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INTRODUCCIÓN A PROPAGACIÓN DE ERRORES -

RENÉ

APUNTE PROVISORIO,

ZEPEDA

G. -

AGOSTO 2003

SUJETO A REVISIÓN Y CAMBIOS, NO REEMPLAZAN ANOTACIONES EN CLASES

REVISIÓN DE ÁLGEBRA MATRICIAL El álgebra matricial reduce complicados sistemas de ecuaciones a expresiones más sencillas y, hace más rápido los cálculos matemáticos en computador. DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ Matriz es un conjunto de números o símbolos arreglados de forma rectangular, por líneas y columnas. Como ejemplo, sea el siguiente sistema de ecuaciones: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a33 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 el sistema puede ser representado por:  b1   a11 a12 a13   x1       a  21 a 22 a 23  ⋅  x 2  = b 2  b 3  a 31 a 32 a 33   x 3  { 1 442443 { A

X

B

DIMENSIONES DE UNA MATRIZ

D ij mxn

d d =  11 12 d 31 d 32

m: No de líneas n: No de columnas

d13  3 2 6 =    d 33  5 4 1

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Matriz simétrica (cuadrada, m=n)  2 − 4 6 A 3 x3 = − 4 7 3  6 3 5

simétrica respecto a la diagonal principal

Matriz diagonal 2 0 0  A 3 x3 = 0 7 0 0 0 5

los elementos fuera de la diagonal principal son ceros

Matriz unitaria  1 0 0 A 3 x3 = 0 1 0 0 0 1

los elementos la diagonal principal son 1

Matriz traspuesta 3 2 6  A 2x3 =   5 4 1

3 5    A 3 x 2 = 2 4  6 1    T

se trasponen elementos de líneas por columnas

Igualdad. Dos matrices son iguales solo si son de misma dimensión y sus elementos correspondientes también lo son. Suma de matrices A2x3 + B2x3 = C2x3 5 8 7 3   1 8 2 − 5 +  − 4 − 2 =  − 2 − 7      

Multiplicación de matriz por escalar 3 − 1 12 − 4  4⋅ =    2 6   8 24 

Multiplicación de matrices No de columnas de A = No de líneas de B Amxn x Bnxp = Cmxp

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 a11 a12 a13  a21 a22 a23   2x3

b11 b12  x b21 b22 b31 b32 3x2

 (a11 ⋅ b11) + (a12 ⋅ b21) + (a13 ⋅ b31) (a11 ⋅ b12) + (a12 ⋅ b22) + (a13 ⋅ b32)  =   (a21 ⋅ b11) + (a22 ⋅ b21) + (a23 ⋅ b31) (a21 ⋅ b12) + (a22 ⋅ b22) + (a23 ⋅ b32) 2 x 2

Para grandes matrices se hace en forma computacional, por ejemplo: DO 100 I=1,M DO 100 K=1,P C(I,K)=0 DO 100 J=1,N 100 C(I,K) = C(I,K)+A(I,J)*B(J,K) SOLUCIÓN DE ECUACIONES En la solución de sistemas de ecuaciones es necesario definir y calcular la INVERSA de una matriz. Para un número real “x” existe uno inverso “x-1” que x.x-1=1 En un sistema de ecuaciones con igual número de ecuaciones e incógnitas, se tiene un sistema de orden mxn, donde: CX=B C: matriz de los coeficientes Existe C-1 tal que C C-1 = I (matriz identidad) C-1 C X = C-1 B I X = C-1 B X = C-1 B Condiciones. a) solo matrices cuadradas tienen inversa b) no debe ser singular (determinante ≠ 0)

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a b  A =   c d

w x A −1 =    y z

a b   w x   1 0 A ⋅ A −1 =   ⋅  y z  = 0 1 c d      

aw+by = 1 ax+bz = 0 cw+dy = 0 cx+dz = 1 para matrices orden (2x2) a b  A =   c d

 d  A A −1 =  − c  A 

−b A   = a  A 

1 A

 d − b − c a   

|A|: determinante de A Ejemplo:  2 3 A =   4 1

 1 − 3 A −1 =   − 4 2 

MARIZ ADJUNTA A −1 =

adjunta de A det er min ante de A

=

adj A A

La adjunta se obtiene reemplazando cada elemento por su “signo menor” o cofactor y trasponiendo la matriz. El elemento cofactor de aij = (-1)ij multiplicado por el determinante de la matriz restante de la eliminación de la línea “i” y la columna “j”. Ejemplo: 4 3 2 A 3 x 3 = 3 4 1 2 3 4

cof a11 = (-1)2 (4x4-1x3) = 13

.. .. .. .. 4 1   .. 3 4

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cof a21 = (-1)3 (3x4-2x3) = -6

