Biografía de Isaac Newton Sir Isaac Newton fue un científico, físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático británico nacido en Woolsthorpe, Lincolnshire el 25 de diciembre de 1642 (4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano), y muerto en Londres el 20 de marzo de 1727. Hijo de Isaac Newton (muerto antes de que él naciera) y de Hannah Ayscough, dos campesinos puritanos; se crió con su abuela Margery Ayscough al contraer su madre segundas nupcias con el reverendo Barnabas Smith, rector de North Witham, que a su muerte le legó su biblioteca, compuesta fundamentalmente por libros de teología, tema por el que llegó a sentir un vivo interés, y sobre el que escribió varias obras. Tras enviudar su madre, ésta regresó con su hijo y tres nuevos hermanos, pero este periodo de separación causó una huella profunda en el niño, que padeció durante toda su vida desordenes emocionales, ataques de ira incontrolables y un enfermizo deseo de ser querido y aceptado. Sin embargo la madre supo ver en su hijo su capacidad intelectual y se ocupó de que recibiese una formación adecuada a sus capacidades. Newton fue inscrito en la King's School de la cercana población de Grantham pero destacó más por las peleas, la indisciplina y su afición a tabernas y burdeles que por sus brillantes resultados académicos. Así que a los 17 años su madre decidió que ya estaba bien y le hizo regresar a la granja familiar para que hiciese algo de provecho. Como granjero, Newton fue aún peor que como estudiante: Un absoluto desastre. Sin embargo, el aburrimiento le llevó a los hábitos más importantes que adquirió en su vida: la lectura y la escritura. Se le pasaban días enteros delante de los libros sin comer ni dormir. De manera totalmente autodidacta aprendió a hablar y escribir en Latín y en Hebreo (se empeño en que la biblia había que leerla en su idioma original). Tras dos años en la granja, el reverendo William Ayscough, tío de Newton y diplomado por el Trinity College de Cambridge, convenció a su madre de que lo enviara a Cambridge en lugar de dejarlo en la granja familiar para ayudarla. En junio de 1661, a los dieciocho años, ingresa en el Trinity College de Cambridge, y nada en sus estudios anteriores permitía entrever o incluso esperar su deslumbrante carrera científica. Al comienzo de su estancia en Cambridge, se interesó en primer lugar por la química, y este interés, según se dice, se manifestó a lo largo de toda su vida. Durante su primer año de estudios, y probablemente por primera vez, leyó una obra de matemáticas sobre la geometría de Euclides, lo que despertó en él el deseo de leer otras obras. Parece también que su primer tutor fue Benjamin Pulleyn, posteriormente profesor de griego en la Universidad. En 1663, Newton leyó la Clavis mathematicae de Oughtred, la Geometria a Renato Des Cartes de Van Schooten, la Optica de Kepler, la Opera mathematica de Vieta, editadas por Van Schooten y, en 1644, la Aritmética de Wallis que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio, ciertas cuadraturas. También a partir de 1663 Newton conoció a Barrow, quien le dio clase como primer profesor lucasiano de matemáticas. En la misma época, Newton entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros, a

