INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DE MASAS Índice 1. Introducción

3

2. Modelos de masas 2.1. Modelos de masas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Modelos de masas distribuidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3

3. Centro de masas 3.1. Momento estático o de primero orden . . 3.2. Centro de masas . . . . . . . . . . . . . 3.3. Técnicas de cálculo de centros de masas 3.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 4 5 5 5

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5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9

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9 9 9 10 10 10 12 12

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4. Tensor de inercia 4.1. Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Radio de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ejemplos sencillos de sólidos homogéneos . . . . . . . . . . . . 4.4. Producto de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Ejemplo de calculo de producto de inercia . . . . . . . . . . . 4.6. Relaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Deducción de la relaciones fundamentales . . . . . . . . 4.7. Algoritmos de cálculo basados en las relaciones fundamentales 4.7.1. Uso de Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Uso de Completado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3. Uno de deformación continua . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Introducción a los tensores afines cartesianos . . . . . . . . . . 4.9. Tensor de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Tensor planar de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Aplicaciones de los tensores de inercia 5.1. Momento de inercia respecto a una recta . . . . . . . . . . . 5.2. Momento de inercia respecto a un plano . . . . . . . . . . . 5.3. Producto de inercia respecto a una pareja de planos . . . . . 5.4. Teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Direcciones y planos principales de inercia . . . . . . . . . . 5.6. Propiedades de ejes y planos centrales principales de inercia 5.7. Elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A. Introducción a los tensores cartesianos o afines 13 A.1. Caracterización y Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A.2. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Tensor cartesiano o afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Tensores afines útiles en Mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.1. Tensor de rango 0: escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.2. Tensor de rango 1: vector afín . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.3. Tensor de rango 2: tensor afín ordinario (matriz cuadrada) A.5. Algebra de tensores cartesianos: relación con el algebra matricial . A.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Diagonalización de matrices reales y simétricas B.1. Diagonalización de matrices . . . . . . . . . . . B.2. Interpretación de las matrices involucradas . . . B.3. Diagonalización por semejanza ortogonal . . . . B.4. Diagonalización de tensores simétricos de E3 . .

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13 13 14 14 14 14 15 15

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16 16 16 16 16

1.

Introducción

La geometría de masas es la parte de la Mecánica que estudia la distribución espacial de la masa en los sistemas materiales. El espacio que consideramos es el vectorial euclídeo tridimensional R3 , junto con su espacio afín asociado E3 . La masa es la magnitud física empleada para expresar la cantidad de materia de un sistema material. Parece plausible que se considere una magnitud escalar no negativa. En la geometría de masas, por lo tanto, solo intervienen dos magnitudes fundamentales: masa y longitud. La geometría de masas tiene como objeto la definición y el cálculo de los atributos o características másicas de un sistema. Nos interesan fundamentalmente el centro de masas del sistema material y el tensor de inercia de un sistema material en un punto del espacio. Más adelante quedará justificada esta elección.

2.

Modelos de masas

La validez de los modelos matemáticos introducidos en geometría de masas (como la de cualquier modelización matemática de la naturaleza) se justificará porque los resultados que proporcionen sean suficientemente aproximados y los hagan útiles. Sea un sistema de referencia (sólido S1 ) con origen en O1 .

2.1.

Modelos de masas puntuales

Este modelo consiste en asignar cantidades finitas de masa a ciertos puntos geométricos aislados del espacio E3 , que denominaremos puntos materiales. Vamos a considerar un sistema material genérico S de z1 N masas puntuales mi (i = 1, ..., N) situadas en los puntos S (i = 1, . . . , N) M i de E3 definidos a través de sus respectivos vectores de i i posición r¯ = O1 M respecto a S1 . La masa total de dicho sistema será: M=

N X

i

m

M i (mi ) (1)

i

r¯

i=1

O1

y1

Hay que hacer notar que estamos asignando masa a entes que no tienen volumen, lo cual es, cuando menos, chocante con la idea intuitiva de que la materia ocupa. x1

2.2.

