Movimiento de rotación

Javier Junquera

Bibliografía

FUENTE PRINCIPAL Física, Volumen 1, 3° edición Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson ISBN: 84-9732-168-5 Capítulo 10

Física para Ciencias e Ingeniería, Volumen 1, 7° edición Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Cengage Learning ISBN 978-970-686-822-0 Capítulo 10

Tips on Physics R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. Sands Ed. Pearson Addison Wesley ISBN: 0-8053-9063-4 Capítulo 3-3 y siguientes

Definición de traslación, rotación y vibración Traslación: las posiciones de todas las partículas del cuerpo se desplazan una misma cantidad.

Rotación: el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo.

Vibración: oscilación en torno a una posición de equilibrio

Partícula en un movimiento de rotación. Posición angular o posición de rotación Supongamos un objeto que gira sobre sí mismo ¿cómo describiríamos su posición en ese movimiento de rotación?. La manera más fácil de describir su posición en ese movimiento de rotación es describiendo su orientación con respecto a alguna dirección de referencia fija.

Podemos utilizar un ángulo, medido a partir de una dirección de referencia, como una medida de la posición de rotación o posición angular.

cannot nt parts owever, llection

Partícula en un movimiento de rotación. hat the Posición angular o posición de rotación ve locaRigid object

objects ny situa-

Supongamos un objeto plano que gira alrededor de un eje fijo perpendicular al objeto y que pasa por un punto O.

n

otating ure. Let he disc. ircle of O.) It is ere r is m some rdinate particle n arc of ugh the

r O

P

Reference line

(a)

Todas las partículas del objeto describen un movimiento circular alrededor de O. P

r O

s

u Reference line

(b)

(10.1a)

(10.1b)

La partícula indicada por el punto negro se encuentra a una distancia fija r del origen y gira alrededor de O describiendo un círculo de radio r.

Figure 10.1 A compact disc rotating about a fixed axis through O perpendicular to the plane of the figure. (a) In order to define angular position for the disc, a fixed reference line is chosen.

Hay una estrecha relación entre el movimiento de rotación del objeto y el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria circular. Un objeto que rota está compuesto por muchas partículas, cada una de las cuales se mueve con un movimiento circular (puede ser no uniforme)

cannot nt parts owever, llection

Partícula en un movimiento de rotación. hat the Coordenadas polares ve locaRigid object

objects ny situa-

Resulta conveniente representar la posición de una partícula mediante sus coordenadas polares

n

otating ure. Let he disc. ircle of O.) It is ere r is m some rdinate particle n arc of ugh the

r O

P

Reference line

(a)

P r O

En este sistema de referencia, la única coordenada de una determinada partícula que cambia con el tiempo es θ, permaneciendo r constante

s

u Reference line

(b)

(10.1a)

(10.1b)

Se elige como centro del sistema de coordenadas polares un punto que coincida con el centro de las trayectorias circulares de las partículas

Figure 10.1 A compact disc rotating about a fixed axis through O perpendicular to the plane of the figure. (a) In order to define angular position for the disc, a fixed reference line is chosen.

A medida que un partícula del objeto se mueve a lo largo del círculo de radio r desde el eje x positivo (θ = 0) hasta el punto P, se está moviendo a lo largo de un arco de longitud s, que está relacionado con el ángulo θ por la expresión

Partícula con movimiento circular: definición de radián Un radián representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

Equivalencia entre grados y radianes Grados

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

Radianes

0

π/6

π/4

π/3

π/2

π

3π/2

2π

to one complete revolution.) Hence, 1 rad ! 360°/2" ! 57.3° . To convert an angle in ▲ PITFALL PREVENTION degrees to an angle in radians, we use the fact that " rad ! 180°, or Partícula con movimiento circular: 10.1 Remember the " Radiande velocidades angulares definición # (rad) ! # (deg) 180' In rotational equations, we must use angles expressed in radians. Don’t fall into the trap of using angles measured in degrees in rotational equations.

y

" ,t f

r

!,ti

θf θi O

x

Figure 10.2 A particle on a rotating rigid object moves from ! to " along the arc of a circle. In the time interval $t ! tf % ti , the radius vector moves through an angular displacement $# ! #f % #i.

Average angular speed

For example, 60° equals "/3 rad and 45° equals "/4 rad. Because the disc in Figure 10.1 is a rigid object, as the particle moves along the circle from the reference line, every other particle on the object rotatesB through Mientras la partícula se mueve desde A hasta en unthe same #. Thus, we can associate the angle ! with the entire rigid well as angle tiempo , el vector correspondiente al object radio as barre with an individual particle. This allows us to define the angular position of a rigid obel ángulo que equivale al desplazamiento ject in its rotational motion. We choose a reference line on the object, such as a line angular durante ese tiempo connecting O and a chosen particle on theintervalo object. The de angular position of the rigid object is the angle # between this reference line on the object and the fixed reference line in space, which is often chosen as the x axis. This is similar to the way we identify Ni la posición angular ni el desplazamiento angular the position of an object in translational motion—the distance x between the object están limitados al rango and the reference position, which is the origin, x ! 0. hace in falta “reiniciar” la posición a cero As (no the particle question on our rigid object travelsangular from position ! to position vez que el ejeline x).of length r sweeps out an " in acada time interval $t asla inpartícula Figure 10.2, cruza the reference angle $# ! #f % #i. This quantity $# is defined as the angular displacement of the rigid object:

