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Hacia una definición de E-Learning Néstor J. Ojeda G. www.arearh.com Quienes iniciamos nuestras actividades docentes en la década de los 70s hemos tenido la oportunidad de seguir de cerca la evolución del concepto de aprendizaje. Comenzamos por concebir el aprendizaje como un cambio en la probabilidad que una conducta particular ocurra en una situación específica (Ertmer y Newby, 1993). En tal sentido, se asume que un estudiante ha aprendido cuando se comporta consistentemente de la manera deseada en respuesta a un estímulo específico que se le presenta. Un elemento bien importante en el proceso de aprender bajo esta perspectiva es el refuerzo a través del castigo y el premio. De esta manera han aprendido a sentarse y a echarse todos mis perros. Lo mismo hacían mis alumnos de Inglés de 1º de Bachillerato cuando al entrar en los salones de clase saludaban en Inglés y me oían responder "Fine, thanks. Sit down, please". Por supuesto que esto no quiere decir que tratáramos a los estudiantes como perros, pero fue de la experimentación con animales que nació el concepto que luego se trasladara a los seres humanos. Se trata de una perspectiva conductista del aprendizaje que por mucho tiempo ha dado resultados mediatos, como por ejemplo en la formación de los militares, a quienes se les entrena para que acaten órdenes de sus superiores sin análisis de ningún tipo. Luego vino Gagné (1977) indicando que el aprendizaje se entiende como "un cambio en la disposición o capacidad humana, que persiste en el tiempo y que no se puede adscribir simplemente a los procesos de crecimiento". Dicho en otras palabras, se trata de un cambio en el conocimiento almacenado en la memoria que está íntimamente relacionado con la explicación de cómo trabaja la memoria para procesar información (Newby et al, 1996). Este es el punto de vista cognitivista del acto de aprender, bajo cuya perspectiva desarrollo Gagné sus nueve eventos de instrucción que siguen siendo válidos cuando se diseñan materiales instruccionales computarizados bajo las modalidades de tutoriales, ejercicios y prácticas, o remediales; por ejemplo. Y para la década de los 90s, autores como Díaz y Hernández (1997) conciben al aprendizaje bajo una óptica constructivista, en los siguientes términos

Un proceso de elaboración del conocimiento en el cual el aprendiz selecciona, organiza y transforma la información que recibe de muy diversas fuentes, estableciendo relaciones entre dicha información y sus conocimientos previos... aprender un contenido quiere decir que el alumno le atribuya significado, construya una representación mental a través de imágenes o proposiciones verbales o bien elabore una especie de teoría o modelo mental como marco explicativo de dicho conocimiento. Otros autores han avanzado más allá de lo fundamentalmente cognoscitivo en sus definiciones del aprendizaje y así se encuentran definiciones como la de Ríos Cabrera (2001) quien concibe al aprendizaje como "el proceso mediante el cual se obtienen nuevos conocimientos, habilidades, valores o actitudes a través de experiencias vividas, las cuales producen cambios en nuestro modo de ser o de actuar". Por su parte, Rosenberg (2001) circunscribe el concepto de aprendizaje al contexto del adiestramiento en el mundo de los negocios y la industria, refiriéndolo como Un medio para lograr un fin. Hablando en términos generales, ese fin es la ejecución ampliada de la fuerza de trabajo, que a su vez refleja su valor: mejores productos y servicios, costos más bajos, una postura más competitiva en el mercado, mayor innovación, productividad incrementada, un mercado más ampliamente compartido, etc. Es en ese orden de ideas que Rosenberg define al aprendizaje como "el proceso en el cual las personas adquieren nuevas habilidades o conocimientos con el propósito de ampliar su ejecución o desempeño en el trabajo" (destacado mío para clarificar la traducción). Lo que eso significa en el contexto de la industria y el comercio es que el aprendizaje le permite a un individuo o a un grupo de ellos trabajar más rápido, mejor y con mayor productividad de manera que él (ellos) y sus organizaciones empleadoras alcancen beneficios en el negocio. Esta última es obviamente una visión más centrada en el desarrollo de capitales y menos holística que la forma como se concibe el aprendizaje en el ámbito educativo, el cual busca la formación integral del ser humano. No obstante, se observa como Ríos incorpora a su definición elementos del

