Historia de la cartografía

HISTORIA DE LA CARTOGRAFÍA INTRODUCCIÓN MAPAS ANTERIORES AL SIGLO XVIII COORDENADAS GEOGRÁFICAS. RED DE MERIDIANOS Y PARALELOS DEL MAPA EL PROBLEMA DE LA DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD

LÍNEAS DE RUMBO (LOXODROMOS) SOBRE LA ESFERA GEODÉSICAS SOBRE LA ESFERA TIPOS DE PROYECCIONES CONOCIDAS ANTES DEL RENACIMIENTO PROYECCIONES DE PERSPECTIVA GNÓMICA ORTOGRÁFICA ESTEREOGRÁFICA PROYECCIONES DE PTLOMEO PROYECCIÓN RECTANGULAR

PROYECCIÓN DE MERCATOR BIBLIOGRAFÍA

Curso de formación continua en matemáticas, UAM. 2004-2005 Módulo: Problemas de la matemática clásica Araceli Gutiérrez Llorente

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INTRODUCCIÓN La representación de la superficie esférica terrestre sobre un mapa plano conlleva necesariamente una distorsión en área, forma, escala,...Según la finalidad del mapa se imponen determinadas condiciones (conservación de ángulos, de áreas,...) lo cual determina un tipo de proyección. La elaboración de un mapa supone la localización geográfica de los puntos terrestres mediante coordenadas geográficas: latitud y longitud. La transformación matemática o geométrica de esa localización en posiciones sobre un mapa plano está determinada por el tipo de proyección. Precisamente, la cartografía matemática es el estudio de las proyecciones para elaborar mapas. Históricamente uno de los primeros pasos en la elaboración de mapas es considerar una red de meridianos y paralelos terrestres o líneas de longitud y de latitud, respectivamente. No obstante, el hecho de que hasta el siglo XVIII la medida de la longitud geográfica en el mar no fuera precisa no impidió el desarrollo de diferentes tipos de proyecciones. Aunque la esfericidad de la tierra se negó durante la Edad Media muchos científicos y filósofos antiguos aportaron argumentos racionales para apoyar la afirmación de que la tierra tiene, básicamente, forma de esfera. Por ello, algunos tipos de proyecciones de una esfera en un plano se conocían desde la época griega. Por ejemplo, la proyección estereográfica (principalmente utilizada en astronomía), la proyección gnómica (utilizada para elaborar relojes de sol) y las proyecciones cónicas de Ptolomeo. La transición de la Edad Media al Renacimiento supuso un cambio notable en el concepto de proyección cartográfica. El desarrollo de las matemáticas fue contemporáneo al desarrollo de la cartografía. Antes del Renacimiento (antes de 1470) se conocían una docena de proyecciones cartográficas. En los dos siglos siguientes se desarrollaron o se mejoraron otros diez tipos. La mayoría se desarrollaron con el fin de reducir la distorsión del mapa, al menos para la región que se proyectaba. Sin embargo, la proyección de Mercator (1569) presenta características que no presentaban otras proyecciones. Esta proyección involucra la

∫ secθ dθ

cuya primitiva es ln (tan θ2 + π4 ) .

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Sin embargo, Mercator desarrolló la proyección que lleva su nombre antes de la aparición del cálculo diferencial e integral y antes de la aparición de los logaritmos. Algunas proyecciones importantes, como la proyección estereográfica, pueden construirse de forma geométrica. Sin embargo, no es posible una construcción geométrica en otras muchas como la proyección de Mercator. El cálculo fue aplicado por primera vez en cartografía por Lambert (1772) desarrollando nuevos tipos de proyecciones. Cuando se aplica a una proyección cartográfica ya existente, el cálculo diferencial se utiliza para calcular el factor de escala1 en una determinada dirección en un punto dado lo cual determina la distorsión en ese punto. El calculo integral permite obtener la expresión matemática para una proyección a partir de una condición en la distorsión. Una de las preocupaciones de Lambert era encontrar proyecciones que a escala infinitesimal no tuvieran distorsión en los ángulos, es decir, en un punto dado del mapa la escala fuera la misma en todas las direcciones. Las proyecciones que presentan esta propiedad se denominan conformes (u ortomórficas). Gauss resolvió el problema de la transformación conforme de una superficie en otra en 1825. El tratamiento matemático riguroso de este concepto se asocia con las ecuaciones de Cauchy-Riemann. A finales del siglo XIX los trabajos del matemático francés Tissot culminaron en la teoría de la distorsión de las proyecciones terrestres2.

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Podemos imaginar la proyección de la esfera terrestre en el plano en dos fases. En la primera el globo terrestre se reduce a otra superficie esférica. La razón de semejanza entre los radios de ambas superficies es la escala principal o nominal. En el segundo paso, el globo reducido se proyecta matemáticamente sobre el plano. La escala real a la que aparecen las distancias sobre el mapa no coincidirá, en general, con la escala nominal ya que la superficie de la esfera no es “desarrollable”. Se define el factor de escala como el cociente entre la escala real y la escala principal. Por tanto, el factor de escala será 1 a lo largo de aquellas direcciones o en aquellos puntos en los que se haya mantenido la escala principal. En general, el factor de escala en un punto determinado puede ser diferente según la dirección. 2 En cada punto de la esfera hay un número infinito de pares de direcciones ortogonales entre sí. Cuando se transforma en un plano dichos pares no se transforman necesariamente en direcciones ortogonales. Un teorema formulado por Tissot establece que dada cualquier transformación de la superficie esférica existe, al menos, un par de direcciones ortogonales que continúan siendo ortogonales después de la transformación (direcciones principales).

