I. NOCIONES GENERALES SOBRE ESPACIOS ´ METRICOS

En este primer cap´ıtulo se recuerdan los conceptos topol´ogicos b´asicos y se adopta la terminolog´ıa y notaci´on que se manejar´an a lo largo del curso; se introducen adem´as los ejemplos que servir´an de modelo para las aplicaciones esenciales de la teor´ıa a desarrollar.

SECCIONES 1. Definiciones previas y primeros ejemplos. 2. Nociones topol´ogicas en espacios m´etricos. 3. Aplicaciones entre espacios m´etricos. 4. Completitud en espacios m´etricos. 5. Compacidad en espacios m´etricos. 6. Ejercicios.

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1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS.

La estructura m´as importante del an´alisis funcional es el espacio vectorial. Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamar´an vectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) si en X se definen dos operaciones, suma y multiplicaci´on por escalar, con las propiedades algebraicas siguientes: (a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir: a.1) ∀x ∈ X : x + y = y + x. a.2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z). a.3) Existe un u ´nico 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (no confundirlo con el neutro de E). a.4) ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0. (b) La multiplicaci´on por escalar verifica: b.1) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : α(β · x) = (αβ) · x. b.2) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 es la identidad en E). b.3) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : (α + β) · x = α · x + β · x. b.4) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ E : α · (x + y) = α · x + α · y. Un espacio vectorial real es aqu´el donde E = R y un espacio vectorial complejo es aqu´el donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E, entenderemos que se trata de R ´o C. Notaci´ on: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribiremos A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}, A − B = {x − y : x ∈ A, y ∈ B}, A \ B = {x : x ∈ A, x 6∈ B} (en particular Ac = X \ A), λA = {λx : x ∈ A} (obs´ervese que 2A 6= A + A), A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. Una familia finita de vectores {x1 , . . . , xn } ⊂ X se dice linealmente independiente cuando α1 x1 + · · · + αn xn = 0 =⇒ α1 = · · · = αn = 0. 2

An´alogamente, una colecci´on arbitraria de vectores es linealmente independiente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente. Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Hamel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinaci´on lineal de elementos de A, es decir si existen escalares α1 , . . . , αn ∈ E y vectores x1 , . . . , xn ∈ A tales que x = α1 x1 + · · · + αn xn . Entenderemos siempre las combinaciones lineales finitas, aunque haya un n´ umero infinito de elementos en la base. Se puede probar (como una aplicaci´on del lema de Zorn) que todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Adem´as todas las bases tienen el mismo n´ umero de elementos, llamado dimensi´on (algebraica) del espacio. Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es tambi´en espacio vectorial (con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y s´olo si 0 ∈ Y y αY + βY ⊂ Y, ∀α, β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio de X que contiene a U se llama subespacio generado por U , y lo denotaremos por hU i. Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M1 , . . . , Mn , lo cual denotaremos por X = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn , si X X = M1 + · · · + Mn y Mi ∩ Mj = {0}, i = 1, . . . , n. j6=i

Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma u ´nica como suma x = m1 +· · ·+mn con mi ∈ Mi , i = 1, . . . n. A diferencia de lo anterior, se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X × Y con las operaciones usuales. En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se puede definir el concepto de m´etrica. Si adem´as posee estructura de espacio vectorial, ciertas m´etricas dar´an lugar a la noci´on de norma, como veremos en el cap´ıtulo II. 1.1.- Definici´ on. Un espacio m´etrico es un par (X, d), donde X es un conjunto arbitrario no vac´ıo y d : X × X → R una aplicaci´on, llamada distancia o m´etrica, tal que, para cualesquiera x, y, z ∈ X, se verifica: (1) d(x, y) ≥ 0. (2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. (3) d(x, y) = d(y, x). (4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). De la definici´on son evidentes las siguientes propiedades: 3

i) d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · · · + d(xn−1 , xn ), ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ X. ii) |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X. iii) Si Y es un subconjunto del espacio m´etrico (X, d) y se define d0 (y1 , y2 ) = d(y1 , y2 ), ∀y1 , y2 ∈ Y , entonces (Y, d0 ) es tambi´en un espacio m´etrico y d0 se llama m´etrica inducida por d a Y . 1.2.- Ejemplos. ( 1) Sea X un conjunto cualquiera. La aplicaci´on d definida 1 si x 6= y por d(x, y) = es la llamada m´etrica trivial o discreta. 0 six = y, 2) Si X = R, d(x, y) = |x − y| es la distancia usual (eucl´ıdea). p 3) Para X = R2 , d(x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 es tambi´en la distancia eucl´ıdea. Las aplicaciones d(x, y) = |x1 −y1 |+|x2 −y2 | y d(x, y) = m´ax{|x1 −y1 |, |x2 − y2 |} son tambi´en m´etricas en X. 4) En X = Rn son distancias dp (x, y) =

n X

|xi − yi |p

1/p

(p ≥ 1), y

i=1

d∞ (x, y) =

m´ax |xi − yi |.

1≤i≤n

Un hecho interesante es que todas ellas van a dar topolog´ıas equivalentes (ver teorema 5.9, cap´ıtulo II).. 5) Sean X = Q, c ∈ R (0 < c < 1), p primo. Todo x ∈ Q se puede escribir a como x = pα donde p no divide a a ni a b. As´ı definimos el valor p-´adico b de x como |x|p = cα si x 6= 0 y |0|p = 0. De este modo, d(x, y) = |x − y|p es una m´etrica (ver [BN]). 6) En el espacio X = {x = (xn )n∈N : xn ∈ C, (xn )n∈N sucesi´on acotada} definimos d(x, y) = supn |xn − yn |. As´ı (X, d) es un espacio m´etrico y se denota por `∞ . P p 7) En general, si llamamos `p = {x = (xn )n∈N : ∞ n=1 |xn | < ∞}, (p ≥
P∞ 1/p p 1), las aplicaciones dp (x, y) = son tambi´en distann=1 |xn − yn | cias. El espacio correspondiente a p = 2 fue estudiado por Hilbert (1912) en su estudio sobre las ecuaciones integrales y constituy´o el primer ejemplo de los que posteriomente definiremos como espacios de Hilbert. 4

Para comprobar los axiomas (concretamente la desigualdad triangular) son necesarias las desigualdades de H¨older y Minkowski que veremos posteriormente (cap´ıtulo II, secci´on 2). Como la desigualdad triangular falla precisamente cuando p < 1, no tiene sentido definir el espacio `p con p < 1. 8) Los espacios c = {(xn )n∈N : xn ∈ C, (xn )n∈N convergente} y c0 = {(xn )n∈N : xn ∈ C, l´ım xn = 0}, n→∞

al ser subespacios de `∞ , son espacios m´etricos con la m´etrica inducida por `∞ . 9) Si llamamos C[a, b] al espacio de las funciones continuas en [a, b], la aplicaci´on d(f, g) = m´axx∈[a,b] |f (x) − g(x)| define tambi´en una distancia en el conjunto. 10) M´as generalmente, si B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A, d(f, g) = supx∈A |f (x) − g(x)| es tambi´en una distancia. Dejamos como ejercicio la comprobaci´on de los axiomas de espacio m´etrico en los ejemplos anteriores.

´ ´ 2. NOCIONES TOPOLOGICAS EN ESPACIOS METRICOS.

Sea (X, d) un espacio m´etrico. Si x ∈ X, r > 0, la bola abierta de centro x y radio r es el conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}. An´alogamente se definen las correspondientes bolas cerradas B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} y las esferas S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r}. En general, se llama di´ametro de un conjunto A a di´am A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. ( {x} si r ≤ 1, Ejemplos. 1) Si d es la m´etrica trivial en X, B(x, r) = X si r > 1. 2) En (R, | · |), las bolas abiertas son B(x, r) = {y ∈ R : |x − y| < r}. 2.1.- Definici´ on. Sea A ⊂ X. Se dice que x ∈ A es punto interior de A si existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A. Se llama interior de A al conjunto int A = {x ∈ A : x es punto interior de A}. Si int A = A, A se llama abierto. Si llamamos A a la colecci´on de todos los conjuntos abiertos de X, tenemos las siguientes propiedades: 5

P1) Aα ∈ A, α ∈ I =⇒

S

P2) A1 , . . . , An ∈ A =⇒

α∈I

Aα ∈ A (I es cualquier conjunto de ´ındices).

Tn

i=1 Ai

∈ A.

P3) ∅, X ∈ A. Observaci´ on. Recordemos que un espacio topol´ogico es aqu´el en el que existe una familia A de subconjuntos de X que verifican los axiomas (P1), (P2), (P3). De aqu´ı se deduce que todo espacio m´etrico es a su vez un espacio topol´ogico. 2.2.- Definici´ on. Dado A ⊂ X, un punto x ∈ X es de adherencia de A si ∀r > 0 : B(x, r) ∩ A 6= ∅. El conjunto A = {x ∈ X : x es punto de adherencia de A} se llama clausura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las siguientes propiedades son elementales: (1) A ⊂ A; (2) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B; (3) A ∪ B = A ∪ B. 2.3.- Proposici´ on. A es abierto si y s´ olo si Ac es cerrado. Demostraci´ on. Supongamos que A es abierto. Entonces x ∈ Ac =⇒ ∀r > 0 : B(x, r) ∩ Ac 6= ∅ =⇒ B(x, r) 6⊂ A =⇒ x 6∈ int A =⇒

(como A es abierto) x 6∈ A =⇒ x ∈ Ac .

