IX. Incertidumbre y riesgo

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IX. INCERTIDUMBRE Y RIESGO 1 En los capítulos precedentes hemos estudiado elecciones que tienen resultados perfectamente ciertos. Pero en la realidad, hay muchas decisiones económicas importantes que involucran un elemento riesgoso. En este capítulo será analizado el esquema formal para presentar tales situaciones. 1. Riesgo e incertidumbre El economista de la University of Chicago Frank Knight 2 estableció una diferencia importante entre riesgo e incertidumbre: La incertidumbre debe ser tomada en sentido literal como radicalmente distinta de la noción familiar de riesgo, noción de la cual nunca fue debidamente separada... El hecho esencial es que el “riesgo” implica en algunos casos una cantidad susceptible de medición, en tanto que en otros se trata de algo que no tiene tal carácter, y existen diferencias cruciales en los alcances de los fenómenos según que uno u otro esté presente... Veremos que la incertidumbre medible, propiamente llamada “riesgo” – que es el uso que daremos a este término – es tan enormemente diferente de un concepto no medible que efectivamente no se trata de incertidumbre para nada.” Frank H. Knight

Aunque ambos términos son usados de distintas maneras entre el (1885-1972) público, hay muchos especialistas de teoría de la decisión, estadística y otros campos cuantitativos que han definido a la incertidumbre y al riesgo en forma más específica. Hubbard 3 define a ambos de la manera siguiente: Incertidumbre: Ausencia de certeza, Un estado de conocimiento limitado en el cual es imposible describir en forma exacta un estado existente o un resultado futuro, con más de un resultado posible. Medición de la incertidumbre: Un conjunto de estados posibles o resultados con probabilidades asignadas a cada estado posible o resultado – incluyendo la aplicación de una función de densidad probabilística a variables continuas. Riesgo: Un estado de incertidumbre en el cual algunos resultados posibles tienen un efecto indeseado o implican una pérdida significativa. Medición del riesgo: Un conjunto de incertidumbres medidas donde algunos resultados posibles 1

V. Eugene Silberberg, The Structure of Economics: A Mathematical Analysis; Mark J. Machina and Lawrence E. Blume, “Risk” (to appear in The New Palgrave Dictionary of Economics, 2nd Ed.); GonÇalo Fonseca, “The Theory of Risk Aversion”, en el site de la New School University; Stanford Encyclopedia of Philosophy, “The St. Petersburg Paradox”, Fall 2004; Russell Davidson, “Stochastic Dominance”, Mar. 2006; Wikipedia: “Uncertainty”, “Risk”, “Normal Distribution”, “Risk Aversion”; Hal R. Varian, Microeconomic Analysis (hay traducción al español); Richard A. Brealey and Stewart C. Myers, Principles of Corporate Finance, 4th ed., 1991 (hay traducción al español); Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston and Jerry R. Green, Microeconomic Theory, Oxford Univ. Press, 1995; Niklas Luhmann, 1996, “Modern Society Shocked by its Risks”; Bellemare, Marc F. and Zachary S. Brown, “On the (Mis)Use of Wealth as a Proxy for Risk Aversion”, Working Paper, Duke University, June 2008, SSRN; Michael Rothschild and Joseph Stiglitz, “Increasing Risk: I. A Definition”, Jour. of Ec. Theo., Vol. 3 N. 3, Sep. 1970 (Cowles Commission Foundation Paper 341a). Agradezco los comentarios a una versión previa formulados por el Dr Eduardo Fernández-Pol. 2 Knight, F.H. (1921) Risk, Uncertainty, and Profit. Boston, MA: Hart, Schaffner & Marx; Houghton Mifflin Company. 3 Douglas Hubbard "How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business", John Wiley & Sons, 2007.