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MAPAS ANTERIORES AL SIGLO XVIII Los mapas actuales se basan en la cartografía matemática que se inició en Grecia. Se atribuye a Tales de Mileto (siglo VII-VI a.C) la idea de la esfericidad de la tierra. A comienzos del siglo IV a.C Pitágoras apoya esta afirmación con razonamientos astronómicos y matemáticos. Aristóteles (siglo IV a.C) apunta, también, seis argumentos físicos y lógicos que apoyan la idea de que la Tierra tiene forma de esfera.. Eratóstenes de Cirene (276-194 aC) fue el primero en medir el meridiano terrestre comparando la inclinación de los rayos solares en Alejandría y Siena (Assuán) durante el solsticio de verano. Su medida de 39500 km resulta muy aproximada a los 40000 km que mide. Sin embargo, Posidonio de Rodas (135-50 aC) creyó encontrar un error en el cálculo de Eratóstenes y redujo éste a 28400 Km. El resultado de Posidonio pasó a los geógrafos posteriores y llegó incluso hasta el siglo XV. La Figura 1 muestra una recreación del mapa de Eratóstenes (siglo III a.C). En el extremo norte figura la isla de Thule3 que aparecerá frecuentemente en la cartografía hasta la Edad Media y que ha sido identificada con Islandia y con las costas de Noruega.

Figura 1: Mapa de Eratóstenes Hiparco de Rodas (190-125 aC) introdujo en Grecia el sistema sexagesimal babilónico y realizó un gran catálogo de estrellas, fundamental en la navegación para marcar los rumbos.

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En el año 330 a.C Pitias parte de Marsella con el objetivo de determinar las latitudes de regiones remotas. En la descripción de sus viajes menciona el territorio de Thule.

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La obra que más influencia ejerció en la cartografía islámica y renacentista europea fue la Geografía de Ptolomeo (siglo I dC). Esta obra consta de ocho volúmenes: el primero está dedicado a la construcción de globos terrestres; los tomos II a VII detallan las coordenadas geográficas de 8000 lugares; en el VIII expone dos tipos de proyecciones cartográficas que consideraremos más abajo. La cultura árabe se convirtió durante la Edad Media en la continuadora del desarrollo científico interrumpido en Europa. La recuperación en Occidente, a partir del siglo XV, de la obra de Ptolomeo fue posible gracias a la traducción árabe que se había conservado. Hacia el siglo XII o XIII comenzaron a aparecer en Constantinopla las primeras traducciones griegas de la Geografía de Ptolomeo, que no se traduciría al latín hasta comienzos del siglo XV. La Figura 2 muestra un mapamundi del siglo XII o XIII de Ptolomeo realizado según una proyección que en la actualidad clasificaríamos como cónica. A partir del siglo XV aparecieron nuevos mapas (tabulae novae) basados en la obra de Ptolomeo en los que se añaden nuevos territorios. La Figura 3 muestra la versión que realizó Nicolò Germano de la tabula nova realizada por el geógrafo danés Clavus hacia 1424 y que apareció en Ulm en 1482. En este mapa, realizado según el segundo tipo de proyección de Ptolomeo, se ha añadido la península de Escandinavia.

Figura 2: Mapa de Ptolomeo (según la primera de sus proyecciones “pseudocónica”) en una edición del siglo XV.

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Figura 3: Mapa ptolomeico (según la segunda de sus proyecciones). Edición de Ulm de 1482

El retroceso cultural que se produjo en Europa durante la Edad Media supuso que la Tierra volviese a considerarse un disco flotando en el océano. Desaparece el sistema de localización por coordenadas geográficas (meridianos y paralelos). La geografía matemática se sustituye por ciertas expresiones de la Biblia que inducen a pensar en una Tierra plana con Jerusalén en el centro. Aparece un mapamundi circular o mapa de “T en O” que representa el mundo como un disco rodeado por un océano circular (la “O”) y dividido en tres partes en forma de “T” (Figura 4).

Figura 4: Mapa medieval de “T en O” que aparece en la obra “Etimologías” de Isidoro de Sevilla (560-636).

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Los mapas eclesiásticos medievales no tenían ninguna utilidad en la navegación. A partir de la introducción de la brújula en el Mediterráneo (siglo XIII) aparecen las cartas portulanas o “portulanos” elaborados, en principio, por navegantes genoveses. En estas cartas náuticas no se utilizaba un esquema de coordenadas, tan sólo detallaban los puertos, cabos y peligros para la navegación. Aparecen las líneas de rumbo o rosa de los vientos junto con ciertas particularidades históricas o comerciales representadas mediante imágenes. Las dos grandes escuelas de trazado de portulanos fueron la italiana y la mallorquina. El primer portulano importante de ésta última escuela es el de Angelino Dulcert, realizado en Mallorca en 1339 que representa Europa y el litoral del norte de África (Figura 5). La obra maestra de los mapas portulanos data aproximadamente de 1375 y fue realizado por el judío mallorquín Abraham Cresques (Figura 6)4.

Figura 5: Carta portulana elaborada por Angelino Dulcert, Mallorca 1339. Es el primer portulano conocido elaborado en Mallorca. Como en otros portulanos catalanes, la cadena montañosa Atlas se representa con forma de pata de gallo, los Alpes en forma de T y los montes de Bohême en forma de herradura.

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Se conoce habitualmente como “Atlas Catalán”.

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Figura 6: Fragmento del mapa portulano realizado por Abraham Cresques en 1375.

Entre 1405 y 1410 Jacobus Angelus tradujo al latín la Geografía de Ptolomeo que había sido conservada por los científicos árabes. Así, se revitalizó el concepto de la esfericidad de la Tierra y se introdujo en los mapas la graduación por medio de coordenadas. Durante la segunda mitad del siglo XV los navegantes portugueses, españoles, franceses, ingleses e italianos revelan la existencia de nuevos territorios que irán incluyéndose en los mapas de la época. Los cartógrafos fundamentales del siglo XVI ya no son navegantes sino que han recibido formación matemática. La proyección con más influencia en el desarrollo posterior de la cartografía fue la propuesta por Mercator en 1569 (Figura 7), que había trabajado con el astrónomo y cartógrafo G. Frisius. Más abajo consideraremos en detalle esta proyección.

