´ Sesion

7

Introducci´ on a Ecuaciones Diferenciales Capacidades

Temas X Ecuaciones diferenciales que se resuelven directamente aplicando integraci´on.

B Resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. B Determinar soluciones particulares de una ecuaci´on diferencial, dadas condiciones iniciales.

X Problemas con condiciones iniciales y soluciones particulares. X Problemas aplicados.

7.1

B Plantear y resolver ciertos problemas aplicados que se modelan con la ecuaciones diferenciales estudiadas.

Introducci´ on

J. D’Alembert Franc´es (1717-1783)

La integral indefinida de una funci´on g(x), corresdy ponde a las soluciones de la ecuaci´on dx = g(x). Estas ecuaciones constituyen la clase m´as sencilla de las llamadas ecuaciones diferenciales. En muchas situaciones aplicadas de diversos campos, surgen problemas que se pueden plantear mediante ecuaciones diferenciales. La resoluci´on de tales situaciones involucra resolver una ecuaci´on diferencial y determinar una soluci´on particular de dicha ecuaci´on.

En esta sesi´on se tratar´a ciertas clases de ecuaciones diferenciales que se resuelven aplicando la integral indefinida, y la resoluci´on de problemas provenientes de diversos ´ambitos, que se modelan mediante ecuaciones diferenciales de los tipos considerados. 53

Sesi´ on 7

7.2

Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo introductorio

Determinar la funci´on y = y(x) cuya derivada es pase por el punto (1, 3).

dy dx

= 3x2 (∗), tal que su gr´ afica

Soluci´ on: 1) La familia de funciones que cumplen (∗) es: y = y(x) = x3 + C 2) La siguiente figura presenta las gr´aficas de diversas funciones de la familia precedente, para diferentes valores de C:

3) Para determinar la funci´on y = y(x), que pasa por el punto (1, 3), se sustituye x = 1, y = 3 en la familia encontrada, con lo cual se obtiene un valor espec´ıfico de C: y(1) = 3 =⇒ 3 = 13 + C =⇒ C = 2 Luego, la funci´on buscada es: y = x3 + 2. Nota 7.1 La ecuaci´on (∗) del ejemplo introductorio recibe el nombre de ecuaci´ on diferencial, la familia encontrada en (2) recibe el nombre de soluci´on general de (∗) y la funci´on encontrada en (3), soluci´on particular de (∗). A continuaci´on se formalizan y ejemplifican estos conceptos

7.3

Definici´ on de Ecuaci´ on Diferencial Una ecuaci´on que contiene una funci´on y al menos una de sus derivadas, o s´olo derivadas, se llama Ecuaci´ on Diferencial.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales son: dy = x(3 − x) dx

y0 =

2x2 3y 3

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dP = k P (10 − P ) dt 54

y 00 − 2y 0 + 5y = 0

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Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Nota 7.2 Una funci´on y = y(x) es una soluci´on de una ecuaci´on diferencial, si la funci´on satisface la ecuaci´on. Ejemplo 7.1 Comprobar que y = ex − x es una soluci´ on de

dy dx

− y = x − 1.

Soluci´ on:

dy = ex − 1 dx dy − y = (ex − 1) − (ex − x) = x − 1 Sustituir y y y 0 : dx Luego, y = ex − x es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial dada.

y = ex − x =⇒

Ejercicio 7.1 Decidir si cada funci´ on dada, es una soluci´ on de y 00 − 2y 0 + 5y = 0. a) y = ex cos 2x

b) y = 7 ex cos 2x + 3

c) y = 3ex cos 2x − ex sin 2x

Nota 7.3 Resolver una ecuaci´on diferencial consiste en determinar todas las funciones que satisfacen la ecuaci´on, llamada soluci´ on general de la ecuaci´on. Nota 7.4 En esta sesi´on se trabajar´a con ecuaciones diferenciales (ED) de los tipos: dy a) ED de la forma: dx = g(x). Esta ecuaci´on es equivalentes a dy = g(x) dx. Integrando ambos lados, se R obtiene la soluci´on general que se escribe: y = y(x) = g(x) dx + C. n