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son pérdidas, y la magnitud de estas pérdidas – esto incluye también funciones de pérdida definidas sobre variables continuas. Hay también otras taxonomías de incertidumbres y decisiones que incluyen un sentido más amplio de la incertidumbre y de cómo debería aproximarse uno a tratarla desde una perspectiva ética 4 . Por ejemplo, si desconocemos si mañana lloverá, estamos en un estado de incertidumbre. Si aplicamos probabilidades a los resultados posibles utilizando pronósticos meteorológicos o una evaluación de probabilidad calibrada, se ha cuantificado la incertidumbre. Supongan ahora que cuantifican su incertidumbre como una probabilidad de 90% de sol brillante. Si están planeando salir de paseo al campo mañana tendrán riesgo, ya que hay una probabilidad de 10% de que llueva y la lluvia es indeseable. Más aún, si se tratara de un negocio comercial y ustedes perdieran $100,000 si llueve, entonces han cuantificado el riesgo (un 10% de probabilidad de perder $100,000). Pueden hacer más realista el ejemplo cuantificando la probabilidad de una llovizna vs. chaparrones, el costo de retrasar la partida vs. cancelarla directamente, etc. Otros representan al riesgo como una “pérdida esperada de oportunidad” (PEO) igual a la probabilidad de la pérdida multiplicada por el monto de la misma (10%x$100,000 = $10,000). Esto es de utilidad en caso de que el organizador del evento sea “neutro al riesgo”, lo que no sucede en la mayoría de los casos. Mucha gente estaría dispuesta a pagar una prima a fin de evitar la pérdida. Por ejemplo, una compañía de seguros computaría una PEO como un monto mínimo para cualquier cobertura, y luego agregaría sus costos operativos y beneficio. Como mucha gente está dispuesta a comprar seguro por diversas razones, luego está claro que la PEO por sí misma no es el valor percibido por evitar el riesgo. Los usos cuantitativos de los términos incertidumbre y riesgo son bastante consistentes entre sí en campos como la teoría de las probabilidades, la ciencia actuarial y la teoría de la información. Otros han creado nuevos términos sin que ello implique un cambio sustancial de las definiciones de incertidumbre o riesgo. Por ejemplo, “sorpresa” es una variedad de incertidumbre que a veces es usada en la teoría de la información. Pero el uso de los términos puede ser variado fuera de los usos más matemáticos, como en psicología cognitiva, donde la incertidumbre puede ser real o sólo una cuestión de percepción, como por ejemplo expectativas, amenazas, etc. La vaguedad o ambigüedad a veces es descripta como “incertidumbre de segundo orden”, cuando existe incertidumbre aún sobre las definiciones de los estados o resultados inciertos. Aquí la diferencia subyace en que la incertidumbre se refiere a definiciones y conceptos humanos que no son un hecho objetivo de la naturaleza. Hubbard ha sostenido no obstante que la ambigüedad siempre será inevitable, a diferencia de la incertidumbre – de “primer orden” – que no lo es necesariamente. La incertidumbre puede deberse exclusivamente a la carencia de conocimiento sobre hechos objetivos. Es decir, ustedes pueden tener incertidumbre acerca de si el diseño de un nuevo cohete funcionará, pero esta incertidumbre será eliminada con más análisis y experimentación. Sin embargo, la incertidumbre puede constituir una propiedad fundamental e inevitable del universo a nivel subatómico. En mecánica cuántica, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg establece límites en torno a cuánto puede saber un observador sobre la posición y velocidad de una partícula. Lo cual no surge de la ignorancia de hechos obtenibles potencialmente sino del hecho de que no hay hechos a ser hallados. Cabe notar que existe cierta controversia en la física acerca de si la incertidumbre es una propiedad intrínseca de la naturaleza o de si existen

4

Tannert C, Elvers HD, Jandrig B (2007). "The ethics of uncertainty. In the light of possible dangers, research becomes a moral duty.". EMBO Rep. 8 (10).

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“variables ocultas” que podrían describir el estado de una partícula en forma aún más exacta que el principio de incertidumbre de Heisenberg, Luego, riesgo es un concepto que denota la probabilidad precisa de determinados eventos. Técnicamente, esta noción es independiente de la noción de valor y, en cuanto tal, los eventos pueden tener consecuencias tanto benéficas como adversas. Sin embargo, en el uso general existe una convención de concentrarse sólo sobre el impacto negativo potencial sobre alguna característica de valor que podría tener cabida en el futuro. De acuerdo con Mark Machina y Michael Durlauf, siguiendo a Knight, una situación implica riesgo si el carácter aleatorio que enfrenta un agente económico está presente bajo la forma probabilidades objetivas especificadas en forma exógena o calculadas de forma científica, como en una apuesta basada en una ruleta o en un par de dados. Una situación involucra incertidumbre si el carácter aleatorio se presenta bajo la forma de eventos posibles, como apuestas en una carrera de caballos, o decisiones que implican que haya que comprar o no un seguro contra un terremoto.