partir probablemente de la edición de 1659 de la Geometria de Descartes por Van Schooten. En 1664 alcanza el grado de Scholar y comienza a asistir a las clases de I. Barrow. Inicia así una época de profunda dedicación al estudio, durante la cual compone su Del análisis de ecuaciones con un número infinito de términos en (1665) (Analysis per aequationes numero terminorum infinitas) y sienta las bases de sus principales contribuciones en los campos de la matemática y la física. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollará más tarde: su cálculo diferencial e integral. En la primera, con el cálculo de fluxiones: Método de fluxiones y de las series infinitas (1671) (Methodus fluxionum et serierum infinitarum, cum eiusdem applicatione ad curvarum geometriam); en la segunda, con el desarrollo y la sistematización de la llamada mecánica clásica (leyes del movimiento y sistema del mundo), basada en la teoría de la gravitación universal por él enunciada, además de diversas contribuciones en el campo de la óptica (teoría corpuscular de la luz y leyes de reflexión y refracción de esta) publicadas en su Óptica o Tratado de las reflexiones, refracciones, inflexiones y colores de la luz (1704), obra a la que acompañaba el Tratado de la curvatura de las curvas (1676) (Tractatus de quadratura curvarum). En 1665, cuando Newton tenía 22 años, una epidemia de peste bubónica obligó a la universidad a cerrar por espacio de casi dos años y Newton regresó a Woolsthorpe. Pasó ese tiempo en su casa, pensando y haciendo experimentos con luz. En sus cuadernos de esos años se encuentran los fundamentos de una rama de las matemáticas que hoy se llama cálculo diferencial e integral, de la teoría de los colores de Newton y de la ley de la gravitación universal, que permitiría describir con todo detalle los movimientos de los planetas alrededor del sol. El cálculo y la ley de gravitación le servirían más tarde para formular sus famosas leyes del movimiento. En una carta póstuma, el propio Newton describió los años de 1665 y 1666 como su «época más fecunda de invención», durante la cual «pensaba en las matemáticas y en la filosofía mucho más que en ningún otro tiempo desde entonces». El método de fluxiones, la teoría de los colores y las primeras ideas sobre la atracción gravitatoria, relacionadas con la permanencia de la Luna en su órbita en torno a la Tierra, fueron los logros que Newton mencionó como fechados en esos años, y él mismo se encargó de propagar, también hacia el final de su vida, la anécdota que relaciona sus primeros pensamientos sobre la ley de la gravedad con la observación casual de una manzana cayendo de alguno de los frutales de su jardín (Voltaire fue el encargado de propagar en letra impresa la historia, que conocía por la sobrina de Newton). Hacia 1669, dice la leyenda que Isaac Barrow, deslumbrado por los conocimientos y las capacidades de Newton renunció a la cátedra en favor de su alumno. Pero eso es solo una leyenda: la realidad es que Carlos II hizo llamar a Barrow para ser astrónomo de la corte, un puesto mucho mejor pagado que el de catedrático y que utilizó como plataforma para conseguir su verdadera ambición: ser decano de Cambridge. Por lo que el único, por edad y conocimientos que podía ocupar esa cátedra vacante era Newton. Inicia sus clases de óptica (1669-71) y se interesa por las transmutaciones de la materia a la par que redacta su Método de fluxiones y de las series infinitas (1671).