Esto quiere decir que Ac es cerrado. El rec´ıproco tambi´en es directo.

♦

De esta proposici´on y de las propiedades an´alogas para los abiertos, se deducen las siguientes: P1) T Si {Ai }i∈I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces i∈I Ai es cerrado. S P2) Si {A1 , . . . , An } son cerrados, ni=1 Ai es cerrado. P3) ∅, X son cerrados. 2.4.- Definici´ on. Un punto x ∈ X es punto l´ımite (o de acumulaci´on) de A ⊂ X cuando ∀r > 0, B(x, r) ∩ A contiene infinitos puntos de A (lo que es equivalente a decir que contiene alg´ un punto de A distinto de x). Se llama conjunto derivado de A, A0 = {x ∈ X : x es punto l´ımite de A}. Es f´acil comprobar que A es cerrado si y s´olo si A0 ⊂ A. 6

2.5.- Definici´ on. Dada una sucesi´on (xn )n∈N de puntos de X, se dice que converge al punto x, y se escribe xn → x, cuando ∀r > 0, ∃N : xn ∈ B(x, r), ∀n > N. La condici´on anterior equivale a que la sucesi´on de n´ umeros reales {d(xn , x)}n∈N converge a cero. An´alogamente, una sucesi´on de subconjuntos {An }n∈N de X converge a un punto x ∈ X si para toda bola B centrada en x, existe un ´ındice m tal que An ⊂ B para todo n > m. Es inmediato que: 2.6.- Proposici´ on. Dada una sucesi´ on arbitraria (xn )n∈N en X, si llamamos Ak = {xn : n > k}, entonces xn → x si y s´ olo si Ak converge a x. Ejemplos. 1) Sea X un conjunto arbitrario con la m´etrica trivial. Si xn → x, entonces xn = x, ∀n > N. 2) Sea Q con la distancia p-´adica. Dada la sucesi´on {pn }n∈N , d(0, pn ) = |p|np = cn y como c < 1, pn → 0. 2.7.- Definici´ on. Una sucesi´on (xn )n∈N en X es acotada cuando sup{d(xn , xm ) : n, m ∈ N} < ∞. En general, un subconjunto M ⊂ X es acotado cuando M ⊂ B(x0 , r) con x0 arbitrario y r suficientemente grande. Un concepto m´as general, y que relacionaremos posteriormente con el de compacidad, es el siguiente: 2.8.- Definici´ on. Un conjunto A de un espacio m´etrico X se dice totalmente acotado o precompacto si, dado cualquier ε > 0, existe un n´ umero finito de conjuntos A1 , . . . , Ap tales que A = A1 ∪ · · · ∪ Ap y di´am Ai ≤ ε, i = 1, . . . , p. 2.9.- Proposici´ on. Si A es totalmente acotado, entonces es acotado. Demostraci´ on. Tomemos ε = 1; por hip´otesis A = A1 ∪· · ·∪Ap con di´am Ai ≤ 1. Para cada i ∈ {1, . . . , p}, elegimos xi ∈ Ai y llamamos δ = m´ax{d(xi , xj ), i, j = 1, . . . , p}. Dados x, y ∈ A, existir´an i, j tales que x ∈ Ai , y ∈ Aj ; luego d(x, y) ≤ d(x, xi ) + d(xi , xj ) + d(xj , y) ≤ 1 + δ + 1 = 2 + δ, lo que prueba la acotaci´on de A.

♦

El rec´ıproco no es cierto: basta considerar un conjunto infinito A con la m´etrica discreta pues toda esfera de radio ε < 1 s´olo posee un punto y A no 7

puede cubrirse con un n´ umero finito de esferas de radio ε < 1. Sin embargo, es evidente que se trata de un conjunto acotado. 2.10.- Lema. Sea (X, d) un espacio m´etrico. a) Si (xn )n∈N es convergente, entonces est´ a acotada y su l´ımite es u ´nico. b) Si xn → x, yn → y, entonces d(xn , yn ) → d(x, y). Demostraci´ on. a) Haciendo ε > 1, existe N ∈ N tal que d(xn , x) < 1, ∀n > N . Por otra parte, para los valores n ≤ N, existe a = m´ax{d(x1 , x), . . . , d(xN , x)}. Entonces d(xn , x) ≤ 1 + a, ∀n y d(xn , xm ) ≤ 2(1 + a), ∀n, m. Si xn → x, xn → y, entonces 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y) → 0. b) Por la desigualdad triangular, d(xn , yn ) ≤ d(xn , x) + d(x, y) + d(y, yn ). Entonces |d(xn , yn ) − d(x, y)| ≤ d(xn , x) + d(y, yn ) → 0. ♦ Observaci´ on. En R con la m´etrica eucl´ıdea se verifica adem´as que toda sucesi´on mon´otona y acotada es convergente. Otro resultado importante es el teorema de Bolzano-Weierstrass que afirma que toda sucesi´on acotada en R tiene alguna sub-sucesi´ on convergente. Muy u ´tiles en lo sucesivo ser´an las siguientes caracterizaciones de la clausura de un conjunto. 2.11.- Proposici´ on. x ∈ A ⇐⇒ ∃(xn )n∈N ⊂ A tal que xn → x. Demostraci´ on. Si x ∈ A, por definici´on, ∀n ∈ N, B(x, 1/n)∩A 6= ∅. Elegimos un punto xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A. Est´a claro que xn → x porque d(xn , x) < 1/n. Rec´ıprocamente, si xn → x con xn ∈ A, dado cualquier r > 0, existe N (r) tal que xn ∈ B(x, r), ∀n > N (r), de donde B(x, r) ∩ A 6= ∅. ♦ 2.12.- Corolario. A es cerrado si y s´ olo si dada cualquier sucesi´ on (xn )n∈N contenida en A y xn → x, entonces x ∈ A. 2.13.- Definici´ on. Un subconjunto M de un espacio m´etrico X es denso en X si M = X. El espacio X se dice separable si posee alg´ un subconjunto numerable que es denso en X. En la pr´actica se prefieren los espacios separables, m´as simples que los otros. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos. 1) Si X es un espacio con la m´etrica discreta, es separable si y s´olo si es numerable, pues ning´ un subespacio propio puede ser denso. 2) R es separable pues Q ⊂ R es numerable y denso en R. 3) C es separable pues {x + iy : x, y ∈ Q} es numerable y denso en C. 8

4) Veamos que `∞ no es separable: Sea M = {y = (yn )n∈N sucesi´on formada por ceros y unos}. Asociamos a cada y otro n´ umero yb ∈ [0, 1] cuya representaci´on binaria es y1 /2 + y2 /22 + n · · · + yn /2 + . . . As´ı, como [0, 1] no es numerable y dos puntos distintos yb, zb ∈ [0, 1] tienen distintas representaciones binarias, el conjunto de las sucesiones M formadas por ceros y unos es tambi´en no numerable. (Otra forma de ver que M es no numerable es aplicar el procedimiento diagonal de Cantor.) Adem´as, dos de ellas verifican d(y, z) = 1. Por tanto, {B(y, 1/3) : y ∈ M } es una familia no numerable de conjuntos disjuntos. Si un conjunto arbitrario D fuera denso en `∞ , cada una de esas bolas tendr´ıa alg´ un punto de D; como hay un conjunto no numerable de bolas, debe haber un conjunto no numerable de elementos de D. De esto se deduce que `∞ no es separable. 5) Los espacios `p , con 1 ≤ p < ∞, son separables: En efecto, si M = {y = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ) : yk ∈ Q, ∀k}, M es numerable. ∞ P Adem´as, ∀x = (xn )n∈N ∈ `p , dado cualquier ε > 0, ∃n = n(x) : |xk |p < k=n+1

εp /2 (por ser el resto de una serie convergente). P Como Q es denso en R, ∃yk ∈ Q : nk=1 |xk − yk |p < εp /2. Si definimos el elemento y = (y1 , . . . , yn , 0, . . . ), entonces d(x, y)p =

n X j=1

|xk − yk |p +

∞ X

|xk |p < εp =⇒ d(x, y) < ε.

j=n+1

Esto demuestra que M es denso en `p .

´ 3. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS METRICOS.

