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Integral definida y los métodos de integración
El estudiante: • Aplicará la integral definida y sus propiedades a la solución de problemas de área bajo una gráfica integrando diferenciales cuya forma no sea susceptible de integrarse de forma inmediata, a partir del conocimiento de algunas técnicas de integración, mediante la aplicación de diversos ejercicios del área de las matemáticas, ciencias naturales, sociales o administrativas, mostrando una actitud analítica, reflexiva y de cooperación.
INTRODUCCIÓN La integral definida surge de aplicaciones muy importantes que requieren de un cálculo, por ejemplo: el área bajo la curva de una función en un intervalo, la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta en un periodo de tiempo, los ingresos totales logrados por una compañía en un tiempo delimitado, la cantidad bimestral total de electricidad consumida en un hogar, la concentración promedio de un medicamento en el cuerpo durante cierto periodo, etcétera. En esta unidad se introduce el concepto de sumatoria con el fin de abordar la integral definida por medio de las sumas de Riemman. Se muestra el significado de la integral definida gráficamente como al área limitada por la gráfica de una función continua f (x) ≥ 0 en un intervalo [a,b]. b b Asimismo, se presenta la forma ∫ a f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) para evaluar una integral definida, en donde se requiere determinar previamente la antiderivada F (x), para ello, se muestran distintos métodos de integración para determinar una integral indefinida según su forma, siendo éstos: cambio de variable, por partes, de potencias de funciones trigonométricas, fracciones parciales y de funciones racionales de seno y coseno. Las otras aplicaciones antes mencionadas son referidas mediante problemas a lo largo de la unidad.
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Nombre del alumno: Grupo:
Número de lista:
Aciertos:
I.
Efectúa en tu cuaderno los siguientes ejercicios y subraya la opción que muestra el resultado correcto:
1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación de fracciones?
8 15 1717 53 − 289 + ÷ 3 7 105 a) 5
2. ¿Cuál es la suma de los primeros diez números naturales al cuadrado?
a) 2025
a) 2x3y2 + 3xy + 4
b) 2x3y2 + 15x2y2 + 20xy
c) 2x5y4 + 3x3y3 + 4x2y2
d) 5x3y2 + 10xy + 15
b) 125
b) 100
c) 120
d)
625 17
c) 3025 d) 385 10 x 4 y 3 + 15x 2 y 2 + 20 xy 3. ¿Cuál es el resultado de la división algebraica ? 5xy
x 4 − 64 4. ¿Qué resultado se obtiene al dividir x 2 + 8 − 4 x ? 128x − 320 x 2 − 4x + 8 32x − 256 b) x 2 + 8x + 24 + 2 x − 4x + 8
a) x 2 + 8x + 32 +
c) x2 + 8x + 24
d) x2 + 40x + 232
15x 2 + 120x + 225 ? ( x + 3)( x + 5) 15x + 45 15x + 75 a) b) 15 c) 75 d) x +3 x +5
5. ¿Qué resulta de simplificar a su mínima expresión
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UNIDAD II
6. ¿Cuál es la expresión equivalente a x2 ― 6x + 5 luego de completar al cuadrado?
7. ¿Cuál es la expresión que se obtiene al factorizar 10x2 + 11x – 6?
a) (5x – 2) (2x + 3)
b) (5x + 2) (2x – 3)
c) (10x – 2) (x + 3)
d) (5x + 1) (2x – 6)
8. ¿Cuál es el resultado de la operación
a) x2 – 2x + 1
b) x2 – 2x + 5
c) x 2 − 2x + 1 +
d) x 2 − 2 x + 1 +
9. ¿Cuál es el área total de la siguiente figura?
10. ¿Qué resultado se obtiene al evaluar lim
11. Una primitiva de 6x4 – 3x3 + x2 es:
a) (x – 3)2 + 4
a) 467m2
a)
1 2
b) (x – 3) + 4
c) (x – 3) – 4
d) (x – 3)2 – 4
3x 3 − 4 x 2 − x + 6 ? 3x + 2
8 3x + 2
4 3x + 2
b) 497m2
c) 507m2
d) 757m 2
d) 4
3 x 4 + 3 x3 − 1 ? x →∞ 6 x 4 − x 21
a) 24x3 – 9x2 + 2x
b) 2
c) 3
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
6 5 3 4 1 3 x − x + x 5 4 3 6 5 1 c) x − x 4 + x 3 4 2
∫ 12. ¿Qué expresión resulta de integrar 1
2.1
b)
d) 24x4 – 9x3 + 2x2
a)
4+ x2
b)
4+ x2
x 4+ x2
dx ?
c) 4 + x2
d)
1 4+ x 2
INTEGRAL DEFINIDA
Una aplicación más de la integral es en el cálculo de áreas limitadas por curvas obtenidas por medio de la integral definida; por consiguiente, la integral puede ser definida o indefinida, ésta se ha abordado como la operación inversa de la diferenciación. Ahora, la integral definida, debido a sus aplicaciones, va a definirse como el límite de una suma, para lo cual preciso introducir la noción de suma o sumatoria de constantes en su forma abreviada. Veamos:
La noción de sumatoria Es sabido que una suma de n sumandos se expresa como: a1 + a2 + a3 + ... + an Donde la expresión tiene tantos sumandos como números naturales, y cada sumando ak se indica con una misma fórmula en términos de k , la cual toma valores sucesivos 1, 2, 3, ..., n.
Sumando constantes. I.
Organizados en binas, completa la tabla según corresponda. Primeros sumandos 1. 1 + 2 + 3 + ... 2. 22 + 42 + 62 + ... 3. 1 +
1 1 1 + + + ... 3 5 7
4. 12 + 22 + 32 + ...
Último sumando (enésimo) n (2n)2
Fórmula del sumando ak k (2k)2
1 2k−1 n2
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UNIDAD II
Último sumando (enésimo)
Primeros sumandos 5. 6. 7. 6 + 10 + 14 + ... 8. 1 −
Fórmula del sumando ak 2k – 1
2n
1 1 1 + − + ... 2 3 4
9. 1 + 8 + 27 + ... II.
Utiliza el lenguaje común para expresar estas sumas para sus diez primeros términos. Observa el ejemplo:
1. 1 + 2 + 3 + ... + 10: La suma de los diez primeros números naturales.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
III.
En plenaria, y con el apoyo de su profesor comparen sus respuestas.
Estas sumas se denotan por la letra sigma mayúscula (∑), de la siguiente forma: Sea ak un número real, k ∈ . La expresión a1 + a2 + a3 + ... an se llama suma o sumatoria y se n
denota por el símbolo ∑ a k. k =1
Así,
n
∑a k =1
k
= a1 + a 2 + a 3 + ... + a n
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Donde: ∑: notación de sumatoria o notación de sigma. k : índice sumatorio. n
∑ a : sumatoria de todos los números a , para k = 1, 2, 3, ..., n. k
k =1
k
A continuación se muestran algunas sumatorias.
I. Dada la sumatoria se busca su desarrollo.
a)
4
∑ ( 3k − 1) = 3 (1) − 1 + 3 ( 2 ) − 1 + 3 ( 3) − 1 + 3 ( 4 ) − 1 k =1
= 2 + 5 + 8 + 11
b)
1
5
1
1
1
1
1
∑ ( k + 1) = 2 + 3 + 4 + 5 + 7 k =1
c)
100
∑k
2
= 12 + 2 2 + 32 + 4 2 + ... + 972 + 98 2 + 992 + 100 2
k =1
II. Dado el desarrollo de la sumatoria se busca su notación sigma.
a) 2 + 4 + 6 + ... + 20 =
10
∑ 2k k=1
Esta suma puede expresarse como: la suma de los diez primeros pares.
b) 1 + 3 + 5 + ... + 19 =
10
∑ ( 2k − 1) k =1
Esta suma puede expresarse como: la suma de los diez primeros impares.
c) 41 + 42 + 43 + ... + 410 = ∑ ∑ 4 k
10
k=1
Esta suma puede expresarse como: la suma de las diez primeras potencias de base 4 y exponente de los diez primeros números naturales. Para poder evaluar una sumatoria, dado que el cálculo de algunas de ellas no es inmediato, deberá atenderse a propiedades y fórmulas importantes de sumatoria, mismas que se muestran en la siguiente tabla.
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UNIDAD II
Propiedades de sumatoria Para enteros positivos m y n, n
∑ ca
Fórmulas de sumatoria Para enteros positivos m y n,
n
k =1
∑ c = cn , c : constante
k =1
n
∑ (a
n
= c ∑ a k , c : constante
k
k
k =1
n
n
k =1
k =1
k =1 n
± bk ) = ∑ a k ± ∑ bk
n
m
∑a = ∑a k
k =1
k
k =1
+
n
∑a
k
∑k =
n ( n + 1) 2
k =1 n
∑k
, m < n
k = m +1
2
=
n ( n + 1)( 2n + 1) 6
k =1 n
∑ k3 = k =1 n
∑k
4
=
n ( n + 1) 2
2
4
n ( n + 1) ( 6n 3 + 9n 2 + n − 1)
k =1
30
A continuación se obtiene el valor de la suma indicada, utilizando las propiedades y fórmulas de sumatoria.
Evaluar: 1.
25
∑ 5 = ( 25 ) = 125 k =1
2.
3.
n
n
k =1
k =1
20 ( 20 + 1) 420 = 6 = 1260 2 2
∑ 6k =∑ k = 6 n
∑ ( 2k k =1
2
n
10
10
k =1
k =1
k =1
− 3k + 5 ) =∑ k 2 − 3∑ k + ∑ 5
10 (11)( 21) 10 (11) = 2 − 3 2 + 5 (10 ) 6 = 2 ( 385 ) − 3 ( 55 ) + 50 = 665 4.
6
∑ (k k =1
2
6
6
6
6
k =1
k =1
k =1
k =1
− 1) = ∑ ( k 4 − 2k 2 + 1) = ∑ k 4 − 2∑ k 2 + ∑ 1 2
6 ( 7 ) (1296 + 324 + 6 − 1) 6 ( 7 )(13 ) −2 = +6 30 6 = 2275 − 2 ( 91) + 6 = 2275 − 182 + 6 = 2099
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
I. Del ejercicio a al 5, evalúa las sumatorias mediante desarrollo; del 6 al 10 utiliza las fórmulas correspondientes.
1.
5
∑3 =
6.
k=1
2.
k =1
4
∑ 7k =
7.
3.
8
∑ (k − 3) =
8.
4.
5
( −1)k
∑ k +1
=
9.
5.
