Inecuaciones y Ecuaci´ on cuadr´ atica Inecuaciones Desigualdades Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a ≥ b ´o a ≤ b. Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo n´ umero, el sentido de la desigualdad no cambia. Si a, b, c son n´ umeros reales y a < b, entonces a + c < b + c Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo n´ umero positivo, el sentido de la desigualdad no cambia. Si a, b, c son n´ umeros reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo n´ umero negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Si a, b, c son n´ umeros reales tales que a < b y c < 0, entonces ac > bc

Intervalos Intervalo abierto: Se denomina as´ı al conjunto de n´ umeros reales comprendidos entre a y b. Se simboliza por ]a, b[ ]a, b[ = {x ∈ R / a < x < b}

Intervalo cerrado: es el conjunto de n´ umeros reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a, b] [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por derecha: Se llama as´ı al conjunto de n´ umeros reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. Se simboliza por [a, b[ [a, b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b}

Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina as´ı al conjunto de n´ umeros reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. Se simboliza por ]a, b]

]a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}

Inecuaciones de primer grado con una inc´ ognita Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 ´o ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la inc´ognita x, el cual se llama conjunto soluci´ on de la inecuaci´on. Este conjunto se puede representar mediante la notaci´on de conjunto, intervalo o gr´afica.

Sistemas de inecuaciones lineales con una inc´ ognita Es un sistema formado por dos o m´as inecuaciones de primer grado con una inc´ognita. El conjunto soluci´on del sistema es la intersecci´on de los conjuntos de cada inecuaci´on. Si S1 , S2 ,...,Sn son los conjuntos soluci´on de cada inecuaci´on y S es el conjunto soluci´on del sistema, entonces: S = S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ ... ∩ Sn

Problemas de inecuaciones En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los s´ımbolos , ≥ ´o ≤ , tales como: “a lo menos” (≥), “cuando mucho” (≤), “como m´ınimo” (≥), “como m´aximo” (≤), “sobrepasa” (>), “no alcanza” ( 2

a) ]1, 3[ b) ]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[ c) ]−∞, 1[ ∪ ]3, +∞[

d ) [1, 3]

e) ]3, +∞[ 2. ¿Cu´al es el conjunto soluci´on de todos los n´ umeros que est´an a una distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 20 de 8? a) ]6, 8[ b) ]6, 28[ c) ]−12, −6[ ∪ ]6, 28[

d ) ]−∞, 28[

e) ]−∞, −12[ ∪ ]−6, 6[ ∪ ]28, ∞[ 3. 3x − 8 < 5x + 5, ¿cu´anto vale x? 13 2 13 x> 2 13 x− 2 2 x>− 13

a) x < b) c) d) e)

4. Seg´ un el siguiente sistema de inecuaciones



2x + 4 ≥ 6 , ¿cu´al es el gr´afico soluci´on? x+1 < 4

a)

b) c)

d)

e) 5. Si 7 veces un n´ umero se disminuye en 5 unidades resulta un n´ umero menor que 47, entonces el n´ umero debe ser menor que: a) 42 b) 49 c) 52 82 d) 7 52 e) 7 6. El gr´afico que representa al conjunto soluci´on de la inecuaci´on −6 ≥ 4x es:

7. El gr´afico que representa al conjunto soluci´on del sistema de inecuaciones es:



3x − 6 < 3 4 − 2x ≤ 6

8. ¿Cu´al es el conjunto de los n´ umeros impares naturales, tales que su triple aumentado en seis es menor que 57? a) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} b) {1, 3, 5, 7, 9, 10, 13, 15}

c) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

d ) {1, 3, 5, 7, 9, 11}

e) Ninguno de los anteriores

9. Si a + 15 = b, entonces se puede afirmar que: a) La suma de a y b es 15 b) a es mayor que b c) a es 15 veces b d ) a es menor que b e) La diferencia entre a y b, en ese orden, es 15 10. Si 3 ≥ a ≥ 0 y −3 ≤ b ≤ 0, ¿que valor(es) puede tomar (a + b)? a) Los valores entre −3 y 3, ambos incluidos

b) Solo los valores entre −3 y 0, ambos incluidos c) Solo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos

d ) Solo el 0 e) Ninguno de los anteriores 11. La soluci´on del sistema de inecuaciones



2x − 3 < 5 es el intervalo: −x + 4 < 2

a) [2, 4] b) ]2, 4[ c) ]2, 4] d ) [2, 4[ e) φ 12. ¿Cu´al es el conjunto soluci´on del sistema de inecuaciones a) R b) R − {1} c) φ

d ) ]1, +∞[ e) [1, +∞[



3x − 1 > 2 ? −2x + 1 > −1

13. ¿Cu´al de las siguientes opciones representa al conjunto soluci´on de la inecuaci´on 3 < x − 1 < 5?