2. Breve historia del término “riesgo” Este término sólo surge en tiempos modernos. Luhmann afirma que en la Edad Media el término riscium era usado en determinados contextos, sobre todo en el transporte marítimo y los problemas legales consiguientes de pérdida y daño. Asimismo, en las lenguas vernáculas del siglo XVI eran utilizadas las palabras “rischio” y “riezgo”. En inglés, el término “risk” sólo hace su aparición en el siglo XVII, y parece ser importado de Europa continental. Cuando esta terminología se asentó, reemplazó la antigua noción de “en términos de buena y mala fortuna”. Luhmann trata de explicar esta transición: “Quizás ello se debió a la pérdida de plausibilidad de la antigua retórica de Fortuna como una figura alegórica de contenido religioso y de Prudentia como una virtud nobiliaria de la emergente sociedad comercial.” El análisis de escenarios maduró durante las confrontaciones de la Guerra Fría entre las potencias (USA-URSS). Se extendió en los círculos aseguradores de los años 1970s cuando los grandes desastres de buques cisterna transportadores de petróleo obligaron a previsiones más comprehensivas. El enfoque científico del riesgo entró en el terreno financiero en los 1980s cuando proliferaron los derivados financieros como los contratos de futuros y a término, las opciones y los swaps. En los 1990s alcanzó al ambiente profesional cuando la potencia de las computadoras personales permitió una amplia recolección de datos y procesamiento de números. En los Estados Unidos, la utilización de derivados financieros causó grandes pérdidas a causa del leverage o “compra apalancada con financiación ajena”. Los derivados permiten obtener a los inversores grandes ganancias a partir de pequeños movimientos en el precio del activo subyacente. Empero, los inversores podrían perder cuantiosas sumas de dinero si el precio de este activo se vuelve en su contra. Ha habido ejemplos de grandes pérdidas masivas: la del negocio de Nick Leeson en 1994; la quiebra del Condado de Orange en 1994, que constituyó la quiebra municipal más grande en la historia de ese país; la quiebra del Long-Term Capital Management en 2000; la pérdida de 6.400 millones de dólares del fondo Amaranth Advisors, en 2007 (que tenía una posición larga en gas natural). Las pérdidas pueden ser originadas por el riesgo de incumplimiento de una de las partes; también porque plantean un elevado nivel de riesgo a inversores pequeños, sin experiencia. Sin embargo, el uso de derivados mueve muchísimo dinero a nivel mundial. De acuerdo con estadísticas del Banco de Ajustes de Basilea, la rotación combinada en los intercambios de derivados a nivel mundial totalizó USD 344 trillones en el cuarto trimestre de 2005. En 2003, Alan

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Greenspan, director del Banco de la Reserva Federal de los Estados Unidos comentó que el uso de derivados había morigerado el impacto del descenso de la actividad económica a principios del siglo XXI. Aparentemente, sólo ahora algunos gobiernos están aprendiendo a utilizar métodos de riesgo sofisticados, uno de cuyos ejemplos es el de fijar estándares de regulación ambiental, p.ej. el “pathway analysis” realizado por la Agencia de Protección Ambiental de Estados Unidos. Observación Despues de leer estas considraciones preliminares, deberia ser claro que el lenguage que usan los economistas es un poco confuso porque (a veces) identifican ‘riesgo’ con ‘incertidumbre’, lo cual no es enteramente una buena idea. Es más claro hablar de incertidumbre en el sentido de Knight (o incertidumbre en sentido estricto) y riesgo. En el primer caso, la distribución de probabilidades de la variable aleatoria no puede calcularse porque no existe suficiente información cuantitativa. En la profesion económica el uso de la dicotomía introducida por Knight en 1921 es completamente standard. 3. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad Una variable aleatoria (v.a.) es una función que mapea un resultado en una variable real. Si por ejemplo arrojamos una moneda, podemos definir una v.a. X tal que X=47 si sale cara y X=35 si sale cruz. Asociada a cada v.a. X existe una función de distribución (acumulada) F tal que: [1] F(x) = Pr[X ≤x] Continuando con el ejemplo, si la moneda no está sesgada, la distribución de X podría venir dada por: [2] F(x)=

