Ideología y matemáticas: el cero, la nada y el conjunto vacío

Ideología y matemáticas: el cero, la nada y el conjunto vacío Las meigas no existen pero haberlas, hailas Costa Reparaz, Emilio E-mail: [email protected] Lafuente Robledo, Manuel E-mail: [email protected] Departamento: Economía cuantitativa

Universidad de Oviedo

RESUMEN Con estas reflexiones se pretende poner de manifiesto las dificultades de diferente ámbito que existen en conceptos, habituales y aparentemente sencillos, en los que no solemos pararnos a pensar sobre ellos. La aceptación de estas tres ideas está impregnada de una gran carga ideológica, en su sentido más amplio de la palabra, desde sus aspectos religiosos a los filosóficos pasando por la concepción de la Física.

Palabras claves: nada; vacío; cero Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C00, Z1

Área temática: Metodología

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1. INTRODUCCIÓN El cero El cero ¿tiene más importancia que el simple valor posicional?. ¿Nació o se creo para resolver problemas metafísicos?. Parece que no tiene origen filosófico. Se discute su existencia pero se dice tolerancia cero, déficit cero, crecimiento cero, coste cero,...

La nada

Quizá este concepto sea el que ha llevado a más contradicciones, a la vez que con mayor intensidad ha comprometido e influido en la existencia y creencias de los hombres. La lucha entre el Ser y el no Ser. Entre Tanatos y Eros, (no solo amor, sino vida). Entre las Tinieblas y la Luz. Entre origen y el fin de la vida o quizá solo su origen. Como diría el poeta “... de todo lo que es/ aún siendo/ lo que eres/ pues nada es/ donde todo es nada./ Nada”

El vacío

¿Existe el vacío? ¿Dónde? La concepción física e intelectual del vacío ha oscilado desde la celebre máxima horror vacui, hasta considerar que el mundo es un enorme vacío y que la materia es un accidente o una emanación, en el sentido de desprendimiento del vacío.

La

dicotomía vacío – no vacío se ha roto. El espacio físico está lleno de algo. Parece que el matemático puede no contener objetos o entes

2. EL CERO Para el desarrollo intelectual del hombre el descubrimiento del cero, su utilización y manipulación quizá sea un descubrimiento tan importante como la rueda para el desarrollo de la humanidad. Como tantos otros descubrimientos, el cero no apareció de “motu proprio” en un lugar determinado, sino que fue el culmen de trabajos en distintos sitios y de diferentes civilizaciones. Parece que tiene, por lo menos, dos orígenes independientes tanto cultural como geográficamente. Los aspectos teleológicos de su interpretación, también han sido diferentes según los objetivos buscados por los problemas planteados..

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Hacia el 2500 a. C. en la civilización Maya, aparece el cero y se utiliza para desarrollar sus estudios astronómicos y las aplicaciones arquitectónicas, así como la gran obsesión de este pueblo, la medición del tiempo. Muy lejos de allí, los sumerios, para la mayoría de los autores (solo Spengler piensa que fueron los puebles semitas) descubrieron –o inventaron- el cero para resolver los problemas aritméticos que el comercio originaba. Alejandro llevó el cero a Babilonia y, de allí, pasó a la India. Las relaciones comerciales de italianos y árabes, lo expandieron por Europa. Los mayas destacan la vertiente técnica del cero mientras que en oriente se destaca el aspecto contable y posicional. El mundo clásico no dejó pasar la oportunidad de considerar los matices filosóficos e intelectuales. En efecto, retoman la sensibilidad india, que consideraba el cero como el símbolo de sunya, esto es la nada, y daba la clave de la existencia. Aunque los griegos, interesados en contar y medir, en el sentido geométrico, destacaron el carácter utilitarista de los números, pasaron a considerar la matemática como el estudio de los números y las imágenes, las áreas y las figuras. El cero como número natural Esperemos que no nos pase como a un discípulo de Pitágoras a quien mando ahogar por exponer públicamente la existencia del cero. Si entendemos que los números indican o simbolizan cantidades, esto es, son la expresión de una cantidad con relación a una unidad el cero podría tener la interpretación de una medida. Entonces, tendremos solo símbolos, destacando el carácter posicional y practico sobre el aspecto filosófico. Esta vertiente intelectual del cero traerá consigo la aparición de la contradicción de tener algo de nada. En este sentido simbólico, una cosa es que exista el símbolo, desde la perspectiva semiótica, sin entrar en su correlato semántico y otra que exista lo que representa. Si nos fijamos en los números naturales, de la axiomática de Peano, se suelen hacer dos enunciados, uno incluye el cero como primer número natural y el otro que comienza con el uno. Esta axiomática es contraria a considerar los números como cantidades. Considera que los números son conjuntos. Pero ¿puede haber un conjunto sin elementos?. Si los números