3

cof a12 = (-1) (3x4-1x2) = -10

.. 3 2 .. .. ..   .. 3 4 .. .. .. 3 .. 1   2 .. 4

 13 − 10 1  cof A = − 6 12 − 6 − 5 2 7 

 13 − 6 − 5 adj A = (cof A ) T = − 10 12 2   1 − 6 7 

determinante de A = |A| = 4*4*4+3*2*3*1-(2*4*2+1*3*4+4*3*3) = = 64+18+6-(16+12+36) = 88-64 = 24

A

−1

adj A = A

 13  13 − 6 − 5  24 1   10 = ⋅ − 10 12 2  =  −24 24  1  1 − 6 7   24

−6 24 12 24 −6 24

−5  24  2 24  7  24 

(comprobar)

Ejemplo: medición de distancia |----------------|

x1 = 125,27m

|----------------|----------------|

x1+x2= 259,60m

|----------------|----------------|---------------|

x1+x2+x3= 395,85m

1x1 +0x2 +0x3 = 125,27 1x1 +1x2 +0x3 = 259,60 1x1 +1x2 +1x3 = 395,85 En notación matricial: AX = L

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1 0 0 A = 1 1 0 1 1 1

 x1 X =  x2  x3

125.27  L = 259.60 359.85

X = A-1 L 0 0 1 A −1 = − 1 1 0  0 − 1 1 1 0 0  1 0 0 A ⋅ A −1 = 1 1 0 ⋅ − 1 1 0 1 1 1  0 − 1 1

 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1

0 0 125.27  125.27 1 X = A −1L = − 1 1 0 ⋅ 259.60 = 134.33 100.25  0 − 1 1 359.85

¿?

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TEORÍA DE ERRORES En el proceso de medición de toda cantidad física, factores como: limitación humana, imperfección de instrumentos e inestabilidad natural, hacen que las mediciones sean afectadas de errores. Los errores pueden ser: ƒ

Faltas. Debido a error grosero, proveniente de falta de cuidado o confusión. Las faltas generalmente no son clasificadas como error y ellos solo pueden removerse con cuidadoso chequeo de los “datos”, aislando el error grosero. Ejemplo: lectura o anotación equivocada de las unidades en una medición.

ƒ

Error sistemático. Es un error que puede ser expresado por una función matemática; afecta la medición en “casi” la misma magnitud y tiene una fuente específica. Ejemplo: error de índice (de cero) en el ángulo vertical; temperatura no calibrada para una corrección; cambio de prisma en un distanciómetro.

ƒ

Error aleatorio o accidental: después de removidos las dos clases anteriores de errores, quedan errores (generalmente pequeños) de signos positivo y negativo, que pueden ser tratados de acuerdo a las leyes de la estadística. Ejemplo: errores de apreciación en lecturas; burbuja no centrada.

Definiciones ƒ

Cantidad Medida: cantidad observada directamente que contiene errores aleatorios.

ƒ

Valor Verdadero: valor teórico o exacto (desconocido).

ƒ

Error: diferencia entre la cantidad medida y la cantidad de mayor probabilidad.

ƒ

Valor Más Probable: valor de una cantidad medida que, basada en las observaciones, tiene la más alta probabilidad. El EMP es directamente medido de varias mediciones independientes por su media aritmética.

ƒ

Residuo: diferencia entre la cantidad medida y el valor más probable; este es el valor que se trata en el ajuste de observaciones. Este término se usa como equivalente a error.

ƒ

Grados de Libertad: Es el número de mediciones en exceso, o sea, es el número observaciones menos el número de incógnitas, es el número de observaciones redundantes; hace posible el ajuste.

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ƒ

2

Varianza. (σ ) Expresa la precisión de un grupo de observaciones; es la media del cuadrado de los errores.

ƒ

Error Estándar: (σ) Raíz de la varianza; σ=

ƒ

2

∑x n

Desviación Estándar. Similar al Error Estándar; las cantidades σ2 y σ, son teóricas porque el valor verdadero es indeterminado. En la práctica se usan los residuos y una mejor estimativa de la varianza es usar residuos:

S=

2

∑υ n −1

n-1: grados de libertad Si

n Æ∞ entonces σ2 = S2

DISTRIBUCIÓN NORMAL y

probabilidad

y=f(x)

y x x

dx

y = f(x) representa la probabilidad (por unidad de intervalo de unidad medida) de obtener un determinado valor de esa medida, obviamente: ∞

p = ∫− ∞

f(x) dx = 1

La ecuación de la curva de distribución normal es:

y = f (x) =

1 e σ 2π

 −(x − x)2   2  2σ

   

y: probabilidad de ocurrencia del error entre x y dx e: base de logaritmo natural