3.1.- Definici´ on. Sean (X, d), (Y, d0 ) espacios m´etricos. Se dice que una aplicaci´on f : X → Y es continua en x0 ∈ X cuando ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε). 9

Si f es continua en todo x ∈ X, se llama aplicaci´on continua. (Es evidente que esta definici´on extiende el concepto de continuidad de funciones reales.) 3.2.- Proposici´ on. f : X → Y es continua en x0 si y s´ olo si toda sucesi´ on (xn )n∈N que converge a x0 verifica f (xn ) → f (x0 ). Demostraci´ on. a) Sea f continua en x0 . Entonces ∀ε > 0, ∃δ > 0 : f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε). Si xn → x0 , dado tal δ, existe N tal que xn ∈ B(x0 , δ), ∀n > N. Entonces f (xn ) ∈ B(f (x0 ), ε). En definitiva, ∀ε > 0, ∃N : f (xn ) ∈ B(f (x0 ), ε), ∀n > N lo que significa que f (xn ) → f (x0 ). b) Si f no es continua en x0 , entonces ∃ε > 0 : ∀δ > 0, ∃y ∈ B(x0 , δ) : f (y) 6∈ B(f (x0 ), ε). Si elegimos δn = 1/n, encontramos una sucesi´on (yn )n∈N tal que yn ∈ B(x0 , δn ) y f (yn ) 6∈ B(f (x0 ), ε). Entonces yn → x0 pero f (yn ) 6→ f (x0 ). ♦

3.3.- Proposici´ on. Sean X e Y dos espacios m´etricos y f : X → Y . Son equivalentes: i) f es continua. ii) xn → x =⇒ f (xn ) → f (x), ∀x ∈ X. iii) F ⊂ Y es cerrado =⇒ f −1 (F ) ⊂ X es cerrado. iv) A ⊂ Y es abierto =⇒ f −1 (A) ⊂ X es abierto. Demostraci´ on. i) =⇒ ii). Ya probado en la proposici´on anterior. ii) =⇒ iii). Supongamos que f verifica ii); sea F cerrado en Y y A = f −1 (F ). Veamos que A ⊂ A. Si x ∈ A, ∃(xn )n∈N con xn ∈ A tal que xn → x (por la proposici´on 2.11). Por hip´otesis, f (xn ) → f (x), pero f (xn ) ∈ F =⇒ f (x) ∈ F . Como F es cerrado, f (x) ∈ F =⇒ x ∈ f −1 (F ) = A. iii) =⇒ iv). Sea A ⊂ Y abierto. Entonces Y \ A es cerrado y, por hip´otesis, f −1 (Y \ A) es cerrado. Como f −1 (Y \ A) = X \ f −1 (A), entonces f −1 (A) es abierto. iv) =⇒ i). Sea x ∈ X y elegimos ε > 0 arbitrario. Es claro que B(f (x), ε) es abierto. Esto implica por hip´otesis que f −1 (B(f (x), ε)) es abierto. Como 10

x ∈ f −1 (B(f (x), ε)), debe existir δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ f −1 (B(f (x), ε)). De aqu´ı se deduce que f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ε), como quer´ıamos demostrar. ♦

´ 4. COMPLETITUD EN ESPACIOS METRICOS.

Cuando un conjunto tiene ciertas propiedades, es interesante saber qu´e tipo de aplicaciones conservan dichas propiedades. As´ı, un isomorfismo preserva la linealidad de los vectores de un espacio e incluso permite identificar los dos espacios y tratarlos como uno solo. Veremos aqu´ı un concepto similar para los espacios m´etricos. 4.1.- Definici´ on. Dados dos espacios m´etricos (X, d), (Y, d0 ), sea f : X → Y. Si f es biyectiva y bicontinua (es decir, tanto f como f −1 son continuas), f se llama homeomorfismo. Los homeomorfismos preservan las propiedades topol´ogicas esenciales: as´ı aplican abiertos de X en abiertos de Y y si x ∈ A0 , f (x) ∈ f (A)0 . 4.2.- Definici´ on. a) Si una aplicaci´on f : X → Y entre dos espacios m´etricos verifica que ∀x1 , x2 ∈ X : d(x1 , x2 ) = d0 (f (x1 ), f (x2 )), entonces f se llama isometr´ıa. b) Si existe una isometr´ıa biyectiva f : X → Y , diremos que los espacios m´etricos X e Y son isom´etricos. Dos espacios isom´etricos son indistinguibles respecto a la m´etrica aunque difieran en la naturaleza de sus puntos. 4.3.- Definici´ on. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una aplicaci´on T : X → X se llama contracci´on si ∀x, y ∈ X, existe alg´ un r ∈ (0, 1) tal que d(T x, T y) ≤ r · d(x, y). 4.4.- Proposici´ on. Toda contracci´ on T en un espacio m´etrico (X, d) es continua. Demostraci´ on. Para probar que T es continua en x0 ∈ X, debemos ver que ∀B(T x0 , ε), ∃B(x0 , δ) : T (B(x0 , δ)) ⊂ B(T x0 , ε). Sea pues x ∈ B(x0 , δ) un punto arbitrario; debe cumplirse que T x ∈ B(T x0 , ε), es decir d(T x, T x0 ) < ε. Como T es contracci´on, existe r ∈ (0, 1) tal 11

que d(T x, T x0 ) ≤ r · d(x, x0 ) < r · δ. Tomando δ = ε/r, se verifica que d(T x, T x0 ) < ε, como quer´ıamos probar. ♦ 4.5.- Definici´ on. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´on (xn )n∈N es de Cauchy cuando ∀ε > 0, ∃N : d(xn , xm ) < ε, ∀n, m > N. Es f´acil comprobar que toda sucesi´on convergente es de Cauchy. Adem´as, en R ´o C toda sucesi´on de Cauchy converge, pero en general esto no es cierto. 4.6.- Definici´ on (Fr´echet, 1906). Un espacio m´etrico es completo si toda sucesi´on de Cauchy es convergente. 4.7.- Ejemplos. 1) Cualquier conjunto X con la m´etrica trivial es completo. 2) Rn con cualquier distancia de las ya definidas es completo. 3) El intervalo X = (0, 1), con d(x, y) = |x − y|, no es completo, porque la sucesi´on {1/n}n∈N es de Cauchy pero su l´ımite es cero. 4) El conjunto X = Q con la m´etrica eucl´ıdea d(x, y) = |x−y| no es completo (hay sucesiones de racionales cuyo l´ımite es irracional). 5) X = Q, con d(x, y) = |x − y|p , no es completo como muestra el siguiente ejemplo:
k P Eligiendo p√= 5, la sucesi´on xn = 21 nk=0 (−1)k 1/2 k 5 es de Cauchy y converge a −1 que no es racional. 6) Veamos que el espacio `∞ es completo: (n)

(n)

Sea {x(n) }n∈N = {(x1 , x2 , . . . )}n∈N una sucesi´on de Cauchy en `∞ . Entonces, ∀ε > 0, ∃N tal que, para n, m > N , (m)

d(x(m) , x(n) ) < ε =⇒ |xi

(n)

(m)

− xi | < ε, ∀i =⇒ ∃xi : d(xi

, xi ) < ε.

Si llamamos x = (x1 , x2 , . . . ), entonces d(x(m) , x) ≤ ε, es decir x(m) → x. (m)

Por otra parte, como la sucesi´on (xi )m∈N converge a xi , est´a acotada, es (m) decir ∃k > 0 : |xi | < k, ∀m. Aplicando la desigualdad triangular, (m)

|xi | ≤ |xi − xi

(m)

| + |xi

| < ε + k,

lo que significa que (xi )i∈N est´a acotada. Esto prueba que x ∈ `∞ . 7) Tambi´en son completos los espacios `p , para 1 ≤ p < ∞. 12

Para comprobarlo, sea {x(n) }n∈N una sucesi´on de Cauchy en `p . Entonces ∃N tal que, para n, m > N : d(x(n) , x(m) ) =

X

(n)

|xi

 (m) p 1/p

− xi

|

(n)

< ε =⇒ |xi

(m)

− xi

| < ε, ∀i.

i (n)

(n)

Esto implica que {xi }n∈N es de Cauchy, por lo que xi

→ xi ∈ C.

Si llamamos x = (x1 , . . . xi , . . . ), veamos que x(n) → x y x ∈ `p : P (n) (m) Como ki=1 |xi − xi |p < εp , ∀k, entonces, haciendo m → ∞, k X i=1

(n)

|xi

− xi |p ≤ εp =⇒

∞ X

(n)

|xi

− xi |p ≤ εp =⇒ x(n) − x ∈ `p .

i=1

Por la desigualdad de Minkowski (cap´ıtulo II, secci´on 2), x = x(n) + (x − x(n) ) ∈ `p . P (n) p p (n) → x. Adem´as, d(x(n) , x)p = ∞ i=1 |xi − xi | ≤ ε =⇒ x 8) Si X = C[a, b] y d(f, g) = m´axx∈[a,b] |f (x) − g(x)|, entonces X es completo: Si {fn }n∈N es de Cauchy, m´axx∈[a,b] |fn (x) − fm (x)| < ε, para n, m > N. Entonces |fn (x) − fm (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Por tanto, por el criterio de convergencia de Cauchy, {fn }n∈N converge uniformemente en [a, b] y, como fn son continuas, la funci´on l´ımite tambi´en lo ser´a. As´ı, X es completo. R 1/2 b 9) X = C[a, b] con la m´etrica d(f, g) = a |f (x) − g(x)|2 dx , ∀f, g ∈ X no es completo.

