Integrales

1

INTEGRAL IMPROPIA Extensión del concepto de integral definida La integral definida

 f ( x)dx requiere que: b

a

1. El intervalo [a, b] sea finito. 2. La función f (x) esté acotada en el intervalo [a, b]. 3. La función f (x) sea continua en dicho intervalo.

Cuando: (1) alguno de los límites de integración es infinito: (–∞, b], [a, +∞) o (–∞, ∞) o (2) la función tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo [a, b], la integral se llama impropia. Son impropias: 

1 dx . x 1 Su significado gráfico se corresponde con el área de la región sombreada en la figura adjunta. El intervalo de integración es (1, +∞): la “base” del recinto no 1 está acotada. La curva es la de la función f ( x)  . x  1 2. La integral dx 2  x  1 Gráficamente es el área de la región sombreada en la figura adjunta. El intervalo de integración es (–∞, 1 . +∞). La curva es la de la función f ( x)  2 x 1 1. La integral







5

1

dx da el área del recinto sombreado x 1 en la figura de la derecha. La función no es continua en el punto x = 1, el límite inferior; la “altura” del recinto no está acotada.

3. La integral

1

4. La integral

2

1

2

x  12



dx

da el área de la región sombreada en la figura de la izquierda. La función 1 no es continua en el punto x = –1, que cae f ( x)  x  12 dentro del intervalo de integración.

Nota: La integral (impropia o no) da un área cuando f ( x)  0 en el intervalo estudiado.

José María Martínez Mediano

Integrales

2

Cómo se calcula una integral impropia El siguiente ejemplo puede aclarar el método general.  1 dx que da el área sombreada en la siguiente Ejemplo: Para hallar la integral impropia 1 x2 figura, puede procederse como sigue: b 1 dx 1. Se calcula la integral definida 2 1 x (el área desde 1 hasta b).





Su valor es:



b

1

b

1 1  1 dx        1 . 2 b x  x 1

2. Resulta evidente que cuando b se hace más grande, el valor de 

1; y cuando b  ∞, el valor de  Por tanto, puede decirse que



1  1 se aproxima más a b

1  1  1. b



1

b

1  1  1  dx = lim     lim    1  1 2 b  x  b  b x  1

En general se procede como sigue: Caso (1): Si la función f (x) es continua en los intervalos (–∞, b], [a, +∞) y (–∞, ∞), respectivamente, entonces se define:    t A. f ( x)dx  lim  f ( x)dx  t  a   a b b   B. f ( x)dx  lim  f ( x)dx  t    t  



C.



   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx , donde c es cualquier número real. Cada una de las 

c







c

integrales de la derecha se hacen como los casos A y B. Normalmente se toma c = 0. Si los límites anteriores existen se dice que la integral impropia converge; en caso contrario, la integral diverge. Ejemplos: 

t

t 1 1  1  1  = a) dx = lim     lim    1  1 . dx lim 2 2 t  x  t  t t  1 x 1 x  1 La integral hallada converge a 1. (El área bajo la curva vale 1).













t 1 1 t dx = lim dx = lim ln x  1  lim ln t  ln 1  ln     . t  t  t  1 x x 1 Esta integral es divergente. (El área bajo la curva es infinita).

b)

c)





1 dx  2 x 1

0

1 dx  2  x  1







0

1 dx = (la función es simétrica) = 2 2 x 1





0

1 dx x 1 2

José María Martínez Mediano

Integrales

3

 = 2 lim  t 

  1 t dx  = 2 lim arctan x  0   2  lim arctan t  arctan 0   2·   .     t   t   2 0 x 1   Recuerda: arctan()  ; arctan(0)  0 2





2

Caso (2): Si la función f (x) tiene alguna discontinuidad infinita puede definirse: A. Si la función es continua en [a, b) y tiene una discontinuidad infinita en b: b  t  f ( x)dx  lim f ( x)dx  t b a  a  B. Si la función es continua en (a, b] y tiene una discontinuidad infinita en a: b  b  f ( x)dx  lim f ( x)dx  t a a  t  C. Si la función es continua en [a, b] y tiene una discontinuidad infinita en c  [a, b]:











b

f ( x)dx 

a



c

a

f ( x)dx 

 f ( x)dx (Estas dos integrales se hacen como en A y B.) b

c

Las regiones anteriores son como las que se indican a continuación.

