Tema 4

Integral de superficie. 4.1

Superficies.

Definici´ on 4.1 – Sean A ⊆ IR2 un conjunto conexo y κ: A −→ IR3 una funci´on continua. La imagen S = κ(A) se llama superficie descrita por κ . Tambi´en se dice que κ es una parametrizaci´ on de S o que es una representaci´ on param´etrica de la superficie S . Los conjuntos de IR3 que forman superficies no s´olo se obtienen de esta forma sino que el conjunto puede venir definido de otras maneras. Aunque, para el estudio de la integral de superficie, las superficies van a manejarse siempre mediante su representaci´ on param´etrica hay otras formas de representar superficies en el espacio y que es conveniente conocer.

4.1.1

Expresi´ on anal´ıtica de una superficie.

Representaci´ on impl´ıcita. 4.2 – Dada una funci´on real F que toma valores en IR3 , el conjunto de puntos n o S = (x, y, z) ∈ IR3 : F (x, y, z) = 0 constituye una superficie en IR3 , y de la expresi´on F (x, y, z) = 0 se dice que es una representaci´ on impl´ıcita de la superficie S . Representaci´ on expl´ıcita. 4.3 – Dada una funci´on real f que toma valores en IR2 , el conjunto de puntos n o S = (x, y, z) ∈ IR3 : z = f (x, y) conforma una superficie en IR3 y de la expresi´on z = f (x, y) se dice que es una representaci´ on expl´ıcita de la superficie S . An´alogamente, para x = f (y, z) ´ o y = f (x, z). Ejemplo 4.4 – El plano x + 2y + 3z = 4 es una superficie en IR3 . ¦ Si consideramos la funci´on F (x, y, z) = x + 2y + 3z − 4, la expresi´on x + 2y + 3z − 4 = 0 es una representaci´on impl´ıcita del plano. ¦ Despejando, por ejemplo x en la expresi´on anterior, x = 4 − 2y − 3z = f (y, z) es una representaci´on expl´ıcita del plano. ¦ Haciendo u = y y v = z , la funci´on κ: IR2 −→ IR3 con κ(u, v) = (4 − 2u − 3v, u, v) es una parametrizaci´on del plano.

Integrales de L´ ınea y Superficie.

47

4.1 Superficies.

4.1.2

Superficies cuadr´ aticas.

Una de las familias m´as importantes de superficies de IR3 son las llamadas cu´adricas o superficies cuadr´aticas, que se obtienen de igualar a cero una funci´on polin´omica de tres variables y grado 2, es decir, una expresi´on de la forma a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + a12 xy + a13 xz + a23 yz + a01 x + a02 y + a03 z + a00 = 0. Mediante giros y translaciones se pueden escribir en la forma a0 + a1 (x − c1 )n1 + a2 (y − c2 )n2 + a3 (z − c3 )n3 = 0 donde los ni son 1 ´o 2 y algunos de los ai pueden ser cero (en los casos siguientes pueden observarse algunos de estos tipos). 4.1.2.1

Elipsoide.

El elipsoide de semiejes a, b, c > 0 viene dado por la ecuaci´on x2 y 2 z 2 + 2 + 2 − 1 = 0. a2 b c Una representaci´on par´ametrica se obtiene con una peque˜ na modificaci´on de las coordenadas esf´ericas (recordemos que en el caso particular a = b = c el elipsoide es una esfera) mediante κ: [0, 2π] × [0, π] −→ IR3 con κ(θ, ϕ) = (a cos θ sen ϕ, b sen θ sen ϕ, c cos ϕ). La superficie completa del elipsoide no puede expresarse expl´ıcitamente, aunque s´ı por trozos. Por ejemplo, para z ≥ 0 y z ≤ 0 se tienen las mitades superior e inferior del elipsoide representadas por s s x2 y 2 x2 y 2 z = −c 1 − 2 + 2 z =c 1− 2 + 2 a b a b

Fig. 4.1. Elipsoide. Curvas de intersecci´on con los planos coordenados.

4.1.2.2

Hiperboloide de una hoja.

El hiperboloide el´ıptico de una hoja viene dado por la ecuaci´on (a, b, c > 0) x2 y 2 z 2 + 2 − 2 − 1 = 0. a2 b c

Integrales de L´ ınea y Superficie.

48

4.1 Superficies.

Una representaci´on param´etrica se obtiene, de manera sencilla, haciendo v = 2 2 2 a polares en la ecuaci´on xa2 + yb2 = zc2 + 1. Por tanto, κ: [0, 2π] × IR −→ IR3 con ³ p

z c

y el cambio

´

p

κ(θ, v) = a v 2 + 1 cos θ, b v 2 + 1 sen θ, cv . Puede evitarse la raiz haciendo uso de las funciones hiperb´olicas mediante v = sh t y se obtiene κ: [0, 2π] × IR −→ IR3 con κ(θ, t) = (a ch t cos θ, b ch t sen θ, c sh t). La superficie completa del hiperboloide no puede expresarse expl´ıcitamente, aunque s´ı por trozos. Por ejemplo, para z ≥ 0 y z ≤ 0 se tienen las partes superior e inferior del hiperboloide representadas por s

z=c

s

x2 y 2 + 2 −1 a2 b

z = −c

x2 y 2 + 2 −1 a2 b

Fig. 4.2. Hiperboloide de una hoja. Curvas de intersecci´on con los planos coordenados.

