IMPORTANCIA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES FINITOS E INFINITOS EN EL DESARROLLO DEL ANALISIS FUNCIONAL

Diego Alejandro Espitia Villalobos

Doctor Alberto Campos Director Profersor Honorario de la Universidad Nacional de Colombia

Oscar Eduardo Gómez Rojas Co Director Matemático de la Fundación Univesitaria Konrad Lorenz

Fundación Universitaria Konrad Lorenz

RESUMEN: El propósito del presente escrito es ubicar al lector históricamente en el desarrollo del análisis funcional y en el artículo de Erika Luciano presentado en la Revue d’historie des mathématiques titulado “At the origins of functional analysis: G. Peano and M. Gramegna on ordinary differential equations”.

Se hace una lectura crítica del artículo, destacando los puntos claramente desarrollados en éste, y se intenta exponer los que parecen requerir esclarecimiento.

1

1. HISTORIA DEL DESARROLLO DEL ANALISIS FUNCIONAL SEGÚN FERNANDO BOMBAL1

Como muchas teorías matemáticas, el análisis funcional surgió de la necesidad de encontrar nuevas técnicas para resolver algunos problemas que con los métodos tradicionales no se podían resolver. Desde los comienzos del cálculo diferencial los matemáticos han visto la necesidad de construir conjuntos cuyos elementos no fuesen puntos, como en la geometría euclidiana, sino funciones, como en las ecuaciones diferenciales donde la solución de un problema conduce a estudiar el conjunto de funciones solución de dicho problema y al estudio de sus propiedades.

El análisis funcional es el estudio de los espacios funcionales, los cuales son conjuntos formados por funciones, dotados de determinadas propiedades que permiten realizar en ellos gran parte de las operaciones habituales del análisis como límites de sucesiones, continuidad de funciones sobre ellos, etc.

En 1750 Daniel Bernoulli enunció el principio de superposición que afirma que la forma más general que puede tomar una cuerda homogénea de longitud π , mantenida en tensión y sometida a vibración en un plano, puede obtenerse como superposición de las formas más sencillas que puede adoptar (es decir, como superposición de las funciones seno y coseno a distintas amplitudes y períodos). Para pequeñas vibraciones la posición u ( x, t ) en la abscisa x en el instante t viene dada por la solución general de la ecuación diferencial: ∂ 2u ∂ 2u ∂u = 2 con u ( x, 0 ) = ϕ ( x ) y ( x, 0 ) = φ ( x ) 2 ∂x ∂t ∂t

(1)

donde ϕ ( x ) y φ ( x ) representan la posición y velocidad iniciales de cada una de las partículas en la cuerda.

1

[3], [4] y [7].

2

El principio de superposición enuncia que la solución general de (1) se puede escribir de la forma ∞

u ( x, t ) = ∑ an sen ( nx ) cos  n ( t − bn )  i =1

para adecuadas elecciones de an y bn .

Más adelante, con el descubrimiento por D’Alembert de la ecuación diferencial que rige el movimiento y con el desarrollo de las técnicas analíticas, se relegó el método de Bernoulli a un segundo plano.

Sin embargo, la idea de Bernoulli de pasar de un sistema finito de ecuaciones a uno infinito siguió siendo utilizada, principalmente por Fourier, para obtener las ecuaciones diferenciales que controlan los fenómenos de transmisión del calor y para la obtención concreta de soluciones.

Es Fourier quien encuentra que para resolver algunas ecuaciones diferenciales por el método de superposición se debe utilizar la eliminación de parámetros que consiste en derivar una serie término a término e igualar y a 0, lo que conduce a un sistema de infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas. Para solucionar este problema, Fourier propone truncar hasta solo las primeras n ecuaciones con n incógnitas y luego hacer tender n a infinito. Sin embargo este método no es técnicamente correcto y el propio Fourier aclara sobre este proceder “Como estos resultados parecen desviarse de las consecuencias ordinarias del cálculo, es necesario examinarlas con cuidado e interpretarlas en su verdadero sentido”.

Por ejemplo, al considerar el sistema

3

x1 + x2 + x3 + ... + xn + ... = 1 x2 + x3 + ... + xn + ... = 1 x3 + ... + xn + ... = 1

las soluciones del sistema truncado son ( 0, 0,...,1) que convergen a xi = 0 para todo i, resultado claramente falso.

Después de Fourier los sistemas de infinitas ecuaciones lineales no fueron estudiados por más de 50 años.

Los trabajos de Fourier tuvieron gran influencia en el tratamiento posterior de las ecuaciones diferenciales; por ejemplo, cuando se estudian las soluciones de la ecuación diferencial de la forma ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x 2 ∂y 2

empleando el método de separación de variables y haciendo u ( x, y ) = v ( x ) w ( y ) , cuando se reemplaza en la ecuación, se obtiene v '' ( x ) w '' ( y ) =− v ( x) w( y)

Como el primer miembro depende sólo de x y el segundo de y , sólo pueden ser iguales si ambos son una constante λ , lo cual conlleva al estudio de la ecuación diferencial de segundo orden: y′′ − q ( x ) y '+ λ y = 0

4

donde λ es un parámetro complejo, q ( x ) es real y la función incógnita y es de orden 2 en un intervalo [ a, b ] .