Modelos de masas distribuidas

La masa de un sistema material se distribuye por determinadas regiones perfectamente definidas del espacio E3 constituidas por puntos no aislados, que serán variedades unidimensionales (curvas) bidimensionales (superficies) y tridimensionales (volúmenes) y que se denominan habitualmente distribuciones lineales, superficiales y volumétricas de masas, respectivamente. Estas distribuciones de masa se caracterizan por unas funciones escalares acotadas que asignan a cada punto de E3 la masa por unidad de longitud, superficie y volumen, denominadas respectivamente

densidad lineal, superficial y volumétrica. dm λ(¯ r) = (2) ds dm σ(¯ r) = (3) dS dm ρ(¯ r) = (4) dV En las regiones donde hay masa estas funciones toman valores positivos y finitos. En las regiones donde no hay masa estas funciones toman valores nulos. En la frontera aparece una discontinuidad de salto. Consideremos un sistema material genérico S de masas zG distribuidas definido por su función densidad correspondiente. La masa total del sistema será: z1 S Z M=

(5)

dm

M (dm)

S

R La simbología S dm debe entenderse como una forma compacta de escribir: ZZ ZZZ Z λds ó σdS ó ρdV Σ

C

r¯ O1

xG

yG

G y1

Ω

lo que corresponda en cada caso, donde C, Σ y Ω son respectivamente la curva, superficie o volumen por donde se x1 distribuye la masa. Para las distribuciones lineales y superficiales de masa volvemos a tener el problema de la masa asignada a elementos geométricos sin volumen. No es el caso de las distribuciones volumétricas. Se denomina distribución homogénea de masa a aquella donde la función densidad es uniforme (constante) en la región de interés.

3.

Centro de masas Sean un sistema material genérico S y un sistema de referencia S1 .

3.1.

Momento estático o de primero orden

Se define momento estático o de primer orden respecto a un punto O1 del sistema material como: Z N X i i ¯ ¯ MO1 = m r¯ ↔ MO1 = r¯dm (6) i=1

S

¯ O1 ] = ML). Esta expresión Es una magnitud vectorial con dimensiones de masa por longitud ([M goza de la propiedad de aditividad de las integrales respecto a la región de integración, así como de la linealidad respecto al integrando vectorial involucrado. Es obvio que cambiando de punto, cambiamos de momento estático. La relación entre los momentos estáticos de primer orden respecto a dos puntos diferentes, se deduce fácilmente: X X X ¯A = ¯B = ¯A M mi AM i M mi BM i = mi (BA + AM i ) = MBA + M ¯B = M ¯ A + MBA M

(7)

3.2.

Centro de masas

Se define centro de masas G de un sistema material como el punto de E3 donde habría que concentrar toda la masa del sistema para obtener el mismo momento estático respecto a O1 que el del sistema material. Para que esta definición sea consistente, el centro de masas debe ser invariante frente a cambios del punto de E3 respecto al que se toman momentos estáticos, lo cual se demuestra fácilmente. Además, esta definición es equivalente a otras alternativas: G es el punto del espacio donde el momento estático es nulo. Si llamamos G a dicho punto, se tendrá: Z Z N N X X i G G i i m r¯ = ( m ) r¯ = M r¯ ↔ r¯dm = ( dm)¯ r G = M r¯G i=1

G

S

i=1

r¯ =

N X

i i

m r¯

i=1 N X

= mi

N X

mi r¯i

i=1

M

↔

i=1

3.3.

G

S

Z

r¯dm

r¯ = RS

S

dm

=

Z

r¯dm S

M

(8)

Técnicas de cálculo de centros de masas

El primer problema típico de la geometría de masas es el cálculo de la posición del centro de masas de un sistema material. Las herramientas pueden ser: 1. Directas: Aplicación de las técnicas del calculo integral a la definición. 2. Indirectas: Aplicación de teoremas simplificativos previamente demostrados. Basadas en propiedades generales: la aditividad de la integral respecto a la masa y la linealidad respecto al integrando vectorial. Basadas en propiedades particulares: homogeneidad, simetría completa (geométrica y másica), completado, deformación continua, etc. Teoremas de Pappus-Guldin. etc.

3.4.

Ejemplos

Se dejan para más adelante, por sencillos, y se realizarán conjuntamente con otros cálculos de atributos másicos.

4. 4.1.

Tensor de inercia Momento de inercia

Se define el momento de inercia de un sistema material S respecto a un punto, una recta o un plano como: Z N X i i 2 m (r ) ↔ IX = r 2 dm IX = i=1

S

donde X indica el objeto geométrico respecto al que se define y r i , r representan la distancia entre partícula y objeto o entre punto y objeto. Por lo tanto, es una magnitud escalar no negativa con dimensiones de masa por longitud al cuadrado ([I] = ML2 ). La expresión que la define solo es lineal respecto a la masa.

4.2.