d y b) ED de la forma: dx n = g(x). Para resolver estas ecuaciones se requiere integrar n veces de manera sucesiva, obteniendo n constantes de integraci´on, en la soluci´on general. dy = g(x) · h(y). c) ED de la forma: dx Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales separables. Para re1 solverlas se expresan en la forma: h(y) dy = g(x) dx, y luego se aplica inteR 1 R graci´on a ambos lados: dy = g(x) dx. h(y)

Nota 7.5 Los tipos de problemas que ser´an trabajados son: hallar la soluci´on general de una ED, resolver problemas con condiciones iniciales y resolver problemas aplicados que se modelan con ED.

7.4

Resolviendo ecuaciones diferenciales

Ejemplo 7.2 Resolver la ecuaci´ on diferencial y 0 = x(3 − x). Z 0 2 Soluci´ on: y = 3x − x =⇒ y = (3x − x2 ) dx y =

3x2 x3 − +C 2 3

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← soluci´on general 55

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Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo 7.3 Resolver la ecuaci´on diferencial y 00 = 6 cos 2x. Soluci´ on:

y 00 = 6 cos 2x y 0 = 3 sin 2x + C1 y = − 23 cos 2x + C1 x + C2

← soluci´on general

Ejemplo 7.4 Resolver la ecuaci´on diferencial (x2 + 4) Soluci´ on:

dy dy x (x2 + 4) = xy =⇒ = 2 dx y x +4 Z dx Z dy x 1 = dx =⇒ ln |y| = ln(x2 + 4) + C 2 y x +4 2 √ √ 2 C 2 |y| = eln x +4 eC =⇒ y = ±e |{z} x + 4 y =K

√

K

x2 + 4

Ejemplo 7.5 Resolver la ecuaci´on diferencial Soluci´ on:

dy = x y. dx

dP dt

← soluci´on general dP = 3P (10 − P ). dt

= 3P (10 − P )

dP = 3 dt P (10 − P ) Z Z dP 1 P dP = 3 dt =⇒ ln = 3t + C P (10 − P ) 10 10 − P P P 10C 30t 10C 30t 10 − P = e e =⇒ 10 − P = ±e e P = K e30t 10 − P P = Ejercicio 7.2 Resolver cada ED

7.4.1

10K e30t 1 + K e30t

← soluci´on general

(a) y 0 = (x + 4) ln x

(b)

dy xy + 2y = √ dx 2 x+1

Problemas con condiciones iniciales

En muchas aplicaciones de integraci´on, se da suficiente informaci´on para determinar una soluci´ on particular. Para determinarla se requiere conocer una o m´as condiciones iniciales. Estos problemas se denominan problemas con condiciones iniciales. Un tipo de problema muy usual es: hallar la soluci´on particular y = y(x) de una ecuaci´on diferencial tal que y(x0 ) = x0 . Esta condici´on equivale a determinar la curva que satisface la ecuaci´on diferencial y que pasa por el punto (x0 , y0 ). Instituto de Matem´ atica y F´ısica

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Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo 7.6 Hallar la funci´ on y = y(x) tal que y 0 = x(3 − x), donde y(6) = 1. Soluci´ on: • Soluci´on general de la ecuaci´on y 0 = x(3 − x): • Valores iniciales:

x=6 y=1

 =⇒ 1 =

y=

3x2 x3 − +C 2 3

3 · 36 63 − + C =⇒ C = 19 2 3

• Luego, la soluci´on particular pedida es:

y=

3x2 x3 − + 19. 2 3

Ejemplo 7.7 Hallar la soluci´ on particular de y 0 = 2y tal que y(ln 3) = 5. Soluci´ on: • Soluci´on general de la ecuaci´on y 0 = 2y: y 0 = 2y =⇒