Ch. Sturm y J. Liouville desarrollaron una teoría general para abordar este tipo de problemas. Sturm demostró que el problema planteado solo tiene solución para una sucesión estrictamente creciente de valores reales del parámetro λ , es decir, de los autovalores del problema, con lo que sentó las bases para la teoría espectral.

∑a u

Liouville demostró que la serie an =

∫ uu ∫u

n

2 n

n n

, donde u n son las autofunciones y

, converge si la serie de Fourier de u (cualquier función continua) es

convergente. Por último, para la demostración de que la función U = ∑ anun coincide con u se b

debe probar que si

∫ (U − u )u

n

= 0 para todo n, entonces U = u , lo cual Liouville

a

hace bajo hipótesis restrictivas. Esta es la primera vez que aparece la propiedad de completitud de un sistema ortonormal.

El cálculo de variaciones también aportó para el desarrollo del análisis funcional. En este cálculo se intenta maximizar o minimizar una función del tipo

b

J (ϕ ) = ∫ F (ϕ ( x ), ϕ ' (x ),...)dx a

donde F es una función regular, y las variables ϕ un conjunto de curvas regulares parametrizadas en [a,b]. Es en este contexto, en donde aparece la idea de campo funcional como conjunto de funciones admisibles, y la de distancia entre funciones.

5

Uno de los primeros problemas planteados con el programa de rigorización del análisis, fue estudiar bajo qué condiciones el límite puntual de una sucesión de funciones conserva las propiedades de las funciones de la sucesión, tales como continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc.

Uno de los primeros intentos para atacar este problema fue imponer ciertas condiciones sobre la manera de converger de las sucesiones. De esta manera aparece el concepto de convergencia uniforme.

Por otro lado, los matemáticos italianos Dini, Arzelá y Ascoli no modificaron la noción de convergencia sino que dieron una condición general sobre el conjunto formado por la sucesión de funciones. Tal condición es la equicontinuidad2. Esta condición garantiza que el límite puntual sea continuo.

Aquí aparece uno de los aportes de los artículos de Giuseppe Peano, quien trabajó en ecuaciones diferenciales y en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. En estos trabajos Peano sienta las bases para la teoría de operadores (teoría decisiva en ciertos trabajos de D. Hilbert y fundamental para el desarrollo del análisis funcional).

Peano trabaja con las formas más simples de operadores lineales (a saber, las matrices), desarrolla algunas propiedades básicas de estos tales como igualdad, suma y producto de un operador con respecto a un elemento, además establece la noción de módulo o norma de un operador.

Otra de las ramas que hizo surgir el análisis funcional, fue las ecuaciones integrales. En esta rama aparecen problemas tales como encontrar una función σ ( x ) que verifique la siguiente ecuación 2

Sean ( X ,τ ) un espacio topológico, (Y , d ) un espacio métrico y x0 un punto en

X . Un conjunto

H de funciones de X en Y se dice equicontinuo en x0 si y solamente si para todo r > 0 , ∃A

(

)

vecindad de x0 tal que ∀f ∈ H , f ( A ) ⊆ B f ( x0 ) , r .

6

b

σ ( x ) + ∫ k ( x, y )σ ( y )dy = f ( x ) a

siendo k un núcleo simétrico3 y continuo.

Esta es una ecuación integral de segundo tipo (en terminología de Hilbert) dado que la función incógnita aparece tanto dentro como fuera de la integral.

Si se considera la integral como un operador sobre un cierto espacio funcional, la anterior ecuación toma la forma

(I + K )σ

= f

cuya solución formal es

σ = (I + K )−1 f = f − Kf + K 2 f − K 3 f + ... 4

(2)

si la serie converge.

Los primeros resultados generales para ecuaciones integrales fueron obtenidos por J.M. Le Roux y V. Volterra quienes establecieron teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones del tipo x

f ( x ) + ∫ k ( x, t ) f (t )dt = g (x ) a

Aunque los resultados de estos dos matemáticos fueron similares, el trabajo de Volterra tuvo una mayor influencia posterior al resaltar las propiedades de los operadores.

Después de esto, Volterra hace notar la semejanza que tiene la ecuación integral con un sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes triangular.

3

Es decir, k ( x, y ) = k ( y , x ) .

4

Recuérdese la serie geométrica (1 − x )

−1

= 1 − x + x 2 − x3 + ... , por lo tanto, se puede tomar a σ

como una generalización de ésta serie.

7

En este momento aparece el aporte del trabajo de Maria Gramegna, ya que en su tesis de grado ella trabaja con sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos en infinitas incógnitas.