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Figura 7: Mapa de G. Mercator (1569) elaborado según la proyección que llevaría su nombre a partir de entonces

Figura 8: Mapamundi (Typus orbis Terrarum) de A. Ortelius publicado en 1570 en la colección de mapas (Theatrum Orbis Terrarum). A. Ortelius publica en 1570 una colección de mapas (Theatrum Orbis Terrarum) que se considera el primer atlas, es decir, la primera publicación que reúne una colección de mapas de tamaño manejable. Entre ellos figura el mapamundi que se

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muestra en la Figura 8, Typus Orbis Terrarum. En él utilizó una proyección oval5 siendo el meridiano central 15ºO. Los polos se representan como rectas cuya longitud es la mitad que la del ecuador. Los paralelos son rectas horizontales equiespaciadas y los meridianos son arcos circulares equiespaciados en el ecuador. Los meridianos de longitud mayor de 90º con respecto al meridiano central se representan como semicírculos de igual radio; y, los meridianos de longitud menor de 90º con respecto al meridiano central, como arcos circulares que pasan por los extremos del meridiano central y son equidistantes en el ecuador. A partir de Mercator y Ortelius Holanda se convirtió en un centro de publicaciones cartográficas de gran calidad pero que tenían un fin comercial y no científico. Durante el siglo XVII se produjo un gran desarrollo científico y técnico (por ejemplo, el proceso de triangulación desarrollado por G. Frisius y T. Brahe): hacia 1615 en Inglaterra e Italia se realizaron las primeras medidas por triangulación, en 1669 Jean Dominique Cassini y Jean Picard completaron el mapa topográfico de Francia. Los trabajos cartográficos van a desarrollarse a partir de entonces en las academias de ciencia. Los cartógrafos franceses del siglo XVIII eran científicos que trabajaban para la Academia de Ciencias y cuya misión, por tanto, era mejorar desde un punto de vista científico los mapas existentes (Figura 9).

Figura 9: Mapa realizado en 1693 por La Hire que aparece en la Memoria de la Academia de Ciencias Francesa de 1729 5

Este tipo de proyección fue raramente utilizada después de 1600 aunque algunas proyecciones modernas pseudocilíndricas son similares. Por ejemplo, la proyección Eckert III en la que los meridianos se representan como elipses.

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En 1720 Picard y Jacques Cassini completaron la medida del arco de meridiano entre Paris y Amiens. En 1735 una nueva expedición midió el arco de meridiano entre Perú y Laponia y confirmó las predicciones de Newton de que la tierra tiene forma esférica achatada por los polos. A partir de entonces se añadía una complicación más para proyectar la superficie terrestre sobre un plano.

COORDENADAS GEOGRÁFICAS RED DE MERIDIANOS Y PARALELOS DEL MAPA Eratóstenes (ca. 275-194 a.C) fue el primero en diseñar un sistema similar a los meridianos y paralelos que utilizamos en la actualidad. Eratóstenes eligió el paralelo que pasa por Rhodas como origen de latitudes (con respecto al Ecuador su localización es 36º N) ya que esta línea dividía el mundo conocido en dos mitades iguales. Hiparco (aprox. 150 a.C. ) consideró que la retícula diseñada por Eratóstenes estaba determinada de forma arbitraria. Sugirió que esta retícula debía diseñarse según un criterio astronómico. Ptolomeo (140 d.C) tomó el cero de latitudes en el ecuador y el cero de longitudes (cuya ubicación no sigue ningún criterio científico) en las llamadas Islas Afortunadas (Islas Canarias). Para establecer la correspondencia adecuada entre grados de longitud y distancias es necesario conocer el radio de la Tierra. Ptolomeo no utilizó la estimación de Eratóstenes (que es bastante precisa) sino la que realizó Posidonius (100 d.C) que tiene bastante error. Por ello, la extensión en longitud del Mar Mediterráneo es de 62º y no de 42º como debería ser. La latitud de un punto de la superficie terrestre es el ángulo formado por la normal a la superficie terrestre y el plano que pasa por el ecuador. La longitud de un punto es el ángulo diedro formado por el plano que contiene el meridiano del punto dado y el meridiano que se toma como origen. Las líneas de latitud constante se denominan paralelos. Los puntos de la misma longitud forman las líneas de longitud o meridianos. La representación de los meridianos y paralelos en un mapa se denomina red de líneas de latitud y longitud del mapa. La forma de esta red dependerá de las ecuaciones matemáticas de la proyección utilizada. Precisamente, la primera característica del mapa que puede ayudarnos a identificar el tipo de proyección es el aspecto de la red de paralelos y meridianos: si los meridianos y paralelos se representan como rectas o no, si es una red ortogonal, simétrica, cómo se representan los polos, cuál es la separación de

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paralelos a lo largo del meridiano central y entre los meridianos a lo largo del ecuador o meridiano central.

EL PROBLEMA DE LA DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD EN LA NAVEGACIÓN

Para poder elaborar un mapa es necesario conocer con precisión las coordenadas geográficas (latitud y longitud) de los territorios que se representan. El procedimiento para la determinación de la latitud no planteaba dificultades y era conocido por los griegos. Se hacía a partir de la altitud del sol o a partir del ángulo entre el horizonte y la estrella polar. Sin embargo, para averiguar la longitud en el mar hay que saber qué hora es en el barco y en otro lugar de longitud conocida en ese mismo instante y convertir la diferencia horaria en separación geográfica. Como la tierra gira 360º en 24 horas, cada hora de diferencia supondrá una diferencia en longitud de 15º. Además, esos 15º no corresponden a la misma distancia en el Ecuador que al norte o al sur de esta latitud. Los primeros astrónomos medían diferencias de tiempo (es decir, diferencias de longitud geográfica) por medio de los eclipses de la luna. Sin embargo, los eclipses no se producían con suficiente frecuencia como para convertirse en un sistema de determinación de longitudes en la navegación. Otro método (propuesto en el siglo XVI) se conocía como método de la distancia lunar. Se basa en que luna recorre cada hora una distancia aproximadamente igual a su diámetro. Por la noche se puede estudiar su posición respecto a ciertas estrellas fijas. Además, durante la mitad de cada mes la luna es visible por el día y se puede observar si se acerca o se aleja del Sol. Galileo propuso medir la longitud geográfica a partir las observaciones de las lunas de Júpiter. Elaboró tablas en las que predecía los eclipses de cada satélite y consideraba que sus movimientos eran absolutamente predecibles. No obstante, el método que se acabaría imponiendo no requería la observación astronómica. Se trataba de fabricar un reloj que a bordo de un barco funcionara con suficiente exactitud como para medir diferencias horarias con precisión y convertirlas en diferencias de longitud respecto a un punto de longitud cero arbitrariamente elegido. Objetivamente, el obstáculo fundamental para la aplicación de este método era de carácter técnico. Los relojes que existían a principios del siglo XVIII no soportaban las diferencias de humedad y de temperatura en alta mar ni los movimientos del barco. En 1730 John Harrison terminó de elaborar el H-1, un reloj que podía medir el tiempo con suficiente precisión a bordo de un barco. No obstante, H1 sería sucesivamente mejorado por H2, H3 y H4. Hacia la década de 1780 los diarios de navegación empiezan a mostrar referencias diarias de cálculos de longitud por medio de relojes. En pruebas de