∑ ( k + 1)
3
5
∑ ( 4k − 8 ) 6
∑k
3
( −1)k −1 10. 4 k 4 = ∑ ∑ 10
k =1
2
=
2
=
=
k =1
k =1
− 8k ) =
k =1
k =1
8
2
k =1
k=1
2
∑ ( 49k
2k
=
k =1
II. Expresa las siguientes sumatorias en notación sigma.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100
6. 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
2. 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82
1 2 3 4 5 7. − + − + − 2 3 4 5 6
3. 13 + 23 + 33 + 43 + 53
8. 1 + 2 + 3 + 2 + 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + 3
4. 14 + 24 + 34 + 44 + 54 + 64
9. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
5. 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 150
10. cos + cos 2 + cos 3 + cos 4
A continuación abordaremos el cálculo de áreas limitadas por curvas, a partir de la suma de un número infinito de partes muy pequeñas, utilizando para ello el concepto de sumatoria. Área limitada por la gráfica de una función continua y = f(x) en un intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 Históricamente, el cálculo integral se inventó con la finalidad de calcular áreas limitadas por curvas, dando origen a la integral definida. Observa la figura.
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UNIDAD II
De la figura se tiene la idea intuitiva del área de la región sombreada (A) bajo la gráfica de la función entre las rectas x = a y x = b, donde se considera a la función f(x) ≥ 0 para todo x en el intervalo cerrado [a, b] cuya gráfica queda por encima del eje x. El área de la región sombreada (A) puede aproximarse sumando las áreas de n rectángulos marcados sobre el intervalo, como se muestra a continuación.
El procedimiento de hallar el área limitada bajo una curva es similar al de hallar el área de la región que ocupa una hilera de libros sobre un estante, cuyo perfil superior se aproxima al de la curva.
A partir de esta figura, un método para evaluar (A), se especifica como sigue: 1. Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos [ x k −1 , x k ] donde k = 1, 2, 3, ..., n y x0 = a, xn = b. Luego
a = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 ⋅⋅⋅ < x n -1 < x n = b 2. La longitud de cada subintervalo (no necesariamente de igual amplitud) se denota por ∆xk, para ∆xk =xk – xk –1. 3. En cada subintervalo se elige cualquier número representativo x*k, que puede ser: frontera derecha, frontera izquierda o punto medio. 4. El área del rectángulo del k-ésimo subintervalo se representa por la forma f ( x * k ) ⋅ ∆x k . 5. El área total bajo la curva es aproximadamente la suma de las áreas de los n rectángulos f ( x 1* ) ⋅ ∆x 1 + f ( x *2 ) ⋅ ∆x 2 + ... + f ( x *n ) ⋅ ∆x n , misma que deberá expresarse como la sun
matoria ∑ f ( x *k ) ⋅ ∆x k. k =1
Por ende, se define el área limitada por la gráfica de una función continua y = f (x) en un intervalo [a, b] y f (x) ≥ 0, como sigue: n
A = lim ∑ f ( x *k ) ⋅ ∆x k ∆x →0
k =1
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Para fines prácticos, el intervalo [a, b] es dividido en n subintervalos iguales. Así, la longitud del intervalo [a, b] es b – a y la amplitud de cada subintervalo es ∆x = b −a . Además, n como x0 = a y si cada x*k se toma como la frontera derecha de cada subintervalo, se tiene
x k* = x 0 + k∆x = a + k b −a . Por tanto, A podrá evaluarse mediante la fórmula: n
n b −a b −a A = lim ∑ f a + k ⋅ n →∞ n n k =1
Los siguientes ejemplos muestran cómo encontrar el área (A), utilizando la definición antes citada.
Hallar el área (A) limitada por la gráfica y = f (x) en el intervalo [a, b], según se indica. Mostrar la gráfica y sombrear el área correspondiente. 1. Limitada por f (x) = x + 1 en [0, 4] Solución Dado que a = 0 y b = 4, se tiene que la longitud de cada subintervalo es:
∆x = 4 −n 0 = 4n n b −a b −a Sustituyendo lo anterior, en la fórmula A = lim ∑ f a + k ⋅ n →∞ n n k =1
Se tiene: n 44 4 n 4k A = lim ∑ f 0 + k = lim ∑ f n →∞ n n n →∞ n k =1 n k =1 n 4 n 4k n 4 4 n + 1 = ∑ ∑ k + ∑ 1 ∑ n →∞ n k =1 n n k =1 k =1 n k =1
= lim
4 4 n ( n + 1) n 16 n ( n + 1) = lim + n = ∑ + 4 2 n →∞ n n 2 k =1 2 n 1 1 = lim 8 1 + + 4 = 8 lim 1 + + 4 = 8 + 4 = 12 n →∞ n →∞ n n Por lo tanto, A = 12 u2 2. Limitada por f (x) = 4 – x2 en [–1, 2] Solución Dado que a = –1 y b = 2, se tiene que la longitud de cada subintervalo es: ∆x =
2 +1 3 = n n
c =0 ∞
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UNIDAD II
n b −a b −a Sustituyendo esto, en la fórmula A = lim ∑ f a + k ⋅ n →∞ n n k =1
Se tiene: n 3 3 3 n 3k − n A = lim ∑ f −1 + k = lim ∑ f n →∞ k =1 n n n →∞ n k =1 n 2
3 n 3 n 9k 2 − 6kn + n 2 3k − n = lim ∑ 4 − ∑4− n →∞ n k =1 n2 n n →∞ n k =1 3 n 9 2 6 = lim ∑ 4 − 2 k + k − 1 n →∞ n k =1 n n n n n 3 9 6 2 k k = lim − + + 3 ∑ ∑ ∑ 2 n →∞ n k =1 n k =1 n k =1 = lim
27 n ( n + 1) ( 2n + 1) 18 n ( n + 1) = lim − + 9 + 2 n →∞ n3 2 n 6 3 3 1 9 = lim − 2 + + 2 + 9 1 + + 9 n →∞ n n n 2 9 3 3 1 = − lim 2 + + 2 + 9 lim 1 + + 9 n →∞ n n n 2 n →∞ 9 = − ( 2 ) + 9 (1) + 9 = 9 2 Por tanto, A=9 u2
Aplicando sumatorias, encuentra el área (A) limitada por la gráfica y = f (x) en el intervalo [a, b], según se indica. Muestra la gráfica y sombrea el área correspondiente. 1. f (x) = x + 2, en [0, 4] 2. f (x) = x + 1, en [0, 3] 3. f (x) = 2x, en [1, 4] 4. f (x) = 1 – x2, en [–1, 1] 5. f (x) = 4 – x2, en [0, 2] 6. f (x) = 4 – x2, en [–1, 1] 7. f (x) = x2, en [0, 3] 8. f (x) = x3 + x, en [0, 2]
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
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9. f (x) = x3 – 2x, en [–1, 0] 10. f (x) = x3 – x2 – 2x + 3, en [–1, 2] La expresión:
Concepto de integral definida mediante sumatorias de Riemman
( ) *
( ) *
( ) *
f x 1 ∆x 1 + f x 2 ∆x 2 + ... + f x n ∆x
Como ya vimos, el área A se aproxima mediante los n rectángulos de ancho ∆x y alturas f ( x1* ) , f ( x 2* ) , ⋅⋅⋅, f ( x n* ) por:
se denomina suma de Riemann en honor del matemático alemán Bernard Riemann (1826-1866).
A ≈ f ( x1* ) ⋅ ∆x + f ( x 2* ) ⋅ ∆x + ⋅⋅⋅ + f ( x n* ) ⋅ ∆x A la suma del lado derecho de esta expresión se le denomina suma de Riemann. Por tanto, el área limitada por la gráfica de una función continua y = f (x) en un intervalo [a, b] y f (x) ≥ 0, se define como el límite de la suma de Riemann. A = lim f ( x1* ) ⋅ ∆x + f ( x 2* ) ⋅ ∆x + ⋅⋅⋅ + f ( x n* ) ⋅ ∆x n →∞ Idea intuitiva del área dentro de la curva. En equipos de trabajo de cuatro integrantes como máximo realicen lo siguiente: 1. Reúnan el siguiente material. 1/2 pliego de papel bond. Regla de 1 m aproximadamente. Marcadores de colores. 2. Ahora, utilicen colores distintos y realicen lo siguiente:
a) Marquen en el papel bond la silueta de una hoja (o dibujen la hoja) parecida a una mafafa, tan grande como lo permita el tamaño del papel. b) Tracen un plano, de manera que la hoja quede en el primer cuadrante. m c) Determinen una longitud para m (ver figura) y hagan el cálculo para 4 trazar una cuadrícula de 4 × 4 que abarque la hoja trazada. Estimen el m área de la hoja sumando las áreas de los cuadritos de lado que que4 dan inscritos en ella.
A4×4 =
A
Actividad
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UNIDAD II
m d) Igualmente hagan el cálculo para trazar una cuadrícula adecuada de 8 × 8 8 que abarque la hoja. Estimen el área de la hoja sumando las áreas de los cuam dritos de lado que quedan inscritos en ella. 8 A8×8 =
e) De igual modo realicen el cálculo
m
y
m
para trazar las cuadrículas 16 × 16 16 32 y 32 × 32 que abarque la hoja. Estimen el área de la hoja sumando las áreas m m de los cuadritos de lado y que quedan inscritos en ella. 16 32
A16×16 = A32×32 = 3. Comparen los resultados obtenidos, saquen conclusiones y coméntenlas en plenaria.
Cada cuadrito obtenido en cada una de las divisiones de la cuadrícula del ejercicio antes realizada, se llama partición. Entre más fina sea la partición, más se aproxima al valor del área dentro de la curva.
A
Actividad
Y, ¿cómo se aproxima el área bajo la curva?
Idea intuitiva del área bajo la gráfica de f (x). Con el mismo equipo que hicieron el ejercicio anterior y reuniendo igual material, realicen lo siguiente: 1. Utilizando colores distintos:
Área del rectángulo: A = bh Donde: b: base h: altura
a) Tracen en un plano (del tamaño que lo permita el 1/2 pliego de papel bond) la recta y = x, como lo indica la figura. m b) Determinen una longitud para m (ver figura) y hagan el cálculo para tra5 zar con tal medida una cuadrícula 5 × 5. Estimen el área bajo la recta, entre x = 1 y x = 5 sumando las áreas de los rectángulos verticales de base m y altura correspondiente, como se muestra en la figura. 5
A1 + A2 + A3 + A4 =
m c) De igual manera, hagan el cálculo para trazar con tal medida una cuadrí10 cula 10 × 10. Estimen el área bajo la recta, entre x = 2 y x = 10 sumando m las áreas de los rectángulos verticales de base , y altura correspondiente, 10 como se muestra en la figura.