4.1.2.3

Hiperboloide de dos hojas.

El hiperboloide el´ıptico de dos hojas est´a formado por la uni´on de dos superficies conexas. Cada una de las hojas viene dada por la ecuaci´on (a, b, c > 0) x2 y 2 z 2 + 2 − 2 +1=0 a2 b c con z > 0 y con z < 0. Una representaci´on param´etrica, para cada una de las hojas, se obtiene como en el caso anterior mediante κ: [0, 2π] × [1, +∞) −→ IR3 con ³ p

p

´

p

´

κ(θ, v) = a v 2 − 1 cos θ, b v 2 − 1 sen θ, cv , y κ: [0, 2π] × (−∞, −1] −→ IR3 con ³ p

κ(θ, v) = a v 2 − 1 cos θ, b v 2 − 1 sen θ, cv . La superficie de cada hoja del hiperboloide puede expresarse expl´ıcitamente, para z ≥ c y z ≤ −c, por s s x2 y 2 x2 y 2 z=c + + 1 z = −c + 2 +1 a2 b2 a2 b

Integrales de L´ ınea y Superficie.

49

4.1 Superficies.

Fig. 4.3. Hiperboloide de dos hojas.

4.1.2.4

Cono el´ıptico.

El cono el´ıptico viene dado por la ecuaci´on (a, b, c > 0) x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 0. a2 b c Una representaci´on param´etrica se obtiene, de manera sencilla, haciendo v = 2 2 2 a polares en la ecuaci´on xa2 + yb2 = zc2 . Por tanto, κ: [0, 2π] × IR −→ IR3 con

z c

y el cambio

κ(θ, v) = (a|v| cos θ, b|v| sen θ, cv). La superficie completa del cono no puede expresarse expl´ıcitamente, aunque s´ı por trozos. Por ejemplo, para z ≥ 0 y z ≤ 0 se tienen las partes superior e inferior del cono representadas por s s 2 2 x y x2 y 2 + 2 z = −c + 2 z=c 2 a b a2 b

Fig. 4.4. Cono el´ıptico.

4.1.2.5

Paraboloide el´ıptico.

El paraboloide el´ıptico viene dado por la ecuaci´on (a, b, c > 0) x2 y 2 z + 2 − = 0. a2 b c

Integrales de L´ ınea y Superficie.

50

4.1 Superficies.

La representaci´on expl´ıcita se obtiene f´acilmente por Ã

x2 y 2 z=c + 2 a2 b

!

.

Una representaci´on param´etrica se obtiene de lo anterior por κ: IR2 −→ IR3 con ³

´

κ(u, v) = au, bv, c(u2 + v 2 ) .

Fig. 4.5. Paraboloide el´ıptico.

4.1.2.6

Paraboloide hiperb´ olico.

El paraboloide hiperb´olico viene dado por la ecuaci´on (a, b, c > 0) x2 y 2 z − 2 − = 0. a2 b c La representaci´on expl´ıcita se obtiene f´acilmente por Ã

x2 y 2 z=c − 2 a2 b

!

.

Una representaci´on param´etrica se obtiene de lo anterior por κ: IR2 −→ IR3 con ³

´

κ(u, v) = au, bv, c(u2 − v 2 ) .

Fig. 4.6. Paraboloide hiperb´olico.

Integrales de L´ ınea y Superficie.

51

4.1 Superficies.

4.1.2.7

Cilindros.

Los cilindros de obtienen cuando en la expresi´on de F (x, y, z) = 0 alguna de las variables no aparece, y heredan el apelativo de la curva que en IR2 representa la expresi´on. As´ı, si F (x, y, z) = f (x, y) = 0 y la curva f (x, y) = 0 es una el´ıpse, hip´erbola o par´abola, el cilindro es el´ıptico, hiperb´olico o parab´olico. La representaci´on param´etrica se obtiene a partir de una parametrizaci´on de la curva, es decir, si ³α(t) = (α1 (t), on de la curva, entonces la aplicaci´on ´ α2 (t)) es una parametrizaci´ κ(t, z) = α1 (t), α2 (t), z es una parametrizaci´on del cilindro. 2

2

¦ Para el cilindro el´ıptico xa2 + yb2 − 1 = 0, una parametrizaci´on es κ: [0, 2π] × IR −→ IR3 con κ(t, z) = (a cos t, b sen t, z). ¦ Para el cilindro parab´olico con κ(t, z) = (at, bt2 , z). 2

x2 a2

−

y b

= 0, una parametrizaci´on se tiene de κ: IR2 −→ IR3

2

¦ El cilindro hiperb´olico xa2 − yb2 − 1 = 0 tiene dos hojas, una por cada rama de la hip´erbola, y pueden parametrizarse por κ: IR2 −→ IR3 de expresiones κ(t, z) = (a ch t, b sh t, z) y κ(t, z) = (−a ch t, b sh t, z), para cada una de las hojas.

Fig. 4.7. Cilindro el´ıptico.

4.1.3

Fig. 4.8. Cilindro hiperb´olico.

Superficies de revoluci´ on.