campo psicomotor y actitudinal que también se desarrollan por medio del aprendizaje. En función de los aportes de las perspectivas teóricas mencionadas y luego de 25 años en el ejercicio de la docencia, he reconstruido mi propio concepto del aprendizaje como un proceso de elaboración del conocimiento, habilidades, valores o actitudes; en el cual el individuo, haciendo uso de sus habilidades intelectuales (procedimientos de la memoria como la atención, codificación y recuperación de información; por ejemplo), construye una representación mental de un ente o de una abstracción y elabora una especie de teoría o de modelo mental que lo explica. Esta actitud, conocimiento, habilidad o valor puede ser nuevo o ser producto de la transformación de conocimientos y experiencias previas almacenados en su memoria que se interrelacionan con lo nuevo. Con este crecimiento del concepto de aprendizaje, que sustenta el pan de mi familia, es que vengo observando con suma frecuencia algunas definiciones del término e-learning, las cuales me generan cierto grado de preocupación en cuanto a lo que bien pudiera ser considerada como una debilidad en el concepto o una interpretación con cierta inexactitud.

Asumiendo que la "e" de e-learning se corresponda a la palabra "electronic" en Inglés, debemos entender entonces que estamos ante la presencia de un sustantivo compuesto cuyo núcleo es la palabra learning que puede ser traducida como APRENDIZAJE. Ante esta combinación, estaríamos interpretando el término de manera apropiada como "aprendizaje electrónico o aprendizaje por medios electrónicos".

Y nos topamos entonces con definiciones como la de nuestros amigos de Click2learn (2000) "Training materials and instructional information that is delivered electronically over the Web, through an organization’s Intranet, or via CD-ROM, is known as e-Learning. An on-line course is a popular type of e-Learning which can include test questions". En la obra de Marc J. Rosenberg titulada "E-Learning Strategies for Delivering Knowledge in the Digital Age" (2001) se consigue la siguiente definición de e-learning:

E-Learning refers to the use of Internet technologies to deliver a broad array of solutions that enhance knowledge and performance. It is based on three fundamental criteria: 1. E-Learning is networked, which makes it capable of instant updating, storage/retrieval, distribution and sharing of instruction or information. … 2. It is delivered to the end-user via a computer using standard Internet technology. ... 3. It focuses on the broadest view of learning-learning solutions that go beyond the traditional paradigms of training. Encontramos entonces en estos dos ejemplos los elementos que generan esta argumentación: Click2learn habla de "materiales instruccionales e información...", lo que demuestra una confusión de los términos recursos, medios y contenidos. Por su parte, Rosenberg habla del "uso de tecnologías Internet para distribuir un amplio arreglo de soluciones que amplían el conocimiento y el desempeño", mientras que Clic2learn habla de materiales de entrenamiento e información.

No es el propósito en esta oportunidad dar una definición propia de lo que es o debe ser entendido por E-Learning, sino hacer un llamado de atención de quienes por este medio nos mantenemos actualizándonos sobre los avances en E-Learning.

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TRABAJANDO EN CÁLCULO DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Más sobre Derivadas de Orden Superior…

En el artículo anterior se indicó cómo obtener Derivadas de Orden Superior. En éste, se mostrarán algunos ejemplos de cómo determinar estas derivadas. Ejemplos: 1) Calcular

y ′′ de y = 2 x 4 − 3x 3 + 2 x .

