INFORME: SELECCIÓN DE ENGRRANAJES

AUTOR: Francisco Andrés Candelas Herías Gonzalo Lorenzo Lledó Carlos Alberto Jara Bravo

Grupo de Automática, Robótica y Visión Artificial Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal

Selección de engranajes

1.- Introducción El objetivo de este primer apartado es definir que son los engranajes y sus componentes. Un engranaje es un mecanismo formado por dos ruedas dentadas que giran alrededor de unos ejes cuya posición relativa es fija. Se trata pues de un mecanismo que sirve para transmitir un movimiento de rotación entre dos árboles o ejes. Los engranajes tienen como finalidad reducir la velocidad, ya que los elementos industriales generadores de velocidad (motores eléctricos que es nuestro caso) para una potencia establecida, generan una velocidad angular relativamente elevada y un par motor relativamente reducido. Con la aplicación de un mecanismo reductor se consigue una velocidad de salida más reducida y un par elevado. En un engranaje, una de las ruedas arrastra en su giro a la otra por efecto de los dientes que entran en contacto. La rueda de menor número de dientes se llama piñón y la de mayor diámetro se denomina genéricamente rueda. En el modo de funcionamiento habitual de un engranaje, el piñón es el elemento que transmite el giro, desempeñando la función de rueda conductora, mientras que la rueda realiza el movimiento inducido por el piñón, haciendo esta el papel de rueda conducida. A continuación se muestra una figura ilustrativa.

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Figura 1: Esquema de un engranaje.

2.- Tipos de engranajes Como se puedo indicar al principio de este informe, el objetivo de este segundo apartado es profundizar en los distintos criterios que existen para realizar la clasificación de los engranajes. Según la disposición de los ejes de los engranajes (paralelos, concurrentes o ejes que se cruzan) existen los siguientes casos

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Figura 2: Tipos de engranajes según la dirección de los ejes.

Los engranajes también pueden clasificarse según la forma de los dientes. En los engranajes cilíndricos de dientes rectos, la generatriz de las superficies laterales de los dientes es paralela al eje de rotación. En los engranajes cilíndricos helicoidales dicha generatriz forma un ángulo con este eje. Se dispone de la siguiente tabla resumen.

Figura 3: Tipo de engranajes según la forma de los dientes.

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3.- Trenes de engranajes El objetivo de este apartado es profundizar en las características de los trenes de engranajes y comprender su funcionamiento. Un tren de engranajes es un mecanismo formado por varios pares de engranajes acoplados de tal forma que el elemento conducido de uno de ellos es el conductor del siguiente. Suele denominarse cadena cinemática formada por varias ruedas que rueden sin deslizar entre sí. A continuación se muestra un una figura como ejemplo.

Figura 4: Trenes de engranajes

Uno de los aspectos más importantes de estos mecanismos es la relación de transmisión que es la relación entre velocidad de la rueda conductora y la velocidad de la rueda conducida. Existen casos en los cuales la relación de transmisión no es posible obtenerla de forma fácil y por tanto se recurre a los trenes de engranajes. A continuación citamos algunos casos. •

La relación de transmisión viene definida por un numero racional i=2.7572 que no puede establecer con un único par de ruedas.

•

La relación de transmisión se establece entre dos ejes que están relativamente separados

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•

Relación de transmisión muy distinta a la unida y por tanto es imposible fabricar engranajes de un número tan elevado de dientes.

Una vez estudiado que son los trenes de engranajes y cuales son las causas que provocan su aplicación, procederemos en nuestro estudio a profundizar en las distintas clases que existen. Trenes de engranajes ordinarios simples. Las ruedas extremas del tren giran sobre los ejes entre los que tiene que establecerse la relación de transmisión deseada. Todos los ejes de las ruedas que lo componen apoyan sobre un mismo soporte fijo. A partir de estas explicaciones se obtiene la siguiente relación de transmisión

i=

w2 Z1 Z ± = (−1)n−1 1 w1 Z2 Zn

(1)

Se puede observar como el número de dientes de las ruedas intermedias no influye en el valor absoluto de la relación de transmisión. Son las llamadas ruedas parásitas que pueden servir para invertir el sentido de giro final.