Las superficies de revoluci´on son superficies que se obtienen girando una curva plana respecto a una recta. As´ı, una esfera es una superficie de revoluci´ on que se obtiene al girar una semicircunferencia alrededor del di´ametro que une los extremos, o un cilindro circular se obtiene de girar una recta respecto a otra paralela (ver figura 4.9). Sea C una curva plana, supongamos que contenida en el plano XZ , y sea S la superficie de revoluci´ on obtenida al girar esta curva respecto al eje OZ . Entonces, si α(t) = (α1 (t), α2 (t)) = (x(t), z(t)) es una parametrizaci´on de C , los puntos de S son los de las circunferencias que se obtienen al girar cada punto de C alrededor del eje. Es decir, cada punto (x(t), z(t)) determina, al girar, una circunferencia plana en S , que est´a situada a altura z(t) y tiene por radio la distancia del punto al eje OZ , que es x(t). En consecuencia, ³

´

³

´

κ(t, θ) = x(t) cos θ, x(t) sen θ, z(t) = α1 (t) cos θ, α1 (t) sen θ, α2 (t) donde κ: [a, b] × [0, 2π] −→ IR3 es una parametrizaci´on de S . Integrales de L´ ınea y Superficie.

52

4.1 Superficies.

Fig. 4.9.

Nota: Las parametrizaciones de la esfera y el cilindro (y por tanto, los cambios a coordenadas esf´ericas y cil´ındricas) se obtienen de esta forma. H´agase como ejercicio. Ejemplo 4.5 – Hallar una parametrizaci´on del toro obtenido al girar la circunferencia (y −b)2 + z 2 = a2 (con b > a), contenida en el plano Y Z , alrededor del eje OZ . Soluci´on: Una parametrizaci´on de la circunferencia es α(ϕ) = (b + a cos ϕ, a sen ϕ) con ϕ ∈ [0, 2π], luego κ: [0, 2π] × [0, 2π] −→ IR3 donde ³

´

κ(ϕ, θ) = (b + a cos ϕ) cos θ, (b + a cos ϕ) sen θ, a sen ϕ , es la parametrizaci´on buscada.

4

Fig. 4.10. Parametrizaci´on del toro.

4.1.4

Superficies regulares.

Definici´ on 4.6 – Sean A ⊆ IR3 un conjunto conexo y κ: A −→ IR3 una funci´on de clase 1. La imagen S = κ(A) se llama superficie descrita por κ . Tambi´en se dice que κ es una parametrizaci´on de S . El punto κ(u, v) de S se dice regular si el rango de la matriz κ 0 (u, v) es 2. En caso contrario se dice que es singular. Una superficie se dice regular si todos sus puntos lo son. Integrales de L´ ınea y Superficie.

53

4.1 Superficies.

Definici´ on 4.7 – Sean A ⊆ IR2 conexo y κ: A −→ IR3 de clase 1. Para cada (u, v) ∈ A, consideremos los vectores ³

´

D1 κ(u, v) = D1 κ1 (u, v), D1 κ2 (u, v), D1 κ3 (u, v) ³

´

D2 κ(u, v) = D2 κ1 (u, v), D2 κ2 (u, v), D2 κ3 (u, v) . Al vector pvf (u, v) = D1 κ(u, v) ∧ D2 κ(u, v), se le llama vector producto vectorial fundamental de la superficie descrita por κ , y tiene por componentes ¯ ¯ i j k ¯ ¯ D1 κ ∧ D2 κ = ¯ D1 κ1 D1 κ2 D1 κ3 ¯ ¯ D2 κ1 D2 κ2 D2 κ3

¯ ¯ ï ¯D κ D κ ¯ ¯ 1 2 ¯ 1 3 ¯= ¯ ¯ D2 κ2 D2 κ3 ¯ ¯

¯ ¯ ¯D κ D κ ¯ ¯ 1 1 ¯ 1 3 ¯,−¯ ¯ D2 κ1 D2 κ3 ¯

¯ ¯ ¯ ¯D κ D κ ¯ ¯ 1 1 1 2 ¯,¯ ¯ ¯ D2 κ1 D2 κ2

¯! ¯ ¯ ¯ . ¯

Si pvf (u, v) 6= 0 , al vector n(u, v) =

pvf (u, v) D1 κ(u, v) ∧ D2 κ(u, v) = kpvf (u, v)k kD1 κ(u, v) ∧ D2 κ(u, v)k

se le denomina vector normal a la superficie en el punto κ(u, v). Proposici´ on 4.8 – Sean A ⊆ IR2 conexo, κ: A −→ IR3 de clase 1 y S = κ(A). El punto κ(u, v) ∈ S es regular si, y s´olo si, pvf (u, v) 6= 0 . Demostraci´on: Como

entonces 4.1.4.1

ï ¯D κ D κ ¯ pvf = ¯ 1 2 1 3 ¯ D2 κ2 D2 κ3 Ã

pvf (u, v) 6= 0 ⇐⇒ rg

¯ ¯ ¯ ¯D κ D κ ¯ ¯ 1 3 1 1 ¯,¯ ¯ ¯ D2 κ3 D2 κ1

¯ ¯ ¯! ¯ ¯D κ D κ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 2 ¯ ¯,¯ ¯ , ¯ ¯ D2 κ1 D2 κ2 ¯ !

D1 κ1 (u, v) D1 κ2 (u, v) D1 κ3 (u, v) D2 κ1 (u, v) D2 κ2 (u, v) D2 κ3 (u, v)

= 2.

Representaci´ on param´ etrica obtenida de una expl´ıcita.