Solución:

Obtenemos la primera derivada:

y = 2 x 4 − 3x 3 + 2 x ⇒

(

)

dy d 2 x 4 − 3 x 3 + 2 x = = 8x 3 − 9 x 2 + 2 ⇒ dx dx

dy = 8x 3 − 9x 2 + 2x dx

Ahora, obtenemos la segunda derivada:

dy = 8x 3 − 9x 2 + 2 x ⇒ dx

y ′′ de

2) Calcular

y=

(

)

d 2 y d 8x 3 − 9x 2 + 2x = = 24 x 2 − 18 x ⇒ dx dx 2

d2y = 24 x 2 − 18 x dx 2

2 + 3x . 2 − 3x

Solución:

Obtenemos la primera derivada:

2 + 3x y= 2 − 3x

 2 + 3x  d  dy 12 2 − 3x  =  = dx dx 4 − 12 x + 9 x 2

⇒

⇒

dy 12 = dx 4 − 12 x + 9 x 2

Obteniendo la segunda derivada:

dy 72 = dx (2 − 3x )3

, de las siguientes funciones:

Solución:

b) y = e 2 x

a) f ( x) = x 3 f ´(x ) = 3 x

2

f ´´(x ) = 6 x f ´´´(x) = 6 f

(4)

=0

y´= 2e 2 x y´´= 4e 2 x y´´´= 8e 2 x y ( 4) = 16e 2 x

)

f ( x) = x 3

)

y = e2 x

c

( 4)

d2y 72 = dx 2 (2 − 3 x )3

b

f ′, f ′′, f ′′′ y f

⇒

a

3) Obtenga

⇒

12   d  d2y 72 4 − 12 x + 9 x 2   = = dx dx 2 (2 − 3x )3

)

y = Sen 2 x

c) y = Sen2 x y´= 2Cos 2 x y´´= −4Sen2 x y´´´= −8Cos 2 x y ( 4 ) = 16Sen2 x

Prof. Rafael Ascanio H.

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ÍNDICE CRONOLÓGICO DE LA MATEMÁTICA (Parte IV)

La cronología entre 500 DC y 900 DC

Aproximadamente 500 DC: Metrodoro compila La Antología Griega que consiste en 46 problemas matemáticos. 510 DC: Eutocio de Ascalon escribe comentarios sobre el trabajo de Arquímedes. 510 DC: Boecio escribe textos de geometría y de aritmética que se utilizarán ampliamente durante mucho tiempo. Aproximadamente 530 DC: Eutocio escribe comentarios sobre los trabajos de Arquímedes y Apolonio. 532 DC: Antemio de Tralles, matemático notable, es el arquitecto que realiza los planos de Santa Sofía en Constantinopla.

Aproximadamente 810 DC: Se abre la Casa del Juego de la Sabiduría en Bagdad. Allí se traducen los trabajos sobre matemática y astronomía de griegos e indios al árabe. Aproximadamente 810 DC: Al-Khwarizmi escribe importantes trabajos sobre aritmética, álgebra, geografía, y astronomía. En particular Hisab al-jabr el w'al-muqabala (el Cálculo por Completación y Balanceo), nos da la palabra "álgebra", de "aljabr." De su nombre al-Khwarizmi, como consecuencia de su libro sobre aritmética, viene la palabra "algoritmo." Aproximadamente 850 DC: Thabit ibn Qurra hace importantes descubrimientos matemáticos como la extensión del concepto de número al de números reales (positivos), cálculo integral, los teoremas de la trigonometría esférica, geometría analítica y geometría no euclidiana.

534 DC: La matemática china es introducida en Japón. 575 DC: Varahamihira produce Pancasiddhantika (Los Cinco Cánones Astronómicos). Él hace importantes contribuciones a la trigonometría.

Aproximadamente 850 DC: Thabit ibn Qurra escribe el Libro sobre la determinación de números amigables que contiene métodos generales para construir números amigables. Él da a conocer un par de ellos, 17296 y 18416.

594 DC: La notación decimal se comienza a utilizar en el sistema numérico de la India. Éste es el sistema en que se basa nuestra notación numérica actual.