• Valores iniciales:

x = ln 3 y=5



dy = 2dx =⇒ y = K e2x y

=⇒ 5 = K e2 ln 3 =⇒ 5 = K · 9 =⇒ K =

• Luego, la soluci´on particular pedida es: y =

5 9

5 2x e . 9

Ejemplo 7.8 Hallar la soluci´ on particular de la ecuaci´ on diferencial y 00 = 4x + 3 0 para la cual y = 2 e y = −3 cuando x = 1. Soluci´ on: • y 00 = 4x + 3 =⇒ y 0 = 2x2 + 3x + C1 =⇒ y = 32 x3 + 32 x2 + C1 x + C2 • Valores iniciales:  y 0 = 2x2 + 3x + C1 =⇒ −3 = 2(12 ) + 3(1) + C1 =⇒ C1 = −8 y 0 = −3, cuando x = 1 Luego: y = 23 x3 + 32 x2 − 8x + C2  y = 23 x3 + 32 x2 − 8x + C2 =⇒ 2 = 23 (13 ) + 32 (12 ) − 8(1) + C2 =⇒ C2 = y = 2, cuando x = 1

47 6

• Luego, la soluci´on particular pedida es: 2 3 47 y = x3 + x2 − 8x + 3 2 6 Instituto de Matem´ atica y F´ısica

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Sesi´ on 7

7.5

Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Algunas aplicaciones

Conceptos marginales dC es la raz´on de cambio del costo total C con dq respecto a la cantidad q. Se interpreta como el costo aproximado de una unidad adicional producida. dR 2) El ingreso marginal R0 (q) = es la raz´on de cambio del ingreso total dq recibido con respecto a la cantidad q. 1) El costo marginal C 0 (q) =

Movimiento rectil´ıneo La ecuaci´on s = s(t), donde s es la distancia en el instante t de un cuerpo respecto de un punto fijo en su trayectoria en l´ınea recta, define completamente el movimiento del cuerpo. Su velocidad v y su aceleraci´on a en el instante t vienen dadas por las ecuaciones diferenciales: v=

ds = s0 (t) dt

a = a(t) =

dv dv ds dv = =v = s00 (t) dt ds dt ds

Modelos de crecimiento/decrecimiento 1) Modelo de crecimiento exponencial Sea P = P (t) el n´ umero de individuos de una determinada poblaci´on en el tiempo t. Si esta poblaci´on crece a una tasa que es proporcional al tama˜ no de dicha poblaci´on, entonces la ED que modela esta situaci´on es: dP = kP dt 2) Modelo de crecimiento log´ıstico Sea P = P (t) el n´ umero de individuos de una determinada poblaci´on en el tiempo t. Si esta poblaci´on crece a una tasa que es proporcional al producto del tama˜ no de dicha poblaci´on con la diferencia entre el tama˜ no m´aximo M de individuos posible de la poblaci´on y el tama˜ no de dicha poblaci´on, entonces la ED que modela esta situaci´on es: dP = kP (M − P ) dt Ley de enfriamiento de Newton. Este modelo permite conocer como evoluciona la temperatura de un objeto. Principio: “La raz´on de cambio de la temperatura T = T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura A del medio ambiente” Instituto de Matem´ atica y F´ısica

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Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Luego, si T = T (t) representa la temperatura de un cuerpo en el instante t, entonces la ED que modela esta situaci´on es: dT = k(T − A) dt