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comparación los cronómetros mostraban una precisión y una facilidad de uso mayores que las tablas de distancia lunar que se había convertido en el método rival de éste. Hacia 1910 los gobiernos de Estados Unidos, Inglaterra y Francia tomaron la decisión de dejar de publicar las tablas de las distancias lunares que, desde la utilización generalizada del cronómetro, habían dejado de utilizarse para determinar la longitud. Hacia 1940 se comenzaron a utilizar señales de radio para determinar la posición de los barcos (sistema LORAN6, Long Range Navigation). En la década de 1970 se introdujo el uso de satélites. Los primeros sistemas que utilizaban satélites para establecer la posición estaban basados en el efecto Doppler. En la actualidad se utiliza el GPS (Global Positioning System) 7.

LÍNEAS DE RUMBO SOBRE LA ESFERA Una línea de rumbo o loxodroma (loxos= oblicuo, dromo= camino) es una curva que forma con cada meridiano un ángulo constante, α. En navegación es muy utilizada porque corresponde a la trayectoria marcada por una posición constante en la brújula. Sobre el globo terrestre es una espiral que tiene el polo como punto asintótico ya que la distancia entre dos puntos de esta curva que están sobre el mismo meridiano disminuye a medida que la latitud aumenta desde el ecuador al polo (Figura 10). Para determinar una línea de rumbo necesitamos conocer un punto por el que pasa y el ángulo α . Esta curva fue estudiada por Pedro Nunes (Nuñez) en 1535, matemático admirado por Mercator. Precisamente, un globo terrestre fabricado por Mercator unos años después, en 1541, fue el primero que mostraba líneas de rumbo. El estudio de esta curva fue fundamental para demostrar que sobre un mapa en el que la red de paralelos y meridianos es cuadrada la representación de un línea de rumbo constante no es una recta.

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El sistema Loran utiliza estaciones situadas en puntos conocidos A, B y C que emiten una señal simultáneamente. Un barco registra el tiempo que pasa entre las señalas recibidas de las estaciones A y B y determina su posición en una hipérbola que es la curva de diferencias de tiempo constante. Para determinar su posición exacta en dicha hipérbola necesita una tercera estación. Determina entonces una segunda hipérbola a partir de las señales de las estaciones B y C. El punto de intersección de ambas hipérbolas le permite determinar su posición exacta después de realizar algunas correcciones para tener en cuenta la forma de la tierra. 7

En el artículo de R. B Thompson publicado en Mathematics Magazine 71(4), 1998 se presenta una descripción matemática del funcionamiento de los receptores de GPS.

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Figura 10: Representación de una línea de rmbo (o loxodromo) sobre una esfera

Consideramos sobre una esfera (de radio 1) los puntos A (φ ,θ ) y B (φ + dφ , θ + dθ ) que pertenecen a una línea de rumbo que forma un ángulo α con los meridianos. Un segmento infinitesimal de paralelo dl p puede expresarse como: dl p = dθ ⋅ tan α dl p = cosθ ⋅ dφ por tanto, combinando esas dos expresiones obtenemos la ecuación diferencial de la línea de rumbo en coordenadas esféricas: dθ 1 = dφ cosθ tan α Como es una ecuación diferencial de variables separables, integrando a ambos lados 1

∫ secφ dφ = tan α ∫ dθ

 θ π  ⇒ φ = tan α ⋅ ln tan +   + C (I)   2 4 

 θ π  La función ln tan +   puede expresarse también como:   2 4   θ π  ln tan +   = arg senh (tan θ ) = arg tanh (senθ ) = arg cosh (secθ ) (II)   2 4 

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Entonces, tomando C = 0 en (I) podemos escribir:  φ  φ = tan α ⋅ arg tanh (senθ ) ⇒ senθ = tanh  (III)  tan α  φ = tan α ⋅ arg cosh (secθ ) ⇒ cosθ =

1  φ  cosh   tan α 

(IV)

A partir de las expresiones (III) y (IV) podemos obtener la ecuación del loxodromo en paramétricas ( f x (φ ), f y (φ ), f z (φ ) ) :

f x (φ ) =

cosφ  φ  cosh   tan α 

f y (φ ) =

senφ  φ  cosh   tan α 

 φ  f z (φ ) = tanh  (V)  tan α 

Para obtener el valor del ángulo α que forma la línea de rumbo que une los puntos A1 (φ1 , θ 1 ) y A2 (φ 2 , θ 2 ) con los meridianos integramos la ecuación diferencial entre A1 y A2 : tan α =

φ 2 − φ1 (VI)   θ1 π    θ2 π  ln tan +   − ln tan +     2 4    2 4 

La distancia recorrida entre esos dos puntos al seguir la línea de rumbo está dada por:

A1 A2

l . rumbo

=

R θ 2 − θ1 cosα

donde R es el radio terrestre (que en las expresiones anteriores habíamos considerado igual a 1).

GEODÉSICAS SOBRE LA ESFERA La curva más corta que conecta dos puntos en un espacio es una geodésica. El camino más corto entre dos puntos sobre una esfera es un arco de circunferencia máxima, que es la intersección entre la esfera y un plano que pasa por el centro de la esfera.

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Un triángulo geodésico (Figura 11) es un triángulo en el que los tres vértices están conectados por geodésicas. Un triángulo esférico es un triángulo geodésico sobre la superficie de una esfera. Sea ∆ ABC un triángulo esférico con lado a opuesto al vértice A , lado b opuesto al vértice B y lado c opuesto al vértice C sobre una esfera con centro en O . Este triángulo ∆ ABC tiene seis ángulos: tres ángulos de arco a , b , c y tres ángulos de vértice A , B , C : B

B c A

a

A O b

C

C

ángulos de vértice de ∆ABC

ángulos de arco de ∆ABC

Figura 11: Triángulo geodésico en geometría esférica.