Definimos la velocidad angular media como el cociente $# " # f % # i entre el desplazamiento angular y el intervalo de tiempo

The rate at which this angular displacement occurs can vary. If the rigid object spins rapidly, this displacement can occur in a short time interval. If it rotates slowly, this displacement occurs in a longer time interval. These different rotation rates can be quantified by introducing angular speed. We define the average angular speed & (Greek omega) as the ratio of the angular displacement of a rigid object to the time interval $t during which the displacement occurs:

&"

#f % #i $# ! tf % ti $t

(10.2)

to one complete revolution.) Hence, 1 rad ! 360°/2" ! 57.3° . To convert an angle in ▲ PITFALL PREVENTION degrees to an angle in radians, we use the fact that " rad ! 180°, or Partícula con movimiento circular: 10.1 Remember the " Radiande velocidades angulares definición # (rad) ! # (deg) 180' In rotational equations, we must use angles expressed in radians. Don’t fall into the trap of using angles measured in degrees in rotational equations.

y

" ,t f

r

!,ti

θf θi O

x

For example, 60° equals "/3 rad and 45° equals "/4 rad. Because the disc in Figure 10.1 is a rigid object, as the particle moves along the cirDefinimos la velocidad media como el through cociente cle from the reference line, everyangular other particle on the object rotates the same Thus, we can associate angular the angle !ywith the entire rigid object as well as angle #.el entre desplazamiento el intervalo de tiempo with an individual particle. This allows us to define the angular position of a rigid object in its rotational motion. We choose a reference line on the object, such as a line connecting O and a chosen particle on the object. The angular position of the rigid object is the angle # between this reference line on the object and the fixed reference line in space, which is often chosen as the x axis. This is similar to the way we identify the position of an object in translational motion—the distance x between the object Por analogía con la velocidad de traslación, and the reference position, which is the origin, x ! 0. la velocidad angular instantánea se define como As the particle in question on our rigid object travels from position ! to position " in a time interval $t as in Figure 10.2, the reference line of length r sweeps out an angle $# ! #f % #i. This quantity $# is defined as the angular displacement of the rigid object: $# " # f % # i

Unidades: rad/s o s-1

The rate at which this angular displacement occurs can vary. If the rigid object spins Figure 10.2 A particle on a rapidly, this displacement can occur in a short time interval. If it rotates slowly, this disrotating rigid object moves from ! to " along the arc of a circle. In placement occurs in a longer time interval. These different rotation rates can be quanthe time interval $t ! tf % ti , the tified by introducing angular speed. We define the average angular speed & (Greek Si vector adoptamos el convenio de que el eje fijo de rotación es el eje z, entonces diremos radius moves through an omega) as the ratio of the angular displacement of a rigid object to the time interval angular $# ! #f % cuando #i. quedisplacement es positiva aumente (movimiento en sentido contrario del sentido $t during which the displacement occurs:

del reloj y negativo en caso contrario Average angular speed

&"

#f % #i $# ! tf % ti $t

(10.2)

to one complete revolution.) Hence, 1 rad ! 360°/2" ! 57.3° . To convert an angle in ▲ PITFALL PREVENTION degrees to an angle in radians, we use the fact that " rad ! 180°, or Partícula con movimiento circular: 10.1 Remember the " Radiande aceleraciones angulares definición # (rad) ! # (deg) 180' In rotational equations, we must use angles expressed in radians. Don’t fall into the trap of using angles measured in degrees in rotational equations.

y

" ,t f

r

!,ti

θf θi O

x

Figure 10.2 A particle on a rotating rigid object moves from ! to " along the arc of a circle. In the time interval $t ! tf % ti , the radius vector moves through an angular displacement $# ! #f % #i.

Average angular speed

For example, 60° equals "/3 rad and 45° equals "/4 rad. Because the disc in Figure 10.1 is a rigid object, as the particle moves along the circlela from the reference line, every other particle on object rotates through the same Si velocidad angular instantánea dethe una partícula cambia associate the ! with the entire rigid object as una well as angle #.aThus, we de encan el intervalo deangle tiempo , la partícula tiene with an individual particle. This allows us to define the angular position of a rigid obaceleración angular ject in its rotational motion. We choose a reference line on the object, such as a line connecting O and a chosen particle on the object. The angular position of the rigid object is the angle # between this reference line on the object and the fixed reference Aceleración angular media line in space, which is often chosen as the x axis. This is similar to the way we identify the position of an object in translational motion—the distance x between the object and the reference position, which is the origin, x ! 0. As the particle in question on our rigid object travels from position ! to position " in a time interval $t as in Figure 10.2, the reference line of length r sweeps out an angle $# ! #f % #i. This quantity $# is defined as the angular displacement of the rigid object: Por analogía con la aceleración de traslación,

la aceleración angular $instantánea se define como # " #f % #i The rate at which this angular displacement occurs can vary. If the rigid object spins rapidly, this displacement can occur in a short time interval. If it rotates slowly, this displacement occurs in a longer time interval. These different rotation rates can be quantified by introducing angular speed. We define the average angular speed & (Greek omega) as the ratio of the angular displacement of a rigid object to the time interval 2 -2 Unidades: $t during which the displacement occurs: rad/s o s

&"

#f % #i $# ! tf % ti $t

(10.2)

Partícula con movimiento circular: dirección de velocidad y aceleración angular No se ha asociado ninguna dirección con la velocidad angular ni la aceleración angular Siendo estrictos, la velocidad y la aceleración angular instantánea definidas anteriormente son los módulos de las correspondientes magnitudes vectoriales En el caso de rotación alrededor de un eje fijo, la única dirección que permite especificar de forma unívoca el movimiento de rotación es la dirección a lo largo del eje La dirección de

se orienta a lo largo del eje de rotación.