Radio de giro

Se denomina radio de giro k a la distancia respecto al objeto a la que habría que concentrar toda la masa para conseguir el mismo momento de inercia de la distribución original. Se tiene: N X

i

i 2

m (r ) = (

i=1

N X

2

i

m )k = Mk

2

i=1

↔

v v u N uX N uX u u i i 2 u m (r ) mi (r i )2 u u t i=1 u k = u i=1 N = u X M t mi

Z

r dm = (

S

↔

i=1

4.3.

2

Z

dm)k 2 = Mk 2

S

vZ vZ u u u 2 2 u r dm u t r dm u S S k=u Z = t M dm

(9)

S

Ejemplos sencillos de sólidos homogéneos Varilla (masa m, longitud a) respecto a su centro, eje y plano perpendiculares a su centro V IOV = IyV = Iyz =

1 ma2 12

Placa rectangular (masa m, lados a, b) respecto a un eje de simetría y a un plano perpendicular que contiene al eje de simetría PR = IyP R = Iyz

1 ma2 12

Paralelepípedo recto rectángulo (masa m, lados a, b, c) respecto a un plano de simetría P RR Iyz =

1 ma2 12

Aro (masa m, radio R) y disco (masa m, radio R) respecto a sus centros y ejes de revolución IOA = IzA = mR2

1 IOD = IzD = mR2 2

Cáscara esférica (masa m, radio R) y esfera (masa m, radio R) respecto a sus centros: IOCE = mR2

3 IOE = mR2 5

4.4.

Producto de inercia

Se define el producto de inercia de un sistema material S respecto a dos planos Π1 y Π2 de E3 , perpendiculares respectivamente a los versores ~e1 y ~e2 , como: Z N X i i i PΠ 1 Π 2 = m x1 x2 ↔ PΠ1 Π2 = x1 x2 dm i=1

S

donde xij = Pj M i · ~ej es la coordenada cartesiana de la partícula M i definida en un eje con origen en un punto Pj de Πj , perpendicular al plano Πj y orientado positivamente en sentido de ~ej . Asimismo, xj es la misma coordenada cartesiana de un punto genérico de una distribución continua de masa. Para simplificar, suele ser habitual trabajar en un sistema de referencia con origen en un punto de la intersección de ambos planos (P1 ≡ P2 ≡ O ∈ Π1 ∩ Π2 ), con lo que la definición de coordenadas es más sencilla:

Mi

Πj Pj

~ej

M ′i

xj

xij

xij = r¯i · ~ej (j = 1, 2) xj = r¯ · ~ej (j = 1, 2) La magnitud escalar definida tiene las mismas dimensiones que el momento de inercia, pero en este caso puede tomar cualquier valor real. Es obvio que cambiando de sentido al versor de un plano cambiamos al producto de inercia de signo. Cuando los planos son perpendiculares (~e1 · ~e2 = 0), si uno de los planos que intervienen es de simetría (completa), entonces el producto de inercia es nulo. El recíproco no tiene por qué ser cierto.

4.5.

Ejemplo de calculo de producto de inercia

Placa rectangular homogénea (masa m, lados a, b) respecto a dos planos ortogonales entre sí y perpendiculares a la misma por dos de sus lados adyacentes: 1 Pxy = mab 4

4.6.

Relaciones fundamentales

Sea el sistema de referencia cartesiano Ox1 x2 x3 . Supongamos que xi , xj , xk (i 6= j 6= k 6= i) son las tres coordenadas cartesianas de un punto del espacio respecto al citado sistema de referencia en orden arbitrario. 4.6.1.

Notación

IO Momento de inercia respecto al origen Ix i Momento de inercia respecto al eje cartesiano Oxi Ixi xj Momento de inercia respecto al plano cartesiano Oxi xj Pxi xj Producto de inercia respecto a los planos cartesianos Oxi xk y Oxj xk Se tiene que: Z Z Z Z 2 2 2 2 2 2 IO = (xi + xj + xk )dm Ixi = (xj + xk )dm Ix i x j = xk dm Px i x j = xi xj dm S

S

S

S

4.6.2.