Vamos a calcular la longitud del camino más corto entre dos puntos de la superficie esférica (camino ortodrómico). En geometría esférica se cumple la siguiente relación (ley de cosenos para los lados) cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B En la Figura 11suponemos que B es el polo de la esfera. Los ángulos a, c y A se relacionan con la latitud y longitud de los puntos A y C de la siguiente forma: a=

π − λC 2

c=

π − λA 2

B = φC − φ A

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Por tanto, cos b = sen λC sen λ A + cos λC cos λ A cos (φ C − φ A ) Entonces, la distancia entre A y C siguiendo la trayectoria geodésica está dada por AC

geod

= R ⋅ arccos b = R ⋅ arccos (sen λC sen λ A + cos λC cos λ A cos (φ C − φ A ) )

TIPOS DE PROYECCIONES CONOCIDAS ANTES DEL RENACIMIENTO Existen tres tipos de superficies que pueden transformarse en un plano sin distorsión y que se denominan superficies desarrollables8: el cono, el cilindro y el propio plano. Desde el último tercio del siglo XIX, según el tipo de superficie desarrollable que se utiliza para proyectar la esfera, se habla de proyecciones cónicas, cilíndricas y azimutales (Figura 12).

Cilíndrica regular

Cónica regular

Cilíndrica transversal

Azimutal polar

Cilíndrica oblicua

Azimutal oblicua

Las proyecciones cartográficas más antiguas son las denominadas azimutales. En este tipo de proyecciones todas las direcciones desde el centro de proyección son correctas. Por tanto, una trayectoria que sigue un círculo máximo desde el centro de proyección hasta cualquier otro punto se muestra como una línea recta. Si el punto de tangencia está en uno de los polos de la esfera se dice que la proyección tiene un aspecto polar o normal. En este caso, las líneas de latitud son círculos concéntricos y los meridianos son radios equiespaciados. Si el plano es tangente a algún punto del ecuador se dice que presenta un aspecto ecuatorial o meridional.

Figura 12

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Superficie reglada tal que el plano tangente es el mismo en todo punto de la generatriz.

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PROYECCIONES AZIMUTALES

Hay tres tipos de proyecciones azimutales que son proyecciones de perspectiva: ortográfica, estereográfica y gnómica. Éstas son proyecciones en el sentido geométrico: los puntos de la esfera se proyectan sobre el plano tangente mediante líneas rectas que pasan por un punto fijo. Eran conocidas por los astrónomos egipcios y griegos.

PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA

La proyección ortográfica se utilizó raramente para elaborar mapas geográficos. Un hemisferio se proyecta sobre el plano a una distancia infinita. La Figura 13 muestra el esquema de este tipo de proyección cuando el plano de proyección es tangente al polo terrestre Todos los meridianos y paralelos aparecen como elipses, circunferencias o rectas. Hiparco utilizó esta proyección en el siglo II a.C para Figura 13 representar medidas astronómicas. En la actualidad se utiliza para representar el aspecto de la tierra desde el espacio exterior pero no para elaborar mapas ya que la distorsión cerca de los bordes es muy grande.

PROYECCIÓN GNÓMICA

En la proyección gnómica el centro de proyección es el centro de la esfera y el plano tangente (Figura 14) se denominaba horologium u horoscopo por su relación con los relojes de sol. Tales de Mileto (siglo VI a.C) utilizaba este tipo de proyección en su aspecto oblicuo. Los ángulos entre las marcas de un reloj de sol diseñado para una latitud particular son los ángulos que forman los meridianos en una proyección gnómica en la que el punto de tangencia del plano y la esfera tiene dicha latitud, y señalando cada 15º de longitud a partir del meridiano tangente como una hora.

Figura 14: Diagrama de la proyección gnómica

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En un mapa construido según la proyección gnómica una línea recta corresponde a un círculo máximo o geodésica de la esfera. Si el punto de tangencia es uno de los polos los meridianos se proyectan como líneas rectas radiales desde el punto de tangencia y los paralelos como circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto de tangencia. Si el plano de proyección es tangente a la esfera en un punto distinto del polo los meridianos se proyectan como líneas rectas que radian desde el punto donde el eje de la tierra interseca al plano de proyección y los paralelos se proyectan como cónicas. La mayor ventaja de la proyección gnómica es que todas las geodésicas se muestran como líneas rectas (y no solo aquellas que pasan por el punto de tangencia, como ocurre en otras proyecciones azimutales). La proyección gnómica fue raramente utilizada para elaborar mapas antes de 1600. Kepler la utilizó en una carta celeste de 1606. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA

Es la primera proyección conforme conocida (E. Halley lo demostró en 1695). En la proyección estereográfica el centro de proyección es el punto opuesto al punto de tangencia (Figura 15). En este tipo de proyección todos los meridianos, paralelos y geodésicas se proyectan como circunferencias excepto aquellos meridianos y geodésicas que pasan a través del punto de tangencia que se proyectan como rectas. En el aspecto polar los paralelos son circunferencias concéntricas y los meridianos sus radios. La separación entre paralelos aumenta al alejarse del polo.

Figura 15

Figura 16

En la antigüedad Hiparco y Ptolomeo utilizaron este tipo de proyección en su aspecto polar para elaborar cartas celestes. El aspecto oblicuo fue utilizado por Theon de Alejandría (siglo IV a.C). El astrónomo árabe Azarquiel de Toledo en el siglo XI utilizó el aspecto ecuatorial de la proyección estereográfica para la construcción de un

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astrolabio. El mapamundi en dos hemisferios (este y oeste) de Rumold Mercator (hijo de G. Mercator) publicado en 1587 (Orbis Terrae Compendiosa Descriptio) utilizaba la proyección estereográfica en aspecto ecuatorial (Figura 16).