Si hacemos por ejemplo a = −1, b = 1, la sucesi´on {fn }n∈N definida por   si − 1 ≤ x ≤ 0 0 fn (x) = nx si 0 < x ≤ 1/n,   1 si 1/n < x ≤ 1 13

( 0 es de Cauchy pero el l´ımite f (x) = 1 x = 0.

si − 1 ≤ x ≤ 0 no es continua en si 0 < x ≤ 1,

10) X = {p : [a, b] → C : p polinomio} con d(p, q) = m´axx∈[a,b] |p(x) − q(x)| no es completo. Para demostrarlo, basta tomar una sucesi´on de polinomios P que nconverja uniformemente a una funci´on continua (por ejemplo, ex = n≥0 xn! ). Otros ejemplos de espacios completos se obtienen gracias a la siguiente caracterizaci´on. 4.8.- Proposici´ on. Un subconjunto M de un espacio m´etrico completo X es completo si y s´ olo si M es cerrado en X. Demostraci´ on. Sea M completo. Entonces, ∀x ∈ M , ∃{xn }n∈N con xn ∈ M, ∀n tal que xn → x. Pero como {xn }n∈N converge, es de Cauchy; por tanto converge en M , lo que prueba que x ∈ M. Rec´ıprocamente, sea M cerrado y {xn }n∈N de Cauchy en M . Por ser X completo, xn → x ∈ X =⇒ x ∈ M =⇒ x ∈ M. ♦ Ejemplo. El espacio c = {x = (xn )n∈N ∈ `∞ : (xn )n∈N converge en C} es completo con la m´etrica inducida por `∞ . En efecto, sea x = (xn )n∈N ∈ c. Entonces ∃yk = (ynk )n∈N ∈ c : yk → x =⇒ |ynk − xn | ≤ d(yk , x) < ε/3, ∀k ≥ N. Como {ynN }n∈N es convergente, es de Cauchy y |ypN − yqN | < ε/3, ∀p, q ≥ N1 . Entonces |xp − xq | ≤ |xp − ypN | + |ypN − yqN | + |yqN − xq | < ε. Esto implica que (xn )n∈N es de Cauchy y, en consecuencia, x ∈ c. Un hecho importante de la completitud es que todo espacio m´etrico puede verse como subespacio de un espacio m´etrico completo. 4.9.- Definici´ on. Dado un espacio m´etrico (X, d), un espacio (X ∗ , d∗ ) se llama compleci´on de (X, d) si existe X0 subespacio denso de X ∗ tal que (X, d) es isom´etrico a (X0 , d∗ ). 4.10.- Teorema. Todo espacio m´etrico tiene una compleci´ on y dos compleciones de un mismo espacio m´etrico son isom´etricas. Demostraci´ on (esquema): Sea X ∗ el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en X, mediante la relaci´on: {xn }n∈N ∼ {yn }n∈N ⇐⇒: l´ım d(xn , yn ) = 0. n

14

Se define d∗ : X ∗ × X ∗ → R como d∗ (x∗ , y ∗ ) = l´ımn d(xn , yn ) siendo {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ . Se debe probar: a) Dicho l´ımite existe (para ello basta que {d(xn , yn )} sea de Cauchy en R). b) La definici´on no depende de los representantes elegidos. c) d∗ es una m´etrica. d) X ∗ contiene un subespacio X0 isom´etrico a X. Para ello definimos X0 = {x∗ ∈ X ∗ : (x, x, . . . ) ∈ x∗ } y f : X → X0 como f (x) = x∗ . e) X0 = X ∗ . f) X ∗ es completo. g) Si (X ∗∗ , d∗∗ ) es compleci´on de X, ∃f : X ∗ → X ∗∗ isometr´ıa. Otra caracterizaci´on importante de los espacios completos, que s´olo enunciaremos, viene dada en t´erminos de sucesiones decrecientes de conjuntos o encajes. 4.11.- Definici´ on. Diremos que una sucesi´on {An }n∈N de subconjuntos de X es un encaje cuando A1 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . y di´am An → 0. 4.12.- Proposici´ on. Sea {An }n∈N un T encaje de conjuntos no vac´ıos. Entonces An converge a x si y s´ olo si x ∈ n∈N An . 4.13.- Teorema (Principio de encaje de Haussdorf). Sea X un espacio m´etrico. Son equivalentes: i) X es completo. ii) Todo encaje {Fn }n∈N de conjuntos cerrados no vac´ıos tiene intersecci´ on no vac´ıa. iii) Todo encaje {An }n∈N de conjuntos no vac´ıos converge a un punto x ∈ X.

15

´ 5. COMPACIDAD EN ESPACIOS METRICOS.

5.1.- Definici´ on. Una familiaS{Ai }i∈I de conjuntos se llama cubrimiento de un conjunto A cuando A ⊂ i∈I Ai . Dado un cubrimiento {Ai }i∈I de A, se llama subcubrimiento a todo cubrimiento {Ai }i∈J tal que J ⊂ I. 5.2.- Definici´ on. Un subconjunto M de un espacio m´etrico X es compacto si todo cubrimiento por abiertos de M posee alg´ un subcubrimiento finito (llamada propiedad de Borel-Lebesgue). As´ı, por ejemplo, en R con la m´etrica usual, el intervalo abierto (0, 1) no es compacto pues del cubrimiento {(1/n, 1), n ∈ N} no se puede extraer ning´ un subcubrimiento finito. Por otra parte, si un conjunto X posee la m´etrica discreta, ning´ un subconjunto infinito M puede ser compacto; para comprobarlo basta considerar la familia de bolas abiertas {B(x, 1/2)}x∈M que es un cubrimiento de M pero que no posee ning´ un subcubrimiento finito. 5.3.- Definici´ on. Una familia {Xi }i∈I de conjuntos es un sistema centrado o tiene la propiedad de intersecci´on finita si toda subfamilia finita tiene intersecci´on no vac´ıa. Un conjunto A ⊂ X tiene la propiedad de Riesz si para todo T sistema centrado {Fi }i∈I de cerrados tal que Fi ⊂ A, ∀i ∈ I, se tiene que i∈I Fi 6= ∅. 5.4.- Proposici´ on. Un conjunto A en un espacio m´etrico X es compacto si y s´ olo si es cerrado y tiene la propiedad de Riesz. (Ver la demostraci´on en [CC], [KF].) 5.5.- Proposici´ on. Todo subconjunto cerrado contenido en un compacto es a su vez compacto. La siguiente caracterizaci´on de los conjuntos compactos ser´a u ´til en lo sucesivo. 5.6.- Teorema. Sea X un espacio m´etrico y A ⊂ X. Son equivalentes: i) A es totalmente acotado y completo. ii) A es compacto. iii) Toda sucesi´ on {xn }n∈N contenida en A posee alguna subsucesi´ on {xnk }k∈N convergente en A (propiedad de Bolzano-Weierstrass). Demostraci´ on. i) =⇒ ii): Sea {Ai }i∈I un cubrimiento por abiertos de A y supongamos que ning´ un subconjunto finito cubre a A. Por hip´otesis, dado ε > 0, existen K1 , . . . , Kp tales que A = K1 ∪ · · · ∪ Kp y di´am Ki ≤ ε. Adem´as al menos uno de los Ki no puede cubrirse con ning´ un sistema finito 16

de conjuntos de {Ai }i∈I ; digamos que es K1 . Por ser K1 ⊂ A, es tambi´en totalmente acotado. Repitiendo el argumento anterior, existir´a K2 ⊂ K1 con di´am K2 ≤ ε/2 que no puede cubrirse con un n´ umero finito de conjuntos de {Ai }i∈I . Formamos as´ı un encaje {Kn }n∈N de conjuntos contenidos en A que es completo. Por S el teorema 4.13 existe x ∈ A tal que Kn converge a x. Como x ∈ A ⊂ i∈I Ai , existe A0 ∈ {Ai }i∈I con x ∈ A0 ; luego para n grande ser´a Kn ⊂ A0 lo que contradice que Kn no se puede cubrir con un n´ umero finito de conjuntos de {Ai }i∈I . ii) =⇒ iii): Sea A compacto y {xn }n∈N una sucesi´on de elementos de A. Definimos Xn = {xn , xn+1 , . . . }. Es evidente que {Xn }n∈N es una familia con la propiedad de intersecci´on finita. Por ser A compacto, existe x ∈ A tal que x ∈ Xn para todo n. Podemos suponer que para alg´ un m es x 6∈ Xm (en caso contrario la tesis es evidente). Como x ∈ Xm \ Xm , por la proposici´on 2.11, x es el l´ımite de alguna subsucesi´on de {xn }n∈N . iii) =⇒ i): Sea {xn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en A; por hip´otesis existe una subsucesi´on convergente en A lo que implica que la propia sucesi´on converge en A. Luego A es completo. Si A no fuese totalmente acotado, existir´ıa ε > 0 tal que A no puede cubrirse con un n´ umero finito de bolas de radio ε/2. Elegimos x1 ∈ A y llamamos B1 = B(x1 , ε/2). Como B1 no cubre a A, existe x2 6∈ B1 ; sea B2 = B(x2 , ε/2). Razonando en la misma forma, encontramos una sucesi´on {xn }n∈N de puntos de A tal que xn 6∈ B1 ∪· · ·∪Bn−1 , es decir d(xi , xj ) ≥ ε/2 con lo que ninguna subsucesi´on de {xn }n∈N puede ser convergente. ♦ 5.7.- Lema. Un subconjunto compacto de un espacio m´etrico es cerrado y acotado. Demostraci´ on. Sea M un conjunto compacto y x ∈ M . Entonces existe una sucesi´on {xn }n∈N ⊂ M que converge a x. Como M es compacto, x ∈ M (pues las subsucesiones deben tener el mismo l´ımite que {xn }n∈N ). Si M no fuera acotado, dado b ∈ M, ∃{yn }n∈N sucesi´on en M no acotada tal que d(yn , b) > n. Como {yn }n∈N no est´a acotada, no puede tener ninguna sub-sucesi´on convergente. ♦ El rec´ıproco es falso, como muestra el siguiente ejemplo: La sucesi´on {en }n∈N ⊂ `2 , donde en = (δnj )∞ a acotada y es cerrada j=1 , est´ pues se trata√ de un conjunto formado por puntos aislados para los que d(xn , xm ) = 2. Sin embargo, no es compacto por la misma raz´on. En el caso de espacios normados de dimensi´on finita el rec´ıproco tambi´en es cierto como probaremos m´as adelante (cap´ıtulo II, teorema 5.7). Hemos probado as´ı que si un conjunto no es cerrado no puede ser compacto. 17