Sean f : A ⊆ IR2 −→ IR y S la superficie representada por z = f (x, y), entonces la funci´on κ: A −→ IR3 dada por ³ ´ κ(u, v) = u, v, f (u, v) es una representaci´on param´etrica de S . Si f es de clase 1, κ es de clase 1 y como ³

´

³

´

pvf (u, v) = D1 κ(u, v) ∧ D2 κ(u, v) = 1, 0, D1 f (u, v) ∧ 0, 1, D2 f (u, v) ³

´

= − D1 f (u, v), −D2 f (u, v), 1 6= (0, 0, 0) es una superficie regular. 4.1.4.2

Representaci´ on expl´ıcita local obtenida de una param´ etrica.

Sea A ⊆ IR2 conexo y κ: A −→ IR3 de clase 1. Entonces, se puede construir una representaci´ on expl´ıcita de la superficie dada por κ en un entorno de cada punto regular. En efecto. Sea x0 = κ(u0 , v0 ) un punto regular, entonces alguna de las coordenadas del vector pvf (u0 , v0 ) es distinta de cero. Supongamos que es la tercera componente, es decir, que ¯ ¯ ¯ D κ (u , v ) D κ (u , v ) ¯ ¯ 1 1 0 0 1 2 0 0 ¯ ¯ ¯ 6= 0 ¯ D2 κ1 (u0 , v0 ) D2 κ2 (u0 , v0 ) ¯ Integrales de L´ ınea y Superficie.

54

4.1 Superficies.

y, consideremos los valores de x, y, z ∈ IR tales que x − κ1 (u, v) = 0;

y − κ2 (u, v) = 0;

z − κ3 (u, v) = 0.

2 Sea U ⊆ IR³4 un abierto tal que (x0 , y0 , u ´0 , v0 ) ∈ U y construyamos h: U −→ IR dada por h(x, y, u, v) = x − κ1 (u0 , v0 ), y − κ2 (u0 , v0 ) = (x − x0 , y − y0 ).

¦ h(x0 , y0 , u0 , v0 ) = (x0 − x0 , y0 − y0 ) = (0, 0). Ã

¦ Como x = κ1 (u, v) e y = κ2 (u, v),

h0 (x

0 , y0 , u0 , v0 )

¯ ¯ ¯ D κ (u , v ) D κ (u , v ) ¯ ¯ 1 1 0 0 1 2 0 0 ¯ y ¯ ¯ 6= 0. ¯ D2 κ1 (u0 , v0 ) D2 κ2 (u0 , v0 ) ¯

=

1 0 D1 κ1 (u0 , v0 ) D1 κ2 (u0 , v0 ) 0 1 D2 κ1 (u0 , v0 ) D2 κ2 (u0 , v0 )

!

Entonces, por el teorema de la funci´on impl´ıcita, existen un abierto W ⊆ IR2 que contiene a (x0 , y0 ), un abierto V ⊆ IR2 que contiene a (u0 , v0 ) y una funci´on g: W −→ V tal que g(x, y) = (u, v), para todo (x, y) ∈ W . Entonces, la funci´on f : W −→ IR definida por f (x, y) = κ3 (g1 (x, y), g2 (x, y)) nos da la representaci´on pedida, pues de z − κ3 (u, v) = 0 se tiene que f (x, y) = κ3 (g1 (x, y), g2 (x, y)) = κ3 (u, v) = z.

4.1.5

Plano tangente y recta normal.

Proposici´ on 4.9 – Sean A ⊆ IR2 conexo, C una curva regular contenida en A y S = κ(A) una superficie regular. Entonces C ∗ = κ(C) es una curva regular contenida en S y, en cada punto de C ∗ , el vector producto vectorial fundamental a la superficie es perpendicular al vector tangente a la curva. Demostraci´on: Sea α: [a, b] −→ A una parametrizaci´on regular de C . Entonces, β : [a, b] −→ S definida por β (t) = κ(α(t)) es una parametrizaci´on de C ∗ de clase 1 y, para cada t ∈ (a, b), 



! D1 κ1 (α(t)) D2 κ1 (α(t)) Ã 0   α1 (t) 0 0 0 β (t) = κ (α(t))α (t) =  D1 κ2 (α(t)) D2 κ2 (α(t))  α20 (t) D1 κ3 (α(t)) D2 κ3 (α(t))

= α10 (t)D1 κ(α(t)) + α20 (t)D2 κ(α(t)) 6= 0 pues, como κ es regular los vectores D1 κ(α(t)) y D2 κ(α(t)) son linealmente independientes (rg κ 0 (α(t)) = 2) y, como α es regular α 0 (t) = (α10 (t), α20 (t)) 6= (0, 0). En consecuencia, β es una parametrizaci´on regular de C ∗ . Adem´as, como el vector D1 κ(α(t))∧D2 κ(α(t)) es ortogonal a D1 κ(α(t)) y a D2 κ(α(t)), es tambi´en ortogonal a β 0 (t), que es el vector tangente a la curva C ∗ en el punto. Definici´ on 4.10 – Sea A ⊆ IR2 conexo y S = κ(A) una superficie regular. El plano que pasa por el punto κ(u0 , v0 ) y es paralelo a los vectores D1 κ(u0 , v0 ) y D2 κ(u0 , v0 ), se llama plano tangente a la superficie S en dicho punto y tiene por ecuaci´on vectorial y = κ(u0 , v0 ) + λD1 κ(u0 , v0 ) + µD2 κ(u0 , v0 ). La recta que pasa por el punto κ(u0 , v0 ) y es paralela al vector pvf (u0 , v0 ), se llama recta normal a la superficie S en dicho punto y tiene por ecuaci´on vectorial ³

´

y = κ(u0 , v0 ) + λ D1 κ(u0 , v0 ) ∧ D2 κ(u0 , v0 ) .