{

1

para x≥47

0.5 0

para 47>x≥35 para x0, y U’’(W)0 es el desvío estándar, el parámetro real μ es el valor esperado, y

243

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2

[16]

e-x φ(x)= φ0,1(x)= ───, √2π

x∈R

es la función de densidad de la distribución normal estándar, es decir cuando μ=0 y σ=1. La función de densidad de probabilidad tiene ciertas propiedades notables como las siguientes: Simetría en torno a su media μ El modo y la mediana 9 de la función son iguales ambos a la media μ Los puntos de inflexión de la curva se producen a la distancia de un desvío estándar de la media, e.d. en μ − σ y en μ + σ. La función de distribución (también llamada función de distribución acumulada) evaluada en el número x, es la probabilidad del evento de que la variable aleatoria X con esa distribución sea inferior o igual a x. La función de distribución acumulada de la distribución normal viene expresada en términos de la función de densidad como: [17]

∫

1

x

Фμ,σ2(x) = φμ,σ2(u) du = ─── -∞ σ√2π

x

(u-μ)2

∫ exp(- ──── ) du -∞

2σ2

x∈R,

= Ф(x-μ/σ),

fórmula en la cual la función de distribución acumulada Ф estándar es la función de distribución acumulada general evaluada en μ=0 y σ=1: 1 [18]

∫

x

Ф(x)= Ф0,1(x)=─── exp (-u2/2) du, √2π -∞

x∈R.

Cerca de un 68% de los valores extraidos de una distribución normal se hallan dentro de la proximidad de un desvío estándar σ de la media μ. Alrededor de un 95% de los valores se encuentran dentro de dos desvíos estándar, mientras que un 99.7% lo hace dentro de tres desvíos estándar. Esto conduce a una “regla empírica” conocida como “regla de 68-95-99.7”. 5. Preferencias 5.1 La aproximación de preferencias por el estado 9

El modo es el valor más frecuente de la distribución de probabilidad (o de un conjunto de datos). La mediana es el número que separa a la mitad superior de la distribución de probabilidad (o de una muestra o población) de la mitad inferior.

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El enfoque desarrollado en capítulos anteriores puede ser generalizado en forma directa de modo de abarcar también la conducta bajo incertidumbre. Así como una manzana consumida hoy es algo diferente de una manzana consumida mañana, tomar un refresco en un día caluroso es diferente de hacerlo en un día frío. En problemas relacionados con la incertidumbre, es posible tratar al mismo bien físico consumido en distintos estados del mundo como bienes distintos. Mediante este enfoque, la utilidad es definida en términos de mercancías estado-contingentes. Un bien estado-contingente es un bien que sólo puede ser consumido si se verifica cierto estado del mundo. Por ejemplo, consideremos un contrato para entregar 100 l. de bebidas cola si la temperatura se ubica por encima de 25 ºC (pero nada en otros casos). Supongan que hay sólo dos estados posibles, y denotemos como W1 y W2 las cantidades de bienes estado 1 y estado 2contingentes, respectivamente. W1 y W2 podrían ser vectores como si fueran canastas de mercancías, pero serán usados mayormente como escalares que representan a la riqueza o a un consumo compuesto. Si las probabilidades de ambos estados son respectivamente π1 y π2, con π1+ π2=1, las preferencias del consumidor pueden ser representadas por una función de utilidad como la siguiente: [19]

U(W1,W2; π1, π2).

