INSTITUTO TEC NOLO G IC O DE OAXACA METODOS N UMERICOS

GAUS S

JO R DA N

GAUS S

SEIDEL

OCTUBRE 2009

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Contenido SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .................................................................................. 3 MÉTODO DE GAUSS - JORDAN ................................................................................................. 4 Ejemplo 1 .................................................................................................................................... 4 Ejemplo 2:................................................................................................................................... 5 Aplicación del método Gauss-Jordán Para la resolución de un problema de Ingeniería .............. 6 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL ..................................................................................................... 8 La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente: ...................... 8 Ejemplo....................................................................................................................................... 9 Aplicación del método gauss seidel ........................................................................................... 12 BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................... 14

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así :

un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s 1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :

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MÉTODO DE GAUSS - JORDAN Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

Ejemplo 1 Resolver por el método de Gauss-Jordan

Pasándola a la forma matricial Nos quedaría Asi

Intercambiando el primer y tercer renglón

Restando dos veces el renglón 1 al renglón 3

Restando 3 veces el renglón 2 al renglón 3

Multiplicando el renglón 3 por –(1/13)

Restando 2 veces el renglón 3 al 2, y restando 3 veces el renglón 3 al renglón 1

Sumando el renglón 1 mas el renglón 2

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Los que nos da la solución del sistema por este método

Ejemplo 2: Dadas las siguientes ecuaciones resolver por gaus-jordan

Escribiéndola en forma de matriz

e intercambiando el renglón 2 por el 1

restando 3 veces el renglon 1 al 2

y diviendo el renglo 2 entre de 13

sumando 5 veces el renglon 2 al 1

l o que nos da un sistema de la cual despejamos las variables de la siguiente manera

Se dice entonces que el sistema tiene una infinidad de resultados

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Aplicación del método Gauss-Jordán Para la resolución de un problema de Ingeniería DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS Todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema critico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de construcción, distribución de productos y recursos en la ingeniería, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. Un ingeniero Civil supervisa la producción de cuatro tipos de mezclas de concreto para la elaboración de prefabricados. Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, grava, Arena y Agua Mezcla

Mano de Grava Obra 3 20 4 25 7 40 20 50

1 2 3 4

Arena

agua

10 15 20 22

10 8 10 15

En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de mezclas. Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg Grava, 970 kig de Arena y 601 litros de agua. ¿Cuántas mezclas de cada tipo se pueden realizar por día? SOLUCION: La cantidad total producida de cada mezcla esta restringida al total de recursos disponibles en cada categoría diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de mezcla. 3x1 +

4x2 + 7x3 + 20x4 =<

504

Y así sucesivamente con los demás recursos. 20x1 + 25x2 + 40x3 +

50x4 =< 1970

10x1 + 15x2 + 20x3 +

22x4 =< 970

10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601 Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultanea de otra manera, se acabaría uno o mas de los recursos necesarios en la producción de los cuatro tipos de mezclas. Si los recursos disponibles representados por el vector de termino independiente de las ecuaciones

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anteriores, se reducen todos a cero simultáneamente, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de mezcla producida se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los metodos de gauss. Aplicando la eliminación Gaussiana con los pasos anteriores se tiene que: X1=10 X2=12 X3=18 X4=15 Esta información se usa en el calculo de las ganacias totales. Por ejemplo, suponiendo las ganancias que corresponden a cada mezcla estan dadas por P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada con un dia de actividad esta dada por: P = p1x1 + p2x2 +p3x3 + p4x4 Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro. MEZCLA

P

GANANCIA

1

1000

2

700

3

1100

4

400

=

1000(10)+

700(12)+

1100(18)+

400(18)

=

44 200

De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los recursos especificados en el problema.

Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de GaussJordan. Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

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MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación. Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal. Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente: 1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia. 2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos. 3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes. 4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficniente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se

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obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración. 5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo. Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de las incógnitas para un dado.

Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un un error menor a 0.001. 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30 3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85 0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40 SOLUCIÓN: Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten los coeficientes mayores para asegurar la convergencia. 3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30 0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40 Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:

Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1

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Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:

En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

Como podemos observar, no se cumple la condición

Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:

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Comparando de nuevo los valores obtenidos

Como se observa todavía no se cumple la condición

Así que hacemos otra iteración

Comparando los valores obtenidos

Dado que se cumple la condición, el resultado es:

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X1 = 3.0 X2 = -2.5 X3 = 7.0 Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo se necesitan más iteraciones.

Aplicación del método gauss seidel Problema 1. Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre? Solución: ¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca? Queremos saber el número de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina, asignemos literales a esos números. Sean x el número de toneladas que se extrae de la mina I. y el número de toneladas que se extrae de la mina II. Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales. ¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I? 0.01 x ¿Y de la mina II? 0.02 Entonces la ecuación queda : 0.01x + 0.02y =4 Análogamente para el cobre tenemos: 0.02x+0.05y=9 Así, para saber cuántas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema De dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

La matriz queda de la siguiente forma

Despejando las incógnitas

Tomando como primer valor inicial a y1 =75 resolvemos para x1 para optener porteriormente y2

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Calculamos el error

que aun es mayor al 1% Asi que repetimos el proceso de iteración las veces necesarias

Este proceso continua.. dándonos como resultado X=100 Y=200 Que son las toneladas de material necesarias que se deben extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre

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BIBLIOGRAFIA http://cbi.azc.uam.mx/archivos/varios/ProblemarioW.pdf http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoDeGauss http://www.fing.edu.uy/~nmoller/2004/parte1.pdf http://www.math.com.mx/docs/sec/sec_0014_Sistemas_Lineales.pdf http://www.vadenumeros.es/tercero/problemas-con-sistemas.htm

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