S

Por convenio, se considera que el sentido de Por convenio, se considera queω el sentido de es saliente con respecto al plano en el diagrama es entrante con respecto al plano en el diagrama cuando la rotación es en el sentido contrario a cuando la rotación es en el sentido de las las agujas del reloj agujas del reloj S EC TI O N 10.1 • Angular Position, Velocity, and Acceleration 295 ω

ω

Figure 10.3 The right-han ing the direction of the ang

If the instantaneous angular speed of an object changes from ! interval "t, the object has an angular acceleration. The average angu

Partícula con movimiento circular: dirección de velocidad y aceleración angular No se ha asociado ninguna dirección con la velocidad angular ni la aceleración angular Siendo estrictos, la velocidad y la aceleración angular instantánea definidas anteriormente son los módulos de las correspondientes magnitudes vectoriales En el caso de rotación alrededor de un eje fijo, la única dirección que permite especificar de forma unívoca el movimiento de rotación es la dirección a lo largo del eje La dirección de

se deduce de su definición vectorial como

La dirección de la aceleración es la misma que la de la velocidad angular si la velocidad angular (el módulo de ) aumenta con el tiempo

La dirección de la aceleración es antiparalela a la velocidad angular si la velocidad angular (el módulo de ) disminuye con el tiempo

Vector velocidad angular

R

Vector velocidad angular Módulo: celeridad angular

α

Dirección: perpendicular al plano del movimiento Sentido: tornillo a derechas

Como sugiere que Derivando el vector velocidad, obtenemos la aceleración

Cinemática de rotación: cuerpo rígido con aceleración angular constante En el caso de movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, el movimiento acelerado más simple es el movimiento bajo aceleración angular constante

Y además Podemos integrar esta expresión directamente para calcular la velocidad angular final

Cinemática de rotación: cuerpo rígido con aceleración angular constante Integrando una vez más obtenemos el ángulo en función del tiempo

Cinemática de rotación: cuerpo rígido con aceleración angular constante

Si eliminamos el tiempo de la primera ecuación y sustituimos en la segunda

Y eliminando la aceleración angular

Cinemática de rotación: cuerpo rígido con aceleración angular constante Table 10.1

Kinematic Equations for Rotational and Linear Motion Under Constant Acceleration Rotational Motion About Fixed Axis

Linear Motion

!f " !i # $t %f " %i # !i t # 12 $t 2 !f 2 " !i 2 # 2$(%f & %i ) %f " %i # 12(!i # !f )t

vf " vi # at 1 x f " x i # vi t # 2at 2 vf 2 " vi 2 # 2a(x f & x i ) 1 x f " x i # 2(vi # vf )t

Las expresiones cinemáticas para el movimiento de rotación bajo aceleración 10.4matemática Consider again pairsmovimiento of angular positions for t angular constanteQuick tienen la Quiz misma forma que the las del de in Quick Quiz If the constante, object starts sustituyendo from rest at the initial angular p traslación object bajo aceleración de 10.1. traslación moves counterclockwise with constant angular acceleration, and arrives at the gular position with the same angular speed in all three cases, for which choic angular acceleration the highest?

Example 10.1

Rotating Wheel

Relaciones entre las magnitudes de rotación y traslación 298

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula del cuerpo C H A P T E R 10 • Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis se mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de giro y v P s

r u O

x

Unapoint partícula un cuerpo rígidoin enarotación se linea Because P inde Figure 10.4 moves circle, the mueve círculopath de radio r alrededor del tangential eje z ways tangent toen theuncircular and hence is called of the tangential velocity of the point P is by definition the tan Dado que la partícula se mueve en una trayectoria where s is thecircular, distancesutraveled by this point measured along t vector velocidad es siempre 10.1a) and noting that r is constant, we obta ing that s ! r # (Eq.perpendicular a la trayectoria (a menudo se denomina velocidad ds tangencial) d# v! !r dt viene dt dado por El módulo de la velocidad tangencial

Because d#/dt ! $ (see Eq. 10.3), we see that

! rla $ partícula a lo Donde s es la distancia recorridavpor Active Figure 10.4 As a rigid object largo de la trayectoria circular rotates about the fixed axis through El módulo de la velocidad tangencialThat de lais,partícula the tangential speed of a point on a rotating rigid obje O, the point P has a tangential es igual a la distancia de la partículaular al eje de giroof that point from the axis of rotation multiplie distance velocity v that is always tangent to multiplicada poroflaradius velocidad angularTherefore, de la partícula although every point on the rigid object has the s the circular path r.

every point has the same tangential speed because r is not the sa

Relaciones entre las magnitudes de rotación y traslación 298

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula del cuerpo C H A P T E R 10 • Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis se mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de giro y v P s

r u O

x

Unapoint partícula un cuerpo rígidoin enarotación se linea Because P inde Figure 10.4 moves circle, the mueve círculopath de radio r alrededor del tangential eje z ways tangent toen theuncircular and hence is called of the tangential velocity of the point P is by definition the tan where sElismódulo the distance by tangencial this point measured along t de la traveled velocidad de la partícula and de noting that r is al constant, we obta ing that es s !igual r # (Eq. a la10.1a) distancia la partícula eje de giro multiplicada por la velocidad angular de la partícula ds d# v! !r dt dt

Because d#/dt ! $ (see Eq. 10.3), we see that

Active Figure 10.4 As a rigid object rotates about the fixed axis through O, the point P has a tangential velocity v that is always tangent to the circular path of radius r.