PROYECCIÓN RECTANGULAR

Aunque en muchos mapas antiguos no se muestra la red de paralelos y meridianos algunas marcas en el margen del mapa (ecuador, trópico de Cáncer, Trópico de Capricornio) señalan que éste era el tipo de proyección utilizada. Actualmente la clasificaríamos como una proyección cilíndrica9. Los paralelos aparecen como líneas rectas equiespaciadas. Los meridianos son también líneas rectas paralelas equiespaciadas perpendiculares a las líneas de latitud. Se puede diseñar de forma que la escala sea correcta a lo largo de los meridianos y del ecuador (en cuyo caso la red de meridianos y paralelos es cuadrada si se toman intervalos iguales de longitud y latitud) o bien a lo largo de los meridianos y un par de líneas de latitud equidistantes del ecuador. En un paralelo de latitud φ el arco de meridiano se multiplica por el factor cos φ respecto al mismo arco de meridiano en el ecuador. Marino de Tiro (110 aC) elaboró un mapa con este tipo de proyección de forma que conservaba las distancias a lo largo de todos los meridianos y del paralelo de Rodas, cuya latitud es 36ºN. Como cos 36º ≈ 0,809 ≈ 4 5 representa los meridianos como rectas paralelas separadas entre sí una distancia igual a 4 5 del espaciado entre paralelos. Es decir, el espaciado para la red de meridianos es en todo el mapa el mismo que existe realmente para una latitud para la cual cos φ = 4 5 , condición que se cumple para φ = 36º que es, precisamente, la latitud de Rodas. Como cos φ es decreciente en el intervalo (0,π 2) en el mapa elaborado de esta forma las distancias longitudinales de latitudes entre el ecuador y el paralelo de Rodas aparecen acortadas y al norte del paralelo de Rodas aparecen alargadas respecto a las distancias longitudinales sobre la superficie esférica. Ptolomeo recomendaba utilizar este tipo de proyección únicamente para elaborar mapas de regiones pequeñas. Además, la modificó ligeramente de forma que el paralelo a lo largo del cual el factor de escala es 1 es el que aparece en el centro de la región proyectada. Varios mapas elaborados en el siglo XV, cuando se recuperó la obra de Ptolomeo, utilizaban este tipo de proyección. Fue la más utilizada en las cartas náuticas 9

Se conoce también como proyección cilíndrica equidistante. Si la latitud a la cual no hay distorsión en la escala es la del ecuador se denomina plate carrée o cilíndrica simple.

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del siglo XVI hasta que la proyección de Mercator fue aceptada, años después de su elaboración en 1569 (este aspecto se trata en detalle más abajo).

PROYECCIONES DE PTOLOMEO

Las proyecciones propuestas por Ptolomeo son mucho más sofisticadas que la proyección rectangular. Según la terminología actual dos de ellas corresponden a proyecciones pseudocónicas. Son proyecciones en el sentido matemático moderno: no se obtienen como la perspectiva de los puntos de la superficie esférica desde una posición determinada. Se definen relaciones matemáticas entre un punto de la esfera de coordenadas (φ ,θ ) y un punto en coordenadas polares en el plano (r ,δ ) . PRIMERA PROYECCIÓN

El mapa que se muestra en la Figura 2 ha sido elaborado según el tipo de proyección que vamos a describir a continuación (Figura 17). La ventaja sobre la proyección rectangular es que no sólo conserva las distancias a lo largo de los meridianos y del paralelo de Rodas, también se representa correctamente la relación de distancias en el paralelo de Thule (63ºN, θ = 63º ) y el

Figura 17

ecuador. Ptolomeo considera latitudes entre 63ºN y 16,25ºS (latitud simétrica al paralelo de Meroe). Los paralelos se representan como arcos de circunferencia de radio constante con centro en H y los meridianos como radios, ri , de dichos arcos (i=1 para Thule, i=2 para Rodas, i=3 para el Ecuador y i=4 para 16,25ºS). No es exactamente una proyección cónica ya que al sur del ecuador aparece una discontinuidad. Sobre la figura K cae sobre el paralelo de Rodas, el arco Ξ O π representa 180º del paralelo de Thule; P Σ T , del ecuador: y, φ Z X representa 180º del paralelo a θ = −16,25 (que aparece dividido en segmentos de la longitud que correspondería al paralelo de latitud 16;25ºN). Ptolomeo diseña esta proyección de forma que satisfaga tres condiciones: i.

No hay distorsión en la longitud de los meridianos, es decir, ∆r = − ∆θ

⇒ r = 90 − θ + c (VII)

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donde c es una constante. ii.

Se conserva el cociente entre la longitud del paralelo de Thule (radio r1 sobre el

mapa y latitud θ 1 = 63º ) y el ecuador (radio r3 sobre el mapa y latitud θ 3 = 0º ): cosθ 1 r1 = (VIII) cosθ 3 r3 imponiendo la condición (VII) en la ecuación anterior podemos calcular el valor de la constante c cos 63º 90 − 63º + c = cos 0º 90 − 0º +c

⇒ c = 25,028º ≈ 25º

Por tanto, r1 = 52, r2 = 79, r3 = 115, r4 = 131,4 . iii.

No hay distorsión en la longitud del paralelo de Rodas, lo que permite calcular la

longitud del arco de circunferencia que representa el paralelo de Rodas θ = 36º ΘΚ = ΚΛ = cos 36º⋅90º = 4 5 ⋅ 90 = 72 SEGUNDA PROYECCIÓN

La que se conoce como segunda proyección de Ptolomeo fue utilizada en las copias manuscritas de la Geografía de Ptolomeo a partir de 1470 (Figura 3). En este caso construye un mapa donde los meridianos se representan como arcos circulares y las distancias a lo largo de los paralelos de Thule (θ = 63º ), Siena (θ = 23,8º ) y AntiMeroe (θ = −16,25º ) no se distorsionan. H

B

E

D Z

Figura 18

Figura 19

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Sea O el centro de la Tierra y AEZ el meridiano que pasa por Rodas y por Siena (el punto E es Siena) (Figura 18). Suponemos que la Tierra es vista desde un punto en la recta OE a infinita distancia. Entonces, el meridiano AEZ y el círculo máximo BED se verán como rectas perpendiculares entre sí (Figura 19). Se asume que las distancias a lo largo del meridiano central AEZ y del círculo máximo BED no se distorsionan. Por tanto, ZE = 23,8 EB = 90 = ED Se impone, además, que el ecuador BZD se transforme en un arco de círculo siendo H el centro. H se obtiene como intersección de la mediatriz de BZ y de la mediatriz de BD (puesto que equidista de B, Z y D). Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene el radio del arco de circunferencia que representa el Ecuador: ( BH ) 2 = ( HZ − EZ ) 2 + ( BE ) 2 imponiendo las condiciones anteriores sabemos que BH = HZ