En este trabajo también utiliza el concepto de operador, como su maestro Peano, pero esta vez lo hace como una matriz infinita, en donde también desarrolla las propiedades de igualdad, suma y producto además de la norma del operador.

También trabaja las ecuaciones integro-diferenciales llegando a encontrar la solución 1

a problemas tales como la ecuación de Abel g ( x ) = ∫ k ( x, y ) f ( y )dy donde 0

(

)

k ∈ C [0,1] , f ∈ C ([0,1]) y x ∈ [0,1], o la ecuación 2

∂f (t , x ) = ∫ k (t , x, y ) f (t , y )dy + h(t , s ) ∂t 0 1

(

)

donde k ∈ C [0,1] , h ∈ C ([0,1]) y f ∈ C ([0,1]) . 2

Tal solución la encuentra utilizando el método llamado “integraciones sucesivas”, método también utilizado por su maestro, Peano, en la demostración de sus teoremas sobre la existencia de una solución para las ecuaciones diferenciales y para los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

Gramegna no se interesó más por el tema de las ecuaciones diferenciales e integrodiferenciales, aludiendo a que Volterra ya lo había estudiado más profundamente, por lo cual (sumado a que el artículo de Gramegna no había circulado) muchos de los matemáticos ignoraron los métodos que ella utilizó en el estudio de este tipo de ecuaciones, lo que conllevó a que, en los estudios sobre estos problemas, se referenciara únicamente a Arzelá, Ascoli y Volterra. 8

Fue una observación hecha por Volterra la que influyó decisivamente en el trabajo de I. Fredholm cuya intención era dar un nuevo método de solución del problema de Dirichlet5.

Para ello, Fredholm utiliza los resultados de Volterra en ecuaciones integrales y algunos de los razonamientos utilizados por éste en sus demostraciones. De esta manera deduce que el problema de Dirichlet tiene solución única para todo dominio

Ω acotado del plano con superficie suficientemente regular. Al presentar estos resultados en el Acta Matemática en 1903, Fredholm muestra la analogía que supone el estudio de las ecuaciones integrales con los sistemas de ecuaciones lineales.

La potencia de estos resultados y la elegancia de las demostraciones de Fredholm, colocaron las ecuaciones integrales en el centro de interés de los matemáticos de la época. Además, supone el punto de partida de la teoría espectral, el cual es un punto esencial para el posterior desarrollo del análisis funcional.

D. Hilbert también se interesó vivamente en el tema. Entre 1904 y 1910 publicó seis artículos sobre ecuaciones integrales en el Göttingen Nachrichten. En estos aparecen nuevas ideas y directrices que posteriormente, en manos de Riesz y Schmidt, se convertirán en fundamentos del análisis funcional.

En uno de los artículos, Hilbert, trabaja con la ecuación integral

b

f ( x ) + λ ∫ k ( x, t ) f (t )dt = g ( x )

(3)

a

El problema de Dirichlet consistía en encontrar una función armónica u en un dominio Ω que toma valores prefijados en la frontera Γ de Ω . 5

9

donde λ es un parámetro complejo y el núcleo es simétrico. Trabajando con estas ecuaciones, Hilbert obtiene los mismos resultados a los que Fredholm había llegado antes; sin embargo, Hilbert llegó aún más lejos. El estudio de las ecuaciones integrales le lleva a introducir las formas cuadráticas Qn ( x ) = ∑∑ K (xi , x j )xi x j n

n

i =1 j =1

Luego demuestra que el paso al infinito ( n → ∞ ) permite obtener al menos un autovalor de la ecuación integral.

También intentó generalizar estos resultados para núcleos menos regulares, pero la solución a este problema no la alcanzó.

Hilbert demostró también que toda función de la forma

b

g ( x ) = ∫ k ( x, y ) f ( y )dy a

con f continua tenía un desarrollo en serie de autofunciones ∞

g ( x ) = ∑ ( g , ψ n )ψ n ( x ) n =1

absoluta y uniformemente convergente, donde las ψ n forman un sistema ortonormal, lo que permitió abordar la solución de (3) de la siguiente manera b b

∞

a a

n =1

∫ ∫ k (x, y ) f (x )h( y )dxdy = ∑ b

donde ( f ,ψ n ) = ∫ f (s )ψ n (s )ds . a

10

1

λn

( f ,ψ n )(h,ψ n )

En otro de los artículos que Hilbert presenta, abandona todo el marco de las ecuaciones integrales para concentrarse en tratar de crear una teoría general de formas bilineales y cuadráticas de infinitas variables que se aplique en particular al estudio de las ecuaciones integrales.

Hilbert introduce la noción de sistema ortogonal completo de funciones como una sucesión (ψ n ) de funciones continuas en [a, b] que cumpla la siguiente relación de completitud ∞

( f , g ) = ∑ ( f ,ψ n )(g ,ψ n ) n =1

para todo par de funciones f y g .