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representan cantidades, la cantidad nula es inexistente, aunque el símbolo si puede existir, y de hecho, existe. El cero entendido como un número abstracto o un símbolo, tiene unos matices reales y filosóficos que es preciso tener en cuenta. Entre los primero debemos destacar el mundo de la física. En este campo el cero indica la ausencia de una magnitud. Hablamos de temperatura cero, pero ¿existe?. Una cosa es que un cuerpo este a 0º, en cualquier escala distinta de la absoluta y otra muy distinta que su temperatura sea cero absoluto, esto es, carente de calor y, por tanto de energía. Esa ausencia de energía ¿Existe? Parece que no. Una cosa es que un cuerpo esté en reposo y otra que no tenga movimiento que su movimiento sea cero. Piénsese en la física quántica. En ella el movimiento no puede ser cero, no puede haber ausencia de movimiento, aunque sí de desplazamiento. (Pensemos en el movimiento de La Tierra o de los corpúsculos atómicos) En el campo de la Economía nos encontramos con problemas o situaciones parecidas. Un sujeto económico puede tener cero renta, pero no cero ingresos económicos o monetarios. La demanda de un bien con elasticidad constante es una hipérbola por tanto el bien es estrictamente necesario. ¿Qué pasaría si se demanda cero unidades de ese bien o su precio fuese cero?. Parece claro que cuando hablamos de cero tenemos que incorporar matices y unidades que con otras cantidades o números no son necesarios. La Estadística y, dentro de ella, la teoría de la probabilidad, esta a caballo entre lo que podríamos llamar ciencias de la realidad y ciencias filosóficas en el sentido popperiano. Cuando decimos que un suceso tiene probabilidad cero no estamos diciendo que su acaecimiento es imposible, sino que es MORALMENTE imposible, lo que quiere decir que no es metafísicamente imposible, podría ocurrir. La probabilidad de que un chimpancé, con una maquina de escribir, escriba El Quijote, es moralmente imposible, pero podría ocurrir. Obsérvese que introducimos un matiz nuevo: la imposibilidad moral, esto es el cero moral.

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3. LA NADA Suponiendo que Nietzsche tuviese razón al decir que el error es el origen de la verdad, debemos concluir que si el mundo existe, y existe, debemos basarnos en estudiar la nada como algo opuesto a la realidad concreta. La idea de la nada es un concepto complejo, fructífero, sugerente y resbaladizo, que se puede simbolizar mediante la oscuridad. En efecto. Por nada podemos entender la carencia o ausencia de todo ser, entendiendo por ser la cosa creada o existente, bien sea contingente o no. Para definir este concepto debemos recurrir a sus aspectos negativos, esto es, debemos considerar lo que no es nada, en otras palabras, tenemos que poner énfasis en lo que no es. No se pude delimitar ni describir por sí misma. Tenemos que hacerlo por oposición a lo que no es, a las ideas contrapuestas de lo que es. El concepto de nada se puede estudiar bajo varios puntos de vista. A partir de la perspectiva de la negación del ser absoluto o desde la postura de la alteridad, fijándonos en la capacidad de ser otra cosa diferente, como la negación de un ser determinado. El ser – contingente o no – es algo, de manera que la nada es la negación de ese algo, pero para definir, delimitar, acotar un ente – lo que es o puede ser- necesitamos una frontera, lo que nos lleva a la necesidad de definir la nada recurriendo a elementos o ideas ajenas. Es lo que podríamos llamar un concepto teorético, pues para hablar de esos conceptos con cierta propiedad debemos recurrir y basarnos en otros. La Real Academia define la nada mediante cinco acepciones, la 1ª “no ser, o carencia absoluta de todo ser”. En la 3ª acepción establece “Ninguna cosa, negación absoluta de las cosas, a distinción de las de las personas”. En este sentido la idea de la nada es una contradicción “in terminis”, pues se supone que existe lo que no existe, es lo que no es. El problema de la posible existencia de la nada nos lleva a otro, en el que NO vamos a entrar, que plantearon otros pensadores desde Leibnitz a Heidegger, pasando por Unamuno: ¿ Por qué existe algo?. ¿Por qué existe el mundo? Permítasenos una breve digresión sobre la creación. Según la RAE, crear es, en su primera acepción, producir algo de la nada. Para ello es preciso que exista algo o alguien que pueda crear, un sujeto. Además lo producido (el objeto creado) debe ser distinto de la realidad del creador y de todo lo demás creado. Lo creado no tienen una génesis propiamente dicha, no XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional 5