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
A1 + A2 + A3 + ... + A8 =
m m d) De igual modo hagan el cálculo y para trazar las cuadrículas 20 × 20 y 40 × 40. Estimen 20 40 el área bajo la recta, sumando nuevamente las áreas de los rectángulos así formados.
A1 + A2 + A3 + ... + A16 = A1 + A2 + A3 + ... + A32 = 2. Observen que el área requerida coincide con un trapecio. Calculen su área por medio de la fórmula ( B +b ) h conocida de geometría: A = 2 3. Comparen los resultados obtenidos de la orden I con el valor del área total del trapecio obtenida por fórmula, saquen conclusiones y coméntenlas en plenaria.
En esta actividad, nuevamente se observa que entre más pequeña es la base de los rectángulos, más se aproxima al valor del área bajo la gráfica de f (x). Efectivamente, el área es el límite de la suma de Riemann. No obstante, si ya se tenía una fórmula para hallar el área solicitada, quizá te preguntas: ¿De qué sirve tanto desarrollo? Emplear el método en una figura ya conocida te permitió comprobar resultados, pero el límite de la suma de Riemann fue propuesto para calcular áreas de regiones limitadas por curvas que no pueden ser calculadas por fórmulas geométricas. Observa la siguiente figura.
¿Conoces una fórmula geométrica para calcular el área sombreada? Como no existe tal fórmula, recurrimos al cálculo integral y para lograr un valor aproximado del área, se utiliza cualquier número de n rectángulos. La siguiente figura muestra la aproximación del área sombreada de la figura anterior con 5, 9 y 18 rectángulos superiores respectivamente.
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UNIDAD II
Sea f (x) ≥ 0 definida en [a, b]. Si lim [ f ( x 1* ) ⋅ ∆x + f ( x 2* ) ⋅ ∆x + ⋅ ⋅ ⋅ + f ( x n* ) ⋅ ∆x ]
n →∞
b −a
existe para todo en x n*, con igual amplitud ∆x = , entonces este límite es la integral definin da de f de a a b y se denota por: ∫ b f ( x ) dx a
Por tanto:
( ) ( ) ( ) * * * = ∆xx lim f ( x ) + f ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + f ( x ) n 1 2 n→∞
* * * ∫ b f ( x ) dx = lim f x ⋅ ∆x + f x ⋅ ∆x + ⋅ ⋅ ⋅ + f x ⋅ ∆x a 1 2 n n→∞
Donde:
Los números a y b se llaman límite inferior y superior respectivamente; la función f recibe el nombre de integrando.
Es importante señalar que la integral indefinida ∫ f (x) dx representa una familia de funciones b (las antiderivadas de f), mientras que la integral definida ∫ a f ( x ) dx es un número. Ésta se ha definido para f (x) ≥ 0, como veremos más adelante, se extiende para f (x) ≤ 0 donde el signo de la integral será negativo, pues encontramos funciones no negativas, no positivas y aquellas que toman valores tanto positivos como negativos y cero. Las siguientes figuras muestran este tipo de funciones respectivamente.
Los siguientes ejemplos muestran el cálculo del valor del área bajo la curva en un intervalo [a, b] mediante el límite de la suma de Riemann. 1. Obtener una aproximación del área bajo la curva f (x) = x2 en [0, 1] con cuatro subintervalos de igual amplitud, eligiendo el valor representativo x k* como frontera derecha de cada subintervalo. Elabora la gráfica. Solución Para n = 4, a = 0, b = 1.
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Se obtiene ∆x = b −a = 1−0 = 1 , n
de donde, x 1*
=
4
4
1 * 1 * 3 * 4 , x2 = 2 , x3 = 4 , x4
= 1 y,
2
1 1 1 f (x ) = f = = , 4 4 16 * 1
2
1 1 1 f ( x 2* ) = f = = , 2 2 4 2
9 3 3 f ( x 3* ) = f = = , 4 4 16 f ( x 4* ) = f (1) = (1) = 1 2
Luego, se obtiene: A ≈ f ( x1* ) ⋅ ∆x + f ( x 2* ) ⋅ ∆x + ⋅⋅⋅ + f ( x n* ) ⋅ ∆x
= ∆x f ( x1* )+ f ( x 2* )+⋅⋅⋅+ f ( x n* )
= 41 1 + 1 + 9 +1 = 41 15 = 15 8 32 16 4 16
Por lo tanto, una aproximación del área bajo la curva f (x) = x2 en [0, 1], sumando las áreas de cuatro rectángulos es de 0.46875 u 2. 2. Hacer los cálculos necesarios en calculadora o computadora para hallar aproximaciones al área considerada en el ejemplo anterior con n subintervalos, para n = 8, 16, 32, 64, 100, 200, 500 y 1000, tomando nuevamente el valor representativo x k* como frontera derecha de cada subintervalo. Estimar el número al que tienden tales aproximaciones y expresar la integral definida de f (x). Mostrar las gráficas para 8 y 16 subintervalos. Solución El procedimiento para las aproximaciones se efectuó de forma similar. A continuación sólo se muestra el procedimiento para calcular la aproximación del área para n = 1000, utilizando la calculadora.
( ) ( )
( )
A ≈ ∆x f x1* + f x 2* +⋅⋅⋅+ f x n*
1 = 1000
12
+
22
+
32
1000 2 1000 2 1000 2
2 1 12 + 22 +32 +⋅⋅⋅+10002 +...+ 10002 = 1000 2
1000(1000 +1)( 2(1000 )+1) 6 = 2 1000
1 = 1000
= 0.3338335
1000
1000(1001)( 2001) 6 2 1000
1 1000
1000
75
76
UNIDAD II
Los resultados obtenidos en la calculadora se presentan en la tabla; las figuras muestran los rectángulos a considerar para 8 y 16 subintervalos respectivamente. Como puede observarse, la aproximación del área mejora según crece el número de rectángulos. Número de rectángulos 8 16 32 64 100 200 500 1000
Aproximación del área 0.3984375 0.365234 0.349121 0.341186 0.33835 0.3358375 0.334336 0.3338335
1 De estos resultados se estima que las aproximaciones tienden a cuando n tiende a infinito, en3 tonces el área bajo la curva f (x) = x2 en [0, 1], mediante el límite de la suma de Riemann es de 1 2 u . Por ende, la integral definida de f (x) = x2 es: 3 1 2 1 ∫ 0 x dx = 3
Resuelve lo que se te indican. 1.
Para el área bajo la gráfica de f (x) = 3x en el intervalo [0, 2] realiza lo siguiente: a) Muestra la gráfica. b) Determina el área exacta aplicando la técnica de geometría plana. c) Aplica una suma de Riemann con cuatro subintervalos de igual amplitud. Elige el valor representativo x k* como frontera izquierda de cada subintervalo. d) Aplica una suma de Riemann con ocho subintervalos de igual amplitud. Elige el valor representativo x k* como frontera izquierda de cada subintervalo. e) Compara las aproximaciones obtenidas en los incisos c y d con el área exacta determinada en el inciso b. ¿Qué pasa con las aproximaciones cuando crece el número de subintervalos?
2. Realiza el ejercicio número 2 eligiendo el valor representativo x k* como frontera derecha de cada subintervalo. 3.
Para el área bajo la gráfica de f (x) = 4 – 2x en el intervalo [0, 2] realiza lo siguiente: a) Muestra la gráfica. b) Determina el área exacta con geometría. c) Aplica una suma de Riemann con cinco subintervalos de igual amplitud. Elige el valor represen* tativo x k como frontera izquierda de cada subintervalo. d) Aplica una suma de Riemann con diez subintervalos de igual amplitud. Elige el valor representativo x k* como frontera izquierda de cada subintervalo.
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
e) Compara las aproximaciones obtenidas en los incisos c y d con el área exacta determinada en el inciso b. ¿Qué pasa con las aproximaciones cuando crece el número de subintervalos?
4. Aplica una suma de Riemann y halla una aproximación del área bajo la curva f (x) = x2 en [0, 1], con cuatro subintervalos de igual amplitud. Elige el valor representativo x k* como punto medio de cada subintervalo. Realizar la gráfica. 5. Hacer los cálculos necesarios en calculadora o computadora para hallar aproximaciones al área considerada en el ejercicio anterior con n subintervalos, para n = 8, 16, 32, 54, 100, 200, 500 y 1,000, to* mando nuevamente el valor representativo x k como punto medio de cada subintervalo. Estimar el número al que tienden tales aproximaciones y expresar la integral definida de f (x). Mostrar las gráficas para 8 y 16 subintervalos. 6. Aplica una suma de Riemann y halla una aproximación del área bajo la curva f (x) = x2 en [2, 4], con * cinco subintervalos de igual amplitud. Elige el valor representativo x k como punto medio de cada subintervalo. Realiza la gráfica. 7. Hacer los cálculos necesarios en calculadora o computadora para hallar aproximaciones al área considerada en el ejercicio anterior con n subintervalos, para n = 2, 6, 10, 20, 100 y 200, tomando nuevamente el valor representativo x k* como punto medio de cada subintervalo. Estimar el número al que tienden tales aproximaciones y expresar la integral definida de f (x). Mostrar las gráficas para 2 y 6 subintervalos. 8. Aplica una suma de Riemann y halla una aproximación del área bajo la curva f (x) = x3 en [0,1], con * dos subintervalos de igual amplitud. Elige el valor representativo x k como punto medio de cada subintervalo. Realiza la gráfica. 9. Hacer los cálculos necesarios en calculadora o computadora para hallar aproximaciones al área considerada en el ejercicio anterior con n subintervalos, para n = 5, 10, 20 y 50, tomando nuevamente el * valor representativo x k como punto medio de cada subintervalo. Estimar el número al que tienden tales aproximaciones y expresar la integral definida de f (x). *
10. Realiza el ejercicio 9 eligiendo el valor representativo x k como frontera izquierda de cada subintervalo. *
11. Realiza el ejercicio 9 eligiendo el valor representativo x k como frontera derecha de cada subintervalo. 12. Aplica una suma de Riemann y halla una aproximación del área bajo la curva de la función f (x) en el * intervalo [a, b], con n subintervalos y eligiendo x k según se indica.
* a) f (x) = x2 + 1; [0, 2]; n = 5; x k: punto medio. b) f (x) = 4 – x2; [–1, 2]; n = 6; x k*: frontera izquierda. 1 1 * c) f (x) = ; ,3 ; n = 5; x k: frontera derecha. x 2 * d) f (x) = ex; [–1, 2]; n = 4; x k: punto medio.