14. El intervalo que representa al conjunto soluci´on del sistema de inecuaciones es:



4(x + 3) < 4 15 − 2x ≥ 5

a) ]−∞, −2] b) ]−∞, −2[ c) ]−2, 5[

d ) ]2, 5[ e) [5, +∞[ 15. Si x = 2y e y < 0, ¿cu´al(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)? a) Solo I b) Solo II c) Solo I y II d ) Solo II y III

I) x + y < x − y II) x + y < y − x III) x − y < y − x

e) I, II y III

Ecuaci´ on cuadr´ atica Una ecuaci´on cuadr´atica es aquella que tiene o puede llevarse a la forma: ax2 + bx + c = 0

a 6= 0

Una ecuaci´on cuadr´atica se puede resolver por factorizaci´on o bien recurriendo a la formula: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Ejemplo: Resolver x2 − 3x + 2 = 0 mediante factorizaci´on y la formula antes mencionada. Por factorizaci´ on: x2 − 3x + 2 = 0 (x − 2)(x − 1) = 0 x − 2 = 0 ´o x − 1 = 0 x = 2 ´o x = 1

Luego las soluciones son x=2 y x=1 Por f´ ormula: x2 − 3x + 2 = 0 primero se deben identificar las constantes a = 1, b = −3 y c = 2 ahora reemplazamos en la f´ormula −b ±

√

b2 − 4ac = 2a p √ √ −(−3) ± (−3)2 − 4(1)(2) 3± 9−8 3± 1 = = 2(1) 2 2 Luego: x1 =

3+1 4 = =2 2 2

x2 =

3−1 2 = =1 2 2

El m´etodo que se elija para resolver la ecuaci´on depende de la habilidad que se tenga para factorizar.

Discriminante de una ecuaci´ on cuadr´ atica El que una ecuaci´on cuadr´atica tenga dos ra´ıces reales y distintas, dos ra´ıces reales iguales, o ninguna ra´ız real depende del discriminante que se define como: ∆ = b2 − 4ac y opera de la siguiente manera:   > 0 dos raices reales distintas 2 = 0 dos raices reales iguales ∆ = Discriminante = b − 4ac =  < 0 no existen raices reales

En t´erminos gr´aficos, lo anterior se interpreta como:

Ejemplo: Determinar el o los valores que debe tomar la constante k para que no tenga ra´ıces reales la ecuaci´on x2 − 3x + 2k = 0 Para resolver el ejercicio necesitamos utilizar el concepto de discriminante y como buscamos que la ecuaci´on no tenga ra´ıces reales, el discriminante debe ser menor que cero: ∆ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4(1)(2k) < 0 ahora debemos resolver la inecuaci´on asociada: (−3)2 − 4(1)(2k) < 0 9 − 8k < 0 −8k < −9/ · (−1) (ojo cambia el sentido) 8k > 9 k>

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Propiedades de las soluciones de una ecuaci´ on cuadr´ atica Si x1 y x2 son las soluciones de una ecuaci´on cuadr´atica, entonces se cumple que: x1 + x2 =

−b a

y

x1 · x2 =

c a

Reconstrucci´ on de la ecuaci´ on cuadr´ atica La propiedad anterior sirve para construir la ecuaci´on cuadr´atica si se conocen las soluciones fijando que a = 1. Otra forma para conocer la ecuaci´on cuadr´atica cuando se conocen las ra´ıces es (x − x1 )(x − x2 ) = 0