Trenes de engranajes ordinarios compuestos. En este tipo de trenes uno de los ejes es común a varias ruedas. A partir de esta afirmación se puede extraer la relación de transmisión

i=

Z Z w4 =± 1 3 w1 Z2Z4

(2)

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Trenes de engranajes ordinarios compuestos recurrentes. Es un tipo que existe dentro de los explicados previamente, se caracterizan porque el eje de entrada y el eje de salida son coaxiales, además existe la siguiente relación entre el módulo y el número de dientes.

Figura 5: Trenes de engranajes ordinarios compuestos recurrentes

Trenes de engranajes ordinarios compuestos no recurrentes. En este tipo de trenes existe una cierta excentricidad de las ruedas con respecto a los ejes de entrada y de salida, lo que puede dar lugar a una mayor inestabilidad del sistema. Se pueden analizar a continuación las siguientes fórmulas resumen.

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Trenes de engranajes epicicloidales. Son aquellos trenes de engranajes en los cuales alguna rueda gira en torno a un eje que no es fijo, sino que gira en el espacio. Al brazo que gira se le llama portasatélites. A la rueda que gira alrededor de dicho eje se le denomina satélite. El sistema de esta manera tiene dos grados de libertad que se pueden restringir a uno haciendo girar al satélite alrededor de una rueda fija. Se puede observar la siguiente figura ilustrativa y la relación de reducción asociada.

w4 Z =1+ 2 w1 Z4

(6)

Figura 6: Trenes epicicloidales

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4.- Formulación sobre engranajes. Una vez analizados en los apartados previos cuales son los diferentes tipos de engranajes que existen, el objetivo de este apartado es exponer cuales son las fórmulas más importante que se utilizan para el diseño de engranajes.

P

π d

=

Z

(7) para engranajes cilíndricos rectos

P= paso circular Z= Número de dientes d=diámetro de paso o diámetro primitivo

m =

d (8) para engranajes cilíndricos rectos Z

m=módulo d=diámetro de paso o diámetro primitivo Z=número de dientes

r=

w1 n1 d 2 Z 2 (9) para engranajes cilíndricos rectos = = = w2 n 2 d 1 Z 1

r= relación de transmisión w=velocidad angular en rad/s n=velocidad angular en rpm d=diámetro primitivo Z=número de dientes

w

4

= w1

r1 r 3 (10) para trenes de engranajes r2 r4

w4= velocidad angular del engranaje de salida w1= velocidad angular del engranaje de entrada r1 r2 r3 r4= radios primitivos de los engranajes que forman el tren de engranajes.

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N = M • w (11) para engranajes cilíndricos rectos. N= Potencia transmitida w= velocidad angular de los engranajes M= par

Fw = 2 • d p • b • K •

Z2 (12) para engranajes cilíndricos rectos Z1 + Z 2

 1 1 K = (17 • BHN − 428) • senξ •  +  E1 E 2

  (13) para engranajes cilíndricos rectos 

Fw= Carga límite de desgaste dp= diámetro primitivo del engranaje más pequeño b=anchura de los dientes K=factor de carga Z1=número de dientes del engranaje motor Z2=número de dientes del engranaje arrastrado BHN=número de dureza Brinell medio entre el engranaje motor y el arrastrado E1, E2= módulos de elasticidad de los engranajes motor y arrastrado

ξ = Ángulo de presión de los dientes

Fuerza tangencial y normal que sufre un diente de un engranaje.

Ft =

Cs =

N • Cs ω•r

Fr =

(14)

N • tagξ (15) ω•r

43 + V (16) Factor de ponderación para tener en cuenta las cargas 43

dinámicas dentro de la fuerza tangencial que sufre el diente y que depende de las rpm

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La relación de transmisión para trenes de ejes planetarios

w c − w ps w s − w ps

=

rs rc

(17)

wc= velocidad angular de la corona wp= velocidad angular del planetario ws= velocidad angular del satélite wps= velocidad angular del porta-satélites rs rc rpc rp= radios de giro de los distintos engranajes.