Deducción de la relaciones fundamentales

1. El momento de inercia respecto a un eje es la suma de los momentos de inercia respecto a dos planos perpendiculares que lo contienen. Z Z Z 2 2 2 Ixi = (xj + xk )dm = xj dm + x2k dm = Ixi xk + Ixi xj S

S

S

Regla: Se repite el índice del eje. 2. El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos de inercia respecto a tres planos perpendiculares dos a dos que lo contienen. Z Z Z Z 2 2 2 2 2 IO = (xi + xj + xk )dm = xi dm + xj dm + x2k dm = Ixj xk + Ixi xk + Ixi xj S

S

S

S

3. El momento de inercia respecto a un punto es la semisuma de los momentos de inercia respecto a tres ejes perpendiculares dos a dos que lo contienen. Z Z Z Z 1 1 2 2 2 2 2 2 2 IO = (xi +xj +xk )dm = ( (xj +xk )dm+ (xi +xk )dm+ (x2i +x2j )dm) = (Ixi +Ixj +Ixk ) 2 S 2 S S S

4.7.

Algoritmos de cálculo basados en las relaciones fundamentales

4.7.1.

Uso de Simetrías RF 3

Figuras planas (z=0): Iz = IO → Iz = Ix + Iy (Resultado teórico) Ejemplo: Disco (masa m, radio R) IO = 12 mR2 , Iz = IO , Ix = Iy = 12 Iz = 14 mR2 Figuras especiales Ejemplo: Esfera (masa m, radio R) ( RF 3 3 → Ix = 23 IO = 52 mR2 IO = mR2 RF 2 5 → Ixy = 1 IO = 1 mR2 3

4.7.2.

5

Uso de Completado

Condiciones: Homogeneidad de las distribuciones inicial y final Atributos conocidos de la distribución completa Ejemplo: Semidisco (masa m, radio R) IOD = 21 mR2 , IOS = 12 (IOD ) = 12 ( 12 (2m)R2 ) = 12 mR2 4.7.3.

Uno de deformación continua

Condiciones: Homogeneidad inicial y final Figura final conocida varilla (masa m, longitud a)

Ejemplo: Placa plana (masa m, lados a y b) IyP P = Iy

=

1 ma2 12

4.8.

Introducción a los tensores afines cartesianos

Ver apéndice A.

4.9.

Tensor de inercia

Se define el tensor de inercia en el punto O y se denota por ¯IO , al tensor de rango dos definido por: Z n o ¯I = ¯ − [OM OM] dm (10) |OM|2 U O S

4.10.

Tensor planar de inercia

¯ , al tensor de rango dos Se define el tensor planar de inercia en el punto O y se denota por P O definido por: Z ¯ PO = [OM OM]dm (11) S

La relación entre el tensor planar de inercia y el tensor de inercia es la siguiente Z n Z Z o 2¯ 2 ¯I = ¯ ¯ −P ¯ |OM| U − [OM OM] dm = ( |OM| dm)U − [OM OM]dm = IO U O O S

S

S

Con lo que queda claro que no son independientes, máxime cuando IO = 21 Tr(¯IO ).

5. 5.1.

Aplicaciones de los tensores de inercia Momento de inercia respecto a una recta

IO;k~u =

Z

d2 dm =

S

=

Z

S

d

Z

{r 2 − (¯ r · ~u)2 }dm = {z } | S

¯ . ~u − ~u . [¯ {r 2~u . U r r¯] . ~u}dm = ~u . (

r¯ Z

S

O ¯ − [¯ {r 2 U r r¯]}dm) . ~u

IO;⊥~u =

d2 dm = S

= ~u . (

Z

Z

(¯ r · ~u)2 dm = {z } | S (26)

[¯ r r¯]dm) . ~u

Z

S

y

x

(12) z

Momento de inercia respecto a un plano Z

M

~u

(26)

IO;k~u = ~u . ¯IO . ~u

5.2.

z

M

~u r¯ {~u . [¯ r r¯] . ~u}dm =

O

d

y

x

S

¯ . ~u IO;⊥~u = ~u . P O

(13)

5.3.

Producto de inercia respecto a una pareja de planos Z

PO;~u1 ,~u2 =

d1 d2 dm =

S

Z

S

(¯ r · ~u1 )(¯ r · ~u2 ) dm = | {z } (26)

Z

S

{~u1 . [¯ r r¯] . ~u2}dm = ~u1 . (

Z

[¯ r r¯]dm) . ~u1

S

¯ . ~u PO;~u1 ,~u2 = ~u1 . P O 2

5.4.