Luego, establece que una forma cuadrática es completamente continua si lim Qn ( x ) = Q( x ) n→∞

uniformemente para todos los x = ( x n ) tales que

n

∞

∑x n =1

2 n

≤ 1 y donde

n

Qn ( x ) = ∑∑ k pq x p x q . p =1 q =1

Esta condición permite asegurar el éxito del método de truncamiento de Fourier, siempre y cuando las soluciones parciales obtenidas tengan normas en L2 uniformemente acotadas.

Más adelante, Hilbert introduce en L2 la distancia

11

2  ∞   d ( x, y ) = ∑ ( x n − y n )   n =1   

1

2

y extiende las nociones de continuidad, límites, etc., para funciones escalares sobre L2 . Muy pronto aparece el hecho crucial de que no se cumple el análogo del teorema de Bolzano-Weierstrass, lo que lleva a Hilbert a considerar el equivalente a la noción actual de topología débil en L2 y prueba su principio de elección que permite extraer de cada sucesión acotada en L2 una subsucesion convergente débilmente.

En el trabajo de Hilbert también aparecen ya algunas clases importantes de operadores tales como los hoy llamados de Hilbert-Schimdt, nuclear, etc., aunque en términos de formas cuadráticas.

En 1906, Fréchet introduce la noción abstracta de distancia en un conjunto, lo que permite extender las nociones habituales de límites, continuidad, etc., en conjuntos abstractos. También introdujo las nociones de compacidad, completitud y separabilidad y mostró la importancia de las mismas.

En 1908, Schmidt publicó un articulo en donde define el espacio de dimensión infinita L2 , con las nociones actuales de producto escalar, norma, ortogonalizacion, etc.

Es en la búsqueda de resultados análogos al principio de elección de Hilbert en distintos espacios normados en la que conforma la idea de topología débil y las técnicas de dualidad.

En 1907, los matemáticos E. Fischer y F. Riesz descubrieron independientemente el llamado teorema de Fischer-Riesz que establece que si se fija un sistema ortonormal completo de funciones (ψ n ) , la aplicación f → (( f ,ψ n ))n =1 es un isomorfismo ∞

12

hilbertiano entre el espacio L2 ([a, b ]) de las funciones integrables en el sentido de Lebesgue sobre [a, b] y el espacio de Hilbert L2 .

Este mismo año, Riesz y Fréchet obtuvieron la representación de cualquier forma lineal continua T sobre el espacio L2 en la forma T ( f ) = ( f , g ) = ∫ f ( x )g ( x )dx para alguna g del mismo espacio.

En 1909, Riesz prueba que cualquier funcional lineal continua T sobre el espacio C ([a, b]) , puede escribirse como la integral de Stieltjes b

T ( f ) = ∫ f (x )dα ( x ) a

donde α ( x ) es una función de variación acotada. En 1910, Riesz introduce los espacios L p , 1 < p < ∞ , como una generalización de L2 e intenta resolver un sistema de infinitas ecuaciones del tipo b

∫ f (x )g (x )dx = c i

con i ∈ I

i

a

donde las f i y los escalares ci son conocidos y se debe encontrar la función g .

Para esto, utiliza los trabajos de Hilbert, Schmidt y Fischer y estudia la clase de

[ ]

p

funciones f tales que f es integrable en el sentido de Lebesgue (clase L p

[ ]

muestra que la solución g debe buscarse en la clase Lq , siendo

y

1 1 + = 1. p q

Luego prueba el principio de elección en L p ([a, b]) , lo que lleva a introducir la noción de convergencia débil de la siguiente forma

13

( f n )→ f w

x

⇔

∫

x

f n (t )dt → ∫ f (t )dt

a

∀x ∈ [a, b]

a

De este modo, Riesz establece la dualidad entre L p y Lq y prueba que toda sucesión en L p acotada en norma, posee una subsucesion débilmente convergente a alguna función de Lq .

En 1913, Riesz, publicó su libro Les systèmes d’Équations Linéaires à una Infinité

d’Inconnues, donde estudia los sistemas de infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas de la forma ∞

∑a n =1

in

x n = ci

donde ai = ( ain ) ∈ L p y la solución se busca en Lq , con q conjugado de p .

Se observa de este modo que Riesz establece algunas nociones básicas para el análisis funcional tales como las nociones de norma, espacio dual, convergencia débil, etc.

En 1918, Riesz presenta su teoría de los operadores compactos, que es una visión lineal de muchas de las nociones introducidas por Hilbert en sus artículos sobre ecuaciones integrales, aunque sin utilizar las ideas de ortogonalidad y geometría del espacio de Hilbert.

En 1920, S. Banach presenta su tesis (publicada dos años más tarde) donde expone una serie de resultados válidos en distintos “campos funcionales”, por lo cual desarrolla un conjunto de teoremas muy generales que por especialización dan lugar a los distintos resultados buscados.