Aunque cada punto del sólido rígido tenga la rmisma velocidad v! $ angular, no todos los puntos tienen la misma velocidad tangencial, puesto que r cambia de punto a punto.

That is, the tangential speed of a point on a rotating rigid obje La velocidad tangencial defrom un punto en un que rota ular distance of that point the axis of objeto rotation multiplie aumenta segúnevery nos separamos eje de girohas the s Therefore, although point on thedelrigid object every point has the same tangential speed because r is not the sa

at !

dv d$ !r dt dt

(10.11) Relaciones entre las magnitudes dea ! r % Relation between tangential and angular acceleration rotación y traslación That is, the tangential component of the linear acceleration of a point on a rotating t

Podemos establecer aceleración tangencial y

rigid object equals the point’s distance from the axis of rotation multiplied by the angular acceleration. unaInrelación la that aceleración angular de lapath partícula y asu Section 4.4entre we found a point moving in a circular undergoes radial , cuya componente tangente a la trayectoria del movimiento v 2/r directed toward the center of rotation (Fig. 10.5). acceleration ar of magnitudees Because v ! r $ for a point P on a rotating object, we can express the centripetal acceleration at that point in terms of angular speed as

at

ac !

P

a ar

O

x

v2 ! r $2 r

(10.12)

Latotal componente tangencial aceleración traslación de una The linear acceleration vector at de the la point is a ! at " arde , where the magniacceleration ac . un Because a is a vector circular having a radial and a a la tude of partícula ar is the centripetal que experimenta movimiento es igual tangential component, of a atal theeje point on themultiplicada rotating rigid object distanciathe demagnitude la partícula deP giro porisla aceleración angular a ! √a t 2 " a r 2 ! r √%2 " $4 √r 2% 2 " r 2$4 !

(10.13)

Figure 10.5 Pero As a rigid laobject aceleración de traslación también tiene una componente centrípeta rotates about a fixed axis through Andy and Charlie are riding on a merry-go-round. Andy O, the point P experiences a rides on a horse at the outer rim of the circular platform, twice as far from the center tangential component of linear acceleration at and a radial of the circular platform as Charlie, who rides on an inner horse. When the merry-gocomponent of linear acceleration round is rotating at a constant angular speed, Andy’s angular speed is (a) twice Charar . The total linear acceleration of Módulo de la (d) aceleración de traslación lie’s (b) the same as Charlie’s (c) half of Charlie’s impossible to determine. de traslación total this pointAceleración is a ! at " ar .

Quick Quiz 10.5

Quick Quiz 10.6

Consider again the merry-go-round situation in Quick Quiz 10.5. When the merry-go-round is rotating at a constant angular speed, Andy’s tangential speed is (a) twice Charlie’s (b) the same as Charlie’s (c) half of Charlie’s (d) impos-

total

Energía cinética rotacional Supongamos que podemos considerar el objeto como un conjunto de partículas que rotan alrededor del eje z con una velocidad angular Cada una de esas partículas tiene una energía cinética caracterizada por su masa y el módulo de su velocidad tangencial

Aunque todas las partículas tengan la misma velocidad angular, las celeridades tangenciales individuales dependerán de su distancia al eje de rotación

La energía cinética total del sólido rígido vendrá dada por la suma de las energías cinéticas de todas las partículas que lo componen

Momento de inercia El momento de inercia se define como

Tiene por dimensiones ML2, siendo sus unidades en el SI (kg Ÿ m2)

Energía cinética rotacional La energía cinética rotacional toma el valor

La energía cinética rotacional no es una nueva forma de energía. Simplemente se trata de energía cinética ordinaria (se ha calculado como la suma de la energía cinética de las partículas contenidas en el sólido rígido). Sin embargo, la nueva expresión matemática es más conveniente cuando tratamos con rotaciones (siempre que sepamos como calcular el momento de inercia) Ahora, en el lado correspondiente al almacenamiento, dentro de la ecuación de conservación de la energía, deberemos ahora considerar que el término de la energía cinética es la suma de los cambios tanto en la energía cinética de traslación como de rotación.

Analogía entre la energía cinética asociada con las rotaciones y la energía cinética asociada con movimiento lineal La energía cinética de traslación

La energía cinética rotacional

El papel de …

… lo juega

Esto va a ocurrir cada vez que comparemos una ecuación del movimiento lineal con su correspondiente análogo en el movimiento rotacional El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento rotacional

Analogías y diferencias entre masa y momento de inercia

Masa

Momento de inercia Analogías

Es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento lineal

Es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento rotacional

Diferencias Es una propiedad intrínseca del objeto (asumiendo velocidades no relativistas)

Depende de la elección del eje de rotación (no hay un valor único del momento de inercia de un objeto). No sólo depende de la masa, sino de cómo está distribuida la masa alrededor del eje de giro.