850 DC: Mahavira escribe Ganita Sara Samgraha. Consta de nueve capítulos e incluye todo el conocimiento matemático de la India hasta la mitad del Siglo IX.

628 DC: Brahmagupta escribe el Brahmasphutasiddanta (La Apertura del Universo), un trabajo sobre astronomía y sobre matemática. Él usa el cero y los números negativos, propone métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, series numéricas, y cálculo de raíces cuadradas.

900 DC: Sridhara escribe el Trisatika (a veces llamado Patiganitasara) y el Patiganita. En éstos él resuelve ecuaciones cuadráticas, series numéricas, estudia las combinaciones, y propone métodos para encontrar las áreas de los polígonos.

Aproximadamente 700 DC: Matemáticos de la civilización maya introducen un símbolo para el cero en su sistema de numeración. 729 DC: Hsing introduce un nuevo calendario en China, corrigiendo muchos errores de los calendarios anteriores. 732 DC: Qutan Zhuan acusa a Hsing de copiar un calendario indio para producir el suyo. Sin embargo el calendario chino de Hsing es más exacto que el indio. Aproximadamente 775 DC: Alquino de York escribe textos elementales de aritmética, geometría y astronomía. Aproximadamente 790 DC: Los chinos comienzan a utilizar los métodos de las diferencias finitas.

Aproximadamente 900 DC: Abu Kamil escribe el Libro de álgebra que estudia las aplicaciones del álgebra a los problemas geométricos. Este será el libro en que Fibonacci basará sus trabajos.

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SCHROEDINGER: QUIZÁS EL MÁS GRANDE “ARQUITECTO” DE LA FÍSICA MODERNA. Nació en

Viena. Estudió allá, en el Instituto de Física que Ludwig

Boltzman hizo famoso por su formulación estadística de la teoría del calor. En el año 1921, entonces como catedrático en la Universidad de Zurich, publicó su ecuación de onda la cual, como se sabe, conforma la base de le mecánica cuántica. En el año 1926 sucedió a Planck en la cátedra de Física Teórica en la Universidad de Berlín y siete años más tarde recibió el premio Nóbel. Para entonces ya enseñaba física en la Universidad de Oxford. La contribución de Schroedinger a la física es comparable con la que aportaron Newton y

Lagrange. Su ecuación

describe la nube de electrones que rodea al núcleo atómico matemática

une

y

en

su

los dos aspectos que asignamos al electrón, la

ERWIN SCHROEDINGER (1887-1961)

onda y la partícula.

El cuadrado de la función de onda representa la probabilidad de encontrar, en el instante preciso y en el lugar dado,

al

electrón. Esta interpretación fue para Schroedinger algo incómoda ya que, de igual manera como Einstein y Planck, apreciaba el encanto del determinismo. Esperaba que la filosofía descubriera el sentido de las cosas en sí y que aportara a la física lo espiritual que le falta en las ecuaciones matemáticas. La historia no le dio la razón, la filosofía perdió el interés en este asunto y los filósofos encontraron temas para filosofar

en otros

campos del saber.

El

trabajo de entender a los Físicos siempre fue un hueso duro de roer para los poetas. Pero para los físicos todo lo que representa la creación del espíritu humano, literatura, arte, teatro y, ante todo, el pensamiento filosófico, siempre ha sido del mayor interés. A esta verdad la ilustra contundentemente la anécdota siguiente: Después de recibir el premio Nóbel, Schroedinger viajó a Madrid y visitó el Instituto de Física que, para ese entonces, dirigía el profesor Blas Cabrera, famoso por sus trabajos sobre la magnetoquímica. Allí, como cuenta un testigo ocular, se encontraba, por pura casualidad, don Miguel de Unamuno. Cuando el profesor Cabrera les

presentó uno al otro, en los ojos

de

Schroedinger se encendió el fuego de la admiración. Pero Unamuno no sabía quien era Schroedinger. El sentido de las palabras “mente”

y “materia” fue

el tema de muchas disertaciones en

esos tiempos cuando se discutían las

interpretaciones e ideas de la mecánica cuántica. Sobre este fascinante tema Schroedinger escribió varios libros de carácter divulgativo. En el año 1935, Schroedinger escribió “Science and the Human Temperament”, joya literaria que nunca envejece y que en una próxima oportunidad publicaremos artículos en ella contenidos.