En este trabajo él utiliza las contribuciones hechas hasta el momento y presenta una definición axiomática de lo que son los espacios vectoriales reales, normados y completos, presenta lo que llama el principio de contracción uniforme y da la forma general del principio de contracción en espacios métricos completos. 14

En 1922, P. Levy publica el libro Lecons d’analyse fonctionelle donde aparece por primera vez el nombre de análisis funcional.

Con este nombramiento oficial se puede considerar que hasta aquí ha llegado el proceso fundacional y surge una nueva rama de la matemática llamada análisis funcional.

2. PRESENTACIÓN DEL ARTÍCULO

El artículo analizado “At the Origins of Functional Analysis: G. Peano y M. Gramegna on Ordinary Differential Equations” ([6]) presenta una interesante perspectiva acerca del desarrollo del análisis funcional, lo mismo que sobre los desarrollos hechos por los matemáticos italianos de finales del siglo XIX.

Luego de comentar algunos resultados importantes en la búsqueda del análisis funcional la autora presenta y desarrolla primero el teorema de la existencia de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo en n incógnitas.

Este teorema fue planteado y demostrado por Peano de una manera absolutamente maravillosa, debido al uso que hace de su simbología y del uso que hace también de las herramientas del cálculo vectorial.

Además de demostrar la existencia de la solución para dicho sistema de ecuaciones diferenciales, muestra algunas propiedades que tienen las soluciones debido al método que él utiliza llamado “aproximaciones sucesivas”. 15

Aunque la demostración de este teorema llevada a cabo por Giuseppe Peano fue asombrosa, no gozó de gran lectura entre sus colegas debido a varias razones:

El haber publicado sus resultados en el Proceedings de la academia de Turín no permitió que se difundiera ampliamente, debido a que esta revista únicamente era publicada en esta ciudad. Por lo tanto muchos de los matemáticos de su época no conocieron estos resultados sino hasta cuando se los presentaban en los congresos.

También, los artículos científicos debían ser presentados principalmente en alemán o francés, el italiano no era tan científico.

Estos errores fueron corregidos cuando apareció en el Mathematische Annalen de Alemania la traducción al francés de su artículo. Sin embargo, otros “errores”6 no fueron corregidos en esta publicación:

Los conceptos utilizados por Peano tales como norma o transformación no eran diestramente utilizados en esta época por lo cual muchos de los lectores de sus resultados no comprendieron el desarrollo de la demostración.

Y, por último, el más grande de estos llamados “errores” fue el publicar sus resultados utilizando lo que él había desarrollado y llamado Lógica Matemática la cual le trajo muchos problemas, no solo en la lectura de sus resultados sino también en su vida profesional, debido a que, como esta lógica la había desarrollado y publicado en el Proceedings

de la Academia de Turín, no fue, nuevamente,

ampliamente conocida ni tampoco el proyecto formulario que estaba llevando a cabo, donde desarrollaba con su lógica las bases de la aritmética, el algebra, la geometría y

6

Personalmente estos últimos llamados errores no son tales, ya que Peano sabía cuales herramientas de otras ramas tenía disponible y como utilizarlas, tales como la notación matricial y la lógica simbólica.

16

el análisis demostrando que esta herramienta desarrollada por él resultaba muy útil en algunas demostraciones.

Si bien tenía ventajas este uso de su lógica también poseía la desventaja de ser difícil de manejar dado que su simbología, aún en una temprana etapa, no era lo suficientemente intuitiva para utilizarla, y había que hacer un estudio previo bastante exhaustivo de cómo se debía operar con estos nuevos símbolos.

Después de esto, Erika Luciano señala como Maria Gramegna generalizó el teorema demostrado por Peano, demostrándolo para n = ∞ por sugerencia de su maestro y director de tesis. Aquí se puede ver el nivel de manejo que poseía Peano de su Lógica Matemática y del uso de los operadores lineales, fundamentales en este trabajo.

Al final de su tesis Maria Gramegna muestra la solución para el sistema de infinitas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con infinitas incógnitas utilizando una notación parecida a la utilizada por Peano en su demostración previa.

Muestra que esta solución satisface las propiedades que había mostrado Peano y lo demuestra. Por último, trabaja con ecuaciones Integro-Diferenciales del tipo ∂f ( t , x ) ∂t

(

1

= ∫ k ( t , x, y ) f ( t , y ) dy + h ( t , x ) 0

)

donde k ∈ C [ 0,1] , h ∈ C ([ 0,1]) y f ∈ C ([ 0,1]) . Maria Gramegna muestra que 2

esta ecuación puede escribirse en forma abstracta Df = sk f + h y usando la notación introducida por ella, deduce que la solución está dada por: t

f = E ( sk ;0, t ) f 0 + ∫ E ( sk ; t , 0 ) ht dt 0

En esta última parte del artículo, ella no da pruebas de sus afirmaciones aludiendo a que es suficiente repetir el mismo razonamiento y además escribe que no va más allá en este tema debido a que fue estudiado por Volterra quien publicó sus resultados en esa misma época, Febrero de 1910. 17

Es en este punto en donde los trabajos de Maria Gramegna y E. H. Moore se cruzan en el sentido de que ambos matemáticos, estaban convencidos de que debería existir una teoría matemática más abstracta que incluyera la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales en espacios finito dimensionales, la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales en espacios infinito dimensionales y la teoría de las ecuaciones integrales.