Integrales de L´ ınea y Superficie.

55

4.1 Superficies.

Ejemplo 4.11 – Hallar la ecuaci´on del plano tangente y la recta normal a la superficie del hiperboloide parab´olico κ(u, v) = (u, v, u2 − v 2 ) en el punto κ(1, 1). Soluci´on: Como D1 κ(u, v) = (1, 0, 2u) y D2 κ(u, v) = (0, 1, −2v), se tiene que pvf (1, 1) = D1 κ(1, 1) ∧ D2 κ(1, 1) = (1, 0, 2) ∧ (0, 1, −2) = (−2, 2, 1) luego el plano tangente en κ(1, 1) = (1, 1, 0) es y = (1, 1, 0) + λ(1, 0, 2) + µ(0, 1, −2) = (1 + λ, 1 + µ, 2λ − 2µ) y la recta normal y = (1, 1, 0) + λ(−2, 2, 1) = (1 − 2λ, 1 + 2λ, λ).

4.1.6

4

´ Area de una superficie.

Definici´ on 4.12 – Sean A ⊆ IR2 un conjunto conexo y acotado y κ: A −→ IR3 de clase 1, inyectiva en int(A). El ´ area de la superficie S = κ(A) se define como el valor Z

A(S) =

A

kpvf (u, v)k du dv.

Observaci´ on 4.13 – Si una superficie S viene dada en expl´ıcitas, z = f (x, y), con f : A −→ IR, tomando κ(x, y) = (x, y, f (x, y)) en A, Z

A(S) = =

ZA A

Z

kpvf (x, y)k dx dy =

A

k(1, 0, D1 f (x, y)) ∧ (0, 1, D2 f (x, y))k dx dy Z q

k(−D1 f (x, y), −D2 f (x, y), 1)k dx dy =

Usando la notaci´on cl´asica D1 f (x, y) =

∂f ∂x (x, y)

y D2 f (x, y) = Z r

Z q

A(S) =

A

1 + (D1 f (x, y))2 + (D2 f (x, y))2 dx dy

A

1 + (D1 f )2 + (D2 f )2 dx dy =

A

³

1+

∂f ∂y (x, y),

tenemos que

´ ∂f 2 ∂x

´ ∂f 2 dx dy. ∂y

³

+

Ejemplo 4.14 – Sea A = [0, 2π] × [0, π]. Calcular el ´area de la esfera S descrita por la funci´on κ: A −→ IR3 con κ(θ, ϕ) = (a cos θ sen ϕ, a sen θ sen ϕ, a cos ϕ). Soluci´on: κ es de clase 1 y D1 κ(θ, ϕ) = (−a sen θ sen ϕ, a cos θ sen ϕ, 0) D2 κ(θ, ϕ) = (a cos θ cos ϕ, a sen θ cos ϕ, −a sen ϕ) luego kpvf (θ, ϕ)k = k(−a sen θ sen ϕ, a cos θ sen ϕ, 0) ∧ (a cos θ cos ϕ, a sen θ cos ϕ, −a sen ϕ)k = k(−a2 cos θ sen2 ϕ, −a2 sen θ sen2 ϕ, −a2 sen ϕ cos ϕ)k q

= =

a4 cos2 θ sen4 ϕ + a4 sen2 θ sen4 ϕ + a4 sen2 ϕ cos2 ϕ)

q

q

a4 sen2 ϕ([cos2 θ + sen2 θ] sen2 ϕ + cos2 ϕ) = a2 | sen ϕ| sen2 ϕ + cos2 ϕ

= a2 | sen ϕ| = a2 sen ϕ. Integrales de L´ ınea y Superficie.

56

4.2 Integral de superficie de funciones reales.

Entonces Z

A(S) = =

4.2

Z

A

kpvf (θ, ϕ)k dθ dϕ =

µZ π 0

¶ Z 2π

a2 sen ϕ dϕ

0

A

a2 sen ϕ dθ dϕ = ³

dθ = a2 − cos ϕ

iπ ´ 0

Z 2π µZ π 0

0

¶

a2 sen ϕ dϕ dθ

2π = 4πa2 .

4

Integral de superficie de funciones reales.

Definici´ on 4.15 – Sea A ⊆ IR2 un conjunto conexo y acotado, κ: A −→ IR3 una funci´on de clase 1, S = κ(A) y f : S −→ IR acotada tal que la funci´on compuesta f ◦ κ es integrable en A. La integral de superficie de f sobre S se define por Z

Z S

f=

Z

f dκ =

A

f (κ(u, v))kpvf (u, v)k du dv. Z

Ejemplo 4.16 – Calcular la integral de superficie

S

z 2 , siendo S la superficie de la esfera

unidad en el primer octante. Soluci´on: El conjunto S , puede parametrizarse por κ(θ, ϕ) = (cos θ sen ϕ, sen θ sen ϕ, cos ϕ), donde κ: [0, π2 ] × [0, π2 ] −→ IR3 . Entonces, como kpvf (θ, ϕ)k = sen ϕ (ver ejemplo 4.14), se tiene Z S

4.2.1

Z

f=

A

Z

f (κ(θ, ϕ))kpvf (θ, ϕ)k dθ dϕ =

0

π 2

Z

π 2

0

cos2 ϕ sen ϕ dθ dϕ =

π . 6

4

Aplicaciones a la mec´ anica.