Tomado de la Revista Científica Juvenil RETO - Nº 40

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EL CONO ELÍPTICO SIDERAL (Un túnel entre diversos mundos) Br. Adrián Olivo Mención Matemática – F. A. C. E.

Voraces ladrones de materia, que no devuelven nunca a nuestr nuestro o universo: Los agujeros negros ocultan a las miradas indiscretas, sus vísceras más profundas. Pero la imaginación y especulación teórica le encuentran una contrapartida de igual categoría: Los agujeros blancos, un territorio en el que no puede entrar absolutamente nada, pero del que puede salir materia.

Estos dos están unidos entre sí por canales espacio-temporales llamados “Wormhole” (agujeros de gusano); dentro de estos existe una región en la no hay leyes físicas y en la que no rige la relación causa efecto, hasta el punto que es imposible que exista la misma materia (la Singularidad). Imaginémonos como si fueran dos embudos unidos por su pequeña punta hueca, por un extremo absorbe todo (Agujero negro) y por el otro expulsa todo (Agujero blanco) blanco).. Dentro de este “doble embudo” se encuentran los Horizontes de Sucesos. Según el físico Jhon Wheeler, los túneles “Wormhole” constituyen los pasadizos que atraviesan el horizonte de sucesos de los agujeros negros y blancos blancos,, uniendo unos con otros, excluyendo la singularidad y por tanto, la materia absorbida por un agujero negro podría atravesar un “Wormhole” y ser expulsada por un agujero blanco. Para una astronave sería el paso de uno a otro universo.

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APORTE ESTUDIANTIL Br. Luis Orozco Mención Matemática – F. A. C. E.

¡Saludos lectores de HOMOTECIA! En esta, mi primera oportunidad, les propongo un ejercicio sobre integrales con la intención de colaborar con todos aquellos estudiantes dispuestos cada día a prepararse mejor. Les presento el ejercicio:

∫ Sec

3

( x ) dx .

En principio podemos detallar lo siguiente: a) b) c)

Es una integral indefinida que puede ser resuelta utilizando alguna de las técnicas conocidas. No es de resolución inmediata. Es una función trigonométrica y podemos aplicar identidades trigonométricas.

∫ Sec ( x) dx = ∫ Sec ( x) ⋅ Sec ( x) dx . Esta integral se puede resolver utilizando Integración por Partes, cuya regla es la siguiente: u dv = u ⋅ v − v du (1) . ∫ ∫ Para iniciar la resolución, acomodemos la integral de la siguiente manera:

3

2

Procedamos a seleccionar cuál es la función “u” y cuál es “dv” (diferencial de la función v). Lo importante es que el “dv” seleccionado tenga función primitiva. Hagamos entonces la siguiente selección: u = Sec ( x)

∧ dv = Sec 2 ( x) .

Con esto cumplimos el primer paso para la aplicación de la integración por partes. El siguiente es obtener “du” (diferencial de la función u); y a “v” (función primitiva de “dv”):

du = Sec ( x ) ⋅ Tg ( x ) dx

∫ dv = ∫ Sec

∧

2

( x ) dx ⇒ v = Tg ( x ) + C

Sustituyendo en (1):

∫ u dv = u ⋅ v − ∫ v du

⇒ ∫ Sec3 ( x) dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) − ∫ Tg ( x) ⋅ Sec( x) ⋅ Tg ( x) dx + C

∫ Sec ( x) dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) − ∫ Tg 3

2

( x) ⋅ Sec( x) dx + C

Consideremos la siguiente identidad trigonométrica: Tg 2 ( x) = Sec 2 ( x) − 1 . Sustituyámosla en la nueva integral:

