Apuntes de Arturo Quirantes – Homogeneidad dimensional

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Los observables que podemos medir se agrupan en conjuntos caracterizados por una propiedad que llamamos magnitud. Existe la magnitud tiempo, la magnitud velocidad, la magnitud masa y así sucesivamente. El valor de cada uno de esos observables se denomina cantidad. La magnitud es una propiedad abstracta mientras que la cantidad es una propiedad concreta. El concepto de masa, por ejemplo, es una magnitud, pero si hablamos del valor de la masa para un cuerpo determinando ya estamos considerando una cantidad. Las cantidades de una magnitud son comparables entre sí, lo que nos permite establecer relaciones de igualdad y suma. La longitud de un objeto es mayor que la de otro, y triplica a la de un tercero. En general, para simplificar la comparación de cantidades de una misma magnitud, se recurre a la táctica de escoger una cantidad que definimos como patrón: es la unidad. Para la longitud, la unidad es el metro, y todas las cantidades que queramos medir vendrán comparadas con el metro. Para dar una cantidad, se indica la unidad y la medida (número de veces que esa cantidad contiene a la unidad). Dar una cantidad de 5 metros es decir que dicha cantidad es cinco veces superior al de la cantidad patrón que denominamos metro. Es decir: cantidad = medida * unidad. Las ecuaciones físicas son relaciones entre cantidades. Es evidente que no pueden compararse cantidades de magnitudes distintas, y de igual modo que no se pueden sumar peras y manzanas tampoco tiene sentido decir que dos metros es más que cinco segundos. En cualquier ecuación todos los términos han de representar cantidades que pertenezcan a la misma magnitud, o como suele decirse, que tengan las mismas dimensiones. A esta propiedad se la conoce como homogeneidad dimensional. Una ecuacion dimensional nos relaciona una magnitud cualquier con un conjunto de magnitudes que definimos como fundamentales. En el Sistema Internacional se han definido las siguientes magnitudes fundamentales: masa (L), longitud (L), tiempo (T), intensidad de corriente (I), temperatura (Θ), cantidad de sustancia (N) e intensidad luminosa (J). De modo más genérico podemos definir un conjunto de magnitudes fundamentales (M 1, M2, M3... Mn) de tal forma que cualquier cantidad Y puede relacionars con cantidades (X1, X2, X3... Xn) de esas magnitudes:

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a1

a2

an

Y =C∗X 1 ∗X 2 ∗...∗X n

donde C es un parámetro adimensional. Esas cantidades (X 1, X2, X3... Xn) suelen recibir el nombre de base dimensional. En lo que sigue tomaremos como ejemplo la base dimensional habitual para la Mecánica: masa (M), longitud (L) y tiempo (T). En esa base, cualquier magnitud mecánica Y puede representarse como

[Y ]=M a∗Lb∗T c expresión que recibe el nombre de fórmula dimensional. Por ejemplo, la velocidad es un cociente entre una distancia y un tiempo, por lo que su ecuación dimensional es:

[v]= M 0∗L1∗T −1= LT −1 La homogeneidad dimensional tiene un conjunto de aplicaciones prácticas. He aquí algunas de ellas.

Aplicación 1: determinar las dimensiones y unidades de una cantidad Habitualmente las unidades de las magnitudes derivadas (no fundamentales) se definen a partir de las unidades de las magnitudes fundamentales. En el caso de la velocidad hemos visto que se trata de una longitud dividida por un tiempo, de modo que su unidad natural en el Sistema Internacional será el metro/segundo; en el sistema CGS es el centímetro/segundo; en el sistema anglosajón será el pie/segundo. A veces las unidades de las magnitudes derivadas tienen un nombre particular. La fuerza, por ejemplo, se mide en Newtons en el Sistema Internacional. La ecuación dimensional nos permite relacionar el Newton (N) con el metro (m), el kilogramo (kg) y el segundo (s). Puesto que una fuerza es una masa por una aceleración, y una aceleración es una velocidad entre un tiempo, se tiene que:

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[F ]=[m][a]= M ( LT −2 )=M L T −2 con lo que una fuerza tiene dimensiones de masa por longitud entre tiempo al cuadrado. La relación entre unidades es: 1N = 1 kg*m/s2.

Aplicación 2: determinar las dimensiones y unidades de una constante Usemos como ejemplo la Ley de Gravitación Universal de Newton. En dicha ley se relaciona la fuerza con las masas de dos cuerpos y su distancia: F∼m1∗m2 /d

2

Esta ecuación es una relación de proporcionalidad. Para establecer una relación de igualdad es necesario incluir una constante: F=G∗m1∗m2 /d

2

La constante G, llamada constante de gravitación universal, tendrá un valor numérico para que la ecuación represente una relación de cantidades, pero también tendrá que tener unidades, ya que como puede comprobarse, un producto de masas dividido por una distancia al cuadrado no tiene dimensiones de fuerza:

[ F ]=M L T −2 [m1∗m2 /d 2 ]=L 2 T −2 La ecuación de homogeneidad dimensional nos da las dimensiones de G: [G]=[ F d2 / (m1∗m2)]=( MLT −2) L2 M −2=M −1 L3 T −2 y su unidad será de m3/(kg*s2). A pesar de eso, en ocasiones se suelen dar las unidades de forma distinta. En el caso particular de la gravitación, y puesto que se hace un uso tan extenso de la fuerza en ella, es tradicional dar G en unidades de N*m²/kg².

