ¹»åùáõÙ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x1 ¨ x2 ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ x1 < x2 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿« áñ

log a x1 < log a x2 : 26

(1)

ºÝó¹ñ»Ýù ѳϳé³ÏÁª

x1 < x 2 , µ³Ûó log a x1 ≥ log a x 2 :

(2)

гßíÇ ³éÝ»Éáí« áñ y = a x ýáõÝÏóÇ³Ý a > 1 ¹»åùáõÙ ³×áÕ ¿« Ïëï³Ý³Ýù

a log a x1 ≥ a log a x2 ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ« áñï»ÕÇó« ÑÇÙÝ³Ï³Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ÝáõÛÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ« Ñ»ï¨áõÙ ¿« áñ x1 ≥ x 2 £ ê³ Ñ³Ï³ëáõÙ ¿ x1 < x 2 å³ÛÙ³ÝÇÝ« ѻ勉µ³ñ« Ù»ñ »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÁ, û ï»ÕÇ áõÝÇ (2)-Á, ëË³É ¿, ³ÛëÇÝùÝ, ï»ÕÇ áõÝÇ (1)-Á: ÜÙ³Ý Ó¨áí« û·ïí»Éáí Ù»ÏÇó ÷áùñ ÑÇÙùáí óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½áÕ ÉÇÝ»Éáõó« ϳå³óáõó»Ýù« áñ 0 < a < 1 ¹»åùáõÙ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿£ 4) üáõÝÏóÇ³Ý 0 ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = 1 Ï»ïáõÙ£ ²Ûëï»ÕÇó ¨ ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛáõÝÇó (ï»°ë 3) Ñ»ï¨áõÙ ¿© 5) ³) a > 1 ¹»åùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý µ³ó³ë³Ï³Ý ¿ (0, 1) ¨ ¹ñ³Ï³Ýª (1, ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ« µ) 0 < a < 1 ¹»åùáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý ¹ñ³Ï³Ý ¿ (0, 1) ¨ µ³ó³ë³Ï³Ýª (1, ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ£ Èá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ Ùáï³íáñ ·ñ³ýÇÏÁ µ»ñí³Í ¿ 6-ñ¹ ÝϳñáõÙ£

1

y = log a x

y = log a x 1

1

a

O

a

1

x

-1

O

a 1

1

a

x

-1

a >1 ³)

0 < a 0 ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ µ³í³ñ³ñáÕ x -»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ£ ÈáõÍ»Éáí ³Û¹ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ« ëï³ÝáõÙ »Ýùª D ( f ) = ( −∞,1) U ( 4, ∞) £

úñÇÝ³Ï 2: ´³Õ¹³ï»Ýù 4 log 0, 7 3 ¨ 3 log 0,7 4 Ãí»ñÁ£ 27

Èá·³ñÇÃÙÇ III ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿« áñ

4 log 0, 7 3 = log 0, 7 3 4 = log 0, 7 81 « 3 log 0, 7 4 = log 0, 7 4 3 = log 0, 7 64 : ø³ÝÇ áñ 0,7 < 1 « áõñ»ÙÝ y = log 0,7 x Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿£ гßíÇ ³éÝ»Éáí« áñ 81 > 64 « ëï³ÝáõÙ »Ýùª

log 0,7 81 < log 0,7 64 « ³ÛëÇÝùݪ

4 log 0,7 3 < 3 log 0,7 4 £

úñÇÝ³Ï 3: ¶ïÝ»Ýù f ( x) = log 3 ( x + 3) ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ£

üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ [0, ∞ ) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿« áñÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï³Ù³Û³Ï³Ý

x -Ç Ñ³Ù³ñª

x + 3 ≥ 3 £ ø³ÝÇ áñ Éá·³ñÇÃÙÇ ÑÇÙùÁ Ù»Í ¿ Ù»ÏÇó« áõñ»Ùݪ f ( x) = log 3 ( x + 3) ≥ log 3 3 = 1 £

л勉µ³ñ, ýáõÝÏódzÛÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 1 -Ý ¿« áñÁ ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = 0

Ï»ïáõÙ£ ²ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ [1, ∞ ) ÙÇç³Ï³ÛùÁ« ù³ÝÇ áñ Éá·³ñÇÃÙ³ï³Ï ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É 3 -Çó Ù»Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý ÃÇí£

1.

à±ñ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ ÏáãíáõÙ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódz£

2.

à±ñÝ ¿ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ£

3.

à±ñÝ ¿ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ:

4.

à±ñ ù³éáñ¹Ý»ñáõÙ ¿ ·ïÝíáõÙ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ:

5.

º±ñµ ¿ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¨ »±ñµª Ýí³½áÕ:

6.

àñá±Ýù »Ý Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ£

7.

γéáõó»É y = log 2 x ¨ y = log 0,5 x ýáõÝÏódzݻñÇ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ:

77© ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ© ³) y = log 3 (5 x − 6) ,

µ) y = log 0,5 (4 − 2 x) ,

·) y = log 3 ( x 2 − 7) ,

¹) y = lg( x 2 − 2 x + 1) ,

») y = log 4 2 x + 5 ,

½) y = log 9 x − 3 £

78© ´³Õ¹³ï»É Ãí»ñÁ ©

7

1− x

³) log 3 7 ¨ log 3 5 ,

µ) lg 0,7 ¨ lg 0,71 ,

·) log 1 6 ¨ log 1 4 ,

¹) log 0 , 4

») log 4 3 3 ¨ 0 ,

½) log

3 ¨ 0,

79 . ä³ñ½»É ýáõÝÏódzÛÇ ³×áÕ Ï³Ù Ýí³½áÕ ÉÇÝ»ÉÁ© 28

2 − 4x

3 3

2 ¨ 1£

3

³) f ( x) = log 3, 2 x ,

µ) f ( x) = log 0,01 x ,

·) f ( x) = lg x £

80 . ä³ñ½»É« û a -Ç á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¨ áñáÝó ¹»åùáõÙª Ýí³½áÕ© ³) f ( x ) = log a x ,

81© àñáᯐ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ© ³) log

2

·) f ( x ) = log 2 − a x :

µ) f ( x ) = log a −1 x ,

(

( 3 + 1),

)

µ) lg 17 − 4 ,

·) log 0,9 0,99 ,

¹) log 0,1 1,01 £

Ø82. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ© µ) y = log 0, 4 (2 x − 3) ,

³) y = log 2 ( x − 2) ,

·) y = lg( x 2 − 3) £

83 . γéáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ©

µ) y = log 0,5 (x + 3) ,

³) y = log 2 (x − 4) ,

·) y = log 3 x + 2 £

Ø84. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁª ³) y = log 2

(

)

x +4 ,

(

)

µ) y = log 0,7 1 − x 2 ,

·) y = lg (| x | +0,1) £

Ø85. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ¨ ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ. ³) y = log 0 , 2

(

)

x +5 ,

(

)

µ) y = log 6 6 − x 2 ,

·) y = lg(10 − | x |) £

Ø86. ¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ© ³) log x −1 (5 − x ) ,

µ) log 2 − x (3 x + 9) ,

·) log x ( x 2 − 2 x) ,

¹) log 3− x (16 − x 2 ) ,

») log x 2 x + 8 ,

½) log x − 4 x − 2 :

7−x

5x + 1

Ø87. ²å³óáõó»É« áñ ³) sin

π = 8

2− 2 , 2

µ) cos

π = 12

6+ 2 , 4

·) tg

π = 2 −1£ 8

¢4© Èá ³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ¸Çï³ñÏ»Ýù å³ñ½³·áõÛÝ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁª

log a x = b ,

(1)

áñï»Õ a -Ý 1 -Çó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ ÆÝãå»ë ·Çï»ù, ³ÛÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù ¿ ab = x b ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ, ³ÛëÇÝùÝ (1) ѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x = a £

ºÃ» (1) ѳí³ë³ñÙ³Ý Ù»ç x -Ç ÷á˳ñ»Ý ·ñí³Í ¿ ÷á÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ áñ¨¿ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ« ³å³ ѳí³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý Ó¨áí£

úñÇÝ³Ï 1£ ÈáõÍ»Ýù ѳí³ë³ñáõÙÁ© 29

log 3 ( x 2 − 7 x + 21) = 2 £

(2)

²Ûë ѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿

x 2 − 7 x + 21 = 3 2 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁ« áñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª x1 = 3 « x 2 = 4 £ ä³ï³ë˳ݪ 3; 4 £ Èá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë Ñ³×³Ë ¿ û·ï³·áñÍíáõÙ Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÁ© »Ã» a -Ý 1-Çó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿ ¨ u > 0, v > 0 « ³å³

log a u = log a v

(3)

ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿ u = v ѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ£ Æñáù« Éá·³ñÇÃÙÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ« (3)-Çó Ñ»ï¨áõÙ ¿« áñ u = a log a u = a log a v = v £ ØÛáõë ÏáÕÙÇó« ³ÏÝѳÛï ¿« áñ ¹ñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ u = v ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ (3)-Á£

úñÇÝ³Ï 2£ ÈáõÍ»Ýù ѳí³ë³ñáõÙÁ© log 5 ( x 2 + 3x) = log 5 ( x + 3) £

(4)

гí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Ý ³ÛÝ x -»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿« áñáÝù µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý

x + 3 > 0  2  x + 3x > 0

(5)

ѳٳϳñ·ÇÝ: ²Û¹åÇëÇ x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ (4) ѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿

x 2 + 3x = x + 3

(6)

ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý x = −3 ¨ x = 1 £ êïáõ·»Éáí« Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù« áñ

x = −3 ³ñÙ³ïÁ ãÇ µ³í³ñ³ñáõÙ (5) ѳٳϳñ·ÇÝ« ÇëÏ x = 1 ³ñÙ³ïÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿£ Üϳï»Ýù« áñ ѳٳӳÛÝ (6) ѳí³ë³ñáõÃ۳ݫ µ³í³Ï³Ý ¿ ëïáõ·»É ѳٳϳñ·Ç ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇó Ù»ÏÁ (³í»ÉÇ å³ñ½Á)£ ä³ï³ë˳ݪ 1 £ ºÃ» Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÁ ÙǨÝáõÛÝ ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñ (ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñ) »Ý« ³å³ ³ÛÝ µ»ñíáõÙ ¿ (2) ϳ٠(4) ï»ëùÇ Ñ³í³ë³ñÙ³Ý »ñÏñáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ µ»ñí³Í I-II ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ£ ä»ïù ¿ Ý߻ɫ áñ Éá·³ñÇÃÙÇ I-III ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝ³Ï³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ ã»Ý« ù³ÝÇ áñ Ýñ³Ýó ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÇ ÃáõÛɳïñ»ÉÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ï³ñµ»ñ »Ý£ ¸³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿« áñ ïñí³Í Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ³Û¹ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ å³ñ½»óÝ»ÉÇë Ù»Ýù« ÑÇÙݳϳÝáõÙ« ëï³ÝáõÙ »Ýù ѳí³ë³ñáõÙ« 30

áñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ ¿ ïñí³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ»ï¨³ÝùÁ« µ³Ûó ϳñáÕ ¿ ѳٳñÅ»ù ãÉÇÝ»É Ýñ³Ý£ ²ÛëÇÝùÝ` ëï³óí³Í ³ñÙ³ïÝ»ñÇ Ù»ç ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ³ÛÝåÇëÇù, áñáÝù ã»Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ëϽµÝ³Ï³Ý ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ: л勉µ³ñ« Ýßí³Í ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ÏÇñ³éٳٵ å³ñ½»óí³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõó Ñ»ïá ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ëïáõ·»É« áñ ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ å³ïÏ³Ý»Ý ïñí³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ:

úñÇÝ³Ï 3£ ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ© log 2 ( x + 1) + log 2 ( x + 3) = 3 £ гí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Ý ³ÛÝ x -»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿« áñáÝó ѳٳñ x + 1 > 0 ¨ x + 3 > 0 £ ²Û¹åÇëÇ x -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿

log 2 ( x + 1)( x + 3) = 3 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñï»ÕÇóª

( x + 1)( x + 3) = 8 £ ÈáõÍ»Éáí ³Ûë ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ« ëï³ÝáõÙ »Ýùª x1 = −5 « x 2 = 1 £ êïáõ·»Éáí« Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù« áñ ³é³çÇÝ ³ñÙ³ïÁ ãÇ å³ïϳÝáõÙ ëϽµÝ³Ï³Ý ѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-ÇÝ« ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á å³ïϳÝáõÙ ¿£ ä³ï³ë˳ݪ 1 £

úñÇÝ³Ï 4£ ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ© log 32 x 2 + 8 log 3 x − 12 = 0 £ гí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á ¹ñ³Ï³Ý x -»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñáÝó ѳٳñ log 3 x 2 = 2 log 3 x £ àõëïÇ ïñí³Í ѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿

4 log 32 x + 8 log 3 x − 12 = 0 ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ, áñÁ 4 -áí Ïñ׳ï»Éáõó Ñ»ïá t = log 3 x Ý߳ݳÏáõÙáí µ»ñíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñÙ³ÝÁª

t 2 + 2t − 3 = 0 : ì»ñçÇÝÇë ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª t1 = −3 , t2 = 1 : ÈáõÍ»Éáí log 3 x = −3 ¨ log 3 x = 1 −3 ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýùª x1 = 3 =

1 , x =3£ 27 2

ä³ï³ë˳ݪ 3;

1 £ 27

úñÇÝ³Ï 5£ ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ© x lg x +5 = 1015+3 lg x £ гí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Á (0, ∞ ) ÙÇç³Ï³ÛùÝ ¿, áñï»Õ Ýñ³ ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý£ л勉µ³ñ« Éá·³ñÇÃÙ»Éáí ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÁ 10 ÑÇÙùáí« Ïëï³Ý³Ýù ïñí³ÍÇÝ Ñ³Ù³ñÅ»ù Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÙÁª 31

(lg x + 5) lg x = 15 + 3 lg x £ Ü߳ݳϻÉáí t = lg x ¨ ÉáõÍ»Éáí ëï³óí³Í ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ Ñ³í³ë³ñáõÙÁª ëï³ÝáõÙ »Ýùª lg x = −5 ϳ٠lg x = 3 « áñï»ÕÇóª x = 10 −5 ϳ٠x = 1000 £ ä³ï³ë˳ݪ 10 −5 ; 1000 £ 1.

à±ñÝ ¿ å³ñ½³·áõÛÝ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ£

2.

ÆÝãå»±ë »Ý ÉáõÍáõÙ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÁ« áñáÝó ³ç ¨ Ó³Ë Ù³ë»ñÁ ÙǨÝáõÛÝ ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñ »Ý£

3.

º±ñµ ϳñáÕ »Ý ëï³óí»É ÏáÕÙݳÏÇ ³ñÙ³ïÝ»ñ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÉáõÍ»ÉÇë£

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (88-100). µ) lg(2 x − 7) = −1 ,

88 . ³) log 7 (3 x − 29) = 2 ,

¹) log 0, 2 (5 x + 10) = −2 £

·) log 0,7 (8 x − 23) = 0 ,

89 . ³) log 3 ( x 2 − 2 x + 19) = 3 ,

µ) log 2 (7 x 2 + 8 x + 2) = 0 ,

·) log 1 ( x 2 + 7 x + 3) = −4 ,

¹) log 1 (3 x 2 + 4 x − 4) + 2 = 0 £

3

90 . ³) log 3 ( x − 1) = log 3 5 + log 3 2 , ·) log 5 ( x + 4) = 3 log 5 2 + log 5 3 ,

91 . ³) log 4 (5 x + 3) = log 4 (7 x + 5) , ·) log

10

( x + 1) = lg(3x 2 + 9 x + 1) ,

92 . ³) log 3 ( x + 1) + log 3 ( x + 3) = 1 , ·) 2 log 2 ( x − 5) + log

2

( x + 2) = 6 ,

4

µ) lg(2 x − 5) = 2 lg 3 + 1 , ¹) log 1 (5 x − 7) + 1 = 2 log 1 6 £ 5

5

µ) log 7 (6 x − 1) = log 7 ( 4 x + 9) , ¹) lg( x 2 + 2 x − 7) 2 = 2 lg( x − 1) £ µ) log 9 ( x + 1) + log 9 ( x − 1) = 0 , ¹) 3 lg( x − 3 ) + lg( x + 3 ) 3 = 0 £

Ø93. ³) log 1 x + 2 log 1 ( x + 8) = log 1 ( 2 x − 1) − 2 , 3

9

3

µ) log 2 ( x − 3) + log 8 x 3 + log 0 ,5 ( 2 x − 5) = 1 , ·) 2 log 25 ( 2 x + 5) − log 0 , 2 ( x − 1) = log

1 6 + =1, lg 10 x lg x + 5 1 1 ·) + = 1, log 2 16 x 1 − log 4 x

Ø94. ³)

95 . ³) log 32 x − 2 log 3 x − 3 = 0 , ·) 3log62 x − 4 log6 36x + 1 = 0 , 32

5

( 4 x − 5) £

µ)

1 2 + =1, 5 − lg( x − 1) lg 10 ( x − 1)

¹)

5 1 − = 1£ lg 100 x log 0,1 x + 6

µ) lg 2 ( x − 1) − 2 lg( x − 1) + 1 = 0 , ¹) 4 log24 x − 2 log2 x +1 = 0 £

Ø96. ³) lg(10 x 2 ) ⋅ lg(100 x) = 9 ,

µ) lg 2 (10 x 2 ) + lg 2 ( 0,1x ) = 9 ,

x3 = 20 , 9 Ø97. ³) log 16 ( 4 x + 5) ⋅ log x 4 = 1 ,

¹) log 2 (2 x) ⋅ log 2 x = 4 £

·) log 3 (3 x 2 ) ⋅ log 3

·) log x 81x 2 ⋅ log 9

98 . ³) 3 4 x + 2 = 5 ,

x =3, µ) 10 2 x + 3 = 2 ,

Ø99. ³) x log 3 x −3 = 81 , µ) x lg x −1 = 100 ,

4 µ) log 9 (3 x + 4) ⋅ log x 3 = 1 , x3 ⋅ log 16 x = 2 £ ¹) log x 32 ·) 4 5 x −1 = 6 ,

¹) 210 x −5 = 7 £

·) x log 5 x = 125 x 2 ,

¹) (9 x) log 3 x − 2 = x 3 £

Ø 100. ³) lg( 3 x +1 − 2 ) + lg( 3 x +1 + 2 ) = lg 5 , µ) (1 − x) log 3 2 + log 3 (4 x + 2) = 2 £

101 . ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Á©

 xy = 2 2 log 2 x − log 2 y = 8 ;

 x + y = 34 log 2 x + log 2 y = 6 ;

µ) 

log 4 ( x + y ) = 2 log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 7 ;

¹) 

³)  ·) 

log 0, 2 ( x + y ) + 2 = 0 log 0, 2 ( x − y ) + 1 = 0:

Ø 102. ²å³óáõó»É« áñ »ñÏÝÇß ÃíÇ ¨ ÝáõÛÝ Ãí³Ýß³ÝÝ»ñáí« µ³Ûó ѳϳé³Ï ϳñ·áí ·ñí³Í ÃíÇ ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 11 -Ç£ Ø 103. ²å³óáõó»É« áñ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇÝ 5 -Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ãÇ Ï³ñáÕ ëï³óí»É` ³) 2 Ùݳóáñ¹,

µ) 3 Ùݳóáñ¹£

¢5© Èá ³ñÇÃÙ³Ï³Ý ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñ ¸Çï³ñÏ»Ýù å³ñ½³·áõÛÝ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁª

log a x > b ¨ log a x < b «

(1)

áñï»Õ a -Ý 1-Çó ï³ñµ»ñ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ êϽµáõÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ûñÇݳÏÁ£ y úñÇÝ³Ï 1£ ÈáõÍ»Ýù log 2 x > 3 ³Ýѳlog 2 x í³ë³ñáõÙÁ£ 3 ¶Çï»Ýù« áñ f ( x ) = log 2 x Éá·³ñÇÃÙ³y= log 2 x Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ (0; ∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ£ ²ÛÝ ³×áÕ ¿ ¨ ÁݹáõÝáõÙ ¿ 3 ³ñÅ»ùÁ

x = 2 = 8 Ï»ïáõÙª log 2 8 = 3 £ л勉µ³ñ 3

O

1

8

x

ÜÏ. 7 33

(ÝÏ. 7) «

log 2 x > 3 ⇔ log 2 x > log 2 8 ⇔ x > 8 : ä³ï³ë˳Ý` (8; ∞ ) : ²ÛÅÙ ùÝݳñÏ»Ýù ÁݹѳÝáõñ ¹»åùÁ£ ÐÇß»Ýù« áñ f ( x) = log a x Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ (0; ∞) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ« Áݹ áñáõÙ, ³ÛÝ ³×áÕ ¿, »Ã» a > 1 ¨ Ýí³½áÕ ¿« »Ã» 0 < a < 1 £ ¸³ Ý߳ݳÏáõÙ ¿« áñ. »Ã» a > 1 « ³å³ »Ã» 0 < a < 1 « ³å³

log a u > log a v ⇔ u > v > 0

log a u > log a v ⇔ 0 < u < v £ ²ÛëåÇëáí ÙǨÝáõÛÝ ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó Ýñ³Ýó ³ñ·áõÙ»ÝïÝ»ñÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÝ ³ÝóÝ»ÉÇëª ³) 1-Çó Ù»Í ÑÇÙùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ ãÇ ÷áËíáõÙ« µ) 1-Çó ÷áùñ ÑÇÙùÇ ¹»åùáõÙ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ ßñçíáõÙ ¿£ ºí ѳϳé³ÏÁ© ¹ñ³Ï³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñáí ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Éá·³ñÇÃÙ»É ÙǨÝáõÛÝ ÑÇÙùáí« Áݹ áñáõÙ« ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁ ãÇ ÷áËíáõÙ« »Ã» ÑÇÙùÁ Ù»Í ¿ Ù»ÏÇó ¨ ßñçíáõÙ ¿« »Ã» ÑÇÙùÁ ÷áùñ ¿ Ù»ÏÇó£ ì»ñ³¹³éݳÉáí (1) ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇÝ« Ýϳï»Ýù« áñ ¹ñ³Ýù ϳñ»ÉÇ ¿ ·ñ»É Ñ»ï¨Û³É ï»ëù»ñáíª

log a x > log a a b ¨ log a x < log a a b £ ²ÛÅÙ« ѳßíÇ ³éÝ»Éáí« áñ a b > 0 , Ïëï³Ý³Ýù« áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý b ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, »Ã» a > 1 « ³å³`

log a x > b ⇔ x > a b « log a x < b ⇔ 0 < x < a b »Ã» 0 < a < 1 « ³å³`

log a x > b ⇔ 0 < x < a b log a x < b ⇔ x > a b гٳÝÙ³Ýáñ»Ý »Ý ÉáõÍíáõ٠ݳ¨ å³ñ½³·áõÛÝ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý áã ËÇëï ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£

úñÇÝ³Ï 2£ log 0,5 x ≥ 2 ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª 0 < x ≤ 0,25 « ÇëÏ log 0,5 x ≤ 2 ³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁª x ≥ 0,25 : ²ÛÝ ¹»åù»ñáõÙ« »ñµ (1) ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñáõÙ x -Ç ÷á˳ñ»Ý ·ñí³Í ¿ ÷á÷á˳34

Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ áñ¨¿ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝ« ÉáõÍáõÙÁ ·ïÝíáõÙ ¿ ÝÙ³Ý Ó¨áí£

úñÇÝ³Ï 3£ ÈáõÍ»Ýù ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ© log 1 ( 2 x + 3) ≥ −2 £ 5

ø³ÝÇ áñ Éá·³ñÇÃÙÇ ÑÇÙùÁ ÷áùñ ¿ Ù»ÏÇó« ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿

2 x + 3 > 0  −2  1 x + ≤ 2 3    5  ѳٳϳñ·ÇÝ« áñÇ ÉáõÍáõÙÝ ¿ª − 1,5 < x ≤ 11 £

ä³ï³ë˳ݪ (− 1,5;11] £ Üß»Ýù« áñ Éá·³ñÇÃÙÝ»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ϳñ»ÉÇ ¿ ÉáõÍ»É a > b ϳ٠a x < b ï»ëùÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý å³ñ½³·áõÛÝ óáõóã³ÛÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÙ« áñÁ Ù»Ýù ÙÇÝã ³ÛÅÙ ÉáõÍ»É »Ýù ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åù»ñáõÙ« »ñµ b -Ý Ï³ñáÕ³ó»É »Ýù Ý»ñϳ۳óÝ»É a -Ç ³ëïÇ׳ÝÇ ï»ëùáí£ x

úñÇÝ³Ï 4£ ÈáõÍ»Ýù 2 x < 5 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ£ ø³ÝÇ áñ 2 > 1 « ϳñáÕ »Ýù ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý »ñÏáõ Ù³ë»ñÁ Éá·³ñÇÃÙ»É 2 ÑÇÙùáí« å³Ñå³Ý»Éáí ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³Ý Ýß³ÝÁª log 2 2 x < log 2 5 « áñï»ÕÇóª x < log 2 5 £ ä³ï³ë˳ݪ ( −∞; log 2 5) £

úñÇÝ³Ï 5£ ÈáõÍ»Ýù ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ© lg( x + 27) − lg(16 − 2 x) > lg x £ ܳ˫ ÉáõÍ»Éáí

 x + 27 > 0  16 − 2 x > 0  x > 0 ѳٳϳñ·Á« ·ïÝ»Ýù ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý Â²´-Áª x ∈ (0; 8)£ ²ÛÝáõÑ»ï¨ ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ ·ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáíª lg( x + 27) > lg(16 − 2 x) + lg x « áñï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù.

lg( x + 27) > lg(16 − 2 x) x £ ø³ÝÇ áñ Éá·³ñÇÃÙÇ ÑÇÙùÁ Ù»Í ¿ 1-Çó« áõñ»ÙÝ

x + 27 > (16 − 2 x) x £ ²Ûë ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÝ ¿ª x ∈ ( −∞; 3) U ( 4,5; ∞ ) « áñÁ ѳï»Éáí ²´-Ç Ñ»ï« ëï³ÝáõÙ »Ýù å³ï³ë˳ÝÁ: ä³ï³ë˳Ý` (0; 3) U ( 4,5; 8) £ 35

úñÇÝ³Ï 6£ ÈáõÍ»Ýù ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ© log 02,5 x + 3 log 0,5 x − 10 ≥ 0 £ 2 ²Ýѳí³ë³ñáõÙÁ log 0,5 x = t Ý߳ݳÏáõÙáí µ»ñíáõÙ ¿ t + 3t − 10 ≥ 0 ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ

³Ýѳí³ë³ñÙ³ÝÁ« áñÇ ÉáõÍáõÙÝ ¿ª

t ≤ −5 t ≥ 2  ѳٳËáõÙµÁ£ ì»ñ³¹³éݳÉáí Ý߳ݳÏÙ³ÝÁ« ëï³ÝáõÙ »Ýù log 0,5 x ≤ −5 log x ≥ 2  0, 5 ѳٳËáõÙµÁ£ гßíÇ ³éÝ»Éáí« áñ Éá·³ñÇÃÙÇ ÑÇÙùÁ ÷áùñ ¿ Ù»ÏÇó« ·ïÝáõÙ »Ýù« áñ ëï³óí³Í å³ñ½³·áõÛÝ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý Ñ³í³ë³ñáõÙÝ»ñÇó ³é³çÇÝÇ ÉáõÍáõÙÝ ¿ª

x ≥ 32 , ÇëÏ »ñÏñáñ¹ÇÝÁª 0 < x ≤ 0,25 £ Ødzíáñ»Éáí ³Ûë ÉáõÍáõÙÝ»ñÁ« ëï³ÝáõÙ »Ýù å³ï³ë˳ÝÁ: ä³ï³ë˳Ý` (0; 0,25]U [32; ∞ ) £ 1. àñá±Ýù »Ý å³ñ½³·áõÛÝ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ³Ýѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÁ£ 2. à±ñÝ ¿ log a x ≥ b ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ« »Ã»` ³) a > 1 , µ) 0 < a < 1 : 3. à±ñÝ ¿ log a x < b ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ« »Ã»` ³) a > 1 , µ) 0 < a < 1 : x 4. à±ñÝ ¿ a > b ³Ýѳí³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ« »Ã»` ³) a > 1 , µ) 0 < a < 1 :

ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ (104-114).

104© ³) log 2 ( x − 5) ≥ 3 , ¹) log 1 ( x + 1) ≤ −5 , 2

¿) log 9 (3 x − 6) > 0 ,

µ) log 1 (2 x − 5) > 2 , ») log 7 (6 − x ) < 1 ,

½) log 1 ( x − 8) > 1 ,

Á) log 7 (4 x + 8) ≤ 0 ,

Ã) lg(12 x − 18) ≤ 0 :

105© ³) log 3 ( x 2 + 7 x − 5) < 1 , ·) log x + 4 > −3 , 1

4 x+5 106© ³) lg(11 − 3 x ) < 2 − lg 5 ,

(

)

·) log 2 4 x − x 2 < 5 + 2 log 0 , 5 3 ,

107© ³) log 4 ( x + 3) ≤ log 4 (9 x − 13) , ·) log 36

·) log 5 ( x − 5) ≤ −2 ,

3

( 2 x + 1) > lg(8 x + 9) , 10

8

5

µ) log 0 ,1 ( x 2 + 2 x + 2) ≤ −1 , ¹) log 2 3 x − 1 < 0 :

x+2

µ) lg (7 x + 5 ) < 1 + lg 3 ,

(

)

¹) log 2 x − 3x − 4 ≤ 2 + log 2

2

3£

µ) log 3 (2 x + 7) > log 3 (7 x − 18) , 5

5

¹) 2 log (2 x − 7) ≤ log (3x − 6) £ 0,3 0,3

108© ³) log 2 x + log 2 ( x − 3) > 2 ,

µ) log

·) lg x + lg(13 − 2 x) < 1 + lg 2 ,

¹) log1

1 2 , < 5 − lg x lg x + 1

Ø110. ³) (2 x )log 2 x > 64 ,

( x − 4) + 2 log 6 ( x + 1) ≤ 2 , 7

x + 7 + log 1 7 ( x + 1) ≤ −1 £

2 µ) log 1 6 x + 3 log 1 6

Ø 109. ³) 4 log 22 x + log 2 x > 5 , ·) 1 −

6

¹) log 0,5 x + 4 ≥ µ) x log 3 ( 9 x ) ≤ 27 ,

Ø 111. ³) log 3 x − 5 7 < 0 ,

x ≤ 1, 6

log 02,5 x £ 4 − log 0,5 x

·) x lg10 x < 100x 2 :

µ) log 2 x − 7 0,8 > 0 £

112 . Ü»ñϳ۳óÝ»É ëáíáñ³Ï³Ý Ïáïáñ³ÏÇ ï»ëùáí© ³) 0, (3) ,

µ) 0, (12) ,

·) 4, ( 2) ,

¹) 1,3(6) ,

») 2,5(10) :

Ø 113. ¶ïÝ»É ³Ýí»ñç Ýí³½áÕ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³Ûï³ñ³ñÁ« »Ã» Ýñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 4 ¿« ÇëÏ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ Ëáñ³Ý³ñ¹Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÁª 192 £

37

îñ³Ù³µ³ÝáõÃÛ³Ý ï³ññ»ñÁ: Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ë³ÑÙ³Ý §1. ²ëáõÛÃÝ»ñ, ¹ñ³Ýó ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ ÅËïáõÙÁ

áõÙ³ñÁ,

¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ݳ˳¹³ëáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. ( A) ºñ¨³ÝÁ г۳ëï³ÝÇ Ù³Ûñ³ù³Õ³ùÝ ¿: (B ) ²Ù»Ý³³ñ³·³ß³ñŠϻݹ³ÝÇÝ ÏñÇ³Ý ¿: (C ) 3 + 2 = 5 : (D) 4 + 6 < 7 :

π =0: 7 ²Ûë ݳ˳¹³ëáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ϳ٠ϻÕÍ: ÜÙ³Ý ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ëáõÛà (åݹáõÙ): Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ëáõÛà ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ×ßÙ³ñÇï ϳ٠ϻÕÍ: ¶ïÝ»É ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ, Ý߳ݳÏáõÙ ¿ª å³ñ½»É ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñÇï ϳ٠ϻÕÍ ÉÇÝ»ÉÁ: ²ÛëÇÝùݪ ³ëáõÛÃÁ ϳñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É »ñÏáõ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùª §×ßÙ³ñÇï¦ ¨ §Ï»Õͦ: ´»ñí³Í ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ·ïÝ»ÉÁ Ñ»ßï ¿ª A, C , E ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ×ßÙ³ñÇï »Ý, ÇëÏ B, D, F ³ëáõÛÃÝ»ñÁª Ï»ÕÍ: §1-Á ÷áùñ ÃÇí ¿¦ ݳ˳¹³ëáõÃÛáõÝÝ ³ëáõÛà ã¿, ù³ÝÇ áñ Ñݳñ³íáñ ã¿ å³ñ½»É ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿, ûª Ï»ÕÍ: ÆѳñÏ» 10-Ç Ñ³Ù»Ù³ïáõÃÛ³Ùµ 1-Á ÷áùñ ÃÇí ¿, µ³Ûó 0,1-Ç Ñ³Ù»Ù³ïáõÃÛ³Ùµ ¿É Ù»Í ¿: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ¹³ïáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÁ© x ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç£ G (x) x ÃÇíÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿: H (x) I (x) x 2 + 2x > 9 : ºÃ» x = 10 , ³å³ »ñ»ù ³ëáõÛÃÝ»ñÝ ¿É ×ßÙ³ñÇï »Ý, ÇëÏ »Ã» x = 1 , ³å³ H (x) (E )

3⋅ 2 > 5:

(F )

sin

³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, ÇëÏ G (x) ¨ I (x) ³ëáõÛÃÝ»ñÁª Ï»ÕÍ: êñ³Ýù ÷á÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý (³ëáõÛóÛÇÝ Ó¨»ñ), áñáÝù x ÷á÷á˳ϳÝÇ áñáß ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõ٠ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ×ßÙ³ñÇï, ÇëÏ áñáßÝ»ñÇ ¹»åùáõÙª Ï»ÕÍ: úñÇݳϪ G (15), H ( 3 ), I (3,1) ³ëáõÛÃÝ»ñÁ ×ßÙ³ñÇï »Ý, ÇëÏ G (9), H (0), I (1,3) ³ëáõÛÃ-

Ý»ñÁª Ï»ÕÍ: 38

log 2 x = 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ (ÇÝãå»ë ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ÛÉ Ñ³í³ë³ñáõÙ) ÷á÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ ³ëáõÛà ¿: ºñµ x = 8 , ³ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛà ¿, ÇëÏ x -Ç Ùݳó³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ¹»åùáõÙ ¹³éÝáõÙ ¿ Ï»ÕÍ ³ëáõÛÃ: ²ÛÅÙ ¹Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ëáõÛÃÝ»ñÁ. (J ) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç: (K ) Î³Ù³Û³Ï³Ý x µÝ³Ï³Ý ÃÇí µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç: ²é³çÇÝ Ñ³Û³óùÇó ëñ³Ýù ÝáõÛÝå»ë ÷á÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ ³ëáõÛÃÝ»ñ »Ý: ê³Ï³ÛÝ ¹Åí³ñ ã¿ Ýϳï»É, áñ Çñ³Ï³ÝáõÙ ¹ñ³Ýù ϳËí³Í ã»Ý x -Çó: J ³ëáõÛÃÁ åݹáõÙ ¿, áñ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ù»ç ϳ ·áÝ» Ù»ÏÁ, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç, ¨ »Ã» ³Û¹åÇëÇÝ Ï³, ³å³ J ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, ÇëÏ »Ã» ãϳ, ³å³ Ï»ÕÍ ¿: K ³ëáõÛÃÁ åݹáõÙ ¿, áñ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 5-Ç, ¨ »Ã» ϳ ·áÝ» Ù»Ï µÝ³Ï³Ý ÃÇí áñÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 5-Ç, ³å³ K ³ëáõÛÃÁ Ï»ÕÍ ¿: ÆѳñÏ» å³ñ½ ¿, áñ J ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, ÇëÏ K ³ëáõÛÃÁª Ï»ÕÍ: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ³ëáõÛÃÝ»ñÁ. ². ºë ÏѳݹÇå»Ù ÁÝÏ»ñáçë: ´. ºë Ϸݳ٠ïáõÝ: ¶. ºë ÏѳݹÇå»Ù ÁÝÏ»ñáçë ϳ٠Ϸݳ٠ïáõÝ: ¸. ºë ÏѳݹÇå»Ù ÁÝÏ»ñáçë ¨ Ϸݳ٠ïáõÝ: º. ºë ã»Ù ѳݹÇåÇ ÁÝÏ»ñáçë: ¼. ºë ã»Ù ·Ý³ ïáõÝ: ¶ ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »Ã» ×ßÙ³ñÇï ¿ ² ¨ ´ ³ëáõÛÃÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ¨ Ï»ÕÍ ¿, »Ã» »ñÏáõëÝ ¿É Ï»ÕÍ »Ý: ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ ¶ ³ëáõÛÃÁ ² ¨ ´ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áõÙ³ñÝ ¿, ¨ ·ñáõÙ »Ý. ¶ = ² ∨ ´ (ϳñ¹³óíáõÙ ¿ª ² ϳ٠´): Üϳï»Ýù, áñ ³éûñÛ³ Ëáë³ÏóáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ §Ï³Ù¦ ß³ÕϳåÝ û·ï³·áñÍ»ÉÇë, ³ë»Éáíª §ºë ÏѳݹÇå»Ù ÁÝÏ»ñáçë ϳ٠Ϸݳ٠ïáõݦ ³í»ÉÇ Ñ³×³Ë Ñ³ëϳÝáõÙ »Ýù »ñÏáõëÇó Ù»ÏÁ. ϳ٠ÏѳݹÇå»Ù ÁÝÏ»ñáçë, ϳ٠Ϸݳ٠ïáõÝ ¨ áã »ñÏáõëÁ ÙdzëÇÝ: سûٳïÇϳÛáõÙ §² ϳ٠´¦ ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ ݳ¨ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ² ¨ ´ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ »ñÏáõëÝ ¿É ×ßÙ³ñÇï »Ý: ¸ ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »Ã» ×ßÙ³ñÇï »Ý ¨° ²-Ý, ¨° ´-Ý ¨ Ï»ÕÍ ¿, »Ã» ¹ñ³ÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ï»ÕÍ ¿: ¸ ³ëáõÛÃÁ ² ¨ ´ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ¿ª ¸ = ²∧ ´ (ϳñ¹³óíáõÙ ¿ª ² ¨ ´): º ³ëáõÛÃÝ ² ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÝ ¿: ²ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿, »Ã» Ï»ÕÍ ¿ ²-Ý ¨ Ï»ÕÍ ¿, »Ã» ²-Ý ×ßÙ³ñÇï ¿: ² ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÁ ·ñíáõÙ ¿ ³Ûëå»ëª ¬ ² ϳ٠å³ñ½³å»ëª §áã ²¦: гݷáõÝáñ»Ý, ¼ ³ëáõÛÃÁ ´-Ç ÅËïáõÙÝ ¿ª ¼ = ¬ ´: ä³ñ½ ¿, áñ ¼ ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÝ ¿É ´-Ý ¿ª ´ = ¬ ¼, ³ÛëÇÝùݪ ´ = ¬(¬ ´): 39

¸Åí³ñ ãÇ ï»ëÝ»É, áñ §áã ¶¦ ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ (³ÛëÇÝùݪ ¶-Ý Ï»ÕÍ ¿) ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ×ßÙ³ñÇï »Ý §áã ²¦ ¨ §áã ´¦ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ (³ÛëÇÝùݪ ²-Ý ¨ ´-Ý Ï»ÕÍ »Ý): Ü߳ݳÏáõÙ ¿ª §² ϳ٠´¦ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áõÙ³ñÇ ÅËïáõÙÁ §áã ² ¨ áã ´¦ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ¿: гݷáõÝáñ»Ý ϳñáÕ »Ýù ѳÙá½í»É, áñ §² ¨ ´¦ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÁ §áã ² ϳ٠áã ´¦ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áõÙ³ñÝ ¿:

A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áõÙ³ñÁª A ∨ B ( A ϳ٠B ) ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »Ã» ×ßÙ³ñÇï ¿ A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ, ¨ Ï»ÕÍ ¿, »Ã» »ñÏáõëÝ ¿É Ï»ÕÍ »Ý: A ¨ B ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁª A ∧ B ( A ¨ B ) ³ëáõÛÃÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »Ã» ×ßÙ³ñÇï »Ý ¨° A -Ý, ¨° B -Ý, ¨ Ï»ÕÍ ¿, »Ã» ¹ñ³ÝóÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ Ï»ÕÍ ¿: A ¨ ¬A (áã A ) ³ëáõÛÃÝ»ñÇó Ù»ÏÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, ÙÛáõëÁª Ï»ÕÍ (»ññáñ¹Ç µ³ó³éÙ³Ý ûñ»Ýù): ²ëí³ÍÇó Ñ»ï¨áõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ϳÝáÝÝ»ñÁ, áñáÝó ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ¸» Øáñ·³ÝÇ ûñ»ÝùÝ»ñ. § A ϳ٠B ¦ ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÁ §(áã A ) ¨ (áã B )¦ ³ëáõÛÃÝ ¿, § A ¨ B ¦ ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÁ §(áã A ) ϳ٠(áã B )¦ ³ëáõÛÃÝ ¿: ²Ûë ûñ»ÝùÝ»ñÇÝ ¹áõù ͳÝáà »ù 8-ñ¹ ¹³ë³ñ³ÝÇ ¹³ëÁÝóóÇó: ÐÇß»ù. §µ³Ý³Ó¨»ñÇ Ñ³Ù³ËÙµÇ ÅËïáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Çݦ ¨ §µ³Ý³Ó¨»ñÇ Ñ³Ù³Ï³ñ·Ç ÅËïáõÙÁ ѳٳñÅ»ù ¿ ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÇ Ñ³Ù³ËÙµÇݦ: êïáñ¨ µ»ñí³Í ¿ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ ³ÕÛáõë³ÏÁ (§Ö¦ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ª §×ßÙ³ñÇï¦, ÇëÏ §Î¦ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ª §Ï»Õͦ).