Aunque el método utilizado por los dos fue distinto para esta aproximación:

Maria Gramegna se centró únicamente en algunos casos especiales de espacios funcionales introduciendo la noción apropiada de convergencia.

Moore, en cambio, se acercó a esta teoría de una manera más abstracta. Desarrolló una teoría cuyos elementos eran miembros de un conjunto M de funciones de valor real x(s) para s que pertenece a un conjunto abstracto S. Luego, introduce la noción de convergencia relativa y muestra que la convergencia con la cual trabajaba Gramegna es un caso particular de la convergencia mostrada por él.

Moore también escribía sus trabajos con la lógica simbólica de Peano así que su recepción fue también algo problemática y Bernkopf anota que:

“Sus trabajos eran difíciles de entender por el uso de los símbolos. Se sentía que su Análisis General no aportaba nada nuevo y no solucionaba nuevos problemas. Quizás, estaba conceptualmente algo adelantado a su época”.

El trabajo de Gramegna fue prontamente exaltado por los discípulos de la escuela de Peano, quienes escribieron que el trabajo de Gramegna era una muestra de lo que la lógica simbólica de Peano podía llegar a hacer, ella muestra la importancia del uso de los operadores y el uso de la teoría de las matrices infinitas y determinantes infinitos

18

para resolver el problema de los sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales lineales.

Sin embargo, este trabajo no fue ampliamente leído, de nuevo, debido al uso de la simbología a la cual muchos todavía no le dedicaban la debida atención; por lo tanto, el trabajo de Gramegna no fue lo suficientemente citado durante la primera mitad del siglo XX en análisis funcional.

Sin embargo, sí lo hicieron Hellinger y Toeplitz en el prestigioso Encyclopädie der Mathematischen Wissenchften y Vivanti y Volterra se refieren a él en una bibliografía general sobre ecuaciones integro-diferenciales.

Este trabajo realizado por Maria Gramegna fue también la causa de que la vida académica de Peano terminara.

Giuseppe Peano presentó el trabajo de Maria Gramegna a la Academia de Ciencias de Turín titulado “Serie di equazioni differenziali lineari ed equazioni integrodiferenziali” el 13 de Marzo de 1910.

En esta sesión estaban presentes el presidente de la academia Enrico D’Ovidio, Segre, Peano, Somigliana, Jadanza, Naccari, Guareschi, Guido, Mattirolo, Fusari y Parona. Cuatro dias después, un encuentro de facultados tomo lugar en Turín al cual asistieron el Decano Corrado Segre, el secretario Gino Fano y los profesores de tiempo completo D’Ovidio, Somigliana Boggie, Jadanza, Nacxari, Guareschi, Parona, Spezia y Mattirolo.

En esta reunión, Segre, luego de reconocer los méritos de Giuseppe Peano en lógica, cálculo infinitesimal y en fundamentos de la matemática, criticó el modo en el que el profesor Peano estaba desarrollando los cursos de cálculo infinitesimal y de análisis avanzado debido a que éste tenía como texto principal el Formulaire de Mathématiques, por lo cual dedicaba mayor tiempo en estudiar los símbolos que 19

había desarrollado gracias a su lógica matemática que en estudiar los temas propios de la materia.

Segre también decía que el texto presentaba temas disconexos y arbitrariamente elegidos, dejando de lado aspectos importantes para un curso de análisis avanzado.

Argumentaba que de ésta manera los estudiantes brillantes no podían avanzar ni liderar investigaciones en matemáticas avanzadas. Con estos métodos, ellos aprendían únicamente el acercamiento crítico, más no el constructivo de esta disciplina.

D’Ovidio enfatizó en que no se debería confundir la enseñanza de la escuela del magisterio, que educaba a los estudiantes para enseñar en la escuela secundaria, con los cursos de Análisis Avanzado, donde se presentaban nuevas teorías, preguntas, herramientas y direcciones de búsqueda a los estudiantes.

Otro punto del profesor D’Ovidio fue, que en cada teoría matemática, la fase inventiva o constructiva precede a la fase critica y que además ningún profesor debería negar la intuición a favor del rigor.

Por último, Somigliana expresó serias dudas en la habilidad del profesor Peano para desarrollar algunos capítulos fundamentales de análisis avanzado tales como la teoría de las ecuaciones diferenciales y la teoría de las funciones elípticas.

Peano se defendió de estas críticas argumentando que en sus clases introducía temas bastante recientes y que además estimulaba a sus estudiantes en la conducción de búsquedas originales, donde algunos de los resultados de estas investigaciones habían sido publicados o estaban en proceso.