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Aplicación 3: comprobar si una ecuación es correcta La homogeneidad dimensional es un criterio necesario, no suficiente, en una ecuación. Eso significa que hay ecuaciones dimensionalmente homogéneas que son incorrectas. Por ejemplo, la ecuación correcta para el volumen de una esfera es 4/3*π*r3, la ecuación 2*r3 es incorrecta; y sin embargo, ambas son dimensionalmente homogéneas. Esto sucede cuando aparecen términos adimensionales en una ecuación, como una constante numérica, una razón trigonométrica, un logaritmo, etc. Sin embargo, sí tenemos asegurado que una ecuación que no sea dimensionalmente homogénea es incorrecta, y eso nos proporciona un método de comprobación en casos dudosos. Supongamos que tenemos dudas sobre cuál de estas dos relaciones para el período de un péndulo es la correcta:

T 1 =2 π

√

l g

T 2=2 π

√

g l

Un estudio de homogeneidad dimensional aplicado a ambas ecuaciones nos dice: [T 1 ]=[ √ l/ g]=[l 1/ 2∗g−1 /2 ]=L1 /2 ( L T −2)−1/ 2=T [T 2 ]=[ √ g /l]=[ g1 /2∗l −1 /2 ]=( L T −2 )1/ 2 L−1/ 2=T −1 El resultado es que la ecuación dimensionalmente homogénea es la primera, ya que tiene dimensiones de tiempo, igual que el período. La segunda ecuación es incorrecta. Nótese que el término 2*π no aparece en el estudio dimensional, de modo que no podemos saber qué número acompaña a la raíz; lo que sí sabemos es que dicha raíz ha de contener el término l/g, no el g/l.

Aplicación 4: determinar la forma de una ecuación En ocasiones el análisis de homogeneidad dimensional permite conocer de antemano qué forma tendrá la ecuación. Para ilustrarlo, volvamos al ejemplo del péndulo. Imaginemos que no

Apuntes de Arturo Quirantes – Homogeneidad dimensional sabemos de qué factores depende el período, así que vamos a hacer una lista. ¿Puede depender de la longitud (l) del hilo? ¿De la masa (m) del objeto que pende del hilo? ¿De la aceleración (g) de la gravedad? ¿Del ángulo máximo (θo) que forma el hilo? Comprobémoslo. Debemos dejar aparte la posible dependencia con el ángulo, puesto que tanto los ángulos como las razones trigonométricas son adimensionales, y centrarnos en los parámetros (l,m,g). Salvo factores numéricos, la relación más generál será en forma de términos de la forma T =C∗l a mb gc La ecuación dimensional será: [T ]=[l a mb gc ]=La M b ( L T −2 )c De donde se deduce que: M 0 L0 T 1 =M a La +b T −2 c Lo que nos da el sistema de ecuaciones: a=1/2 b=0 c=−1/2 Eso significa que el período de un péndulo tiene la forma T =C √ l/ g donde C es, o bien una constante, o bien una función adimensional que puede incluir parámetros sin dimensiones (razones trigonométricas, exponenciales, etc). En otros casos la resolución del sistema de ecuaciones no será posible. Supongamos que un cuerpo cae en caída libre. La longitud recorrida puede depender de diversos factores: el intervalo de tiempo transcurrido (t), su velocidad (v), su aceleración (a), su masa (d)... La forma general de la ecuación es del tipo l=C∗t a v b ac md El análisis de homogeneidad dimensional sería: a

b

c

d

a

−1 b

−2 c

[L]=[t v a m ]=T (L T ) (L T ) M M 0 L1 T 0=M d Lb+ c T a−b−2 c

d

El siguiente paso consiste en resolver el sistema de ecuaciones resultante: d=0 b+ c=1 a−b−2 c=0 Este sistema tiene cuatro incógnitas y tres ecuaciones independientes, y eso lo hace matemáticamente irresoluble. Aun así, podemos extraer información útil. El hecho de que d=0 nos indica que la longitud recorrida por el cuerpo no depende de su masa, de modo que podemos

Apuntes de Arturo Quirantes – Homogeneidad dimensional despreocuparmos de ese parámetro. En cuanto a los demás, existe un número infinito de posibilidades, pero de tal forma que se cumplan las relaciones b=2-a, c=a-1. Suponiendo que el número a adopte valores enteros (no tiene por qué ser así, pero supongámoslo), la forma más general de la ecuación sería del tipo T =C1 v 2 /a+C 2 vt+ C3 a t 2+C 4 a2 t 3 /v +... donce Ci son constantes adimensionales.