EZ = 23,8

BE = 90

por tanto, BH = HZ ≈ 182 (Ptolomeo tomó este valor como 180). Los paralelos de Thule (θ = 63º ) , de Siena (θ = 23,8º ) y el paralelo denominado Anti-Meroe (θ = −16,4º ) se representen también como arcos de circunferencia con centro en H. Igual que en la proyección anterior impone la condición de que la diferencia en las distancias radiales reflejen diferencias en latitud aunque los radios de los arcos que representan los paralelos ya no representen los meridianos. Ptolomeo representa 18 meridianos a cada lado del meridiano central, es decir, los meridianos están espaciados 5º. Impone la condición de que las distancias a lo largo de los paralelos de Thule, Siena y Anti-Meroe no se distorsionen. Esta condición permite dibujar cada arco circular de meridiano a partir de tres puntos de la misma longitud. El arco de 5º de longitud en el ecuador se multiplica por el factor cosθ a lo largo de una línea de latitud θ . Por tanto, el espaciado entre meridianos en cada uno de los tres paralelos considerados está dado por 5 cosθ . Por ejemplo, si tomamos el

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paralelo de Thule, los puntos de intersección de los sucesivos meridianos con este paralelo estarán a una distancia k ⋅ 5 cos 63º , donde k = 1, 2...,18 . Mediante este procedimiento se obtiene la red de paralelos y meridianos que aparece sobre el mapa mostrado en la Figura 3. Esta segunda proyección de Ptolomeo se considera el precedente de la proyección de Bonne10 que es una proyección que conserva el área y que ha sido muy utilizada en mapas de continentes hasta mediados del siglo XX. La condición impuesta para tres paralelos en la de Ptolomeo se impone para todos los paralelos en la proyección de Bonne y los meridianos ya no son arcos circulares.

PROYECCIÓN DE MERCATOR La proyección desarrollada por Mercator en 1569 fue diseñada con un objetivo determinado: las líneas de rumbo sobre la esfera debían representarse por líneas rectas en el mapa. De esta forma, sobre un mapa realizado con la proyección de Mercator los navegantes podrían unir los puntos extremos de la ruta mediante una recta y leer el ángulo de rumbo constante que, fijado en la brújula, les llevaría al puerto de llegada. Como hemos visto, las líneas de rumbo constante sobre la esfera (cuando no se sigue una línea de latitud o de longitud) es una espiral con el polo como punto asintótico. Antes de la aparición de la proyección de Mercator los navegantes del siglo XVI utilizaban fundamentalmente cartas náuticas en las que la red de paralelos y meridianos era cuadrada, plate carrée 11 (Figura 20).

Figura 20: Mapa “plate carrée”. Los meridianos y paralelos forman una red cuadrada

10

Bonne.

11

Toma su nombre del geógrafo francés R. Bonne (1727-1795) aunque fue utilizada antes de

Ver página 8 de SNYDER J.P: “Flattering the earth: two thousand years of map projections”. University Chicago Press (1993) y referencias ahí.

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Este tipo de proyección equivale a representar sobre ejes cartesianos ( x, y ) las coordenadas geográficas (φ ,θ ) . En una retícula de este tipo el ángulo formado entre los meridianos (rectas verticales) y el segmento que tiene por extremos los puntos de llegada y de salida de una ruta no es el ángulo de la línea de rumbo que une dichos puntos. Vamos a verlo con un ejemplo.

EJEMPLO

Consideramos la ruta marítima desde Nueva York hasta Ciudad del Cabo: φ NY = 73,98º = 1.291 rad

θ NY = 40,77º = 0,712 rad

φ CC = −18,36º = −0,320 rad

θ CC = −35,1º = −0,612 rad

A partir de la ecuación (VI) calculamos el valor del ángulo, α , que forma la línea de rumbo considerada con los meridianos tan α = 1,122 ⇒ 0,843 rad = 48,3º Entonces, la ecuación del loxodromo Nueva York-Ciudad del Cabo es  θ π    tan +   2 4  φ = 1,291 + 1,122 ⋅ ln   2,1839      Denotamos por α~ el ángulo que forma la ruta Nueva York-Ciudad del Cabo sobre una carta plana (red cuadrada) con los meridianos: tan α~ =

φ1 − φ 2 = 1,216 ⇒ α~ = 50,58º θ1 − θ 2

Para ver el error que se cometería si se marcara en la brújula el ángulo α~ vamos a calcular la expresión de la línea de rumbo que parte de Nueva York y que mantiene un rumbo constante correspondiente a α~ :

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 θ π    tan +   2 4  φα~ = 1,291 + 1,216 ⋅ ln   2,1839      La Figura 21 muestra la diferencia de las dos líneas de rumbo en la ruta NuevaYorkCiudad del Cabo. La línea de rumbo correcto se representa en negro. Ambas curvas parten de Nueva York pero la curva calculada según el rumbo α~ no pasa por Ciudad del Cabo. La desviación en longitud para la latitud correspondiente a Ciudad del Cabo es φα~ (θ = −0,612) − φ CC = − 26,03º −(−18,36º ) = 7,7 º hacia el este

que corresponde a una distancia de R ⋅

7,7 π ⋅ cos(−0,612) ≈ 700 km 180

45

l atit ud

30 15 0 -15 -30 -75 -60 -45 -30 -15 longitud

0

15

30

45

Figura 21:Representación de sobre una red cuadrada de la línea de rumbo Nueva York-Ciudad del Cabo (trazo negro) y de la “falsa” línea de rumbo (trazo rojo).(Las longitudes oeste figuran como negativas pero en el cálculo se han considerado positivas , según la convención habitual.)

♦

En la proyección de Mercator (Figura 22) los meridianos se proyectan como líneas rectas paralelas equiespaciadas. La separación entre meridianos corresponde a su separación en el ecuador. Los paralelos también se representan por líneas rectas, perpendiculares a los meridianos. Sin embargo, la separación entre paralelos aumenta a medida que nos alejamos del ecuador.