Ecuaciones bicuadr´ aticas Ecuaciones bicuadr´aticas son aquellas que se reducen a cuadr´aticas mediante alguna sustituci´on adecuada. Por ejemplo mediante la sustituci´on u = x2 se transforma la ecuaci´on ax4 + bx2 + c = 0 en una cuadr´atica en t´erminos de u. Una ecuaci´on bicuadr´atica puede tener como m´aximo 4 ra´ıces reales. Ejemplo: Resolver x4 − 3x2 − 4 = 0 Para resolver esta ecuaci´on usamos la sustituci´on u = x2 , quedando: x4 − 3x2 − 4 = 0 , hacemos u = x2 u2 − 3u − 4 = 0 , factorizamos (u − 4)(u + 1) = 0 u − 4 = 0 ´o u + 1 = 0 , pero u = x2 x2 − 4 = 0 ´o x2 + 1 = 0 x2 = 4√´o x2 = −1 √ x = ± 4 ´o x = ± −1 x = ±2 ´o x = No existe en los reales

Ejercicios, Ecuaci´ on cuadr´ atica 1. La ecuaci´on cuyas ra´ıces son

1 y −3 es: 4

a) 4x2 + 11x + 3 = 0 b) 4x2 + 11x − 3 = 0 c) x2 − 11x + 3 = 0

d ) 4x2 − 11x + 3 = 0

e) Ninguna de las anteriores

2. Para que la ecuaci´on 3x2 + 4x + k + 5 = 0 tenga solo una soluci´on real, k debe ser: r 44 a) 12 r 11 b) 3 12 c) 44 −11 d) 3 e) Ninguno de los anteriores 3. Si una de las soluciones de la ecuaci´on x2 − 3ax + 10a = 0 es 5, la otra es: a) 10 b) 5 c) 0 d ) −5

e) −10

4. El conjunto soluci´on de la ecuaci´on x2 − 2ax + a2 − b2 = 0 es: a) {a, 1}

b) {a + b, a}

c) {a − b, a}

d ) {a + b, a − b}

e) Ninguna de los anteriores

5. Las soluciones de la ecuaci´on 6x2 + 11x − 35 = 0 son: a) b) c) d) e)

5 −7 y 3 2 5 0y 3 −7 y0 2 5 7 y 3 2 Ninguno de los anteriores

6. Una de las soluciones de la ecuaci´on a) b) c) d) e)



2 1 x+ 5 7



(x − 2) = 0 es:

−19 35 −5 14 −2 5 14 Ninguna de las anteriores

7. Si en la ecuaci´on x2 = 6ax − 11 una de las ra´ıces es −1, entonces el valor de a es: a) −2 b) 2

c) −6

d) 6 −5 e) 3 8. Las soluciones de la ecuaci´on x2 + x − 20 = 0 son: a) 5 y −4 b) −5 y 4 c) 4 y 5

d ) −4 y −5 e) 10 y −2

9. La ecuaci´on cuyas ra´ıces son 0 y 2 es: a) x2 − 2 = 0 b) x2 + 2 = 0

c) x2 − 2x = 0

d ) x2 + 4x = 0

e) Ninguna de las anteriores 10. ¿Cu´al de los siguientes valores satisface la ecuaci´on 2x2 + 3x = 7x? a) −3 1 b) 3 3 c) 2 d) 2 e) Ninguno de los anteriores

11. Las soluciones de la ecuaci´on 4x2 − 20 = 8x son: a) 0 b) 0 y 8 c) 0 y 2 y 4 d ) 0, 2 e) Ninguna de las anteriores 12. El conjunto soluci´on de la ecuaci´on cuadr´atica (x + 4)2 + (x − 3)2 = (x − 5)2 es: a) 0 y 8 b) −12 y 0 c) 0 y 12

d ) 12 e) 0 y −8 13. La ecuaci´on −x2 + 16x − 64 = 0 tiene: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d ) Solo I y II

I) Dos ra´ıces reales y distintas II) Dos ra´ıces reales iguales III) No tiene ra´ıces reales

e) Ninguna de las anteriores 14. La suma de las ra´ıces de la ecuaci´on 30 = −5x + x2 es: a) 30 b) −5 c) 5

d ) −30 e) 6

15. Si las ra´ıces de la ecuaci´on −x2 + 2ax − b = 0 son 3 y −1, entonces a vale: a) 0 b) 2 c) −1

d) 1

e) No se puede determinar 16. ¿Cu´al de las siguientes ecuaciones cuadr´aticas tiene ra´ıces reales e iguales? a) 2x2 − 4x + 6 = 0 √ b) −x2 − 12x − 3 = 0 c) −x2 − 2x − 2 = 0

d ) 3x2 − 24x + 16 = 0

e) Ninguna de las anteriores