(14)

Teorema de Steiner OM = OG + GM Z n o 2¯ ¯I = |OM| U − [OM OM] dm = O ZS n o ¯ − [(OG + GM) (OG + GM )] dm = = (OG + GM ) · (OG + GM )U S


 + dm + |GM | dm + 2OG · GMdm   S S | S{z } Z ZM Z Z    dm) OG] − [OG OG] dm − [GM GM ]dm − [OG ( GM dm)] − [( GM     S S S | S{z }

¯ |OG|2 =U

Z

Z

2

Z

M

¯I = ¯I + M(|OG|2 U ¯ − [OG OG]) O G

El teorema de Steiner es la expresión del campo tensorial de inercia del sistema material. ¯ − [OG OG]} (+) ¯IO = ¯IG + M{|OG|2 U ¯ − [AG AG]} (−) ¯IA = ¯IG + M{|AG|2 U

¯ − [OG OG] − [AG AG] } (=) ¯IO = ¯IA + M{ |OG|2 − |AG|2 U

5.5.

Direcciones y planos principales de inercia

Se llama vector de inercia en O asociado a una dirección (definida por su versor director ~u) a: I¯~u = ¯IO . ~u

(15)

La proyección del vector de inercia sobre su dirección asociada es el momento de inercia: I¯~u · ~u = ~u . ¯IO . ~u = IO;k~u Se definen como direcciones principales de inercia en O a las direcciones del espacio que contienen a su vector de inercia: ¯I . ~u k ~u O

(16)

Como el módulo del vector de inercia sera el momento de inercia, se tiene: ¯I . ~u = I ~u = I U ¯ . ~u O

⇒ donde

([IO ] − I[U]){u} = [A(I)]{u} = {0}

(17)

⌊u⌋{u} = 1

(18)

Con lo que obtenemos un problema espectral clásico donde son incógnitas tanto la dirección ~u como su momento asociado I. Para que el sistema algebraico lineal y homogéneo (17) tenga solución distinta de la trivial (Rango[A(I)] < 3), se debe satisfacer la ecuación característica: det([A(I)] = det([IO ] − I[U]) = 0 (19) El espectro es el conjunto de raíces de la ecuación (19) (autovalores de la matriz). El polinomio característico de una matriz M3 (R) es cúbico y con coeficientes reales: P (I) = det([IO ] − I[U]) = (−1)3 I 3 + T r[IO ]I 2 − T r[IO ]∗ I + det[IO ], donde:

T r[IO ] =

3 X

Ii ,

[IO ]∗ : matriz de cofactores o adjunta de [IO ]

i=1

Por el teorema fundamental del álgebra, el espectro tiene que tener tres autovalores complejos I1 , I2 , I3 , que son solución de la ecuación (19), por lo que se satisface: 3 3 Y Y P (I) = (Ii − I) ⇒ |[IO ]| = Ii i=1

i=1

Como la matriz asociada a un tensor de inercia es real y simétrica ([IO ] ∈ S3 ) tiene autovalores reales no negativos. Esto es así porque la forma cuadrática asociada es semidefinida positiva, ya que proporciona momentos de inercia respecto a ejes y estos son no negativos: ∀~ui , ~ui . ¯IO . ~ui = Ii ≥ 0 ⇒ [A(Ii )] = ([IO ] − Ii [U]) ∈ S3 (R) ri = Rango([A(Ii )]) Además se demuestra que la multiplicidad algebraica de cada raíz y la geométrica (dimensión de su autoespacio asociado) coinciden. Para calcular los autoespacios asociados a los autovalores se procede de la siguiente forma en función del tipo de raíz de la ecuación característica:

1. Raíz simple Ii : ri = 2 y su dirección asociada se obtiene resolviendo el sistema compatible y determinado que resulta de eliminar una de las tres ecuaciones de (17) y añadir la ecuación algebraica cuadrática (18). 2. Raíz doble Ii : ri = 1 y habría que resolver el sistema compatible indeterminado que resulta de eliminar dos de las tres ecuaciones de (17) y añadir la ecuación algebraica cuadrática (18) para sacar dos vectores ortonormales. 3. Raíz triple Ii : ri = 0 y cualquier dirección del espacio pertenece al autoespacio asociado. Hay que buscar tres versores ortogonales dos a dos. Se demuestra que a autovalores distintos corresponden autovectores ortogonales. Sean, Ii e Ij autovalores correspondientes a los autovectores ~ui y ~uj , respectivamente. Se tiene que: uj . ~ ¯I . ~u = I ~u → ~uj . ¯IO . ~ui = Ii ~ui · ~uj O i i i ~ ui . ¯I . ~u = I ~u → ~u . ¯I . ~u = I ~u · ~u O