Fuerza límite de desgaste para engranajes cónicos Fd =

Q=

de • b • K • Q (18) cos α

2N 2 Expresión en la que N1 y N2 son los números de dientes del par N1 + N 2

cónico de diámetro primitivo exterior α ángulo de presión b profundidad del diente K valor obtenido de la tabla siguiente:

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Paso circular del centro del diente

P=

de + di • Pe (19) para engranajes cónicos 2d e

de=diámetro primitivo exterior di= diámetro interior Pe=paso en el extremo del radio primitivo exterior del diente Fuerza límite de desgaste para engranajes de tornillo sin fin.

Fw = d 2 b2 K (20) c 0.875 2.7 c= distancia entre centros b2 =

K= coeficiente obtenido de la siguiente tabla

Fuerzas, potencias para engranajes de tornillo sin fin.

Fe = F cos ρsenα + Fμ cos α (21) Fs = F cos ρsenα − Fμ cos α (22) N e = Fe

d1 n1π (23) 60

N s = Fs

d 2 n 2π (24) 60

Fe= Fuerza según la generatriz del cilindro primitivo de la rueda dentada Fs= Fuerza que actúa perpendicular a la generatriz y tangente al cilindro primitivo de la rueda dentada. μ = Coeficiente de rozamiento n1 n2= r.p.m del tornillo sin fin y de la rueda d1 d2= diámetro primitivo del tornillo sin fin y de la rueda dentada

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α corresponde al ángulo de inclinación de los dientes de la rueda respecto a la generatriz del cilindro primitivo. ρ ángulo de presión.

4.- Hojas de características de los engranajes El objetivo de este apartado es profundizar en cuales son los parámetros que definen los engranajes. A continuación se muestra la siguiente figura con los parámetros más importantes y con posterioridad se realizará su definición.

Figura 7: Partes de un engranaje.

Circunferencia de paso o primitiva es la de contacto entre los dientes que determinan la relación de transmisión. Las circunferencias primitivas de dos engranajes son tangentes entre si. Paso circular es la distancia medida sobre la circunferencia primitiva entre un determinado punto del diente y el punto correspondiente en un diente inmediato. Módulo es el cociente del diámetro de la circunferencia primitiva y el número de dientes. Paso diametral es la razón entre el número de dientes y el diámetro de paso. Es el inverso del módulo. Adendo es la distancia radial entre el tope del diente y la circunferencia primitiva.

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Dedendo es la distancia radial desde la circunferencia primitiva hasta la circunferencia de base Altura total es la suma del dependo mas el adendo Circunferencia de holgura es la circunferencia tangente a la del adendo cuando los dientes están conectados. Holgura es la diferencia entre el dependo y el adendo Juego es la diferencia entre el ancho del espacio y el grueso del diente Anchura de cara es la longitud de los dientes en la dirección axial Cara es la superficie lateral del diente limitada por la circunferencia primitiva y la circunferencia de adendo Flanco es la superficie lateral del diente limitada por la circunferencia primitiva y la circunferencia de dependo Superficie de fondo es la superficie de la parte inferior del espacio comprendido entre dientes contiguos Radio de entalle es el radio de la curva de empotramiento del diente en el engranaje Ángulo de acción es el ángulo que giro el engranaje desde que entran en contacto un par de dientes hasta que termina su contacto. Ángulo de aproximación es el ángulo que gira un engranaje desde el instante en el que dos dientes entran en contacto, hasta que ambos dientes entran en contacto en el punto correspondiente del diámetro primitivo. Ángulo de alejamiento es el ángulo que gira un engranaje desde que los dientes entran en contacto en el punto correspondiente al diámetro primitivo hasta que se separan. Para finalizar con este apartado se muestra el formato que tiene las hojas de características que se puede encontrar el usuario cuando vaya a seleccionar un engranaje.