En febrero de 1672, pocos días después de que dicha sociedad lo hubiera elegido como uno de sus miembros en reconocimiento de su construcción de un telescopio reflector, genera una gran polémica suscitada por la lectura de un trabajo sobre la luz ante la Royal Society (1672), en la que participaron, entre otros, Robert Hooke y Christiaan Huygens, quienes sostenían ideas diferentes sobre la naturaleza de la luz. Newton afirma en que: "la luz está formada por rayos diversamente retractables"; el espectro se forma porque la luz blanca contiene una mezcla de luces de un solo color, pero de varios tipos, estas se separan porque son diversamente retractables. El propósito de Newton consistía en no explicar las propiedades de la luz mediante una hipótesis, sino ponerlas y demostrarlas por medio de la razón y la experimentación. Tres años más tarde lee ante dicha sociedad (que presidiría desde 1703 hasta su muerte) su Hipótesis para explicar las propiedades de la luz (1675), a la que sigue su Discurso de Observaciones (1676). En ellos expone: "la luz posiblemente es una corriente de pequeñas cápsulas ligeras, de diversos tamaños, siendo los rojos los mayores y los violetas los más pequeños. Cuando chocan hacen vibrar el éter, y si choca con una segunda superficie refleja y transmite de acuerdo con la fase". Durante sus primeros años de docencia no parece que las actividades lectivas supusieran ninguna carga para él, ya que tanto la complejidad del tema como el sistema docente tutorial favorecían el absentismo a las clases. Por esa época, Newton redactó sus primeras exposiciones sistemáticas del cálculo infinitesimal que no se publicaron hasta más tarde. En 1664 o 1665 había hallado la famosa fórmula para el desarrollo de la potencia de un binomio con un exponente cualquiera, entero o fraccionario, aunque no dio noticia escrita del descubrimiento hasta 1676, en dos cartas dirigidas a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; el teorema lo publicó por vez primera en 1685 John Wallis, el más importante de los matemáticos ingleses inmediatamente anteriores a Newton, reconociendo debidamente la prioridad de este último en el hallazgo. Desde 1673 hasta 1683, Newton enseñó álgebra y teoría de ecuaciones, pero parece que asistían pocos estudiantes a sus cursos. Mientras tanto, Barrow y el astrónomo Edmond Halley (1656-1742) reconocían sus méritos y le estimulaban en sus trabajos. En 1676 Newton renunció a proseguir la polémica acerca de su teoría de los colores y por unos años, se refugió de nuevo en la intimidad de sus trabajos sobre el cálculo diferencial y en su interés (no por privado, menos intenso) por dos temas aparentemente alejados del mundo sobrio de sus investigaciones sobre la naturaleza: la alquimia y los estudios bíblicos. La afición de Newton por la alquimia (John Maynard Keynes lo llamó «el último de los magos») estaba en sintonía con su empeño por trascender el mecanicismo de observancia estrictamente cartesiana que todo lo reducía a materia y movimiento y llegar a establecer la presencia efectiva de lo espiritual en las operaciones de la naturaleza. Newton no concebía el cosmos como la creación de un Dios que se había limitado a legislarlo para luego ausentarse de él, sino como el ámbito donde la voluntad divina habitaba y se hacía presente, imbuyendo en los átomos que integraban el mundo un espíritu que era el mismo para todas las cosas y que hacía posible pensar en la existencia de un único principio general de orden cósmico. Y esa búsqueda de la unidad en la

naturaleza por parte de Newton fue paralela a su persecución de la verdad originaria a través de las Sagradas Escrituras, persecución que hizo de él un convencido antitrinitario y que seguramente influyó en sus esfuerzos hasta conseguir la dispensa real de la obligación de recibir las órdenes sagradas para mantener su posición en el Trinity College. En ese tiempo Newton comenzó a escribir Los Principia. Se le denominó a la ley del comportamiento de los fluidos reales como "Viscosidad Newtoniana". El tercer libro de Los Principia es como la cumbre de su trabajo, es la recapitulación de los temas anteriores y una corta afirmación del nuevo tema. Trata temas como: El movimiento de los satélites entorno a los planetas, los planetas entorno al sol, y calculaba la densidad de la tierra. Newton cito que la masa gravitatoria y la masa de inercia son la misma. En 1679 reanuda sus estudios de dinámica (abandonados en 1666), verificó su ley de la gravitación universal y estableció la compatibilidad entre su ley y las tres de Kepler sobre los movimientos planetarios. Las leyes de Kepler del movimiento planetario se refieren al conjunto, son integrales. La ley de Newton de la gravitación universal, por el contrario es diferencial, permite deducir el estado que tendrá un sistema a partir del que tenía un instante anterior; por definición satisface la causalidad. Antes de Newton no había ningún sistema de causalidad física. Con Newton el peso de un cuerpo sobre la superficie terrestre se identifica con la fuerza de atracción entre los dos astros, el movimiento de los proyectiles con el curso de los satélites; las mareas se explican por la atracción lunisolar; se calculan las perturbaciones entre los planetas; se calculan las órbitas de los cometas; se predice el achatamiento del globo terrestre; se explica la precesión de los equinoccios por la atracción del Sol sobre el abultamiento ecuatorial terrestre. Después de Newton los grandes matemáticos pudieron extender los dominios de la razón a todos los rincones del sistema solar. Interrumpe estos estudios a causa de una encarnizada polémica que mantiene con Robert Hooke acerca de la gravedad y por su dedicación a otras actividades. Reemprende dichas investigaciones con motivo de la visita que le hace el astrónomo Edmond Halley para consultarle sobre la órbita descrita por un cuerpo sometido a la acción de una fuerza gravitatoria, que culminarán con la redacción de su obra más importante, Principios matemáticos de la filosofía natural y su sistema del mundo (Philosophíae naturalis principia mathematica), que presenta el 28 de abril de 1686 ante la Royal Society. Los Principia contenían la primera exposición impresa del cálculo infinitesimal creado por Newton, aunque éste prefirió que, en general, la obra presentara los fundamentos de la física y la astronomía formulados en el lenguaje sintético de la geometría. Newton no fue el primero en servirse de aquel tipo de cálculo; de hecho, la primera edición de su obra contenía el reconocimiento de que Leibniz estaba en posesión de un método análogo. Sin embargo, la disputa de prioridades en que se enzarzaron los partidarios de uno y otro determinó que Newton suprimiera la referencia a Leibniz en la tercera