A

B

A∨ B

A∧ B

¬A

¬B

¬( A ∨ B )

¬( A ∧ B )

Ö

Ö

Ö

Ö

Î

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Ö

Ö

úñÇÝ³Ï 2£ ¸Çï³ñÏ»Ýù ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ¨ ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ: ³. üñ³ÝëdzÛÇ Ù³Ûñ³ù³Õ³ùÁ س¹ñÇ¹Ý ¿ ϳ٠ÈáݹáÝÁ:

¬ ³. üñ³ÝëdzÛÇ Ù³Ûñ³ù³Õ³ùÁ á°ã س¹ñÇ¹Ý ¿, ¨ á㠿ɪ ÈáݹáÝÁ: µ.

¬ µ. 40

¶¨áñ·Á ï³ÝÝ ¿ ¨ ùÝ³Í ã¿: ¶¨áñ·Á ï³ÝÁ 㿠ϳ٠ùÝ³Í ¿:

·.

¬ ·. ¹.

¬ ¹. ».

¬ ». ½.

¸åñáóÇ µáÉáñ ¹³ë³ë»ÝÛ³ÏÝ»ñÁ í»ñ³Ýáñá·í³Í »Ý: ¸åñáóáõ٠ϳ ãí»ñ³Ýáñá·í³Í ¹³ë³ë»ÝÛ³Ï: γ ¹³ë³ñ³Ý, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ß³Ï»ñï É³í ¿ ëáíáñáõÙ: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ¹³ë³ñ³Ýáõ٠ϳ ³ß³Ï»ñï, áñÁ ɳí ãÇ ëáíáñáõÙ: Î³Ù³Û³Ï³Ý x áõÝÇ A(x) ѳïÏáõÃÛáõÝÁ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x , áñÁ ãáõÝÇ A(x) ѳïÏáõÃÛáõÝÁ: ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ x , áñÝ ûÅïí³Í ¿ A(x) ѳïÏáõÃÛ³Ùµ:

¬ ½.

Î³Ù³Û³Ï³Ý x ûÅïí³Í ã¿ A(x) ѳïÏáõÃÛ³Ùµ: Üß»Ýù, áñ · ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÁ ãÇ Ï³ñ»ÉÇ Ó¨³Ï»ñå»É ³Ûëå»ë. ¿. §¸åñáóÇ µáÉáñ ¹³ë³ë»ÝÛ³ÏÝ»ñÁ í»ñ³Ýáñá·í³Í ã»Ý¦: Æñáù, »Ã» ¹åñáóáõÙ ÉÇÝÇ ¨° í»ñ³Ýáñá·í³Í, ¨° ãí»ñ³Ýáñá·í³Í ¹³ë³ñ³Ý, ³å³ Ï»ÕÍ ÏÉÇÝ»Ý ¨° ·, ¨° ¿ ³ëáõÛÃÝ»ñÁ, ÙÇÝã¹»é ³ëáõÛÃÁ ¨ Çñ ÅËïáõÙÁ ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Ï»ÕÍ ÉÇÝ»É ã»Ý ϳñáÕ: гݷáõÝáñ»Ý, ëË³É ¿ ¹ ³ëáõÛÃÇ ÅËïÙ³Ý ³ÛëåÇëÇ Ó¨³Ï»ñåáõÙÁ. Á. §Î³ ¹³ë³ñ³Ý, áñÇ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ß³Ï»ñï ɳí ãÇ ëáíáñáõÙ¦, ù³ÝÇ áñ ¨° ¹, ¨° Á ³ëáõÛÃÝ»ñÁ Ï»ÕÍ »Ý, »Ã» ¹³ë³ñ³Ýáõ٠ϳ ¨° ɳí ëáíáñáÕ ³ß³Ï»ñï, ¨° ³ß³Ï»ñï, áñ ɳí ãÇ ëáíáñáõÙ:

1.

´»ñ»ù ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ ¨ Ýß»ù ¹ñ³Ýó ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ:

2.

´»ñ»ù ÷á÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ:

3.

´»ñ»ù ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ ¨ ϳ½Ù»ù ¹ñ³Ýó ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áõÙ³ñÁ, ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, ÅËïáõÙÁ:

4.

º±ñµ ¿ ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áõÙ³ñÁ ¨ »ñµª Ï»ÕÍ:

5.

º±ñµ ¿ ×ßÙ³ñÇï ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ »ñµª Ï»ÕÍ:

6.

Ò¨³Ï»ñå»ù ¸» Øáñ·³ÝÇ ûñ»ÝùÝ»ñÁ:

7.

γ½Ù»ù §Ï³Ù³Û³Ï³Ý¦ ¨ §·áÛáõÃÛáõÝ áõÝǦ ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñáí ³ëáõÛÃÝ»ñ ¨ ·ñ»ù ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÁ:

¶ï»ù ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ (114-116)©

114. ³) 347-Á ½áõÛ· ÃÇí ¿: ·) 29-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç:

µ)

2 -Á é³óÇáÝ³É ¿:

¹) 2 3 > 12 :

115. ³) y = sin x ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: µ) y = tg x ýáõÝÏóÇ³Ý ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: 41

·) y = cos x ýáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿: ¹) y = x + 1 ýáõÝÏóÇ³Ý Ï»Ýï ¿:

116. ³) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ß»Õ³ÝÏÛáõÝ ¿: µ) Î³Ù³Û³Ï³Ý ß»Õ³ÝÏÛáõÝ ù³é³ÏáõëÇ ¿: ·) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ« áñÁ ù³é³ÏáõëÇ ¿: ¹) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ß»Õ³ÝÏÛáõÝ« áñÁ ù³é³ÏáõëÇ ã¿: ») Î³Ù³Û³Ï³Ý ß»Õ³ÝÏÛáõÝ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿:

117. ä³ñ½»ù, û Ñ»ï¨Û³É ݳ˳¹³ëáõÃÛáõÝÝ»ñÇó áñáÝù »Ý ³ëáõÛà ¨ ·ï»ù ¹ñ³Ýó ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ. ³) îáõÝ Ï³éáõó»Éáõ ѳٳñ Ù»Ï ³ÙÇëÁ ϳñ× Å³ÙÏ»ï ¿: µ) Ø»Ï ³ÙÇëÁ ϳñ× Å³ÙÏ»ï ¿: ·) y = x 5 ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿: ¹) y = x 5 ýáõÝÏóÇ³Ý ³ñ³· ¿ ³×áõÙ:

118. Ò¨³Ï»ñå»ù ïñí³Í ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áõÙ³ñÝ áõ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ Ýß»ù ¹ñ³Ýó ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ. ³) 5 > 2, 5 = 2 ,

µ) 3 > 3, 3 = 3 ,

·) 7 < 9, 7 = 9 ,

µ) 8 < 8, 8 = 8 :

119. ¸Çóáõù A -Ý áñ¨¿ ³ëáõÛà ¿: ¶ï»ù Ñ»ï¨Û³É ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ. ³) A ∨ (¬A) ,

µ) A ∧ (¬A) :

120. öá÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ ³ëáõÛÃÁ ·ñ»ù ³í»ÉÇ å³ñ½ ï»ëùáí. µ) ( x < 5) ∨ ( x = 5) , ·) ( x < −7) ∨ ( x > 7) , ³) ( x > 1) ∨ ( x = 1) , ¹) ( x > −4) ∧ ( x < 4) ,

») ¬( x > 19) ,

½) ¬( x < 21) :

121. γ½Ù»ù ïñí³Í ³ëáõÛÃÝ»ñÇ ïñ³Ù³µ³Ý³Ï³Ý ·áõÙ³ñÝ áõ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ Ó¨³Ï»ñå»ù ¹ñ³Ýó ÅËïáõÙÝ»ñÁ. ³) êáÝ³Ý ·Ý³ó óïñáÝ: ²ñ³ÙÁ ·Ý³ó óïñáÝ: µ) êáÝ³Ý ·»ñ³½³ÝóÇÏ ¿: ²ñ³ÙÁ ·»ñ³½³ÝóÇÏ ¿: ·) ²ñÏÕáõ٠ϳ ëåÇï³Ï ·Ý¹ÇÏ: ²ñÏÕáõÙ ãϳ ë¨ ·Ý¹ÇÏ: ¹) ÈÇÉÇÃÁ ¹åñáó³Ï³Ý ¿: ÈÇÉÇÃÁ ß³ËÙ³ï ãÇ Ë³ÕáõÙ:

Ø 122. ú·ïí»Éáí ѳٳå³ï³ëË³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÇóª Ó¨³Ï»ñå»ù, û ÇÝã ¿ Ý߳ݳÏáõÙª ³) ABC »é³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ÏáÕÙ ã¿: µ) ABC »é³ÝÏÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ³ëñáõÝ ã¿: ·) ABCD ù³é³ÝÏÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ã¿: ¹) ABCD ù³é³ÝÏÛáõÝÁ ë»Õ³Ý ã¿:

Ø 123. Ò¨³Ï»ñå»ù ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÁ. ³) ¸³ÑÉÇ×Ç µáÉáñ ¹éÝ»ñÁ ÷³ÛïÇó »Ý: 42

µ) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ µ³ÏáõÙ Ù»ù»Ý³ ¿ ϳݷݳÍ: ·) àñáß Í³ÕÇÏÝ»ñ ã»Ý ͳÕÏáõÙ ·³ñݳÝÁ: ¹) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ Í³ÕÇÏ, áñÁ ãÇ Í³ÕÏáõÙ ³ßݳÝÁ:

Ø124. ¶ï»ù ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ ¨ Ó¨³Ï»ñå»ù ÅËïáõÙÁ: ³) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ µÝ³Ï³Ý ÃÇí« áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç ¨ 5-Ç« å³ïÇÏ ¿ 10-ÇÝ: µ) Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ µÝ³Ï³Ý ÃÇí« áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç ¨ 14-Ç« å³ïÇÏ ¿ 112-ÇÝ£

Ø 125. à±ñÝ ¿ §ÎÇÝáóïñáÝÇ µáÉáñ Ýëï³ï»Õ»ñÁ ½µ³Õí³Í »Ý¦ ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÁ. ³) ÎÇÝáóïñáÝÇ µáÉáñ Ýëï³ï»Õ»ñÁ ½µ³Õí³Í ã»Ý: µ) ÎÇÝáóïñáÝáõ٠ϳ ³½³ï Ýëï³ï»Õ: ·) ÎÇÝáóïñáÝÇ áñáß Ýëï³ï»Õ»ñ ½µ³Õí³Í »Ý: ¹) ÎÇÝáóïñáÝÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ýëï³ï»Õ ³½³ï ¿:

Ø 126. à±ñÝ ¿ §àñáß Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz »Ý¦ ³ëáõÛÃÇ ÅËïáõÙÁ© ³) ´áÉáñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz »Ý: µ) àñáß Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ã»Ý: ·) Î³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ¿: ¹) Î³Ù³Û³Ï³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz ã¿£

Ø127. ²å³óáõó»ù, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý α -Ç Ñ³Ù³ñª ³)

1 ≤ sin 4 α + cos 4 α ≤ 1 , 2

·) 1 < ¹)

µ)

1 ≤ sin 6 α + cos 6 α ≤ 1 , 4

πk 1 − sin 4 α − cos 4 α , k ∈Z , 2 ¦):

öá÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕª §ºÃ» A( x ) , ³å³ B( x ) ¦ ï»ëùÇ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý x -Ç Ñ³Ù³ñ A( x ) å³ÛÙ³ÝÇ ×ßÙ³ñÇï ÉÇÝ»Éáõ ¹»åùáõÙ ×ßÙ³ñÇï ¿ ݳ¨ B( x ) ѻ勉ÝùÁ: лï¨áõÃÛáõÝÁ Ï»ÕÍ ¿, Ý߳ݳÏáõÙ ¿ª ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x , áñ

A( x ) -Á ×ßÙ³ñÇï ¿, ÇëÏ B( x ) -Áª Ï»ÕÍ: §ºÃ» A(x) , ³å³ B(x) ¦ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ Ïñ×³ï ·ñ³éáõÙ »Ýù ³Ûëå»ëª

A( x) ⇒ B( x) (»ñµ»ÙÝ û·ï³·áñÍíáõÙ ¿ ݳ¨ B( x) ⇐ A( x) Ý߳ݳÏáõÙÁ):

úñÇÝ³Ï 1. îñí³Í ¿ y = f (x) , x ∈ R , ýáõÝÏódzÝ: ³) § x ∈ R ⇒ f ( x) ≤ 1 ¦ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ Ï»ÕÍ ¿, Ý߳ݳÏáõÙ ¿ª §¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ x Çñ³Ï³Ý ÃÇí, áñ f ( x) > 1 ¦ µ) §Î³Ù³Û³Ï³Ý x1 ¨ x2 Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ x1 < x2 å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ

f ( x1 ) < f ( x2 ) ¦ åݹáõÙÁ Ï»ÕÍ ¿, Ý߳ݳÏáõÙ ¿ ª §¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý x1 ¨ x2 Ãí»ñ, áñ

x1 < x2 ¨ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ¦: ¸Çï³ñÏ»Ýù Ñ»ï¨Û³É Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÝ»ñÁ. лï¨áõÃÛáõÝÁ

î»ëùÁ

². ºÃ» x = 3 , ³å³ x 2 = 9 :

². ºÃ» A(x) , ³å³ B(x) :

´. ºÃ» x = 9 , ³å³ x = 3 :

´. ºÃ» B(x) , ³å³ A(x) :

¶. ºÃ» x ≠ 3 , ³å³ x ≠ 9 :

¶. ºÃ» áã A(x) , ³å³ áã B(x) :

2

2

лßï ¿ Ýϳï»É, áñ ´ åݹáõÙÝ ëï³óí»É ¿ ²-Çóª å³ÛÙ³ÝÇ ¨ ѻ勉ÝùÇ ï»Õ»ñÁ ÷áË»Éáí: ÜÙ³Ý ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ ´-Ý ²-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓ åݹáõÙÝ ¿ ¿, ÇëÏ ²-Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý áõÕÇÕ åݹáõÙ: ä³ñ½ ¿, áñ ² åݹáõÙÝ ¿É ´-Ç Ñ³Ï³¹³ñÓÝ ¿, áõëïÇ ³ëáõÙ »Ý ݳ¨, áñ ²-Ý ¨ ´-Ý ÷áËѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙÝ»ñ »Ý: ¶ åݹáõÙÁ ÏáãíáõÙ ¿ ²-Ç Ñ³Ï³¹Çñ åݹáõÙ: ²-Ý, Çñ Ñ»ñÃÇÝ, ¶-Ç Ñ³Ï³¹ÇñÝ ¿, ²Ý ¨ ¶-Ý ÷áËѳϳ¹Çñ åݹáõÙÝ»ñ »Ý: ¸Çï³ñÏí³Í ûñÇݳÏáõÙ ² Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, ÇëÏ ´-Ý ¨ ¶-ݪ Ï»ÕÍ ( x = −3 ¹»åáõÙ ´-Ç ¨ ¶-Ç å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ×ßÙ³ñÇï »Ý, ÇëÏ Ñ»ï¨³ÝùÝ»ñÁª Ï»ÕÍ):

úñÇÝ³Ï 2: Î³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b Çñ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ. ². ºÃ» a = b , ³å³ a 3 = b 3 (áõÕÇÕ åݹáõÙ): 44

´. ºÃ» a 3 = b 3 , ³å³ a = b (ѳϳ¹³ñÓ åݹáõÙ): ¶. ºÃ» a ≠ b , ³å³ a 3 ≠ b 3 (ѳϳ¹Çñ åݹáõÙ): ¸. ºÃ» a 3 ≠ b 3 , ³å³ a ≠ b (ѳϳ¹³ñÓÇ Ñ³Ï³¹Çñ åݹáõÙ): ²Ûë ûñÇݳÏáõÙ µáÉáñ åݹáõÙÝ»ñÁ ×ßÙ³ñÇï »Ý: ºÃ» A( x) ⇒ B( x) Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¿, ³ëáõÙ »Ý, áñÁ B(x) -Ý ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³Ý ¿ A(x) -Ç Ñ³Ù³ñ, ÇëÏ »Ã» ×ßÙ³ñÇï ¿ B( x) ⇒ A( x) Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ, ³ëáõÙ »Ý, áñ B(x) -Á µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý ¿ A(x) -Ç Ñ³Ù³ñ: ºÃ» ×ßÙ³ñÇï »Ý ¨° áõÕÇÕª A( x) ⇒ B( x) , ¨° ѳϳ¹³ñÓª B ( x) ⇒ A( x) åݹáõÙÝ»ñÁ, ³å³ B(x) -Ý ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý ¿ A(x) -Ç Ñ³Ù³ñ: ²Ûë ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ A(x) -Á ¨ B(x) -Á ѳٳñÅ»ù »Ý, ³ÛëÇÝùݪ áõÝ»Ýù ѳٳñÅ»ùáõÃÛáõݪª

A( x) ⇔ B( x ) : ²ÛëåÇëáíª A(x) -Á ¨ B(x) -Á ѳٳñÅ»ù »Ý, »Ã» x -Ç Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³ñÅ»ùÇ ¹»åùáõÙ »ñÏáõëÝ ¿É ×ßÙ³ñÇï »Ý Ï³Ù »ñÏáõëÝ ¿É Ï»ÕÍ »Ý:

úñÇÝ³Ï 3 (ÑÇÙݳíáñ»ù ÇÝùÝáõñáõÛÝ): ³) x 2 > 9 ⇔ | x |> 3 ,

µ)

x 0 : ¹) àñå»ë½Ç ax 2 + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÝ áõݻݳ ³ñÙ³ï, µ³í³ñ³ñ ¿, áñ ac < 0 : ») àñå»ë½Ç ï»ÕÇ áõݻݳ lg( x − 1) > cos x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿, áñ x > 1 : ½) àñå»ë½Ç ï»ÕÇ áõݻݳ lg( x − 1) > cos x ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, µ³í³ñ³ñ ¿, áñ

x > 11 :

úñÇÝ³Ï 4: §¼áõ·³Ñ»é³·ÇÍÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¿¦ ¨ §¼áõ·³Ñ»é³·ÍÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý¦ å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ ѳٳñÅ»ù »Ý: ²Ûë ÷³ëïÁ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ï»ùëï»ñáõ٠ϳñáÕ ¿ Ó¨³Ï»ñåí»É ݳ¨ Ñ»ï¨Û³É ݳ˳¹³ëáõÃÛáõÝÝ»ñáí. ³) àñå»ë½Ç ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍÁ ÉÇÝÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ Ýñ³ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ÉÇÝ»Ý Ñ³í³ë³ñ: µ) ¼áõ·³Ñ»é³·ÇÍÝ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ ¿ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ Ýñ³ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý:

1.

à±ñ åݹáõÙÝ ¿ ÏáãíáõÙ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝ:

2.

ƱÝã Ù³ë»ñÇó ¿ Ï³½Ùí³Í Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ: 45

3.

º±ñµ ¿ ÷á÷áË³Ï³Ý å³ñáõݳÏáÕ Ñ»ï¨áõÃÛáõÝÁ ×ßÙ³ñÇï ¨ »±ñµª Ï»ÕÍ:

4.

´»ñ»ù Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý ûñÇݳÏ: Ò¨³Ï»ñå»ù ¹ñ³ ѳϳ¹³ñÓÁ, ѳϳ¹ÇñÁ

5.

ƱÝã ¿ Ý߳ݳÏáõÙª ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³Ý:

6.

ƱÝã ¿ Ý߳ݳÏáõÙª µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý:

7.

ƱÝã ¿ Ý߳ݳÏáõÙª ѳٳñÅ»ùáõÃÛáõÝ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¨ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý:

128. ¶ï»ù Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ. ³) ºÃ» ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç ¨ 4-Ç, ³å³ ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç: µ) ºÃ» ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 8-Ç, ³å³ ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 2-Ç ¨ 4-Ç: ·) ºÃ» ù³é³ÝÏÛáõÝÁ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿, ³å³ ¹ñ³ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý: ¹) ºÃ» ù³é³ÝÏÛ³Ý ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý, ³å³ ³ÛÝ ½áõ·³Ñ»é³·ÇÍ ¿: ¶ñ»ù, û ÇÝã ¿ Ý߳ݳÏáõÙ ïñí³Í Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý Ï»ÕÍ ÉÇÝ»ÉÁ ¨ ÑÇÙݳíáñ»ù, áñ ³ÛÝ Ï»ÕÍ ¿ (129-130).

129. ³) x ∈ R ⇒ x 2 > 0 , ·) x ∈ R ⇒

x2 = x ,

µ) x ∈ R ⇒| x |> 0 , ¹) x ∈ R ⇒ lg x 2 = 2 lg x :

Ø 130. ³) ºÃ» A Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ï³ññ: µ) ºÃ» A Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝ ï³ññ: ¶ñ»ù ïñí³Í Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓÁ, ѳϳ¹ÇñÁ, ¨ Ýß»ù ¹ñ³Ýó ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ (131-132):

131. ³) ºÃ» a = b , ³å³ a 2 = b 2 , ·) ºÃ» a > b , ³å³ a 7 > b 7 ,

132. ³) x( x − 1) = 0 ⇒ x = 0 , ·) sin x =

1 π ⇒x= , 2 6

µ) ºÃ» a 5 = b 5 , ³å³ a = b ,

1 1 < : a 4 µ) x 2 − 9 = 0 ⇒ x = 3 , 3π ¹) tg x = 1 ⇒ x = : 4 ¹) ºÃ» a > 4 , ³å³

133. лï¨Û³É åݹáõÙÝ»ñÇó áñá±Ýù »Ý ×ßÙ³ñÇï ¨ á±ñ ½áõÛ·»ñÝ »Ý ÷áËѳϳ¹³ñÓ Ï³Ù ÷áËѳϳ¹Çñ. ³) ºÃ» ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 13-Ç, ³å³ ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 13-Ç: µ) ºÃ» ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 13-Ç, ³å³ ·áõÙ³ñÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 13-Ç: ·) ºÃ» ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ µ³Å³ÝíáõÙ 13-Ç, ³å³ ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ 13-Ç: ¹) ºÃ» ·áõÙ³ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 13-Ç, ³å³ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 13-Ç: ») ºÃ» ·áõÙ³ñÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 13-Ç, ³å³ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó áã Ù»ÏÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 13-Ç: 46

½) ºÃ» ·áõÙ³ñÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 13-Ç, ³å³ ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇó ·áÝ» Ù»ÏÁ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 13-Ç: ²ëïÕ³ÝÇßÇ ÷á˳ñ»Ý ¹ñ»ù § ⇒, ⇐, ⇔ ¦ Ýß³ÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ (134-135):

x = 0 134. ³) x( x − 3) = 0 ∗  , x = 3 ·) cos x = 1 ∗ x = 0 ,

Ø 135. ³) lg x < 1 ∗ x < 10 , ·)

x 10 , ¹)

x > 3 ∗ x > 9,

π  π   * § x -Á I ù³éáñ¹áõÙ ¿¦, ½) § x -Á IV ù³éáñ¹áõÙ ¿¦ * x ∈  − , 0  : 2  2  136. ³) §k -Ý ½áõÛ· ÃÇí ¿¦ * §k -Ç í»ñçÇÝ Ãí³Ýß³ÝÁ 2 ¿¦:  

») x ∈  0,

µ) § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç ¨ 4-Ǧ * § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 24-Ǧ: ·) § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç ¨ 5-Ǧ * § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 20-Ǧ: ¹) § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 4-Ç ¨ 5-Ǧ * § a ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 10-Ǧ:

137. Üß»ù ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³Ù³ñ µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý. µ) sin x > 0 ,

³) a 2 > b 2 ,

·) log ba > 0 ,

¹)

x > x −1 :

138. Üß»ù ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÇ Ñ³Ù³ñ ³ÝÑñ³Å»ßï å³ÛÙ³Ý. 2 ³) ax + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ¹ñ³Ï³Ý »Ý: 2 µ) ax + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÇ µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ µ³ó³ë³Ï³Ý »Ý:

139. Þ³ñáõݳϻù ݳ˳¹³ëáõÃÛáõÝÝ ³ÛÝå»ë, áñ ëï³óíÇ ×ßÙ³ñÇï åݹáõÙ: ³) àñå»ë½Ç »é³ÝÏÛ³Ý áñ¨¿ ·³·³ÃÇó ï³ñí³Í ÙÇçݳ·ÇÍÝ áõ ÏÇëáñ¹Á ѳÙÁÝÏÝ»Ý, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ...: µ) àñå»ë½Ç ù³é³ÝÏÛ³ÝÁ Ñݳñ³íáñ ÉÇÝÇ ³ñï³·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ...: ·) ø³é³ÝÏÛ³ÝÁ Ñݳñ³íáñ ¿ Ý»ñ·Í»É ßñç³Ý³·ÇÍ ³ÛÝ ¨ ÙdzÛÝ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ, »ñµ ...: ¹) àñå»ë½Ç ax + bx + c ù³é³Ïáõë³ÛÇÝ »é³Ý¹³ÙÝ áõݻݳ »ñÏáõ ³ñÙ³ï, ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ¨ µ³í³ñ³ñ, áñ ...: 2

140. гí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ÑÇÙùÁ 5 ëÙ ¿, ¹ñ³Ý ³éÁÝûñ ³ÝÏÛ³Ý ÏÇëáñ¹Áª 6 ëÙ: ¶ïÝ»É ëñáõÝùÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ:

141. ¶ïÝ»É 7 3 ëÙ ß³é³íÕáí ßñç³ÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ABC »é³ÝÏÛ³Ý BC ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, »Ã» AB = 9 ëÙ, AC = 16 ëÙ: 47

§3. Âí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ î³ëÝ»ñáñ¹ ¹³ë³ñ³ÝáõÙ Ù»Ýù áõëáõÙݳëÇñ»óÇÝù Ãí³ÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÁ: ÐÇß»óÝ»Ýù, áñ Ãí³ÛÇÝ »Ýù ³Ýí³Ý»É ³ÛÝ ýáõÝÏódzݻñÁ, áñáÝó áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ¨ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÁ Ãí³ÛÇÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý: ²ÛÅÙ Ù»Ýù ϹÇï³ñÏ»Ýù ³ÛÝåÇëÇ Ãí³ÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñ, áñáÝó áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿ª N -Á: ²Û¹åÇëÇ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Ýí»ñç Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ: ø³ÝÇ áñ Ù»Ýù ¹Çï³ñÏ»Éáõ »Ýù ÙdzÛÝ ³Ýí»ñç Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ, ³ÛëáõÑ»ï¨ §³Ýí»ñç¦ µ³éÁ µ³ó ÏÃáÕÝ»Ýù, ³ÛëÇÝùÝ` f : N → R ýáõÝÏóÇ³Ý Ï³Ýí³Ý»Ýù Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ Ï³Ù, å³ñ½³å»ë, ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, ÇëÏ a n = f (n ) ³ñÅ»ùÁ` ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳ٠ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³Ù: ²ÛëåÇëáí, ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ù»Ý ÙÇ n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóÝáõÙ ¿ áñ¨¿

a n ÃÇí: гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³ÝÏ³Ë ÷á÷á˳ϳÝÁª n -Á, ÁݹáõÝí³Í ¿ ³Ýí³Ý»É Çݹ»ùë: ÆÝãå»ë áñ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÁ áñáßíáõÙ ¿ ³ÝÏ³Ë ÷á÷á˳ϳÝÇ ³ñÅ»ùáí, ³ÛÝå»ë ¿É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý ÙÇ ³Ý¹³Ù áñáßíáõÙ ¿ Çñ Çݹ»ùëáí (ѳٳñáí): гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ Ù»Ýù Ïû·ï³·áñÍ»Ýù ýáõÝÏódzݻñÇ ïñÙ³Ý ·ñ»É³Ó¨»ñÇó Ñ»ï¨Û³ÉÁª a n , n ∈ N £ гßíÇ ³éÝ»Éáí« áñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Çݹ»ùëÁª n -Á, ÙÇßï ÷á÷áËíáõÙ ¿ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ùµ« § a n , n ∈ N ¦ ·ñ»É³Ó¨Ç ÷á˳ñ»Ý Ù»Ýù Ïû·ï³·áñÍ»Ýù § a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõݦ µ³é³Ï³å³ÏóáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ áñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ëݳíáñ ¹»åùÝ ¿, Ýñ³ ïñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ ïñÙ³Ý Ó¨»ñÁ, Ù³ëݳíáñ³å»ë« ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ï³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ùµ ϳ٠µ³Ý³Ó¨áí:

úñÇÝ³Ï 1: a n = 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ù»Ý ÙÇ µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³å³ï³ën ˳ݻóÝáõÙ ¿ ³Û¹ ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ: سëݳíáñ³å»ë, a1 = 1 , a5 = 1 , a 2000 = 1 5 2000 ¨ ³ÛÉÝ:

úñÇÝ³Ï 2:

an = (−1) n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõÛ· ѳٳñáí (Çݹ»ùëáí) ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý 1 -Ç, Ï»Ýï ѳٳñáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÁª − 1 -Ç: ÆëÏ a n = 5 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ »Ý (ѳí³ë³ñ »Ý 5 -Ç): ²Û¹åÇëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ѳëï³ïáõÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ: гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý a n −1 ¨ a n +1 ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÏáãíáõÙ »Ý a n ³Ý¹³ÙÇ, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ ݳËáñ¹ ¨ ѳçáñ¹ ³Ý¹³ÙÝ»ñ: гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ïñÙ³Ý

48

Ó¨»ñÇó ¿ Ý³¨ ïñÙ³Ý ³Ý¹ñ³¹³ñÓ »Õ³Ý³ÏÁ, »ñµ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ù»Ý ÙÇ ³Ý¹³ÙÁ ïñíáõÙ ¿ ݳËáñ¹ ³Ý¹³ÙÇ Ï³Ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ÙÇçáóáí: ¸áõù ³Û¹åÇëÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Í³Ýáà »ù: ¸ñ³ÝóÇó »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ¨ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzݻñÁ, áñáÝù ë³ÑÙ³ÝíáõÙ »Ý, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ,

a n = a n −1 + d , n ≥ 2 bn = bn −1 ⋅ q, n ≥ 2 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨»ñáí: ²Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ¹áõù ·Çï»ù ݳ¨ ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁª

a n = a1 + (n − 1) d ¨ bn = b1 q n −1 : ²ÛëÇÝùÝ` Ãí³µ³Ý³Ï³Ý ¨ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzݻñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ï³É ÇÝãå»ë ³Ý¹ñ³¹³ñÓ, ³ÛÝå»ë ¿É ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨»ñáí: üáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÙ³Ý, µ³½Ù³å³ïÏÙ³Ý, µ³Å³ÝÙ³Ý, ѳëï³ïáõÝáõÃÛ³Ý, ë³Ñٳݳ÷³ÏáõÃÛ³Ý ¨ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝáõÙÝ»ñÁ å³Ñå³ÝíáõÙ »Ý ݳ¨ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: سëݳíáñ³å»ë, a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿, »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý m ¨ k µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ m < k å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ a m < a k : Üß»Ýù ÙdzÛÝ, áñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³×áÕ ÉÇÝ»ÉÝ ³å³óáõó»Éáõ ѳٳñ µ³í³Ï³Ý ¿ óáõÛó ï³É, áñ Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù ÷áùñ ¿ Çñ ѳçáñ¹ ³Ý¹³ÙÇó (ÇÝãá±õ)« ³ÛëÇÝùÝ« a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿, »Ã».

a n < a n+1 ,

n = 1, 2, 3,K :

úñÇݳÏ, 5 -Ç íñ³ µ³Å³ÝíáÕ Ãí»ñǪ

5, 10, 15, 20,K ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿. Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù ÷áùñ ¿ Çñ ѳçáñ¹Çó (¨ ѻ勉µ³ñª ѳçáñ¹Ý»ñÇó): a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿, »Ã». a n > a n + 1 , n = 1, 2, 3, K : úñÇݳÏ,

1 1 1 1 , , , ,K 5 10 15 20 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿. Ýñ³ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ³Ý¹³Ù Ù»Í ¿ Çñ ѳçáñ¹Çó:

49

a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, »Ã» ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ M > 0 ÃÇí, áñ

a n < M , n = 1, 2, 3,K :

n úñÇÝ³Ï 3: ²å³óáõó»Ýù, áñ a n = ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿ ¨ ë³ÑÙ³n +1

ݳ÷³Ï: Æñáù, ³ÏÝѳÛï ¿, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n ∈ N ѳٳñ 0 < a n < 1 « ³ÛëÇÝùݪ a n ≤ 1 : ØÛáõë ÏáÕÙÇó,

−1 n n +1 − = < 0, n + 1 n + 2 (n + 1)(n + 2) áõñ»ÙÝ a n < a n +1 « ³ÛëÇÝùÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿£ a n − a n +1 =

1.

ƱÝã ¿ Ãí³ÛÇÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

2.

à±ñÝ »Ý ³Ýí³Ýáõ٠ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳ٠ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³Ù:

3.

гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ïñÙ³Ý Ç±Ý㠻ճݳÏÝ»ñ ·Çï»ù:

4.

´»ñ»ù ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ:

5.