Sean A ⊆ IR2 un conjunto conexo y acotado y κ: A −→ IR3 una funci´on de clase 1. Consideremos una l´amina delgada que tenga la forma de la superficie S = κ(A) y que su densidad en cada punto viene dada por una funci´on acotada f : S −→ IR tal que la funci´on compuesta f ◦ κ es integrable en A. Entonces, la masa M de la l´amina viene dada por Z

M=

S

f

El centro de masas de la l´amina, de coordenadas (ξ, η, γ) se obtiene de 1 ξ= M

Z S

xf

Z

1 η= M

S

yf

1 γ= M

Z S

zf

y, el momento de inercia IL de la l´amina respecto de la recta L es Z

IL =

S

δ2f

donde, para cada (x, y, z) ∈ S , δ(x, y, z) representa la distancia del punto (x, y, z) a la recta L. Ejemplo 4.17 – Una hoja de papel homog´enea rectangular de base 2πa y altura h se enrolla formando una superficie cil´ındrica S de radio a. Calcular el momento de inercia de S respecto de la recta que contenga un di´ametro de la base circular.

Integrales de L´ ınea y Superficie.

57

4.3 Flujo de un campo vectorial.

Soluci´on: Situamos el cilindro formado por la l´amina sobre el plano XY siendo eje OZ su eje longitudinal, es decir, formando la superficie S = {(x, y, z) : x2 + y 2 = a2 ; 0 ≤ z ≤ h}. Por ser homog´enea, la funci´on densidad f : S −→ IR viene dada por f (x, y, z) = k , para alg´ un valor constante k ; y si p tomamos como recta L uno de los otros ejes, por ejemplo, el eje OX , se tiene que δ(x, y, z) = y 2 + z 2 . Una parametrizaci´on para S viene dada por κ: A = [0, 2π] × [0, h] −→ IR3 , de expresi´on κ(θ, z) = (a cos θ, a sen θ, z) y con kpvf (θ, z)k = k(a cos θ, a sen θ, 0)k = a. Luego Z

IL =

4.3

Z

S

δ 2 (x, y, z)k =

Z

S

k(y 2 + z 2 ) =

A

2

k(a2 sen2 θ + z 2 )a dθ dz = ka2π( ha2 +

h3 3 ).

4

Flujo de un campo vectorial.

Definici´ on 4.18 – Sea A ⊆ IR2 un conjunto conexo y acotado, κ: A −→ IR3 una funci´on de clase 1 y S = κ(A). Sea f : S −→ IR3 la funci´on que representa el vector densidad de flujo de la corriente de un fluido, entonces la masa de fluido que atraviesa la superficie S en la unidad de tiempo (el flujo a trav´es de la superficie), en la direcci´on del vector normal, viene dado por Z S

Z

f ·n=

(f · n) dκ.

pvf , se tiene que Observaci´ on 4.19 – Usando la definici´on de integral de superficie y que n = kpvf k Z µ

Z

(f ·n) dκ =

A

¶

pvf (u, v) f (κ(u, v)) · kpvf (u, v)k du dv = kpvf (u, v)k

Z A

f (κ(u, v))·pvf (u, v) du dv.

Ejemplo 4.20 – La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto a la funci´on f (x, y, z) = (yz, xz, xy). Sea S la superficie del plano x + y + z = 1 situada en el primer octante y n el vector normal a S . Calcular la masa de fluido que atraviesa la superficie S en la unidad de tiempo en la direcci´on de n. Soluci´on: La superficie S es un trozo del plano z = 1 − x − y , luego puede parametrizarse con κ: A −→ IR3 , donde κ(x, y) = (x, y, 1 − x − y) y A = {(x, y) : ³0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}. ´ Como pvf (x, y) = (1, 0, −1)∧(0, 1, −1) = (1, 1, 1) y f (κ(x, y)) = y(1−x−y), x(1−x−y), xy , el flujo a trav´es de la superficie S en la direcci´on del vector normal es n 

S

Fig. 4.11. Z S

f ·n=

Z 1 µZ 1−x ³ 0

Integrales de L´ ınea y Superficie.

0

¶

´ 1 y(1 − x − y) + x(1 − x − y) + xy dy dx = . 8

4

58

4.3 Flujo de un campo vectorial.

4.3.1

Teorema de Stokes.

Definici´ on 4.21 – Sean S ⊆ IR3 un conjunto abierto y f : S −→ IR3 una funci´on con derivadas parciales en S . Se llama rotacional de f a la funci´on rot f : S −→ IR3 definida como rot f = (D2 f3 − D3 f2 , D3 f1 − D1 f3 , D1 f2 − D2 f1 ). Proposici´ on 4.22 – Sean S ⊆ IR3 un conjunto abierto y convexo y f : S −→ IR3 una funci´on de clase 1 en S . Entonces f es un gradiente en S si, y s´olo si, rot f = 0 en S . Demostraci´on: Como el conjunto es convexo, f es un gradiente en S ⇐⇒ ∀ i, j , Di fj = Dj fi en S ⇐⇒ rot f = 0 en S . Teorema de Stokes (o del rotacional) 4.23 – Sea C una curva simple cerrada y regular a trozos de IR2 parametrizada por α: [a, b] −→ IR2 , que la recorre en sentido positivo. Sean A el conjunto encerrado por C y S = κ(A) una superficie regular descrita por κ , funci´on de clase 2. Si f : S −→ IR3 es de clase 1, entonces Z