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hay materia prima. Sin profundizar en esta cuestión, consiéntasenos, de nuevo, una pregunta: ¿La nada también ha sido creada?. ¿La nada igualmente se crea? Si el mundo ha sido creado, surge otra pregunta ¿Por quien?. Tanto la realidad como la teología tienen su respuesta. El mundo ha sido creado por Dios, pero ¿Dónde está Dios?. Julián Marías, arroja algo de luz sobre esta postura, “de Dios no se puede partir, que es el gran ausente, es absconditus, esta escondido, no se manifiesta. No se puede partir de Él. Se le puede buscar, quizá se puede llegar a Él por una vía o por otra, pero partir no”i. El admitir la existencia de la nada como concepto absoluto nos lleva a la idea creacionista y, de aquí, a la existencia del Creador. Para aceptar esta implicación basta con recordar el axioma de la Metafísica “ex nihilo nihil fit” que podríamos traducir por “nada surge de la nada”. O el postulado, que no axioma, cristiano “ex nihilo fit ens creatum” (de la nada hizo los entes). Ferrater Mora, en su diccionario de filosofía, insiste en esta argumentación cuando sostiene que mientras la idea de que el mundo ha sido creado por Dios es una verdad absoluta, la idea de que de la nada no ha surgido nada es una verdad «probable». Si admitimos la existencia de la nada, -lo cual es una contradicción en si misma- y la experiencia nos (o me) dice que por lo menos existo yo, (o alguien que me ha pensado) concluiremos que la nada se debe terminar, debe tener fronteras, debe tener limites. La frontera es algo ¿qué ocurre fuera de ese algo?. En las ciencias aplicadas el concepto que nos ocupa, tiene unos matices que lo dulcifican o disminuye el rigor (o rigorismo) con que se trata en la teoría del conocimiento o en Filosofía en su más amplia acepción. Esta situación nos coloca muy cerca de caer en la reificacion, esto es, en reducir a la condición de cosa aquello que no lo es, pues podemos incidir en el error de considerar algo abstracto como real y verdadero. En Física se considera nada cuado no tenemos cuerpo material alguno, aunque puedan existir “otras cosas”. Para la Física la nada no existe en el sentido que hemos dado de carencia absoluta de todo ser. Es imposible considerar una región o espacio en que no existan átomos sueltos, luz, ondas electromagnéticas, etc. El cero absoluto de temperatura existe como limite, pero todo cuerpo desprende energía. La nada en sentido estricto violaría el principio de indeterminación de Heissemberg pues seria posible determinar el estado energético de la región. Por otra parte, esta situación según la física cuántica, tendría propiedades mensurables, lo que contradice su definición. 6

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Es claro que si la nada existiese, estuviese acotada, la pudiésemos imaginar o la pudiésemos intuir, seria un concepto relativo y la estaríamos confundiendo con el vacío. Una cosa es la nada y otra muy distinta el vacío. Para la Física, no para la Filosofía, la nada se corresponde con el concepto de vacío.

4 . EL VACIO El conjunto vacío es otro de los conceptos que, intuitivamente, están y son claros aunque semioticamente, presenta dificultades. D. Julio Rey Pastor escribe “la observación de cada ente material, cualquiera que sea su naturaleza, despierta en nosotros la idea de unidad; la consideración de varios entes, prescindiendo de su naturaleza y de su ordenación en el espacio o en el tiempo, da origen a la idea de pluralidad o conjunto. Estas ideas tienen un valor puramente relativo pues todo ente material es a su vez un conjunto de otros entes que lo componen, y todo conjunto puede considerarse también como una unidad”ii. Más adelante da los criterios para definir un conjunto: “un conjunto esta determinado cuando se da un criterio que permita reconocer para cada ente arbitrario, si pertenece o no al conjunto”iii Evidentemente por objeto entenderemos cualquier ente, en su sentido más amplio, tal y como se ha definido más arriba Con el fonema vacío tratamos de expresar la carencia de entes. En el mundo de la Física la falta de materia, se suele considerar vacío. Aunque haya aire, energía y átomos o partículas sueltas en muy baja densidad. En este contexto podemos hablar de varias categorías o grados de vacío, en relación con la presión atmosférica. Ya Aristóteles, en su obra la Física, niega la existencia del vacío absoluto, esto es del vacío abstracto. En estos términos podemos considerar que la expresión “conjunto vacío”, autentica antífrasis, indica una "contradictio in terminis” pues si un conjunto no tiene elementos ¿es un conjunto?. Admitiendo que existiera una región del espacio –físico, matemático,... - sin elementos, no se podría hablar de vacío pues tendría frontera o límite y en ese límite o frontera y fuera de ella ¿Qué pasaría? dejaría de ser vacío. Si el tamaño de un conjunto lo llamamos cardinalidad del conjunto, podemos concluir que el cardinal del conjunto vacío es el cero. Volvamos a la naturaleza y comprensión del concepto de vacío. XV Jornadas de ASEPUMA y III Encuentro Internacional