Es un escalar

Es un tensor

Cálculo del momento de inercia en un sistema discreto Sistema discreto

C HAPTE R 10 • Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Ejemplo: cuatro pequeñas esferas están unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa despreciable que el plano xy. which are the same as the está answers insituado part (A). If thesobre masses If? What if the mass M is much larger than m? How m of the two red spheres in Figure 10.8 are negligible, then answers to parts (A) and (B) compare? Si la rotación se produce alrededor del eje y con celeridad angular ω, calcular: these spheres can be removed from the figure and rotations er If M !! m, then m can be neglected and the about the y and z axes are equivalent. al eje y - el momento de inercia Iy con respecto nt of inertia and rotational kinetic energy in part ecome - la energía2 cinética de rotación con respecto a dicho eje. 2 2 Iz " 2Ma

and

KR " Ma # y

Las dos esferas de masa m que están situadas en el eje y no contribuyen a Iy

m b

m

M

M a

a

M b

x

a

b O

m

a

b

M

m (b)

(a)

Las dos esferas de masa m no se mueven alrededor del eje y y, por tanto, no tienen energía cinética

Cálculo del momento de inercia en un sistema discreto Sistema discreto which are the same as the answers in part (A). If the masses m of the two red spheres in Figure 10.8 are negligible, then these spheres can be removed from the figure and rotations Ejemplo: esferas están about the y and cuatro z axes are pequeñas equivalent.

unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa despreciable que está situado sobre el plano xy. Si la rotación se produce alrededor del eje z con celeridad angular ω, calcular: - el momento de inercia Iz con respecto al eje z - la energía cinética de rotación con respecto a dicho eje.

m

M b

x

Dado que ri representa la distancia perpendicular al eje de giro

a

O a

b

M

m (b)

El momento de inercia y la energía cinética de rotación asociada a una celeridad angular determinada cambia con respecto al eje de giro

Cálculo del momento de inercia en un sistema continuo En el caso de un objeto continuo: 1. Se divide el objeto en muchos elementos infinitesimales de masa 2. Aproximamos el momento de inercia del sólido continuo a partir de la expresión para un sistema discreto

donde

es el cuadrado de la distancia entre el elemento de masa finita y el eje de giro

3. Tomamos el límite de la suma cuando convierte en una integral.

. En este caso, la suma se

4. Generalmente es más fácil calcular momentos de inercia en términos de volumen de los elementos, más que en sus masas. Podemos hacer la transformación ya que Si el sistema es homogéneo ρ es contante y la integral se puede evaluar para una geometría dada.

I ! ICM " MD 2

Parallel-axis theorem

(10.18)

To prove the parallel-axis theorem, suppose that an object rotates in the xy plane about the z axis, as shown in Figure 10.12, and that the coordinates of the center of mass are x CM, yCM. Let the mass element dm have coordinates x, y. Because this

Momentos de inercia de diferentes sólidos rígidos con respecto a determinados ejes Table 10.2 Moments of Inertia of Homogeneous Rigid Objects with Different Geometries Hoop or thin cylindrical shell I CM = MR 2

R

Solid cylinder or disk I CM = 1 MR 2 2

R

Hollow cylinder I CM = 1 M(R 12 + R 22) 2

R1

Rectangular plate I CM = 1 M(a 2 + b 2) 12 b a

Long thin rod with rotation axis through center I CM = 1 ML 2 12

Long thin rod with rotation axis through end

L

I = 1 ML 2 3

Solid sphere I CM = 2 MR 2 5

Thin spherical shell I CM = 2 MR 2 3 R

L

R

R2

Cálculos de momentos de inercia: S ECTI O N 10.5 • Calculation of Moments of Inertia

303

Momento de inercia de un anillo con respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro

10.5 Uniform Thin Hoop

y

moment of inertia of a uniform thin hoop of mass dius R about an axis perpendicular to the plane of and passing through its center (Fig. 10.9).

dm

Because the hoop is thin, all mass elements dm me distance r ! R from the axis, and so, applying 10.17, we obtain for the moment of inertia about hrough O: Iz !

!

r 2 dm ! R 2

!

x

O

R

dm ! MR 2

this moment of inertia is the same as that of a sine of mass M located a distance R from the axis of

Figure 10.9 (Example 10.5) The mass elements dm of a uniform hoop are all the same distance from O.

Consideremos un anillo de masa

y radio

10.6 Uniform Rigid Rod

El eje de rotación es el eje de simetría del anillo, perpendicular al y′ y del mismo y que atraviesa su centro

the moment of inertia of a uniform rigid rod of nd mass M (Fig. 10.10) about an axis perpendicular plano (the y axis) and passing through its center of mass.

The shaded length element dx in Figure 10.10 has a Toda la masa seby encuentra qual to the mass per unit length " multiplied dx: dm ! " dx !

M dx L

r 2 dm !

M

x3

!

L/2

#L/2

L/2

x2

M M dx ! L L

y el momento de inercia es x

ng this expression for dm into Equation 10.17, with e obtain

!

a una distancia dx

!

L/2

#L/2

x 2 dx

O x L

Figure 10.10 (Example 10.6) A uniform rigid rod of length L. The moment of inertia about the y axis is less than

!

!

r 2 dm ! R 2

dm ! MR 2

ment of inertia is the same as that of a sinCálculos de momentos de inercia: Figure 10.9 (Example 10.5) The mass elements dm of a ss M located a distance R from the axis of uniform hoop are all the same distance from O.

Momento de inercia de un varilla uniforme con respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa por su centro de masas

Uniform Rigid Rod

ment of inertia of a uniform rigid rod of M (Fig. 10.10) about an axis perpendicular xis) and passing through its center of mass.

y′

y

ded length element dx in Figure 10.10 has a he mass per unit length " multiplied by dx: dm ! " dx !

dx

M dx L

x O

xpression for dm into Equation 10.17, with

m!