Sin embargo su clausura s´ı puede serlo. Esto origina la siguiente definici´on. 5.8.- Definici´ on. Un conjunto A de un espacio m´etrico X es relativamente compacto si su clausura A es compacta. Las siguientes caracterizaciones (cuya demostraci´on omitiremos) ser´an u ´tiles. 5.9.- Proposici´ on. La condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio m´etrico completo X sea relativamente compacto, es que sea totalmente acotado. 5.10.- Proposici´ on. La condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A de un espacio m´etrico X sea relativamente compacto es que sea secuencialmente compacto, es decir que toda sucesi´ on de elementos de A posea alguna subsucesi´ on convergente (pero no necesariamente a un punto de A). En el an´alisis, uno de los espacios m´etricos m´as importantes es C[a, b] y un criterio importante para el estudio de la compacidad en estos espacios (que aplicaremos posteriormente en el estudio de ciertos operadores integrales) es el teorema de Arzel´a-Ascoli que enunciaremos tras definir los conceptos necesarios. 5.11.- Definici´ on. Una familia F = {ϕ} de funciones definidas en [a, b] se llama equiacotada cuando existe una constante k > 0 tal que |ϕ(x)| < k, ∀x ∈ [a, b], ∀ϕ ∈ F . La familia F se dice equicontinua cuando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que ∀ϕ ∈ F , d(x1 , x2 ) < δ =⇒ |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| < ε. 5.12.- Teorema (Arzel´a-Ascoli). Una familia F ⊂ C[a, b] es relativamente compacta en C[a, b] si y s´ olo si es equiacotada y equicontinua. 5.13.- Teorema (Arzel´a-Ascoli generalizado). Dados dos espacios m´etricos compactos X e Y , llamamos C(X, Y ) = {f : X → Y : f es continua}, que es espacio m´etrico con la distancia d(f, g) = supx∈X d(f (x), g(x)). Una condici´ on necesaria y suficiente para que un conjunto A ⊂ C(X, Y ) sea relativamente compacto es que ∀ε > 0, ∃δ > 0 : d(x1 , x2 ) < δ =⇒ d(f (x1 ), f (x2 )) < ε, para cualesquiera f ∈ A, x1 , x2 ∈ X. Los conjuntos compactos tienen propiedades interesantes que los hacen comportarse como conjuntos finitos. As´ı por ejemplo la imagen continua de un compacto es un compacto. 18

5.14.- Teorema. Sea f : X → Y una aplicaci´ on continua y X, Y espacios m´etricos. Si M es compacto en X, f (M ) es compacto en Y . La prueba es directa. 5.15.- Corolario. Si f : X → R es continua y M es compacto en X, entonces f alcanza el m´ aximo (y el m´ınimo) en alg´ un punto de M . Demostraci´ on. f (M ) ⊂ R es compacto, con lo que f (M ) es cerrado y acotado. Esto implica que ´ınf f (M ) ∈ f (M ) y sup f (M ) ∈ f (M ) y las im´agenes inversas de esos puntos est´an en M . ♦

19

6. EJERCICIOS.

1. Sea d una m´ etrica en X . Determinar todas las constantes k para las que

i) kd, ii) d + k es una m´ etrica sobre X . Resp.: i) Sea d0 = kd. Para que d0 (x, y) > 0, debe ser k > 0. Para que d0 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, debe ser k 6= 0. Como las otras dos propiedades son siempre ciertas, toda constante k > 0 hace de d0 una m´etrica. ii) Sea d00 = d + k. Para que d00 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, hace falta que k = 0 porque x = y =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ d00 (x, y) = d(x, y) + k = k. As´ı pues, s´olo para k = 0 es d00 un m´etrica.   2. Si A es el subespacio de `∞ formado por las sucesiones de ceros y unos, ¿cu´ al es la m´ etrica inducida sobre A? ( 1 Resp.: Como d(x, y) = supn |xn − yn | = 0 m´etrica discreta.

si x 6= y se trata de la si x = y,

  3. Sea X el conjunto de las ternas ordenadas de ceros y unos. Mostrar que X tiene 8 elementos y que d(x, y) =“n´ umero de lugares etrica sobre X . en que x e y tienen valores diferentes.es una m´ (Esta es la llamada distancia de Hamming y es u ´til en teor´ıa de aut´ omatas y c´ odigos.) Resp.: card X = 23 = 8. i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0. 20

ii) d(x, y) = 0 =⇒ x e y no tienen ning´ un valor diferente =⇒ x = y. El rec´ıproco es similar. iii) Por la simetr´ıa de la definici´on, d(x, y) = d(y, x). iv) Sean x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), z = (z1 , z2 , z3 ); debido a que d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 |, por la desigualdad triangular en R se deduce que d(x, y) =

=

3 X i=1 3 X i=1

|xi − yi | = |xi − zi | +

3 X i=1 3 X

|xi − zi + zi − yi | ≤

3 X

(|xi − zi | + |zi − yi |)

i=1

|zi − yi | = d(x, z) + d(z, y).

i=1

  4. Determinar si la aplicaci´ on d : R × R → R definida por d(x, y) = 2 2 |x − y | es una distancia. Si no lo es, decir si existe un subconjunto de la recta en que s´ı lo sea. Dar el mayor de los conjuntos que lo cumplen. Resp.: Si x = y, es claro que d(x, y) = 0. Sin embargo, si d(x, y) = 0 =⇒ x2 = y 2 , pero puede ser x = −y lo que implica que d no es distancia. Si d est´a definida en R+ ∪{0} ´o R− ∪{0}, x2 = y 2 =⇒ x = y. En cualquier caso, d(x, y) = d(y, x) y d(x, y) = |x2 − y 2 | ≤ |x2 − z 2 | + |z 2 − y 2 | = d(x, z) + d(y, z), de modo que d es distancia en dichos subconjuntos de R.   5. a) Encontrar una sucesi´ on que converja a cero, pero no est´ e en ning´ un `p , con 1 ≤ p < ∞.

b) Encontrar una sucesi´ on que est´ e en `p con p > 1, pero no en 1 ` . Resp.: a) La sucesi´on (1/ ln n)n≥2 evidentemente converge a cero pero, P n)p debido a que l´ımn→∞ 1/(ln = ∞, ∀p ≥ 1, la serie |1/(ln n)p | es 1/n divergente. 21

P b) La sucesi´on (1/n)n≥1 no est´a en `1P , pues la serie 1/n es divergente, pero est´a en `p con p > 1 pues 1/np < ∞, ∀p > 1.   6. Sea (X, d) un espacio m´ etrico cualquiera. Demostrar que la aplid(x,y) es tambi´ en caci´ on D : X × X → R definida por D(x, y) = 1+d(x,y) una distancia sobre X . Resp.: Es evidente que D(x, x) = 0 y, si D(x, y) = 0 =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ x = y. Por ser d distancia, tambi´en D(x, y) = D(y, x). Por u ´ltimo, teniendo en cuenta que la funci´on y = resulta: D(x, y) = = ≤

x 1+x

es creciente,

d(x, z) + d(y, z) d(x, y) ≤ 1 + d(x, y) 1 + d(x, z) + d(y, z) d(x, z) d(y, z) + 1 + d(x, z) + d(y, z) 1 + d(x, z) + d(y, z) d(x, z) d(y, z) + = D(x, z) + D(y, z). 1 + d(x, z) 1 + d(y, z)  

7. Sea (X, d) un espacio m´ etrico y P (X) el conjunto de partes de X . Se define la aplicaci´ on D : P (X) × P (X) → R por D(A, B) = ´ınf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

a) Probar que D no es una m´ etrica en P (X). b) Si A ∩ B 6= ∅, probar que D(A, B) = 0. ¿Qu´ e se puede decir del rec´ıproco? c) Si x ∈ X, B ⊂ X, se define δ(x, B) = ´ınf b∈B d(x, b). Probar que ∀x, y ∈ X, |δ(x, B) − δ(y, B)| ≤ d(x, y). Resp.: a) Si A ∩ B 6= ∅, ∃x ∈ A ∩ B =⇒ D(A, B) = d(x, x) = 0. Sin embargo A 6= B. b) Si D(A, B) = 0 =⇒ ∃an ∈ A, bn ∈ B : d(an , bn ) → 0, pero puede ser A∩B 6= ∅ (ver por ejemplo las bolas B(0, 1) y B(2, 1) en la distancia eucl´ıdea de R). 22

c) Sean b, b0 ∈ B; por la desigualdad triangular, d(x, b) ≤ d(x, y) + d(y, b) ≤ d(x, y) + d(y, b0 ) + d(b0 , b). Esto implica que ´ınf d(x, b) ≤ d(x, y)+ ´ınf d(y, b0 )+ ´ınf d(b0 , b) = d(x, y)+ ´ınf d(y, b0 ), 0 0 0 b ∈B