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Figura 8: Hojas de características

5.- Transmisiones y reductores en robótica. El objetivo de este apartado es utilizar todas las líneas de trabajo planteadas previamente para aplicarlas en ejemplos realizados sobre el cálculo de engranajes para robots. 5.1.- Transmisiones Para comenzar esta exposición nos centraremos en profundizar en los conceptos de transmisión y reducción como varían su aplicación dentro del campo de la robótica. Las transmisiones son los elementos encargados de transmitir el movimiento desde los actuadores hasta las articulaciones. Se incluirán junto con las transmisiones a los reductores que son los encargados de adaptar el par y la salida del actuador a los valores adecuados para el movimiento de los elementos del robot.

Dado que un robot mueve un extremo con aceleraciones elevadas es de gran importancia reducir al máximo su momento de inercia. Del mismo modo, los pares estáticos que deben vencer los actuadores dependen directamente de la distancia de las masas al actuador. Por lo general se procura que los actuadores se

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dispongan lo más cerca posible de la base del robot. Como consecuencia se utilizan sistemas de transmisión que tienen las siguientes características

•

Trasladar el movimiento hasta las articulaciones

•

Se utilizan también para convertir movimiento circular en lineal o viceversa cuando sea necesario

•

Deben tener un tamaño y peso reducido

•

Se ha de evitar que presenten juegos u holguras considerables

•

Se deben buscar transmisiones con gran rendimiento.

Después de analizar una aplicación de los engranajes dentro de la robótica y cuales son sus características a continuación vamos a mostrar una tabla con los sistemas de transmisión mas utilizados y que podrían ser útiles para nuestra aplicación

Figura 9: Sistemas de transmisión para robots.

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5.2.- Reductores En cuanto a los reductores

al contrario que con las transmisiones si existen

determinados sistemas usados de manera preferente en los robots industriales. Esto es consecuencia de las altas exigencias de funcionamiento para estos elementos. A continuación y a modo de guía mostramos una tabla con valores de reductoras típicas de robótica.

Figura 10: Características de reductores para robótica

A partir de la figura podemos decir que se buscan reductores de bajo peso, reducido tamaño, bajo rozamiento y que al mismo tiempo sean capaces de realizar reducción elevada de velocidad en un único paso. Se tiende también a minimizar su momento de inercia de negativa influencia en el funcionamiento del motor. Los reductores, por motivos de diseño, tienen una velocidad máxima admisible, que como regla general aumenta a medida que disminuye el tamaño del motor también existen limitaciones en cuanto al par de entrada nominal.

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Puesto que los robots trabajan en ciclos cortos, que implican continuos arranques y paradas, es de gran importancia que el reductor sea capaz de soportar pares elevados puntuales. También se busca que el juego angular sea el mejor posible y por último la rigidez torsional debe ser alta para poder trabajar con altos pares de entrada.

5.3.- Caso práctico. El objetivo de este apartado es analizar de forma orientativa cuales son los tipos de transmisiones que se suelen utilizar dentro del campo de la robótica. A continuación mostramos una figura representativa.

Figura 11: Sistema de engranajes de transmisión directa

Después de mostrar un ejemplo de las transmisiones típicas que existen la robótica vamos a analizar de forma orientativa las transmisiones que se utilizan en robot Scorbot y que quizá (las de engranajes) nos podría servir en nuestro diseño. Transmisión de la articulación a la base. La transmisión de la articulación de la base del robot responde al tipo de transmisión directa. El engranaje A esta acoplado directamente al eje de salida del motor y gira con él: el engranaje B está acoplado al cuerpo del rotor.

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Transmisión de la articulación del hombro. Resulta similar a la transmisión de la articulación de la base. La diferenta radica en que la transmisión del hombro es una

transmisión

doble,

esto

quiere

decir

que

el

hombro

se

mueve

simultáneamente desde los dos lados del brazo mecánico. Esto mejor el movimiento del hombro así como su capacidad de soportar carga. Transmisión de la articulación del codo. También al igual que el caso anterior se trata de una transmisión doble. El codo también se mueve desde ambos lados del brazo mecánico. En otras palabras incluye dos sistemas de tipo transmisión indirecta en dos etapas. La combinación de dos transmisiones dobles ( hombro y codo) previene que el brazo se retuerza e incrementa su estabilidad.