7.6

Problemas de aplicaci´ on

Conceptos marginales. √ 0.4q q+100 √ Un fabricante estima que la funci´on de utilidad marginal es U 0 (q) = q pesos, cuando el nivel de producci´on es de q unidades. Si la utilidad del fabricante es $520 cuando el nivel de producci´on es de 25 unidades. Hallar la funci´on de utilidad U (q), y la utilidad del fabricante cuando el nivel de producci´on es de 100 unidades. 2 √ Soluci´ on: ED: q5 + 200 q − 605; Respuesta: $ 3395 Movimiento rectil´ıneo. Se echa a rodar una pelota sobre un c´esped horizontal con velocidad inicial de 25 pies/seg. Debido al roce, su velocidad decrece a raz´on de 6 pies/seg2 . Determinar la distancia que recorrer´a la pelota hasta detenerse. dv = −6 =⇒ v = −6t + C. Cuando t = 0, v = 25, se obtiene Soluci´ on: dt C = 25, luego v = −6t + 25. Por lo tanto, s = −3t2 + 25t + C2 . Cuando t = 0, s = 0, se obtiene C2 = 0, luego s = −3t2 + 25t. Cuando se detiene: v = 0, luego la pelota se detiene t = sido lanzada. Respuesta: En este tiempo, la pelota recorre s =

625 12

25 6

seg despu´es de haber

≈ 52.08m.

Crecimiento de poblaciones Sup´onga que una poblaci´on experimental de moscas de la fruta aumenta de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Si hay 100 moscas tras el segundo d´ıa de experimento y 300 despu´es del cuarto d´ıa, ¿cu´antas hab´ıan en la poblaci´on original? dP Soluci´ on: a) ED: = kP b) Soluci´on: P = P (t) = 33e0.543t dt c) Respuesta: Aproximadamente, 33 moscas. Ley de enfriamiento de Newton Sup´ongase que una habitaci´on se mantiene a una temperatura constante de 70◦ y que un objeto se enfr´ıa de 350◦ a 150◦ en 45 minutos. ¿Qu´e tiempo se necesita para enfriar dicho objeto a una temperatura de 80◦ ? Instituto de Matem´ atica y F´ısica

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Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales

Respuesta: 1 hora 59 minutos 42 segundos.

7.7

Autoevaluaci´ on

1) Hallar la soluci´on particular de la ED, que cumple las condiciones iniciales dadas: x2 ; Condici´on: f (0) = 0. x3 + 1 √ b) ED: y 0 = cos x; Condici´on: f (0) = 3. a) ED: f 0 (x) =

c) ED: sin2 2x dx + cos3 3y dy = 0, Condici´on: y(π/2) = π/3. d) ED: f 0 (x) =

ex

e) ED: y 0 = ex−y ;

y ; +1

Condici´on: su gr´afica pasa por el punto (0, 3).

Condici´on:

y(1) = 0.

x 2) En todo punto de una cierta curva se tiene que: y 00 = x−1 . Hallar la ecuaci´on de la curva, sabiendo que pasa por el punto (2, 3) y que la recta tangente a la curva en este punto es paralela a la recta 3x − y = 12.

3) En el a˜ no 1970 la poblaci´on de una ciudad era de 2500 y en 1980 de 3350. Suponiendo que la poblaci´on crece a un ritmo constante proporcional a la poblaci´on existente en cada momento, estimar la poblaci´on para el a˜ no 2000. Respuestas: 1a) y = 1c)

x 2

−

1e) y =

7.8

1 6

2

ln x(x−1) 2 +x+1 +

sin(4x) 8 6 ex ex +1

+

√

√

3 3

arctan

cos(3y) sin(6y) 18

+

3(2x+1) 3

2 sin(3y) 9

=

√

−

3π 18

π 4

2) y = (x − 1) ln(x − 1) +

1b) y = 2 cos

√

√ √ x + 2 x sin x + 1

1d) y = x − ln(ex + 1) + 2 ln 2 x2 2

+1

3) 6015 habitantes.

Desaf´ıo

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 146o C. Tres minutos despu´es su temperatura es de 92o C. Si la rapidez con que la temperatura T = T (t) cambia es proporcional la diferencia entre la temperatura del pastel y la temperatura constante T0 = 22o C del medio que lo rodea. ¿Cu´anto habr´a que esperar para empezar a com´erselo, si se estima que una temperatura adecuada para serv´ırselo es de 36o C?

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