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σ: desviación estándar Histograma: es la representación gráfica de la distribución de un grupo de mediciones o de un grupo de residuos. Es un gráfico de barra de frecuencias. PRECISIÓN. Es el grado de consistencia, dispersión o refinamiento de un conjunto de mediciones; esta es diferente de la EXACTITUD la cual define el acercamiento al verdadero valor; comúnmente la precisión es expresada en términos de Error Estándar o Desviación Estándar. La varianza es el cuadrado del error estándar. Reemplazando:

y=

1 e 2π ⋅ σ

−x2 2σ 2

h −h 2x 2 Área bajo la curva: ∫−+aa ydx = 2∫0+a ydx = 2 ∫0+a e dx π Si a=σ:

68%

95% -2σ

-1σ

M

1σ

2σ

Interpretación: del grupo de mediciones, 68% de ellas tienen un error igual o menor que 1σ.

Nivel de confianza 50% 68,27%

Sigma 0,6745σ 1σ

90%

1,6449σ

95,45%

2σ

99%

2,6σ

99,73%

3σ

99,99%

4σ

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Ejemplo: Ángulos medidos VMP = Σ ángulos / n = ¿? Desviación Estándar = S = ¿?

(REVISAR MATRICES)

PROPAGACIÓN DE ERRORES ALEATÓRIOS Las operaciones matemáticas con números inciertos, dan resultados también inciertos, por ese motivo es importante estimar el error resultante a partir de los errores iniciales. 100

Considérese el error en el cálculo del área de un lados iguales a 8m y con un error de 1m. El 2

valor del área es de 64m . En la figura se representa la superficie en función del lado, si el error del lado es 1m, el error de la superficie será aproximadamente 15m (graficamente). Si se considera que el error (o variación) de la

80

Superficie (m2)

terreno rectangular de lados iguales. Sean los

90

70 60 50 40 30

y=x2

20 10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

lado (m)

función es suficientemente pequeño, se puede reemplazar la curva por una recta tangente a la curva. La relación entre el error del lado (x) y el error del área (y) es representada por la pendiente de la curva en el punto de interés, es decir, la derivada de la función.

(error superficie) = dy = 2x dx

Æ

dy (error lado) dx (error superficie) = 2x (error lado) = 16m2

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DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN BÁSICA. y1, y2 observaciones independientes con errores σ1 y σ2

Sea: z = y1 + y2

Y ey1 los errores en la determinación de y1 eyi los errores en la determinación de y2 El verdadero valor de z será zt zt = (y1+ey1) + (y2+ey2) zt = y1+y2+ey1+ey2 = z+ey1+ey2 ez = zt – z = ey1+ey2

(error de cada medición)

Para “i” mediciones: ezi = zt – zi = ey1i+ey2i Por la definición de varianza:

∑v σ = n 2

2

⇒

nσ 2 = ∑ v 2

nσ2 = Σ( ey1i+ey2i)2 = ey1i2+ey2i2+2 ey1i ey2i + ... = ey1i2+ey2i2

+ ... (2 ey1i ey2i tiende a

cero)

Finalmente

σz =

σ2z = σy12 + σy22

(1)

σ y12 + σ y 2 2

En general para un valor calculado z en que z=f(y1,y2, yn), la ECUACIÓN GENERAL DE PROPAGACIÓN DE ERRORES DE MEDICIONES INDEPENDIENTES es: 2

σz =

2

  ∂z    ∂z  ∂z  σ yn  σ y2  + .... σ y1  +    ∂yn    ∂y2  ∂y1

2

(2)

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ERROR DE LA SUMA Sea: A = B1+B2+.....Bn

σ B12 + σ B2 2 + ... + σ Bn 2

σA = si los errores son iguales:

σA =

n ⋅ σB

(3)

Error Medio de la Media (M): Sea: z =

∑ zi n

Sea “σ” el error de cada medición, 2

2

2

σ  σ  σ  σ  σ z =  z1  +  z 2  +  z3  + .... zn   n   n   n   n  2

2

por tratarse de mediciones de igual precisión: σ1 = σ2 = .... = σn 2

σ2 σ σ z 2 = n  = n n σz =

σ

(4)

n

El error medio de la media se obtiene del error medio de una observación divido por la raíz del número de observaciones. Por ejemplo, es necesario hacer 4 observaciones para reducir el error a la mitad y 100 veces para reducirlo a 0,1. Ejemplo: sean las mediciones de un tanque: X= 40.00m

σx = ±0.05m

Y= 20.00m

σy = ±0.03m

Z= 15.00m

σz = ±0.02m

Calcular el error del volumen.