3

#

!

L/2

#L/2

L/2

! #L/2

x2

M M dx ! L L

1 12

ML2

Uniform Solid Cylinder

!

L/2

#L/2

x L

x 2 dx

Figure 10.10 (Example 10.6) A uniform rigid rod of length L. The moment of inertia about the y axis is less than Consideremos una barra uniforme de longitud that about the y$ axis. The latter axis is examined in Example 10.8.

y masa

La zona sombreada de longitud tiene una masa igual a la masa por unidad de longitud multiplicada por

ylinder has a radius R, mass M, and length oment of inertia about its central axis (the ).

nvenient to divide the cylinder into many each of which has radius r, thickness dr, shown in Figure 10.11. The volume dV of oss-sectional area multiplied by its length: r)dr. If the mass per unit volume is &, then s differential volume element is dm !

z dr r R L

0 (Example 10.6) A uniform rigid rod of e moment of inertia about the y axis is less than he y$ axis. The latter axis is examined in 8.

Cálculos de momentos de inercia: Momento de inercia de un cilindro uniforme con respecto a su eje central z

Dividimos el cilindro en muchas cortezas cilíndricas de radio , grosor , y altura

dr r

El volumen de cada corteza es igual al área de su sección transversal multiplicada por la altura

R L

1 (Example 10.7) Calculating I about the z axis for lid cylinder.

El volumen total del cilindro es de modo que laindensidad esis What if the length of the cylinder Figure 10.11

,

o 2L, while the mass M and radius R are held does this change the moment of inertia of the

El resultado no depende de . El resultado es aplicable tanto para un cilindro de gran longitud como para un disco plano

Cálculos de momentos de inercia: Momento de inercia de un placa plana con respecto a un eje perpendicular a la misma 14/04/15 15:09

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se Elconvierte momentoen deun inercia de un placa plana con a un perpendicular rectángulo de longitud 2pxrespecto y anchura dx,eje cuya masa es a la misma es la

suma de los momentos de inercia de la lámina con respecto a dos ejes contenidos en el plano de la misma que sean perpendiculares entre sí y que se corten en el punto por donde pasa el eje perpendicular

El momento de inercia del disco es

Teorema de Steiner Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría. El Teorema de Steiner (o teorema del eje-paralelo) a menudo simplifican los cálculos. Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto, Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

Teorema de Steiner: demostración y

S EC TI O N 10.5 • Calculation of Moments of Inertia

dm x, y z

y′

Rotation axis

r

y CM yCM

Axis through CM y

xCM, yCM O

D

O

x xCM

CM

x

x′ x

(a) (b) Supongamos que un objeto rota en el plano xy alrededor del eje z. Figure 10.12 (a) The parallel-axis theorem: if the moment of inertia about an axis perpendicular the figure through the center of mass isdel I , then the moment of Supongamos además quetolas coordenadas centro de masas son inertia about the z axis is I ! I # MD . (b) Perspective drawing showing the z axis z

CM

2

CM

(the axis of rotation) and the parallel axis through the CM.

element is a distance r ! √x 2 # y 2 from the z axis, the moment of inertia about the

Tomemos un elemento z axis is de masa

situado en las coordenadas

I!

!

r 2 dm !

!

(x 2 # y 2)dm

However, we can relate the coordinates x, y of the mass element dm to the coordinates of this same element located in a coordinate system having the object’s center of mass as its origin. If the coordinates of the center of mass are x CM, y CM in the original coordinate system centered on O, then from Figure 10.12a we see that the relationships between the unprimed and primed coordinates are x ! x" # x CM and y ! y" # yCM. Therefore,

La distancia desde este elemento al eje de rotación (eje z) es I!! [(x" # xrespecto ) # (y" # y ) ]dm Y el momento de inercia con al eje z vale CM

!

!

2

CM

[(x")2 # (y")2]dm # 2x CM

2

!

x "dm # 2yCM

!

y"dm # (x CM2 # yCM2)

!

dm

The first integral is, by definition, the moment of inertia about an axis that is parallel to the z axis and passes through the center of mass. The second two integrals are zero because, by definition of the center of mass, !x"dm ! !y"dm ! 0. The last integral is simply MD 2 because !dm ! M and D 2 ! x CM2 # yCM2. Therefore, we conclude that

e

305

Teorema de Steiner: demostración y

S EC TI O N 10.5 • Calculation of Moments of Inertia

305

dm x, y z

y′

Rotation axis

r

y CM yCM

Axis through CM y

xCM, yCM O

D

O

CM

x xCM

x

x′ x

(a)

(b)

Tomemos un elemento de (a)masa situado en lasabout coordenadas Figure 10.12 The parallel-axis theorem: if the moment of inertia an axis perpendicular to the figure through the center of mass is ICM, then the moment of inertia about the z axis is Iz ! ICM # MD 2. (b) Perspective drawing showing the z axis (the axis of rotation) and the parallel axis through the CM.

Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del element is a distance r ! √x # y from the z axis, the moment of inertia about the objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán z axis is 2

I!

2

!

r 2 dm !

!

(x 2 # y 2)dm

However, we can relate the coordinates x, y of the mass element dm to the coordinates of this same element located in a coordinate system having the object’s center of mass as its origin. If the coordinates of the center of mass are x CM, y CM in the original coordinate system centered on O, then from Figure 10.12a we see that the relationships between the unprimed and primed coordinates are x ! x" # x CM and y ! y" # yCM. Therefore, I! !