Si Ii 6= Ij Si ~ui 6⊥ ~uj

j

j

j

i

O

j

j

i

j

Por simetría 0 = (Ii − Ij ) ~ui · ~uj ⇒ ~ui · ~uj = 0 q.e.d. ⇒ Ii = Ij plano de DPI

Se llaman planos principales de inercia en O a los planos perpendiculares a los ejes principales de inercia en el punto O. El producto de inercia respecto a cualquier pareja de planos principales de inercia ortogonales es nulo. Demostración. Sean Πi y Πj PPI perpendiculares a los DPI definidas por ~ui y ~uj respectivamente. Se tiene que: ⊥~ uj ) ¯ − ¯I ) . ~u = I ~u · ~u − ~u . ¯I . ~u = (I − I ) ~u · ~u (~ui= ¯ . ~u = ~u . (I U Pij = ~ui . P 0 O j O i j i O j O j i O O j i j | {z } Ij u ~j

La dirección común a dos planos principales de inercia siempre es dirección principal de inercia.

5.6.

Propiedades de ejes y planos centrales principales de inercia Si un eje central es dirección principal de inercia en su centro de masas lo es G en todos sus puntos, y si no, no lo es en ninguno. Demostración:

z

¯ − [OG OG]} ¯I = ¯I + M{|OG|2 U O G

~u

O

OG = h~u

h y

x

2(((2(( ¯I . ~u = ¯I . ~u + M{h2 ~u − h2 [~u ~u] . ~u} = ¯I . ~u + M{h u − h ~u} O G G ((( ~ Si ~u es DPI en G : ¯IG . ~u k ~u ⇒ ¯IO . ~u k ~u, ~u es DPI ∀O ∈ r(O, G) Si ~u no es DPI en G : ¯IG . ~u 6k ~u ⇒ ¯IO . ~u 6k ~u, ~u no es DPI ∀O ∈ r(O, G)

Si un plano central es plano principal de inercia en su centro de masas los es en todos sus puntos, y si no, no lo es en ninguno. Demostración:

z

¯I = ¯I + M{|OG|2 U ¯ − [OG OG]} O G

~n ~n

O

y

G

Elipsoide de inercia Definamos una aplicación que a cada recta del espacio que pasa por O le hace corresponder un par de puntos M y M ′ sobre la misma que están a una distancia de O igual a la inversa de la raíz cuadrada del momento asociado a la dirección de la recta. Se tiene que:

z M

O

x M′



Si ~n es DPI en G : ¯IG . ~n k ~n ⇒ ¯IO . ~n k ~n, ~n es DPI ∀O ∈ Π(O, ~n) Si ~n no es DPI en G : ¯IG . ~n 6k ~n ⇒ ¯IO . ~n 6k ~n, ~n no es DPI ∀O ∈ Π(O, ~n)

x

5.7.

OG ⊥ ~n, |OG| = h  ¯ ¯I . ~n = ¯I . ~n + M{h2~n − [OGOG] n} = IG . ~n + Mh2~n O G   .~

~u

√1 I

√1 I

y

1 Aplicación: |OM| = |OM ′ | = √ I Momento de inercia: I = ~u . ¯IO . ~u    x  ~ Vector de posición de M: OM = ⌊~ı ~ k⌋ y   z √ OM Versor de la dirección de OM : ~u = = I OM |OM|    x √ √ (22) I = ~u . ¯IO . ~u →  I =  I⌊ x y z ⌋[IO ] y  I   z

(20)

(21) (22)

La ecuación resultante es la de una cuádrica que tiene asociada una matriz real y simétrica (con autovalores no negativos) que, por lo tanto, es un elipsoide. Se la llama elipsoide de inercia.    x  ⌊ x y z ⌋[IO ] y =1   z

(23)

A. A.1.

Introducción a los tensores cartesianos o afines Caracterización y Utilidad

En la naturaleza aparecen con frecuencia entes cuyas propiedades son independientes de los sistemas de referencia que se emplean para describirlos. En Matemática hay un concepto que goza de esas propiedades: el tensor. Los modelos matemáticos de las leyes naturales formulados mediante ecuaciones tensoriales son invariantes frente a un conjunto de transformaciones de coordenadas concreto.

A.2.