º±ñµ »Ý ³ëáõÙ, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁª ³) ³×áÕ ¿, µ) Ýí³½áÕ ¿, ·) ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ¹) ѳëï³ïáõÝ ¿:

142. ¶ïÝ»É a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³é³çÇÝ ÑÇÝ· ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ. n −1 , ³) a n = n 2 − 7 , µ) a n = ·) a n = n + (− 1)n , n+5 πn πn ¹) a n = cos π n , ») a n = sin , ½) a n = n ⋅ sin : 3 2 143 . ¸Çóáõù a n = 2n 2 − 3, n ∈ N £ ¶ïݻɩ ³) a 7 − a 6 ,

µ) 3a 5 + 4a 2 ,

·) a n +1 + a n −1 ,

¹) a 2 n − 4a n ,

») a m − a k ,

½) am+1 − am :

144 . ¶ïÝ»É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ãáññáñ¹ ³Ý¹³ÙÁ. ³) a1 = 1 , a n +1 = na n , µ) a1 = 20 , a 2 = 9 , a n + 2 = a n +1 − a n ,

  ·) a1 = 1 , a n +1 = 1  a n + 9  , 2

¹) a1 = 12 , a 2 = 2 , a n + 2 50

an  a + a n +1 : = n 2

145 . ´³Ý³Ó¨áí ·ñ»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ, áñÇ ³é³çÇÝ »ñ»ù ³Ý¹³ÙÝ»ñÝ »Ý. ³) 2, 4, 6, K ,

µ) 1, 3, 5, K ,

·) 1, 4, 9, K ,

¹) 2, 4, 8, K ,

») 1, − 1, 1, K ,

½) 8, 8, 8, K :

146 . êïáõ·»É, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿. ³) a n = n2 + 1 ,

n +1

µ) a n = (− 1)n + sin n ,

(

)

·) a n = cos n 2 − 1 :

147 . ²å³óáõó»É, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ ¿. ³) a n = 5n − 7 ,

µ) a n = 4 − 2n ,

·) a n = 3n ,

¹) a n = 1 − n ,

») a n = 2n − n ,

½) a n = n 2 − n 3 :

3

2

Ø 148. ´³ÝíáñÁ å»ïù ¿ ³ß˳ï»ñ 4 ųÙ: ܳ 2 ų٠³ß˳ï»Éáõó Ñ»ïá ¨ë 3 ų٠³ß˳ï»ó, µ³Ûó 20% Ýí³½ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛ³Ùµ: ø³ÝDZ ïáÏáëáí ݳ ϳï³ñ»ó ³é³ç³¹ñ³ÝùÁ: Ø 149. ´³ÝíáñÁ 7 ųÙáõÙ ß³ñ»É ¿ñ 12 Ù2 å³ï« Áݹ áñáõÙ« ³é³çÇÝ 4 Ù2-Ý ß³ñ»Éáõó Ñ»ïá Ýñ³ ³ñï³¹ñáճϳÝáõÃÛáõÝÝ ÁÝÏ»É ¿ñ 20% -áí: ø³ÝDZ ù³é³ÏáõëÇ Ù»ïñ å³ï ¿ñ ß³ñ»É µ³ÝíáñÁ ³ß˳ï³ÝùÝ ëÏë»Éáõó 3 ų٠³Ýó£

§4. سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Á ºÝó¹ñ»Ýù ·ÝáõÙ »ù ÙÇ ×³Ý³å³ñÑáí, áñÇ »½ñáí ß³ñí³Í »Ý ѳٳñ³Ï³Éí³Í ëÛáõÝ»ñ, ¨, ï»ëÝ»Éáí, áñ ³é³çÇÝ ÙÇ ù³ÝÇ ëÛáõÝ»ñÁ Ý»ñÏí³Í »Ý ϳñÙÇñ ·áõÛÝáí, áõ½áõÙ »ù å³ñ½»É, û ³ñ¹Ûá±ù µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÝ »Ý ϳñÙÇñ: ÆѳñÏ» ¹áõù Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ÏÉáõÍ»ù ³Ûë ËݹÇñÁ (ٳݳí³Ý¹ »Ã» ׳ݳå³ñÑÁ ß³ï »ñϳñ ã¿), Ñ»ñóϳÝáõÃÛ³Ùµ ³ÝóÝ»Éáí µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÇ ÏáÕùáí:êïáõ·»Éáí Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ëÛ³Ý ·áõÛÝÁª ϳñáÕ »ù ѳÛï³ñ³ñ»É, áñ µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÁ ϳñÙÇñ »Ý: øÝݳñÏ»Éáí Ù³ëݳíáñ ¹»åù»ñÁª ѳݷ»óÇù ÁݹѳÝáõñ »½ñ³Ï³óáõÃÛ³Ý: ²ÛÝ ×ßÙ³ñÇï ¿, ù³ÝÇ áñ ëïáõ·í»É »Ý µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÁ: Øï³Ñ³Ý·Ù³Ý ³Ûë »Õ³Ý³ÏÁ ÏáãíáõÙ ¿ ÉñÇí ÇݹáõÏódz: ÈñÇí ÇݹáõÏóÇ³Ý ÏÇñ³éíáõÙ ¿, »ñµ ÁݹѳÝáõñ åݹáõÙÁ ïñáÑíáõÙ ¿ ÙÇ ù³ÝÇ Ù³ëݳíáñ ¹»åùÇ ¨ ùÝݳñÏíáõÙ »Ý µáÉáñ Ñݳñ³íáñ ¹»åù»ñÁ:

úñÇÝ³Ï 1: ²å³óáõó»Ýù, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ n(n + 1)(n + 2) Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç: Î³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí 3-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ϳñáÕ ¿ ëï³óí»É 0, 1 ϳ٠2 Ùݳóáñ¹: ºÃ» n -Á 3-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 1 Ùݳóáñ¹, ³å³ (n + 2) -Á, áõëïÇ Ý³¨ n(n + 1)(n + 2) -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç: 51

ºÃ» n -Á 3-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ëï³óíáõÙ ¿ 2 Ùݳóáñ¹, ³å³ (n + 1) -Á, áõëïÇ Ý³¨

n(n + 1)(n + 2) -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç: ºÃ» n -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç (ëï³óíáõÙ ¿ 0 Ùݳóáñ¹), ³å³ n(n + 1)(n + 2) -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç: л勉µ³ñª Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ n(n + 1)(n + 2) -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3Ç: ²ÛÅÙ å³ïÏ»ñ³óñ»ù, û ׳ݳå³ñÑÁ (ÇÝãå»ë ¨ ëÛáõÝ»ñÇ ù³Ý³ÏÁ) ³Ýí»ñç ¿, ¨ ëïáõ·»É µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÝ ³Ûɨë ã»ù ϳñáÕ: ²ÝóÝ»Éáí ³é³çÇÝ 100 (ϳ٠1000000) ëÛ³Ý ÏáÕùáí ¨ å³ñ½»Éáí, áñ ¹ñ³Ýù ϳñÙÇñ »Ý, ѳÛï³ñ³ñáõÙ »ù, áñ µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÁ ϳñÙÇñ »Ý: ²ñ¹Ûá±ù ×Çßï ¿ ÝÙ³Ý »½ñ³Ñ³Ý·áõÙÁ: ø³ÝÇ áñÁ ¹Çï³ñÏí³Í »Ý áã µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÁ, ³ñí³Í »½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝÁ ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ÙdzÛÝ »Ýó¹ñáõÃÛáõÝ (í³ñϳÍ): سëݳíáñ (áã µáÉáñ) ûñÇݳÏÝ»ñÇ ¹Çï³ñÏÙ³Ý ÑÇÙ³Ý íñ³ ³ñí³Í »½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ûñÇ ÇݹáõÏódz: àñå»ë Ùï³ÍáÕáõÃÛ³Ý Ó¨ ³ÛÝ ÑÇÙݳϳÝáõÙ ÏÇñ³éíáõÙ ¿ í³ñÏ³Í Ó¨³Ï»ñå»Éáõ ѳٳñ, áñÇ ×Çßï ϳ٠ëË³É ÉÇÝ»ÉÝ ³ÛÝáõÑ»ï¨ ÑÇÙݳíáñíáõÙ ¿ ³Ûë ϳ٠³ÛÝ »Õ³Ý³Ïáí:

úñÇÝ³Ï 2: XVII ¹³ñÇ ýñ³ÝëdzóÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáë äÇ»é ü»ñÙ³Ý ¹Çï³ñÏ»É ¿ Ñ»ï¨Û³É ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ. 1

2

3

4

2 2 + 1 = 5, 2 2 + 1 = 17, 2 2 + 1 = 257 , 2 2 + 1 = 65537 ¨ Ýϳï»É, áñ ëï³óí³Í 5, 17, 257, 65537 Ãí»ñÁ å³ñ½ Ãí»ñ »Ý: ü»ñÙ³Ý ³é³ç³¹ñ»É ¿ í³ñÏ³Í (¨ ѳÙá½í³Í ¿ »Õ»É Ýñ³ ×ßÙ³ñï³óÇáõÃÛ³Ý Ù»ç), áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n

2 n -Ç ¹»åùáõÙ 2 + 1 ÃÇíÁ å³ñ½ ÃÇí ¿: ê³Ï³ÛÝ XVIII ¹³ñáõ٠ٻͳÝáõÝ

ٳûٳïÇÏáë È»áݳñ¹ ¾ÛÉ»ñÁ å³ñ½»ó, áñ n = 5 ¹»åùáõÙ 2 2 + 1 ÃÇíÁ µ³Õ³¹ñÛ³É ¿, ³ÛÝ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 641-Ç: ì»ñ³¹³éݳÝù ³Ýí»ñç ׳ݳå³ñÑÇ ËݹñÇÝ ¨ å³ïÏ»ñ³óÝ»Ýù, û ëïáõ·»É »ù, 5

áñ ³Ýí»ñç ׳ݳå³ñÑÇ ³é³çÇÝ ëÛáõÝÁ ϳñÙÇñ ¿, ¨ Ý»ñϳñ³ñÇó å³ñ½»É »ù, áñ »Ã» áñ¨¿ ÙÇ ëÛáõÝ ( k -ñ¹Á) ϳñÙÇñ ¿ »Õ»É, ³å³ ݳ ѳçáñ¹ ëÛáõÝÁ ( (k + 1) -ñ¹Á) ÝáõÛÝå»ë ϳñÙÇñ ¿ Ý»ñÏ»É: ²Û¹ ¹»åùáõ٠ϳñáÕ »ù åݹ»É, áñ µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÁ ϳñÙÇñ »Ý: Æñáù, »Ã» ³é³çÇÝ ëÛáõÝÁ ϳñÙÇñ ¿, ³å³ Ý»ñϳñ³ñÇ ³ë³ÍÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ Ï³ñÙÇñ ¿ ݳ¨

2 -ñ¹Á, áõñ»ÙÝ Ý³¨ 3 -ñ¹Á, 4 -ñ¹Á, ¨ ³ÛÉÝ: ²Ûëå»ë, ù³ÛÉ ³é ù³ÛÉ, ϳñáÕ »Ýù ѳëÝ»É Ï³Ù³Û³Ï³Ý n -Ç ¨ åݹ»É, áñ n -ñ¹ ëÛáõÝÁ ϳñÙÇñ ¿, ³ÛëÇÝùÝ µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÁ ϳñÙÇñ »Ý: ¸Çï³ñÏ»Ýù §³í»ÉÇ Ù³Ã»Ù³ïÇϳϳݦ ûñÇݳÏ, ½áõ·³Ñ»éÝ»ñ ï³Ý»Éáí ëÛáõÝ»ñÇ ûñÇݳÏÇ Ñ»ï:²å³óáõó»Ýù, áñ a n = n 3 + 5n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ µ³Å³ÝíáõÙ »Ý 6 -Ç (µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÁ ϳñÙÇñ »Ý): ²é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ç, ù³ÝÇ áñ a1 = 6 (³é³çÇÝ ëÛáõÝÁ ϳñÙÇñ ¿): ºÝó¹ñ»Ýù áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý k -Ç ¹»åùáõÙ 52

ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý k -ñ¹ ³Ý¹³ÙÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ç (»Ýó¹ñ»Ýù k-ñ¹ ëÛáõÝÁ ϳñÙÇñ ¿): ²Û¹ ¹»åùáõÙª

a k +1 = (k + 1) + 5(k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 + 5k + 5 = = k 3 + 5k + 3k (k + 1) + 6 = a k + 3k (k + 1) + 6 : 3

ø³ÝÇ áñ k ¨ k + 1 Ãí»ñÇó Ù»ÏÁ ½áõÛ· ¿, áõëïÇ ½áõÛ· ¿ ݳ¨ k (k + 1) -Á ¨ 3k (k + 1) Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ç: гٳӳÛÝ Ù»ñ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý` a k -Ý ¨ë µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ç: àõëïÇ a k +1 -Á, áñå»ë 6 -Ç µ³Å³ÝíáÕ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñ, ÝáõÛÝå»ë ϵ³Å³ÝíÇ 6 -Ç ((k + 1) -ñ¹ ëÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ϳñÙÇñ ¿): л勉µ³ñ a n -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ (µáÉáñ ëÛáõÝ»ñÁ ϳñÙÇñ »Ý): ´Ý³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ P (n ) -áí Ý߳ݳϻÝù § n 3 + 5n ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ǧ åݹáõÙÁ: úñÇݳÏ,

P(1) åݹáõÙÝ ¿ª § 13 + 5 ⋅ 1 ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ǧ,

P(4) åݹáõÙÝ ¿ª § 4 3 + 5 ⋅ 4 ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ǧ, P(7 ) åݹáõÙÝ ¿ª § 7 3 + 5 ⋅ 7 ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6 -Ǧ, ¨ ³ÛÉÝ: ²Ûë µáÉáñ åݹáõÙÝ»ñÁ ×ßÙ³ñÇï »Ý, ³í»ÉÇÝ, ÷³ëïáñ»Ý ³å³óáõó»óÇÝù, áñ P (n ) åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ: ²å³óáõÛóÇ Ù»Ãá¹Á, áñ Ù»Ýù ÏÇñ³é»óÇÝù, ÏáãíáõÙ ¿ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹: Âí³µ³ÝáõÃÛ³Ý, ѳÝñ³Ñ³ßíÇ, »ñÏñ³ã³÷áõÃÛ³Ý ¨ ٳûٳïÇϳÛÇ ³ÛÉ µÝ³·³-

í³éÝ»ñáõÙ »ñµ»ÙÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ ³å³óáõó»É, áñ ÇÝã-áñ P (n ) åݹáõÙ, áñÁ ϳËí³Í ¿ n µÝ³Ï³Ý ÷á÷á˳ϳÝÇó, ï»ÕÇ áõÝÇ ³Û¹ ÷á÷á˳ϳÝÇ µáÉáñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ: àñå»ë½Ç ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»Ýù, áñ P (n ) åݹáõÙÁ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ, å»ïù ¿ ϳï³ñ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ù³ÛÉ»ñÁ. 1) ²å³óáõó»É P(1) åݹáõÙÁ (ÇݹáõÏódzÛÇ Ñ»Ýù ϳ٠ѻÝù³ÛÇÝ ù³ÛÉ): 2) ºÝó¹ñ»É, áñ ×Çßï ¿ P (k ) åݹáõÙÁ (ÇݹáõÏóÇáÝ »Ýó¹ñáõÃÛáõÝ): 3) ²å³óáõó»É, áñ ³Û¹ ¹»åùáõÙ ×Çßï ¿ P (k + 1) åݹáõÙÁ (ÇݹáõÏóÇáÝ ù³ÛÉ): 4) º½ñ³Ï³óÝ»É, áñ P (n ) åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ (»½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝ):

úñÇÝ³Ï 3: ²å³óáõó»Ýù, áñ d ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ùµ ¨ a1 ³é³çÇÝ ³Ý¹³Ùáí Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÝ ¿ª

a n = a1 + (n − 1) d :

(1) 53

ö³ëïáñ»Ý, ³Ûëï»Õ P (n ) åݹáõÙÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿. §»Ã» a n Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ d ¿, ÇëÏ ³é³çÇÝ ³Ý¹³-

ÙÁª a1 , ³å³ a n = a1 + (n − 1) d ¦: 1) P (1) åݹáõÙÁ ×Çßï ¿, ù³ÝÇ áñ a1 = a1 + (1 − 1) d : 2) ºÝó¹ñ»Ýù P (k ) åݹáõÙÁ ×Çßï ¿, ³ÛëÇÝùÝ

a k = a1 + (k − 1) d :

(2)

3) ²å³óáõó»Ýù, áñ ×Çßï ¿ P (k + 1) åݹáõÙÁ, ³ÛëÇÝùÝ, áñ

a k +1 = a1 + kd :

(3)

Æñáù, ѳٳӳÛÝ Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, a k +1 = a k + d : àõëïÇ (2) ³éÝãáõÃÛáõÝÇó ÏáõݻݳÝù.

a k +1 = a1 + (k − 1) d + d = a1 + kd : 4) гٳӳÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ ëϽµáõÝùÇ, (1) µ³Ý³Ó¨Á ×Çßï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ:

úñÇÝ³Ï 4: ²å³óáõó»Ýù« áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a1 , a 2 , K , a n Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ a1 + a 2 + L + a n ≤ a1 + a 2 + L + a n £

(1)

Ü³Ë ³å³óáõó»Ýù« áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a ¨ b Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ, áñÝ ÁݹáõÝí³Í ¿ ³Ýí³Ý»É »é³ÝÏÛ³Ý ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝ.

a+b ≤ a + b £

(2)

Æñáù, ·áõÙ³ñ»Éáí

− | a |≤ a ≤| a | ¨ − | b |≤ b ≤| b | ÏñÏݳÏÇ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Ïëï³Ý³Ýù. − (| a | + | b |) ≤ a + b ≤ (| a | + | b |) , áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ (2)-Á: ²ÛÅ٠ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»Ýù (1) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ 1) ²Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿« »ñµ n = 1 « ù³ÝÇ áñ a1 ≤ a1 £ 2) ºÝó¹ñ»Ýù åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ n = k ¹»åùáõÙ« ³ÛëÇÝùݪ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a1 , a 2 , K , a k Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

a1 + a 2 + L + a k ≤ a1 + a 2 + L a k «

(3)

3) ²å³óáõó»Ýù n = k + 1 ¹»åùáõÙ£ ú·ïí»Éáí Ý³Ë (2)« ³å³ (3) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó« Ïëï³Ý³Ýù« áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý a1 , a 2 , K , a k +1 Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ

a1 + a2 + L + ak +1 = (a1 + a2 + L + ak ) + ak +1 ≤ ≤ a1 + a2 + L + ak + ak +1 ≤ a1 + a2 + L + ak + ak +1 : 54

4) гٳӳÛÝ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ ëϽµáõÝùÇ, (1) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ:

úñÇÝ³Ï 5: ¶ïÝ»Ýù x n +1 = x n + 2n + 1 , x1 = 1 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á: гßí»Ýù ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÙÇ ù³ÝÇ ³Ý¹³Ù.

x1 = 1 , x2 = 1 + 2 ⋅1 + 1 = 4 , x3 = 4 + 2 ⋅ 2 + 1 = 9 , x 4 = 9 + 2 ⋅ 3 + 1 = 16 : ¸Åí³ñ ã¿ Ýϳï»É, áñ ëï³óí³Í Ãí»ñÁ »ÝóñÏíáõÙ »Ý áñáß³ÏÇ ûñÇݳã³÷áõÃ۳ݪ 2 x1 = 12 , x 2 = 2 , x3 = 3 2 , x4 = 4 2 :

γñ»ÉÇ ¿ »Ýó¹ñ»É, áñ ³Û¹ ûñÇݳã³÷áõÃÛ³ÝÁ »ÝóñÏíáõÙ »Ý ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùÝ, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ,

xn = n 2 :

(5)

²ÛÅ٠ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»Ýù, áñ ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ Çñáù ïñíáõÙ ¿ (5) µ³Ý³Ó¨áí: ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù, n = 1 ¹»åùáõÙ ³ÛÝ ×Çßï ¿: ºÝó¹ñ»Éáí, áñ (5) µ³Ý³Ó¨Á ï»ÕÇ áõÝÇ n = k ¹»åùáõÙ, ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨Çó ÏáõݻݳÝù.

xk +1 = x k + 2k + 1 = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) 2 : ²ÛëÇÝùÝ, (5) µ³Ý³Ó¨Á ï»ÕÇ áõÝÇ Ý³¨ n = k + 1 ¹»åùáõÙ: àõñ»ÙÝ ³ÛÝ ×Çßï ¿ µáÉáñ µÝ³Ï³Ý n -»ñÇ Ñ³Ù³ñ: 2 ä³ï³ë˳ݪ xn = n ,

n∈N :

ºñµ»ÙÝ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ ³å³óáõó»É áñ¨¿ P (n ) åݹáõÙ ³ÛÝåÇëÇ µÝ³Ï³Ý n »ñÇ Ñ³Ù³ñ, áñáÝù Ù»Í Ï³Ù Ñ³í³ë³ñ »Ý áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý m ÃíÇó: ²Û¹åÇëÇ ¹»åù»ñáõÙ µ³í³Ï³Ý ¿© 1. ²å³óáõó»É P (m ) åݹáõÙÁ, 2. ²å³óáõó»É, áñ § P (n ) åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ n = k ¹»åùáõÙ¦ »Ýó¹ñáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ ݳ¨ n = k + 1 ¹»åùáõÙ, áñï»Õ k ≥ m :

úñÇÝ³Ï 6: ²å³óáõó»Ýù, áñ áõéáõóÇÏ n -³ÝÏÛ³Ý ( n ≥ 3 ) Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 180 o (n − 2) ¿:

ºñµ n = 3 , åݹáõÙÁ »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»á-

ñ»ÙÝ ¿: 55

ºÝó¹ñ»Ýù åݹáõÙÁ ×Çßï ¿ n = k ¹»åùáõÙ,

A2 k ≥ 3 , ¨ A1 A2 K Ak +1 -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý áõéáõóÇÏ (k + 1) ³ÝÏÛáõÝ ¿ (ÝÏ. 14): гٳӳÛÝ ÇݹáõÏóÇáÝ »Ýó¹ñáõÃÛ³Ý, A1 A2 K Ak µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ A 1 ·áõÙ³ñÁ 180 o (k − 2 ) ¿: гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ Ak A1 A2 K Ak +1 µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿ A1 A2 K Ak µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ A k+1 ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ¨ A1 Ak Ak +1 »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÜÏ. 14 Ý»ñÇ ·áõÙ³ñÇÝ, ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ A1 A2 K Ak +1 µ³½Ù³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ѳí³ë³ñ ¿` 180 o (k − 2 ) + 180 o = 180 o (k − 1): äݹáõÙÝ ³å³óáõóí³Í ¿:

1.

ƱÝã ¿ ÉñÇí ÇݹáõÏódzÝ: ´»ñ»ù ûñÇݳÏ:

2.

ƱÝã ¿ ûñÇ ÇݹáõÏódzÝ: ´»ñ»ù ûñÇݳÏ:

3.

à±ñ ¹»åù»ñáõÙ ¿ ÏÇñ³éíáõ٠ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Á:

4.

ƱÝã ù³ÛÉ»ñ å»ïù ¿ ϳï³ñ»É ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõÛóÇ ¹»åùáõÙ:

5.

سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»ù Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á:

6.

²å³óáõó»ù, áñ áõéáõóÇÏ n -³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùÇÝ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ 180 o (n − 2) ¿:

ÎÇñ³é»Éáí ÉñÇí ÇݹáõÏódzª ÑÇÙݳíáñ»ù åݹáõÙÁ (150-152):

150. ³) ´Ý³Ï³Ý ÃíÇ ù³é³Ïáõëáõ í»ñçÇÝ Ãí³Ýß³ÝÁ 1, 4, 5, 6, 9, 0 Ãí³Ýß³ÝÝ»ñÇó áñ¨¿ Ù»ÏÝ ¿: µ) Î³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ n (n + 1)(2 n + 1) ÃÇíÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç: 151 . ³) 3-Ç ãµ³Å³ÝíáÕ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç: µ) ²ÙµáÕç ÃíÇ ù³é³ÏáõëÇÝ 4-Ç µ³Å³Ý»ÉÇë ãÇ Ï³ñáÕ ëï³óí»É 2 Ùݳóáñ¹:

152. Î³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ.

(

)

³) n 2n 2 − 3n + 1 -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç, µ) n 5 − n -Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 5-Ç,

153. ÈñÇí ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ·ï»ù ïñí³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ÙµáÕç ÉáõÍáõÙÁ Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ. ³) x 2 − 24 x + 108 = 0 , (15; 21) , µ) x 2 − 24 x + 108 = 0 , [− 9;−5] :

56

154 . ¶ñ»É P(1) , P (6) , P(k ) , P ( k + 1) åݹáõÙÝ»ñÁ, »Ã» P(n) åݹáõÙÝ ¿ª 3 ³) ( n − n )-Á µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 6-Ç, n(n + 1)(4n + 5) µ) 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 7 + L n ⋅ (2n + 1) = , 6 ·) 2 n + 2 > n + 4 : 155 . سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»É »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ n -ñ¹ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á: 156 . سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»É. ³) Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ µ³Ý³Ó¨Á, µ) »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ³é³çÇÝ n ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÇ µ³Ý³Ó¨Á: سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»É, áñ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ ×Çßï ¿ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ (157-160).

n(n + 1)(2n + 1) : 6 n(n + 1)(n + 2 ) 158. 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + L + n (n + 1) = : 3 1 1 1 n + +L+ = 159 . : 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n (n + 1) n + 1 1 sin n + α 2  160. cos α + cos 2α + cos 3α + K + cos nα = α 2 sin 2 Ø 161. ²å³óáõó»É, áñ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ`

157. 12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 =

(

)

a n +1 = 3a n + 1 « ³å³ a n = 1 5 ⋅ 3 n −1 − 1 , 2 µ) »Ã» a1 = 5, a 2 = 7, a n +1 = 2a n − a n −1 « ³å³ a n = 3 + 2n :

³) »Ã» a1 = 2,

Ø162. ¶ïÝ»É ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñí³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÇ µ³Ý³Ó¨Á. ³) a1 = 1 , a n +1 = (n + 1) ⋅ a n ,

µ) a1 = 1 , a n +1 = n ⋅ a n :

163. ¶ïÝ»É a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ÁݹѳÝáõñ ³Ý¹³ÙÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ a1 = 3 ¨ Ï³Ù³Û³Ï³Ý m, n µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ. ³) a m + n = a m + a n , Ø 164. ¸Çóáõù a1 = n -Ç Ñ³Ù³ñ

µ) a m + n = a m ⋅ a n :

2 ¨ a n +1 = 2 + a n , n ∈ N : ²å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý a n = 2 cos

π : 2 n +1

165 . ²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ýßí³Í µÝ³Ï³Ý n -»ñÇ Ñ³Ù³ñ . 57

³) 3 n > n 3 + 5,

n ≥ 4,

µ) 2 n ≥ 5n − 3,

· ) 3 n > 2 n + n,

n≥2,

¹) 2 n > n 2 ,

n ≥ 5:

n≥5:

²å³óáõó»É ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ 1 -Çó Ù»Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ (166-167).

1 3 5 2 1 1 : ⋅ ⋅ ⋅L⋅ n − < 2 4 6 2n 3n + 1 1 1 1 13 + +L+ > Ø167. : 2n 24 n +1 n + 2

Ø166.

Ø 168. ²å³óáõó»É, áñ 7 -Çó Ù»Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ϳñ»ÉÇ ¿ Ý»ñϳ۳óÝ»É 3 -Ý»ñÇ ¨

5 -»ñÇ ·áõÙ³ñáí: Ø169. ¸Çóáõù h > −1 : ²å³óáõó»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ

(1 + h) n ≥ 1 + nh :

170 . ¶ïÝ»É x -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ ïñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz.

x , lg x 2 − 4 , lg (x + 2 ) , µ) 5 x + 1 , 2 x , 3 x + 1 : 3 171. ¶ïÝ»É x -Ç ³ÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, áñáÝó ¹»åùáõÙ ïñí³Í ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ϳ½ÙáõÙ ³) lg

»Ý »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz. ³)

x+7,

x − 5 , 1,

µ) 2 lg x , 2 + lg x ,

7 + lg x : 2

§5. ²Ýí»ñç ÷áùñ»ñ ºÝó¹ñ»Ýù áõÝ»ù ÙÇ ËÝÓáñ: ²é³çÇÝ ûñÝ áõïáõÙ »ù ËÝÓáñÇ Ï»ëÁ, ÇëÏ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ѳçáñ¹ ûñÝ áõïáõÙ »ù Ùݳó³ÍÇ Ï»ëÁ: гñó ¿ Í³·áõÙ. ù³ÝDZ ûñáõÙ Ïáõï»ù ³ÙµáÕç ËÝÓáñÁ: ²é³çÇÝ ûñÝ áõï»Éáõó Ñ»ïá ÙÝáõÙ ¿ ËÝÓáñÇ 1 Ù³ëÁ, »ñÏñáñ¹ ûñÁª 1 ⋅ 1 = 12 2 2 2 2 1 1 1 Ù³ëÁ, »ññáñ¹ ûñÁª 2 ⋅ = 3 Ù³ëÁ ¨ ³ÛÉÝ: ºÃ» a n -áí Ý߳ݳϻÝù n -ñ¹ ûñÝ áõï»-

2 2 2 1 Éáõó Ñ»ïá Ùݳó³Í Ù³ëÁ, ³å³ Ïëï³Ý³Ýù a n = n , n ∈ N , ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, 2 áñÇ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ áã ÙÇ n -Ç ¹»åùáõÙ ½ñá ã»Ý ¹³éÝáõÙ (ÝÏ. 9): ²ÛëÇÝùÝ` Ó»½ »ñµ»ù ãÇ

1

a 1= 1 2

a 2 = 12 2

a 3 = 13 2 ÜÏ. 9

58

a 4 = 14 2

a 5 = 15 2

a 6 = 16 2

ѳçáÕíÇ ËÝÓáñÝ áõï»É ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ: ²ÛÅÙ áõñÇß Ñ³ñó ¿ Í³·áõÙ. ËÝÓáñÇ á±ñ Ù³ëÁ ãÇ Ñ³çáÕíÇ áõï»É: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ³Û¹åÇëÇ Ù³ë ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: Æñáù, áñù³Ý ¿É ÷áùñ ÉÇÝÇ ε ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, í»ñóÝ»Éáí

1 -Çó Ù»Í µÝ³Ï³Ý n ¨ û·ïí»Éáí 2 n > n ³ÏÝѳÛï ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÇó, ëï³ÝáõÙ ε 1 1 1 »Ýùª an = n < < ε : ²ÛëÇÝùÝ, »Ã» n > , ³å³ n ûñ áõï»Éáõó Ñ»ïá ËÝÓáñÇó ÙÝáõÙ n ε 2 ¿ Ýñ³ ε -Çó ÷áùñ Ù³ëÁ: лï³ùñùÇñ Çñ³íÇ×³Ï ¿ ëï»ÕÍíáõÙ. ÙÇ ÏáÕÙÇó, »ñµ»ù ãÇ Ñ³çáÕíáõÙ ËÝÓáñÝ áõï»É ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ, ÙÛáõë ÏáÕÙÇóª ËÝÓáñÇó, Áëï ¿áõÃÛ³Ý, áãÇÝã ãÇ ÙÝáõÙ, ù³ÝÇ áñ ËÝÓáñÇó Ùݳó³Í Ù³ëÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ³ÝáõÙ ¿: ÜÙ³Ý Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, áñáÝóÇó §Áëï ¿áõÃÛ³Ý áãÇÝã ãÇ ÙÝáõÙ¦, ß³ï ϳñ¨áñ ¹»ñ »Ý ˳Õáõ٠ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñ ¨ ýáõÝÏódzݻñ áõëáõÙݳëÇñ»ÉÇë:

a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏáãíáõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñ, »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý ε ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ n > N å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿ an < ε (1) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛÉ Ï»ñå ϳñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, »Ã» Ýñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ÇÝã-áñ ѳٳñÇó ëÏë³Í, µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùáí ÷áùñ »Ý ݳ˳å»ë ïñí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇó: ö³ëïáñ»Ý, ³Û¹ §ÇÝã-áñ ѳٳñݦ ³ÛÝ µÝ³Ï³Ý N -Ý ¿, áñÇó ³í»ÉÇ Ù»Í Çݹ»ùëÝ»ñáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ »Ý (1) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛ³ÝÁ:

úñÇÝ³Ï 1: ²ÏÝѳÛï ¿, áñ a n = 0, n ∈ N « ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿:

úñÇÝ³Ï 2: òáõÛó ï³Ýù« áñ a n = 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: n 1 ¸Çóáõù ε -Á Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: àñå»ë N í»ñóÝ»Ýù -Çó Ù»Í áñ¨¿ ε µÝ³Ï³Ý ÃÇí: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, »Ã» n > N , ³å³

an =

1 1 1 < < =ε: n N 1ε

л勉µ³ñ, a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿:

úñÇÝ³Ï 3: êïáõ·»Ýù, áñ bn = q n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿« »Ã» q < 1 : ºÃ» q = 0 , ³å³ ëï³ÝáõÙ »Ýù bn = 0 , n ∈ N ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ« áñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ 59

¿: ¸Çóáõù q ≠ 0 ¨ ε -Á áñ¨¿ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿£ ä³ñ½»Ýù« û á±ñ µÝ³Ï³Ý n -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ bn < ε ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ£ ø³ÝÇ áñ 0 < q < 1 « áõñ»ÙÝ n

bn < ε ⇔ q < ε ⇔ n > log q ε : ²ÛëåÇëáí« »Ã» ïñí³Í ε > 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ í»ñóÝ»Ýù log q ε ÃíÇó Ù»Í áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý

N « ³å³ n > N å³ÛÙ³ÝÇó ÏÑ»ï¨Ç« áñ bn < ε £ ²ÛëÇÝùÝ` bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: гñÏ ¿ Ýß»É, áñ µáÉáñáíÇÝ Ï³ñ¨áñ ã¿ ·ïÝ»É ÷áùñ³·áõÛÝ N -Á, áñÇó ëÏë³Í ï»ÕÇ áõÝÇ (1) ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: γñ¨áñÁ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý ε -Ç Ñ³Ù³ñ ³Û¹åÇëÇ N -Ç ·áÛáõÃÛáõÝÝ ¿: Üϳï»Ýù, áñ ³Ýí»ñç ÷áùñÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ù»ç an < ε ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ »ñÏñ³ã³÷áñ»Ý Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ a n Ï»ïÝ ÁÝÏ³Í ¿ (− ε; ε ) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, áõëïÇ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ÉÇÝ»Éáõ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»Ïݳµ³ÝáõÃÛáõÝÁ Ñ»ï¨Û³ÉÝ ¿.

a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý ε ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ (− ε; ε ) ÙÇç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí a n -»ñ (ÝÏ. 10):

−ε

0 a N +2 a N +1

ε

aN

a2 a1

ÜÏ. 10

úñÇÝ³Ï 4: a n = 1 + (− 1)n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõÛ· ѳٳñáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý 2 -Ç, ÇëÏ Ï»Ýï ѳٳñáí ³Ý¹³ÙÝ»ñÁª 0 -Ç: ²ÛÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ã¿, ù³ÝÇ áñ

 − 1 ; 1  ÙÇç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë ·ïÝíáõÙ »Ý ³Ýí»ñç Ãíáí a -»ñ (µáÉáñ ½áõÛ· ѳٳñáí n  2 2 a n -»ñÁ):

1.

ÎѳçáÕíDZ, ³ñ¹Ûáù, ËÝÓáñÝ áõï»É ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ, »Ã» ûñ³Ï³Ý áõïáõÙ »ù Ùݳó³ÍÇ Ï»ëÁ:

2.

ÊÝÓáñÇ á±ñ Ù³ëÁ »ñµ»ù ã»ù áõïÇ, »Ã» ûñ³Ï³Ý áõïáõÙ »ù Ùݳó³Í Ù³ëÇ Ï»ëÁ:

3.

à±ñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ³Ýí»ñç ÷áùñ:

4.

²å³óáõó»ù, áñ a n =

5.

60

1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: n n ²å³óáõó»ù, áñ bn = q , (| q |< 1) , ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿:

172. àõÕÕ³ÝÏÛáõݳӨ ÃáõÕÃÝ áõÝÇ 1 ٳϻñ»ë: ø³ÝDZ ³Ý·³Ù ¿ å»ïù Ï»ëÇó Í³É»É ÃáõÕÃÁ, áñå»ë½Ç ëï³óí³Í ٳϻñ»ëÁ ÉÇÝÇ ÷áùñª ³) 10 −2 -Çó, µ) 10 −3 -Çó: 173. êïáõ·»É, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿. ³) a n =

1 , n+9

³) a n =

15 , ε = 0,1 , 2n + 3

1 , 2n + 1 ») an = 32 n , 2

1 , n2 + n n ¹) an = 21 , ½) an = 32 n : 3n + 1 2 174. an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ù³ÝDZ ³Ý¹³Ù ¿ ·ïÝíáõÙ (− ε; ε ) ÙÇç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë, »Ã». µ) an =

·) a n =

µ) a n =

2 , ε = 0,01 : n +1 2

Ø175. ²å³óáõó»ù, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿. ³) a n =

1 , lg( n + 1)

µ) a n =

1 log 2 (n + 2) − 1 ,

·) a n = 2 − n :

176. îñí³Í ε -Ç Ñ³Ù³ñ ·ïÝ»É ÷áùñ³·áõÛÝ N -Á, áñÇó Ù»Í n -»ñÇ Ñ³Ù³ñ ï»ÕÇ áõÝÇ a n < ε ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ. ³) an =

1 , n+5

»Ã»` 1) ε = 0,1 ,

µ) an =

1 , n2

»Ã»` 1) ε = 0,01 , 2) ε = 0,0001 :

2) ε = 0,01 ,

Ø 177. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, ³å³ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ ݳ¨ bn = a n + k , n ∈ N , ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ` ³) k = 1 , µ) k = 10 : Ø 178. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, ³å³ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ ݳ¨ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õª ³) bn = − a n ,

µ) bn = a n2 ,

¹) bn =

») bn = a n

an ,

·) bn = a n3 , p

, p >0,

½) bn = a nn :

179. ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇó, ³å³óáõó»É, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿. ³) bn = −

1, n

¹) bn = 1 ,

n

µ) b n = 12 ,

·) bn = 1 , 3

») b n = 1 , p > 0 , p

½) bn = 1n :

n

n

n

n

61

Ø 180. ä³ñ½»óÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÁ ¨ ѳßí»É Ýñ³ ³ñÅ»ùÁ.