! !

[(x" # x CM)2 # (y" # yCM)2]dm [(x")2 # (y")2]dm # 2x CM

!

x "dm # 2yCM

!

y"dm # (x CM2 # yCM2)

!

dm

The first integral is, by definition, the moment of inertia about an axis that is parallel to the z axis and passes through the center of mass. The second two integrals are zero because, by definition of the center of mass, !x"dm ! !y"dm ! 0. The last integral is simply MD 2 because !dm ! M and D 2 ! x CM2 # yCM2. Therefore, we conclude that

R

O:

!Apliación ! del teorema de Steiner r 2 dm ! R 2

dm ! MR 2

ment of inertia is the same as that of a sinss M located a distance R from the axis of

Figure 10.9 (Example 10.5) The mass elements dm of a uniform hoop are all the same distance from O.

Consideremos de nuevo la varilla uniforme de masa y longitud . Calcularemos el momento de inercia con respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa Uniform Rigid Rod por uno de sus extremos.

ment of inertia of a uniform rigid rod of M (Fig. 10.10) about an axis perpendicular xis) and passing through its center of mass.

y′

y

ded length element dx in Figure 10.10 has a he mass per unit length " multiplied by dx: dm ! " dx !

dx

M dx L

x O

xpression for dm into Equation 10.17, with

m!

3

#

!

L/2

#L/2

L/2

! #L/2

x2

M M dx ! L L

1 12

ML2

!

L/2

#L/2

Como la

x L

x 2 dx

Figure 10.10 (Example 10.6) A uniform rigid rod of L. The moment of de inertia about theyy el axiseje is less than es distancialength entre el centro masas that about the y$ axis. The latter axis is examined in teorema de Steiner Example 10.8. (o teorema de ejes paralelos) nos

, el da:

Uniform Solid Cylinder z

ylinder has a radius R, mass M, and length oment of inertia about its central axis (the Es cuatro veces más ).

dr el estado de rotación de una varilla que gira difícil cambiar r con respecto a uno de sus extremos que cambiar el estado de rotación de una nvenient to divide the cylinder into many varilla que gira con respecto a su centro each of which has radius r, thickness dr, R

shown in Figure 10.11. The volume dV of oss-sectional area multiplied by its length:

L

Radio de giro

Es la distancia a la que tendríamos que colocar toda la masa del cuerpo (suponiendo que está concentrada en un único punto) para obtener el mismo momento de inercia

Momento (o par o torque) de una fuerza Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un cierto eje gracias a un pivote, y la línea de acción de la fuerza no pasa a través de ese pivote, el306 cuerpo tiende girar alrededor de ese ejea Fixed Axis C HAPTE R 10 a • Rotation of a Rigid Object About F sin φ

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria colineal con el vector fuerza y que se extiende hasta al infinito en ambas direcciones

r

F

10.6 Torque

Why are a door’s hinges and its φ Imagine trying to rotate a door b F cos φ O the door surface but at various φ r Line of rapid rate of rotation for the door d action plying it near the hinges. If you cannot loosen a stubbor Figure 10.13 The force F has a effort to loosen the bolt? You may greater rotating tendency about O slip a pipe over the existing wren as F increases and as the moment La tendencia de una fuerza a hacer que un cuerpo gire alrededor de door. un eje seare mide with the You more succe arm d increases. The component mediante una magnitud vectorial denominada par (o momento la fuerza dooraxial) or thede bolt) by applying the f F sin " tends to rotate the wrench When a force is exerted on a r about O. rotate about that axis. The El par es la causa de los cambios producidos en el movimiento de rotación y juega un tende measured by vector quantity cal papel en la dinámica de rotación análogo a las fuerzas en la dinámica de atraslación will consider only its magnitude h Consider the wrench pivoted

▲

PITFALL PREVENTION

Momento (o par o torque) de una fuerza Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por . La fuerza aplicada puede formar un ángulo con respecto al vector posición que indica de aplicación la fuerza 306el punto C HAPTE R 10 • Rotation ofde a Rigid Object About a Fixed Axis F sin φ r

F

10.6 Torque

Hasta ahora hemos definido Why are a door’s hinges and el its φ módulo, pero el de b Imagine trying tomomento rotate a door F cos φ O fuerza es un theuna door surface butvector at various φ r Line of rapid rate of rotation for the door d action plying it near the hinges. If you cannot loosen a stubbor Figure 10.13 The force F has a effort to loosen the bolt? You may greater rotating tendency about O slip a pipecomo over the existing wren Definimos el módulo momento por la fuerza as del F increases and asasociado the moment with the door. You are more succe arm d increases. The component door or the bolt) by applying the f F sin " tends to rotate the wrench When a force is exerted on a r about O. rotate about that axis. The tende measured by a vector aquantity cal El momento de la fuerza solo queda definido cuando se especifica un eje de referencia partir del consider de onlylaits magnitude h cual se determina la distancia entre el pivote y el punto dewill aplicación fuerza Consider the wrench pivoted

▲

PITFALL PREVENTION

Interpretación de la fórmula del módulo del momento (I) Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por . La fuerza aplicada puede formar un ángulo con respecto al vector posición que indica de aplicación la fuerza 306el punto C HAPTE R 10 • Rotation ofde a Rigid Object About a Fixed Axis F sin φ r