∫ Sec ( x) dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) − ∫ [Sec ( x) − 1]⋅ Sec( x) dx + C ∫ Sec ( x) dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) − ∫ [Sec ( x) − Sec( x)]dx + C ∫ Sec ( x) dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) − ∫ Sec ( x) dx + ∫ Sec( x) dx + C 3

2

3

3

3

3

Hasta este momento sólo hemos aplicado propiedad distributiva del producto respecto a la suma algebraica y la propiedad de las integrales indefinidas que plantea que la integral de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de las funciones. Si trasponemos el segundo término del segundo miembro al primer miembro y sumamos, nos queda:

∫ Sec ( x) dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) − ∫ Sec ( x) dx + ∫ Sec( x) dx + C ∫ Sec ( x) dx + ∫ Sec ( x) dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) + ∫ Sec( x) dx + C ∫ [Sec ( x) + Sec ( x)]dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) + ∫ Sec( x) dx + C ∫ 2Sec ( x) dx = Sec ( x) ⋅ Tg ( x) + ∫ Sec( x) dx + C 2 ∫ Sec ( x ) dx = Sec ( x ) ⋅ Tg ( x) + Ln Sec ( x) + Tg ( x ) + C ∫ Sec ( x) dx = [Sec ( x) ⋅ Tg ( x) + Ln Sec( x) + Tg ( x) ] + C 3

3

3

3

3

3

3

3

3

∫ Sec ( x) dx = 3

1 2

1 2

Sec ( x) ⋅ Tg ( x ) + 12 Ln Sec ( x) + Tg ( x) + C

Una acotación: Se observó que la integral original se repitió durante la resolución y para hallar el resultado final se utilizó el procedimiento de despeje. A este tipo de integrales se les llama CÍCLICAS. Con esto finalizamos el ejercicio planteado. ¡Hasta la próxima oportunidad!

L.O.

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TRABAJANDO EN ÁLGEBRA Br. Liliana Mayorga - Br. María Ferreira Mención Matemática – F. A. C. E.

Parte II: Métodos de Demostraciones. Para demostrar un teorema es necesario hacer uso de ciertos métodos de demostraciones, los cuales darán validez a dicho enunciado entre ellos están:

1.- Método Deductivo o deducción matemática: este tipo de razonamiento consiste en la suposición de axiomas, postulados o premisas, los cuales se aceptan como verdaderos y a partir de ellos deducir todo un sistema de propiedades y conclusiones. Este razonamiento, parte de lo general a lo particular; en donde las premisas, axiomas o postulados se les llaman “HIPÓTESIS” y la conclusión a la cual se llega, se le denomina “TESIS”.

2.- Método de Reducción al absurdo consiste en aceptar la falsedad de la tesis y demostrar, por lo tanto la falsedad de la hipótesis. Esto quiere decir: que una demostración por reducción al absurdo es equivalente a la demostración de un teorema directo. (- M ⇒ - N) ≡ (N ⇒ M)

3.- Método de inducción matemática o inducción completa: consiste en la observación directa de unos pocos casos particulares y a partir de ellos inferir que la ley es general. Es decir, este razonamiento parte de lo particular a lo general. En este método se establece una proposición Pn, donde n es un número cualquiera y es cierta para todos los valores que tome n si cumple con las siguientes condiciones: 1.- Es cierta para

n = 1

2.- Si es cierta para

n = h ⇒ lo es para n = h + 1 ⇒ lo es para n = h + 1

Bibliografía consultada: Zambrano, J.; González, O. y González, M. (1997). “Aspectos Básicos de Matemática”. Valencia. U. C.

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PERSPECTIVA Br. Domingo E. Urbáez S. Mención Matemática – F. A. C. E.