También, que tomaba con especial atención aquellos temas que podrían ser útiles para los estudiantes que quisieran enseñar en escuelas secundarias y que además pretendía defender el rigor de la matemática haciéndola libre de errores (Véase [5]). 20

A partir de esta reunión, Peano fue despedido de los cursos de análisis avanzado y de cálculo infinitesimal, al no aceptar tomar otros textos como principales y dejar el Formulaire como texto auxiliar. También, le fue denegada una propuesta para realizar un curso libre donde iba a mostrar el poder que tenía su lógica matemática y los resultados a los que, con ésta, había llegado.

Después de esto, Peano se dedicó a su nuevo proyecto: “El proyecto interlingua” o latín sin inflexiones, el cual pretendía ser un idioma con el cual toda la comunidad matemática presentara sus escritos abandonando el proyecto de una nueva edición del Formulaire de Mathématiques y de su Rivista de matematica.

Este fue el final de la vida académica de Giuseppe Peano.

3. DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE GIUSEPPE PEANO Y MARIA GRAMEGNA

Aunque sobre lo que quiere hacer énfasis la autora es en la importancia de los artículos publicados por Peano y Gramegna en el desarrollo del análisis funcional, esta importancia no es resaltada de manera apropiada dentro del artículo.

Lo que la autora desarrolla primero de forma exhaustiva en el artículo es la demostración de los teoremas presentados por G. Peano y por M. Gramegna en “Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari” de 1887 y en “Serie di equazioni differenziali lineari ed equazioni integro-differenziali” de 1910 respectivamente.

Por lo pronto pretendo desarrollar algunos pasajes complicados del artículo de Erika Luciano presentado en la Revue d’historie des mathématiques

titulado “At the

origins of Functional Analyisis: G. Peano and M. Gramegna on ordinary differential equations”. 21

El teorema demostrado por Giuseppe Peano presentado en “Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari” de 1887, es el siguiente:

Sean n ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en n funciones x1 , x2 ,..., xn de una variable real t, donde los coeficientes α ij son funciones de t, continuas en un intervalo cerrado y acotado [ p, q ] expresado así: dx1 = α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn dt dx2 = α 21 x1 + α 22 x2 + ... + α 2 n xn dt M dxn = α n1 x1 + α n 2 x2 + ... + α nn xn dt

Sustituyendo n constantes arbitrarias a1 , a2 ,..., an en el lado derecho de las ecuaciones, en lugar de x1 , x2 ,..., xn e integrando desde to hasta t, obtenemos n funciones de t denotadas por a1' , a2' ,..., an' . Ahora, sustituyendo a1' , a2' ,..., an' de nuevo en el lado derecho de las ecuaciones por x1 , x2 ,..., xn e integrando desde to hasta t, obtenemos n nuevas funciones de t denotadas por a1'' , a2'' ,..., an'' . Repitiendo este proceso se tiene a1 + a1' + a1'' + ... a2 + a2' + a2'' + ... M an + an' + an'' + ... Estas series son convergentes en el intervalo ( p, q ) . Sus sumas que indicaremos por x1 , x2 ,..., xn son funciones de t que satisfacen el sistema dado. Más aún, para t = t0 , ellos asumen los valores arbitrariamente escogidos a1 , a2 ,..., an .

22

Para demostrar este teorema Peano se valió de la notación de matrices y vectores y usó la teoría de las transformaciones y complejos, entendidos como n-uplas, así como el nuevo método de aproximaciones sucesivas esbozado por J. Caqué y L. Fuchs, lo cual condujo a Peano a una prueba de la existencia de una solución para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

Demostración:

Un

número

complejo

a = [ a1 , a2 ,..., an ] ∈

n

y

de la

orden

n

norma

es o

una

n-upla

módulo

de

de éste

números se

define

reales por

a = a12 + a22 + ... + an2 .

Una transformación u operador lineal7 en

α = (α ij )i , j =1,..,n ∈ M n (

n

esta representado por la matriz

).

Las propiedades elementales tales como igualdad, suma y producto son definidas del modo como se utiliza en las matrices. El modulo de una transformación α es el operador norma en L = L

( ) definido de n

la siguiente manera:

α

7

L

= sup x ≠0

αx x

Una función A de X en Y (donde X e Y son espacios lineales) es llamada operador lineal si se

cumple que A ( x1 + x2 ) = A ( x1 ) + A ( x2 ) = Ax1 + Ax2 , para todo x1 , x2 ∈ X y

A (α x ) = α A ( x ) = α Ax , para todo α ∈

y para todo x ∈ X , [8] y [10].