77
78
UNIDAD II
La práctica de estos ejercicios te permite ver claramente que, al sumar rectángulos determinados en un intervalo [a, b] de base cada vez más pequeña, se obtienen aproximaciones del área bajo la curva de una función, lo que ayuda a deducir el valor exacto de dichas áreas, o bien, determinar el valor de la integral definida de tal función. No obstante, el cálculo de la integral definida de una función por el método expuesto no resulta muy práctico, ya que su desarrollo se hace extenso por el número de operaciones que implica. Ahora, emplearemos un método que resuelve el mismo problema reduciéndolo al cálculo de una antiderivada, como se enuncia a continuación: La integral definida de la función continua f (x) en el intervalo [a, b] es igual al valor que toma una antiderivada F (x) en punto b, menos el valor que toma en el punto a. Esta difeb rencia F (b) – F (a) se designa por F ( x ) a . Así: b
b ∫a f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b ) − F ( a )
Nótese que la constante de integración se omite, esto se sigue en todos los cálculos que incluyan una integral definida, ya que si F (x) + c denota una antiderivada de f (x), al efectuar la diferencia F (b )+c − F ( a )+c se obtiene F (b) – F (a).
A continuación se señalan las principales propiedades de la integral definida, mismas que se derivan de su definición. Propiedad b
c
Condición b
1. ∫ a f ( x ) dx = ∫ a f ( x ) dx + ∫ c f ( x ) dx a
Si a = b.
2. ∫ a f ( x ) dx = 0 b
Si se permutan los límites de integración, la integral cambia de signo.
a
3. ∫ a f ( x ) dx = − ∫b f ( x ) dx b
b
b
4. ∫ a ( f ± g ) ( x ) dx = ∫ a f ( x ) dx ± ∫ a g ( x ) dx b
Si c es un punto interior de [a, b].
b
5. ∫ a k f ( x ) dx = k ∫ a f ( x ) dx
Si f y g son dos funciones definidas en [a, b]. Si f es una función definida en [a, b] y k ∈ ℜ.
Con estas propiedades y el método antes expuesto se obtiene el valor de las integrales definidas como se muestra en los siguientes ejemplos:
Calcula las integrales definidas. 1
1. ∫ 0 x 2 dx =
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Solución Integrando: f (x) ) x2 3 Una antiderivada es: F ( x ) = x
3
Como a = 0 y b = 1, tenemos: F (1) − F ( 0 ) =
(1)3 − (0 )3 = 1
Por lo tanto: 1 2 ∫0 x 2
3
3
1 3 0
= 13
dx = x 3
3
2 2 2. ∫ 0 3x dx = 3 x 2 = 3 ( 2 ) − 3 ( 0 ) = 6 2 0 2 2 2
2
2
3. ∫ 0 ( 4 −2x ) dx = 4 x −x 2 = 4 ( 2 )−( 2 )2 − 4 ( 0 )−( 0 )2 = 4 0 2
23
03
4. ∫ ( x 2 +1) dx = x + x = ( ) +( 2 ) − ( ) +( 0 ) = 0 3 3 3 0 3 3
2
14
1 e 5. ∫ e dx = ln x 1 = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1 1 x
6.
π ∫ 0 sen
π
x dx = − cos x 0 = − cos π − − cos 0 = 1 + 1 = 2
1 7. ∫1 x 3 dx = 0 3
2
1
3
3
8. ∫1 3 ( x 2 −1) dx = 3 ∫1 ( x 2 −1) dx = 3 x −x = 3 ( 2 ) −( 2 ) − (1) −(1) 3 3 3 2
2
9.
x dx
3 + ∫1
3
3 3
x dx
= 3 2 − − 2 = 3 4 = 4 1 ∫0
3 = ∫0
3
3
x dx = ∫ 0 x 2 dx = 2 x 3 2 = 2 x 3 1
0
3
3
0
3
2 27 3 2 3 2 )3 −2 )3 ( ( x 2 (4 −x ) dx = 4 x − 3 = 4( 2)− 3 − 4( −2)− 3 0
= 2 33 − 2 03 = 3
3
10. −∫
−2 2
(4 −x 2 ) dx = ∫ −22
16 32 = 16 3 + 3 = 3
Evalúa la integral definida. 2
1. ∫1 x 6 dx =
2. ∫ 2 3x 4 dx = 0
3. ∫ −1 3 x 2 + 2 x − 1 dx = −2
4. ∫ 2 1
6. ∫ 0 x 5/3 dx =
(
5. ∫12
)
12 x
4
dx =
4
10 dx = x5
79
80
UNIDAD II
5
3
1
2 dx x −3
8. ∫ 0 6x 5 +
9. ∫ ( x + 2 ) dx = −2
10. ∫
dx =
12. ∫
3 13. ∫ 0 − cos x sen x dx =
14. ∫
16. ∫ 0 xe − x dx =
7. ∫1
x
dx =
6
1
2
2
(
)
2 11. ∫ 0 x − 1
4
π
x
2
15. ∫ 0 17. ∫
4
0
2.2
25 − 4 x 2 4x
dx =
5 (x 4 π
0 π 0
2
2
5
− 3 ) dx =
sen 3x cos x dx = sen 3x dx =
1
2
2
2x + 1
dx
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
En la unidad anterior aprendiste a calcular la integral de una función a partir de las fórmulas inmediatas de integración. De igual manera, evaluaste las integrales definidas usando solamente dichas fórmulas. No obstante, en la mayoría de los casos, determinar la integral de una función dada, sea indefinida o definida, implica efectuar una serie de pasos y procedimientos hasta reducir la integral a una de las formas ya conocidas. Para esto, como ya se mencionó, es preciso conocer los métodos para integrar funciones, atendiendo a su clasificación según su forma. Entre los métodos más generales se tienen: cambio de variable, Integración por partes, Integración de potencias de funciones trigonométricas y fracciones parciales.
Cambio de variable También se le llama método de integración por sustitución. Existen varios tipos de sustituciones que facilitan el cálculo para una cierta integral; la que abordaremos a continuación es la algebraica, la cual es una consecuencia de la derivación de funciones compuestas. Dadas dos funciones f y g, y su composición:
( f g ) (x ) = f Si F g ( x ) es una antiderivada de f tiene: d dx
g ( x ) ,
g ( x )
aplicando la regla de la cadena para derivar F, se
F g ( x ) = F ' g ( x ) g ' ( x )
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Luego:
∫ F ' g ( x ) g '( x ) dx = F g ( x ) + c Además, si F ' = f, se llega a la forma precisa de la integral que puede ser determinada por el método de sustitución:
∫ f g ( x ) g '( x ) dx = F g ( x ) + c A partir de una integral de esta forma, se aplica el método por sustitución algebraica, mediante alguna de las siguientes sustituciones:
a) Sustituir x por t, tal que x = g (t)
Obteniendo la integral:
∫ f g (t ) g '(t ) dt = ∫ f ( x ) dx Que deberá integrarse de forma inmediata, transformando el integrando f (x)dx, de ser necesario, en otro más sencillo. O bien:
b) Sustituir u = g (x)
De donde, se tiene una integral en función de u:
∫ f g ( x ) g '( x ) dx = ∫ f ( u ) du Deberá elegirse la sustitución más adecuada para f (u) de manera que su integral se realice de forma inmediata. Si resulta fácil hallar la integral transformada, el método de cambio de variable (por sustitución) funcionará, de no ser así, tendrá que resolverse la integral por algún otro método. Antes de analizar los ejemplos, vamos a convenir integrar mediante la sustitución algebraica del inciso b, con base en los siguientes pasos.
81
82
UNIDAD II
Método
Procedimiento Elegir u = g (x), que por lo general es la función “interior de la función compuesta f [g (x)] (expresión dentro de un paréntesis, en el exponente, etc.). Hallar du = g ‘(x)dx. Sustituir u = g (x) y du = g ‘(x)dx en la integral hasta dejarla indicada sólo en términos de u. Determinar la integral resultante del paso 3. Deshacer el cambio de variable reemplazando u por g (x) para obtener el resultado en función de x.
Paso 1 (P1)
Paso 2 (P2) Paso 3 (P3)
Integración de cambio de variable o integración por sustitución
Paso 4 (P4) Paso 5 (P5)
Con estos pasos es posible encontrar la integral indefinida de la forma ∫ f g ( x ) g '( x ) dx ; sin embargo, debes recordar que para evaluar una integral definida en esta forma mediante este método, primero debes encontrar la integral indefinida correspondiente, luego determinar el valor de la integral definida de dos formas: a partir de la integral indefinida encontrada en función de x, atendiendo a los límites de integración otorgados, o bien, a partir de la integral indefinida encontrada en función de u, cambiando los límites de integración con respecto a u.
I. Calcular la integral que se indica. 2 1. ∫ 2 x ( x + 1) dx 4
Solución Siguiendo los pasos: (P1) Elegimos u = x2 + 1. (P2) Entonces du = 2x dx. (P3) Así:
∫ 2x ( x
2
+ 1) dx = ∫ ( x 2 + 1) ( 2 x ) dx = ∫ u 4 du 4
4
1 5 4 (P4) ∫ u du = u + c 5 (P5) Reemplazando u por x2 + 1, se tiene el resultado de la integral. 4
1
∫ 2x ( x 2 +1) dx = 5 ( x 2 +1) 1
2. ∫ 5 5x − 3 dx = ∫ 5 ( 5x − 3 ) 2 dx (P1) Elegimos u = 5x – 3
5
+c
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
(P2) Entonces, du = 5 dx. (P3) Así:
∫ 5 ( 5x − 3 ) (P4) ∫ u
1
2
2 3
du = u
3
2
+c =
1
2
1
dx = ∫ ( 5x − 3 ) 2 5 dx = ∫ u
1
2
du
2 3 u +c 3
(P5) Reemplazando u por 5x – 3, se tiene el resultado de la integral.
3.
∫
∫5
1 1 dx = ∫ ( x +1) − 2 dx x +1
5x − 3 dx =
2 3 ( 5 x − 3) + c 3
(P1) Elegimos u = x + 1. (P2) Entonces, du = dx. (P3) Así:
∫ ( x + 1) (P4) ∫ u
− 12
du = 2u
1
2
− 12
dx = ∫ u
− 12
du
+c = 2 u +c
(P5) Reemplazando u por x + 1, se tiene el resultado de la integral.
∫
1 dx = 2 x + 1 + c x +1
4. ∫ x 2 ( x 3 − 1) 2 dx 3
(P1) Elegimos u = x3 – 1. (P2) Entonces, du = 3x2 dx, o 1 du = x 2 dx ,
3
(P3) Así: 2 3 ∫ x ( x − 1)
(P4)
3
2
(
)
dx = ∫ x 3 − 1
1 32 1 2 5 2 5 u du = ⋅ u 2 + c = u +c ∫ 3 3 5 15
3
2
x 2dx = ∫ u
3
2
1 3
⋅ du =
(P5) Reemplazando u por x3 – 1, se tiene el resultado de la integral.