b∈B

b,b ∈B

b ∈B

o bien δ(x, B) ≤ d(x, y) + δ(y, B). An´alogamente se prueba que δ(y, B) ≤ δ(x, B) + d(x, y).   8. Si (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) son espacios m´ etricos, probar que en el espacio producto X = X1 × X2 se pueden definir las m´ etricas siguientes: d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ), d(x, y) = m´ax{d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )},

donde x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X. Resp.: i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) ≥ 0. ii) De la definici´on se deduce tambi´en que: d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1 (x1 , y1 ) = d2 (x2 , y2 ) = 0 ⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ⇐⇒ x = y; d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1 (x1 , y1 ) = d2 (x2 , y2 ) = 0 ⇐⇒ x1 = y1 , x2 = y2 ⇐⇒ x = y. iii) Es claro tambi´en que d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = d(y, x). iv) En el caso de d, se prueba f´acilmente que d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) + d2 (z2 , y2 ) = d(x, z) + d(z, y). Para probar la desigualdad triangular en el otro caso, supongamos, sin p´erdida de generalidad, que d1 (x1 , y1 ) ≥ d2 (x2 , y2 ); as´ı, d(x, y) = d1 (x1 , y1 ). Entonces d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) ≤ m´ax{d1 (x1 , z1 ), d2 (x2 , z2 )} + m´ax{d1 (z1 , y1 ), d2 (z2 , y2 )} =

d(x, z) + d(z, y). 23

  9. En R definimos la distancia d(a, b) =

|a−b| 1+|a−b|

(ver ejercicio 6).

a) Determinar las bolas abiertas. b) Hallar δ(2, A) donde A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. c) Hallar D(A, B) donde B = {x ∈ R : −2 < x < −1}. (Las aplicaciones δ y D est´ an definidas en el ejercicio 7.) Resp.: a) Sea x ∈ B(a, r); entonces |x − a| < r =⇒ |x − a| < r + r|x − a| =⇒ (1 − r) · |x − a| < r. 1 + |x − a| - Si r < 1: |x − a| <

r 1−r

=⇒ B(a, r) = a −

r 1−r , a

+

r 1−r




.

- Si r = 1: B(a, r) = R. - Si r > 1 se obtiene tambi´en que B(a, r) = R. b) Por definici´on, δ(2, A) = ´ınf d(2, x) = ´ınf 0≤x≤1

pues y =

2−x 3−x

0≤x≤1

2−x 1 |2 − x| = ´ınf = , 1 + |2 − x| 0≤x≤1 3 − x 2

es una funci´on decreciente en [0, 1].

c) D(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ [0, 1], y ∈ (−2, −1)}. Si x ∈ [0, 1], y ∈ (−2, −1), d(x, y) = Como la derivada parcial constante. An´alogamente, como x es constante.

∂d ∂y

=

∂d ∂x

=

x−y 1+x−y .

1 (1+x−y)2

−1 (1+x−y)2

> 0, d es creciente si y es

< 0, entonces d es decreciente si

En el cuadrado [0, 1] × [−2, −1], el m´ınimo se alcanza en (0, −1) y vale 1/2.  

24

10. Probar que la clausura B(x0 , r) de una bola abierta B(x0 , r) en un espacio m´ etrico puede ser distinta de la bola cerrada B(x0 , r). Resp.: Sea X un conjunto cualquiera con la m´etrica discreta, y x0 ∈ X arbitrario. Entonces B(x0 , 1) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < 1} = {x0 } =⇒ B(x0 , 1) = {x0 }; sin embargo, B(x0 , 1) = {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ 1} = X.   11. Demostrar que si X es un espacio m´ etrico, A ⊂ X y r ∈ R+ , entonces Vr (A) = {x ∈ X : d(x, A) ≤ r} es cerrado. Resp.: Veamos en primer lugar que la aplicaci´on f : X → R+ definida por f (x) = d(x, A) = ´ınf{d(x, y) : y ∈ A} es continua: Sean ε > 0 y x0 ∈ X arbitrarios. Por la desigualdad triangular, para cualesquiera a, b ∈ A, d(x, a) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , b) + d(b, a). Entonces ´ınf d(x, a) ≤ d(x, x0 )+´ınf d(x0 , b)+ ´ınf d(b, a) =⇒ f (x) ≤ d(x, x0 )+f (x0 ).

a∈A

b∈A

a,b∈A

An´alogamente se prueba que f (x0 ) ≤ d(x, x0 ) + f (x). En definitiva |f (x) − f (x0 )| ≤ d(x, x0 ). Si elegimos δ = ε, entonces d(x, x0 ) < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Como [0, r] es cerrado en R+ , entonces f −1 [0, r] tambi´en es cerrado en X. Adem´as f −1 [0, r] = {x ∈ E : f (x) ≤ r} = {x ∈ E : d(x, A) ≤ r} = Vr (A). Otra forma consiste en probar que el complementario Vrc (A) es abierto: Sea para ello x ∈ Vrc (A) =⇒ d(x, A) > r. Si llamamos s = d(x, A), veamos que B(x, (s − r)/2) ⊂ Vrc (A). ∀y ∈ B(x, (s − r)/2), d(x, y) < (s − r)/2. Como d(x, A) ≤ d(x, y) + s+r d(y, A), entonces d(y, A) ≥ d(x, A) − d(x, y) > s − s−r 2 = 2 > r.   12. Probar que un espacio m´ etrico X es separable si y s´ olo si existe Y ⊂ X numerable tal que ∀ε > 0, ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε. 25

Resp.: Si X es separable, existe por definici´on M ⊂ X numerable tal que ∀x ∈ X, ∃{xn }n∈N ⊂ M : xn → x. Entonces ∀ε > 0, ∃N : d(xn , x) < ε, ∀n > N. Rec´ıprocamente, si ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε, entonces x ∈ Y . Esto implica que X = Y con Y numerable, es decir X es separable.   13. Sea {xn }n∈N una sucesi´ on en un espacio m´ etrico X . Probar:

a) Si xn → x, entonces toda sub-sucesi´ on {xnk }k∈N de {xn }n∈N converge a x. b) Si {xn }n∈N es de Cauchy y tiene alguna sub-sucesi´ on convergente, entonces {xn }n∈N converge al mismo l´ımite que dicha sub-sucesi´ on. Resp.: a) Basta tener en cuenta que, si d(xn , x) < ε, ∀n > N , entonces d(xnk , x) < ε, con nk > N . b) Por hip´otesis, ∀ε > 0,

∃N1 : d(xnk , x) < ε/2 si nk ≥ N1 ∃N2 : d(xn , xm ) < ε/2 si n, m ≥ N2 .

Tomando N = m´ax{N1 , N2 }, d(xn , x) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x) < ε, si n > N.   14. Sea {xn }n∈N una sucesi´ on en un espacio m´ etrico y consideramos las subsucesiones {x2n }n∈N , {x2n+1 }n∈N , {x3n }n∈N que suponemos convergentes. Demostrar que {xn }n∈N es convergente.

Poner un ejemplo de una sucesi´ on no convergente y que ∀k ≥ 2, {xkn }n∈N sea convergente. Resp.: Supongamos que l´ım x2n = a, l´ım x3n = b, l´ım x2n+1 = c. Por ser {x6n }n∈N subsucesi´on de {x2n }n∈N y {x3n }n∈N , l´ım x6n = a = b. Por ser {x6n+3 }n∈N subsucesi´on de {x3n }n∈N y {x2n+1 }n∈N , l´ım x6n+3 = b = c. 26

As´ı pues, l´ım x2n = l´ım x2n+1 = a. Veamos que l´ım xn = a: ∀ε > 0,

∃n1 : |x2n − a| < ε, ∀n > n1 , ∃n2 : |x2n+1 − a| < ε, ∀n > n2 .

Si p = m´ax{n1 , n2 }, |xn − a| < ε, ∀n > p. ( 1 En cuanto a la segunda parte, si definimos xn = n entonces xkn = 1, ∀n, pero {xn }n∈N no converge.

si n no es primo si n es primo,

  15. Sea {un }n∈N , un ∈ R, un ≥ 0 tal que l´ımn→∞ un = 0. Demostrar que existe una infinidad de ´ındices n tales que para cada m > n, un ≥ um . Resp.: Por hip´otesis, ∀ε > 0, ∃N : uN , uN +1 , . . . < ε. Por ser convergente, {un }n∈N est´a acotada superiormente, con lo que tiene supremo. Dicho supremo est´a en el conjunto porque, en caso contrario, ser´ıa un punto de acumulaci´on no nulo y la sucesi´on no podr´ıa ser convergente a 0. Si uν0 es dicho m´aximo, um ≤ uν0 , ∀m > ν0 . Tomamos ahora la sucesi´on {uν0 +1 , . . . } y aplicamos el mismo razonamiento anterior : ∃ν1 > ν0 tal que uν1 ≥ um , ∀m > ν1 , y as´ı sucesivamente. Es evidente que la sucesi´on {uν0 , uν1 , . . . } es decreciente. Otra forma (por reducci´on al absurdo): Si s´olo existiera un conjunto finito de ´ındices {n0 , . . . , nk } para el que um ≤ uni , ∀m > ni (i = 0, . . . , k), entonces ∃m1 : um1 > unk +1 , ∃m2 > m1 : um2 > um1 , .. . Esto indica que la subsucesi´on {umk }k∈N es creciente y no tiene l´ımite cero, lo que contradice la hip´otesis.  