edición de 1726. El detonante de la polémica (orquestada por el propio Newton entre bastidores) lo constituyó la insinuación de que Leibniz podía haber cometido plagio. Con posterioridad a la publicación de los Principia, Newton no generó ya nuevas teorías. Su vida pasó, de una etapa de recogimiento y estudio, a una nueva etapa de mayor exposición pública. Por ese entonces trabó amistad con John Locke, quien en su Ensayo sobre el entendimiento humano había señalado a los Principia como el más acabado exponente de la aplicación del método experimental. En 1687, Newton defendió los derechos de la Universidad de Cambridge contra el impopular rey Jacobo II y, como resultado tangible de la eficacia que demostró en esa ocasión, fue elegido miembro del Parlamento en 1689, en el momento en que el rey era destronado y obligado a exiliarse. Mantuvo su escaño en el Parlamento durante varios años sin mostrarse, no obstante, muy activo durante los debates. Durante este tiempo prosiguió sus trabajos de química, en los que se reveló muy competente, aunque no publicara grandes descubrimientos sobre el tema. Se dedicó también al estudio de la hidrostática y de la hidrodinámica además de construir telescopios. Su actividad parlamentaria, que duró hasta febrero de 1690, se desarrolló en estrecha colaboración con Charles Montagu, más tarde lord Halifax, a quien había conocido pocos años antes como alumno en Cambridge y que fue el encargado de dar cumplimiento a los deseos de Newton de cambiar su retiro académico en Cambridge por la vida pública en Londres. En otoño de 1693 sufre un repentino ataque de demencia (del que se repone en noviembre), causante de largos periodos en los que permaneció aislado, durante los que no comía ni dormía. En esta época sufrió depresión y arranques de paranoia. Mantuvo correspondencia con su amigo, el filósofo John Locke, en la que, además de contarle su mal estado, lo acusó en varias ocasiones de cosas que nunca hizo. Algunos historiadores creen que la crisis fue causada por la ruptura de su relación con su discípulo Nicolás Fatio de Duillier; la mayoría, sin embargo, opina que en esta época Newton se había envenenado al hacer sus experimentos de alquimia. Otros en cambio sostienen que fue un accidente (olvidó una vela encendida y su perro la hizo caer) que provocó un incendio en sus habitaciones que destruyó sus manuscritos el hecho que lo sumió en la desesperación. Después de escribir los Principia abandonó Cambridge mudándose a Londres donde ocupó diferentes puestos públicos de prestigio siendo nombrado Preboste del Rey, magistrado de Charterhouse. Lord Halifax fue nombrado canciller de la hacienda real en abril de 1694; cuando su ley de reacuñación fue aprobada en 1695, hace que nombren a Newton inspector de la casa de la moneda en 1696 y este se hace cargo de la reforma del sistema de acuñaciones y emprende la persecución de los delitos monetarios y los falsificadores. Estas actividades ocuparán las tres últimas décadas de su vida y las interrumpirá por motivos científicos solo en dos ocasiones: una en 1696, para demostrar la superioridad del cálculo de fluxiones, resolviendo los problemas planteados por G. W. Leibniz, a través de J. Bernouilli, con la intención de demostrar, a su vez, la superioridad de su propio método; y otra en 1726, con motivo de la polémica mantenida con este mismo