(
)
2 3 ∫ x x −1
3
2
dx =
2 15
5
( x 3 −1)
+c
1 32 u du 3∫
83
84
UNIDAD II
En los siguientes ejemplos se sigue el mismo procedimiento, pero se omiten los pasos. 5. Un picante matemático: Estaban las derivadas en cierta fiesta que organizaron. Como la exponencial estaba solita, dijo una derivada: ―exponencial, intégrate―. A lo que ella respondió: ―para qué, da lo mismo.
∫e
− 2x
dx =
Sea u = –2x
1 2
Entonces, du = –2dx, o − du = dx . Luego:
∫e
− 2x
1 1 1 dx = ∫ e u − du = − ∫ e u du = − e u + c 2 2 2
Por lo tanto:
6.
∫
∫e
( ln x )2 dx =
− 2x
dx = −
1 − 2x e +c 2
2x
Sea u = ln x Entonces, du =
1 x dx .
Luego:
( ln x )2 dx = 1 ln x 2 ⋅ 1 dx = 1 u 2 du = 1 ⋅ 1 u 3 + c = 1 u 3 + c ∫ ∫( ) ∫ 2x
x
2
2
2 3
6
Por lo tanto:
x +4 dx = 7. ∫ 2 x + 6x + 18
( ln x )2 dx = 1 ln x 3 + c ( ) ∫ 2x
6
Para calcular integrales que contienen una expresión cuadrática, completar al cuadrado puede conducir a una integral que después de aplicar la sustitución tenga una solución inmediata. Completando al cuadrado esta integral, tenemos: x +4
x +4
x +4
x +4
∫ x 2 + 6x + 18 dx = ∫ x 2 + 6x + 9 + 9 dx = ∫ ( x 2 +6x +9) + 9 dx = ∫ ( x +3) Integramos por sustitución (P1) Elegimos u = x + 3 (P2) Entonces du = dx
2
+9
dx
85
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
(P3) Así, x +4
(P4) ∫
∫ ( x +3) u 2
u +9
du + ∫
2
+9
1 2
dx = ∫
u +9
1
( x +3) + 1 u +1 u 1 dx = ∫ 2 du = ∫ 2 du + ∫ 2 du 2 ( x +3) + 9 u +9 u +9 u +9
(
u 3
1 3
)
du = ln u 2 + 9 + tan −1 + c 2
Evaluando por separado cada integral, se tiene: 1 1 1 1 1 1 u 2 ∫ u 2 + 9 du = ∫ v ⋅ 2 dv = 2 ∫ v dv = 2 ln v = 2 ln u + 9 v = u 2 + 9, dv = 2u du , o 1 dv = udu 2
(
{∫
1 2
u +9
) Fórmulas que conducen a una función trigonométrica inversa: du 1 u −1 = tan 2 2 u +a a a
u 3
1 3
du = tan −1
∫
(P5) Reemplazando u por x + 3, se tiene el resultado de la integral.
∫
x +4 1 ( x + 3) + c 1 2 dx = ln ( x + 3 ) + 9 + tan −1 1∫ 2 3 3 2 x + 6x + 18 1 ( x + 3) + c 1 = ln x 2 + 6x + 18 + tan −1 3 3 2
(
)
II. Evaluar la integral que se indica. 1.
∫
4
0
x
4+x 2
dx =
Primero procedemos a encontrar la integral indefinida correspondiente:
∫x
Sea u = 4 + x2
4+x 2
dx = ∫ x ( 4 + x 2 )
1
2 dx
Entonces, du = 2x dx, o 1 du = x dx
2
Luego:
∫ x (4+x 2 )
1
2 dx
= ∫ (4+x 2 )
1
2 ⋅ x dx
= ∫u
1
2 ⋅ 1 du
2
= 21 ∫ u
3 3 = 21 ⋅ 23 u 2 + c = 13 u 2 + c = 13
u3
1
2 du
+ c = 13
3
(4+x 2 )
+c
Ahora, podemos evaluar la integral definida a partir del resultado que encontramos en función de x: Por tanto:
du 2
a −u
2
= sen
−1
u a
86
UNIDAD II
∫
4
0
4+x 2
x
dx =
4
1 3
(
(4 +(4 )2 ) − 13 (4 +(0)2 )
= 1 3
3 4+x 2 0
)
3
3
8 = 1 ( 20 )3 − 1 ( 4 )3 = 40 5 − 8 = ( 5 5 −1) 3 3 3 3 3 O bien, puede evaluarse la integral definida a partir del resultado que encontramos en función de u: Para esto, al cambiar los límites de integración en función de u, siendo u = 4 + x2, se tiene: Cuando x = 0, u = 4 + (0)2 = 4 (límite inferior de integración). Cuando x = 4, u = 4 + (4)2 = 20 (límite superior de integración). Por lo tanto: 4
∫0 x
4+x 2
20 u3 4 3
dx = 1
8 = 1 ( 20 )3 − 1 ( 4 )3 = 40 5 − 8 = ( 5 5 −1) 3 3 3 3 3
I. Calcula la integral que se indica.
1.
∫ 4 (4x + 5)
3.
2 3 2 ∫ ( 6x + 4 x + 10 ) x + x + 5x
5.
∫ 3x 2 + 1 dx
7.
∫ 2x (1 + x ) dx
9.
∫e
dx
11. ∫ xe 2 x −1dx
x −x 13. ∫ e − e dx
15. ∫
3
dx
(
x
2
−2 x
2
e
x
dx x 1 dx 17. ∫ x ln x
)
4
∫ 4 ( 3x + 2 )
2.
dx
4.
∫ 1− x 5 dx
6.
∫
x
∫
4
dx
4
2 x + 5 dx
x2
8.
10. ∫ xe dx
12. ∫ x 2e x
14. ∫
(
3
2 x +1
x
e
)
3
dx
2
3 +5
x
dx
dx 1− e x ln 5x dx 16. ∫ x 18. ∫ cos 5xdx
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
cos
19. ∫
21. ∫
x
( 3x 2 − 4 ) dx
20. ∫ x sec
22. ∫
sec x tg x dx 9 + 4 sec 2 x 6x − 1 dx 24. ∫ 2 4 x + 4 x + 10 4x − 3 dx 26. ∫
2.
2 ∫ x ( x − 1)
4.
∫x
dx
6.
∫
dx
8.
∫
sen x dx cos 2 x 2x + 7 dx 23. ∫ 2 x + 2x + 5 2x + 5 dx 25. ∫ 16 −6 x − x
2
dx
x
2
11+10 x − x
2
II. Evalúa la integral que se indica.
1.
∫
2
3.
∫
9
5.
∫
1
∫
3
7.
0
x 2 ( x 3 + 1) dx 5x + 4 dx
1
1 2x + 1
0
2
∫
9.
11. ∫
1
x ( ln x )
2π
0 π/3
0
sen
4
x
2 senθ 2
cos θ
2
0
1
0
2
0
3
dx
5x 2 + 4 dx 2
xe 2 x dx
e4
e
dx x ln x
π
dx
10. ∫ 4 sen 2 2 x cos 2 x dx
d θ
sen x 12. ∫ cos x e dx
0
π
0
Hasta ahora transformamos integrales utilizando el método de sustitución mediante sustitución trigonométrica de expresiones que contienen a 2 − u 2 ; u 2 ± a 2 y sustitución algebraica de la forma ∫ f g ( x ) g '( x ) dx = ∫ f ( u ) du . A continuación estudiaremos otro tipo de sustitución para resolver integrales de expresiones racionales de funciones trigonométricas. Observa. Una diferencial que contiene racionales de funciones trigonométricas puede transformarse en otra expresión diferencial racional en función de t, mediante la sustitución: tg
x =t 2
O bien, por las sustituciones: sen x =
1− t 2 2t 2 cos x = , dt 2 , dx = 2 1+ t 1+ t 1+ t 2
Una justificación de estas relaciones es la siguiente: A saber, la fórmula para determinar la tangente del ángulo mitad es: tg
x 1 − cos x =± 2 1 + cos x
87
88
UNIDAD II
Elevando al cuadrado se tiene: tg 2 Sustituyendo tg
x 1 − cos x = 2 1 + cos x
x = t , se halla la sustitución de cos x: 2 1 − cos x tt2 = 1 + cos x 2 t (1 + cos x ) = 1 − cos x
(
)
cos x t 2 + 1 = 1 − t 2 1− t 2 1+ t 2 Fijando esta relación en el triángulo rectángulo de la figura, se encuentra también la sustitución de sen x, siendo: cos x =
senx = x = t , entonces x = 2tg–1 t. 2 2 De donde, dx = dt . 1+ t 2
2t 1+ t 2
Y como tg
A
Actividad
Realicen la siguiente actividad aplicando estas sustituciones.
¿Cómo opera el método de cambio de variable tg
x 2
= t?
En equipos de trabajo de cuatro alumnos resuelvan las integrales que se indican.
dx
dx
1.
∫ 5 − 4 senx + 3 cos x
2.
∫ 1+ senx + cos x
3.
∫ senx + tg x
4.
∫ 2senx − cos x + 3
dx
dx
Analicen la importancia del método y que cada equipo exponga un ejercicio.
Enseguida se resuelve una integral aplicando la sustitución tg Hallar
dx
∫ 5 + 4sen 2x =
x = t. 2
1 Primero hagamos la sustitución u = 2x, de donde, 1 u = x y du = dx . 2 2
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Entonces:
dx
du
1
∫ 5 + 4sen 2x = 2 ∫ 5 + 4sen u Ahora apliquemos las sustituciones: sen u =
2t 2 dt 2 y du = 1+ t 1+ t 2
Así:
2 2 2 dt dt dt 1 du 1 1+ t 2 1 1+ t 2 1 1+ t 2 = = = ∫ 2 ∫ 5 + 4 sen u 2 ∫ 5 + 4 2t 2 ∫ 5 + 8t 2 5 (1+t 2 ) + 8t 2 2 1+t 1+ t 1+ t 2
2 dt 2 (1+t 2 ) 1 1+ t 2 1 dt = ∫ dt = ∫ 2 2 = ∫ 2 2 2 5 + 8t + 5t 2 ( 5+8t +5t ) (1+t ) 5t + 8t + 5 2 1+ t
Resolvemos completando al cuadrado: ∫
1 dt dt 1 dt 1 dt = ∫ = ∫ = ∫ 8 2 2 9 8 16 9 2 5 5 5 5t + 8t + 5 4 t + t +1 t2 + t + + t + + 5 5 25 25 25 5 4 5t + 4 t+ 1 1 5t + 4 1 5 1 5 −1 5 = ⋅ tg = tg −1 = ⋅ tg −1 +c 3 3 3 5 3 3 5 3 5 5 5
Por lo tanto:
dx
1
∫ 5 + 4sen 2x = 3 tg
−1
5t +4 + c 3
Para evaluar una integral definida por éste u otro método, primero se encontrará la integral indefinida correspondiente, luego podrá determinarse el valor de la integral definida atendiendo a los límites de integración.