Preliminares

Base ortonormal de un espacio n−dimensional: B ≡ {(~e1 , ~e2 , . . . , ~en ) : ~ei · ~ej = δij ; i, j = 1, . . . , n} ⌊~e⌋ = ⌊~e1 ~e2 . . . ~en ⌋ : {~e}⌊~e⌋ = [I] notación pseudo-matricial: concepto de vectriz Convenio de Einstein de los índice mudos: cuando en un monomio se repite un índice, se considera que estamos sumando para todo el rango de validez del mismo. v¯ = vi~ei = ⌊~e⌋{v} Transformaciones ortogonales: Se llama transformación ortogonal a un endomorfismo en un espacio n−dimensional cuya matriz asociada es ortogonal.  versores ~e ′j = aij ~ei : aik akj = δij (i, j = 1, . . . , n) Notación tensorial componentes v ′j = aij vi  versores ⌊~e ′ ⌋ = ⌊~e⌋[A] : [A][A]T = [I] Notación pseudomatricial componentes {v ′ } = [A]T {v} Cambio de sistema de referencia cartesiano: ′

x′j = aij (xi − (xi )O ) (i, j = 1, . . . , n) O′

{x′ } = [A]T ({x} − {x })

A.3.

Notación tensorial Notación pseudomatricial

Tensor cartesiano o afín

En Mecánica Racional normalmente se trabaja en el espacio euclídeo tridimensional y se utilizan referencias cartesianas ortonormales. En estas condiciones el concepto general de tensor queda restringido a un tipo más sencillo, que se denomina tensor cartesiano o afín. Definición de tensor afín de rango r en un espacio n−dimensional. Sea r ∈ Z+ (entero no negativo). Un conjunto de nr cantidades Th1 h2 ...hr constituyen las componentes de un tensor cartesiano de rango r en la base ⌊~e⌋ si mediante transformaciones ortogonales de coordenadas a una nueva base (⌊~e ′ ⌋ = ⌊~e⌋[A]; [A][A]T = [I]) se transforman de acuerdo a la siguiente ley lineal y homogénea:

Tj′1 j2 ...jr

| {z } ⌊~ e ′⌋

=

n X n hX

h1 =1 h2 =1

n i X ··· ah1 j1 ah2 j2 . . . ahr jr Th1 h2 ...hr | {z } hr =1

(j1 , . . . , jr = 1, . . . , n)

(24)

⌊~ e⌋

Regla: el primer subíndice de los elementos de las matrices de transformación ortogonal de la expresión (24) es el mudo.

A.4.

Tensores afines útiles en Mecánica

A.4.1.

Tensor de rango 0: escalar

Notación: φ Equivalencia: φ Escalar de un cuerpo (reales o complejos) Ejemplo: La temperatura de un punto.  ′     ′   x    x   xO   ′ y′ y Transformación de coordenadas: = [A]T − yO  ′     O′  z z z Transformación de escalares: φ(x, y, z) = φ′ (x′ , y ′, z ′ ) ⇒ φ′ = φ que satisface la definición (24) de tensor afín de rango 0. A.4.2.

Tensor de rango 1: vector afín

Notación v¯ Equivalencia: vi (i = 1, 2, 3) {v}3x1 Ejemplo: El vector de posición de un punto. Transformación de vectores: v¯ = vi~ei = ⌊~e⌋{v} v¯ = vj′ ~e ′j = ⌊~e ′ ⌋{v ′ }



⇒

{v ′} = [A]T {v}

o lo que es equivalente: vi′

3 i hX = aki vk k=1

que satisface la definición (24) de tensor afín de rango 1. A.4.3.

Tensor de rango 2: tensor afín ordinario (matriz cuadrada)

¯ Notación T Equivalencia: Tij (i, j = 1, 2, 3) Matriz cuadrada [T ]3x3 Ejemplo: Los tensores de esfuerzos y deformaciones en un punto de un sólido real (no rígido). ¯ = [σij ](3x3) σ

¯ǫ = [ǫij ](3x3)

Transformación de tensores: Forma bilineal asociada a un tensor cartesiano de rango 2. B

: V×V (¯ u, v¯)

→ R ¯ . v¯ (= u T v = ⌊u⌋[T ]{v}) 7→ B(¯ u, v¯) = u¯ . T i ij j

bilineal: ∀¯ u1 , u¯2 , v¯ ∈ V, ∀α, β ∈ R



B(α¯ u1 + β u¯2, v¯) = αB(¯ u1, v¯) + βB(¯ u2 , v¯) B(¯ v , α¯ u1 + β u¯2 ) = αB(¯ v, u¯1 ) + βB(¯ v, u¯2 )

