Capítulo 1.

CAPÍTULO 1

Desigualdades

INTRODUCCIÓN

Construcción con tijeras y papel Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora. La caja1. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito en cada esquina de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación.

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La caja2. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito pero en esta ocasión en las esquinas y en la mitad de la hoja el cuadro será de lado x. Si estas colocado en la fila uno, tu cuadrito es de 1cm., si te encuentras en la fila dos entonces tu cuadrito es de 2cm., y así según en la fila que te encuentres. Los extremos que quedan los doblaremos hacia arriba y formaremos una cajita. Supongamos que la hoja mide 20cm. por 40cm. Obtenga la fórmula para el volumen de la cajita. El valor del volumen según la fila en la que te encuentres. Obtenga la gráfica de volumen por medio de tabulación.

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DESIGUALDADES DEFINICIONES Conjunto: Un conjunto es una colección de objetos con una o varias propiedades común. Ejemplo 1: El conjunto e transportes = {

en

}

Ejemplo 2: El conjunto de instrumentos de laboratorio de química={

, , ,

, ,...}

Ejemplo 3: El conjunto de las curvas = { } Ejemplo 4: El conjunto de deportistas. Ejemplo 5: El conjunto de los dígitos D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Ejemplo 6: El conjunto de los números naturales N ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} Ejemplo 7: El conjunto de los números enteros Z= {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,...} Elementos: Los objetos que forman un conjunto, reciben el nombre de elementos del conjunto, pueden ser números, seres humanos, cosas, animales, etc. Depende del conjunto que se este tratando. Ejemplo: A= Conjunto de alumnos de la vocacional 4, del grupo 5136. B= Conjunto de números enteros pares mayores de 8. J = Conjunto de números que cumplen con la ecuación x2 + x - 8 = 0 Generalmente para representar un conjunto se utilizan las letras mayúsculas A, B, C,... para representar sus elementos se utilizan letras minúsculas a, b, c,... Si un conjunto no tiene elementos, entonces este conjunto es el conjunto vacío se representa por la letra griega  . Ejemplo: D= Conjunto de los múltiplos de 3, entre 16 y 40. El conjunto D se puede escribir con todos sus elementos, encerrados entre llaves como se indica a continuación: D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} En este ejemplo se muestra que un conjunto se puede definir por sus propiedades o por sus elementos, así se tiene dos métodos de definición. 

Definición por extensión (o tabular): se colocan todos los elementos encerrados entre llaves. Ejemplo: El conjunto de números pares = {2, 4, 6, 8, 10,…} Cuando se define un conjunto, colocar todos sus elementos puede ser poco práctico ya que el conjunto puede ser muy grande o muy complicado para hacer esto. 

Definición por comprensión (o constructiva): Se coloca entre llaves las propiedades que definen al conjunto o se dice con palabras las propiedades que lo definen. Ejemplo: El conjunto de números múltiplos de tres = {x/ x = 3p, p es entero}; el símbolo / ( I )se lee tal que. Ejemplo: Por comprensión F = {x/ x 2 =1} Indica que F consiste de todos los números reales, tales que elevados al cuadrado son igual a la unidad. Por Extensión se tiene que F = {-1,1} pues (-1)2 =1 y también (1)2 =1 11

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Para decir que un elemento esta en un conjunto se utiliza el símbolo  que es el símbolo de pertenencia, así 24  D se lee 24 pertenece al conjunto D, mientras que el símbolo no pertenece es , así 5  D se lee 5 no pertenece al conjunto D o también 5 no esta contenido en D, donde D = {18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}. Para destacar la importancia de ciertos conjuntos de números se les asigna una letra especial, por ejemplo el conjunto de números naturales se representa por la letra N, el conjunto de los números enteros por la letra Z, para el conjunto de números racionales se utiliza la letra Q, el conjunto de números irracionales se representa por la letra I, para el conjunto de números reales se utiliza la letra R, el conjunto de números complejos se representa por la letra C. OTRAS DEFINICIONES Conjunto Universo: Se representa por el símbolo U, es el conjunto de todos los resultados posibles que puede tener el fenómeno que se este estudiando. Conjunto Vacío: Se representa por el símbolo  , como su nombre lo indica es el conjunto que no tiene elementos. Diagramas de Venn: los conjuntos se pueden representar gráficamente por medio de círculos, Elipses, Rectángulos, triángulos y curvas cerradas.

OPERACIONES DE CONJUNTOS Consideremos el conjunto universal U. 1. Unión de dos conjuntos A  B = {x/ x  A o x  B} Ejemplo: si U = conjunto de las letras del abecedario, tomemos A= {a, b, c, d, f}, B= {b, d, e} entonces AB = {a, b, c, d, e, f}. 2. Intersección de dos conjuntos A  B = {x/ x  A y x  B} Ejemplo: Si U=Conjunto de las letras del abecedario, tomemos B= {a, b, c, d, e, f, g}, C = {b, c, f, h, i, j} entonces el conjunto intersección B  C = {b, c, f}. 3. Complemento de un conjunto Ac = x / x  U y x  A} Ejemplo: si U = conjunto de los dígitos, tomemos A= {1, 2, 3, 4, 7, 9}, así se tiene que: Ac= {0, 5, 6, 8}. Nuestro interés es trabajar con un tipo particular de conjuntos llamados intervalos. Tenemos loas siguientes símbolos > mayor que,  mayor o igual que,