27

16. Si d1 , d2 son m´ etricas equivalentes sobre X , probar que las sucesiones de Cauchy en (X, d1 ) y (X, d2 ) son las mismas. Resp.: Por hip´otesis, ∃a, b > 0 : a · d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ b · d1 (x, y). Si {xn }n∈N es de Cauchy en (X, d1 ), d1 (xn , xm ) < ε/b, ∀n, m > Nε . Entonces d2 (xn , xm ) ≤ b · d1 (xn , xm ) < ε. Esto implica que {xn }n∈N es de Cauchy respecto a d2 . An´alogamente se prueba la segunda parte.   17. Si A y B son cerrados y disjuntos en un espacio m´ etrico X , demostrar que existe f : X → [0, 1] continua tal que f (x) = 0, ∀x ∈ A y f (x) = 1, ∀x ∈ B . d(x,A) . El denominador nunca se Resp.: Basta definir f (x) = d(x,A)+d(x,B) anula por lo que f est´a definida en todo X.

  18. Sea f : R → R una aplicaci´ on continua y peri´ odica tal que el conjunto {T : T es per´ıodo de f } es denso en R. Demostrar que f es constante. Resp.: ∀x ∈ R, ∃(Tn )n∈N : Tn → x y f (a + Tn ) = f (a), ∀a ∈ R. En particular f (Tn ) = f (0 + Tn ) = f (0). Como Tn → x y f es continua, f (Tn ) → f (x). Por tanto, f (x) = f (0), ∀x ∈ R.   19. Sea f : X → Y una aplicaci´ on tal que f |A : A → f (A) es continua, con A ⊂ X . ¿Es f continua en A? ( 0 si x ∈ Q Resp.: No, pues la funci´on de Dirichlet f (x) = no lo 1 si x 6∈ Q, satisface. La restricci´on f |Q es continua y constante pero l´ımx→a f (x) 6= f (a) con a ∈ Q.  

28

20. Sea f : R → R una funci´ on aditiva y continua en x0 . Demostrar que f es continua en R y que f (x) = ax, ∀x ∈ R con a fijo. Resp.: a) Veamos que f es continua en R. Por hip´otesis , ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Debemos probar que f es continua en x, es decir ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |y − x| < δ =⇒ |f (y) − f (x)| < ε. Pero si |y − x| < δ, entonces |y − x + x0 − x0 | < δ =⇒ |f (y − x + x0 ) − f (x0 )| < ε =⇒ |f (y) − f (x) + f (x0 ) − f (x0 )| = |f (y) − f (x)| < ε. b) ∀n ∈ N, es claro que f (n) = nf (1). Llamamos a = f (1). Por una parte, f (x) = f (0 + x) = f (0) + f (x) =⇒ f (0) = 0. Adem´as, 0 = f (1+(−1)) = f (1)+f (−1). Esto implica que f (−1) = −a y f (−m) = mf (−1) = −am. Por otra parte, a = f (1) = f (q/q) = qf (1/q) =⇒ f (1/q) = a · (1/q). Entonces f (p/q) = pf (1/q) = p · a · (1/q) = a · (p/q). Por u ´ltimo, ∀x ∈ R, ∃xn ∈ Q : xn → x. Por ser f continua, f (xn ) → f (x). Como f (xn ) = axn , f (xn ) → ax, de modo que ax = f (x).   21. Sean las aplicaciones f : E → F , g : F → G, donde f es continua y sobre, g es continua y g ◦ f es homeomorfismo. Demostrar que f y g son homeomorfismos. Resp.: Como g ◦ f es biyectiva, g es sobre y f es inyectiva. Entonces f es biyectiva. Dado A abierto en E, (g ◦ f )(A) es abierto en G. Como g es continua, f (A) es abierto en F. Esto implica que f −1 es continua y f es homeomorfismo. ∀x, y ∈ F , si g(x) = g(y), entonces (g ◦ f )−1 (g(x)) = (g ◦ f )−1 (g(y)) =⇒ f −1 (x) = f −1 (y) =⇒ x = y. Esto prueba que g es inyectiva con lo que g es biyectiva. 29

Dado B abierto en F, f −1 (B) es abierto en E. Entonces (g◦f )f −1 (B) = g(B) es abierto en G =⇒ g −1 continua =⇒ g homeomorfismo. Otra forma: g = g ◦ f ◦ f −1 con g ◦ f biyectiva y f −1 biyectiva =⇒ g biyectiva. g −1 = f ◦ f −1 ◦ g −1 con f continua y f −1 ◦ g −1 continua =⇒ g −1 continua. f −1 = f −1 ◦ g −1 ◦ g con g continua y f −1 ◦ g −1 continua =⇒ f −1 continua.   22. Sea f : R → R una aplicaci´ on estrictamente creciente. Probar que la funci´ on D(x, y) = |f (x) − f (y)| es una distancia sobre R pero D no es equivalente a | · |. Resp.: a) D(x, y) = 0 ⇐⇒ f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y (f es inyectiva por ser estrictamente creciente). D(x, y) = |f (x)−f (y)| = |f (x)−f (z)+f (z)−f (y)| ≤ D(x, z)+D(z, y). El resto es evidente. b) Si f no es continua en x0 , ∃ε > 0 : ∀δ > 0, |x − x0 | < δ pero |f (x) − f (x0 )| ≥ ε. Si fuera D equivalente a | · |, ∃a, b > 0 : a · |x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ b · |x − y|. Eligiendo δ = ε/b, ε ≤ |f (x) − f (x0 )| ≤ b · |x − x0 | < b · ε/b = ε, lo cual es absurdo.   23. Sea M ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones con un n´ umero finito de t´ erminos no nulos. Probar que M no es completo. Resp.: Construimos la sucesi´on {x(n) }n∈N siguiente:

x(n)

x(1) = (1, 0, . . . ) x(2) = (1, 1/4, 0, . . . ) ... = (1, 1/4, . . . , 1/n2 , 0, . . . ). (n)

Si m > n, d(x(n) , x(m) ) = sup |xj

30

(m)

− xj

|=

1 (n+1)2

→ 0.

As´ı definida, x(n) ∈ M, ∀n, pero l´ım x(n) = x = (1, 1/4, . . . , 1/n2 , . . . ) 6∈ n→∞ M.   1 24. Consideremos para cada n ∈ N la sucesi´ on sn = 1 + 1!1 + · · · + n! . Demostrar que {sn }n∈N es de Cauchy en Q y deducir de ello que Q no es completo.

Resp.: Para probar que es de Cauchy, veamos que |sn − sm | → 0. En efecto, si suponemos que n > m, ∞ X 1 1 1 |sn − sm | = + ··· + ≤ →0 (m + 1)! n! k! k=m+1

por ser el resto de una serie convergente (como es sabido, e =

P∞

n=0 1/n!).

Ahora bien, como l´ımn→∞ sn = e 6∈ Q, se deduce que Q no es completo.   25. Probar que todo espacio con la m´ etrica discreta es completo. Resp.: Si X posee la m´etrica discreta, y {xn }n∈N es de Cauchy en X, entonces ∀n, m > N, xn = xm . Esto implica que {xn }n∈N es convergente.   26. Si (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) son espacios m´ etricos isom´ etricos y X1 es completo, probar que X2 es completo. Resp.: Sea {yn }n∈N una sucesi´on de Cauchy en X2 . Como X1 y X2 son isom´etricos, ∃f : X1 → X2 isometr´ıa biyectiva. Por tanto, ∃xn ∈ X1 : f (xn ) = yn . Adem´as, d2 (yn , ym ) = d2 (f (xn ), f (xm )) = d1 (xn , xm ). Por tanto, {xn }n∈N es de Cauchy en X1 . Al ser X1 completo, existe x ∈ X tal que xn → x, de donde d2 (yn , f (x)) = d1 (xn , x) → 0 =⇒ {yn }n∈N converge a f (x).  

31

27. Demostrar que toda isometr´ıa f : R → R cumple que f (x) = a + x o f (x) = a − x. ´ Resp.: Por ser f isometr´ıa, |f (x) − f (y)| = |x − y|. En particular, |f (x) − f (0)| = |x|, es decir f (x) − f (0) = x ´o f (x) − f (0) = −x. Ahora bien, si existieran x1 , x2 ∈ R, x1 6= x2 tales que f (x1 ) − f (0) = x1 y f (x2 ) − f (0) = −x2 , entonces f (x1 ) − f (x2 ) = x1 + x2 =⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| = |x1 + x2 | = 6 |x1 − x2 | si x1 , x2 6= 0. Llamando f (0) = a, se obtiene el resultado.   28. Un espacio m´ etrico se dice localmente compacto si todo punto tiene un entorno compacto. Probar que Rn y Cn son espacios localmente compactos pero no compactos. Resp.: Dado un punto arbitrario x en Rn ´o Cn , cualquier bola cerrada centrada en x es un compacto (por ser un conjunto cerrado y acotado contenido en un espacio de dimensi´on finita). Sin embargo, los espacios Rn y Cn no son compactos pues no son acotados.   29. Sea X un conjunto no vac´ıo. Una aplicaci´ on d : X × X → R se llama pseudom´ etrica si se verifica lo siguiente:

i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X. ii) d(x, x) = 0, ∀x ∈ X . iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X . iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X . Rb ¿La funci´ on d(x, y) = a |x(t)−y(t)|dt define una m´ etrica o pseudom´ etrica en C[a, b]? ¿Y en las funciones R[a, b] integrables Riemann en [a, b]? Resp.: Los apartados i), ii) y iii) son evidentes. Por otra parte, como |x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)|, ∀t ∈ [a, b], 32

entonces Z b

b

Z

Z a

a

a

Adem´as, si x, y ∈ C[a, b] y

Rb a

b

|z(t) − y(t)|dt.

|x(t) − z(t)|dt +

|x(t) − y(t)|dt ≤

|x(t) − y(t)|dt = 0, entonces x = y.