 4 4a 3 − 24 4a 18 + 2 a  a + 1 : + 4 ³)  , »ñµ a = 5 , 4  

2− a

(

)

4a

 

4a

  , »ñµ b = 2 :  4 b +1 b −1 b − 1   Ø 181. гßí»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ, »Ã» a -Ý µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í ѳí³ë³ñÙ³ÝÁ. −1 

µ) b + 2 b + 1 

³) log

3

(14 − 5a ),

1

+

b +3

10a − 27 = 53,

−4

1

µ) log

2

(3 − 8a ) ,

24a − 27 = 30 :

§6. Âí³µ³Ý³Ï³Ý áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñ ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ Ñ»ï

È»ÙÙ³ 1: ²Ýí»ñç ÷áùñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ²ÛëÇÝùÝ, »Ã» a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ M ÃÇí, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ` a n ≤ M : ²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, áõñ»ÙÝ (−1, 1) ÙÇç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ý¹³ÙÝ»ñ: Ü߳ݳÏáõÙ ¿ª ϳñáÕ »Ýù ·ïÝ»É Ù»ÏÇó Ù»Í ³ÛÝåÇëÇ M ÃÇí, áñ ³Û¹ ¹áõñë Ùݳó³Í ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ÉÇÝ»Ý (− M , M ) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ (− M , M ) ÙÇç³Ï³ÛùÁ Ïå³ñáõݳÏÇ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ, ³ÛëÇÝùݪ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý n -Ç Ñ³Ù³ñ ÏáõݻݳÝùª a n ≤ M : È»ÙÙ³ 2: ºÃ» a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ ¨ bn ≤ a n , n ∈ N , ³å³ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: È»ÙÙ³Ý ³ÝÙÇç³Ï³Ýáñ»Ý Ñ»ï¨áõÙ ¿ ³Ýí»ñç ÷áùñÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó: È»ÙÙ³ 3: ºñÏáõ ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ¨ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ³Ýí»ñç ÷áùñ »Ý: ²ÛëÇÝùÝ, »Ã» a n , bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ »Ý, ³å³ an + bn ¨ an − bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ÝáõÛÝå»ë ³Ýí»ñç ÷áùñ »Ý: 62

²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù ε -Á áñ¨¿ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇí ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý N 1 ¨

ε N 2 µÝ³Ï³Ý Ãí»ñ, ³ÛÝåÇëÇù, áñ »Ã» n > N 1 , ³å³ an < , ÇëÏ »ñµ n > N 2 , ³å³ 2 ε bn < : Ü߳ݳϻÝù N = max {N 1 ; N 2 }: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, »Ã» n > N , ³å³ 2 ε ε an ± bn ≤ an + bn < + = ε : 2 2 È»ÙÙ³ 4: ê³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: ²ÛëÇÝùÝ, »Ã» a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, ÇëÏ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, ³å³ a n bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿:

²å³óáõóáõÙ: ø³ÝÇ áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿, áõñ»ÙÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ M > 0 , áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n ∈ N ѳٳñ a n < M : ø³ÝÇ áñ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, áõñ»ÙÝ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ε > 0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ N µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñ ε n > N ⇒ bn < : M л勉µ³ñª »ñµ n > N ,

an bn = an ⋅ bn < M ⋅

ε =ε: M

л勉Ýù 1: ²Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: ²å³óáõóáõÙ: ¸Çóáõù a n , bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ, ѳٳӳÛÝ 1-ÇÝ É»ÙÙ³ÛÇ, a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: ÎÇñ³é»Éáí 4-ñ¹ É»ÙÙ³Ý, ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ a n bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: гٳÝÙ³Ýáñ»Ý« ѳßíÇ ³éÝ»Éáí« áñ ѳëï³ïáõÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿« Ïëï³Ý³Ýù© л勉Ýù 2: гëï³ïáõÝÇ ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿:

n (2 n + n) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿£ 2 n (n + 1) 2 Ü»ñϳ۳óÝ»Ýù a n -Á Ñ»ï¨Û³É ï»ëùáí©

úñÇÝ³Ï òáõÛó ï³Ýù« áñ an =

1 1 n n2 n n2 + = ⋅ + ⋅ n £ 2 2 2 n n + 1 n + 1 ( n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) n n2 1 ø³ÝÇ áñ ¨ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï »Ý« ÇëÏ n + 1 (n + 1)2 n +1 1 ¨ n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁª ³Ýí»ñç ÷áùñ, 3-ñ¹ ¨ 4-ñ¹ É»ÙٳݻñÇ Ñ³Ù³Ó³ÛÝ 2 a n -Á ¨ë ÏÉÇÝÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ£ an =

63

1. 2. 3.

ê³Ñٳݳ÷³±Ï ¿, ³ñ¹Ûáù, ³Ýí»ñç ÷áùñÁ: ²å³óáõó»ù, áñ ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: ²å³óáõó»ù, áñ ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ¨ ³Ýí»ñç ÷áùñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: ²å³óáõó»ù, áñ ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿:

4.

182. سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿:

183. سûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹áí ³å³óáõó»É, áñ í»ñç³íáñ Ãíáí ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: ²å³óáõó»É, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ (184-186).

184. ³) an =

(− 1)n

,

n cos(n + 1) , ¹) an = 2n 3 5 185. ³) an = + , n n +1 1 − 2−n , ¹) an = n +1

186. ³) a n = ·) a n =

1 + (− 1) , n +1 n ») a n = , (n + 1)(n + 2) 1 4 , µ) a n = − 2n − 3 n + 2 3 ») an = , n 1 + 2 −n n

µ) a n =

(

·) a n = sin n ,

n 5 : ½) an = n ⋅ 2n 1 ·) a n = + 3 − n , n 2 ½) a n = : n(3 + 4 − n )

)

13 sin n + 25 cos n n log 2 (n + 1) ,

µ) a n =

12 sin 2 n − 7 cos n , 5n 3 + 1

cos( n − 9) n5 + n 5 , lg(2n + 5) 3 ( n + 1)

¹) a n =

54 3 ⋅ : tg n + 1 n 1 + 2 −n 2

(

187. ¸Çóáõù a n = 15 , bn = 13 , c n = 55 , n ∈ N : ²å³óáõó»É, áñ` n n n ³) a n , bn , c n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñ »Ý, an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, bn a Ø·) n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ã¿, cn bn ع) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ã¿: an µ)

64

)

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (188-189).

188. ³) 2 +

1 1 , = x − 3 x −1

µ) 1 + 25 = 16 :

x−7

189. ³) x − 2 x − 3 = 0 , 3− x

x−6

µ) 3 x + 7 x + 2 = 0 :

2

2

x +1

§7. гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý,

e ÃÇíÁ

¸³ñÓÛ³É »Ýó¹ñ»Ýù, áñ áõÝ»ù ÙÇ ËÝÓáñ ¨ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ûñ áõïáõÙ »ù ËÝÓáñÇ Ùݳó³Í Ù³ëÇ Ï»ëÁ: î»ëÝ»Ýù, û ųٳݳÏÇ ÁÝóóùáõÙ, ËÝÓáñÇ á±ñ Ù³ëÝ ¿ áõïíáõÙ: 1 ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù, ³Ûë ¹»åùáõÙ n -ñ¹ ûñÁ ÙÝáõÙ ¿ñ ËÝÓáñÇ n Ù³ëÁ: л勉µ³ñ, 2 1 »Ã» a n -áí Ý߳ݳϻÝù n ûñáõÙ Ï»ñ³Í Ù³ëÁ, ³å³ an = 1− n (ÝÏ. 11): àõëïÇ, û¨ 2 ËÝÓáñÁ »ñµ»ù ÉñÇí áõï»É ãÇ Ñ³çáÕíÇ, ë³Ï³ÛÝ Ýñ³ÝÇó, Áëï ¿áõÃÛ³Ý, áãÇÝã ãÇ ÙÝáõÙ ¨ ³ÛÝ« ųٳݳÏÇ ÁÝóóùáõÙ, Áëï ¿áõÃÛ³Ý, ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ áõïíáõÙ ¿, ³ÛëÇÝùÝ a n -Ý ³Ýí»ñç Ùáï»ÝáõÙ ¿ 1 -ÇÝ: ²Ûëï»Õ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ï³ñµ»ñíáõÙ ¿ 1 ѳëï³ïáõÝÇó − 1n ³Ýí»ñç 2 ÷áùñáí: ÜÙ³Ý ¹»åùáõÙ ³ëáõÙ »Ý, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ó·ïáõÙ ¿ 1 -Ç:

a 1= 1

1 2

a 2= 1

1 22

a 3= 1

1 23

a 4= 1

1 24

a 5= 1

1 25

1

ÜÏ. 11

a ÃÇíÁ ÏáãíáõÙ ¿ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³Ý, »Ã» a n − a , ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: ºÃ» ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ áõÝÇ í»ñç³íáñ ë³ÑÙ³Ý, ÏáãíáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï, ѳϳé³Ï ¹»åùáõÙª ÏáãíáõÙ ¿ ï³ñ³Ù»ï: ºÃ» a ÃÇíÁ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, ³å³ ·ñáõÙ »Ý*

a = lim a n ϳ٠a n → a n →∞

*ϳñ¹³óíáõÙ

¿ª

a -Ý

ѳí³ë³ñ ¿ ë³ÑÙ³Ý

an ,

»ñµ

n -Á

Ó·ïáõÙ ¿ ³Ýí»ñçÇ: ²Ûëï»Õ lim -Á ɳïÇÝ»ñ»Ý

limes µ³éÇ Ïñ׳ïáõÙÝ ¿, áñÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ §ë³Ñٳݦ:

65

¨ ³ëáõÙ »Ý a n -Á Ó·ïáõÙ ¿ a -Ç, ϳ٠a n -Á ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ a -Ç: ö³ëïáñ»Ý, an ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ó·ïáõÙ ¿ a ÃíÇÝ, »Ã» ÇÝã-áñ ѳٳñÇó ëÏë³Í Ýñ³ ³Ý¹³ÙÝ»ñÇ ¨ a -Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ µ³ó³ñÓ³Ï ³ñÅ»ùáí ÷áùñ ¿ ݳ˳å»ë ïñí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý ε ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇóª | a n − a |≤ ε : ì»ñçÇÝ ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ a n -Á å³ïϳÝáõÙ ¿ a Ï»ïÇ ε -ßñç³Ï³ÛùÇݪ

a n ∈ ( a − ε, a + ε ) : ²Ûëï»ÕÇó Ïëï³óíÇ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý Ù»Ïݳµ³ÝáõÃÛáõÝÁ (ÝÏ. 12).

a–ε

a+ε

a a N +2 a N +1

aN

a2 a1

ÜÏ. 12

a ÃÇíÁ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ¿, »Ã» a -Ç Ï³Ù³Û³Ï³Ý ßñç³Ï³ÛùÇó ¹áõñë ϳñáÕ »Ý ÉÇÝ»É ÙdzÛÝ í»ñç³íáñ Ãíáí a n -»ñ: ä³ñ½ ¿, áñ »Ã» a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, ³å³ ³ÛÝ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ Ýñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ 0 ¿ª lim a n = 0 : n→ ∞ ÆÝùÝáõñáõÛÝ Ñ³Ùá½í»ù, áñ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É É»ÙÙ³Ý: È»ÙÙ³: ºÃ» β n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, ³å³ ϳٳ۳ϳÝ

a ÃíÇ Ñ³Ù³ñ a n = a + β n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ¨ lim a n = a : n→ ∞

úñÇÝ³Ï 1: an = a ѳëï³ïáõÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ a = liman : Æñáù, ³Û¹ ¹»åùáõÙ an −a = 0 , n ∈ N , áñÁ, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: n→∞

úñÇÝ³Ï 2: ä³ñ½»Ýù an = áñ ¨

n +1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ: ø³ÝÇ n an =

n +1 1 =1+ n n

n +1 1 =1: ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, áõñ»ÙÝ lim n →∞ n n »áñ»Ù 1: ºÃ» a n ¨ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý, ³å³ ½áõ·³Ù»ï »Ý ݳ¨ a n + bn , a n − b n , a n ⋅ b n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, Áݹ áñáõÙ, 1. lim (a n + bn ) = lim a n + lim bn , n→∞

n→ ∞

n→ ∞

n →∞

n →∞

2. lim (a n − bn ) = lim a n − lim bn , n→ ∞

3. lim a n ⋅ bn = lim a n × lim bn : n→ ∞

66

n→ ∞

n→ ∞

²å³óáõóáõÙ: Ü߳ݳϻÝù

a = lim a n ¨ b = lim bn : n →∞

n→∞

Àëï ë³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý, α n = a n − a ¨ β n = bn − b ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ »Ý: ²Û¹ ¹»åùáõÙ an = a + α n , bn = b + β n ¨

an + bn = (a + α n ) + (b + β n ) = (a + b ) + (α n + β n ) :

ø³ÝÇ áñ ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÇ α n + β n ·áõÙ³ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, É»ÙÙ³ÛÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ

a n + bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿, ¨ a n + bn → a + b : гݷáõÝáñ»Ý ³å³óáõóíáõÙ ¿ 2-ñ¹ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²ÛÝáõѻ飯 an ⋅ bn = (a + α n )(b + β n ) = ab + aβ n + bα n + α nβ n : ÎÇñ³é»Éáí ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñǪ ݳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ ³å³óáõóí³Í ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ aβ n + bα n + α nβ n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: л勉µ³ñª a n bn → ab : ø³ÝÇ áñ bn = p ѳëï³ïáõÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ Ýñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ p -Ý ¿, 1-ÇÝ Ã»áñ»ÙÇó Ïëï³Ý³Ýù. л勉Ýù: ºÃ» a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ p -Ý áñ¨¿ ÃÇí ¿, ³å³ p ⋅ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨

lim p ⋅ a n = p lim a n :

n→ ∞

n→ ∞

²é³Ýó ³å³óáõÛóÇ Ó¨³Ï»ñå»Ýù ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÁ: »áñ»Ù 2: ¸Çóáõù a n ¨ bn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ ½áõ·³Ù»ï »Ý« an Áݹ áñáõÙ« bn ≠ 0 , n ∈ N ¨ lim bn ≠ 0 £ ²Û¹ ¹»åùáõÙ b ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃn→∞ n ÛáõÝÁ ÝáõÛÝå»ë ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ lim a n a lim n = n→∞ n→ ∞ bn lim bn : n→ ∞

гçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ù»ç ϳñ¨áñ ¹³ë »Ý ϳ½ÙáõÙ ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÁ: ¸Çóáõù a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿: ä³ñ½ ¿« áñ ³Û¹ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý µáÉáñ ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ Ù»Í »Ý ³é³çÇÝ ³Ý¹³ÙÇó« áñï»ÕÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ Ý»ñù¨Çó, ûñÇݳϪ a1 Ãíáí: ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ »Ã» ³ÛÝ ë³Ñٳݳ÷³Ï ÉÇÝÇ Ý³¨ í»ñ¨Çó, ³å³ ÏÉÇÝÇ ½áõ·³Ù»ï: гٳÝÙ³Ýáñ»Ý, Ýí³½áÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ í»ñ¨Çó, ÇëÏ Ý³¨ Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ÉÇÝ»Éáõ ¹»åùáõÙ ¹³éÝáõÙ ¿ ½áõ·³Ù»ï: ²ÛëÇÝùÝ` ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ (áñÁ ÏÁݹáõÝ»Ýù ³é³Ýó ³å³óáõÛóÇ): 67

»áñ»Ù 3: ØáÝáïáÝ ¨ ë³Ñٳݳ÷³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿: ´»ñ»Ýù ûáñ»ÙÇ ÙÇ ÏÇñ³éáõÃÛáõÝ: ¸Çï³ñÏ»Ýù

an = 1 +

1 1 1 + + L + , n = 1, 2, ... n! 1! 2!

ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñï»Õ n ! -Á (ϳñ¹³óíáõÙ ¿ n ý³ÏïáñdzÉ) 1 -Çó ÙÇÝ㨠n µáÉáñ µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ¿ª n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ K ⋅ n : ø³ÝÇ áñ

1 >a (n + 1)! n , áõñ»ÙÝ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿: ØÛáõë ÏáÕÙÇó« û·ïí»Éáí an +1 = an +

n != 1 ⋅ 2 ⋅ K ⋅ n > 21⋅4 22 ⋅K ⋅ 2 = 2 n−1 , n = 2, 3, ... 4 3 ( n −1) ѳï

1 1 ≤ n −1 , ¨ n! 2 1  1 1 −  1 1 1 2  2 n −1  0 ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõݻݳ N ∈ N , áñ n > N å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨Ç a n − a < ε ³Ýѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÁ: ²å³óáõó»É: ¹) lim

2n

n

n →∞

192. ¸Çóáõù lim x n = 2 : ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ.

(

n→∞

)

³) lim x n2 + 3x n , n→∞

(

)

µ) lim 2 x n2 − x n , n →∞

5xn − 1 : n→∞ x n + 1

·) lim

193. ¸Çóáõù lim a n = 1 ¨ lim bn = 3 : гßí»É lim x n -Á, »Ã»` n→∞

2 a n − bn , an − 4 a n (a n + bn ) ¹) x n = , an + 1 ³) x n =

n →∞

n →∞

a n ⋅ bn − 3 , a n + bn bn − 2 a n ») x n = , a n + bn µ) x n =

2bn − 4 , an + 1 1 − bn ½) x n = : 1 + a n bn

·) x n =

Ø 194. ²å³óáõó»É, áñ ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿:

69

195. ¶ïÝ»É a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã»` ³) a n =

n −1 , n +1

2n + sin n , n ») a n = −3 − n + n + 1 , n µ) a n =

¹) a n = 3 − 2 − n ,

·) a n =

1 + (− 1) , n

½) a n = 5

n

−

n 2

+ n −1 :

* 196. ú·ïí»Éáí ÙáÝáïáÝ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛ³Ý í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÇó, ³å³óáõó»É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ½áõ·³ÙÇïáõÃÛáõÝÁ. ³) a n = 3 −1 + 3 −2 + L + 3 − n ,

µ) a n = 1−1 + 2 −2 + L + n − n ,

·) a n = 1 +

1 1 , +L+ n +1 2n

¹) a n = log 2 (n + 1) − log 2 n ,

») an = 1 −

1  1 − 1 L1 − 1  :     2   4   2n 

n



* 197. ¸Çóáõù 0 < q < 1 : ³) ²å³óáõó»ù, áñ ÇÝã-áñ ѳٳñÇó ëÏë³Í a n = n ⋅ q n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÙáÝáïáÝ Ýí³½áÕ ¿: µ) ²å³óáõó»ù, áñ lim n ⋅ q n = 0 : n →∞

·) ²å³óáõó»ù, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý ¹ñ³Ï³Ý k -Ç ¹»åùáõÙ lim n k ⋅ q n = 0 : n →∞

Ø 198. ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ. ³) lim 1 + 1  n →∞ 

−n

n

2n

µ) lim 1 + 1  ,

,

n→∞ 

n −2 n +1  1 ¹) lim 1 +  : n →∞  n

n

·) lim  3 + 1  1 + 1  , n →∞ 

n

n

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (199-200).

199. ³) ln (x + e ) + ln x = 2 + ln 2 , 200. ³) e 7 x

2

+3 x

µ) ln 2 x + ln x − 2 = 0 : µ) e 2 x + 5e x − 6 = 0 :

= e10 ,

§8. ê³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ Ñ³ßíÙ³Ý ûñÇݳÏÝ»ñ ²Ûë å³ñ³·ñ³ýáõÙ Ù»Ýù ÏùÝݳñÏ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÇ Ñ³ßíÙ³Ý ³é³í»É Ñ³×³Ë Ñ³Ý¹ÇåáÕ »Õ³Ý³ÏÝ»ñ:

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù Ñ»ï¨Û³É ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ© an = 70

n 3 − 2n + 1 : 2n 3 − n 2 + 5

n µÝ³Ï³Ý ³ñ·áõÙ»Ýïáí é³óÇáÝ³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ë³ÑÙ³ÝÁ ѳßí»Éáõ ѳٳñ Ïáïáñ³ÏÇ Ñ³Ù³ñÇãÝ áõ ѳÛï³ñ³ñÁ µ³Å³ÝáõÙ »Ý Ïáïáñ³ÏáõÙ »Õ³Í n -Ç 3 ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ׳ÝÇ íñ³: îíÛ³É ¹»åùáõÙ ¹³ n -Ý ¿: êï³ÝáõÙ »Ýù© 2 1 1− 2 + 3 n n : an = 1 5 2− + 3 n n 2 1 ø³ÝÇ áñ − 2 + 3 ¨ − 1 + 53 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ »Ý, áõëïÇ n n n n

2 1   lim 1 − 2 + 3  = 1, n n 

1 5   lim  2 − + 3  = 2 : n n 

n →∞

n →∞

ÎÇñ³é»Éáí ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ýáñ¹Ç í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýùª

n 3 − 2n + 1 1 = : n →∞ 2n 3 − n 2 + 5 2 lim

ä³ï³ë˳ݪ 1 :

2

n + 1001n : n 4 + 10 ²Ûë ¹»åùáõÙ n -Ç ³Ù»Ý³Ù»Í ³ëïÇ׳ÝÁ 4 -Ý ¿£ л勉µ³ñ« 3

úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»Ýù ë³ÑÙ³ÝÁª nlim →∞

1 1001 lim  1 + 1001    + 3 n →∞ n n + 1001n n3  0 n n = = lim = = 0: lim n →∞ n 4 + 10 n →∞ 10 1  10  1+ 4 lim 1 + 4  n → ∞ n  n  ä³ï³ë˳ݪ 0 : 3

úñÇÝ³Ï 3: ²å³óáõó»Ýù, áñ a n = 1 + 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ó·ïáõÙ ¿ 1 -Ç: n

Æñáùª

     1 + 1 − 1 ⋅  1 + 1 + 1   1 n   n 1 = ⋅ : an − 1 =  n   1 1  1 + + 1 1+ +1   n n   1

< 1 ¨ 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, áõñ»ÙÝ a n − 1 , 1 n 1+ +1 n n ∈ N , ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: л勉µ³ñ«

ø³ÝÇ áñ

lim 1 +

n →∞

1 = 1: n 71

úñÇÝ³Ï 4: ¶ïÝ»Ýù a n = n + 1 − n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ: ²ÛÝ ¹»å-

ù»ñáõÙ, »ñµ ·áñÍ áõÝ»Ýù »ñÏáõ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý Ñ»ï, ѳñÙ³ñ ¿ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ µ³½Ù³å³ïÏ»É ¨ µ³Å³Ý»É ³Û¹ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ÉÍáñ¹áí, ³ÛëÇÝùÝ` ÝáõÛÝ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ·áõÙ³ñáí: ²Ûë ¹»åùáõÙ Ïëï³óíǪ

an = л勉µ³ñ, an <

1 n

( n + 1 − n )(

)

n +1 + n 1 : = n +1 + n n +1 + n

: гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ 1 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ

¿, ëï³ÝáõÙ »Ýùª

n

(

)

lim n + 1 − n = 0 :

n →∞

ä³ï³ë˳ݪ 0 :

úñÇÝ³Ï 5: ¶ïÝ»Ýù an = n2 + n − n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ: ܳ˪  n2 + n − n   n2 + n + n      = an =  2 n +n +n

n n +n +n 2

:

²ÛÝáõÑ»ï¨, ѳٳñÇãÝ áõ ѳÛï³ñ³ñÁ µ³Å³Ý»Éáí n -Ç, ëï³ÝáõÙ »Ýùª

an = л勉µ³ñ (ï»°ë 3-ñ¹ ûñÇݳÏÁ)`

1 : 1 1+ +1 n 1

lim a n =

n →∞

lim 1 +

n →∞

1 +1 n

úñÇÝ³Ï 6: ºÝó¹ñ»Éáí, áñ a1 = 1 , an +1 =

=

1 : 2 ä³ï³ë˳ݪ

1: 2

an + 6 ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñ4

í³Í ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ (ѳÙá½í»ù ÇÝùÝáõñáõÛÝ), ·ïÝ»Ýù Ýñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ: Ü߳ݳϻÉáí x = lim a n , ëï³ÝáõÙ »Ýù x = n →∞

л勉µ³ñª lim a n = 2 : n→∞

x+6 ѳí³ë³ñáõÙÁ, áñï»ÕÇóª x = 2 : 4 ä³ï³ë˳ݪ 2 :

1.

ÆÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõÙ é³óÇáÝ³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ùµ ïñíáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ:

2.

ÆÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõÙ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝ å³ñáõݳÏáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ:

3.

ÆÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõÙ ³Ý¹ñ³¹³ñÓ µ³Ý³Ó¨áí ïñíáÕ Ñ³çáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ ³ÛÝ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ:

72

201. ¶ïÝ»É a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÁ. ³) a n = 2n + 1 ,

µ) a n = 4n − 5 ,

5n − 3 ·) a n = 5n − n − 3 , n+2 n +4

8n + 3 3 ¹) a n = 3n + 5 n − 8 : 2n − 3 n + 9

202. ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ.

4n 3 + 3n 2 − 200 , n → ∞ 2 n 3 − 2 n + 12

µ) lim

2n 99 − n 21 , n → ∞ 2n 21 − 4n 99 + 1

¹) lim

5n 4 − 1 , n → ∞ n − 2n 4

³) lim

7n 5 − 1 : n→∞ n 5 − n 3 + 1

·) lim

203. ²å³óáõó»É, áñ ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿. ³)

n −1 , 1 + n2

µ)

Ø 204. ¶ïÝ»É ë³ÑÙ³ÝÁ. ³) lim

n →∞

n12 − n11 , n11 − 2n13

·)

( n + 100 − n ),

1 − n3 + n : n 2 + n5

µ) lim  n 2 + 1 − n  , n →∞



(

)

n + 2 − n +1 , ¹) lim n + 1 − n n − 1 : n →∞ n +1 − n Ø 205. ¶Çï»Ý³Éáí, áñ a n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³ÙÇïáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³Ý ÃíÇ, ·ïÝ»É ³Û¹ ·) lim

n→∞

ÃÇíÁ.

a n +1 = a n (2 − a n ),

³) a1 = 0,5, µ) a1 = 4 27 , ·) a1 = 4,

n∈N ,

a n +1 = 4 27 a n , n ∈ N ,

  a n +1 = 1  a n + 17 , n ∈ N : 2 an 

* 206. ²å³óáõó»É, áñ a1 = 5 , a n +1 = 5 + a n , n ∈ N , ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿ ¨ ·ïÝ»É Ýñ³ ë³ÑÙ³ÝÁ:

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (207-208).

207. ³)

(

2x + 2 + 3 = x ,

)

Ø 208. ³) 3x 2 − 16x + 16

x 2 − 2x − 3 = 0 ,

µ)

(

x 2 + 8 = 2x + 1 :

µ) x 2 + x − 2

)

x2 − x − 2 = 0 : 73

üáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ: ²Í³ÝóÛ³É ¢1. üáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ ø³é³Ïáõëáõ ٳϻñ»ëÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ã³÷»É Ýñ³ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ ¨ ³ÛÝ ù³é³ÏáõëÇ µ³ñÓñ³óÝ»É: ÆѳñÏ»« ٳϻñ»ëÇ ëï³óí³Í ³ñÅ»ùÇ ×ß·ñïáõÃÛáõÝÁ ϳËí³Í ¿ Ýñ³ÝÇó, û áñù³Ýá±í ¿ ×Çßï ã³÷í³Í ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ: ä³ñ½ ¿, áñ ù³é³Ïáõëáõ ÏáÕÙÇ ÷áùñ ÷á÷áËáõÃÛ³Ý ¹»åùáõÙ Ýñ³ ٳϻñ»ëÁ ùÇã ¿ ÷áËíáõÙ£ л勉µ³ñ« »Ã» ÏáÕÙÇ ã³÷Ù³Ý Å³Ù³Ý³Ï ÃáõÛÉ ïñí³Í ë˳ÉÁ ÷áùñ ¿, ³å³ ٳϻñ»ëÇ Ñ³Ù³ñ ëï³óí³Í ³ñÅ»ùÁ ùÇã ¿ ï³ñµ»ñíáõ٠ٳϻñ»ëÇ Çñ³Ï³Ý ³ñÅ»ùÇó: ²ÛëÇÝùÝ, ϳñ»ÉÇ ¿ ³ë»É, áñ ù³é³Ïáõëáõ ٳϻñ»ëÝ ³ÝÁݹѳïáñ»Ý ¿ ϳËí³Í Ýñ³ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó, ϳ٠ù³é³Ïáõëáõ ٳϻñ»ëÝ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿ Ýñ³ ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÇó: ²ëáõÙ »Ý, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ x 0 Ï»ïáõÙ, »Ã» f -Ç áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ ÁÝÏ³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý x n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ lim x n = x0 å³ÛÙ³ÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ n→ ∞

lim f (x n ) = f (x0 )

n→ ∞

(1)

ê³ÑÙ³ÝÇ ë³ÑÙ³ÝÙ³Ý Ñ³Ù³Ó³ÛÝ, ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÝ x0 Ï»ïáõÙ Ý߳ݳÏáõÙ ¿, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý hn ³Ýí»ñç ÷áùñÇ Ñ³Ù³ñ

yn = f (x0 + hn ) − f (x0 ) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ (»Ã» x0 + hn ∈ D ( f ), n ∈ N ):

ÀݹáõÝí³Í ¿ f (x 0 + h ) − f (x 0 ) ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³Ý»É ³ñ·áõÙ»ÝïÇ h ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ýáõÝÏódzÛÇ ³×, ϳÙ, å³ñ½³å»ëª ýáõÝÏódzÛÇ ³× x0 Ï»ïáõÙ: ²Ûë å³Ûٳݳíáñí³ÍáõÃÛ³Ùµ ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÝ x0 Ï»ïáõ٠ϳñ»ÉÇ ¿ Ó¨³Ï»ñå»É ³Ûëå»ë© ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 Ï»ïáõÙ, »Ã» ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáõÙ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³Ýí»ñç ÷áùñ ³×: ÆѳñÏ»« ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ áñáß Ï»ï»ñáõ٠ϳñáÕ ¿ ÉÇÝ»É ³ÝÁݹ-

74

Ñ³ï« ÇëÏ ³ÛÉ Ï»ï»ñáõÙª ãÉÇݻɣ üáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÝÁݹѳï, »Ã» ³ÛÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ïáõÙ: úñÇݳÏ, 13, ³ ÝϳñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ÇëÏ 13, µ ÝϳñáõÙ å³ïÏ»ñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý x 0 Ï»ïáõÙ ³ÝÁݹѳï ã¿: y y f (x0+ h) f (x0+ h)

f (x0+ h) f (x0 )

f (x0 ) O

x0 x0+ h

x

³)

f (x0+ h) f (x 0 ) f (x0)

O

ÜÏ. 13

x0 x0+ h

x

µ)

úñÇÝ³Ï 1: ¸Çóáõù f (x ) = 2 , x ∈ [− 1; 1]:

[− 1; 1]

ѳïí³ÍÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý x0 Ï»ïÇ ¨ ³Û¹ ѳïí³ÍǪ x0 -ÇÝ Ó·ïáÕ

Ï³Ù³Û³Ï³Ý xn ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ f ( xn ) = 2, n ∈ N , áõëïÇ

lim f (xn ) = 2 = f ( x0 ) :

n→∞

л勉µ³ñ f -Ý ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿: гݷáõÝáñ»Ý ϳñáÕ »Ýù ѳÙá½í»É, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:

úñÇÝ³Ï 2: f (x ) = x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: Æñáù, »Ã» x0 ∈ R ¨ lim xn = x0 , ³å³ n →∞

lim f (xn ) = lim xn = x0 = f (x0 ) :

n →∞

n →∞

ú·ïí»Éáí ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÇ Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ×ßÙ³ñÇï ¿ Ñ»ï¨Û³É åݹáõÙÁ. ²ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÁ, ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ, ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, ù³Ýáñ¹Á ¨ ѳٳ¹ñáõÛÃÝ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñ »Ý: ²ÛëÇÝùݪ »Ã» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Çñ áñáßÙ³Ý f ýáõÝÏódzݻñÝ ³ÝÁݹѳï ïÇñáõÛÃÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ, ³å³ f + g , f − g , f ⋅ g ¨ g »Ý Çñ»Ýó áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÝ»ñÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ: 75

ÎÇñ³é»Éáí ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ÇݹáõÏódzÛÇ Ù»Ãá¹Áª ³Ûëï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù« áñ í»ñç³íáñ Ãíáí ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ (³å³óáõó»ù ÇÝùÝáõñáõÛÝ)£ л勉Ýù 1: гëï³ïáõÝÇ ¨ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿: л勉Ýù 2: Î³Ù³Û³Ï³Ý P (x ) = a n x n + L + a 1 x + a 0 µ³½Ù³Ý¹³Ù ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿: ø³ÝÇ áñ f (x ) = x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, áõñ»ÙÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý x, x 2 , x 3 , K ýáõÝÏódzݻñÁ, áñå»ë ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÝ»ñ: гٳӳÛÝ 2-ñ¹ ѻ勉ÝùÇ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý Ý³¨ a k x k , k = 1,2, K, n ¨ a 0 ýáõÝÏódzݻñÁ ¨« ѻ勉µ³ñ, Ýñ³Ýó ·áõÙ³ñÁ ѳݹÇë³óáÕ P (x ) µ³½Ù³Ý¹³ÙÁ: ø³ÝÇ áñ µ³½Ù³Ý¹³ÙÝ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz ¿« ³Ûëï»ÕÇó Ïëï³Ý³Ýù© л勉Ýù 3: è³óÇáÝ³É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ùµ ïñíáÕ

R( x ) =

a k x k + L + a1 x + a 0 bm x m + L + b1 x + b0

ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿:

úñÇÝ³Ï 3: f (x ) =

x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿: x −1 Üß»Ýù, áñ y = x 3 ¨ y = x 2 − 1 ýáõÝÏódzݻñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ 2

³é³ÝóùÇ íñ³, ÇëÏ Ýñ³Ýó ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁª f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ, ³ÛëÇÝùݪ »ñµ x ≠ ±1 :

1.

º±ñµ »Ý ³ëáõÙ, áñ f : X → R ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x 0 ∈ X Ï»ïáõÙ:

2.

à±ñ ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ ÏáãíáõÙ ³ÝÁݹѳï:

3.

´»ñ»ù ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ ûñÇݳÏÝ»ñ:

4.

ƱÝãÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ h ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ ýáõÝÏódzÛÇ ³× x 0 Ï»ïáõÙ:

5.

Ò¨³Ï»ñå»ù x 0 Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÝ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ¨ ýáõÝÏódzÛÇ ³×»ñÇ ï»ñÙÇÝÝ»ñáí:

6.

ƱÝã ϳñáÕ »ù ³ë»É, ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÇ, ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý, ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, ù³Ýáñ¹Ç áõ ѳٳ¹ñáõÛÃÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ:

76

Ø 209. ²å³óáõó»É, áñ f (x ) = x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ª ³) x 0 = 1 Ï»ïáõÙ, µ) x 0 = 0 Ï»ïáõÙ, ·) Ï³Ù³Û³Ï³Ý Ï»ïáõÙ:

210. ²å³óáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÝ x 0 Ï»ïáõÙ. ³) f (x ) = x 2 − 1 , x 0 = −1 ,

µ) f (x ) =

·) f (x ) =

¹) f (x ) = x 3 − x 2 , x 0 = 1 ,

x , x =0, x −1 0 1 , x = 1, ») f (x ) = 0 x

1 , x =2, 0 x+2

1 , x =8: 0 x +1

½) f ( x ) =

211. ¶ïÝ»É ³ñ·áõÙ»ÝïÇ h ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ f ýáõÝÏódzÛÇ ³×Á x 0 Ï»ïáõÙ, »Ã»` ³) f ( x ) = 2 x 2 − 1,

x0 = 3, h = − 0,2 ,

4 , x +1

x0 = −3, h = 0,1 ,

π π , h=− : 3 12 212. ¶ïÝ»É ³ñ·áõÙ»ÝïÇ h ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ f ýáõÝÏódzÛÇ ³×Á x Ï»ïáõÙ, 2 ·) f (x ) = cos x,

»Ã»`

³) f (x ) = x 2 ,

x0 =

π 2π , h= , 3 12

µ) f (x ) =

µ) f (x ) = x 3 ,

¹) f (x ) = tg x,

·) f (x ) =

x0 =

¹) f (x ) =

1, x

213. ú·ïí»Éáí ݳËáñ¹ ³é³ç³¹ñ³ÝùÇóª ³å³óáõó»É x 2 , x 3 , ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ:

1 ¨ x

x:

x ýáõÝÏódzݻñÇ

Ø 214. ²å³óáõó»É, áñ »Ã» f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ³å³ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ ݳ¨ g ýáõÝÏódzÝ, áñï»Õ` ³) g (x ) = f

3

1 , f (x )

¹) g (x ) =

f (x ) ,

g(x) = f ( x) ,

½) g (x ) =

(x ) : f (x ) − 1

·) g (x ) = »)

(x ) ,

µ) g (x ) = f

2

f

(x ), 2

215. Êáñ³Ý³ñ¹Ç x ÏáÕÁ ëï³ó»É ¿ h ³×: ¶ïÝ»É ÉñÇí ٳϻñ¨áõÛÃÇ ³×Á:

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (216-217). Ø 216. ³)

3 − 2 x log 2 (x − 1) = 0 ,

217. ³) log x −1 (3x + 1) = 2 ,

µ)

x − 4 ln(x − 5) = 0 :

(

)

µ) log x 6 + x − x 2 = 2 :

77

§2. î³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ³ÝÁݹѳïáõÃÛáõÝÁ سûٳïÇÏ³Ï³Ý ³Ý³Éǽáõ٠ϳñ¨áñ Ý߳ݳÏáõÃÛáõÝ áõÝ»Ý ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÁ: 1) f (x ) = b ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿,

2) f (x ) = x ýáõÝÏóÇ³Ý ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿,

3) ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ, óáõóã³ÛÇÝ ¨ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÁ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ »Ý, 4) »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ¨ ѳϳ¹³ñÓ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ( y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x ) ýáõÝÏódzݻñÁ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ »Ý, 5) ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÁ, ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ¨ ù³Ýáñ¹Á ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ »Ý, 6) ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÁ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿: n ²Ûë ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý P(x ) = a n x + L + a1 x + a 0 µ³½-

(

)

ٳݹ³Ù ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿: î³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ »Ý ݳ¨ sin x 2 − 1 , tg (ln x ) , arcsin x + x ýáõÝÏódzݻñÁ:

²ñ¹»Ý ·Çï»Ýù, áñ ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ f (x ) = x ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñ »Ý: ²ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñ »Ý ݳ¨ ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ, óáõóã³ÛÇÝ, Éá·³ñÇÃٳϳÝ, »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ¨ ѳϳ¹³ñÓ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÁ: гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÁ, ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ, ù³Ýáñ¹Á ¨ ѳٳ¹ñáõÛÃÝ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñ »Ý, ëï³ÝáõÙ »Ýù© µáÉáñ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï »Ý:

úñÇÝ³Ï 1: ³) y = x ýáõÝÏóÇ³Ý ï³ññ³Ï³Ý ¿, ù³ÝÇ áñ

x = x1 2 , ÇëÏ y = x1 2

³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏóÇ³Ý ï³ññ³Ï³Ý ¿:

µ) y =| x | ýáõÝÏóÇ³Ý ï³ññ³Ï³Ý ¿, ù³ÝÇ áñ ³ÛÝ u (x ) = x 2 ¨ v(x ) = x

ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³¹ñáõÛÃÝ ¿ª x =

x2 :

 x, »Ã» x > 0 , ·) ¸Çóáõù f ( x) =  0, »Ã» x ≤ 0

0, »Ã» x > 0 : ²Ûë ýáõÝÏódzݻñÁ g ( x) =   x, »Ã» x ≤ 0

ï³ññ³Ï³Ý »Ý, ÇÝãÁ Ñ»ï¨áõÙ ¿ f ( x) =

x + | x | g ( x) = x − | x | ¨ ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇó: 2 2

¹) y = 3 x ýáõÝÏóÇ³Ý ï³ññ³Ï³Ý ¿, ù³ÝÇ áñ 78

3

x = [ f ( x)]1 3 − [− g ( x)]1 3 ,

áñï»Õ f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÁ ë³ÑÙ³Ýí³Í »Ý ݳËáñ¹ Ï»ïáõÙ: ²ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÝ áõÝ»Ý ÙÇ ß³ï ϳñ¨áñ ѳïÏáõÃÛáõÝ, áñÁ Ó¨³Ï»ñåíáõÙ ¿ Ñ»ï¨Û³É Ó¨áí: »áñ»Ù 1 (ÙÇç³ÝÏÛ³É ³ñÅ»ùÇ í»ñ³µ»ñÛ³É): ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ [a, b ] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ²Û¹ ¹»åùáõÙ Ï³Ù³Û³Ï³Ý C ÃíÇ Ñ³Ù³ñ, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ f (a ) ¨ f (b ) Ãí»ñÇ ÙÇç¨, ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c ∈ (a , b ) , áñ f (c ) = C (ÝÏ. 14, ³): y f (b) y C

f (b)

f (a) O

a

c

b

x

O

a

c

b

x

f (a) ³)

ÜÏ. 14

µ)

²Ûë ûáñ»ÙÁ« áñÁ Ù»Ýù ÏÁݹáõÝ»Ýù ³é³Ýó ³å³óáõóٳݫ µ³ó³Ñ³ÛïáõÙ ¿ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzݻñÇ Ï³ñ¨áñ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁ© »Ã» [a; b ] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏóÇ³Ý ³Û¹ ѳïí³ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ A ¨ B ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ( A < B )« ³å³ [A, B ] ÙÇç³Ï³ÛùÝ ³ÙµáÕçáõÃÛ³Ùµ ÁÝÏ³Í ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç£ Ø³ëݳíáñ³å»ë« »Ã» ýáõÝÏóÇ³Ý Ñ³ïí³ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÇó Ù»ÏáõÙ ÉÇÝÇ µ³ó³ë³Ï³Ý« ÇëÏ ÙÛáõëáõÙª ¹ñ³Ï³Ý, ³å³ ѳïí³ÍÇ áñ¨¿ Ï»ïáõÙ ³ÛÝ Ï¹³éݳ ½ñᣠ²Ûë ÷³ëïÁ Ó¨³Ï»ñåí³Í ¿ ѳçáñ¹ ûáñ»ÙáõÙ« áñÝ áõÝÇ µ³½Ù³ÃÇí ÏÇñ³éáõÃÛáõÝÝ»ñ: »áñ»Ù 2: ºÃ» [a, b ] ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁݹѳï f ýáõÝÏóÇ³Ý a ¨ b Ï»ï»ñáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ï³ñµ»ñ Ýß³ÝÇ ³ñÅ»ùÝ»ñ, ³å³ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÛÝåÇëÇ c ∈ (a , b ) , áñ f (c ) = 0 : ºñÏñ³ã³÷áñ»Ý ³Ûë ûáñ»ÙÁ ϳñ»ÉÇ ¿ Ù»Ïݳµ³Ý»É Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå. »Ã» [a; b ] ѳïí³ÍáõÙ ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ ï³ñµ»ñ ÏáÕÙ»ñáõÙ, ³å³ ³ÛÝ Ñ³ïáõÙ ¿ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ ( a, b ) ï»Õ³Ù³ëáõÙ (ÝÏ. 14, µ):

úñÇÝ³Ï 2£ òáõÛó ï³Ýù« áñ 2 x + 2 = 5 x 2 + 2 x + 3 ѳí³ë³ñáõÙÁ (0;1) ÙÇç³Ï³Û79

ùáõÙ áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï ³ñÙ³ï£ ¸Çï³ñÏ»Ýù f (x ) = 2 x + 2 − 5 x 2 − 2 x − 3 ýáõÝÏódzݣ ²ÛÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ [0;1] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ¨ f (0 ) = 1 > 0, f (1) = −2 < 0 £ гٳӳÛÝ 2-ñ¹ ûáñ»ÙÇ« ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ (0;1) ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ å³ïϳÝáÕ ³ÛÝåÇëÇ c ÃÇí« áñ f (c ) = 0 « ³ÛëÇÝùݪ c -Ý ïñí³Í ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ï ¿£ ä³ï³ë˳ݪ (2; 3] U {5}:

1.

à±ñ ýáõÝÏódzݻñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ï³ññ³Ï³Ý:

2.

î³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódz± ¿ ³ñ¹Ûáù y = x ýáõÝÏódzÝ, y =

x ýáõÝÏódzÝ:

218. гÙá½í»ù, áñ f -Á ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódz ¿ ¨ ·ï»ù ¹ñ³ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ. ³) f (x ) = x + sin x , µ) f (x ) = cos x − 1 , sin x 1 ·) f (x ) = ln(x + 1) − , ¹) f (x ) = arccos (x + 2 ) : x 219. ÐÇÙݳíáñ»ù, áñ Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÁ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñ »Ý. ³) y = 4 x ,

µ) y = 5 x ,

·) y = sin x ,

¹) y = tg x − 2 ,

») y = ln x ,

½) y = ln x :

220. êïáõ·»É, áñ ѳí³ë³ñáõÙÁ Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ ·áÝ» Ù»Ï ³ñÙ³ï. ³) x 3 + 5 x 2 − 7 = 0, ·) 2 cos x − x = 0,

[1; 2],

 π 0; 2  ,  

µ) x 4 + 6 x 3 − 1 = 0, ¹) ln (x + 5) − 5 x = 0,

[0;1] , [− 4; 4]:

Ø 221. ºñ»ù µ³Ýíáñ ÙdzëÇÝ ³ß˳ï»Éáí` »ñ»ù ûñáõÙ å³ïñ³ëïáõÙ »Ý 129 ¹»ï³É. Áݹ áñáõÙ` ³é³çÇÝÁ »ñÏáõ ûñáõÙ å³ïñ³ëïáõÙ ¿ ³ÛÝù³Ý ¹»ï³É, áñù³Ý »ññáñ¹Á »ñ»ù ûñáõÙ, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á ÑÇÝ· ûñáõÙ å³ïñ³ëïáõÙ ¿ ³ÛÝù³Ý, áñù³Ý ³é³çÇÝÁ í»ó ûñáõÙ: ø³ÝDZ ¹»ï³É ¿ å³ïñ³ëïáõÙ »ñÏñáñ¹ µ³ÝíáñÁ Ù»Ï ûñáõÙ: Ø 222. ºñ»ù ïñ³Ïïáñ ³ß˳ï»Éáí ÙdzëÇÝ` ãáñë ûñáõÙ í³ñáõÙ »Ý 248 ѳ: ºñÏñáñ¹ ïñ³ÏïáñÁ »ñÏáõ ûñáõÙ í³ñáõÙ ¿ 2 ѳ å³Ï³ë, ù³Ý ³é³çÇÝÁ ¨ »ññáñ¹Á í³ñáõÙ »Ý ÙdzëÇÝ Ù»Ï ûñáõÙ: ºññáñ¹ ïñ³ÏïáñÁ 5 ûñáõÙ í³ñáõÙ ¿ ³ÛÝù³Ý, áñù³Ý »ñÏñáñ¹Á 6 ûñáõÙ: úñ³Ï³Ý ù³ÝDZ Ñ»Ïï³ñ ¿ í³ñáõÙ Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ïñ³ÏïáñÁ:

80

¢3. ²ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³ áõÃÛáõÝ ¨ ³ñ³ ³óáõÙ ¸áõù ·Çï»ù, áñ ѳëï³ïáõÝ ³ñ³·áõÃÛ³Ùµ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿ áñáß³ÏÇ Å³Ù³Ý³ÏáõÙ Ýñ³ ³Ýó³Í ׳ݳå³ñÑÇ ¨ ³Û¹ ųٳݳÏÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³ÝÁ: ê³Ï³ÛÝ µÝáõÃÛ³Ý Ù»ç Ù³ñÙÇÝÝ»ñÝ ³í»ÉÇ Ñ³×³Ë ß³ñÅíáõÙ »Ý áã ѳí³ë³ñ³ã³÷: úñÇݳÏ, Ýϳï³Í ÏÉÇÝ»ù, áñ Ù»ù»Ý³ÛÇ ß³ñÅÙ³Ý ÁÝóóùáõÙ Ýñ³ ³ñ³·³ã³÷Ç óáõóÙáõÝùÝ ³ÝÁݹѳï ÷á÷áËíáõÙ ¿: î»ëÝ»Ýù« û ÇÝãå»ë ϳñ»ÉÇ ¿ áñáᯐ áã ѳí³ë³ñ³ã³÷ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:

¸Çóáõù ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ áõÕÕáí s (t ) ûñ»Ýùáí« ³ÛëÇÝùÝ` ųٳݳÏÇ t å³ÑÇÝ ³ÛÝ ·ïÝíáõÙ ¿ s (t ) Ï»ïáõÙ ( 0 ≤ t < ∞ ): ¶ïÝ»Ýù t 0 å³-

ÑÇÝ V (t 0 ) ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ: λïÁ t 0 -Çó t 0 + h ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ s (t 0 + h ) − s (t 0 ) ׳ݳå³ñÑ: ²Û¹ ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ Ï»ïÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝǪ

s(t0 + h ) − s (t0 ) : h

(1)

²é³çÇÝ å³ñ³·ñ³ýáõÙ s (t 0 + h ) − s (t 0 ) Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ ³Ýí³Ý»É »Ýù ³ñ·áõÙ»ÝïÇ

h ³×ÇÝ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ÝáÕ s (t ) ýáõÝÏódzÛÇ ³× t 0 Ï»ïáõÙ: ö³ëïáñ»Ý h ųٳ-

ݳϳѳïí³ÍáõÙ Ï»ïÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ ³Û¹ ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ §×³Ý³å³ñÑÇ ³×Ǧ ѳñ³µ»ñáõÃÛáõÝÝ ¿ §Å³Ù³Ý³ÏÇ ³×Çݦ: ä³ñ½ ¿, áñ ÇÝãù³Ý ÷áùñ ÉÇÝÇ h ųٳݳϳѳïí³ÍÁ, ³ÛÝù³Ý ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõ-

ÃÛáõÝÁ Ùáï ÏÉÇÝÇ t 0 å³ÑÇÝ Ï»ïÇ V (t 0 ) ³ñ³·áõÃÛ³ÝÁ: ²ÛëÇÝùÝ` ³Ýí»ñç ÷áùñ³óÝ»-

Éáí h ųٳݳϳѳïí³ÍÁ, ϳñáÕ »Ýù ëï³Ý³É Ï»ïÇ ×ß·ñÇï ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ t 0 å³ÑÇÝ, ÇÝãÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝ: ²ÛëåÇëáí, ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÇ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ t 0 å³ÑÇÝ áñáßíáõÙ ¿

s (t 0 + hn ) − s (t 0 ) n →∞ hn

V (t 0 ) = lim

µ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ hn -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ ( hn ≠ 0, n ∈ N ):

úñÇÝ³Ï 1: ¸Çóáõù áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÇÝÁ ß³ñÅÙ³Ý ³é³çÇÝ t í³ÛñÏÛ³-

2 ÝáõÙ ³ÝóÝáõÙ ¿ s(t ) = 3t + 2t Ù»ïñ ׳ݳå³ñÑ: ¶ïÝ»Ýù Ù³ñÙÝǪ

³) ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ [10; 11] ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ, µ) ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 10 -ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ, ·) ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 11 -ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ: ³) ØÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ß³ñÅÙ³Ý 11 -ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ ( [10; 11] ųٳݳϳѳï81

í³ÍáõÙ) ÏÉÇÝÇ`

s (11) − s (10) = 3 ⋅112 + 2 ⋅ 11 − 3 ⋅102 − 2 ⋅10 = 65 (Ù/íñÏ): 1 µ) ¸Çóáõù hn -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ s (10 + hn ) − s(10) 3 ⋅ (10 + hn ) + 2 ⋅ (10 + hn ) − 3 ⋅ 10 2 − 2 ⋅ 10 = = hn hn 2

=

62 ⋅ hn + 3 ⋅ hn2 = 62 + 3hn : hn

ø³ÝÇ áñ 62 + hn → 62 , Ù³ñÙÝÇ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ß³ñÅÙ³Ý 10 -ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ 62 Ù/íñÏ ¿: ·) гݷáõÝáñ»Ý Ïëï³Ý³Ýùª

s (11 + hn ) − s (11) = 68 + 3hn , hn áõëïÇ Ù³ñÙÝÇ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ß³ñÅÙ³Ý 11-ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ 68 Ù/íñÏ ¿: ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù, Ù³ñÙÇÝÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ áã ѳí³ë³ñ³ã³÷: Üñ³ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ß³ñÅÙ³Ý 11 -ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ ³í»ÉÇ Ù»Í ¿, ù³Ý ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 10 -ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ ¨ ³í»ÉÇ ÷áùñ, ù³Ý ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 11 -ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ: ²ÛÅÙ »Ýó¹ñ»Ýù, û ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ áõÕÕáí ¨ ѳÛïÝÇ ¿ ųٳݳÏÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý t å³ÑÇÝ Ï»ïÇ V (t ) ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ: ¶ïÝ»Ýù t0 å³ÑÇÝ

Ï»ïÇ a(t 0 ) ³ñ³·³óáõÙÁ: λïÇ ³ñ³·áõÃÛ³Ý ÷á÷áËáõÃÛáõÝÁ t0 -Çó t 0 + h ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ ÏÉÇÝÇ

V (t 0 + h ) − V (t 0 ) : л勉µ³ñª ³Û¹ ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ ÙÇçÇÝ ³ñ³·³óáõÙÁ ÏÉÇÝǪ

V (t 0 + h ) − V (t 0 ) : h ²Ýí»ñç ÷áùñ³óÝ»Éáí h ųٳݳϳѳïí³ÍÁª Ïëï³Ý³Ýù Ï»ïÇ ×ß·ñÇï ³ñ³·³óáõÙÁ t0 å³ÑÇÝ, ÇÝãÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·³óáõÙ: ²ÛëåÇëáí ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÇ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ t0 å³ÑÇÝ áñáßíáõÙ ¿

V (t 0 + hn ) − V (t 0 ) n →∞ hn

a (t 0 ) = lim

µ³Ý³Ó¨áí, áñï»Õ hn -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿ ( hn ≠ 0, n ∈ N ):

úñÇÝ³Ï 2: ¸Çóáõù áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ß³ñÅÙ³Ý t -ñ¹ 3 í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ áñáßíáõÙ ¿ V (t ) = t + 5t (Ù/íñÏ) µ³Ý³Ó¨áí: ¶ïÝ»Ýù Ù³ñÙÝǪ

82

³) ÙÇçÇÝ ³ñ³·³óáõÙÁ [4, 5] ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ, µ) ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·³óáõÙÁ 4-ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ: ³) ØÇçÇÝ ³ñ³·³óáõÙÁ ß³ñÅÙ³Ý 5-ñ¹ í³ÛñÏÛ³ÝáõÙ ÏÉÇÝÇ`

V (4,5) − V (4 ) = 2 4,5 3 + 4 ⋅ 4,5 − 4 3 − 4 ⋅ 4 = 58,25 (Ù/íñÏ2): 0,5

(

)

µ) ¸Çóáõù hn -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿: ²Û¹ ¹»åùáõÙ

V (4 + hn ) − V (4 ) ⋅ (4 + hn ) + 4 ⋅ (4 + hn ) − 4 3 − 4 ⋅ 4 = = hn hn 3

=

(

52 ⋅ hn + 12 ⋅ hn2 + hn3 = 52 + 12 ⋅ hn + hn2 : hn

)

2 ø³ÝÇ áñ lim 52 + 12 ⋅ hn + hn = 52 , Ù³ñÙÝÇ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·³óáõÙÁ 4-ñ¹ n →∞

í³ÛñÏÛ³ÝÇÝ 52Ù/íñÏ2 ¿:

1.

ÆÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõ٠ѳí³ë³ñ³ã³÷ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:

2.

ÆÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõÙ Ù³ñÙÝÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:

3.

ÆÝãå»±ë áñáᯐ s (t ) ûñ»Ýùáí ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ t 0 å³ÑÇÝ:

4.

ÆÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõÙ Ù³ñÙÝÇ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·³óáõÙÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, û ÇÝã ûñ»Ýùáí ¿ ÷á÷áËíáõÙ Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ:

¶ï»ù s (t ) ûñ»Ýùáí ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ∆ ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ, »Ã» ׳ݳå³ñÑÁ ïñí³Í ¿ Ù»ïñ»ñáí, ÇëÏ Å³Ù³Ý³ÏÁ` í³ÛñÏÛ³ÝÝ»ñáí (223-224).

223. s(t ) = 2t 2 ,

³) ∆ = [1; 2],

µ) ∆ = [1; 1,5] ,

·) ∆ = [1; 1,2]:

224. s(t ) = 3t 2 + t ,

³) ∆ = [2; 3],

µ) ∆ = [2; 2,25] ,

·) ∆ = [2; 2,1]:

¶ï»ù s (t ) ûñ»Ýùáí ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ∆ ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ ¨ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ t 0 å³ÑÇÝ, »Ã» ׳ݳå³ñÑÁ ïñí³Í ¿ Ù»ïñ»ñáí, ÇëÏ Å³Ù³Ý³ÏÁ` í³ÛñÏÛ³ÝÝ»ñáí (225-226).

225. s (t ) = 6t + 7 ,5,

³) ∆ = [0; 2] , t 0 = 1 ,

µ) ∆ = [1; 4] , t 0 = 2 :

226. s(t ) = t 2 ,

³) ∆ = [4; 6] , t 0 = 5 ,

µ) ∆ = [2; 5], t 0 = 2 :

¶ï»ù Ù³ñÙÝÇ ÙÇçÇÝ ³ñ³·³óáõÙÁ ∆ ųٳݳϳѳïí³ÍáõÙ ¨ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·³óáõÙÁ 83

t 0 å³ÑÇÝ, »Ã» Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÷áËíáõÙ ¿ V (t ) ûñ»Ýùáí (227-228). 2 227. V (t ) = 2t + 3t

Ø 228. V (t ) = t 3 + 6t ,

³) ∆ = [0; 4] , t 0 = 4 ,

µ) ∆ = [3; 4], t 0 = 3 :

³) ∆ = [5; 6], t 0 = 5,5 ,

µ) ∆ = [4; 6] , t 0 = 5 :

Ø229. A ¨ B í³Ûñ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç ß³ñÅí»óÇÝ »ñÏáõ ÙáïáóÇÏɳí³ñ: ²é³çÇÝÁ B ѳë³í ѳݹÇåáõÙÇó 2,5 Å ³Ýó, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á A ѳë³í ѳݹÇåáõÙÇó 1,6 Å ³Ýó: ø³ÝDZ ų٠層ó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙáïáóÇÏɳí³ñÇ áõÕ¨áñáõÃÛáõÝÁ: Ø230. A í³ÛñÇó ¹»åÇ B í³ÛñÁ ¹áõñë »Ï³í µ»éݳï³ñ Ù»ù»Ý³Ý: ØÇ³Å³Ù³Ý³Ï B -Çó A ß³ñÅí»ó Ù³ñ¹³ï³ñ Ù»ù»Ý³Ý: ´»éݳï³ñÁ 1 Å Ñ»ïá ѳݹÇå»ó Ù³ñ¹³ï³ñÇÝ ¨ ¨ë 1,5 Å Ñ»ïá ѳë³í B í³Ûñ: àñù³±Ý Å³Ù³Ý³Ï Í³Ëë»ó Ù³ñ¹³ï³ñ Ù»ù»Ý³Ý B -Çó A ׳ݳå³ñÑÇÝ:

¢4. ²Í³ÝóÛ³É ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù ݳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ, ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ç ¨ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ³×Ç Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ áõÝÇ áñáß³ÏÇ ýǽÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëï:

¸Çï³ñÏ»Ýù y = f (x ) ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ »Ýó¹ñ»Ýù x0 -Ý ¹ñ³ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ

Ý»ñùÇÝ Ï»ï ¿, ³ÛëÇÝùݪ ϳ x 0 -Ç ßñç³Ï³Ûù, áñÝ ÁÝÏ³Í ¿ D( f ) -áõÙ: ²ëáõÙ »Ý, áñ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x0 Ï»ïáõÙ, »Ã» Ï³Ù³Û³Ï³Ý hn ³Ýí»ñç ÷áùñÇ Ñ³Ù³ñ* ½áõ·³Ù»ï ¿

f (x0 + hn ) − f (x0 ) hn

(1)

ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x0 Ï»ïáõÙ, ³å³ (1) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛ³Ý ë³ÑÙ³ÝÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³É x0 Ï»ïáõÙ ¨ Ý߳ݳÏáõÙª f ′(x 0 ) (ϳñ¹³óíáõÙ ¿ª ¿ý ßïñÇË x 0 ) ºÃ»

f ′(x 0 ) = lim

n→∞

f (x 0 + hn ) − f (x 0 ) : hn

¸Çóáõù D -Ý ³ÛÝ µ³½ÙáõÃÛáõÝÝ ¿, áñÇÝ å³ïϳÝáÕ Ï»ï»ñáõÙ y = f (x ) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿: ²Û¹ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ x Ï»ïÇ Ñ³Ù³å³ï³ë˳ݻóÝ»Éáí f ′(x ) ÃÇíÁ, Ïëï³Ý³Ýù D µ³½ÙáõÃÛ³Ý íñ³ áñáßí³Í ýáõÝÏódz: ²Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³Ýí³ÝáõÙ »Ý y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³É ¨ Ý߳ݳÏáõÙª f ′ ϳ٠y ′ : *

²Ûëï»Õ ¨ ëïáñ¨ ¹Çï³ñÏí³Í

hn ≠ 0 ¨ x 0 + h n ∈ D ( f ) : 84

hn ³Ýí»ñç ÷áùñ»ñÝ ³ÛÝåÇëÇÝ »Ý, áñ Ï³Ù³Û³Ï³Ý n -Ç ¹»åùáõÙ

ܳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ ï»ë³Ýù« áñ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ýǽÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïÝ»ñÁ© ³) s(t ) ûñ»Ýùáí áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ V (t ) ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ųٳݳÏÇ t å³ÑÇÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ s(t ) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇݪ

V ( t ) = s ′( t ) £ µ) ºÃ» áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÷áËíáõÙ ¿ V (t ) ûñ»Ýùáí, ³å³ ¹ñ³ a (t ) ³ñ³·³óáõÙÁ ųٳݳÏÇ t å³ÑÇÝ Ñ³í³ë³ñ ¿ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇݪ

a ( t ) = V ′( t ) £

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = a ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: ò³Ýϳó³Í x 0 Ï»ïÇ ¨ ó³Ýϳó³Í hn ³Ýí»ñç ÷áùñÇ Ñ³Ù³ñ f (x0 + hn ) − f (x0 ) a − a = =0: hn hn л勉µ³ñ, ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñáÝ ¿:

úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = kx + b ·Í³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: ò³Ýϳó³Í

x Ï»ïÇ ¨ ó³Ýϳó³Í hn ³Ýí»ñç ÷áùñÇ Ñ³Ù³ñ

f (x + hn ) − f (x ) k (x + hn ) + b − kx − b = =k: hn hn л勉µ³ñ«

( kx + b) ′ = k :

úñÇÝ³Ï 3: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: 2

ä³ñ½ ¿, áñ

f (x + hn ) − f (x ) (x + hn )2 − x 2 = = 2 x + hn → 2 x, hn hn

áñï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýùª

( x 2 )′ = 2 x :

úñÇÝ³Ï 4: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = ïáõÙ: ²Ûë ¹»åùáõÙª

1 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ x Ï»x

1 −1 f (x + hn ) − f (x ) x + hn x 1 : = =− hn hn x(x + hn )

ºÃ» hn -Ý ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿, ³å³ lim (x + hn ) = x : ÎÇñ³é»Éáí ½áõ·³Ù»ï ѳçáñ¹³Ï³n →∞

ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ù³Ýáñ¹Ç ë³ÑÙ³ÝÇ í»ñ³µ»ñÛ³É Ã»áñ»ÙÁ, Ïëï³Ý³Ýùª 85

f (x + hn ) − f (x ) → − 12 : hn x ²ÛëåÇëáí, f (x ) =

1 ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ ¨ x 1 1′   =− 2 : x x

úñÇÝ³Ï 5: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñáÛÇó ï³ñµ»ñ x Ï»-

ïáõÙ: ²Ûë ¹»åùáõÙª

f (x + hn ) − f (x ) = hn =

(

x + hn − x = hn x + hn − x hn

(

)(

x + hn + x

²Ûëï»ÕÇó, ѳßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ lim x + hn = n →∞

lim

n →∞

2.

)

)=

1 : x + hn + x

x , ëï³ÝáõÙ »Ýùª

f (x + hn ) − f (x ) 1 = : hn 2 x

²ÛëåÇëáíª

1.

x + hn + x

( x )′ = 2 1 x :

º±ñµ »Ý ³ëáõÙ, áñ y = f (x ) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x 0 Ï»ïáõÙ:

à±ñÝ ¿ x 0 Ï»ïáõÙ y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

3.

ÆÝãå»±ë ¿ áñáßíáõÙ y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³É ýáõÝÏódzÝ:

4.

ƱÝã ýǽÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëïÝ»ñ áõÝÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ£

5.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ѳëï³ïáõÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

6.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ y = x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

7. 8.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ f (x ) = x 2 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ f (x ) = 1 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

x

¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ x 0 Ï»ïáõÙ (231-234).

231. f (x ) = 5,

232. f (x ) = 3x − 2, 233. f (x) = x , 2

86

³) x 0 = 2 ,

µ) x 0 = −500 ,

·) x 0 = 12 :

³) x 0 = 3 ,

µ) x 0 = −8 ,

·) x 0 = 21,6 :

³) x 0 = 7,5 ,

µ) x 0 = −9,25 ,

·) x 0 = 32,5 :

1 234. f (x ) = , x

³) x 0 = 0,5 ,

µ) x 0 = −1 ,

·) x 0 = 3 :

³) x 0 = 2 ,

µ) x 0 = −3,75 ,

·) x 0 = 0, 25 :

³) x 0 = 1 ,

µ) x 0 = −4 ,

·) x 0 = 3 :

³) x 0 = −4 ,

µ) x 0 = 0 ,

·) x 0 = 2 :

ú·ïí»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ë³ÑÙ³ÝáõÙÇó, ·ïÝ»É f ′(x 0 ) -Ý (235-237).

235. f (x ) = 2 x 2 − 1, Ø 236. f (x ) = x3 , Ø 237. f (x ) =

1 , x+3

¶ïÝ»ù s (t ) ûñ»Ýùáí áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ÏÝóñóÛÇÝ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ųٳݳÏÇ t 0 å³ÑÇÝ, »Ã» ׳ݳå³ñÑÁ ïñí³Í ¿ Ù»ïñ»ñáí, ÇëÏ Å³Ù³Ý³ÏÁ` í³ÛñÏÛ³ÝÝ»ñáí (238-239).

238. s(t ) = t 2 − 2t

³) t 0 = 3 ,

µ) t 0 = 5 ,

·) t 0 = 1 :

239. s (t ) = t ,

³) t 0 = 1 ,

µ) t 0 = 4 ,

·) t 0 = 9 :

240. ¶ï»ù áõÕÕ³·ÇÍ ß³ñÅíáÕ Ù³ñÙÝÇ ³ñ³·³óáõÙÁ t 0 å³ÑÇÝ, »Ã» Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ÷áËíáõÙ ¿ V (t ) =

2t ûñ»Ýùáí.

³) t 0 = 2 ,

µ) t 0 = 8 ,

·) t 0 = 18 :

ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ (241-242). Ø 241. ³) x 4 − 5 x 2 − 6 > 0 ,

µ) x 4 − 10 x 2 + 9 ≤ 0 :

Ø 242. ³) log 0 ,5 2 x − 6 + x − 2 ≥ 0 ,

µ) log 5 25 x − 4 − 2 x + 1 < 0 :

(

)

(

¢5. ºñÏáõ ýáõÝÏódzݻñÇ ³Í³ÝóÙ³Ý

)

áõÙ³ñÇ ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ Ï³ÝáÝÝ»ñÁ

²Ûë å³ñ³·ñ³ýáõÙ Ïëáíáñ»Ýù »ñÏáõ ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÇ« ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ¨ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³Í³ÝóÙ³Ý (³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ñ³ßíÙ³Ý) ϳÝáÝÝ»ñÁ: »áñ»Ù 1: ºÃ» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÝ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý áñ¨¿ Ï»ïáõÙ, ÇëÏ k -Ý Ñ³ëï³ïáõÝ ¿, ³å³ k ⋅ f « f + g ¨ f − g ýáõÝÏódzݻñÁ ÝáõÛÝå»ë ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý ³Û¹ Ï»ïáõÙ, Áݹ áñáõÙ`

( k ⋅ f )′ = k ⋅ f ′,

( f + g ) ′ = f ′ + g ′,

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù f ( x) = 5 x +

( f − g )′ = f ′ − g ′ £

3 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: x

гٳӳÛÝ 1-ÇÝ Ã»áñ»ÙÇ, ′ ′ 1 5 3 1  1  + 3⋅− 2  = f ′( x) = 5 x + 3  = 5 ⋅ − 2 :  x  x  2 x x 2 x

( )

87

»áñ»Ù 2: ºÃ» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÝ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý áñ¨¿ Ï»ïáõÙ, ³å³ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ݳ¨ f ⋅ g ýáõÝÏódzÝ, Áݹ áñáõÙ`

( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ :

( ) ( ) µ) (x )′ = (x ⋅ x )′ = x ′ ⋅ x

( ) ′ + x ⋅ (x ) = x

³) x 3 ′ = x ⋅ x 2 ′ = x ′ ⋅ x 2 + x ⋅ x 2 ′ = x 2 + x ⋅ 2 x = 3 x 2 :

úñÇÝ³Ï 2:

4

3

3

3

3

+ x ⋅ 3x 2 = 4 x 3 :

гݷáõÝáñ»Ý ϳñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ л勉Ýù: Ø»ÏÇó Ù»Í Ó³ÝÏ³Ó³Í n µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ

( x n ) ′ = nx n −1 :

(1)

úñÇÝ³Ï 3: ¶ïÝ»Ýù y = x 4 − 2 x 3 + 5 x + 12 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: ÎÇñ³é»Éáí (1) µ³Ý³Ó¨Á ¨ 1-ÇÝ Ã»áñ»ÙÁ` ëï³ÝáõÙ »Ýùª

( x 4 − 2 x 3 + 5 x + 12)′ = ( x 4 )′ − 2( x 3 )′ + 5( x)′ + (12)′ = 4 x 3 − 6 x 2 + 5 :

1.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ѳëï³ïáõÝÇ ¨ ýáõÝÏódzÛÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

2.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

3.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ýáõÝÏódzݻñÇ ï³ñµ»ñáõÃÛ³Ý ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

4.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ ýáõÝÏódzݻñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

5.

²å³óáõó»ù ( x n ) ′ = nx n −1 µ³Ý³Ó¨Á:

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (243-248).

243. ³) f (x ) = x 2 + 5 x ,

µ) f (x ) = 3x − x 2 + 7 :

244. ³) f (x ) = x 4 + 3 x 2 − 2 x ,

µ) f (x ) = 9 − x 5 + x 3 :

245. ³) f (x ) = 4 x − x 3 ,

µ) f (x ) = 5 −

246. ³) f (x ) = x − 1 , x

µ) f (x ) = 2 x +

(

x

)

247. ³) f (x ) = x x 3 − 2x 2 ,

(

)

248. ³) f (x ) = 1 3 − x , x

(

x: x−

2: x

x µ) f (x ) = (2 x − 1) x − 1 :

(

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ýßí³Í Ï»ïáõÙ (249-250).

249. f (x ) = 3 x + 88

1 − 5x , x

)

µ) f (x ) = 1 ⋅ 2 + 3 x − x 3 :

³) x 0 = 1 ,

µ) x 0 = 4 :

)

3 250. f (x ) = 2 x − 2 x −

2 , x

³) x0 = 0,5 ,

µ)

251. ÈáõÍ»É f ′(x ) = 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ.

3 ³) f (x ) = x − 2,5 x 2 + 6 x − 1 ,

3 1 ·) f (x ) = + 9 x , x

x0 = 2 :

µ) f (x ) = x 5 − 10 x 3 + 40 x , ¹) f (x ) =

4 + 25x − 6 : x

252. ÈáõÍ»É f ′(x ) > 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ. ³) f (x ) = x 3 − 6 x 2 − 63 x − 2 ,

µ) f (x ) = x 3 − 12 x + 56 :

Ø 253. ¶ïÝ»É Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ïñí³Í ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ .

[0; 3], [0; 1] ,

³) y = x 2 + x − 7 , ·) y = 2 + 2 x

−x

,

[− 3; − 1]: [− 1; 0]:

µ) y = x 2 + x − 7 , ¹) y = 3 + 3 x

−x

,

¢6. ºñÏáõ ýáõÝÏódzݻñÇ ù³Ýáñ¹Ç ¨ µ³ñ¹ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ

ܳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ ëáíáñ»óÇÝù« û ÇÝãå»ë ³Í³Ýó»É »ñÏáõ ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÁ« ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ« ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ£ лï¨Û³É »ñÏáõ ûáñ»ÙÝ»ñáí ïñíáõÙ ¿ ù³Ýáñ¹Ç ³Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ£ »áñ»Ù 1: ºÃ» g ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ x Ï»ïáõÙ ¨ g (x ) ≠ 0 , ³å³ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ݳ¨ 1 ýáõÝÏódzÝ, Áݹ áñáõÙª

g 1′ g′   = − 2 : g  g

(1)

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù y = 1 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ, áñï»Õ n -Á áñ¨¿ µÝ³Ï³Ý xn ÃÇí ¿: ú·ïí»Ýù 1-ÇÝ Ã»áñ»ÙÇó ¨ Ý³Ëáñ¹ å³ñ³·ñ³ýÇ (1) µ³Ý³Ó¨Çó.

( )

′ ′ xn nx n −1 n  1   n  = − 2 n = − 2 n = − n +1 : x x x x  ′ ²Ûë ûñÇݳÏáõÙ ëï³óí³Í ѳí³ë³ñáõÃÛáõÝÝ ³ñï³·ñ»Éáí x − n = − nx − n −1 ï»ëùáíª Ñ³Ùá½íáõÙ »Ýù, áñ ݳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýÇ (1) µ³Ý³Ó¨Á ×ßÙ³ñÇï ¿ ݳ¨ µ³ó³ë³Ï³Ý ³ÙµáÕç Ãí»ñÇ Ñ³Ù³ñ:

( )

89

γñ»ÉÇ ¿ ³å³óáõó»É, áñ ³Û¹ µ³Ý³Ó¨Á ×Çßï ¿ ó³Ýϳó³Í óáõóÇãÇ ¹»åùáõÙ© Î³Ù³Û³Ï³Ý α Çñ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ©

( x α )′ = α ⋅ x α −1 : ²Ûë µ³Ý³Ó¨Á Ù»Ýù ã»Ýù ³å³óáõóÇ: Üß»Ýù ÙdzÛÝ, áñ µ³óÇ α -Ç ³ÙµáÕç ³ñÅ»ùÝ»ñÇó« Ù»Ýù ³ÛÝ ³å³óáõó»É »Ý ݳ¨ α =

1 ¹»åùáõÙ: 2

»áñ»Ù 2: ºÃ» f ¨ g ýáõÝÏódzݻñÝ ³Í³Ýó»ÉÇ »Ý x Ï»ïáõÙ ¨ g (x ) ≠ 0 , ³å³ ³Û¹ Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ ¿ ݳ¨ f ýáõÝÏódzÝ, Áݹ áñáõÙª

g  f  ′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g′   = : g2 g

x 3 − 3x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: 1 + 4 x5 ÎÇñ³é»Éáí ³Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýùª

úñÇݳÏ: ¶ïÝ»Ýù y =

(

) (

) (

)(

)

′ ′  x 3 − 3x  ′ x 3 − 3x ⋅ 1 + 4 x 5 − x3 − 3x ⋅ 1 + 4 x5   = =  1 + 4 x5  5 2 + x 1 4   =

(3 x

2

)(

(

) ( (1 + 4 x )

)

)(

− 3 1 + 4 x 5 − x 3 − 3 x 20 x 4 5 2

) = − 8x

7

+ 48 x 5 + 3 x 2 − 3

(1 + 4 x )

5 2

:

»áñ»Ù 3: ºÃ» f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ F ( x ) = f ( kx + b ) ýáõÝÏóÇ³Ý ÝáõÛÝå»ë ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ¨

F ′( x ) = k ⋅ f ′( kx + b ) :

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù y = (3 x − 5)100 ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: ºÃ» Ý߳ݳϻÝù f ( x) = x100 , ³å³ ïñí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý Ïëï³Ý³ y = f (3x − 5) ï»ëùÁ: л勉µ³ñ«

((3x − 5) )′ = 3 ⋅ 100 ⋅ (3x − 5) 100

99

99 = 300 ⋅ (3 x − 5) :

1 g (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

1.

à±ñÝ ¿

2.

Ò¨³Ï»ñå»ù »ñÏáõ ýáõÝÏódzݻñÇ ù³Ýáñ¹Ç ³Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ:

90

3.

Ò¨³Ï»ñå»ù f (kx + b) ï»ëùÇ µ³ñ¹ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ:

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (254-260). 5

254. ³) f (x ) = x 3 + 4 ⋅ x 3,5 ,

µ) f (x ) = x 4 − 3 ⋅ x ¹) f (x ) = 6 ⋅ x

·) f (x ) = x π + πx ,

255. ³) f (x ) = 12 ⋅ 3 x − x , ·) f (x ) =

1

−

1

µ) f (x ) = ¹) f (x ) =

,

3

x x 2x − 1 256. ³) f (x ) = , 1− x 3 − 4x , x2 x4 − x 258. ³) f (x ) = , x2 x +1 259. ³) f (x ) = , x3

(5 x − 1)

,

− x 0,1 :

x − 3⋅ 6 x2 , 6 5

+

5

:

6

µ) f (x ) =

x2 +1

µ) f (x ) =

x3 − 1 : x2 −1

:

µ) f (x ) = (3 − 2 x )15 ,

·) f (x ) = (2 − x )−9 ,

10

1 3

x 5 − 2x6 µ) f (x ) = : 1 − x3

260. ³) f (x ) = (4 x − 2)12 ,

4

2 3

x x 2 2x − 4 µ) f (x ) = : x +1

257. ³) f (x ) =

») f (x ) =

−

−

¹) f (x ) = (x + 1)−12 , ½) f (x ) =

,

1

(1 − 2 x )18

:

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ýßí³Í Ï»ïáõÙ (261-262).