autor (e iniciada en 1705) sobre la paternidad del cálculo infinitesimal (llamado por él cálculo de fluxiones). La concepción del sistema del mundo de Newton descansa sobre un método, denominado por él mismo filosofía natural, basado en la inferencia de las proposiciones a partir de los fenómenos naturales (por ejemplo, en el caso de las fuerzas que actúan en la naturaleza, a partir del movimiento de los cuerpos a ellas sometidos) y en su generalización mediante la inducción. En dicho método los argumentos no se suprimen mediante la formulación de hipótesis (de ahí que afirmase: no fraguo hipótesis) sino que se reformulan, contrastan y varían en función de los resultados de la observación y experimentación. El sistema del mundo se cimenta, en cuanto a su estructura y evolución, en un espacio y tiempo absolutos y en conceptos tales como el de corpúculo, y constituye una síntesis de las concepciones cartesianas y galileanas, es decir, que la naturaleza es como un libro en el cual el Creador ha escrito (mediante un lenguaje adecuado, el de las matemáticas) todas las leyes y que por tanto la materia como la luz tienen carácter corpuscular. En 1705 se le otorgó el título de Sir. Pese a su hipocondría, alimentada desde la infancia por su condición de niño prematuro, Newton gozó de buena salud hasta los últimos años de su vida; Newton murió en la madrugada del 20 de marzo, tras haberse negado a recibir los auxilios finales de la Iglesia, consecuente con su aborrecimiento del dogma de la Trinidad.

La teoría newtoniana, que se extendió y afianzó con las aportaciones de pensadores como M. de Maupertuis, Voltaire, etc, gozó de reconocimiento universal hasta los trabajos de E. Mach, A. H. Lorentz, H. Poincaré y A. Einstein que culminaron con el enunciado de la teoría de la relatividad, la cual destruyó los conceptos de espacio y tiempo absolutos e incluye el sistema newtoniano como un caso particular.

Principales trabajos de Newton: El teorema del binomio: Aplicando los métodos de Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un buen número de series ya existentes eran casos particulares, bien directamente, bien por diferenciación o integración. El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque

ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban. Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento. El teorema De analysi: Compuesto en 1669 a partir de conceptos elaborados en 1665-1666, el De analysi no fue publicado hasta 1711, aunque era conocido entre los próximos a Newton porque circulaba en forma manuscrita desde 1669. Al comienzo de sus investigaciones sobre las propiedades de las líneas curvas, Newton se apoya principalmente en el método de las tangentes de Descartes, aunque también recurre a la regla de Hudde para la determinación de los extremos. Newton se dispone desde el principio a elaborar algoritmos que le permitan simplificar la resolución de los problemas de tangentes, cuadratura y rectificación de curvas. El De analysi contiene los fundamentos de su método de las series infinitas que se manipulan mediante operaciones de división y extracción de raíces. Toma también de la física ciertos conceptos que se revelan útiles para sus métodos infinitesimales y para traducir su concepción cinemática de las curvas. En 1666 todavía no ha desarrollado completamente su notación de las fluxiones, pero en 1669, en el momento de la redacción de su De analysi, utiliza todavía la notación más o menos convencional y reserva para una ulterior publicación sus fluxiones como concepto operacional a nivel algorítmico. Utiliza la relación de reciprocidad entre la diferenciación y la integración y aplica su método para obtener el área comprendida bajo diversas curvas y para resolver numerosos problemas que requieren sumaciones. Enuncia y utiliza también la regla moderna: la integral indefinida de una suma de funciones es la suma de las integrales de cada una de las funciones. Se sirve también de las series infinitas para integrar curvas utilizando la regla de integración término a término El método de las fluxiones: Se franquea una segunda etapa en el momento en que Newton acaba, en 1671, su obra Methodus fluxionum et serierum infiniturum, comenzada en 1664. Newton tenía intención de publicarla, en particular en su Opticks, pero a causa de las críticas formuladas anteriormente con respecto a sus principios sobre la naturaleza de la luz, decidió no hacerlo. De hecho, será publicada en 1736 en edición inglesa, y no será publicada en versión original hasta 1742. Newton expone en este libro su segunda concepción del análisis introduciendo en sus métodos infinitesimales el concepto de fluxión. En su prefacio, Newton comenta la decisión de Mercator de aplicar al álgebra la «doctrina de las fracciones decimales», porque, dice, «esta aplicación abre el camino para llegar a descubrimientos más importantes y más difíciles». Después habla del papel