Z

κ (C)

f=

S

(rot f ) · n,

donde la curva κ(C) est´a recorrida en el sentido inducido por α . Ejemplo 4.24 – Calcular la integral de l´ınea de f (x, y, z) = (xz, −y, x2 y) a lo largo de la frontera del tri´angulo de v´ertices a = (2, 0, 0), b = (0, 6, 0) y c = (0, 0, 2) recorrida en este sentido. Soluci´on: El tri´angulo T es el trozo del plano 3x + y + 3z = 6 en el primer octante, que se parametriza por κ: A −→ IR3 , donde κ(x, y) = (x, y, 2 − x − y3 ) y A = {(x, y) : x ∈ [0, 2], 0 ≤ y ≤ 6 − 3x}. Adem´as, si recorremos ∂A en sentido positivo, vamos de (0, 0) a (2, 0) y, en ∂T = κ(∂A) z

y

∂T

∂A

H YH C C CW

T y

J ] J J

?

A

* 

A

-

x

x

Fig. 4.12.

vamos de κ(0, 0) = (0, 0, 2) a κ(2, 0) = (2, 0, 0), luego el sentido del recorrido inducido en ∂T es el buscado. En consecuencia, por el teorema de Stokes, Z ∂T

Z

f=

T

Z

rot f · n =

Integrales de L´ ınea y Superficie.

2

A

(x , x − 2xy, 0) · (1,

1 3 , 1) dx dy

=

Z 2µZ 6−3x 0

0

¶

2

x

+ x−2xy 3

4 dy dx = . 4 3

59

4.3 Flujo de un campo vectorial.

4.3.1.1

Rotacional y divergencia de un campo vectorial.

Definici´ on 4.25 – Sean S ⊆ IRn abierto y f : S −→ IRn una funci´on cuyas componentes tienen derivadas parciales en S . Se llama divergencia de f a la funci´on div f : S −→ IR definida por div f = D1 f1 + D2 f2 + · · · + Dn fn . Proposici´ on 4.26 – Sean S ⊆ IR3 abierto y g: S −→ IR3 una funci´on de clase 2. Entonces div(rot g) = 0 en S . Demostraci´on: Como en el abierto S la funci´on g es de clase 2, se tiene que Dij gk = Dji gk , ∀ i, j, k . Luego ´

³

div(rot g) = div D2 g3 − D3 g2 , D3 g1 − D1 g3 , D1 g2 − D2 g1 = D1 (D2 g3 − D3 g2 ) + D2 (D3 g1 − D1 g3 ) + D3 (D1 g2 − D2 g1 ) = D21 g3 − D31 g2 + D32 g1 − D12 g3 + D13 g2 − D23 g1 = D21 g3 − D12 g3 + D13 g2 − D31 g2 + D32 g1 − D23 g1 = 0

Corolario 4.27 – Con las hip´otesis del teorema anterior, una condici´on necesaria para que una funci´on f sea el rotacional de otra funci´on g en un abierto S es que div f = 0 en S . Proposici´ on 4.28 – Sean S ⊆ IR3 un rect´angulo abierto y f : S −→ IR3 de clase 1 tal que div f = 0 en S . Entonces, existe una funci´on g: S −→ IR3 tal que rot g = f en S . Demostraci´on: Sea (x0 , y0 , z0 ) ∈ S un punto fijo. La funci´on g: S −→ IR3 de componentes g1 = 0;

Z x

g2 =

x0

f3 (t, y, z) dt −

Z z z0

f1 (x0 , y, t) dt;

g3 = −

Z x x0

f2 (t, y, z) dt;

verifica que rot g = f en S . En efecto, µ

D2 g3 − D3 g2 = D2 − µ

= D2 −

Z x x

Z x0 x0

¶

f2 (t, y, z) dt − D3 ¶

f2 (t, y, z) dt − D3

µZ x x

µZ x0 x0

f3 (t, y, z) dt −

Z z

¶

z0

¶

f1 (x0 , y, t) dt

f3 (t, y, z) dt + D3

µZ z z0

¶

f1 (x0 , y, t) dt

Por las integrales dependientes de un par´ametro las dos primeras y, por ser una funci´on integral la tercera, se tiene que =− =

Z x x

Z x ³0 x0

D2 f2 (t, y, z) dt −

Z x x0

D3 f3 (t, y, z) dt + f1 (x0 , y, z) ´

− D2 f2 (t, y, z) − D3 f3 (t, y, z) dt + f1 (x0 , y, z)

Como 0 = div f = D1 f1 + D2 f2 + D3 f3 , se tiene que D1 f1 = −D2 f2 − D3 f3 . Luego =

Z x x0

D1 f1 (t, y, z) dt + f1 (x0 , y, z)

= f1 (x, y, z) − f1 (x0 , y, z) + f1 (x0 , y, z) = f1 (x, y, z). Integrales de L´ ınea y Superficie.