Calcula las siguientes integrales.
dx
dx
1.
∫ 1+ senx − cos x
2.
∫ 13 − 5 cos x
3.
∫ 2 cos x + 1
4.
dθ 4 − 3 cos θ
∫ 2 + senx
6. 1 ∫0
5.
dx
∫
π
0
dx
π
2
dθ 2 + 3sen θ
89
90
UNIDAD II
7.
∫
π
0
2
dθ 12 + 13 cos θ
8.
∫
π
0
2
dx 3 + 5sen x
Integración por partes La integración por partes es otro método, al igual que el método de cambio de variable, se basa en una regla de derivación. En este caso es la regla del producto, la cual afirma que si f y g son funciones diferenciales, entonces: d f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x ) dx A partir de ésta, se obtiene la fórmula de integración por partes: ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) − ∫ g ( x ) f ' ( x ) dx la cual puede simplificarse, si u = f (x), du = f ‘(x)du, dv = g ‘(x)dx y v = g (x), quedando expresada como:
∫ u dv = uv − ∫ v du
A
Actividad
La fórmula de integración por partes nos permite expresar una integral indefinida en términos de otra que pueda ser más fácil de evaluar.
¿Cómo deducir la fórmula de integración por partes? Investiga sobre la fórmula de integración por partes. En equipos de no más de cuatro alumnos, monitoreados por su profesor, realicen lo siguiente: 1. Deduzcan la fórmula de integración por partes mediante la regla de derivación del producto en cualquiera de las formas:
d f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x ) dx O bien, d (uv) = u dv + v du
2. Después de obtener la fórmula ∫ u dv = uv − ∫ v du , comenten y enlisten los criterios para la elección de los factores u y dv.
a)
b)
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
c)
3. Elijan un equipo que exponga frente al grupo los resultados obtenidos.
Los siguientes ejemplos muestran cómo se aplica la fórmula de integración por partes:
∫ u dv = uv − ∫ v du Calcula la integral que se indica. 1.
∫ xe
x
dx
Solución Observa cómo se van descartando los procedimientos de integración hasta elegir el más conveniente. Por ejemplo, para esta integral debemos preguntarnos: ¿tiene el integrando la forma para usar las tablas inmediatas de integración? No, ¿podemos aplicar alguna sustitución algebraica? No, ¿alguna sustitución trigonométrica? Tampoco; entonces intentemos la integración por partes: Hagamos u = x y dv = ex dx De donde, du = dx (diferenciando ambos miembros de u = x). y, v = ∫ e x dx = e x (integrando ambos miembros de dv = ex dx). Aplicando la fórmula ∫ u dv = uv − ∫ v du , tenemos:
∫ xe
x
dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + c
Por lo tanto:
∫ xe
x
dx = e x ( x −1) + c
El intento de integrar por partes fue exitoso. Este logro depende evidentemente de la elección adecuada de u y dv. Para una elección adecuada de u y dv, debes considerar que du sea más sencilla que u, dv sea fácil de integrar, y la integral ∫ v du de la fórmula pueda evaluarse fácilmente y sea menos complicada que la original.
91
92
UNIDAD II
2.
∫ x cos x dx
Solución Hagamos u = x y dv = cos x dx De donde, du = dx y v = ∫ cos x dx = sen x Sustituyendo en la fórmula ∫ u dv = uv − ∫ v du , tenemos:
∫ x cos x dx = x sen x − ∫ sen x dx Por lo tanto:
∫ x cos x dx = x sen x + cos x + c 3.
∫ x ln x dx
Hagamos u = ln x y dv = x dx De donde, du =
1 1 dx y v = x 2 2 x
Por lo tanto:
1
1
2 2 1 1 ∫ x ln x dx = 2 x ⋅ ln x − ∫ 2 x ⋅ x dx
1 2 1 2 x ln x − 2 ∫ x dx 1 1 = x 2 ln x − x 2 + c 4 2 1 = x 2 ( 2 ln x −1) + c 2 =
3.
∫x
2
e x dx
Hagamos u = x2 y dv = ex dx De donde, du = 2x y v = ex Sustituyendo en la fórmula ∫ u dv = uv − ∫ v du , tenemos:
∫x
2 x
e dx = x 2e x − ∫ e x ( 2 x ) dx = x 2e x − 2 ∫ xe x dx
La integral obtenida de la fórmula no se resuelve inmediatamente; su forma nos lleva de nuevo a aplicar la integración por partes, cuyo resultado se obtuvo en el ejemplo 1.
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Aplicar el método de integración por partes nos conduce algunas veces a usar algún otro método o repetir el mismo que al hallar la integral surgida de la fórmula. Así:
∫x
2
e x dx = x 2e x − 2 ( xe x − e x ) + c = x 2e x − 2 xe x + 2e x + c = e x ( x 2 −2x + 2 ) + c
I. Anexa a tu formulario de integración la fórmula de integración por partes y calcula la integral que se indica. 1.
∫ x ( x + 1)
3.
∫x
5.
∫xe
7.
∫ 6x e
9.
∫ ( x + 1) e
2.
∫ x (x + 4)
4.
∫
6.
∫ xe
8.
∫ (e
dx
10. ∫ x ( x + 4 )
−3
2
dx
x − 5 dx 2x
dx
3x
dx x
−2
x dx 2 x +3 x
x
4
dx
− x ) dx 2
−2
11. ∫ x ln 2 x dx
12. ∫ x 2 ln 2 x dx
13. ∫ x 3 ln x dx
14. ∫ x ln x dx
x dx
16. ∫
15. ∫ x ln
ln x
17. ∫
ln x x
dx
18. ∫ ln x dx
3 19. ∫ sec x dx
20. ∫ e θ cos θ d θ
21. ∫ arcsen x dx
22. ∫ arc tg x dx
x
2
dx
II. Evalúa la integral que se indica. 1.
∫
ln 2
2.
∫
2
3.
∫x
4.
∫
5.
∫
0
0 1
0
4
1 2
1
x e x dx -x
x e dx 2 -x
e dx
ln x dx
x ln x dx
dx
dx
93
94
UNIDAD II
Integración de potencias de funciones trigonométricas Ahora vamos a integrar diferenciales trigonométricas de la forma:
∫ sen
m
x cosn x dx y ∫ tg m x secn x dx
Emplearemos el método de reducción sucesiva que consiste en hacer depender la integral dada de otra integral de la misma forma. Para efectuar esta integración se distinguirán los siguientes casos: Caso I
Forma de la integral
∫ sen
m
x cosn x dx
Condiciones m o n es un entero positivo impar
m es un entero positivo impar
Transformación e identidad utilizada sen m x = sen m −1x ⋅ sen x sen 2 x = 1 − cos 2 x
n es un entero positivo impar II
III
∫ sen
∫ tg
m
m
x cosn x dx
x secn x dx
m y n son enteros pares no negativos
n es un entero positivo par
cosn x = cosn −1 x ⋅ cos x cos 2 x = 1 − sen 2 x sen x cos x =
1 sen 2 x 2
sen 2 x =
1 − cos 2 x 2
cos 2 x =
1 + cos 2 x 2
secn x = secn −2 x ⋅ sec 2 x 1 + tg 2 x = sec 2 x
IV
∫ tg
m
x secn x dx
m es un entero positivo impar
tg m x secn x = tg m −1x ⋅ secn −1 x ⋅ sec x ⋅ tgx
tg 2 x = sec 2 x − 1 V
∫ tg
m
x secn x dx
m es un entero positivo par y n es un entero positivo impar
tg 2 x = sec 2 x − 1
Los siguientes ejemplos muestran la integración de potencias de funciones trigonométricas, atendiendo a los casos específicos de esta tabla.
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Calcular las siguientes integrales identificando el caso al que pertenecen. 1.
3
∫ sen x cos
2
x dx
Solución Como m = 3 es un entero positivo impar, la forma de la integral corresponde al caso I, entonces si usamos la transformación y la identidad trigonométrica indicada, tenemos: 3
∫ sen x cos
2
x dx = ∫ cos 2 x sen 2 x sen x dx
(
)
= ∫ cos 2 x 1 − cos2 x sen x dx
(
)
= ∫ cos 2 x − cos4 x sen x dx
= ∫ cos 2 x sen x dx − ∫ cos4 x sen x dx Por sustitución: Si u = cos x, entonces du = sen x o –du = sen x Por tanto: 3
∫ sen x cos
2
x dx = ∫ cos 2 x sen x dx − ∫ cos4 x sen x dx = ∫ u 2 ( −du ) − ∫ u 4 ( −du )
= − ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = ∫ u 4 du − ∫ u 2 du
1 1 = u5 − u3 + c 5 3 1 5 1 = cos x − cos3 x + c 5 3 2.
∫ sen
4
x cos3 x dx
Solución Como n = 3 es un entero positivo impar, la forma de la integral corresponde al caso I; entonces utilizamos la transformación y la identidad trigonométrica indicada, y tenemos: 4
3
4
2
∫ sen x cos x dx = ∫ sen x cos x cos x dx = ∫ sen 4 x (1 − sen 2 x ) cos x dx = ∫ (sen 4 x − sen 6 x ) cos x dx = ∫ sen 4 x cos x dx − ∫ sen 6x cos x dx
95
96
UNIDAD II
Por sustitución: Si u = sen x, entonces du = cos x Por lo tanto:
∫ sen
4
x cos3 x dx = ∫ sen 4 x cos x dx − ∫ sen 6 x cos x dx = ∫ u 4 du − ∫ u 6 du
1 1 = u5 − u7 + c 7 5 1 1 = sen 5 x − sen 7 x + c 5 7 3.
∫ sen
2
x cos 2 x dx
Solución Como m = 2 y n = 2 son enteros pares no negativos, la forma de la integral corresponde al caso II; entonces si usamos la transformación y las identidades trigonométricas indicada, tenemos:
∫ sen
2
x cos2 x dx = ∫
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x dx ⋅ 2 2
1 1 − cos2 2 x dx ∫ 4 1 1 + co s 4 x = ∫ 1− dx 4 2 1 1 cos 4 x = ∫ 1− − dx 2 4 2 1 1 cos 4 x = ∫ − dx 2 4 2 1 1 1 cos 4 x 1 1 = ∫ dx − ∫ dx = x − ∫ cos 4 x dx 2 4 2 4 8 8 =
(
)
Por sustitución: 1
Si u = 4x, entonces du = 4 dx o 4 du = dx . Por lo tanto:
∫ sen
2
1 1 x cos2 x dx = x − ∫ cos 4 x dx 8 8 1 1 = x − sen 4 x + c 8 32
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
4.