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Como hemos dicho mas arriba, en todo espacio hay algo. Cuando la física cuántica nos dice que el vacío emite o de él surge algo que se convertirá en materia, parece que, cuando menos es chocante. Pues parece que el concepto de vacío es un concepto inconsistente, poco coherente y con escasa firmeza. Podría decirse que la física cuántica lucha contra la intuición más elemental. Durante muchos siglos, desde Aristóteles hasta mediados del siglo XVII se consideró que la naturaleza tenía horror al vacío. La celebre sentencia “horror vacui”. Será Torrichelli quien con sus experimentos y estudios relacione el comportamiento de la naturaleza en el vacío con la presión atmosférica. En el campo empírico, los estudios de Pascal, Boyle y otros, contribuyeron a romper la idea de sus contradicciones, admitiendo la posibilidad de que existiese algo parecido al vacío. Sin embargo los filósofos, rigurosos y rigoristas, seguían manteniendo que debía existir una materia, un fluido o un gas más sutil que rellenase el supuesto vacío. No esta claro si a Descartes le horrorizaba el vacío, la Inquisición o quería mantener un entente cordiale con los jesuitas al negar el vacío. Esta oposición de Descartes retrasó la revolución newtoniana Newton con su Philosophiae Naturalis Principia, admite la existencia del vacío como algo imprescindible para el equilibrio cósmico, pues el vacío evita perturbaciones en las fuerzas que regulan el sistema planetario. Con la revolución newtoniana el mundo pasa de ser algo lleno, compacto y continuo, a considerarse como algo vacío en su mayor parte. Recuérdese la frase, atribuida a Rutherford “si el universo fuese compacto, cabria, y sobraría espacio, en la cabeza de un alfiler”. Desde la perspectiva de la física cuántica se considera el vacío como una fluctuación de partículas-antipartículas que den como resultado unas fluctuaciones de medida nula, lo que podría explicar que el vacío emita energía que se transformará en materia o que de los agujeros negros salgan partículas. En el siglo XX se terminó con la dicotomía vacío- no vacío. Admitiendo esta evolución histórica del concepto y aceptación del vacío en la física, quedan sin resolver los problemas fundamentales: ¿Existe el vacío? ¿Es la idea o el concepto de vacío lo que se mantiene? En el mundo real ¿existe el vacío o el casi vacío?.

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5. CONCLUSIONES 5.1.- En la bibliografía científica se suelen utilizar como conceptos sinónimos, aunque como hemos visto existen matices que los diferencian. 5.2.- Son conceptos muy sutiles que se prestan a diferentes interpretaciones y están condicionados por una gran carga ideológica. Hasta el punto de negar o defender su existencia. 5.3.- Cuando se utilizan como sinónimos, el cero se aplica más a los aspectos cuantitativos, especialmente a las Matemáticas. El conjunto vacío se utiliza, fundamentalmente en el Álgebra. El vacío para los estudios de Física. La nada en Filosofía. 5.4.- En el aspecto matemático a) El cero se puede considerar desde la perspectiva posicional, numérico (el cero es el referente de los demás números, pero no al contrario) o como medida de una magnitud. b) El conjunto vacío tiene como cardinal el cero c)

En este campo la nada carece de sentido salvo interpretaciones mostrencas, en el sentido del concepto que no tiene casa ni hogar, ni señor o amo conocido.

El contenido de los epígrafes se escribe aquí.

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6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS •

CAPANNA,

Pablo.

El

cero

y

la

nada.

En

http://www.geocities.com/juegosdeingenio/lecturas/cero.htm •

GRIBBIN, John. Historia de la ciencia 1543-2001. Ed. Crítica. Serie mayor, 2005

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IFRACH, George. Las cifras. Alianza Editorial, 1987

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MARIAS, Julián. Creado y creatura. Conferencia. Ed. Renato José Moraes, 1999

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REY PASTOR, Julio. Elementos del análisis algebraico. Biblioteca matemática, , 1966

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RIBAS MASSANA, Albert. Biografía del vacío. Su historia científica y filosófica desde la Antigüedad a la Edad Moderna. Destino, 1997

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RIBAS MASSANA, Albert. En los limites de la realidad : El vacío. Mundo Científico. La Recherche, núm. 2002 (junio 1999)

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WARUSFEL, André. Los números y sus misterios. Martínez Roca, 1968 i

.- Marias Julián (1999). “Creado y Creatura”. Conferncia. Ed. Renato José Moraes.

Madrid ii

.- Rey Pastor, julio. (1966) “Elementos de Análisis algebraico”. 15ª edición. Madrid.

iii

.- Rey Pastor, Julio op. cit. Pág. 18

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