3− x , 2+ x x2 − x 262. f (x ) = , x +1 261. f (x ) =

³) x 0 = 0 ,

µ) x 0 = −3 :

³) x 0 = −2 ,

µ) x 0 = 1 :

Ø 263. ÈáõÍ»É f ′(x ) = 0 ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ.

1 − 2x , x2 + 1 x +1 , ·) f (x ) = 2 x + 2x + 3

³) f (x ) =

x 2 + 2x , 1− x 2−x ¹) f (x ) = : 2 x − 3x + 4 µ) f (x ) =

91

Ø 264. A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÙÇÙÛ³Ýó ѳݹ»å ¹áõñë »Ï³Ý »ñÏáõ Ñ»ïÇáïÝ: ²é³çÇÝÁ B ѳë³í ѳݹÇåáõÙÇó 4,5 Å Ñ»ïá, ÇëÏ »ñÏñáñ¹Á A ѳë³í ѳݹÇåáõÙÇó 2 Å Ñ»ïá: ¶ïÝ»É Ñ»ïÇáïÝ»ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñÁ, »Ã» A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 30 ÏÙ ¿: Ø 265. M ¨ N µÝ³Ï³í³Ûñ»ñÇó, áñáÝó ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 50 ÏÙ ¿, ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç ß³ñÅí»óÇÝ »ñÏáõ ÙáïáóÇÏɳí³ñ ¨ ѳݹÇå»óÇÝ 30 ñ Ñ»ïá: ¶ïÝ»É Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñ ÙáïáóÇÏɳí³ñÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ, »Ã» ѳÛïÝÇ ¿, áñ Ýñ³ÝóÇó Ù»ÏÁ M ѳë³í 25 ñ ßáõï, ù³Ý ÙÛáõëÁª N :

¢7. î³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ ²ñ¹»Ý ·Çï»Ýù ³ëïÇ׳ݳÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Áª

( x α )′ = α ⋅ x α −1 : ²Ûë å³ñ³·ñ³ýáõÙ ÏÝ»ñϳ۳óÝ»Ýù Ùݳó³Í ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁ:

(sin x )′ = cos x : ÎÇñ³é»Éáí µ³ñ¹ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ, ³Ûë µ³Ý³Ó¨Çó ëï³ÝáõÙ »Ýùª

  π  ′ π  (cos x)′ =  sin x +   = cos x +  = −sinx : 2  2    ²ÛëåÇëáí`

(cos x )′ = − sin x : ÎÇñ³é»Éáí ù³Ýáñ¹Ç ³Í³ÝóÙ³Ý Ï³ÝáÝÁ ëï³ÝáõÙ »Ýùª

 sinx  ′ (sinx)′ ⋅ cosx − (cosx)′ ⋅ sinx (tgx)′ =  =  = cos 2 x  cosx  = ²ÛëåÇëáíª

cos 2 x + sin 2 x 1 = : 2 cos x cos 2 x

1 : cos 2 x гݷáõÝáñ»Ý ϳñáÕ »Ýù ëï³Ý³É ctg x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Áª (tg x )′ =

(ctg x )′ = − 92

1 : sin 2 x

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù y = 2 tg x + sin 2 x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁª 1 y′ = 2 ⋅ + 2 cos 2 x : cos 2 x cos 3x úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ π Ï»ïáõÙ: Ü³Ë x ·ïÝ»Ýù f ′ -Á: f ′(x ) =

(cos 3 x)′ ⋅ x − cos 3x ⋅ x ′ − 3 x sin 3x − cos 3 x = : x2 x2

î»Õ³¹ñ»Éáí x = π , ëï³ÝáõÙ »Ýùª f ′(π) = π −2 : òáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzݻñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÁ ïñíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É µ³Ý³Ó¨»ñáíª

(a x )′ = a x ln a , Ù³ëݳíáñ³å»ëª (e x )′ = e x , ¨ Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇÝÁª

(log a x )′ =

1 1 , Ù³ëݳíáñ³å»ëª (ln x ) ′ = x ln a x

úñÇÝ³Ï 3: ¶ïÝ»Ýù y = e x cos 3 x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁª

( )′ ⋅ cos 3x + e

y′ = e x

x

⋅ (cos 3 x) ′ =

= e x ⋅ cos 3x − e x ⋅ 3 sin 3x = e x (cos 3x − 3 sin 3 x ) : ln x úñÇÝ³Ï 4: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ e Ï»ïáõÙ: x Ü³Ë ³Í³Ýó»Ýù ýáõÝÏódzݪ 1 (ln x)′ ⋅ x − ln x ⋅ x′ x ⋅ x − ln x 1 − ln x = = : f ′(x ) = x2 x2 x2 л勉µ³ñª f ′(e ) = 0 : î³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ µ³Ý³Ó¨»ñÇ óáõó³ÏÇ ÉñÇíáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ µ»ñ»Ýù ݳ¨ ѳϳ¹³ñÓ »é³ÝÏÛáõݳã³÷³Ï³Ý ýáõÝÏódzݻñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ µ³Ý³Ó¨»ñÁ:

(arcsin x)′ = (arctg x)′ =

1

,

(arccos x)′ = −

1 , 1+ x2

(arcctg x)′ = −

1− x

2

1 1 − x2

,

1 £ 1+ x2

ºñÏáõ ýáõÝÏódzݻñÇ ·áõÙ³ñÇ, ³ñï³¹ñÛ³ÉÇ, ù³Ýáñ¹Ç ¨ ѳٳ¹ñáõÛÃÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ»ñÇ Ñ³ßíÙ³Ý Ï³ÝáÝÝ»ñÇ ¨ µ»ñí³Í µ³Ý³Ó¨»ñÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ ϳñ»ÉÇ ¿ ѳßí»É Ï³Ù³Û³Ï³Ý ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ« áñÁ« ÇÝãå»ë »ñ¨áõÙ ¿ ³Û¹ µ³Ý³Ó¨»ñÇó« ¹³ñÓÛ³É ÏÉÇÝÇ ï³ññ³Ï³Ý ýáõÝÏódz: 93

1.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ y = sin x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

2.

²ñï³Í»ù y = cos x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Á:

3.

²ñï³Í»ù y = tg x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Á:

4.

²ñï³Í»ù y = ctg x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Á:

5.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ y = e x ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

6.

¶ñ»ù óáõóã³ÛÇÝ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Á:

7.

¶ñ»ù µÝ³Ï³Ý ÑÇÙùáí Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Á:

8.

¶ñ»ù Éá·³ñÇÃÙ³Ï³Ý ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ µ³Ý³Ó¨Á:

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (266-272). 3

266. ³) f (x ) = x 2 + 2 x ,

µ) f (x ) =

x + x2 , x −1 267. ³) f (x ) = sin x + e x ,

¹) f (x ) =

·) f (x ) =

2 , x

x 2 − 2x :

µ) f (x ) = cos x + log 7 x ,

·) f (x ) = 5 x + tg x ,

¹) f (x ) = ln x + ctg x ,

») f (x ) = x 4,1 + cos x ,

½) f (x ) = cos x − e x + π ⋅ e :

268. ³) f (x ) = sin 4 x , ·) f (x ) = tg x + 8π ,

µ) f (x ) = cos πx , ¹) f (x ) = 5 ctg x :

π  269. ³) f (x ) = 2 sin 5 x +  , 4  ·) f (x ) = 4 tg (3 x − 1) ,

π  − 2x  , 8  ¹) f (x ) = −6 ctg (4 − 5 x ) :

270. ³) y = e 2 x + x − 1 ,

µ) y = 2 − x + 2e ,

µ) f (x ) = cos

·) y = ln (3 x + 1) − lg 2 ,

¹) y = log 5 (2 − x ) − x :

x + x ln x , 4 ·) y = cos(2 x + 3) − log 3 2 x ,

µ) y = tg 2 x + e 5 x ,

271. ³) y = sin

272. ³) f (x ) = x ln x − x , ·) f (x ) = 3 x ln x + ln 3 ,

¹) y = ctg(5 − x ) + 4 − x : µ) f (x ) = log 2 (x + 1) ,

Ø 273. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ x 0 Ï»ïáõÙ.

π  20   2 x − 3  sin 2 x +  , x0 = π , π 5 5    

³) f (x ) =  94

(

)

¹) f (x ) = ln e x + 1 :

2π   54   π x − 5  cos 3 x +  , x0 = − : 3  18  π   π x ·) f (x ) = 2 sin 7 x cos x , x0 = , ¹) f (x ) = 16 sin cos x , x0 = − π : 2 4 x+e 2 x +3 +2 − x , x 0 = −1 , Ø 274. ³) f (x ) = e x µ) f (x ) = e 3 x −5 + 12 x + e + x , x 0 = 2 , x µ) f (x ) = 

* 275. Æñ³ñÇó ï³ñµ»ñ a , b , c Ãí»ñÁ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ Ñ³çáñ¹³Ï³Ý 1 1 1 , , Ãí»ñÁ ϳ½ÙáõÙ »Ý Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz: ³Ý¹³ÙÝ»ñ »Ý, ÇëÏ a +1 b +1 c +1 ¶ïÝ»É Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdzÛÇ ·áõÙ³ñÁ:

* 276. ²å³óáõó»ù, áñ »Ã» xz 2 + x 2 z + 2 y 2 = 2 xyz + y 2 x + y 2 z , ³å³ x , y , z Ãí»ñÁ ϳ٠Ãí³µ³Ý³Ï³Ý åñá·ñ»ëdz »Ý ϳ½ÙáõÙ, ϳ٪ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý:

§8. üáõÝÏódzÛÇ

ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕ

¸Çï³ñÏ»Ýù y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 23, ³): ²Û¹ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõ Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ áõÕÇÕÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³ïáÕ: ²ÛëáõÑ»ï¨ ïñí³Í áõÕÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝ ³ë»Éáí` ÏѳëϳݳÝù ³ÛÝ ÷áùñ³·áõÛÝ áã µ³ó³ë³Ï³Ý α ³ÝÏÛáõÝÁ, áñáí å»ïù ¿ O Ï»ïÇ ßáõñçÁ åïï»É ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ, áñå»ë½Ç ³ÛÝ ½áõ·³Ñ»é ¹³éݳ ϳ٠ѳÙÁÝÏÝÇ ïñí³Í áõÕÕÇ Ñ»ï (ÝÏ. 15, ³): лßï ¿ ï»ëݻɫ áñ M 0 (x 0 , f ( x 0 ) ) ¨ M (x 0 + h, f ( x 0 + h) ) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ïáÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÁ ѳí³ë³ñ ¿ x0 Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ç ¨ ³ñ·áõÙ»ÝïÇ ³×Ç Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛ³ÝÁ (ÝÏ© 15, ³)©

tg α =

f (x0 + h ) − f (x0 ) £ h

ºÃ» ó³Ýϳó³Í hn ³Ýí»ñç ÷áùñÇ ¹»åùáõÙ M 0 (x 0 , f ( x 0 ) ) ¨ M n (x 0 + hn , f ( x 0 + hn ) ) Ï»ï»ñáí ³ÝóÝáÕ Ñ³ïáÕÝ»ñÁ n -Ý ³Ýí»ñçÇ Ó·ï»ÉÇë Ùáï»ÝáõÙ »Ý ÙÇ ë³ÑٳݳÛÇÝ ¹ÇñùÇ (ÝÏ©15, µ)« ³å³ ³Û¹ ë³ÑٳݳÛÇÝ áõÕÇÕÝ ³Ýí³ÝáõÙ »Ý (x 0 , f ( x 0 ) ) Ï»ïáõÙ y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕ£ ºÃ» M o M n ѳïáÕÝ»ñÁ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ »Ý α n ³ÝÏÛáõÝ, ÇëÏ ßáß³÷áÕÁ` ϕ (ÝÏ.15, µ), ³å³ n -Á ³Ýí»ñçÇ Ó·ï»ÉÇë α n → ϕ : л勉µ³ñ, 95

tg α n → tg ϕ , áñï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýù© y

tg ϕ = lim (tg α n ) = lim n →∞

n →∞

f (x0 + hn ) − f (x0 ) = f ′(x0 ): hn y M1

M

f (x0+h) f (x0 )

O

M2

f (x0+h)

M0

f (x0 )

h x0

M0

f (x0 )

1

x

x 0+h

x0

O

ÜÏ. 15

³)

x 0+h 1

x

µ)

êï³óí»ó« áñ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ©

y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ x 0 Ï»ïáõ٠ѳí³ë³ñ ¿ (x 0 , f ( x 0 ) ) Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï³½Ù³Í ϕ ³ÝÏÛ³Ý ï³Ý·»ÝëÇÝ© f ' (x 0 ) = tg ϕ £

(3)

Üß»Ýù« áñ (3) µ³Ý³Ó¨Á ×Çßï ¿ ³ÛÝ ¹»åùáõÙ« »ñµ ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ã¿ ûñ¹ÇݳïÝ»-

π £ Ð³Ï³é³Ï ¹»åùáõÙ tg ϕ 2 Ý áñáßí³Í ã¿« ÇëÏ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿ x 0 Ï»-

y

ñÇ ³é³ÝóùÇÝ« ³ÛëÇÝùÝ` ϕ ≠

y = x2- 3x

ïáõÙ£

úñÇÝ³Ï 1£ ¶ïÝ»Ýù f ( x) = x 2 − 3x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³-

O

ýÇÏÇ ³ÛÝ Ï»ïÇ ³µëóÇëÁ« áñáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ³µëo óÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ 45 ³ÝÏÛáõÝ£ гٳӳÛÝ (3) µ³Ý³Ó¨Ç« Ù»Ýù å»ïù ¿ ·ïÝ»Ýù ³ÛÝ

x Ï»ïÁ« áñÇ Ñ³Ù³ñ f ′( x) = tg 45 £ ø³ÝÇ áñ o

o

45

2

x

ÜÏ. 16

y

f ′( x ) = 2 x − 3 , ÇëÏ tg 45 o = 1 « áõñ»ÙÝ (ÝÏ©16)©

2x − 3 = 1 ⇒ x = 2 £ ä³ï³ë˳ݪ 2 £ ²ÛÅÙ ·ïÝ»Ýù (x 0 , f ( x 0 ) ) Ï»ïáõÙ y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ« »ñµ ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ã¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ (ÝÏ©17)£ ÆÝãå»ë »ñ¨áõÙ ¿ ·Í³·ñÇó, 96

M

y f (x0 )

O

y f (x0 )

M0 x x0 x0

ÜÏ. 17

x

x

M ( x, y ) Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ ßáß³÷áÕÇÝ, »Ã» y − f ( x0 ) = tg ϕ = f ′( x 0 ) : x − x0 ²Ûëï»ÕÇó ëï³ÝáõÙ »Ýùª y = f ′(x 0 ) ⋅ (x − x 0 ) + f (x 0 ) : ²ÛëåÇëáíª

(x 0 , f ( x 0 ) ) Ï»ïáõÙ ë³ñáõÙÝ ¿ª

y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³y = f ′(x 0 )⋅ (x − x 0 ) + f (x 0 ) £

úñÇÝ³Ï 2: ÐÇÙݳíáñ»Ýù, áñ f (x ) = x ýáõÝÏóÇ³Ý x0 = 0 Ï»ïáõÙ ³Í³Ýó»ÉÇ ã¿:

Üϳï»Ýù, áñ »Ã» f (x ) = x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³ïáÕ Ï³-

(

y

)

éáõó»Ýù (0; 0 ) ¨ h; h Ï»ï»ñáí (ÝÏ. 18), ³å³ ¹ñ³Ï³Ý h -

»ñÇ ¹»åùáõÙ Ïëï³óíÇ y = x áõÕÇÕÁ, ÇëÏ µ³ó³ë³Ï³Ý h -»ñÇ

h

¹»åùáõÙª y = − x áõÕÇÕÁ: àõëïÇ ³Û¹ ѳïáÕÝ»ñÁ ÙÇ áñáß³ÏÇ

ë³ÑٳݳÛÇÝ ¹Çñù áõÝ»Ý³É ã»Ý ϳñáÕ: ²ÛëÇÝùÝ` f (x ) = x

ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (0; 0 ) Ï»ïáõÙ ßáß³÷áÕ ãáõÝÇ:

úñÇÝ³Ï 3: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = x 2 e x + 2 x ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³-

-h

h

x

ÜÏ. 18

ýÇÏÇÝ Ýñ³ x 0 = −2 ³µëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ: ܳË` f (x 0 ) = f (− 2 ) = 4e −2 − 4 ¨

f ′(x ) = ( x 2 )′e x + x 2 e x + 2 = e x (2 x + x 2 ) + 2 £ л勉µ³ñ« f ′(x 0 ) = f ′(− 2 ) = 2 , ¨ áñáÝ»ÉÇ ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÝ ¿ª y = 2(x + 2 ) + 4e −2 − 4 « ϳ٫ áñ ÝáõÛÝÝ ¿« y = 2 x + 4e −2 : ä³ï³ë˳ݪ y = 2 x + 4e −2 : úñÇÝ³Ï 4: ²å³óáõó»Ýù, áñ f (x) = x cos x + 2 ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Ýñ³ x0 = 0 ³µëóÇëÝ áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ y =x −3 áõÕÕÇÝ: гßí»Ýù ýáõÝÏódzÛÇ ¨ Ýñ³ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ x 0 = 0 Ï»ïáõÙ©

f (0) = 2,

f ′(x ) = cos x − x sin x,

f ′(0 ) = 1 £

Üßí³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ ÏÉÇÝǪ y = x + 2 £ ø³ÝÇ áñ ³Û¹ ßáß³÷áÕÁ ¨

y = x − 3 áõÕÇÕÝ áõÝ»Ý ÙǨÝáõÛÝ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ« ÇëÏ ³½³ï ³Ý¹³ÙÝ»ñÁ ï³ñµ»ñ »Ý« áõñ»ÙÝ ¹ñ³Ýù ½áõ·³Ñ»é »Ý£

1.

à±ñ áõÕÇÕÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ñ³ïáÕ:

2.

à±ñÝ ¿ áõÕÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ£ 97

3.

à±ñ áõÕÇÕÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ y = f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕ:

4.

à±ñÝ ¿ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ »ñÏñ³ã³÷³Ï³Ý ÇÙ³ëïÁ:

5. 6.

ÆÝãDZ ¿ ѳí³ë³ñ (x0 , f (x0 )) Ï»ïáõÙ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕÇ ³ÝÏÛáõݳÛÇÝ ·áñͳÏÇóÁ, »Ã» ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ã¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇÝ:

¶ñ»ù (x0, f (x0 )) Ï»ïáõÙ y = f (x) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ:

277. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Ýñ³ x 0 ³µëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ï³½Ù³Í ³ÝÏÛáõÝÁ. 2 ³) f ( x ) = x ,

x0 = 3 , 6 ·) f (x ) = sin x + x , x0 = 2,5π ,

µ) f (x ) = x 3 − x,

») f (x ) = ln 3 x + x , x 0 = 2 ,

½) f (x ) = e x x 2 + 1 , x 0 = 0 :

x0 = 0 ,

¹) f (x ) = x 3 − 2 x 2 − 1 , x 0 = 1 ,

(

)

x

278. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñÁ, áñáÝóáõÙ ·ñ³ýÇÏÇÝ ï³ñ³Í ßáß³÷áÕÁ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ»ï ϳ½ÙáõÙ ¿ ϕ ³ÝÏÛáõÝ. ³) f (x ) = x 3 + 3 x 2 − 23x + ln 5, µ) f (x ) = sin x ⋅ cos x − 2 x + 11, ·) f (x ) = sin 2 x,

ϕ = 45o , ϕ = 135o , ¹) f (x ) = sin 2 x + x,

ϕ = 60o ,

ϕ = 45o :

Ø 279. 19-ñ¹ ÝϳñáõÙ ·ñ³ýÇÏáñ»Ý ïñí³Í ýáõÝÏódzݻñÇ Ñ³Ù³ñ å³ñ½»É« û Ýßí³Í x1 , x2 , x3 , x4 , x5 Ï»ï»ñÇó áñáõÙª 1) ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁݹѳï ã¿, y

x1

O x2 x3 x4 x5

y

x

³)

x1

O x2

x3

x4 x5

x

µ)

ÜÏ. 19 2) ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³ÝóÛ³É ãáõÝÇ, 3) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñá ¿, 4) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, 5) ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ µ³ó³ë³Ï³Ý ¿: ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Ýñ³ x 0 ³µëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ

98

ѳí³ë³ñáõÙÁ (280-281).

280. ³) f ( x ) = 2 x − x 2 , x 0 = 2 , 2 ·) f (x ) = , x0 = 1 , 1+ x2 3 x , x =0, ») f (x ) = 0 1+ x2 π 281. ³) f (x ) = tg x , x0 = , 3 ·) f (x ) = x 2 e x , x 0 = 1 ,

µ) f (x ) = x 3 − 1,

x 0 = −1 ,

¹) f (x ) = 2 x −

1 , x = −1 , 0 x ½) f (x ) = x 3 + 1 , x 0 = 1 : x3 π µ) f (x ) = 3 sin x + 1 , x0 = , 2

¹) f (x ) = e − x , x 0 = −1 ,

Ø 282. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñÁ, áñáÝóáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ Ýßí³Í áõÕÕÇÝ. ³) f (x ) = x 3 + 6 x + 2 , y = 6 x ,

µ) f (x ) = 3 x 4 − 2 x , y = 2(1 − x ) :

Ø 283. ¶ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Ýñ³ x 0 ³µëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ ¨ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÁ. ³) f (x ) = 3 x − 2 x 2 , x 0 = 1 , ·) f (x ) = e 2 x +2 + x , x 0 = −1 ,

π , 8 ¹) f (x ) = log 7 x , x 0 = 7 :

µ) f (x ) = sin 2 x , x0 =

284. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ. ³) f (x ) = 2 x 2 − 4 x + 7 , ·) f (x ) = −3x 2 + 12 x − 5 ,

µ) f (x ) =

1 , x 2 + 8 x + 20 1 ع) f (x ) = : 20 x − 4 x 2 − 9

§9. üáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ¨ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ: ÎñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñ

¶Çï»Ýù, áñ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ áõÝÇ ³ÛëåÇëÇ ýǽÇÏ³Ï³Ý ÇÙ³ëï. »Ã» Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³Ýóùáí ß³ñÅíáÕ ÝÛáõÃ³Ï³Ý Ï»ïÁ ųٳݳÏÇ t å³ÑÇÝ ·ïÝíáõÙ ¿ s(t ) Ï»ïáõÙ, ³å³ t å³ÑÇÝ Ýñ³ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ s ′(t ) ¿: ä³ñ½ ¿, áñ »Ã» Ï»ïÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ ¹ñ³Ï³Ý ¿, ³å³ Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ ¹»åÇ ³ç, ¨ s(t ) -Ý ³×áÕ ¿, ÇëÏ »Ã» Ï»ïÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ µ³ó³ë³Ï³Ý ¿, ³å³ Ï»ïÁ ß³ñÅíáõÙ ¿ ¹»åÇ Ó³Ë, ¨ s(t ) -Ý Ýí³½áÕ ¿: ²Ûë åݹáõÙÝ áõÝÇ ËÇëï ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý Ó¨³Ï»ñåáõÙ ¨ ³å³óáõÛó£ ²Ûëï»Õ ³ÛÝ Ïµ»ñ»Ýù ³é³Ýó ³å³óáõÛóÇ£

99

»áñ»Ù 1£ (ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ù³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý): ºÃ» ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ f ′(x ) > 0 , ³å³ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ (ÝÏ© 20, ³): »áñ»Ù 2: (ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³Ý): ºÃ» ÙÇç³Ï³ÛùÇ µáÉáñ Ï»ï»ñáõÙ f ′(x ) < 0 , ³å³ ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ (ÝÏ© 20, µ): y

y

x

O

O x

x

x

f ′( x ) = tg ϕ < 0

f ′( x ) = tg ϕ > 0 ³)

µ)

ÜÏ. 20

²ÛëåÇëáí, ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ϳñ»ÉÇ ¿ ·ïÝ»É Ñ»ï¨Û³É ѳßí»Ï³ÝáÝáí© 1. ·ïÝ»É f ′(x ) -Á ¨ Ýᯐ D( f ) -Ç ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñï»Õ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ, 2. ·ïÝ»É f ′(x ) = 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÁ, 3. ݳËáñ¹ »ñÏáõ ù³ÛÉ»ñáõÙ ·ïÝí³Í Ï»ï»ñÇ ÙÇçáóáí ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ ïñáÑ»É ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ, 4. ³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ áñáᯐ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ýß³ÝÁ: ²ÛÝ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, áñï»Õ f ′(x ) > 0 , ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿« ÇëÏ ³ÛÝ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ« áñï»Õ f ′(x ) < 0 « ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿: ÆÝãå»ë ï»ë³Ýù« ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ ·ïÝ»ÉÇë ϳñ¨áñ ¹»ñ »Ý ˳Õáõ٠ѳßí»Ï³ÝáÝÇ ³é³çÇÝ »ñÏáõ ù³ÛÉ»ñáõÙ ·ïÝí³Í Ï»ï»ñÁ« ³ÛëÇÝùÝ` ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ ³ÛÝ Ï»ï»ñÁ, áñáÝóáõÙ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ϳ°Ù ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ« ϳ°Ùª ѳí³ë³ñ ¿ 0 -Ç: ²Û¹åÇëÇ Ï»ï»ñÝ áõÝ»Ý Ñ³ïáõÏ ³Ýí³ÝáõÙ: üáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇ Ý»ñùÇÝ Ï»ïÁ ϳÝí³Ý»Ýù ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï, »Ã» ³Û¹ Ï»ïáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ½ñá ¿« ϳ٠·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ: ²ÛÅÙ í»ñÁ µ»ñí³Í ѳßí»Ï³ÝáÝÇ ³é³çÇÝ »ñÏáõ Ï»ï»ñÁ ϳñáÕ »Ýù ÷á˳ñÇÝ»É Ù»Ïáíª ·ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ:

f ' (x ) f (x )

+ -1

+ 0

1

x

ÜÏ. 21

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = x 4 − 2x 2 ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ: 100

ú·ïí»Ýù í»ñÁ µ»ñí³Í ѳßí»Ï³ÝáÝÇó©

1. f ′(x ) = 4 x 3 − 4 x , x ∈ R , 2. 4 x 3 − 4 x = 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ý − 1; 0 ¨ 1 Ãí»ñÁ, 3.

( − 1; 0 ) ¨ (1; + ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ

ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙª 4 x 3 − 4 x < 0 : л勉µ³ñ, ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿

f ′(x ) = 4 x 3 − 4 x > 0 , ÇëÏ (− ∞; − 1) ¨ (0; 1)

( − 1; 0 )

¨ (1; + ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ« Ýí³½áÕª (− ∞; − 1) ¨ (0; 1) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ: 21-ñ¹ ÝϳñáõÙ µ»ñí³Í ¿ Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÁª ïñáÑí³Í − 1; 0 ¨ 1 Ï»ï»ñáí£ ²é³ÝóùÇó í»ñ Ýßí³Í »Ý ѳٳå³ï³ëË³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ« ÇëÏ ³é³ÝóùÇó ó³Íª ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý µÝáõÛÃÁª

- ³×áÕ«

- Ýí³½áÕ£

гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ − 1; 0; 1 Ï»ï»ñÁ å³ïϳÝáõÙ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ« ëï³ÝáõÙ »Ýù å³ï³ë˳ÝÁ. ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ [− 1; 0] ¨ [1; + ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ, ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ (− ∞; − 1] ¨ [0; 1] ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ:

àõß³¹ñáõÃÛáõÝ ¹³ñÓÝ»Ýù ³ÛÝ µ³ÝÇÝ, áñ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ [− 1; 0] ¨ [1; + ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ ³é³ÝÓÇÝ, ³ÛÉ áã û Ýñ³Ýó ÙdzíáñÙ³Ý íñ³: Æñáù,

− 0,5 < 1 , ë³Ï³ÛÝ f (− 0,5) = −0,4375 > −1 = f (1) :

úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»Ýù f (x) = x5 + 2x3 −1 ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ: üáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ ¿` f ′(x ) = 5 x 4 + 6 x 2 , x ∈ R : л勉µ³ñ, f ′(0 ) = 0 « ÇëÏ

(− ∞; 0) ¨ (0; + ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙª f ' (x )

f ′(x ) > 0 (ÝÏ© 22):

+

+

x

0

f (x )

ÜÏ. 22

гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ 0 ∈ D ( f ) « ëï³ÝáõÙ »Ýù, áñ f -Ý ³×áÕ ¿ (− ∞; 0] ¨ [0; + ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ: ø³ÝÇ áñ ³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÝ áõÝ»Ý ÁݹѳÝáõñ Ï»ï, ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ ݳ¨ Ýñ³Ýó ÙdzíáñÙ³Ý íñ³:

ä³ï³ë˳ݪ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ (− ∞; ∞ )-áõÙ:

úñÇÝ³Ï 3: ¶ïÝ»Ýù f (x) = ctgx ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ: 1 üáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿, »ñµ x ≠ πk , k ∈ Z , ¨ f ′(x ) = − « x∈ D( f ) : àõëïÇ sin 2 x

ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÇÝ å³ïϳÝáÕ ó³Ýϳó³Í x Ï»ïáõÙª f ′(x) < 0 (ÝÏ© 23):

f ' (x) f (x)

-2

-

0

2

x

ÜÏ. 23 101

ä³ï³ë˳ݪ ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ (πk ; π(k + 1)) , k ∈ Z , ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ:

1.

à±ñ Ï»ï»ñÝ »Ý ³Ýí³ÝáõÙ ÏñÇïÇϳϳÝ:

2.

à±ñÝ ¿ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³×Ù³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ:

3.

à±ñÝ ¿ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ Ýí³½Ù³Ý µ³í³ñ³ñ å³ÛÙ³ÝÁ:

4.

ÆÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ:

5.

ØáÝáïá±Ý ¿, ³ñ¹Ûáù, ctg x ýáõÝÏódzݪ ³) (πk ; π(k + 1)) , k ∈Z, ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñáõÙ, µ) Çñ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃáõÙ:

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ (285-286).

285. ³) f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 , ·) f (x ) = 3 x 4 − 4 x 3 + 5 ,

µ) f ( x ) = 2 + 3x − x 2 , ¹) f (x ) = x 4 − 4 x 3 + 2 ,

3x − 4 : 1 + x2 µ) f (x ) = 1 + 2 cos x ,

») f (x ) =

½) f (x ) =

·) f (x ) = tg 2 x ,

¹) f (x ) = sin 2 x ,

») f (x ) = x 2 − x sin x − cos x ,

½) f (x ) = 3 x 2 − 2 x cos x + 2 sin x :

2x 3 , 1 − 3x 2 286. ³) f ( x ) = 4 sin x − 17 ,

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ (287-290). µ) f (x ) =

287. ³) f (x ) = 4 − 5 x ,

x − 1, 2 ¹) f (x ) = 4 + 6 x − x 2 :

·) f (x ) = x 2 − 8 x + 5 ,

288. ³) f (x ) = x +

1 , x x−5 ·) f (x ) = , x+4

µ) f (x ) =

289. ³) f (x ) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 5 , ·) f (x ) = 4 x 3 − 1,5 x 4 ,

( (x

)

Ø 290. ³) f (x ) = e x x 2 − 24 x , ·) f (x ) = e x

2

)

− 8x ,

2 + 8x , x 1 − 2x ¹) f (x ) = : 2x + 7 x3 + x 2 + 3x − 7 , µ) f (x ) = − 3 ¹) f (x ) = x 4 − 18 x 2 − 9 :

( (x

)

µ) f (x ) = e x 2 x 2 − 30 , ¹) f (x ) = e x

2

)

− 3x :

¶Í»É áñ¨¿ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏ, áñÁ µ³í³ñ³ñáõÙ ¿ Ýßí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ (291-292). Ø 291. D ( f ) = [− 2; 4], f ′(x ) > 0 , »ñµ x ∈ (− 2; 0 ) ¨ f ′(x ) < 0 , »ñµ x ∈ (0; 4 ) : Ø 292. D ( f ) = [− 3; 3] , f ′(x ) < 0 , »ñµ x ∈ (− 3; 1) ¨ f ′(x ) > 0 , »ñµ x ∈ (1; 3) : 102

Ø 293. ²å³óáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛáõÝÁ. ³) f (x ) = x + sin x ,

µ) f (x ) = cos 2 x − 2 x ,

·) f (x ) = 2 x − 3 x + 12 x − 8 , 3

¹) f (x ) = 5 − 12 x + 3 x 2 − x 3 :

2

294. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ. ³) f (x ) = 4 x − x 2 + 3 ,

µ) f (x ) = 2 x 2 − 6 x + 9 ,

·) f (x ) =

¹) f (x ) =

1 , x + 2x + 2 2

−2 : x − 4x + 6 2

§10. üáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÁ ¨ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ܳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ áõëáõÙݳëÇñ»óÇÝù ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ¨ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ï³åÁ: ²Ûë å³ñ³·ñ³ýáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ÙÇçáóáí Ïѻﳽáï»Ýù Ýñ³ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÁ: ÆÝãå»ë ·Çï»Ýù, »Ã» ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿ (a; x 0 ] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ Ýí³½áÕª [x 0 ; b ) áõÙ, ³å³ x0 -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿: ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 Ï»ïáõÙ£ ܳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ ï»ë³Ýù, áñ »Ã» (a; x 0 ) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ′(x ) > 0 , ³å³ f -Ý (a; x 0 ] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³×áÕ ¿: ºÃ» ݳ¨ f ′(x ) < 0 « »ñµ x ∈ (x 0 ; b ) , ³å³ f -Á ÏÉÇÝÇ Ýí³½áÕ [x 0 ; b ) -áõÙ, ¨, ѻ勉µ³ñ, x0 -Ý ÏÉÇÝÇ f ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï (ÝÏ© 24, ³): ²ÛëåÇëáí, ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ: »áñ»Ù 1: (ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ñ³Ûï³ÝÇß): ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x0 Ï»ïáõÙ, ¨` 1© f ′(x ) > 0 , »ñµ x ∈ (a; x 0 ) , 2© f ′(x ) < 0 , »ñµ x ∈ (x 0 ; b ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ x 0 -Ý f ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿ª x 0 = x max : y

y

f ′( x ) > 0

x0 = x max

O ³)

f ′( x ) < 0

f ′( x ) < 0 x

x 0= x min

O ÜÏ. 24

f ′( x ) > 0 x

µ)

гݷáõÝáñ»Ý ϳñ»ÉÇ ¿ ѳÙá½í»É« áñ ï»ÕÇ áõÝÇ Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ (ÝÏ© 24, µ): 103

»áñ»Ù 2: (ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ñ³Ûï³ÝÇß): ¸Çóáõù f ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ x 0 Ï»ïáõÙ, ¨` 1© f ′(x ) < 0 , »ñµ x ∈ (a; x 0 ) , 2© f ′(x ) > 0 , »ñµ x ∈ (x 0 ; b ): ²Û¹ ¹»åùáõÙ x 0 -Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿ª x 0 = x min £ ²Ûë »ñÏáõ ûáñ»ÙÝ»ñÁ å³ñ½»óí³Í Ó¨³Ï»ñåíáõÙ »Ý Ñ»ï¨Û³É Ï»ñå© ºÃ» x 0 Ï»ïÇ íñ³Ûáí Ó³ËÇó ³ç ß³ñÅí»ÉÇë ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÷áËíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³ÝÇó µ³ó³ë³Ï³ÝÇ (ÝÏ. 25, ³), ³å³ x 0 -Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿« ÇëÏ »Ã» ÷áËíáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³ÝÇó ¹ñ³Ï³ÝÇ (ÝÏ. 25, µ)« ³å³ x 0 -Ý ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿:

f ' ( x)

f ' (x ) x

x0

xmax= x0

x0

xmin= x0

³)

x

µ)

ÜÏ. 25

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù f (x ) =

x ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ: 1+ x2 üáõÝÏóÇ³Ý áñáßí³Í ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ ¨ ó³Ýϳó³Í x -Ç Ñ³Ù³ñ f ′(x ) =

(

)

1⋅ 1 + x 2 − x ⋅ 2 x

(1 + x )

2 2

=

1 − x2

(1 + x )

2 2

£

àõëïÇ f ′(x ) = 0 « »ñµ x = ±1 « Áݹ áñáõÙ` f ′(x ) > 0 , »Ã» x ∈ (− 1; 1) ¨ f ′(x ) < 0 , »Ã»

x ∈ (− ∞; − 1) ϳ٠x ∈ (1; + ∞ ) (ÝÏ. 26): л勉µ³ñ, x min = −1 ¨ x max = 1 :

f ' (x ) 1

1

xmin= 1

x max=1

x

ÜÏ. 26

úñÇÝ³Ï 2: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = x ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ:

²Ûë ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, f ′(x) = −1< 0 , »ñµ x ∈ (− ∞; 0 ) ¨ f ′(x) =1> 0 , »ñµ

x ∈ (0;+ ∞) : л勉µ³ñ, ýáõÝÏóÇ³Ý Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ãáõÝÇ ¨ xmin = 0 :

Üϳï»Ýù« áñ ³é³çÇÝ ûñÇݳÏáõÙ ¹Çï³ñÏí³Í ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñáõ٠ѳí³ë³ñ ¿ ½ñáÛÇ« ÇëÏ »ñÏñáñ¹ ûñÇݳÏáõÙ ¹Çï³ñÏí³Í ýáõÝÏóÇ³Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ïáõÙ ³Í³ÝóÛ³É ãáõÝÇ£ ä³ñ½íáõÙ ¿, áñ ë³ ÁݹѳÝáõñ ÷³ëï ¿ ¨« ÇÝãå»ë óáõÛó ¿ ï³ÉÇë Ñ»ï¨Û³É ûáñ»ÙÁ« Ó³ÝÏ³Ó³Í ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ¿ùëïñ»104

ÙáõÙÇ Ï»ïáõ٠ϳ°Ù 0 ¿« ϳ°Ù ·áÛáõÃÛáõÝ ãáõÝÇ£ ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»Ù: ºÃ» x 0 -Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿ ¨ ³Û¹ Ï»ïáõÙ f -Ý ³Í³Ýó»ÉÇ ¿, ³å³ f ′(x 0 ) = 0 : ö³ëïáñ»Ý, ѳٳӳÛÝ ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÇ, ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÁ å»ïù ¿ ÷Ýïñ»É Ýñ³ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç£ ²ÛëÇÝùÝ` ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ ѳݹÇë³ÝáõÙ »Ý ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñ: ê³Ï³ÛÝ ãå»ïù ¿ ϳñÍ»É, áñ ó³Ýϳó³Í ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ³Ýå³ï×³é ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿: úñÇݳÏ, f (x ) = x 3 ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ« áñÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ ¿ª f ′(x ) = 3x 2 «

áõÝ»Ýùª f ′(0 ) = 0 , ¨ f ′(x ) > 0 « »Ã» x ≠ 0 (ÝÏ© 27, ³)£ ²ÛëÇÝùÝ` 0 -Ý ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ³Ù³ñ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿« ë³Ï³ÛÝ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿: x 3 ýáõÝÏóÇ³Ý ÁݹѳÝñ³å»ë ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ãáõÝÇ. ³ÛÝ ³×áÕ ¿ ³ÙµáÕç Ãí³ÛÇÝ ³é³ÝóùÇ íñ³ (ÝÏ© 27, µ): y y=x 3

f ' (x ) = 2 x 2 f (x ) = x

+

+ 0

3

³)

1 x

-1

ÜÏ. 27

O -1

1

x

µ)

²ÛëåÇëáí, ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ÙÇçáóáí ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ª 1. ýáõÝÏóÇ³Ý ³Í³Ýó»É, 2. ·ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ, 3. »Ã» ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ïÇ íñ³Ûáí Ó³ËÇó ³ç ³ÝóÝ»ÉÇë` ³) ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÷áËíáõÙ ¿ ¹ñ³Ï³ÝÇó µ³ó³ë³Ï³Ý (ÝÏ. 25, ³), ³å³ ³Û¹ Ï»ïÁ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, µ) ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ÷áËíáõÙ ¿ µ³ó³ë³Ï³ÝÇó ¹ñ³Ï³Ý (ÝÏ. 25, µ), ³å³ ³Û¹ Ï»ïÁ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿, ·) ³Í³ÝóÛ³ÉÁ å³Ñå³ÝáõÙ ¿ Ýß³ÝÁ, ³å³ ³Û¹ Ï»ïÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿ (ÝÏ. 27):

úñÇÝ³Ï 3: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = 3 x 4 − 4 x 3 + 25 ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ, ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ¨ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ:

3 2 ܳ˪ D ( f ) = R ¨ f ′(x ) = 12 x − 12 x , x ∈ R : ÈáõÍ»Éáí f ′(x ) = 0 ѳí³ë³ñáõ-

ÙÁ« ·ïÝáõÙ »Ýù ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁª x = 0 ¨ x = 1 : 105

²ÛÝáõÑ»ï¨ ·ïÝáõÙ »Ýù« áñ f ′(x) > 0 , »ñµ x ∈ (1; + ∞) ¨ f ′(x) < 0 , »ñµ x ∈(− ∞; 0) U (0; 1) (ÝÏ. 28): ÎñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇó 0 -Ý ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ã¿, ù³ÝÇ áñ ³Û¹ Ï»ïÇ íñ³Ûáí

³ÝóÝ»ÉÇë ³Í³ÝóÛ³ÉÁ ãÇ ÷áËáõÙ Ýß³ÝÁ: üáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ (− ∞; 1] ¨ ³×áÕª [1; + ∞ ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ, ÇëÏ 1 -Á ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï ¿:

f ' (x ) f (x )

0

1

x

x min = 1

ÜÏ. 28

ä³ï³ë˳ݪ ýáõÝÏóÇ³Ý Ýí³½áÕ ¿ (− ∞; 1]-áõÙ, ³×áÕª [1; + ∞) -áõÙ, xmin = 1 , ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÝ »Ýª 0 ; 1 :

1.