En tal caso la utilidad queda definida sobre el plan de consumo contingente (W1,W2). ¿Por qué están las probabilidades? Pues porque el valor de una mercancía estado-contingente depende de cuán probable es que ocurra ese estado. Si existen mercados completos en los que se puedan comprar bienes estado-contingentes a precios exógenos, el análisis de la elección de consumo bajo incertidumbre resulta formalmente equivalente al caso de certidumbre. La unidad consumidora elegirá W1 y W2 de modo de maximizar la utilidad sujeta a restricciones presupuestarias. Las funciones de demanda de bienes estado-contingentes resultantes satisfarán todos los teoremas derivados en los capítulos IV y V. Pero el requerimiento de que existan mercados completos es muy exigente, ya que si hay n bienes diferentes y s estados posibles del mundo, tendría que haber ns mercados separados. Piensen ustedes en las grandes dimensiones del problema. Arrow 10 demostró que el comercio de bienes estado-contingentes puede ser sustituido por el intercambio de derechos estado-contingentes (es decir, contratos financieros que dan lugar a distintas cantidades de dinero en estados distintos del mundo). Luego un conjunto completo de mercados sólo requiere n mercados de bienes más s mercados de valores. Pero los mercados contingentes son difíciles de ser organizados (especificación y medición difícil del estado). Luego esta aproximación puede resultar compleja como para ser llevada a cabo. Si los bienes estado-contingentes no son comercializados, debemos explorar alguna otra alternativa para tratar la existencia de incertidumbre. 5.2 La hipótesis de sofisticación probabilística Aunque este enfoque ha conducido a adelantos importantes en los análisis de elección bajo incertidumbre, la teoría moderna de la probabilidad condujo a los economistas a hacer la hipótesis de que aún las creencias individuales pueden ser representadas mediante probabilidades personales o subjetivas, que adoptan la forma de una medida de probabilidad subjetiva aditiva μ(.) en un espacio de estados S. En tal caso, una canasta de pagos según el estado (c1,...,cn) será considerada como generando el resultado ci con probabilidad μ(si), de modo que el individuo evaluará la canasta (c1,...,cn) de la misma forma en que evaluaría una apuesta en un casino que le depare los pagos (c1,...,cn) con probabilidades (μ(s1), ..., μ(sn)). La hipótesis de que los individuos tienen tales creencias probabilísticas y que evalúan a las canastas de esta manera es 10

Kenneth J. Arrow (1964) “The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk Bearing”, Rev. Eco. Stud. 31.

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denominada la hipótesis de sofisticación probabilística, y permite una aplicación unificada de la teoría de la probabilidad al análisis de decisiones tanto bajo un riesgo objetivo como bajo incertidumbre subjetiva 11 . 5.3 Teoría de la Utilidad Esperada La función de utilidad [19] es muy general. Para imponerle más estructura hay algunos axiomas adicionales como los siguientes: 1.-Independencia del estado. Una perspectiva incierta que proporciona x en el estado 1 e y en el estado 2 es igualmente preferida a una perspectiva de y en el estado 1 y x en el estado 2, si la probabilidad de recibir x en ambos estados es la misma. La independencia del estado significa que las preferencias dependen de las probabilidades de los estados del mundo, no de los estados en sí mismos 12 . 2.- Reducción de las loterías compuestas. Si x es una perspectiva incierta consistente de y y z con probabilidades π y 1-π, entonces la perspectiva que consiste de x y z con probabilidades π* y 1- π* es igualmente preferida que una perspectiva de y y z con probabilidades π π* y 1- π π* e igualmente preferida a la perspectiva de y y z con probabilidades π π* y 1- π π*. Lo que el axiona afirma es que las preferencias de un consumidor por perspectivas inciertas dependen únicamente de las probabilidades de percibirlas y no de cómo se forman las probabilidades 13 . 3.- Continuidad. Si x es preferido a y y éste preferido a z, existe un cierto valor de probabilidad π tal que y será preferido a una combinación incierta consistente de x y z, con x realizado con probabilidad π y z con probabilidad 1- π 14 . 4.- Independencia de alternativas irrelevantes. Si x es preferido a y, luego para cualquier z una perspectiva incierta consistente de x y z con probabilidades π y 1-π será preferida a la perspectiva incierta consistente de y y z con idénticas probabilidades 15 . Teorema Bajo los axiomas [1]-[4], si los valores W1 y W2 con probabilidades respectivas π1 y π2 están dados, es posible hallar una función de utilidad u(.) – que será llamada la “función de utilidad elemental o de Bernoulli” – tal que [20]

11

U(W1,W2; π1 , π2) = π1u(W1)+ π2u(W2)