∫
tg x sec4 x dx
Solución Como n = 4 es un entero positivo par, la forma de la integral corresponde al caso III; entonces si se emplea la transformación y la identidad trigonométrica indicada, tenemos: 1
tg x sec4 x dx = ∫ ( tg x ) 2 sec 2 x sec 2 x dx
∫
= ∫ ( tg x )
1
2
(1 + tg 2x ) sec2 x dx
1
5
1
5
= ∫ ( tg x ) 2 sec 2 x dx + ∫ ( tg x ) 2 sec 2 x dx Por sustitución: Si u = tg x, entonces du = sec2 x dx. Por lo tanto:
tg x sec4 x dx = ∫ ( tg x ) 2 sec 2 x dx + ∫ ( tg x ) 2 sec 2 x dx
∫
= ∫u
1
2
du + ∫ u
5
2
du
2 3 2 7 = u 2 + u 2 +c 3 7 3 7 2 2 = ( tg x ) 2 + ( tg x ) 2 + c 3 7 5.
∫ tg
3
x sec7 x dx
Solución Como m es un entero positivo impar, la forma de la integral corresponde al caso IV; entonces si utilizamos la transformación y la identidad trigonométrica indicada, tenemos:
∫ tg
3
x sec7 x dx = ∫ tg 2 x sec6 x sec x tg x dx
(
)
= ∫ sec 2 x − 1 sec6 x sec x tg x dx
= ∫ sec8 x ⋅ sec x tg x dx − ∫ sec6 x ⋅ sec x tg x dx Por sustitución: Si u = sec x, entonces du = sec x tg x dx.
97
98
UNIDAD II
Por lo tanto:
∫ tg
3
x sec7 x dx = ∫ sec8 x ⋅ sec x tg x dx − ∫ sec6 x ⋅ sec x tg x dx = ∫ u 8du − ∫ u 6du
1 1 = u9 − u7 + c 9 7 1 9 1 = sec x − sec7 x + c 9 7 6.
∫ tg
2
x sec x dx
Solución Como m es un entero positivo par y n es un entero positivo impar, la forma de la integral corresponde al caso V; entonces, usando la identidad trigonométrica indicada, tenemos:
∫ tg
2
(
)
x sec x dx = ∫ sec 2 x − 1 sec x dx
= ∫ sec3 x dx − ∫ sec x dx
Aplicando integración por partes: 1 1 1 ∫ sec3 x dx = sec x tg x + ln sec x + tg x 2 2 y 1 ∫ sec x dx = ln sec x + tg x Por lo tanto:
∫ tg
2
x sec x dx = ∫ sec3 x dx − ∫ sec x dx
1 1 = sec x tg x − ln sec x + tg x + ln sec x + tg x + c 2 2 1 1 = sec x tg x − ln sec x + tg x + c 2 2
Elabora tu formulario de integración de potencias de funciones trigonométricas a partir de la tabla expuesta en este tema, y calcula la integral que se indica. 3
1.
∫ sen
3.
∫ cos
5.
∫ sen
5
2.
∫ sen
3
x dx
4.
∫ sen x cos
5
2
x dx
4
x cos7 x dx
6.
∫ sen x cos
3
3
x dx
x dx
x dx
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
x cos 2 x dx
8.
sen 5 x cos5 x dx
10. ∫ sen 3 2 x dx
12. ∫ tg 3x sec x dx
13. ∫ tg 3 2 x sec 4 2 x dx
14. ∫ tg 4 x sec 4 x dx
15. ∫ tg 3 3x sec 3x dx
16. ∫ tgx
x sec 4 x dx
18. ∫ ( tg x + cot x ) dx
4 4 20. ∫ π tg x sec x dx
7.
∫ sen
9.
∫
π
2
0
4
11. ∫ tg 2 x sec 4 x dx
17. tg ∫
3
19. ∫ tg
2
x
2
3
sec
x dx 2
∫
π
−π
sen 4 x cos 2 x dx
π
0
sec x dx 2
π
−
4
Fracciones parciales Las técnicas de integración abordadas hasta el momento nos han ayudado a calcular integrales de distintas formas que no es posible evaluar inmediatamente; sin embargo, aún no se puede evaluar ciertas integrales de la forma:
∫
P (x ) dx Q (x )
Por tal motivo, vamos a estudiar la técnica de integración por fracciones parciales, la cual dará solución a estas integrales. Una expresión de la forma
P (x ) donde el numerador y denominador son funciones enteras, Q (x )
es decir, funciones cuya variable no tiene exponentes negativos o fraccionarios se llama función racional. Si el grado del numerador es igual o mayor al grado del denominador, al efectuar la división, la función puede reducirse a una expresión mixta. Por ejemplo, al efectuar la división de
x 4 −4 x +5 obtenemos como cociente: x 2 + 4 x + 8 x 2 −4 x +8
x 2 − 4 x + 8 x 4 + 0x 3 + 0x 2 − 4 x + 5 − x 4 + 4 x 3 − 8 x 2 4 x 3 − 8 x 2 − 4 x −4 x 3 + 16x 2 − 32 x 8 x 2 − 36x + 5 −8 x 2 + 32 x − 64 − 4 x − 59 x2 + 4x + 8 con residuo –4x – 59. Por lo tanto:
99
100
UNIDAD II
x 4 −4 x +5 = x 2 + 4 x + 8 − 4 x +59 x 2 −4 x +8 x 2 −4 x +8 Donde la función racional resultante queda reducida a su más simple expresión, con grado del numerador menor al grado del denominador (función racional propia). La integral de esta función se indica como: x 4 − 4x + 5 4 x + 59 dx = ∫ x 2 + 4 x + 8 − ∫ 2 dx x − 4x + 8 x 2 − 4x + 8 Como se observa en la expresión del lado derecho, los primeros términos pueden integrarse inmediatamente, así que atenderemos la función racional reducida y el método que permita evaluarla. Para integrar ciertas funciones racionales
P (x ) en donde el grado de P(x) es menor que el Q (x )
grado de Q(x), se aplicará el método de fracciones parciales, que consiste primero en descomponer Q(x) en un producto de factores lineales o cuadráticos irreducibles que permitan completar la integración. El método de fracciones parciales dependerá de la factorización de Q(x), según determinen los casos descritos a continuación.
2.2.1 Denominadores con factores lineales P (x ) dx , con Q(x) representado Para calcular la integral de una función racional propia ∫ Q (x ) como un producto de factores lineales, todos distintos o algunos repetidos, se tiene una regla a seguir según el caso. A continuación se enumeran estos casos y su regla de solución correspondiente.
Caso I: Los factores del denominador Q(x) son todos lineales distintos. Regla: Representar el integrando como una suma de términos de la forma
C para cada facax + b
tor lineal ax + b del denominador, donde C es una constante desconocida. Así:
P (x ) A B C = + + + ... (tantos como factores lineales sean). Q ( x ) a1x + b1 a 2 x + b2 a 3x + b3 Resolver algebraicamente hasta encontrar los valores de las constantes.
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integrar a partir de esta representación del integrando, obteniéndose una suma de términos de la forma C ln ax + b .
Caso II: Los factores del denominador Q(x) son todos lineales y algunos se repiten. Regla: Para cada factor lineal repetido donde del denominador, representar el integrando como:
P (x ) A B C = + + + ... (las veces que se repite el factor lineal). 2 Q ( x ) ( ax +b ) ( ax +b ) ( ax +b )3 Resolver algebraicamente hasta encontrar los valores de las constantes. Integrar a partir de esta representación del integrando. Cuando el denominador Q(x) contiene tanto factores lineales distintos como repetidos, se integra combinando ambos casos. Los siguientes ejemplos muestran cómo realizar este procedimiento.
Calcular la integral que se indica. 1.
x 3 − 2x ∫ x 2 + 3x + 2 dx =
Solución Observemos que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, así que primero efectuando la división
x 3 − 2x , se obtiene: x 2 + 3x + 2 x − 3
x 2 + 3x + 2 x 3 + 0 x 2 − 2 x −x 3 − 3x 2 − 2 x − 3x 2 − 4 x 3x 2 + 9x + 6 5x + 6 x 3 − 2x 5x +6 ∫ x 2 + 3x + 2 dx = ∫ x −3+ x 2 +3x +2 dx 5x +6 Prestemos ahora atención a la función racional propia 2 . x +3x +2
Factorizamos el denominador x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2), obteniendo factores lineales distintos; entonces según la regla:
5x +6 = A + B x 2 +3x +2 x +1 x +2
101
102
UNIDAD II
Resolviendo para A y B:
5x +6 = A( x +2 )+B( x +1) ( x +1)( x +2 ) x 2 +3x +2 5x +6 = Ax +2 A +Bx + B 2 ( x +1)( x +2 ) x +3x +2 5x +6 = ( A + B )x +( 2 A +B ) 2 ( x +1)( x +2 ) x +3x +2 De donde: 5x + 6 = (A + B)x + (2A + B) 5x = (A + B)x y 6 = 2A + B 5 = A + B 6 = 2(5 – B) + B A = 5 – B 6 = 10 – 2B + B A = 5 – 4 B = 4 A=1 Así que:
x 3 − 2x 1 4 ∫ x 2 + 3x + 2 dx = ∫ x −3+ x +1+ x +2 dx 2 = x2 − 3x + ln x +1 + ln x +2 + c
2.
x 2 + 2x + 4 ∫ ( x +1)3 dx =
Solución Como el integrando es una función racional propia, cuyo denominador contiene un factor lineal repetido (potencia 3), entonces según la regla:
x 2 + 2x + 4 A B C = + + 3 2 ( x +1) ( x +1) ( x +1)3 ( x +1) Resolviendo para A, B y C:
x 2 + 2x + 4 A ( x +1)2 + B ( x +1) + C = ( x +1)3 ( x +1)3 De donde:
x 2 + 2x + 4 = Ax 2 + ( 2 A +B ) x + ( A +B +C ) 1 = A, 2 = 2A + B y 4 = A + B +C A = 1, 2 = 2 (1) + B 4 = 1+ 0 + C B=0 C =3
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Así que:
x 2 + 2x + 4 1 0 3 ∫ ( x +1)3 dx = ∫ ( x +1) + ( x +1)2 + ( x +1)3 dx = ∫ 1 +3( x +1)−3 dx
( x +1)
= ln x +1 −
3 2 +c 2 ( x +1)
2.2.2 Denominadores con factores cuadráticos P (x ) dx , ahora Análogamente, para calcular la integral de una función racional propia 1 ∫ Q (x ) con uno o más factores cuadráticos irreducibles distintos o algunos repetidos en el denominador Q(x), se atienden las reglas siguientes.