Ò¨³Ï»ñå»ù ýáõÝÏódzÛÇ Ù³ùëÇÙáõÙÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ:

2.

Ò¨³Ï»ñå»ù ýáõÝÏódzÛÇ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ñ³Ûï³ÝÇßÁ:

3.

Ò¨³Ï»ñå»ù ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ å³ñ½»óí³Í ѳÛï³ÝÇßÁ:

4.

Ò¨³Ï»ñå»ù ü»ñÙ³ÛÇ Ã»áñ»ÙÁ:

5.

²ñ¹Ûáù, ó³Ýϳó³Í ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»±ï ¿:

6.

ÆÝãå»±ë »Ý ·ïÝáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ:

295. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ. ³) f (x ) = x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 6 ,

µ) f (x ) = x 3 − 3 x 4 − 5 ,

·) f (x ) = sin 2 x + cos x ,

¹) f (x ) = 2 cos x − x :

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ (296-297).

296. ³) f (x ) = 3 x 2 − 6 x − 5 , ·) f (x ) = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 4 ,

297. ³) f (x ) = 3x 5 − 5 x 3 + 3 ,

(

)

·) f (x ) = e x 24 − x 2 ,

µ) f (x ) = 6 − 8 x − x 2 , ¹) f (x ) = 3 x 4 − 8 x 3 − 18 x 2 : µ) f (x ) = 3 x 5 − 5 x 3 − 30 x ,

(

)

¹) f (x ) = e x x 2 − 3 :

298. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ¨ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÁ.

2x − 4 3x + 6 , µ) f (x ) = 2 , x2 + 5 x + 12 1 3 ·) f (x ) = 4 , ¹) f (x ) = − 4 : 2 x + 5x 2 + 3 x + 3 x + 17 * 299. ¶ïÝ»É a ¨ b Ãí»ñÝ ³ÛÝå»ë« áñ x1 -Á ¨ x 2 -Á ÉÇÝ»Ý f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý ³) f (x ) =

Ï»ï»ñ© 106

³) f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + 5,

x1 = −2, x 2 = 4 ,

µ) f (x ) = a sin 2 x + b cos 3 x +

π π 3 tg 4 x, x1 = , x2 = £ 4 6 3

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ (300-301).

300. ³) f (x ) = x 2 − 2 x − 1 , [2; 3],

µ) f (x ) = x − 2 x 2 + 3 , [1; 3]:

Ø 301. ³) f (x ) = 3 x − 5 , [0; 2] ,

[− 1; 1]:

µ) f (x ) = 4 − x ,

x +1

x+4

§11. üáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³ áõÛÝ ¨ ÷áùñ³ áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ÎÇñ³é³Ï³Ý Ý߳ݳÏáõÃÛáõÝ áõÝ»óáÕ ß³ï ËݹÇñÝ»ñáõÙ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿ ÉÇÝáõÙ ·ïÝ»É áñ¨¿ ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ ïñí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: Ðݳñ³íáñ ¿ »ñ»ù ¹»åù. 1. ýáõÝÏóÇ³Ý ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ٻͳ·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù ãáõÝÇ (ÝÏ. 29, ³), y

y

y

x1

a

b

b

a

x2 b

a

x1= xmin , x2= xmax ³)

ÜÏ. 29

µ)

·)

2. ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ ٻͳ·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ (ÝÏ. 29, µ), 3. ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ ٻͳ·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ý»ñùÇÝ Ï»ïáõÙ (ÝÏ. 29, ·): ä³ñ½ ¿, áñ í»ñçÇÝ ¹»åùáõÙ ³Û¹ Ï»ïÁ ÏÉÇÝÇ Ý³¨ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï: ì»ñÁ ³ëí³ÍÇó ϳñ»ÉÇ ¿ ³Ý»É Ñ»ï¨Û³É »½ñ³Ï³óáõÃÛáõÝÁ. ºÃ» ýáõÝÏóÇ³Ý áñ¨¿ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù, ³å³ ³Û¹ ³ñÅ»ùÁ å»ïù ¿ ÷Ýïñ»É ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ ¨ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ ÁݹáõÝ³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç: 107

ÆÝãå»ë Ýß»óÇÝù, ýáõÝÏóÇ³Ý ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ٻͳ·áõÛÝ Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ϳñáÕ ¿ ãáõݻݳÉ: ²Û¹åÇëÇÝ ¿« ûñÇݳϫ 29-ñ¹ ³) ÝϳñáõÙ ·ñ³ýÇÏáñ»Ý ïñí³Í ýáõÝÏódzݣ ê³Ï³ÛÝ Ýϳï»Ýù« áñ ³Û¹ ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁݹѳï ã¿ [a; b ] ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõÙ£ ä³ñ½íáõÙ ¿« áñ, »Ã» ýáõÝÏóÇ³Ý ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿ [a; b] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ, ³å³ ³ÛÝ áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ:

²Ûë åݹáõÙÁ ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÝ ¿, áñÁ Ù»Ýù ÏÁݹáõÝ»Ýù ³é³Ýó ³å³óáõóÙ³Ý: ÎÇñ³é³Ï³Ý ËݹÇñÝ»ñáõ٠ѳݹÇåáÕ ýáõÝÏódzݻñÁ, áñå»ë ϳÝáÝ, ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ áõÝ»ÝáõÙ »Ý í»ñç³íáñ Ãíáí ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñ: ܳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýáõÙ Ù»Ýù ï»ë³Ýù, áñ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ å»ïù ¿ ÷Ýïñ»É ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÇ µ³½ÙáõÃÛ³Ý Ù»ç: ²Ù÷á÷»Éáí ³ëí³ÍÁ, ϳñáÕ »Ýù Ó¨³Ï»ñå»É Ñ»ï¨Û³É ѳßí»Ï³ÝáÝÁ:

[a; b] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ³ÝÁݹѳï

f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ Ï³Ù ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ ³ÝÑñ³Å»ßï ¿. 1© ·ïÝ»É f ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ, 2© ³Û¹ Ï»ï»ñÇó ÁÝïñ»É ³ÛÝ x1 , x2 ,K, xk Ï»ï»ñÁ, áñáÝù å³ïϳÝáõÙ »Ý [a; b] ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ, 3© ѳßí»É f (a ) , f (b ), f (x1 ), f ( x2 ), K, f ( xk ) ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, 4© ëï³óí³Í ³ñÅ»ùÝ»ñÇó ³Ù»Ý³Ù»ÍÁ ÏÉÇÝÇ ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ, ÇëÏ ³Ù»Ý³÷áùñÁª ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ:

úñÇÝ³Ï 1: ¶ïÝ»Ýù f (x ) = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 5 ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áù-

ñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ [0; 3] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: üáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ ¿ª

f ′(x ) = 3x 2 − 18 x + 24 :

ÈáõÍ»Éáí f ′(x ) = 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ, ·ïÝáõÙ »Ýù ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁª

x1 = 2 ¨ x 2 = 4 « áñáÝóÇó ÙdzÛÝ ³é³çÇÝÝ ¿ å³ïϳÝáõÙ [0; 3] ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ (áõëïÇ f (4 ) -Á å»ïù 㿠ѳßí»É): гßí»Éáí ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ x = 2 ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»-

ïáõÙ áõ ÙÇç³Ï³ÛùÇ 0 ¨ 3 ͳÛñ³Ï»ï»ñáõÙ, ëï³ÝáõÙ »Ýùª

f (0 ) = −5 , f (2 ) = 15 , f (3) = 13 :

²ÛëåÇëáí, [0; 3] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ f ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 15 -Ý ¿, ÇëÏ ÷áùñ³·áõÛÝÁª − 5 -Á: Àݹ áñáõÙ, ýáõÝÏóÇ³Ý Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ 2 Ï»ïáõÙ, ÇëÏ ÷áùñ³·áõÛÝÁª 0 Ï»ïáõÙ: ²ëí³ÍÁ ѳٳéáï ·ñíáõÙ ¿ ³Ûëå»ë.

max f (x ) = f (2 ) = 15 ¨ min f (x ) = f (0 ) = −5 : [0; 3]

[0; 3]

úñÇÝ³Ï 2: гí³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³ÝÁ, áñÇ ÑÇÙùÁ 6 ¿, ÇëÏ ëñáõÝùÁª 5 , Ý»ñ·Í³Í ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ« áñÇ »ñÏáõ ·³·³ÃÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý »é³ÝÏÛ³Ý ÑÇÙùÇ íñ³, ÇëÏ ÙÛáõë »ñÏáõëÁª ëñáõÝùÝ»ñÇ (ÝÏ© 30): ¶ïÝ»Ýù« û ÇÝãåÇëDZ ٻͳ·áõÛÝ Ù³Ï»ñ»ë ϳñáÕ ¿ 108

B

áõÝ»Ý³É ³Û¹åÇëÇ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝÁ: ²Ûë ËݹÇñÁ ÉáõÍ»Éáõ ѳٳñ Ý³Ë ÷áñÓ»Ýù ³ÛÝ Ý»ñϳ۳óÝ»É ýáõÝÏódzݻñÇ É»½íáí:

áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý EF ÏáÕÙÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ Ý߳ݳϻÝù x -áí: ä³ñ½ ¿, áñ 0 < x < 6 : ø³ÝÇ áñ

L

E

î³Ý»Ýù ABC »é³ÝÏÛ³Ý BD µ³ñÓñáõÃÛáõÝÁ: ¸Åí³ñ ã¿ ï»ëÝ»É, áñ BD = 4 : Ü»ñ·Í³Í EFGH A

H

F

D

ÜÏ. 30

G

C

∆ABC ~ ∆EBF , ÇëÏ BD -Ý ¨ BL -Á ѳٳå³ï³ëBL EF = : гßíÇ ³éÝ»Éáí, áñ Ë³Ý µ³ñÓñáõÃÛáõÝÝ»ñ »Ý, áõëïÇ BD AC BL = BD − LD = BD − FG , ëï³ÝáõÙ »Ýùª 4 − FG x = , áñï»ÕÇóª FG = 12 − 2 x : 4 6 3 x(12 − 2 x ) : л勉µ³ñ, EFGH áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÁ ÏÉÇÝǪ 3 x(12 − 2 x ) ²ÛëåÇëáí« å»ïù ¿ ·ïÝ»Ýù f (x ) = ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ (0; 6 ) 3 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ£ ÈáõÍ»Éáí 12 − 4 x =0 f ′(x ) = 3 ѳí³ë³ñáõÙÁ, ëï³ÝáõÙ »Ýù x = 3 ÙÇ³Ï ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ïÁ, Áݹ áñáõÙ, f (3) = 6 « ÇëÏ f (0) = f (6 ) = 0 £ л勉µ³ñ, [0; 6] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ 6 ¿« áñÁ ³ÛÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ x = 3 Ï»ïáõÙ£ ø³ÝÇ áñ ³Û¹ Ï»ïÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ (0; 6) ÙÇç³Ï³ÛùÇÝ« áõñ»ÙÝ f (3) = 6 ³ñÅ»ùÁ ٻͳ·áõÛÝÝ ¿ ݳ¨ (0; 6 ) ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ: ä³ï³ë˳ݪ 6:

1.

γñá±Õ ¿ ýáõÝÏóÇ³Ý ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ãáõÝ»Ý³É Ù»Í³·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ù:

2.

γñá±Õ ¿, ³ñ¹Ûáù, ýáõÝÏóÇ³Ý ÙÇç³Ï³Ûùáõ٠ٻͳ·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝ»É ³Û¹ ÙÇç³Ï³ÛùÇ Í³Ûñ³Ï»ïáõÙ:

3.

ºÃ» ýáõÝÏóÇ³Ý Çñ ٻͳ·áõÛÝ (÷áùñ³·áõÛÝ) ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ÙÇç³Ï³ÛùÇ Ý»ñùÇÝ Ï»ïáõÙ, ³å³ ÇÝãåÇëDZ Ï»ï ¿ ³Û¹ Ï»ïÁ:

4.

üáõÝÏódzÛÇ á±ñ ³ñÅ»ùÝ»ñÇ Ù»ç å»ïù ¿ ÷Ýïñ»É Ýñ³ ٻͳ·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ:

5.

Ò¨³Ï»ñå»ù ì³Û»ñßïñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÁ:

6.

Ò¨³Ï»ñå»ù [a; b] ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ·ïÝ»Éáõ ѳßí»Ï³ÝáÝÁ:

109

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ (302-308).

302. ³) f (x ) = 4 x − x 2 + 1 , [1; 3],

[− 1; 1], [− 2;0] ,

·) f (x ) = x 4 − 2 x 2 + 5 ,

303. ³) f (x ) = 4 x − 1 , ·) f (x ) = x 3 − 3 x ,

[2;5],

¹) µ)

¹) f (x ) = x 4 − 8x 3 ,

2 304. ³) f (x ) = x + 4 , [1; 3], x − x 1 , ·) f (x ) = 2 [− 2; 1], x +8 Ø 305. ³) f (x ) = xe −2 x −8 + 1 , [− 4; 0],

·) f (x ) = − xe 4 x −8 ,

[− 3; 0] , f (x) = x 3 + 3x 2 − 9 x + 7 , [0; 2] : f (x ) = 9 − 5 x , [− 1; 1],

µ) f (x ) = x 2 + 3 x − 2 ,

[0; 2] ,

Ø 306. ³) f (x ) = (5 x − 4 )12 + 60 x ,

[0; 0,8],

[0;5]:

µ) f (x ) = x − 2 , 2

[− 1; 2], x +5 27 ¹) f (x ) = 3 + 2 x + 2 , [1; 5]: x −3 x − 9 µ) f ( x ) = 5 + xe , [− 3; 0] , ¹) f (x ) = 2 − xe 3 x −9 ,

[0; 3]:

µ) f (x ) = (2 x + 3)14 − 28 x ,

[− 1,5 ; 0]:

 π 307. ³) f (x ) = 2 sin 2 x − 2 sin x − 1 , 0;  ,  2 µ) f (x ) = cos 2 x + 2 cos x − 5 , [0; π]: Ø 308. ³) f (x ) = e x (sin x + cos x ) ,

[− π; π],

(

)



π

µ) f (x ) = e x − 1 sin x + cos x , 0;  :  6 309. 14 -Á Ý»ñϳ۳óÝ»É »ñÏáõ áã µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáí ³ÛÝå»ë, áñ ³Û¹ Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: 310. 20 -Á Ý»ñϳ۳óÝ»É »ñÏáõ áã µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáí ³ÛÝå»ë, áñ ³Û¹ Ãí»ñÇ ³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝÇ Ù»Í³·áõÛÝÁ:

Ø 311. ÆÝãåÇëDZù å»ïù ¿ ÉÇÝ»Ý S ٳϻñ»ë áõÝ»óáÕ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ã³÷»ñÁ, áñå»ë½Ç ³ÛÝ áõݻݳ` ³) ÷áùñ³·áõÛÝ å³ñ³·ÇÍ, µ) ÷áùñ³·áõÛÝ ³ÝÏÛáõݳ·ÇÍ: Ø 312. ¶ïÝ»É R ß³é³íÕáí ßñç³ÝÇÝ Ý»ñ·Í³Í ³ÛÝ áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ã³÷»ñÁ, áñÝ áõÝÇ` ³) ³Ù»Ý³Ù»Í ٳϻñ»ëÁ, µ) ³Ù»Ý³Ù»Í å³ñ³·ÇÍÁ: Ø 313. ¶ïÝ»É 2 p å³ñ³·ÇÍ áõÝ»óáÕ ³ÛÝ Ñ³í³ë³ñ³ëñáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ëñáõÝùÁ, áñÝ áõÝÇ ³Ù»Ý³Ù»Í ٳϻñ»ëÁ: Ø 314. ÆÝãåÇëÇ±Ý å»ïù ¿ ÉÇÝÇ P å³ñ³·ÇÍ áõÝ»óáÕ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³Ý ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÁ, áñå»ë½Ç Ýñ³ Ý»ñùݳÓÇ·Á ÉÇÝÇ ³Ù»Ý³÷áùñÁ:

315. ä³ñ½»É« û Ñ»ï¨Û³É ýáõÝÏódzݻñÇó áñá±Ýù »Ý ½áõÛ· ¨ áñáÝùª Ï»Ýï. ³) x 3 + sin 3 x , 110

µ) tg x + ctg 2 x ,

·) x 6 − 3 x 3 + sin x ,

(

)

¹) x 2 + 1 sin 2 x ,

») cos x + x 6 − x ,

½)

316. ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÑÇÙÝ³Ï³Ý å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ. ³) cos x ⋅ sin x ,

µ) sin 2 x – cos 2 x ,

Ø·)

x3 − 1 : sin x

sin 4 x : sin 2 x + sin 2 x 2

§12. üáõÝÏódzÛÇ Ñ»ï³½áïáõÙÝ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ÙÇçáóáí ܳËáñ¹ å³ñ³·ñ³ýÝ»ñáõÙ ï»ë³Ýù« áñ ýáõÝÏódzÛÇ áñáß Ñ³ïÏáõÃÛáõÝÝ»ñ Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ µ³ó³Ñ³ÛïíáõÙ »Ý ³Í³ÝóÛ³ÉÇ û·ÝáõÃÛ³Ùµ« áõëïÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ÏÇñ³éáõÙÁ Ñ»ßï³óÝáõÙ ¿ ݳ¨ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ£ àñ¨¿ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ Ï³éáõóáõÙÁ ѳñÙ³ñ ¿ ëÏë»É ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ Ñ»ï³½áïáõÙÇó, áñÇ áõñí³·ÇÍÁ, ÇÝãå»ë ·Çï»Ýù, µ³Õϳó³Í ¿ Ñ»ï¨Û³É ù³ÛÉ»ñÇó: 1) ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ: 2) ä³ñ½»É` ýáõÝÏóÇ³Ý å³ñµ»ñ³Ï³±Ý ¿, û áã: 3) ä³ñ½»É ýáõÝÏódzÛÇ ½áõÛ·áõÃÛáõÝÁ: 4) àñáᯐ ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ¨ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÁ: 5) ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ: 6) ¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÝ áõ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ: 7) гßí»É ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñáõÙ: 8) ºÃ» ýáõÝÏódzÛÇ áñáßÙ³Ý ïÇñáõÛÃÁ µ³Õϳó³Í ¿ Ù»Ï Ï³Ù ÙÇ ù³ÝÇ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇó, ³å³ å³ñ½»É ýáõÝÏódzÛÇ í³ñùÝ ³Û¹ ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñÇÝ Ùáï»Ý³ÉÇë: ²Ûë ù³ÛÉ»ñÇó 6-ñ¹Á ϳï³ñ»ÉÇë ³ñ¹Ûáõݳí»ï ¿ ³Í³ÝóÛ³ÉÇ ÏÇñ³éáõÙÁ: üáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ ·ïÝ»Éáí` Ñ»ßïáõÃÛ³Ùµ ϳñáÕ »Ýù ·ïÝ»É ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÝ áõ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ:

úñÇÝ³Ï 1: лﳽáï»Ýù f (x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ϳéáõó»Ýù Ýñ³ ·ñ³-

ýÇÏÁ: 1) ²ÏÝѳÛï ¿, áñ D ( f ) = R : 2) üáõÝÏóÇ³Ý å³ñµ»ñ³Ï³Ý ã¿: 3) üáõÝÏóÇ³Ý ½áõÛ· ¿« ù³ÝÇ áñ

f (− x ) = (− x ) − 5(− x ) + 4 = x 4 − 5 x 2 + 4 = f (x ) : 4

2

4) üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ѳïáõÙ ¿ ûñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÁ (0; 4 ) Ï»ïáõÙ: ÈáõÍ»Éáí x 4 − 5x 2 + 4 = 0 »ñÏù³é³ÏáõëÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ, ·ïÝáõÙ »Ýù ýáõÝÏódzÛÇ ½ñáÝ»ñÁª

x1 = −2 , x 2 = −1 , x 3 = 1 ¨ x 4 = 2 : л勉µ³ñ, ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ¨ ³µëóÇëÝ»ñÇ ³é³ÝóùÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ï»ñÝ »Ýª (− 2; 0 ), (− 1; 0 ) , (1; 0 ) ¨ (2; 0 ) : 5) ø³ÝÇ áñ f -Á µ³½Ù³Ý¹³Ù ¿« áõñ»ÙÝ ³ÛÝ ³ÝÁÝ¹Ñ³ï ¿, ¨ Ýñ³ ½ñáÝ»ñáí Ãí³ÛÇÝ 111

³é³ÝóùÁ ïñáÑíáõÙ ¿ Ý߳ݳå³Ñå³ÝÙ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñǪ (− ∞; − 2 ), (− 2; − 1) , (− 1; 1), (1; 2 ) ¨ (2; + ∞ ) : ¸Åí³ñ ã¿ ëïáõ·»É« áñ (− 2; − 1) ¨ (1; 2 ) ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ýáõÝÏóÇ³Ý µ³ó³ë³Ï³Ý ¿« ÇëÏ ÙÛáõëÝ»ñáõÙª ¹ñ³Ï³Ý£

6) üáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ ¿ª f ′(x ) = 4 x 3 − 10 x :

ÈáõÍ»Éáí f ′(x ) = 0 ѳí³ë³ñáõÙÁ, ·ïÝáõÙ »Ýù ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁª

x = ± 2,5 ¨ x = 0 : àñáß»Éáí ³Í³ÝóÛ³ÉÇ Ýß³ÝÝ»ñÁ ѳٳå³ï³ëË³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»  ñáõÙ« ·ïÝáõÙ »Ýù« áñ ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áõÙ ¿ − 2,5 ; 0 ,  2,5 ; + ∞  ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ¨   Ýí³½áõÙª − ∞; − 2,5 , 0; 2,5  ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ£ üáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÝ »Ýª   x min = − 2,5 , xmax = 0 , xmin = 2,5 :

[

]

(

]

7) гßí»Éáí ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñáõÙ, ëï³ÝáõÙ »Ýùª

(

) ( 2,5 )= −2,25 ¨ f (0)= 4 :

f − 2,5 = f

²ëí³ÍÁ ѳñÙ³ñ ¿ ·ñ»É ³ÕÛáõë³ÏÇ ï»ëùáí. x

− ∞; 2 , 5

_ 2 ,5

_

2 ,5

2 ,5 ;

0

0

+

2 ,5 ; 0

0

+

0 ; 2 ,5

f '(x)

0

f (x)

_ 2,25

4

_ 2,25

min

max

min

üáõÝÏóÇ³Ý Ý»ñù¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿ ¨ ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ï»ñáõÙ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ݳ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ: üáõÝÏóÇ³Ý í»ñ¨Çó ë³Ñٳݳ÷³Ï ã¿ ¨, ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ: 8) ºñµ x -Á Ó·ïáõÙ ¿ + ∞ -Ç Ï³Ù − ∞-Ç, ýáõÝÏódzÛÇ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ó·ïáõÙ »Ý + ∞ -Ç: y üáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ ݳË

Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³ñÃáõÃÛ³Ý íñ³ Ýß»Ýù (0; 4 ) ,

(− 2; 0 ) , (− 1; 0 ) , (1; 0 )

4

( )

¨ 2; 0 Ï»ï»ñÁ, áñáÝóáõÙ

·ñ³ýÇÏÁ ѳïíáõÙ ¿ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ ³é³ÝóùÝ»ñÇ

(

)

²ÛÝáõÑ»ï¨ Ýß»Ýù ¨ − 2,5 ; − 2,25  2,5 ; − 2,25    Ï»ï»ñÁ« áñáÝù ѳٳå³ï³ë˳ÝáõÙ »Ý ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÝ»ñÇÝ (ÝÏ. 31): ºí,

Ñ»ï:

-2

O 1

-1

í»ñç³å»ë, ѳßíÇ ³éÝ»Éáí ýáõÝÏódzÛÇ í³ñùÁ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñáõÙ ¨ x -Á ± ∞ -Ç Ó·ï»ÉÇë ëï³ÝáõÙ »Ýù ýáõÝÏódzÛÇ Ùáï³íáñ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 31): 112

-2,25 ÜÏ. 31

2

x

úñÇÝ³Ï 2: γéáõó»Ýù f ( x) =

()

ä³ñ½ ¿, áñ D f = R £

8( x + 1) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ: x2 + 8

üáõÝÏóÇ³Ý áõÝÇ ÙÇ³Ï ½ñ᪠x = −1 « ÇëÏ f (0) = 1 £ ²ÛëÇÝùÝ` ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ

) ( )

(

ѳïáõÙ ¿ Ïááñ¹ÇݳïÝ»ñÇ ³é³ÝóùÝ»ñÁ − 1; 0 ¨ 0;1 Ï»ï»ñáõÙ£

(

)

( )

üáõÝÏóÇ³Ý µ³ó³ë³Ï³Ý ¿ - ∞; - 1 ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ ¨ ¹ñ³Ï³Ýª 1; ∞ ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ£ üáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ ¿ª

f ′(x ) = −

8 ( x 2 + 2 x − 8) , ( x 2 + 8) 2

x∈R £

üáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï»ñÁ x 2 + 2 x − 8 = 0 ѳí³ë³ñÙ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñÝ »Ýª

x1 = −4, x 2 = 2 : _

4

_ 4;

f '(x)

0

+

f (x)

_1

2

min

max

x

_

; _4

2

2

2;

0

Èñ³óÝ»Éáí µ»ñí³Í ³ÕÛáõë³ÏÁ ¨ ѳßíÇ ³éÝ»Éáí í»ñÁ µ»ñí³Í ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÁ« ¹Åí³ñ 㿠ϳéáõó»É ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÁ (ÝÏ. 32): y

4

1

2 1 1

x

O 2 ÜÏ. 32

1.

üáõÝÏódzÛÇ á±ñ ѳïÏáõÃÛáõÝÝ»ñÝ áõëáõÙݳëÇñ»ÉÇë ¿ ÏÇñ³éíáõÙ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ:

2.

ƱÝã ù³ÛÉ»ñÇó ¿ µ³Õϳó³Í ýáõÝÏódzÛÇ Ñ»ï³½áïÙ³Ý áõñí³·ÇÍÁ:

лﳽáï»É ýáõÝÏóÇ³Ý ¨ ϳéáõó»É ·ñ³ýÇÏÁ (317-322).

()

317. ³) f x = x 2 + 8 x − 9 ,

()

µ) f x = x 2 + 2 x + 6 , 113

() 318. ³) f (x ) = −2 x + 6 x + 1 , ·) f (x ) = x − 2 x − 3 , Ø 319. ³) f (x ) = e (x − 1), Ø 320. ³) f (x ) = e (x − 2 x + 1), Ø 321. ³) f (x ) = 1 − x , ·) f (x ) = 5 − x + 4 x , ·) f x = 2 − 4 x − x 2 , 3

4

2

x

x

()

Ø 322. ³) f x =

2

¹) µ) µ) µ)

2

¹)

( ) 6(x − 1) ,

·) f x =

µ)

2

x , x −1

x2 + 3

() f (x ) = x + 3 x + 2 , f (x ) = x − 16x : f (x ) = e (x + 2 ): f (x ) = e (x + 6 x + 9 ): f (x ) = x 3 − x , f (x ) = x x + 5 :

¹) f x = − x 2 + 4 x − 8 : 3

4

2

−x −x

2

()

2x , 1 − x2 2x : ¹) f x = 1 + x2 µ) f x =

()

Ø 323. A ¨ B í³Ûñ»ñÇó, áñáÝó ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 50 ÏÙ ¿, ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç ¹áõñë »Ï³Ý »ñÏáõ Ñ»ïÇáïÝ: 5 Å Ñ»ïá Ýñ³Ýù ѳݹÇå»óÇÝ: гݹÇåáõÙÇó Ñ»ïá ³é³çÇÝÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ, áñÁ A -Çó ·ÝáõÙ ¿ñ B , 1 ÏÙ/Å-áí ٻͳó³í: гÛïÝÇ ¿, áñ ³é³çÇÝ Ñ»ïÇáïÝÁ B ѳë³í 50 ñ ßáõï, ù³Ý »ñÏñáñ¹Á ѳë³í A : àñáᯐ ³é³çÇÝ Ñ»ïÇáïÝÇ ëϽµÝ³Ï³Ý ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ: Ø 324. A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇó ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï ÙÇÙÛ³Ýó Áݹ³é³ç ¹áõñë »Ï³Ý »ñÏáõ ³íïáÙ»ù»Ý³ áõ ѳݹÇå»óÇÝ 5 Å Ñ»ïá: A -Çó Ù»ÏÝ³Í ³íïáÙ»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÁ 10 ÏÙ/Å-áí ÷áùñ ¿ ÙÛáõë Ù»ù»Ý³ÛÇ ³ñ³·áõÃÛáõÝÇó: ºÃ» ³é³çÇÝ Ù»ù»Ý³Ý A -Çó Ù»ÏÝ»ñ »ñÏñáñ¹Çó 4,5 Å ßáõï, ³å³ ѳݹÇåáõÙÁ Ïϳ۳ݳñ B -Çó 150 ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³: ¶ïÝ»É A ¨ B ù³Õ³ùÝ»ñÇ ÙÇç¨ »Õ³Í Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ:

114

²é³ç³¹ñ³ÝùÝ»ñ ÏñÏÝáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (325-331).

325. ³)  3   4

x +1

=  4   3

2 x +5

µ)  1 

,

2 x −5

= 35 x −8 ,

9

·) 5 x + 7 = (0,2 )x + 3 ,

¹) 23 x −1 = (0,25)4 x + 6 :

326. ³) 2 x + 3 + 2 x +1 = 80 ,

µ) 5 x +1 + 5 x −1 − 5 x = 105 :

327. ³) 5 x +1 + 32 x + 3 = 5 x + 2 − 9 ⋅ 32 x ,

µ) 3

328. ³) 4 x − 3 ⋅ 2 x + 2 = 64 ,

µ) 81x + 33 + 2 x = 90 :

x

x

3x

+ 9 ⋅ 2 2 x = 4 x + 32 + 3 x :

Ø 329. ³) 18 ⋅  4  − 35 ⋅  2  + 12 = 0 ,

µ) 4

Ø 330. ³) 5 x − 53 − x = 20 ,

µ) 3 x + 3 − 3− x −1 − 8 = 0 :

9

 3

331. ³) 4 x + 10 x − 2 ⋅ 25 x = 0 ,

x −3

− 9 ⋅2 4

x −3

+ 1 =0: 2

µ) 7 2 x +1 + 4 ⋅ 21x − 32 x +1 = 0 :

ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ (332-337).

332. ³) 3x

2

−2x

333. ³)  2  3

< 27 ,

x 2 + x −3

≤ 8 , 27

334. ³) 2 x+1 − 4 x < 1 , Ø 335. ³) 2 Ø 336. ³)

2+ x

− 2 2 − x ≥ 15 ,

1 < 1 , 3 + 5 3 x +1 − 1 x

Ø 337. ³) 5 ⋅ 2 2 x +1 − 21 ⋅10 x > 2 ⋅ 5 2 x +1 ,

µ) 5 x

2

−2x −2

µ)  2 

5

4− x

> 52 x + 3 :

<  5  2

2 x +1

:

µ) 3 ⋅ 9 x ≤ 8 ⋅ 3 x + 3 : x −x µ) 2 − 1 < 6 ⋅ 2 :

µ)

1 ≤ 1 : x+2 2 + 3 2 −1 x

µ) 27 ⋅ 4 x − 35 ⋅ 6 x + 8 ⋅ 9 x ≤ 0 :

¶ïÝ»É ³ñï³Ñ³ÛïáõÃÛ³Ý ³ñÅ»ùÁ (338-339).

+ 3 log 4 3 1 : 32

338. ³) 810,5 log 9 7 + log81 3 ,

µ) 9log 25 5 + log 3

339. ³) 16(log9 45 − 1) ⋅ log11 9 ⋅ log5 121,

µ) 30 − 51+ log 5 4 ⋅ log 2 5 ⋅ log 5 4 :

(

5

)

ÈáõÍ»É Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (340-347).

340. ³) log 3 (2 x + 1) = −1 ,

µ) log 2 (5 x − 6 ) = 6 :

341. ³) log x (3 x − 2 ) = 2 ,

µ) log x (4 x − 3) = 2 :

342. ³) log 52 x + 3 log5 x − 1 = 0 , 2

µ) lg 2 x − lg x − 2 = 0 :

115

343. ³) (lg x + 4 )(2 − lg x ) = 5 , 344. ³) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 1) = 3 , Ø 345. ³) x lg x +1 = 100 , 2

* 346. ³) 4log 4 x + x log 4 x = 8 , Ø 347. ÈáõÍ»É Ñ³Ù³Ï³ñ·Á .