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Figura 22: Mapamundi realizado según la proyección de Mercator; las líneas de latitud no están equiespaciadas

Vamos a ver cómo se calcula separación entre paralelos. Estamos buscando una proyección que en un punto dado (a escala infinitesimal) no hay distorsión en los ángulos. Es decir, dado un punto el factor de escala debe de ser el mismo en todas las direcciones (proyección conforme). Puesto que la red de meridianos y paralelos es una red ortogonal bastará con que el factor de escala sea el mismo (a escala infinitesimal) a lo largo de meridianos y paralelos.

P

ecuador

B

C

A

D

Paralelo θ

B A

C D

P’

Figura 23

En la terminología actual la proyección de Mercator es una proyección cilíndrica. Podemos imaginar, por tanto, que proyectamos la superficie de la esfera sobre un cilindro tangente a la esfera en el ecuador. En la Figura 23, el arco de longitud BC a una latitud θ y el arco de longitud en el ecuador están relacionados por BC = AD . Entonces, al dibujar los meridianos como rectas paralelas equiespaciadas cosθ

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estamos haciendo el factor de escala a lo largo de los paralelos igual a secθ . Si queremos que la proyección sea conforme el factor de escala debe ser el mismo a lo largo de los meridianos. Sin embargo, θ varía de forma continua a lo largo de un meridiano y, por tanto, requiere calcular

θ

∫

0

secθ dθ .

Cuando Mercator publicó la proyección que lleva su nombre no se había desarrollado el cálculo diferencial e integral. Mercator explicó explícitamente cómo calcular la separación de las líneas de latitud en su mapa. Edward Wright en un trabajo publicado en Londres en 1599 calculó la posición de los paralelos (“partes meridionales”) en un mapa de Mercator a partir de sumas de Riemann de la función secθ a intervalos de 1’.

En los apartados anteriores hemos utilizado que

θ

π

∫ secθ dθ = ln tan 2 + 4  . Sin

embargo, el trabajo de J. Napier sobre logaritmos no fue publicado hasta 1614. En 1616 Wright publicó la traducción inglesa de la obra de Napier (escrita en latín), junto con una tabla de logaritmos de senos que se utilizaba en astronomía. Poco después se publicaron también tablas de logaritmos de la tangente. Hacia 1640 H. Bond se dio cuenta de la coincidencia entre la tabla de Wright de “partes meridionales” para la proyección de Mercator y la tabla de logaritmos de la tangente. En 1645 estableció como una conjetura (por tanto, no demostrada) que

θ

π

∫ secθ dθ = ln tan 2 + 4  .

Esta

conjetura fue demostrada por Harriot, Gregory, Halley, Wallis y Barrow. Parece que el primero en conocer este resultado hubiera sido Harriot aunque no publicó su resultado12. La proyección de Mercator ha sido una de las que se ha modificado con mayor frecuencia para aplicar al elipsoide terrestre. El primer matemático que aplicó el cálculo diferencial e integral al estudio de las proyecciones cartográficas fue Lambert en 1772. Su trabajo supone un cambio radical en la cartografía. Sus predecesores habían estudiado un método de proyección determinado. Sin embargo, Lambert consideró el problema de la representación de una esfera sobre un plano desde un punto de vista general, estableciendo ciertas condiciones que tiene que cumplir una representación para que se conserven los ángulos o el área de la región proyectada.

12

J. V Pepper: “The study of Thomas Harriot’s Manuscripts, II: Harriot unpulished papers”, History of Science,6 (1967) 17-40.

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Una de las proyecciones desarrolladas por Lambert es la que se conoce como Transversal de Mercator (TM). Lambert dio la expresión matemática para la esfera. La proyección transversal de Mercator se obtiene rotando el cilindro de proyección 90º de forma que es tangente en un meridiano (a lo largo del cual la escala es constante) y no del Ecuador. Actualmente es el tipo de proyección más utilizada. Es especialmente adecuada para proyectar regiones que se extienden fundamentalmente de norte a sur. Motivado por los estudios de la conformalidad publicados en 1779 por Lagrange, Gauss comenzó a estudiar la transformación de una superficie en otra, incluida la transformación conforme del elipsoide en el plano. En 1822 Gauss desarrolló la forma elipsoidal de la proyección transversal de Mercator en la que se mantiene constante la escala en el meridiano central. Gauss también desarrolló la proyección conforme del elipsoide en la esfera que es luego proyectada mediante la proyección transversal de Mercator en el plano. Esta versión de la transversal de Mercator es conforme pero la escala no es constante a lo largo del meridiano central. Por otro lado, el trabajo de N.A Tissot entre 1859 y 1881 tuvo un gran impacto en las proyecciones cartográficas del siglo XX. Introdujo el concepto de elipse indicatriz o de distorsión que, trasladada a cada punto del mapa, establece la distorsión de la proyección. Cada círculo infinitesimal sobre la esfera o el elipsoide terrestre se dibuja sobre el mapa plano como un círculo o una elipse centrada en el punto proyectado. Si los círculos infinitesimales tienen el mismo radio y se proyectan en diversos puntos del mapa (intersecciones entre paralelos y meridianos), la distorsión en cada uno de estos puntos se indica por la forma y el tamaño del círculo o elipse. Por ejemplo, en una proyección conforme, que conserva localmente los ángulos, todos los círculos infinitesimales sobre la esfera se proyectan como círculos en el mapa pero su radio variará según la escala en dicho punto (Figura 24).

Figura: 24: Representación de la indicatriz de Tissot en los puntos de intersección de para delos y meridianos en una proyección de Mercator.

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En la década de 1940 el servicio topográfico del ejército d Estados Unidos diseñó el llamado sistema UTM (Universal Transverse Mercator) para elaborar mapas. La esfera se divide en 60 zonas de 6º de amplitud longitudinal entre las latitudes 84ºN y 80ºS. En cada una de esas zonas se realiza un proyección TM de forma que el factor de escala alo largo del meridiano central de cada zona es 0,9996.

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SOBEL, D.: “Longitud. La verdadera historia de un genio solitario que resolvió el mayor problema científico de su tiempo”, Debate (1998)

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