Se refiere más que todo a la perspectiva de uno o varios sujetos sobre un mismo punto, demostrando con una variedad de puntos de referencias simultáneos que toda persona puede ver e interpretar situaciones que se le presentan a diario en la vida desde una perspectiva muy distinta a la de otra persona. Al mismo tiempo se demuestra que para que una persona piense igual a otra, esta debe cubrir el mismo espacio – tiempo que la primera; cosa que es hasta los momentos imposible. Por lo tanto, en esta primera parte, se demostrará mediante ecuaciones matemáticas, que un punto tiene “n” coordenadas, dependiendo de la cantidad de personas que se encuentran en el campo de trabajo. Si para el comienzo trabajamos con dos personas, y a una la llamamos “M” y a la otra “N”, diremos entonces que la distancia entre M y N es igual a r. luego representamos dichos puntos en el plano.

Se puede observar que M y N son orígenes de sistemas de coordenadas distintos. También que existe un ángulo φ formado por el segmento de recta de M a N con respecto al eje x. Es decir, N es un punto polar para el sistema donde M es origen, al igual que M con N. Existe un punto P de coordenadas ( x, y ) en el sistema de M y unas coordenadas (u , v) en el sistema de N. En el próximo artículo continuaremos. ¡Hasta el próximo número! DEUS

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GALERÍA

Niels Henrik Abel (1802-1829) Nació en 5 de Agosto de 1802 en Frindoe (cerca de Stavanger), Noruega y murió el 6 de Abril de 1829 en Froland, Noruega, a la edad de 26 años. La vida de Abel estuvo marcada por la pobreza. A finales del siglo XVIII, Noruega pertenecía a Dinamarca. Dinamarca procuró permanecer neutral en las guerras Napoleónicas, pero Inglaterra terminó por atacar por mar a Dinamarca y destruyó su flota. Dinamarca entonces se unió en la alianza contra Inglaterra. La alianza bloqueó Inglaterra y ésta, bloqueó a Noruega. El doble bloqueo perjudicó muchísimo a Noruega y el pueblo noruego padeció hambre. En 1813 Suecia atacó Dinamarca y ésta acabó cediendo Noruega a Suecia. Los noruegos intentaron independizarse pero Suecia controló la revuelta y estableció un gobierno provisional en Oslo (por aquella época llamada Christiania). El padre de Abel era un nacionalista que participaba activamente en la política, en 1814, participó en la redacción de la nueva constitución de Noruega. El abuelo de Abel era un pastor protestante, que murió cuando Abel tenía un año de edad. El padre de Abel sucedió en la vicaria a su padre, hasta que Abel tuvo 13 años. La madre de Abel era hija de un comerciante y naviero. Abel, era el segundo hijo de siete. En 1815. Abel y su hermano mayor, fueron enviados a Oslo a la Escuela Catedral. Esta escuela había sido muy buena, pero cuando Abel llegó ya no lo era, porque los profesores buenos se habían ido a la reciente fundada Universidad de Oslo. Abel fue un estudiante normal, con talento en Matemáticas y Física. En 1817 llegó a la escuela un nuevo profesor de matemáticas, Bernt Holmboe. El anterior había sido cesado por pegar a un alumno tanto que le causó la muerte. Abel empezó a estudiar textos de nivel universitario y al cabo de un año de la llegada de este profesor, Abel empezó a leer los trabajos de Euler, Newton, y d'Alembert. Holmhoe estaba convencido que Abel tenía un gran talento para las matemáticas y le animó a estudiar los trabajos de Lagrange y Laplace. En 1820 murió el padre de Abel. La carrera política del padre de Abel había acabado de mala manera, por su afición a la bebida y por haber hecho falsos cargos contra sus colegas del Parlamento. Abel no tenía dinero para continuar sus estudios y además tenía la responsabilidad de alimentar a su familia. Holmhoe consiguió una beca para que Abel continuase sus estudios y recaudó dinero de sus colegas para que Abel entrase en la Universidad de Christiania en 1821 y se graduase en 1822. En el último año en la escuela, Abel, comenzó a trabajar en la solución de las ecuaciones quánticas por radicales. Creyó que había resuelto el problema y envió su trabajo a Ferdinand Degen, para su publicación en la Real Sociedad de Copenhague. Deguen pidió a Abel que le enviase un ejemplo numérico y al tratar de resolver el ejemplo, Abel se dio cuenta del error. En la universidad de Christiania, Abel encontró ayuda económica y ánimo en el profesor de astronomía, Christopher Hansteen. La esposa de Hansteen empezó a cuidar de Abel como si fuese un hijo. En 1823 Abel publicó Soluciones de algunos problemas por medio de integrales definidas, que fue la primera solución de una ecuación integral. En 1824, Abel demostró la imposibilidad de resolver las ecuaciones quánticas por radicales. Publicó este trabajo en francés y a sus expensas. Abel envió este trabajo a varios matemáticos incluido Gauss, a quien tenía pensado visitar en Göttingen. En 1825, el gobierno noruego le concedió una beca para que pudiese visitar a los grandes matemáticos de la época. En Copenhague Abel consiguió una carta de presentación para Crelle, un matemático de Berlín. Abel y Crelle se