6.- Hojas de características de reductores El objetivo que se busca en esta apartado es mostrar unas hojas de características para reductoras y comentar cuales son los parámetros más importantes que existen. No debemos olvidar que según maxon el motor, la reductora y el encoder se podrán montar todos juntos en un bloque. A continuación mostramos las siguientes hojas de características.

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Figura 12: Hojas de características I para reductor planetario

Figura 13: Hoja de características II para reductor planetario

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Previo al análisis de todos los parámetros que existen en la figura 12 debemos comentar que en la parte superior de la figura 13 donde se lee combinación, se indica todo el conjunto de motores que se pueden acoplar a dicha reductora. A continuación pasamos a indicar los parámetros. Velocidad de entrada recomendada. La velocidad de entrada influye en la vida del reductor. Si se supera ampliamente el valor recomendado, la vida del reductor se acortará y se generará calor y ruido. Rango de temperaturas. El rango de temperaturas puede alcanzar los -35ºC pero las temperaturas extremas conllevan un consumo de potencia mucho mayor. Juego axial. El valor del juego radial depende directamente del soporte, del punto de medida y de la fuerza tangente. Por este motivo, se indica siempre el punto de medida con respecto a la brida. Para esta medición se utilizan siempre fuerzas inferiores a la carga radial máxima. Reducción. La reducción indica la relación entre la velocidad de giro del eje del reductor y la del motor Reducción absoluta. Es la reducción expresada como división de dos números enteros. Máximo par en continuo. Indica el valor máximo de la carga que se puede aplicar permanentemente sobre el eje del reductor. Si se sobrepasa el valor se acortará significativamente la vida útil. Esto es debido a la descomposición del lubricante debido a las altas temperaturas y a la descomposición mecánica de los componentes.

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Par intermitente. Es la carga que puede ser aplicada al reductor durante un corto periodo de tiempo sin causar daños. Se define de la siguiente manera -Durante 1 segundo -Durante el 10% del tiempo de vida útil Si se exceden estos valores se acortará notablemente la vida útil. Rendimiento. El rendimiento especificado es el más alto para el máximo par en continuo. Por el contrario con cargas pequeñas el rendimiento se reduce. Este factor depende del número de etapas pero no de la velocidad del motor. Se incluye una gráfica aclaratoria.

Figura 14: Rendimiento del reductor en función del par.

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Holgura del reductor. Es el ángulo de giro del eje de salida del reductor si lo accionamos bloqueando el eje de entrada. La posición final depende el par aplicado al eje de salida. Si bloqueamos el eje de salida del reductor y accionamos el eje motor, el ángulo producido es mucho mayor debido a la reducción. En la siguiente figura se pueden observar los conceptos comentados previamente.

Figura 15: Gráfica del ángulo de holgura del reductor.

Momento de inercia. El valor del momento de inercia del reductor se considera en el eje del motor. Este dato se utiliza para calcular el par adicional necesario para acelerar las partes móviles del reductor en caso de aplicaciones altamente dinámicas.

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7.-Bibliografía Libros consultados 1.-Dibujo Industrial. Jesús Félez y Mª. Luisa Martínez. Editorial Síntesis. Páginas webs consultadas 1.http://www.acredit.ece.buap.mx/_DOCUMENT%20COMPROBAT%20DE%20A UTOEVALUAC/17_IA%2045%20C.8.1.2/Memorias%20FCE/robotica/S3-RC01.pdf 2.-http://www.uclm.es/profesorado/porrasysoriano/elementos/Tema08.pdf 3.http://repositorio.bib.upct.es/dspace/bitstream/10317/133/3/Cap%C3%ADtulo2.P DF 4.-http://www.frbb.utn.edu.ar/carreras/materias/elementosdemaquinas/cap0903.pdf Proyectos fin de carrera 1. Diseño de una arquitectura abierta de control para un sistema de 3 gdl accionado eléctricamente. Realizado por Arturo Gil y dirigido por Oscar Reinoso García. 2002

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