La hipótesis de sofisticación probabilística sin recurrir a la teoría de la utilidad esperada ha sido analizada en M. Machina and D. Schmeidler (1992), “A More Robust Definition of Subjetive Probability”, Econometrica, 60. Reimpreso en J. Hey (ed.), (1997), The Economics of Uncertainty, Vol. II: Uncertainty and Dynamics, Cheltenham, Edward Elgar. 12 La validez de este supuesto depende del contexto; por ejemplo, en los problemas de seguro médico, las preferencias pueden depender del estado de salud aún si son cubiertos todos los gastos médicos. 13 Si un consumidor tuviera una inclinación particular hacia el suspenso, este axioma sería violado. 14 Podría sostenerse que este axioma no es válido si x es $2, y es $1, y z es la muerte. Por otra parte, a menudo la gente asume el riesgo de cruzar la calle de forma imprudente sólo para ganar unos segundos. 15 Este axioma no debe ser confundido con un axioma con el mismo nombre usado en la teoría de la elección social. Si hay certidumbre, este axioma de independencia es un postulado fuerte, porque entre dos bienes pueden existir todo tipo de relaciones de complementariedad y de sustitución, ya se consuman en forma simultánea o sucesiva en el tiempo. Para perspectivas inciertas, empero, un individuo nunca recibirá x y z conjuntamente, o y y z conjuntamente. Luego, la presencia de z es improbable que afecte las preferencias por x e y.

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Esta función U(.) es llamada función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern en honor a la contribución pionera de estos autores en teoría de la decisión 16 . Como resultado se obtiene que las preferencias –expresadas por U(.) – son el valor esperado de la función de utilidad elemental o de Bernoulli, aditivamente separable en los resultados W1 y W2 y lineal en π1 y π2. La separabilidad es una consecuencia del axioma 4. Si no se cumple el axioma 4 de independencia del estado pero se mantienen los restantes, la utilidad puede ser expresada como π1u1(W1)+ π2u2(W2), donde u1 y u2 son funciones diferentes. 5.4 Utilidad cardinal y utilidad ordinal Tal como en el caso bajo certidumbre, la función de utilidad no es nada más que una manera conveniente de representar preferencias. Si se tiene que x≿y siempre que U(x)≥U(y), U(.) es una función de utilidad válida. Como U(x)≥U(y) implica F(U(x))≥F(U(y)) para cualquier transformación monótona creciente F, F(U(.)) también es una función de utilidad válida. Lo que implica que la utilidad permanece siendo un concepto ordinal en el análisis de la conducta bajo incertidumbre. Por ejemplo, si x es una perspectiva incierta consistente de montos W1 y W2 con probabilidades π1 y π2 y las preferencias pueden ser representadas mediante la función de utilidad [21]

U(x)=π1 log W1 + π2 log W2

luego también será válida como función de utilidad: [22]

V(x)=eU(x)=W1π1 W2π2.

Pero en este ejemplo existe una diferencia importante entre [21] y [22]. Si escribimos u(W)=logW, la ecuación [21] satisface la propiedad de la utilidad esperada, mientras que resulta imposible escribir [22] como el valor esperado de una función de utilidad. En general, la propiedad de la utilidad esperada no será válida bajo transformaciones monótonas crecientes de la función de utilidad. A fin de preservar la propiedad de la utilidad esperada la transformación debe ser lineal. Para verificarlo, supongamos que U=π1u(W1)+π2u(W2) y que la sometemos a la transformación lineal V=a+bU creciente (ya que supondremos que b>0). Como π1+π2=1, tenemos que [23]

V=a+b(π1u(W1)+π2u(W2))=π1(a+bu(·W1))+π2(a+bu(W2))

ecuación que sí satisface la propiedad de la utilidad esperada con la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern igual a a+bU(.). Es importante distinguir entre la función de utilidad elemental U(x) y la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern V(W). En tanto que cualquier transformación monótona creciente de U será una función de utilidad válida para representar las preferencias por perspectivas inciertas, una transformación monótona creciente de V no producirá necesariamente una función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern que represente a las mismas preferencias. Las funciones de utilidad de Von Neumann-Morgenstern son únicas solamente hasta una transformación lineal. Por ejemplo, si las preferencias vienen representadas por la ecuación [21] previa, la función de utilidad elemental es u(W)=log W. Si la sometemos a una transformación monótona v=eu y

16

J.von Neumann and O.Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1944. Para una demostración de este teorema, v. R.D. Luce and H. Raiffa, Games and Decisions, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1957.