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σv =

2

2

 ∂v   ∂v   ∂v   σ x  +  σ y  +  σ z   ∂x   ∂y   ∂z 

2

v = 12.000m 3 σv =

(300 ⋅ 0.05)2 + (600 ⋅ 0.03)2 + (800 ⋅ 0.02)2

σv =

225 + 324 + 256 = 28.3m 3

Al medir una magnitud esta generalmente se utiliza en cálculos, por lo tanto es necesario saber como actúa el error en la magnitud final. Multiplicación: X = n L σ2(X) = n σ 2(L) Æ σ =

nL

Ejemplo Sea una distancia horizontal calculada a partir de ángulo vertical y distancia inclinada, Di = 100m ± σ=0.05m α = 30º ± σ= 1´

; calcular el error en Dh

Dh = Di · cos α σ Dh = ∂ Dh = ∂ Di ∂ Dh = ∂α

σ Dh =

2

2

 ∂Dh  2  ∂Dh  2   σ Di +   σ α  ∂Di   ∂α  cos α − Di ⋅ sen α

cos α 2 (0,05) 2 + (Di ⋅ −senα )2 1´2

(1´ en radianes)

Ejemplo Una esfera de radio R=6.378.000m; se materializa su perímetro por una cuerda imaginaria; se suma 1m a su perímetro y se extiende el nuevo perímetro homogéneamente. ¿Cuánto varía el radio R?

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PESO DE LAS OBSERVACIONES Peso es la ponderación relativa de valores observados, cuando es comparado con otro valor; estima o expresa la relativa confiabilidad de una observación. Media Ponderada Sean “n” observaciones separadas en dos conjuntos “na” y “nb”, tal que n = na+nb Media conjunto a: za = Σ(zai/na) Media conjunto b: zb = Σ(zbi/nb) Haciendo na = pa y nb = pb (mientras mayor número de observaciones, más confiable es la observación, mayor peso) z=

pa ⋅ za + pb ⋅ zb = pa + pb

∑ pi ⋅ zi ∑ pi

(5)

Por ejemplo, una distancia “d” es medida por dos grupos. El primero logró una media de 65,37m con 3 mediciones, el segundo calculó 65,32m con 10 mediciones. Por lo tanto la media ponderada debe ser: z=

65,37 ⋅ 3 + 65,62 ⋅ 10 = 65,562 3 + 10

EL PESO ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL A LA VARIANZA pa =

1 σ za 2

(6)

PESO EN LA NIVELACIÓN GEOMÉTRICA Sea una línea de longitud “l”, con avances en distancia “d”, σ la desviación estándar por cada instalación del instrumento:

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C B A

d

d

d

d

d l2

l1

Número de instalaciones por línea N = l/d σ12 = N σ2 = (l1/d) σ2 σ22 = N σ2 = (l2/d) σ2 σn2 = N σ2 = (ln/d) σ2 σ2: desviación estándar por instalación σn2: desviación estándar de la línea l = l1+l2+..+ln Por la ecuación (6) el peso es inversamente proporcional a la varianza y esta es respecto a la línea; el peso de una línea nivelada es:

p1 = pero los

d σ2

1 σ1

2

=

d l1σ 2

son todos proporcionalmente iguales p1 =

1 l1

p2 =

1 l2

pn =

1 ln

Los pesos en nivelación son inversamente proporcional a sus longitudes y a su vez, la longitud es proporcional al número de instalaciones, por lo tanto, los pesos son inversamente proporcional al número de instalaciones.

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PESO EN LA MEDICIÓN ANGULAR Sean 3 ángulos (α1, a2, α3) de un triángulo plano, que fueron medidos n1, n2 y n3 veces respectivamente por el mismo instrumento. Sea σ la desviación estándar de un ángulo medido, la media de los ángulos son: α1 =

∑ α1 ; n1

α2 =

∑ α2 ; n2

α3 =

∑ α3 ; n3

La varianza de la media, dada por (4) es: 1 ⋅ σ2 ; n1

σ 2 α1 =

σ 2 α2 =

1 ⋅ σ2 ; n2

σ 2 α3 =

1 ⋅ σ2 n3

Nuevamente, los pesos son inversamente proporcionales a la varianza, y relativamente los pesos de los ángulos son: p1 = p2 = p3 =

1 2

σ α1 1 σ 2 α2 1 σ 2 α3

= = =

n1 σ2 n2 σ2 n3 σ2

≈ n1 ≈ n2 ≈ n3

Los pesos de los ángulos son proporcionales al número de mediciones efectuadas (bajo las mismas condiciones).