Sea el cambio de base ortonormal definido por la matriz ortogonal [A], cuya expresión en notación pseudo-matricial vendrá dado por ⌊~e ′ ⌋ = ⌊~e⌋[A]

¯ (con matriz asociada [T ]) el tensor que queremos transformar mediante el anterior cambio y sea T de base. Si hacemos uso de su forma bilineal asociada se tendrá: CB

B = ⌊v⌋[T ]{u} = ⌊v ′ ⌋[T ′ ]{u′ } Como las trasformaciones de vectores vienen dadas por: {u′ } = [A]T {u}

{v ′ } = [A]T {v}

se tiene: B = ⌊v⌋[T ]{u} = ⌊v ′ ⌋ [A]T [T ][A]{u′ } → [T ′ ] = [A]T [T ][A] | {z } [T ′ ]

o lo que es equivalente: Tij′

3 X 3 i hX = aki alj Tkl k=1 l=1

que satisface la definición (24) de tensor afín de rango 2.

A.5.

Algebra de tensores cartesianos: relación con el algebra matricial

Tensores de la Mecánica Newtoniana: Nomenclatura

Símbolo

Rango cero ϕ Rango uno a¯ ¯ Rango dos T Productos tensoriales: Nombre Escalar (contraído) de dos TR1: Diádico de dos TR1:

Notaciones Tensorial Matricial ϕ ϕ ai ⌊a⌋ó{a} Tij [T ]

Contraídos de TR2 y TR1: Mixtos diádico-contraídos de tres TR1:

A.5.1.

Notación a¯ · ¯b = [¯a ¯b] = ¯ . ¯b = T ¯= ¯b . T [¯a ¯b] . c¯ = a ¯ . [¯b c¯] =

Campos físicos escalar de temperaturas vectorial de fuerzas tensorial de esfuerzos

Tensorial ai bi ai bj Tij bj Tij bi (bj cj )ai (aj bj )ci

Matricial ⌊a⌋{b} = ⌊b⌋{a} {a}⌊b⌋ = 6 {b}⌊a⌋ [T ]{b} ⌊b⌋[T ] (⌊b⌋{c}){a} (⌊a⌋{b}){c}

Propiedades

Propiedad 1: permutación del producto diádico-contraído [¯a ¯b] . c¯ = [¯a c¯] . ¯b = ¯b . [¯ ca ¯] = c¯ . [¯b a ¯] = (¯b · c¯)¯a

(25)

Propiedad 2: ¯ a ¯ . [¯b c¯] . d¯ = (¯a · ¯b)(¯ c · d)

(26)

B. B.1.

Diagonalización de matrices reales y simétricas Diagonalización de matrices

Se dice que una matriz cuadrada [M] ∈ Mn es diagonalizable por semejanza si: ∃[P ] (invertible) , [D] (diagonal) ∈ Mn | ∃[P ]−1 , (dij = 0, i 6= j) : [D] = [P ]−1 [M][P ].

B.2.

Interpretación de las matrices involucradas

La expresión anterior puede ponerse en la forma: [M][P ] = [P ][D] Si aislamos una columna genérica (j-ésima) de la expresión matricial anterior se obtendrá: [M]{Pj } = djj {Pj } que significa que la columna j-ésima de [P ] debe ser un autovector de [M] asociado al autovalor de [M] djj (elemento de la diagonal principal de [D] correspondiente). Para diagonalizar una matriz es necesario encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a autovalores reales.

B.3.

Diagonalización por semejanza ortogonal

Se dice que una matriz cuadrada [M] es diagonalizable por semejanza ortogonal si: ∃[A] ∈ On+ , ∃[D] ∈ Mn | dij = 0, si i 6= j : [D] = [A]T [M][A].

B.4.

Diagonalización de tensores simétricos de E3

En este caso se puede conseguir que las columnas de la matriz de paso sean una base ortonormal de E3 . Pasos a realizar: 1. Resolver el problema espectral S([I]) = {(Ij , v¯j ), j = 1, 2, 3} 2. Ortonormalizar los autovectores de cada autoespacio: {(~u1 , ~u2 , ~u3 ) : ~ui · ~uj = δij (i, j = 1, 2, 3)} 3. Colocar los autovalores y los autoversores adecuadamente en las matrices diagonal y de cambio [I ′ ] = [A]T [I][A]:  ′  I1 0 0 [I ′ ] =  0 I2′ 0  0 0 I3′ [A] = [ {u1 } {u2 } {u3 } ]