60

4.3 Flujo de un campo vectorial.

D3 g1 − D1 g3 = 0 + D1

D1 g2 − D2 g1 = D1 = D1

µZ x

µZ x x

µZ x0 x0

x0

¶

f2 (t, y, z) dt = f2 (x, y, z).

f3 (t, y, z) dt −

Z z z0

¶

f3 (t, y, z) dt −D1

¶

f1 (x0 , y, t) dt − 0 µZ z z0

¶

f1 (x0 , y, t) dt = f3 (x, y, z) − 0 = f3 (x, y, z).

Ejemplo 4.29 – Demostrar que el campo f (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y) es un rotacional en IR3 y determinar g tal que rot g = f . Soluci´on: En IR3 , div f = D1 f1 + D2 f2 + D3 f3 = 0 + 0 + 0 = 0, luego existe g: IR3 −→ IR3 tal que rot g = f . Sea 0 el punto fijo de IR3 , por la proposici´on anterior, g1 (x, y, z) = 0; g2 (x, y, z) =

Z x 0

g3 (x, y, z) = −

f3 (t, y, z) dt −

Z x 0

0

³

2 +z 2

2

Z x

f1 (0, y, t) dt =

f2 (t, y, z) dt = −

luego g(x, y, z) = 0, x

4.3.2

Z z

Z x

0

t−y dt −

z−t dt = −zx +

0

2

x2 2

Z z 0

y−t dt =

x2 z2 − yx − yz + ; 2 2

.

´

− y(x + z), x2 − xz .

4

Teorema de la divergencia.

Teorema de la divergencia (o de Gauss) 4.30 – Sean S una superficie que encierra un volumen V , S = κ(A) donde κ es de clase 1 e inyectiva (salvo quiz´a en un conjunto de medida nula), f : V −→ IR3 de clase 1 y n el vector normal unitario exterior a la superficie S . Entonces, Z

Z S

f ·n=

V

div f .

Ejemplo 4.31 – La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto f (x, y, z) = (x, y 2 , −2yz). Calcular la masa de fluido que atraviesa la superficie exterior del hemisferio S = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0} en la unidad de tiempo y en la direcci´on del vector normal exterior. Soluci´on: Por el teorema de la divergencia, si denotamos por S = ∂V la superficie exterior del s´olido, se tiene que Z Z S

f ·n=

V

div f .

Como div f (x, y, z) = 1 + 2y − 2y = 1, entonces Z S

Integrales de L´ ınea y Superficie.

Z

f ·n=

V

Z

div f =

V

1 = V(V ) =

π . 2

4

61

4.4 Ejercicios.

4.4

Ejercicios.

4.1 Para cada una de las cu´adricas de la subseccion 4.1.2, encontrar el vector producto vectorial fundamental asociado a las parametrizaciones all´ı construidas, indicando la direcci´on de dicho vector. 4.2 Hallar el vector unitario normal a la superficie de revoluci´ on dada por la funci´on κ(u, v) = ³ ´ f (u) cos v, f (u) sen v, g(u) , donde f y g son funciones reales de clase 1. 4.3 Calcular el ´area del toro S engendrado al girar entorno al eje OZ la circunferencia de radio a situada en el plano XZ con centro en el eje OX a una distancia b (b > a) del origen 4.4 Calcular el ´area de la porci´on S de la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = a2 , z ≥ 0, interior al cilindro x2 + y 2 = ax. 4.5 Calcular el ´area de la porci´on S del plano x + y + z = a, interior al cilindro x2 + y 2 = a2 . 4.6 El plano y + z = a divide a la superficie esf´erica x2 + y 2 + x2 = a2 en dos partes. Designando por S el casquete de menor ´area, calcular la integral de superficie de la funci´on f (x, y, z) = x2 yz sobre S . 4.7 Calcular la integral de l´ınea de f (x, y, z) = (xz, −y, x2 y) a lo largo de la curva intersecci´ on del cilindro x2 + y 2 = a2 y el plano xa + zb = 1, con a, b > 0. Ind´ıquese el sentido del recorrido. 4.8 Consideremos el cubo de lado 2 situado en el primer octante y con un v´ertice en el origen. Cortando dicho cubo con un plano que pasa por el centro del cubo y es perpendicular a la diagonal del cubo con extremo en el origen, queda definido un exagono regular H . Calcular el valor de la integral de l´ınea de f (x, y, z) = (y 2 − z 2 , z 2 − x2 , x2 − y 2 ) a lo largo de H , indicando el sentido del recorrido. Hacerlo de dos formas distintas. 4.9 Sean S un rect´angulo abierto de IR3 y f y g dos gradientes de clase 1 en S . Probar que f ∧ g es un rotacional en S . Z

4.10 Calcular la integral de superficie

S

f · n siendo f (x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ), S la superficie

exterior total del cono s´olido C = {(x, y, z) : normal exterior.

x2 a2

+

y2 a2

≤

z2 , b2

0 ≤ z ≤ b} y n el vector

4.11 Sea V el conjunto V = {(x, y, z) : z 2 ≤ 4x2 + 4y 2 ; x2 + y 2 ≤ 2y; z ≥ 0} y sea f : V −→ IR3 definida por f (x, y, z) = (−6y, 6x, −2x). Hallar integrando en la superficie frontera de V el flujo saliente y comprobarlo mediante el teorema de la divergencia. 4.12 Demostrar el principio de Arqu´ımedes: “el empuje de un fluido sobre un s´olido V es igual al peso del fluido desalojado por V ”.

Integrales de L´ ınea y Superficie.

62