de las sucesiones infinitas en el nuevo análisis y de las operaciones que se pueden efectuar con esas sucesiones. La primera parte de la obra se refiere justamente a la reducción de «términos complicados» mediante división y extracción de raíces con el fin de obtener sucesiones infinitas. Newton introduce su nueva concepción de fluxiones y fluentes al abordar dos problemas; el primero consiste en encontrar la velocidad del movimiento en un tiempo dado cualquiera, dada la longitud del espacio descrito. El segundo problema es la inversa del primero. Disponiendo de su método general, determina los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a curvas (parábola, concoide de Nicomedes, espirales, cuadratrices), el radio de curvatura, los puntos de inflexión y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud. Newton incluye también en esta obra tablas de curvas clasificadas según diez órdenes y once formas, que comprenden también la abscisa y la ordenada para cada una de las formas y el área de cada una de ellas (tabla de integrales). También incluye nuevas clases de ordenadas, una fórmula de aproximación para la solución de las ecuaciones que llevan su nombre, y el paralelogramo de Newton, útil para el desarrollo de series infinitas y para el trazado de curvas. Cuando Newton aborda el problema de «trazar las tangentes de las curvas», expone nueve maneras diferentes de hacerlo, teniendo en cuenta las «diferentes relaciones de las curvas con las líneas rectas». En la tercera manera, recurre a las «coordenadas bipolares», poco utilizadas actualmente. Pero en la exposición de la séptima manera encontramos por primera vez la utilización de las coordenadas polares. Newton expone en el artículo XX de su Método un procedimiento para la determinación aproximada de las raíces de una ecuación. Lo presenta como un método para efectuar «la reducción de las ecuaciones afectadas», para reducirlas a sucesión infinita. El método De quadratura curvarum: La tercera concepción de Newton a propósito del nuevo análisis aparece en su De quadratura curvarum, escrita en 1676 pero no publicada hasta 1704, como apéndice a su Opticks. Newton se propone esta vez fundamentar su cálculo sobre bases geométricas sólidas, por lo que hace hincapié en la concepción cinemática de las curvas. Más adelante, Newton describe la distinción entre el uso de elementos discontinuos y las nuevas consideraciones cinemáticas con referencia a las fluxiones, abandonando así las cantidades infinitamente pequeñas en beneficio de una ampliación del concepto de fluxión que requiere la comparación de velocidades instantáneas en la razón última de los pequeños crecimientos. La tercera concepción de Newton se presenta en forma operacional mediante el método de las «primeras y últimas razones». Sin embargo, el mismo Newton es consciente de las precauciones que hay que tomar para aplicar su método de las «primeras Y últimas razones» a la determinación de la fluxión, porque añade en su introducción: "Los menores errores en matemáticas no deben ser despreciados."

Newton precisa sus concepciones, sin introducir sus notaciones, al comienzo de los Principia en lo que llama método de «las primeras y últimas razones». Los Principia: Las leyes de Newton son un sistema de principios sobre el que se construyó la mecánica clásica. Su formulación matemática fue publicada en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.[ En ella se enuncia: 1. Primera Ley de Newton o Ley de Inercia

En la ausencia de fuerzas exteriores, todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza que le obligue a cambiar dicho estado.

2. Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza

La variación de momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.

3. Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción

Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud, sentido opuesto y están situadas sobre la misma recta