Sin embargo si x e y se diferencian en su valor en un punto c ∈ (a, b) y Rb son integrables, a |x−y| = 0 pero x 6= y. Esto indica que la aplicaci´on, definida en R[a, b], es una pseudom´etrica.   30. a) Si tenemos una pseudom´ etrica d sobre X , vamos a establecer una relaci´ on binaria x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) = 0. Demostrar que ∼ es de equivalencia y que el conjunto cociente se puede estructurar en espacio m´ etrico mediante una distancia que se puede definir de forma natural a partir de d.

b) Demostrar que d : R2 × R2 → R2 definida por d(a, b) = |a1 − b1 |, si a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ),

es pseudom´ etrica sobre R2 . Determinar el conjunto cociente y la distancia definida sobre ´ el. Resp.: a) Sea x∗ = {y ∈ X : y ∼ x} = {y ∈ X : d(x, y) = 0}. Definimos d∗ : X/∼ × X/∼ → R por d∗ (x∗ , y ∗ ) = d(x, y), donde x ∈ x∗ , y ∈ y ∗ . - d∗ est´a bien definida: ∀x, x0 ∈ x∗ , y, y 0 ∈ y ∗ :  d(x, y) ≤ d(x, x0 ) + d(x0 , y 0 ) + d(y 0 , y) = d(x0 , y 0 ) =⇒ d(x, y) = d(x0 , y 0 ). d(x0 , y 0 ) ≤ d(x0 , x) + d(x, y 0 ) + d(y, y 0 ) = d(x, y) - d∗ es una m´etrica: d∗ (x∗ , y ∗ ) = 0 ⇐⇒ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x ∼ y ⇐⇒ x∗ = y ∗ . d∗ (x∗ , y ∗ ) = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) = d∗ (x∗ , z ∗ ) + d∗ (z ∗ , y ∗ ). b) Es f´acil comprobar que d es pseudom´etrica. Debido a que a ∼ b ⇐⇒ |a1 − b1 | = 0 ⇐⇒ a1 = b1 , podemos caracterizar a∗ = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 = a1 }. De este modo, R2 /∼ = {(x, 0) : x ∈ R} y la distancia en el espacio cociente es d∗ (a∗ , b∗ ) = |a1 − b1 |.   33

31. Sea d una distancia en un conjunto X . Diremos que d es ultram´ etrica si d(x, z) ≤ m´ax{d(x, y), d(y, z)}, ∀x, y, z ∈ X .

Supongamos que d es ultram´ etrica. a) Demostrar que si d(a, b) 6= d(b, c), d(a, c) = m´ax{d(a, b), d(b, c)}. b) Probar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r). c) Demostrar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto y cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r). d) Probar que, si dos bolas tienen un punto en com´ un, una de ellas est´ a contenida en la otra. e) Probar que la distancia de dos bolas abiertas distintas de radio r contenidas en una bola cerrada de radio r es igual a r. Resp.: a) Supongamos que d(a, b) < d(b, c). Entonces d(a, c) ≤ m´ax{d(a, b), d(b, c)} = d(b, c) ≤ m´ax{d(b, a), d(a, c)} = d(a, c) =⇒ d(a, c) = d(b, c) = m´ax{d(a, b), d(b, c)}. Si d(a, b) > d(b, c), entonces d(a, c) ≤ m´ax{d(a, b), d(b, c)} = d(a, b) ≤ m´ax{d(a, c), d(c, b)} = d(a, c) =⇒ d(a, c) = d(a, b) = m´ax{d(a, b), d(b, c)}. b) Sea x ∈ B(a, r). Entonces ∀ε > 0, ∃y ∈ B(a, r) : d(x, y) < ε. Eligiendo ε < r, d(a, x) ≤ m´ax{d(a, y), d(y, x)} < r =⇒ x ∈ B(a, r). Probemos la igualdad B(b, r) = B(a, r) por doble inclusi´on: c ∈ B(b, r) =⇒ d(a, c) ≤ m´ax{d(a, b), d(b, c)} < r =⇒ c ∈ B(a, r), c ∈ B(a, r) =⇒ d(c, b) ≤ m´ax{d(c, a), d(a, b)} < r =⇒ c ∈ B(b, r). c) La bola B(a, r) es un conjunto abierto si y s´olo si ∀y ∈ B(a, r), ∃ε > 0 : B(y, ε) ⊂ B(a, r). Si elegimos ε < r, todo z ∈ B(y, ε) verifica d(y, z) < ε y d(a, z) ≤ m´ax{d(a, y), d(y, z)} ≤ r. 34

La igualdad B(b, r) = B(a, r) se prueba de forma an´aloga al apartado b). d) Sea x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y supongamos que r < s. Entonces d(x, a) < r y d(x, b) < s, de donde d(a, b) ≤ m´ax{d(a, x), d(x, b)} < s. Adem´as ∀y ∈ B(a, r), d(y, b) ≤ m´ax{d(y, a), d(a, b)} < s =⇒ y ∈ B(b, s). Si r = s, B(a, r) = B(b, r) pues, como d(a, b) < r, a ∈ B(b, r) y por b), B(a, r) = B(b, r). e) Por d), si las bolas son distintas, son disjuntas: B(a, r)∩B(b, r) = ∅. Si A = B(a, r), B = B(b, r), C = B(c, r), A ⊂ C, B ⊂ C =⇒ d(A, B) = r. Si x ∈ A, y ∈ B, d(x, y) ≤ m´ax{d(x, c), d(c, y)} ≤ r =⇒ d(A, B) ≤ r. Como d(A, B) ≥ r, deducimos en definitiva que d(A, B) = r.   32. Sea X un conjunto arbitrario y E el conjunto de la sucesiones infinitas de elementos de X , E = {x = (xn )n∈N : xn ∈ X}. Para cada par de elementos de E definimos K(x, y) = k si xn = yn , ∀n < k y xk 6= yk , es decir, k es el menor ( ´ındice que cumple que xn 6= yn . Si 1/K(x, y) si x 6= y definimos ahora d(x, y) = demostrar que 0 si x = y, d es distancia ultram´ etrica sobre E . Resp.: Evidentemente, d(x, x) = 0 y si d(x, y) = 0, entonces x = y. Tambi´en es claro que d(x, y) = d(y, x). Dados x, y, z ∈ E, llamamos K(x, y) = n1 y K(y, z) = n2 . Si n1 = n2 , es evidente que K(x, z) = n1 . Si n1 < n2 , entonces x1 = y1 , . . . , xn1 −1 = yn1 −1 , xn1 6= yn1 y1 = z1 , . . . , yn1 = zn1 , . . . , yn2 −1 = zn2 −1, , yn2 6= zn2

 =⇒ K(x, z) = n1 .

En ambos casos, d(x, z) = 1/n1 ≤ 1/n1 + 1/n2 = d(x, y) + d(y, z). Adem´as m´ax{d(x, y), d(y, z)} = 1/n1 = d(x, z).  

35

33. a) Si X es un espacio m´ etrico, demostrar que la condici´ on necesaria para que una sucesi´ on {xn }n∈N sea de Cauchy es que ∀ε > 0, ∃n0 : d(xn , xn+1 ) < ε si n > n0 .

Demostrar el rec´ıproco con un contraejemplo. b) Sea X un espacio ultram´ etrico. Probar que la condici´ on necesaria y suficiente para que una sucesi´ on de elementos de X sea de Cauchy es que l´ım d(xn , xn+1 ) = 0. n→∞

Resp.: a) La primera parte es evidente. Para el rec´ıproco, consideramos la sucesi´on xn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n. Resulta entonces que d(xn , xn+1 ) =

1 n+1

< ε si n > 1/ε.

Sin embargo, si tomamos ε = 1/2, d(xN , x2N ) =

1 1 1 1 1 + ··· + + ··· + = , ∀n ∈ N, > N +1 2N 2N 2N 2

es decir {xn }n∈N no es de Cauchy. b) Supongamos que l´ım d(xn , xn+1 ) = 0, es decir d(xn , xn+1 ) < n→∞

ε, ∀n > n0 . Sean p > q > n0 ; entonces d(xp , xq ) ≤ m´ax{d(xq , xq+1 ), d(xq+1 , xp )}. A su vez, d(xq+1 , xp ) ≤ m´ax{d(xq+1 , xq+2 ), d(xq+2 , xp )}. Repitiendo el proceso, obtenemos que d(xp−2 , xp ) ≤ m´ax{d(xp−2 , xp−1 ), d(xp−1 , xp )} < ε. En definitiva, d(xp , xq ) < ε y {xn }n∈N es de Cauchy.

36