Caso III: El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles distintos. Regla: Representar el integrando como una suma de términos de la forma
Mx + N para ax 2 + bx + c
cada factor cuadrático irreducible ax2 + bx + c del denominador, donde M y N son constantes desconocidas. Así:
P (x ) Ax + B Cx + D = + + ... (tantos como factores cuadráticos sean). 2 ( ) Q x a1x + b1x + c a 2 x 2 + b2 x + c Resolver algebraicamente hasta encontrar los valores de las constantes. Integrar a partir de esta representación del integrando.
Caso IV: El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles distintos. Regla: Para cada factor cuadrático irreducible repetido ( ax 2 + bx + c ) donde n > 1 del denominador, representar el integrando como: n
P (x ) Ax + B Cx + D Ex + F = 2 + + + .... 2 ( ) 2 Q x (ax +bx +c ) (ax +bx +c ) (ax 2 +bx +c )3 (las veces que se repite el factor cuadráti-
co irreducible).
Resolver algebraicamente hasta encontrar los valores de las constantes. Integrar a partir de esta representación del integrando.
103
104
UNIDAD II
Cuando el denominador Q(x) contiene tanto factores lineales distintos como repetidos y factores cuadráticos distintos como repetidos, se integra combinando los casos según corresponda. Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar cada regla de solución.
Calcular la integral que se indica. 1.
4x
∫ ( x 2 +1)( x 2 +2x +3) dx =
Solución Puesto que el integrando es una función racional propia, cuyo denominador contiene factores cuadráticos irreducibles distintos, entonces según la regla:
(
4x Ax + B Cx + D + 2 = 2 2 )( x +2x +3) x + 1 x + 2x + 3
x 2 +1
Resolviendo para A, B, C y D:
( Ax +B ) ( x 2 +2x +3) + (Cx +D ) ( x 2 +1) 4x = ( x 2 +1)( x 2 +2x +3) ( x 2 +1) ( x 2 +2x +3)
De donde:
4 x = ( A +C ) x 3 + ( 2 A + B+D ) x 2 + ( 3 A + 2B +C ) x + ( 3B +D ) A + C = 0, 2 A + B + D = 0, 3 A + 2B + C = 4 y 3B + D = 0 Resolviendo estas ecuaciones: A = 1, B = 1, C = –1 y D = –3 Así que:
4x
x +1
x +3
∫ ( x 2 +1)( x 2 +2x +3) dx = ∫ x 2 +1− x 2 +2x +3 dx =∫
x + 21 − 2 x +1 x +1
x +1 − ( x +1)2 +2 (
x 2 + 2x + 3 =
2.
∫
x2
( x 2 +4 )
2
x +3 + tan −1 x − x + 2x + 3 2
( x +1) 2 + 2
)
= 21 ln ( x 2 +1) + tan −1 x − 21 ln ( x +1)2 +2 − = 21 ln
x 2 + 2x + 1 + 2 =
2 dx 2 x +1 + 2
2 tan
−1 x
2 tan
+1 +c 2
−1 x
+1 +c 2
du
1
∫ u 2 +a 2 = a tan
−1
u a
dx =
Solución El integrando es ya una función racional propia, cuyo denominador contiene factores cuadráticos irreducibles distintos y según la regla:
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
x2
( x 2 +4 )
2
Resolviendo para A, B, C y D:
x2
(x 2 + 4)
De donde:
2
=
=
105
Ax + B Cx + D + x 2 + 4 ( x 2 +4 ) 2
( ) 2 (x 2 + 4)
( Ax + B ) x 2 + 4 + Cx + D
x 2 = Ax 3 + Bx 2 + ( 4 A + C ) x + 4 B + D A = 0, B = 1, 4 A + C = 0
y 4B + D = 0
Resolviendo estas ecuaciones: A = 0, B = 1, C = 0 y D = –4 Así que:
4 1 − dx = ∫ x 2 +4 2 ∫ x 2 + 4 x 2 +4 2 dx ( ) ( )
x2
1 4 dx − ∫ =∫ 2 2 dx x +4 ( x 2 +4 )
Por sust. trig. x = 2 tan θ, x 2 = 4 tan 2 θ dx = 2 sec 2 θd θ x θ = tan −1 2
= 21 tan −1 x2 − 4 1 tan −1 x + 1 2x + c 16 2 8 x +4 x = 41 tan −1 x2 − +c 2 ( x 2 +4 )
Aplicando casos de integración por fracciones parciales. I. Previa elaboración del formulario que incluya los casos de integración por fracciones parciales, en equipos de no más de cuatro integrantes, monitoreados por su profesor, verifiquen las siguientes integrales:
1.
2.
∫
4
0
(x
x3 2
)(
2
+1 x + 2
)
1
dx = ln 9 − ln 17 2
dx 1 8 2 2 = ln + tan −1 2 x 3 + x 2 + 2x + 2 6 3 6 1 2 x 3 + 5x 3. ∫−1 x 4 + 5x 2 + 6 dx = 0
∫
1
0
A
Actividad
106
UNIDAD II
II. Comprueben los resultados dados a los siguientes problemas:
1. La gerencia de una cierta compañía de equipo para oficina ha determinado que la función de costos diarios marginales asociada a la producción de sacapuntas de baterías está dada por: C ‘(x) = 0.000006x2 – 0.006x + 4
Donde se mide en dólares por unidad y x denota las unidades producidas. La gerencia también ha determinado que los costos fijos diarios relacionados con la misma producción son de $100. Encuentren los gastos totales diarios de tal compañía por la producción de:
a) Las primeras 500 unidades. Respuesta $ 1600 b) Las unidades 201 a 400. Respuesta $ 552
2. Se espera que la tasa de consumo de energía eléctrica de cierta ciudad aumente de manera exponencial, con una constante de crecimiento de k = 0.04. Si la tasa de consumo actual es de 40 millones de kilowatts-hora (kwh) por año, ¿cuál debe ser la producción total de electricidad durante los próximos tres años para cubrir la demanda proyectada?
3. La cantidad de cierto medicamento en el cuerpo de un paciente t días después de ser administrado es:
Respuesta: 127.5 millones kwh
C(t) = 5e–0.2t unidades.
Determinar la cantidad promedio de medicamento presente en el cuerpo del paciente durante los primeros cuatro días posteriores a su administración. El valor promedio de f en [a, b] es 1 b f ( x ) dx .
b − a ∫a
Respuesta: Aproximadamente 3.44 unidades
III. Elijan un equipo para que exponga sus resultados a todo el grupo.
I. Calcula la integral que se indica.
1.
∫x
3.
5.
dx
dx
2.
2
∫x
dx 3 −1
∫x
4.
∫x
4
∫x
4
6.
∫ x (x
2
−9
dx
+ 5x 2 + 4
−4 dx + 27x x −1 2
dx + 1)
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
7.
∫
9.
∫x
2x + 1
(x
dx
+ 4) 2 x − 3x − 1 2
2
dx + x 2 − 2x x4 dx 11. ∫ ( 1 − x )3 x3 + x2 + x + 3 dx 13. ∫ 2 ( x + 1)(2 x 2 + 3) 3x − x + 1 dx 15. ∫ ( x + 1) ( x 2 + 2 x + 2 ) 3
8.
x 2 + 3x − 4
∫x
10. ∫ 12. ∫ 14. ∫
dx − 2x − 8 x 4 + 8x 3 − x 2 + 2x + 1 2
(x
2
x
+ x )( x 3 + 1) dx
( x − 2 )2
(x
2x 3 2
+ 1)
dx
2
dx
II. Verifica la solución a los siguientes problemas.
1. Un estudio de eficiencia realizado para una compañía electrónica mostró que la razón con que un obrero promedio ensambla walkie-talkies a t horas de iniciar su trabajo a las 8 am está dada por: Determina cuántos walkie-talkies puede ensamblar un obrero promedio en la primera hora de su jornada de trabajo.
R= 20 unidades
2. La tasa estimada de producción de petróleo en cierto pozo a t años después de iniciar la producción está dada por R(t) = 100t e–0.1t miles de barriles por año.
Determina la producción total de petróleo al final de cinco años.
R=902.04 miles de barriles.
107
108
UNIDAD II
I.
Responde a las siguientes preguntas:
1.
¿Qué diferencia existe entre una integral definida y una indefinida?
2.
3.
¿Cuál es la derivada de una función compuesta F g ( x ) ?
¿Qué métodos de integración conoces?
5
(k3 +2k2 −3) =
II.
Encuentra el valor a la sumatoria ∑
III.
Aplica sumatorias para encontrar el área A limitada por la gráfica f(x) = 4 + x2 en el intervalo [0, 2]. Muestra la gráfica y sombrea el área correspondiente.
IV.
Aplica la suma de Riemann y halla una aproximación del área bajo la curva de la función f(x) = 1 – x2 en el intervalo [0, 1], con 5 subintervalos y eligiendo x k* como frontera derecha.
V.
Calcula las siguientes integrales:
1.
∫
2.
∫ 5xdx
3.
∫ ( 3x − 5)dx
4.
∫
2π
5.
∫
4
cos xdx
6.
∫
π/4
7.
∫
e4
8.
∫
9.
∫
π
ln x dx x
k =1
5
−5
3dx
1
0
0.1
e
−π
x 2 cos x dx
7
0
0
sec 2 θd θ
0
2π
0
senθ dθ cos3 θ
dx 5 + 3 cos x
INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
10.
∫
π
0
6
cos 2 x cos x dx
11.
4
1
∫ (16+x 2 ) dx 1 ∫ x 5 + 4 x 4 + 5x 3 dx 0
12.
x2 ∫0 x 4 + 8x 2 + 16 dx 13.
VI.
Resuelve los siguientes problemas.
1.
Una partícula se mueve de modo que su velocidad en m/s es:
1
2
1
V(t) = 2t 2 – 5t
2.
Encuentra su desplazamiento y la distancia recorrida en el intervalo de tiempo [1, 4]. Una cierta población animal a t años crece a razón de: P(t) = 200 + 50t al año
3.
Animales/año durante los próximos 10 años. ¿Cuánto crecerá la población entre el cuarto y el noveno años? La velocidad de un dragster a t segundos después de salir de la línea de salida es: 100e–0.2t pies/segundo.
¿Cuál es la distancia recorrida por el dragster durante los 10 primeros segundos de la carrera?
109