 3 x ⋅ 2 y = 576 ³)  , log 2 ( y − x ) = 4

1 + 2 =1: 5 + lg x 1 − lg x µ) log 3 ( x + 4 ) − log 3 ( x − 4 ) = 2 : µ)

µ) 8 ⋅ x log 8 x = x 2 : µ) 5

log 52 x

+ x log 5 x = 10 :

lg( xy ) = 3 : lg x ⋅ lg y = 2

µ) 

ÈáõÍ»É ³Ýѳí³ë³ñáõÙÁ (348-356)

348. ³) log0, 2 (2 x − 5) ≥ 0 ,

µ) log 3 (2 − x ) ≤ 1 :

349. ³) log 5 x − 2 log 25 x > 2 ,

µ) log 5 x + log 1 x < 1 :

350. ³) log8 (x − 4 x + 3) < 1 ,

µ) lg 2x + 4x + 10 > lg x2 − 4x + 3 :

351. ³) lg 2 x − 2 lg x − 8 ≤ 0 ,

µ) log 22 x − 8 log 2 x + 12 < 0 :

352. ³) log 02,5 x + log 0,5 x − 2 ≥ 0 ,

µ) log02,5 (3x − 1) > log0,5 (3x − 1) + 6 :

2

Ø 353. ³)

4 ≤ 1, log 3 x + 2

5

(

µ)

25

2

)

(

1 ≥ 3: log 2 ( x + 3)

Ø 354. ³) log 0,5 (x + 1) > log 2 (2 − x ),

µ) log 2  4  > log 2 (2 − x ) :

Ø 355. ³) log 49 ( x + 3) − log 7 ( x + 2 ) < 0 ,

µ) log 4 ( x + 12 ) ≥ log 2 x :

1 1 356. ³) log (3 − 2 x ) ≤ 4 − log (3 − 2 x ) , 5 5

)

 x +3

µ)

1 1 − 0, 4 = 0 , µ) 5 > −1, 5 = −1 ,

·) 8 > 8, 8 = 8 ,

µ) 9 < 9, 9 = 9 :

¶ï»ù ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ ¨ Ó¨³Ï»ñå»ù ÅËïáõÙÁ (358-360):

358. ³) Î³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃÇí ½áõÛ· ¿ ϳ٠ϻÝï: µ) Î³Ù³Û³Ï³Ý Çñ³Ï³Ý ÃÇí é³óÇáÝ³É ¿ ϳ٠Çé³óÇáݳÉ: ·) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 3-Ç ¨ 5-Ç: ¹) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ µ³Å³ÝíáõÙ ¿ 44-Ç ¨ ãÇ µ³Å³ÝíáõÙ 11-Ç:

359. ³) Î³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ é³óÇáÝ³É ÃÇí ¿: µ) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ³ÙµáÕç ÃÇí, áñÇ Ñ³Ï³¹³ñÓÁ é³óÇáÝ³É ÃÇí ã¿: 116

·) Î³Ù³Û³Ï³Ý µÝ³Ï³Ý ÃíÇ Ñ³Ù³ñ ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ ¹ñ³ÝÇó Ù»Í µÝ³Ï³Ý ÃÇí: ¹) ¶áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ µÝ³Ï³Ý ÃÇí, áñÁ ÷áùñ ¿ Ùݳó³Í µÝ³Ï³Ý Ãí»ñÇó:

360. ³) [ a, b] ѳïí³ÍáõÙ áñáßí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz áõÝÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñ: µ) [ a, b] ѳïí³ÍáõÙ áñáßí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý ýáõÝÏódz Çñ ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ѳïí³ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõ٠ϳ٠ٳùëÇÙáõÙÇ Ï»ïáõÙ: ·) [ a, b] ѳïí³ÍáõÙ áñáßí³Í Ï³Ù³Û³Ï³Ý ³ÝÁݹѳï ýáõÝÏódz Çñ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ ÁݹáõÝáõÙ ¿ ѳïí³ÍÇ Í³Ûñ³Ï»ï»ñáõ٠ϳ٠ÙÇÝÇÙáõÙÇ Ï»ïáõÙ: Ø 361. Ò¨³Ï»ñå»ù Ñ»ï¨áõÃÛ³Ý Ñ³Ï³¹³ñÓÝ áõ ѳϳ¹ÇñÁ ¨ å³ñ½»ù ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ. ³) ºÃ» a > 1 ¨ b > 0 , ³å³ a b > 1 : µ) ºÃ» a > 1 ¨ b > 1 , ³å³ log a b > 0 : ·) ºÃ» a > 1 , ³å³ y = a x ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿: ¹) ºÃ» a > 1 , ³å³ y = log a x ýáõÝÏóÇ³Ý ³×áÕ ¿: ») ºÃ» ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ x 0 Ï»ïáõÙ ½ñá ¿, ³å³ x 0 Ï»ïÝ ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ ÏñÇïÇÏ³Ï³Ý Ï»ï ¿: ½) ºÃ» ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÝ x 0 Ï»ïáõÙ ½ñá ¿, ³å³ x 0 Ï»ïÝ ³Û¹ ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï ¿:

362. ¶ï»ù ³ëáõÛÃÇ ×ßÙ³ñï³ÛÇÝ ³ñÅ»ùÁ. ³) a n = 12 − n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: µ) a n =

2n + 5 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ë³Ñٳݳ÷³Ï ¿: n +1

2 ·) a n = 3 − n ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ Ýí³½áÕ ¿: 2 ¹) a n = (n − 5) ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³×áÕ ¿:

») a n =

n2 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ ³Ýí»ñç ÷áùñ ¿£ 2n 2 + 1

½) a n =

n2 ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ½áõ·³Ù»ï ¿£ 2n 2 + 1

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ (363-367).

363. ³) y = x 3 − 7 x15 + 1 ,

µ) y = x 23 − 23 x 7 + 11x : 117

2 364. ³) y = x − 1 , x+3 365. ³) y = sin 3x − 2 ,

x µ) y = tg 2 x + 4 :

366. ³) y = x 7 + ln x ,

µ) y = cos x − log 2 x :

367. ³) y = e x (x 2 − 2 x + 2 ) ,

µ) y = 2 x − 4 − x :

µ) y = x 2 − 1 :

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ³Í³ÝóÛ³ÉÁ Ýßí³Í Ï»ïáõÙ (368-370).

368. ³) f ( x ) = 2 x − 3 , x0 = 1 , x +1

µ) f ( x ) = 12− x ,

369. ³) f (x ) = 7 sin x + 3 cos x − 7, Ø µ) f (x ) = sin 4

x x − cos 4 + 11, 2 2

x0 =

π, 2

x0 =

x0 = 1 :

x +3

5π : 6

370. ³) f (x ) = (x 2 − 2 x + 3)sin 2 x, x0 = 0 ,

(

)

µ) f ( x ) = x + 3x + 15 ⋅ tg x − 5, 2

x0 = 0 :

371.¶ïÝ»É f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇ ³ÛÝ Ï»ï»ñÇ ³µëóÇëÝ»ñÁ, áñáÝóáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÁ ½áõ·³Ñ»é ¿ Ýßí³Í áõÕÕÇÝ. ³) f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 5, µ) f (x ) = 2e − x + 1,

y = 24 x + 1 ,

y = −2 x + 4 :

¶ïÝ»É f (x ) ýáõÝÏódzÛÇ ·ñ³ýÇÏÇÝ Ýñ³ x0 ³µëóÇë áõÝ»óáÕ Ï»ïáõÙ ï³ñí³Í ßáß³÷áÕÇ Ñ³í³ë³ñáõÙÁ (372-373).

372. ³) f (x ) = x 2 − 5 x + 7, x0 = 2 ,

µ) f (x ) = 2 + x − x 2 ,

373. ³) f ( x ) = 12 , x0 = 1 , x

µ) f ( x ) =

x0 = −1 :

x + 1, x0 = 4 :

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ÙáÝáïáÝáõÃÛ³Ý ÙÇç³Ï³Ûù»ñÁ (374-375).

374. ³) f (x ) = x 3 − 3x 2 + 4 ,

µ) f ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 15 x − 2 :

375. ³) f ( x ) = 2 x − 1 , x−2

µ) f ( x ) = 1 − x + x 2 :

376. ³) f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9 x + 10 ,

µ) f ( x ) = ( x − 4 )2 (x − 1) :

377. ³) f ( x ) = 8 x − 42 , x

µ) f (x ) = 2 x + 12 :

Ø 378. ³) f (x ) = 5 x + 52− x ,

µ) f ( x ) = 6 x + e −6 x :

2

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ ¿ùëïñ»ÙáõÙÇ Ï»ï»ñÁ (376-378).

118

1+ x + x

x

¶ïÝ»É ýáõÝÏódzÛÇ Ù»Í³·áõÛÝ ¨ ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÝ»ñÁ Ýßí³Í ÙÇç³Ï³ÛùáõÙ (379-381).

379. ³) f (x ) = 2 x3 − 3x 2 − 12x , [− 2; 1],

µ) f (x ) = x 3 − 3 x 2 − 5 , [1; 4]:

2

380. ³) f ( x ) = x − 4x , [− 3; 3] , µ) f (x ) = 4 x − 2 x 2 − 5 , [0; 2] :  π π  381. ³) f ( x ) = x + sin x , 0;  , ص) f (x ) = sin 2 x + 2 cos x ,  ; π :  2 2  382. 26 -Á Ý»ñϳ۳óñ»ù »ñÏáõ áã µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáí, ³ÛÝå»ë, áñ ³Û¹ Ãí»ñÇ 4

2

4

³ñï³¹ñÛ³ÉÁ ÉÇÝÇ Ù»Í³·áõÛÝÁ:

383. 18 -Á Ý»ñϳ۳óñ»ù »ñÏáõ áã µ³ó³ë³Ï³Ý Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáí, ³ÛÝå»ë, áñ ³Û¹ Ãí»ñÇ ù³é³ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: Ø 384. 64 -Á Ý»ñϳ۳óÝ»É »ñÏáõ Ãí»ñÇ ·áõÙ³ñáí ³ÛÝå»ë, áñ Ýñ³Ýó ù³é³-ÏáõëÇÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ ÷áùñ³·áõÛÝÁ: Ø 385. ¶ïÝ»É ³ÛÝ ¹ñ³Ï³Ý ÃÇíÁ, áñÇ ù³é³Ïáõëáõ »é³å³ïÇÏÇ ¨ Ëáñ³Ý³ñ¹Ç ï³ñµ»ñáõÃÛáõÝÁ ٻͳ·áõÛÝÝ ¿: Ø 386. àõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛ³ÝÁ Ý»ñ·Í³Í ¿ áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ, áñÇ »ñÏáõ ·³·³ÃÝ»ñÁ ·ïÝíáõÙ »Ý Ý»ñùݳÓÇ·Ç íñ³, Ù»Ï³Ï³Ý ¿ç»ñÇ íñ³: ¶ïÝ»É áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý Ù³Ï»ñ»ëÇ Ù»Í³·áõÛÝ ³ñÅ»ùÁ, »Ã» »é³ÝÏÛ³Ý Ý»ñùݳÓÇ·Á 8 ¿, ÇëÏ ëáõñ ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó Ù»ÏÁª 60o :

119

ä³ï³ë˳ÝÝ»ñ 1.³) f 7   f 8 µ) f 0,3  f 0,4  ·) f  24   f  23 ¹) f  5,5  f  5,4  ») f  52 

 f 52  ½) f  7,3  f 8 2. ³) f 13  f 12 µ) f 0,02  f 0,01 ·) f  4   f  10 

¹) f  9,4   f  9,5 ») f  73  f 73 ½) f  5,9   f 6  3. ³) 3,4 2 , 3,4 3 , 3,4 5 µ) 0,7 9 , 0,7 4 , 0,7 ·) 2 57 , 2 55 , 2 54 ¹) 9 8 , 9 84 , 9 87 5. ³) 0;   µ)  ;0 ·)  ;0   0;   ¹) 0 »)  ;   ½)  ;   ¿)  Á)  2;   Ã)  ;5 6. ³) 1 , 1 µ) 3 ·) 7 , 7 ¹) 0 ») 1 , 0 , 1 ½) 1 , 0 , 1 7.³)  2;2  µ)  ;0,5  0,5;   ·) 0,5;   8. ³) a 2 3  a1 3b1 3  b1 3 µ) a  a1 2b1 2  b ·) x1 3  2 9. ³) f 15  f 14  µ) f 5,3 

 f 5,4  ·) f 0   f 8,3 10. ³) f 9   f 7  µ) f 7,09   f 7,1 ·) f  22   f  20  ¹) f  3,2   f  3,1 ») f  23  f 23 ½) f  8,1  f 6,2  11. ³) 0;   µ)  ;   ·) 0;   ¹) 0;   12. ³) 3;   µ)   2   2;   ·)  ;0,5  0,5;1  0,5;   ¹)  ;1   1;4   4;   14.³) 49 µ) 16 ·) 125 ¹) 27 ») 512 ½) 10000 15. 21 16. 19 17.³) 0;   µ) 0;   ·)  ;0  ¹)  4;   »)  ;5 ½)  ;1 18. ³)  , »ñμ a  1 ,  , »ñμ 0  a  1

µ)  , »ñμ a  2 ,  , »ñμ 1  a  2 ·)  , »ñμ a  1 ,  , »ñμ 1,5  a  1 ¹)  , »ñμ a   ;1  1;   ,  , »ñμ a   1;0   0;1 19.³) 1 µ) 1 ·) 0 20.³) 1100000 µ) 210000

·) k ï³ñÇ Ñ»ïá ·áõÙ³ñÁ ÏÉÇÝÇ 1000000  1,1k ¹) 4 21. ³) 1;   , ٻͳ·áõÛÝ ³ñÅ»ù

ãáõÝÇ, ÷áùñ³·áõÛÝÁ` 1 µ) 0;1 , ٻͳ·áõÛÝÁ` 1 , ÷áùñ³·áõÛÝ ³ñÅ»ù ãáõÝÇ ·) 0; 8 3 , ٻͳ·áõÛÝÁ` 8 3 , ÷áùñ³·áõÛÝÁ` 0 23. ³) 3  243 x µ) 18  48 x ·) 1,25  50 x ¹) 40,5  288 x ») 3  81x ½) 25  125 x 24. ³) 47 µ) 7 ·) 23 37. ³) 18 µ) 76 ·) 527 26. ³) 1 3 µ) 0,4 ·) 0,75 ¹)  1 6 27. ³) 5 µ) 1 ·) 0,5 ¹) 2 ») 4 ½)  1 3 28. ³) 2 µ) 0 ·) 11 ¹) 12 ») 1 ½) 3,5 29. ³)  µ)  ·)  ¹)  30. ³) 5 µ) 1 ·) 6 ¹) 5 3 31. ³) 1 µ) 5 ·) 1 ¹) 1 ») 3 ½) 3,5 32. ³) 2 µ) 3 ·) 3 ¹) 2 33. ³) 1 µ) 1 ·) 3 ¹) 2 34. ³) 3 µ) 0,5 ·) 3 ¹) 3 35. ³) 13 µ) 2 ·) 3 ¹) 13 36. ³) 4 µ) 1 ·) 1 ¹) 3 37. ³) 6 µ) 1 ·) 1 ¹) 1 38.³) 0 µ) 1 ·) 2 ¹) 4 ») 2 , 2 ½) 2 39.³) 1,6;   µ)  1,5;   ·) 0;1 40.³)  ;0,5

 2; 3 7 ·)  7; 5 3  2;   41. ³)  ;4 µ)  1;   ·)  3;   ¹)  ;3 »)  2;   ½)  3;   ¿)  ;2  Á)  6;   Ã)  ;6  42. ³)  ;3 µ)  1;   ·)  4;   ¹)  ;1 »)  ½)  43. ³)  ;2  µ) 36 7 ;   ·) 10;   ¹)  ;3 44. ³)  ; 4 3  1;   µ)  ;2,5  1;   ·) 0;1,2 ¹)  ;12    2;   »)  ½)  ;5  5;   45. ³) 1;   µ)  ;3 ·)  1;   ¹)  3;   46. ³) 2;   µ)  2;   ·)  ;1 ¹)  ;3 47. ³) 2;   µ) 2;   ·) 3;   ¹)  ;2  48. ³) 6;   µ)  9;   ·)  2;   ¹)  ;6 49. ³)  ;2  2;   µ)  2;4  ·)  ;2  2;   ¹) 3;5 50. ³)  ;1 µ) 0;   ·)  1;2  ¹)  ;2  2;   51. ³) 2;4  µ)  ;2  0;   52. 2Å µ)

53. 4Å 55. 6ÏÙ 55. ³) 4 µ) 4 ·) 3 ¹) 3 56. ³) 0,4 µ) 1,5 ·) 7 3 ¹) 2,5 57. ³) 144 µ) 81 ·) 4 ¹) 64 58. ³) 1,5 µ) 1,5 ·) 1,5 ¹) 0,75 59. ³) log8 5 µ) log 0,5 3 ·)  lg 6

¹) log 2 9  1 60. ³) 6 µ) 0,2 ·) 25 ¹) 5 ») 5 ½) 0,25 61. ³)  ;3  3;   µ)  1;1 ·)  ;3  2;   62. ¶ÇÝÝ Çç³í 4% -áí 63. ¶ÇÝÝ Çç³í 4% -áí 64. ³) 2 µ) 2 ·) 3 ¹) 2 ») 3 ½) 2 65. ³) 1,5 µ) 4 3 ·) 2 ¹) 2 66. ³) 2 µ) 0,5 67. ³) 0,5 µ) 2 ·) 1,125

120

¹) 4 3 68. ³) 2  1,5  lg a  lg b  0,5  lg c µ) 3  4 lg a  1,5  lg b  2 lg c ·) 3  2 lg a 

0,5  lg b  3 lg c ¹) 1  5 lg a  0,5  lg b  2 lg c ») 2  7 lg b 3  0,5  lg c ½) 1  2 lg a   3 lg b 7  3 lg c 70. ³) 2 µ) 2 ·) 1 ¹) 2 ») 2 ½) 12 71. ³) 0,4 µ) 2 3 ·) 100 ¹) 24 72.³) 24 µ) 890 ·) 125 ¹) 0,1 73.³) 2 µ) 5 ·) 1 ¹) 0,25 ») 3 ½) 1 74.³) x  0 µ) x  0 ·) x  0 ¹) x  0 75. ³) lg q µ) lg q 76. ³) 41 µ) 44 9 ·) 22 77. ³) 1,2;   µ)  ;2 



  7 ; 

·)  ; 7 

¹)

 ;1  1;  

»)

 2,5;1

½)

0,5; 3

78. ³) log 3 7  log 3 5

3

µ) lg 0,7  lg 0,71 ·) log1 3 6  log1 3 4 ¹) log 0, 4 3  0 ») log 4 3  0 ½) log

3

2  1 79.³) 

µ)  ·)  80. ³)  , »ñμ a  1 ,  , »ñμ 0  a  1 µ)  , »ñμ a  2 ,  , »ñμ 1  a  2 ·)  , »ñμ a  1 ,  , »ñμ 1  a  2 81. ³)  µ)  ·)  ¹)  82. ³) 2;3 -áõÙ` μ³ó³ë³Ï³Ý, 3;   -áõÙ` ¹ñ³Ï³Ý µ) 1,5;2 -áõÙ` ¹ñ³Ï³Ý, 2;   -áõÙ` μ³ó³ë³Ï³Ý ·)  ;2 -áõÙ ¨

2;   -áõÙ` ¹ñ³Ï³Ý,  2; 3 -áõÙ ¨  3;2 -áõÙ` μ³ó³ë³Ï³Ý 84.³) 2;   , 2 µ) 0;   , 0 ·)  1;   , 1 85.³)  ;1 , 1 µ)  ;1 , 1 ·)  ;1 , 1 86.³) 1;2   2;5 µ)  3;1   1;2  ·) 2;   ¹)  4;2   2;3 ») 0;1  1;7  ½) 4;5  5;   88.³) 26 µ) 3,55 ·) 3 ¹) 3

89.³) 2 , 4 µ) 1 ,  1 7 ·) 13 , 6 ¹)  10 3 , 2 90.³) 11 µ) 47,5 ·) 20 ¹) 37,4 91.³)  µ) 5 ·) 0 ¹)





41  3 2 , 2 92.³) 0 µ)

2 ·) 6 ¹) 2 93. ³) 1 , 9 µ) 5 ·) 2 94. ³) 0,01 ,

1000 µ) 101 , 1001 ·) 0,25 , 0,5 ¹) 100 , 108 95. ³) 1 3 , 27 µ) 11 ·) 1 6 , 6 7 3 ¹) 2 96. ³) 10 , 10 3,5 µ) 10 , 10 1, 4 ·) 9 , 311 6 ¹) 0,25 , 8 97. ³) 5 µ) 4 ·) 81 ¹) 8 98.³) log 3 5  2  4 µ) lg 2  3 2 ·) log 4 6  1 5 ¹) log 2 7  5 10 99.³) 81 , 1 3 µ) 100 ,

0,1 ·) 125 , 0,2 ¹) 81 , 1 3 100.³) 0 µ) 1 , 2 101. ³) 2; 32  , 32; 2  µ) 8; 0,25 ·) 7;9  , 9;7  ¹) 15;10 104. ³) 13;   µ) 5 2 ; 23 9 ·) 5;5,04 ¹) 31;   »)  1;6 ½) 8;8,2





   69  7 2 ;1 µ)  ;4 

¿) 7 3 ;  Á)  1,75;  Ã) 1,5;19 12 105.³)  8; 7  69 2 

 2;   ·)  ; 316 63   4;   ¹) 1 3 ;1,5 106. ³) ·) 0; 4 3  8 3 ;4  ¹)  5;1  4;8 107. ³) 2;   µ) 108. ³) 4;   µ) 4;5 ·) 0;2,5  4;6,5 ¹) ·)

 3;11 3 µ)  5 7 ; 25 7  5;   ·) 2;   ¹) 5;   0;   109. ³) 0;2 1,25   2;   µ) 6;36 2 110. ³) 0;0,125  4;   µ) 1 27 ;3 

0,1;100  103 ;105  ¹) 0;1 16  2 2 2 ;2 2  0,1;100 111. ³) 5 3 ;2 µ) 3,5;4 112. ³) 1 3

·) µ) 4 33 ·) 38 9 ¹) 41 30 ») 497 198 113. 0,5 1141. ³) Î µ) Î ·) Î ¹) Î ») Î ½) Î 115. ³) Ö µ) Î ·) Ö ¹) Î 116. ³) Î µ) Î ·) Ö ¹) Ö ») Ö 117. ²ëáõÛà ¿ ·)-Ý 118. ³) 5  2 , Ö, 5  2 ¨ 5  2 , Î µ) 3  3 , Ö, 3  3 ¨ 3  3 , Î ·) 7  9 , Ö, 7  9 ¨ 7  9 , Î ¹) 8  8 , Ö, 8  8 ¨ 8  8 , Î 119. ³) Ö µ) Î 120. ³) x  1 µ) x  5 ·) x  7 ¹) x  4 ») x  19 ½) x  21 122. ³) AB , BC , AC ÏáÕÙ»ñÇó áñ¨¿ »ñÏáõëÁ ѳí³ë³ñ ã»Ý µ) AB , BC , AC ÏáÕÙ»ñÇó Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõëÝ Çñ³ñ ѳí³ë³ñ ã»Ý ·) ѳݹÇå³Ï³Í ÏáÕÙ»ñÇó áñ¨¿ »ñÏáõëÁ ½áõ·³Ñ»é ã»Ý ¹) ѳݹÇå³Ï³Í ÏáÕÙ»ñÇó Ï³Ù³Û³Ï³Ý »ñÏáõëÁ ½áõ·³Ñ»é ã»Ý 123. ³) ¸³ÑÉÇ×áõ٠ϳ ¹áõé, áñ ÷³ÛïÇó ã¿ µ) ·áÛáõÃÛáõÝ áõÝÇ μ³Ï, áñáõÙ Ù»ù»Ý³ Ï³Ý·Ý³Í ã¿ ·) μáÉáñ ͳÕÇÏÝ»ñÁ ·³ñݳÝÁ ͳÕÏáõÙ »Ý ¹) Ï³Ù³Û³Ï³Ý Í³ÕÇÏ ³ßݳÝÁ ͳÕÏáõÙ ¿ 125. μ) 126. ¹) 128. ³) Î µ) Ö ·) Î ¹) Î 1

3-ñ¹ ·ÉËÇ å³ï³ë˳ÝÝ»ñáõÙ §Ö¦ ï³éÁ Ý߳ݳÏáõÙ ¿ §×ßÙ³ñÇï ¿¦, ÇëÏ §Î¦ ï³éÁ` §Ï»ÕÍ ¿¦ 121

133. ³) Ö µ) Î ·) Î ¹) Î ») Î ½) Ö, ÷áËѳϳ¹³ñÓ »Ý. ³)-Ý ¨ ¹)-Ý, μ)-Ý ¨ ½)-Ý, ÷áËѳϳ¹Çñ »Ý. ³)-Ý ¨ μ)-Ý, ¹)-Ý ¨ ½)-Ý 134. ³)  µ)  ·)  ¹)  135. ³)  µ)  ·)  ¹)  »)  ½)  136.³)  µ)  ·)  ¹)  137. úñÇݳÏ` ³) a  b  0 µ) 0  x   ·) a  1 , b  1 ¹) x  1 138. úñÇݳÏ` ³) ac  0 µ) a  0 139. ³) ²Û¹ ·³·³ÃÇÝ ÏÇó ÏáÕÙ»ñÁ ÉÇÝ»Ý Çñ³ñ ѳí³ë³ñ µ) Ýñ³ ѳݹÇϳϳó ³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ·áõÙ³ñÁ ÉÇÝÇ 180 ·) Ýñ³ ѳݹÇϳϳó ÏáÕÙ»ñÇ ·áõÙ³ñÝ»ñÁ ѳí³ë³ñ »Ý ¹) Ýñ³ ï³ñμ»ñÇãÁ ÉÇÝÇ ¹ñ³Ï³Ý 140. 20ëÙ 141. 21ëÙ 143. ³) 26 µ) 161 ·) 4n 2  2 ¹) 9 ») 2m 2  2k 2 ½) 4m  2 144.³) 6 µ) 20 ·) 257 85 ¹) 4,5 145. ³) 2n µ) 2n  1 ·) n 2 ¹) 2 n »)  1n 1 ½) an  8 ,

n  N 148. 110 149. 5,6 153.³) 18 µ)  162. ³) n! µ) n  1! 163.³) 3n µ) 3n 170.³) 3 µ) 7 171.³) 9 µ) 10 , 0,0001 172.³) 7 µ) 10 174. ³) 73 µ) 14 176. ³) 5 , 95 µ) 10 , 100 180. ³) 3 µ) 1 181. ³) 6 µ) 4 188. ³) 2 µ) 2 189. ³) 1 µ)  1 3 192. ³) 10 µ) 6 ·) 3 193.³) 1 3 µ) 0 ·) 1 ¹) 2 ») 0,25 ½) 0,5 195.³) 1 µ) 2 ·) 0 ¹) 3 ») 1 ½) 0 198. ³) 1 e µ) e 2 ·) 3e ¹) e 2 199.³) e µ) e , e 2 200.³) 1 ,  10 7 µ) 0 201.³) 0,4 µ) 0,5 ·) 5 ¹) 1,5 202. ³) 2 µ) 2,5 ·) 0,5 ¹) 7 204. ³) 0 µ) 0 ·) 1 ¹) 0,5 205. ³) 1 µ) 3 ·)





17

206. 1  21 2 207. ³) 7 µ) 1 208. ³) 1 , 3 , 4 µ) 2 , 1 , 2 211. ³) 2,32 µ)  2 19 ·) 0,25 ¹) 1  3 212. ³) 2 xh  h 2 µ) 3 x 2 h  3 xh 2  h 3 ·)  h xx  h  ¹) 215. 12 xh  6h

2

xh  x

216. ³) 1,5 µ) 6 217. ³) 5 µ) 2 218. ³) R µ) k ;  k  1 , k  Z ,

ÙÇç³Ï³Ûù»ñÇ ÙdzíáñáõÙÁ ·)  1;0   0;   ¹)  3;1 221. 18 222. 18 , 20 , 24 223. ³) 6 Ù/íñÏ, µ) 5 Ù/íñÏ ·) 4,4 Ù/íñÏ 224. ³) 16 Ù/íñÏ µ) 13,75 Ù/íñÏ ·) 13,3 Ù/íñÏ 225. ³) 6 Ù/íñÏ, 6 Ù/íñÏ µ) 6 Ù/íñÏ, 6 Ù/íñÏ 226. ³) 10 Ù/íñÏ, 10 Ù/íñÏ µ) 7 Ù/íñÏ, 4 Ù/íñÏ 227. ³) 14 , 26 µ) 23 , 20 228. ³) 97, 96,75 µ) 82, 81 229. 4,5 ųÙ, 3,6 ų٠230. 1 ų٠40 ñáå» 231. ³) 0 µ) 0 ·) 0 232. ³) 3 µ) 3 ·) 3 233. ³) 15 µ) 18,5 ·) 65 234.³) 4 µ) 1 ·)  1 9 235.³) 8 µ) 15 ·) 1 236.³) 3 µ) 48 ·) 27 237.³) 1 µ)  1 9 ·) 0,04 238.³) 4 Ù/íñÏ µ) 8 Ù/íñÏ ·) 0 Ù/íñÏ 239. ³) 0,5 Ù/íñÏ µ) 0,25 Ù/íñÏ ·) 1 6 Ù/íñÏ



  6 ;  µ)  3;1  1;3

242. ³) log 2 6; 3

240.³) 0,5 µ) 0,25 ·) 1 6 241. ³)  ; 6 

µ) log 5 2; 0,5 243. ³) 2 x  5 µ) 3  2 x 244. ³) 4 x  6 x  2 µ) 3 x  5 x 245. ³) 2 3

 3x 2 µ)  5 x 2  0,5

2

x 246. ³) 1  1 x 2 µ) 2  0,5

4

x

x  2 x 2 247. ³) 3,5 x 2,5  5 x1,5

µ)  2 x 2  2 x 248. ³)  3 x 2  0,5 x1,5 µ) 3 x  2  0,5

x 249. ³) 4,5 µ) 4,3125

250. ³) 8,5 µ) 24 251. ³) 2 , 3 µ) 2 ,  2 ·)  1 3 ¹) 0,4 252. ³)  ;3  7;  

x  7,25  0,5 , x   7;5 µ)  x  7,25  0,5 , x   7;1

µ)  ;2  2;   253. ³) ·) log 2  x  x 2  4   1 ,   3x 2  4x

4 3

 14x 2,5  0,5 x

µ)

x  2; 2,5

¹) log 3  x  x 2  4   log 3 2 , x  2;10 3  

1,25 x 0, 25  x 4 3

·)





122

8

 4 x 5 3  0,1x 0,9

255. ³)

 12 x 5



¹)  1,2 x 1, 2  5 6 x 7 6



256. ³) 1 1  x 2

 x  1 257. ³) 4 x  6 x µ) 3x  1 2 x x  258. ³) 2 x  1 x µ) x  3 x  2 x  x  1  15 x  1  x  259. ³)  5 x  6  2 x 2

µ) 2 x 2  4 x  4 µ)

¹)

0,5

µ) 0,5 x 0,5  x 4 3 ·)  0,5 x 1,5  1 3 x 4 3

 6 x

x 1  

254.³)

2

3

3 2

2

3

4

4

2

2

2

2

260. ³) 484 x  2 11 µ)  303  2 x 14 ·) 92  x 10 ¹)  12x  113 »)  2005 x  111





½) 361  2 x 19 261.³) 1,25 µ) 5 262.³) 1 µ) 0,5 263.³) 1  5 2 µ) 1  3 ·)  1  2 ¹) 2  2 264. 4 ÏÙ/Å, 6 ÏÙ/Å 265. 40 ÏÙ/Å, 60 ÏÙ/Å 266. ³) 1,5 x 0,5  2 µ)  x1,5 ·)

3x 2  4 x x  1





2

¹)

x 1

267. ³) cos x  e x µ)  sin x 

1 1 ·) 5 x ln 5  x ln 7 cos 2 x

x2  2x 2 x x 1 1 1 1 ») 4,1  x 3,1  sin x ½)  sin x  e x 268. ³) 4 cos 4 x µ)  sin x ·) ¹)  2 x sin x cos 2 x  12 30 5    ¹)  269. ³) 10 cos 5 x   µ) 2 sin   2 x  ·) ¹)  2 2 2 4 cos 3 x  1 sin 4  5 x  sin x  8  1 1 x 3 270.³) 2e 2 x  1 µ)  2  x ln 2 ·) ¹)  1 271.³) cos  ln x  1 µ) 5e 5 x  x  2 ln 5 3x  1 4 4 1 1 1 2 ·)  2 sin 2 x  3  ¹)  4  x ln 4 272. ³) ln x µ)  x ln 3 x  1 ln 2 sin 2 5  x  cos 2 2 x

3x ex 273. ³) 10 µ) 24 ·) 2 ¹)  2 2 274. ³) 1 µ) 1  3 x  ln 3  ln x ¹) x x e 1 277. ³)  6 µ) 3  4 ·)  4 ¹) 0 ») arctg1,5 ½)  4 278. ³) 4 , 2 µ) k ·)   12  ·)

k ¹) k 2 279. ³) 1) x4 2) x2 , x4 3) x5 4) x3 5) x1 µ) 1) x3 2) x3 , x4 3) x1 4) x5 5) x2 280.³) y  4  2 x µ) y  3 x  1 ·) y  2  x ¹) y  3 x  2 ») y  0 ½) y  2 281.³) y  y  4 x  3  4 3 µ) y  4 ·) y  3ex  2e ¹) y  ex 282. ³) 0 µ) 0 283. ³) 0;2  ,

  4 8 ;0 , 0; 2 4    8 ·) 0;3 ,  1;0 ¹) 0;1  log 7 e , 7  7 ln 7;0 284. ³)   ;1 -áõÙ ,  1;  -áõÙ µ)   ; 4 -áõÙ,   4;  -áõÙ ·)   ;2 -áõÙ,  2;  -áõÙ ¹)   ;0,5 ¨ 0,5;2,5 -áõÙ,  2,5;4,5 -áõÙ ¨ 4,5;  -áõÙ 285. ³) 0,75 µ) 1,5 2;0

µ)

·) 0 , 1 ¹) 0 , 3 ») 1 , 0 ½)  1 3 , 3 286. ³)  2  k µ) k ·) k ¹) k 2 ») 0 ½) 0

287. ³)   ;   -áõÙ µ)   ;   -áõÙ ·)   ;4 -áõÙ,  4;   -áõÙ ¹)   ;3 -áõÙ,  4;   -áõÙ 288. ³)   ;1 -áõÙ ¨ 1;   -áõÙ,   1;0 -áõÙ ¨ 0;1 -áõÙ µ)   ;0,5 -

áõÙ ¨ 0,5;  -áõÙ,   0,5;0 -áõÙ ¨ 0;0,5 -áõÙ ·)   ;4  -áõÙ ¨  4;   -áõÙ ¹) 

 ;3,5 -áõÙ ¨  3,5;   -áõÙ 289. ³)   ;3 -áõÙ ¨ 1;   -áõÙ,   3;1 -áõÙ µ)   ;1 -áõÙ ¨ 3;   -áõÙ,   1;3 -áõÙ ·)   ;2 -áõÙ,  2;   -áõÙ ¹)   ;3 -áõÙ ¨ 0;3 -áõÙ,   3;0 -áõÙ ¨ 3;  -áõÙ 290. ³)   ;11  145 -áõÙ ¨  11  145 ;  -áõÙ, 11  145;11  145  -áõÙ µ)   ;5 -áõÙ ¨ 3; -áõÙ,   5;3 -áõÙ ·)   ;3  17  -



   áõÙ,  1  13  2 ;1  13  2 -áõÙ 294. ³) x

 

 







áõÙ ¨  3  17 ; -áõÙ, 3  17 ;3  17 -áõÙ ¹)   ; 1  13 2 -áõÙ ¨ 1  13 2 ; max

 2 µ) xmin  1,5 ·) xmax  1 ¹) xmax  2

295. ³) 0 µ) 0 , 0,25 ·) k ,   3  2k ¹)  1k 1 6  k 296. ³) xmin  1 µ) xmax  4 ·) xmax  3, xmin  1 ¹) xmin  1, xmax  0, xmin  3 297. ³) xmax  1, xmin  1 µ) xmax   2 , xmin  2 ·) xmin  6, xmax  4 ¹) xmax  3, xmin  1 298. ³) 5, 1,

ymin  0,3 , ymax  1,5 µ) 2, 6, ymin  0,5 , ymax  1 6 ·) 0, ymax  3 17 ¹) 0, ymin  123

  1 3 299. ³) a  3, b  24 µ) a  12, b  8 300. ³) 2, 1 µ) 2, 12 301. ³) 1 3 , 5 µ) 5 3 , 3 5 302. ³) 5, 4 µ) 2, 4,25 ·) 5, 4 ¹) 9, 2 303. ³) 1, 9 µ) 14, 4 ·) 110, 2 ¹) 0, 375 304. ³) 5, 4 µ) 0, 0,5 ·) 0 , 0,25 ¹) 32, 12 305. ³) 1, 3 µ) 5, 2 ·) 0, 2 ¹) 2, 1 306. ³) 412 , 37 µ) 314 , 29 307. ³) 1, 1,5 µ) 2, 6



308.³) e 2 ,  e µ) e

6



 3  1 2 , 1 309. 14  7  7 310. 20  10  10 311.³) S ,

S

µ) S , S 312. ³) 2R, 2 R µ) 2R, 2 R 313. 2 p 3 314. 45 315. ½áõÛ· »Ý ¹)-Ý ¨ »)-Ý, Ï»Ýï` ³)-Ý ¨ μ)-Ý 316.³)  µ)  ·)  323. 5 ÏÙ/Å 324. 450 ÏÙ 325. ³) 2 µ) 2 ·) 5 ¹) 1 326.³) 3 µ) 2 327.³) 1 µ) 0 328.³) 4 µ) 0,5 329.³) 1, 2 µ) 4 330.³) 2 µ) 1 331. ³) 0 µ) 1 332. ³)  1;3 µ)  ;1  5;   333. ³)  ;3  2;   µ)  5;   334. ³)

 ;0  0;  

µ)

 ;1

335. ³)

2; 

µ)

 ; log 2 3

336. ³)

 1;1

µ)  2;2  log 2 3 337. ³)  ;1 µ) 0;3 338. ³) 7,125 µ) 12,5 339. ³) 32 µ) 10

340. ³)  1 3 µ) 14 341. ³) 2 µ) 3 342. ³) 0,04 , 5 µ) 100, 0,1 343. ³) 10, 0,001 µ) 0,01 , 0,001 344.³) 3 µ) 5 345.³) 10, 0,01 µ) 8 346.³) 0,25, 4 µ) 5, 0,2 347.³) 2;6 





µ) 10;100 , 100;10  348. ³) 2,5;3 µ)  1;2  349. ³) 0;54 µ) 0;625 350. ³)  1;1   3;5 µ)  ; 7    1;1  3;  351. ³) 0,01;10000 µ) 4;64  352. ³) 0;0,5  4;  

0;1 9  9;   µ)  2;3 2  3 354. ³)  1;1  5  2  1  5  2 ;2  µ)  3;2   1;2  355 ³)  5  3 2 ;  µ) 0;4 356. ³)  311; 11   1;1,5 µ) 0;1  10;  363. ³) 3 x 2  105 x14 µ) 23 x 22  161x 6  11 364. ³) x 2  6 x  1   x  32 µ) 2 x  1 x 2 365.³) 3 cos 3 x µ) 2 cos 2 2 x 366. ³) 7 x 6  1 x µ)  sin x  log 2 e x

µ) 1 3 ; 3 8  5 3 ;  353. ³)

367.³) x 2 e x µ) 2 x ln 2  4  x ln 4 368. ³) 1,25 µ) 0,25 369. ³) 3 µ) 0,5 370. ³) 6 µ) 15 371. ³) 4 , 2 µ) 0 372. ³) y  3  x µ) y  3 x  3 373. ³) y  3  2 x µ) y  2  x 4 374. ³) f   ;0 ¨ 2;  , f  0;2 µ) f   ;5 ¨

 ;2 ¨ 2;   µ) f   ;1 ¨ 1;   ,

1;  ,

f   5;1 375. ³) f 

f   1;1 376.³) xmax  1 , xmin  3 µ) xmax  2 ,

xmin  4 377.³) xmax  1 µ) xmin  1 378. ³) xmin  1 µ) xmin  0 379. ³) 7 , 13 µ) 35, 5,5 380. ³) 45, 4 µ) 51, 5,25 381. ³) 1   2 , 0 µ) 0,  3 3 2 382. 26  13  13

383. 18  9  9 384. 64  32  32 385. 2 386. 4 3 :

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