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tratamos a v como si fuera una función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern, en tal caso las preferencias por perspectivas inciertas serían [24]

V=π1W1+π2W2

que son distintas de [21] o [22]. A los índices únicos hasta una transformación lineal positiva se los llama índices cardinales. Una vez que están determinados el origen y el intervalo de los incrementos el índice cardinal queda determinado únicamente. Un ejemplo de escala cardinal es la temperatura. La conversión de grados Fahrenheit (F) a grados Celsius (C) viene expresada mediante C=(F-32)/1.8, que es obviamente lineal. La conversión inversa es F=1.8C+32 17 . Los índices sometidos a transformaciones lineales tienen la propiedad de que no cambia el signo de su segunda derivada. Si W es la riqueza y u’’(W) es negativa (utilidad marginal decreciente), se tiene que [25]

d2 ─── (a+bu(W))=bu’’(W) dW2

y por consiguiente toda transformación de u mantendrá la propiedad de utilidad marginal decreciente. Que sea creciente o decreciente como veremos seguidamente tiene implicancias importantes sobre la actitud hacia el riesgo de un individuo. Pero como siempre, no justifica que los cambios de la satisfacción subjetiva puedan ser comparados, dado que la función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern sólo constituye una forma conveniente de representar las preferencias del consumidor. 6. Teoría de la aversión al riesgo Luego de la axiomatización de von Neumann y Morgenstern de la hipótesis de utilidad esperada, los economistas comenzaron de inmediato a buscar las aplicaciones potenciales de la teoría a cuestiones como la elección de cartera, la actividad aseguradora, etc. Estas aplicaciones usaban modelos simples en los que los resultados estaban expresados en un único bien, “riqueza”, y por consiguiente el conjunto de resultados X era simplemente la recta real R. En consecuencia, una “lotería” era definida como una variable aleatoria z∈R. La conducta frente al riesgo está estrechamente vinculada con la convexidad de las curvas de indiferencia. Bajo certidumbre, un consumidor indiferente entre a. 2 manzanas y 0 naranjas, y b. 0 manzanas y 2 naranjas, si su curva de indiferencia es estrictamente convexa, preferirá a ambas alternativas la canasta c. 1 manzana y 1 naranja. De forma similar, como hemos visto en el cap. VIIII, en la teoría del consumo intertemporal, la convexidad implica que una trayectoria suavizada de consumo es preferible a una trayectoria errática. Analizando ahora la conducta bajo riesgo, si dibujamos un mapa de indiferencia poniendo en cada eje “ingreso en el estado 1” e “ingreso en el estado 2”, pueden ver que un ingreso seguro de $1 en cualquier estado es preferible a un ingreso incierto de $2 en uno de los estados y $0 en el otro. En otras palabras, las curvas de indiferencia convexas implican un consumidor adverso al riesgo.

17

A partir de su creación en 1750 la unidad de la escala Celsius fue denominada grado centígrado (se escribía °c, en minúscula). Pero en 1948 se decidió el cambio en la denominación oficial para evitar confusiones con la unidad de ángulo también denominada grado centígrado (grado geométrico), aunque la denominación previa se sigue empleando extensamente en el uso coloquial.

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Veamos ahora la vinculación entre convexidad de curvas de indiferencia y la forma de la función de utilidad elemental. Una curva de indiferencia típica de utilidad de Von Neumann–Morgenstern es la siguiente: [26]

π1u(W1)+ π2u(W2)≡U0

Diferenciando con respecto a W1 : [27]

dW2 π1u′(W1) ─── = – ──────── π2u′(W2) dW1

Con curvas de indiferencia convexas en todo su dominio, la derivada segunda [28]

d2W2 π1u''(W1)( π2u'(W2))2+ π2u''(W2)( π1u'(W1))2 ─── = – ────────────────────────── (π2u'(W2))3 dW12

es positiva para todos los valores de W1 y W2. Si hacemos W1=W2=W, la derivada segunda es: [29]

π1 π2 (π1+ π2) u''(W)u'(W2)2 π1 u''(W) d2W2 ─── = – ────────────────── = – ──────── (π2u'(W))3 π22 u'(W) dW12

Esta expresión es positiva si y solamente si u''(W)