23

Con estas herramientas y escribiendo el sistema antes presentado como la ecuación vectorial

dx = α x donde x ∈ dt

y α es la matriz de los coeficientes por el cual es

n

representado el operador lineal α ∈ L

( ), n

Peano demuestra el teorema de la

siguiente manera. Sea a ∈

n

una n-upla constante arbitrariamente escogida.

t

Sean

a ' = ∫ α adt ,

t

t

a '' = ∫ α a ' dt ,

t0

a ''' = ∫ α a '' dt , etc. Los componentes de

t0

t0

a , a ', a '', a ''',... son precisamente los números introducidos en el teorema.

Para

demostrar

a + a '+ a ''+ a '''+ ... converge,

que

se

debe

demostrar

que

a + a ' + a '' + a ''' + ... converge.

Siendo

t

a' =

t

∫ α adt ≤

∫

t0

t0

t

α a dt ≤ ∫ α a dt 8 y como las funciones

( p, q )

( p, q ) , y si

se tiene entonces que:

t

∫α

L

ij

entonces α

t

t

t0

t0

L

es también continua y acotada en

a dt ≤ ∫ M a dt = ∫ dtM a = M ( t − t0 ) a

t0

Por lo tanto a ' ≤ M (t − t0 ) a .

Del mismo modo se tiene

8

La mayoración

t

t

t0

t0

∫ α adt ≤ ∫ α a

son

t0

continuas y acotadas en M = max α

(α )

dt se da, ya que α a y α a son integrables en el intervalo

( to , t ) . Véase[1] p. 631, [2] p. 241 y [9]. 24

a '' =

t

t

t

t

t0

t0

t0

t0

∫ α a ' dt ≤ ∫ α a ' dt ≤ ∫ α a ' dt ≤ ∫ MM ( t − t0 ) a dt

t

∫ MM ( t − t ) a 0

t

dt = ∫ ( t − t0 ) dtM

t0

Por lo tanto a '' ≤ M

2

a =M

2

( t − t0 ) 2!

t0

2

( t − t0 ) 2!

2

a

2

a .

Ahora, a + a ' + a '' + a ''' + ... es menor o igual que

M 2 ( t − t0 )

≤ a + M (t − t0 ) a +

2

2!

a + ...

2   M 2 ( t − t0 ) ≤ 1 + M (t − t0 ) + + ... a 2!  

=e

M ( t − t0 )

a

que converge para cualquier t ∈ ( p, q ) . Como la serie de los módulos converge entonces a + a '+ a ''+ a '''+ ... converge Si se hace xt = a + a '+ a ''+ a '''+ ... veamos que es la solución pedida.

t

t

t

t0

t0

t0

xt = a + a '+ a ''+ a '''+ ... = a + ∫ α dt ⋅ a + ∫ α dt ∫ α dt ⋅ a + ...

Diferenciando término a término se tiene que

dxt = α a + α a '+ α a ''+ α a '''+ ... dt dxt = α [ a + a '+ a ''+ a '''+ ...] dt dxt = α xt dt 25

Lo que se quería demostrar.

Luego, en la traducción al francés de este artículo, Peano introduce la siguiente notación para representar la solución del sistema dado:

t t t t xt = a + ∫ α dt ⋅ a + ∫ α dt ∫ α dt ⋅ a + ... = E   a  t0  t0 t0 t0

El teorema de Maria Gramegna presentado en “Serie di equazioni differenziali lineari

ed equazioni integro-differenziali” de 1910, es el siguiente: Considérese un sistema infinito de Ecuaciones Diferenciales en un número infinito de incógnitas: dx1 = u11 x1 + u12 x2 + ... + u1n xn + ... dt dx2 = u21 x1 + u22 x2 + ... + un xn + ... dt ...

donde cada urs es constante con respecto al tiempo. Sea A la sustitución representada por la matriz de los urs y su < ∞ , sea x la secuencia ( x1 , x2 ,...) y x0 su valor inicial. Podemos escribir el sistema de ecuaciones diferenciales dadas como una única ecuación Dx = Ax , y la integral es dada por xt = e At x0 .

Primero Erika Luciano presenta una prueba simple desarrollada por Gramegna. De Dx = Ax , Maria Gramegna infiere que Dxt − Axt = 0 y que e − At ( Dxt − Axt ) = 0 .

(

)

Por lo tanto D e − At xt = 0 y e− At xt = x0 , luego xt = e At x0 .

Demostración:

26

Un l∞ (

complejo n

)=l

∞

infinito

es

una

secuencia

a = ( an )n∈

y

  = a = ( a j ) : sup a j < ∞  . La igualdad, suma y producto escalar los j ≥1 j ≥1  

define extendiendo la exposición hecha por Peano. El modulo de un complejo infinito es µ a = a

∞

= sup a j . j ≥1

Una sustitución u homografía para complejos infinitos es un operador definido en l ∞ del modo siguiente: A : l∞ → l∞ x → Ax

que satisface las siguientes propiedades ∀x, y ∈ l ∞ A ( x + y ) = A ( x ) + A ( y ) = Ax + Ay ∀x ∈ l ∞ sup Ax x ∞ ≤1

∞