Ejemplos: 0 1 1 dx . Como la función f ( x)  2 no es continua en x = 0, se tiene que a) 2 2 x x



0

t

t 1 1  1  1 1 = dx lim dx = lim     lim       . 2 2  t   t 0  x  t 0 2 x 2 x  t 2 2 Esta integral es divergente.







4

1

dx . En este caso, la función f ( x) 

1

no está definida para x x x < 0; en x = 0, por la derecha, tiene una discontinuidad continua de salto infinito. Por tanto: 4 4 4 1 1 dx = lim dx = = lim 2 x  lim 2 4  2 t  2·2  4 . t t 0 t 0 t 0 t 0 x x Esta integral converge a 4.

b)

0





 





2

1 1 dx . En este caso, la función f ( x)  3 tiene un salto infinito en el punto x = 0, que 3 1 x x cae dentro del intervalo de integración. Por tanto: c)



José María Martínez Mediano

Integrales

4

2

1 dx = 3 1 x



0

1 dx  3 1 x





2

0

 1 dx = lim  3 t 0  x

 1  dx   lim  3 1 x  t 0 



t



1  dx  = x 3 

2

t

2

t

 1   1  lim   2   lim   2  = t 0  2 x  t 0  2 x  1 t 1 1 1   1   2      . (Ninguna de las dos = lim   2    lim   2 t 0  2t 2  t 0  2·2 2t  integrales converge.) Notas: 1 1  dx  x 3 dx   x 2 . 3 2 x  Si no se observa que la función es discontinua en x = 0, se podría haber calculado





2

2

1 1 1 3  1  erróneamente que: dx    2       3 2 8 8 1 x  2 x  1



Criterio de comparación para la convergencia Si la integral impropia de la función f (x) no puede hacerse por métodos convencionales, para determinar su convergencia o no puede recurrirse al siguiente criterio:  Sean f (x ) y g (x ) continuas para todo x ≥ a y tal que 0  f ( x)  g ( x) para todo x ≥ a.

Entonces, si





g ( x)dx converge 

a

además,







f ( x)dx converge; y,

a



f ( x)dx ≤

a





g ( x)dx .

a



Igualmente, si 0  g ( x)  f ( x) y si



g ( x)dx diverge 

a





f ( x)dx diverge.

a

Para comparar suele recurrirse a dos resultados conocidos:  1 dx cuya convergencia depende de p: a continuación se verá que es convergente 1. A 1 xp si p >1.



2. A





e  px dx que converge si p > 0.

0



Estudio de la convergencia de





1

1 dx . xp t

t   1 1  = = dx lim x  p dx = lim    1 p p  t  t  1 1 1 x   p  1x  1  1  1 1   , si p  1    p 1 . = lim    p 1  t   p 1    p 1 t    , si p  1 Observación: En estos apuntes ya se han estudiado los casos p = 1/3; 1/2, 1 y 2.





1 dx = lim t  xp



t



José María Martínez Mediano

Integrales

5



Estudio de la convergencia de





e  px dx .

0





e

 px

dx = lim

t  

0



En particular: En general,

e t

t

 px

0



e  x dx = lim

t 

0 



 1   1 1 1 dx = lim   e  px   lim   e  pt    . t  p p  p  0 t  p



t



e  x dx = lim  e  x t 

0



t 0





 lim  e t  1  1 t  

e x dx  1 . Por lo tanto, f ( x)  e  x es una función de densidad para  >

0

0 y x ≥ 0. La función de distribución exponencial de probabilidad asociada (que da la probabilidad de que la variable estadística tome valores menores o iguales



t) es: F ( x) 

t

e x dx  e x  1 , que da el área

0

bajo la curva desde 0 hasta x. Ejemplos:



a) La integral



2

1 dx es divergente, pues ln x





2

1 dx x

1 1 diverge y  . ln x x 2

b) Como e  x  e  x , para todo x ≥ 1, y la integral





e  x dx es convergente, entonces

1





2

e  x dx también es convergente.

1

Observación: La integral





2

e  x dx está ligada a

0

la distribución de probabilidad normal (campana de Gauss). El valor de





2

e  x dx no puede determinarse por métodos elementales, pero la integral

0

converge.

José María Martínez Mediano