hicieron grandes amigos. Crelle estaba preparando la publicación de una revista matemática y encargó a Abel una versión sencilla de su demostración de la imposibilidad de resolver por radicales, ecuaciones quánticas. En 1827 se publicó el primer número de la revista de Crelle que incluía el trabajo de Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques, y otros seis trabajos de Abel. La revista de Crelle continuó publicando trabajos de Abel y éste empezó a trabajar en establecer con rigor las bases del Análisis. El viaje de Abel concluyó, después de varias peripecias en París, donde presentó a la Academia un trabajo sobre funciones transcendentales. Cauchy y Legendre fueron los encargados de examinar el trabajo y Abel permaneció en Paris, durante varios meses, en los que pasó muchas penalidades que dejaron su salud en muy mal estado. A finales de 1826, Abel regresó a Berlín, donde le prestaron dinero y continuó trabajando en las funciones elípticas. Crelle trató de persuadir a Abel de que se quedase en Berlín y le ofreció el puesto de editor de su revista, pero Abel no aceptó porque quería casarse y regresó a Noruega. En mayo de 1827 llegó a Oslo y fue recompensado con una pequeña cantidad de dinero, si bien, la Universidad se reservó el derecho de recuperar el dinero de los salarios futuros de Abel. Para conseguir más dinero Abel dio clases a escolares y su prometida se empleó como institutriz en una familia amiga de Abel en Froland. La situación económica de Abel mejoró al ocupar el puesto de Hansteen en la Universidad y en la Academia militar. En 1828 Abel vio un trabajo de Jacobi sobre transformaciones de integrales elípticas. Abel se dio cuenta que los resultados de Jacobi, eran consecuencia de su trabajo. En esta época, Abel estaba trabajando en determinar qué ecuaciones algebraicas eran resolubles por radicales, pero el trabajo de Jacobi hizo que volviese a sus trabajos sobre las funciones elípticas. La salud de Abel continuó deteriorándose. Pasó el verano de 1828 con su novia en Froland. El trabajo que había enviado a la Academia de Paris, se había perdido y tuvo que rehacerlo. Este trabajo sólo tenía dos páginas pero quizá sea el más importante de los muchos trabajos de Abel. En las navidades de 1828, volvió a visitar a su prometida en Froland. Su salud era muy mala. Crelle había redoblado sus esfuerzos para conseguirle un puesto en Berlín y le envió una carta el 8 de abril de 1829 comunicándole que lo había conseguido, pero Abel había muerto el 6 de abril. La memoria que Abel había presentado a la Academia de París fue encontrada por Cauchy en 1830 y fue publicada en 1841, desapareció de nuevo y fue encontrada en 1952 en Florencia. Biografía de Niels Henrik Abel, publicado por: J. J. O´Connor - E F Robertson en “Las Matemáticas de Mario”.http://www-hitory.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Education/introduction.html".

ESTATUA DE ABEL CIUDAD DE OSLO