φ

F

Solo la componente 10.6 Torque

perpendicular provoca un giro del hinges pivote and its Whyalrededor are a door’s

Imagine trying to rotate a door b F cos φ O the door surface but at various φ r La componente de lafor fuerza Line of rapid rate of rotation the door d action paralela a no plying it near the hinges. contribuirá al giro alrededor del If you cannot loosen a stubbor punto de pivote, porque su línea Figure 10.13 The force F has a effort to loosen the bolt? You may de acción pasa justamente a greater rotating tendency about O slip a pipe over the través del punto delexisting pivotewren as F increases and as the moment with the door. You are more succe arm d increases. The component door or the bolt) by applying the f F sin " tends to rotate the wrench When a force is exerted on a r about O. rotate about that axis. The tende measured by ade vector quantity cal El módulo del momento de la fuerza es el producto de la distancia al punto aplicación will consider only its magnitude h de la fuerza multiplicada por la componente perpendicular de la fuerza Consider the wrench pivoted

▲

PITFALL PREVENTION

Interpretación de la fórmula del módulo del momento (II) Consideremos la llave inglesa que puede girar alrededor de un eje que pasa por . La fuerza aplicada puede formar un ángulo con respecto al vector posición que indica de aplicación la fuerza 306el punto C HAPTE R 10 • Rotation ofde a Rigid Object About a Fixed Axis F sin φ r

F

10.6 Torque

Why are a door’s hinges and its φ Imagine trying to rotate a door b F cos φ O the door surface but at various φ r Line of rapid rate of rotation for the door d action plying it near the hinges. If you cannot loosen a stubbor Figure 10.13 The force F has a effort to loosen the bolt? You may greater rotating tendency about O slip a pipe over the existing wren as F increases and as the moment with the door. You are more succe Si asociamos la función a la distancia arm d increases. The seno component door or the bolt) by applying the f F sin " tends to rotate the wrench When a force is exerted on a r about O. rotate about that axis. The tende A la magnitud se la denomina brazo del momentomeasured (o brazo by de apalanca) de la cal vector quantity fuerza y representa la distancia perpendicular entre el eje de rotación y la línea de h will consider onlyde itsacción magnitude Consider the wrench pivoted

▲

PITFALL PREVENTION

ing the force. The dashed line extending f the line of action of F.) From the right tria its hypotenuse, we see that d # r sin ". Th Moment arm lever arm) of F. In Figure 10.13, the only component of component perpendicular to a line drawn Si dos o más fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, cada una de ellas tiene una cation of the force. The horizontal compon through O,del haspunto no tendency to produce cierta tendencia a producir un movimiento de rotación alrededor de pivote From the definition of torque, we see tha F1 creases and as d increases. This explains t door if we push at the doorknob rather than to apply our push as closely perpendicular the doorknob will not cause the door to rot d1 If two or more forces are acting on a ri O produce rotation about the axis at O. In t clockwise and F1 tends to rotate it counte d2 sign of the torque resulting from a force is is counterclockwise and is negative if the t in Figure 10.14, the torque resulting from F2 and equal to $ F1d1; the torque from F2 is n Active Figure 10.14 The force F1 torque about O is Si el cuerpo está inicialmente en reposo:

Momento de un sistema de fuerzas

tends to rotate the object counterclockwise about O, and F2 tends en el to rotate it clockwise.

tiende a hacer girar el cuerpo sentido de las agujas del reloj Por convenio: signo

! ! # !1 $ !2

tiende a hacer girar el cuerpo en el sentido not bedel confused contrarioTorque al de should las agujas reloj with At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you can change the magnitudes, negativodirections, and points of Por application of forces F1 and F2 to see how the object accelerates under the action of the two forces.

motion, as described by Newton’s second l tional motion, but the effectiveness of the convenio: signo both the forces and positivo the moment arms of torque. Torque has units of force times lengt be reported in these units. Do not confuse t but are very different concepts.

No se debe confundir momento con fuerza

Las fuerzas pueden producir cambios en los movimientos lineales (segunda ley de Newton)

Las fuerzas también pueden producir cambios en los movimientos de rotación, per su efectividad no solo depende del módulo de la fuerza sino del punto de aplicación con respecto al eje de giro

Naturaleza vectorial del momento de una fuerza

Unidades en el SI:

(no confundir con Julios)

Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido Supongamos que podemos considerar un cuerpo rígido en rotación como un conjunto de partículas. El cuerpo rígido está sometido a la acción de un número de fuerzas que se aplican en distintas posiciones del cuerpo rígido, en las cuales estarán situadas determinadas partículas. Por tanto, podemos imaginar las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo rígido como si fueran ejercidas sobre partículas individuales del mismo. Calcularemos el momento neto sobre el objeto debido a los momentos resultantes de la acción de estas fuerzas alrededor del eje de rotación del cuerpo. Cualquier fuerza que actúe sobre el cuerpo rígido puede ser descompuesta en sus componentes radial y tangencial. La componente radial de la fuerza aplicada no contribuye al momento, dado que su línea de acción pasa a través del eje de rotación. Solo la componente tangencial contribuye al par.

Aplicación de un momento neto a un cuerpo rígido Para cualquier partícula dada, identificada mediante la variable de índice del interior del cuerpo rígido, podemos utilizar la segunda ley de Newton para describir la aceleración tangencial de la partícula

Multiplicamos los dos miembros de esta ecuación por distancia de la partícula al eje de giro

Como

, la

y

Ahora sumamos los momentos ejercidos sobre todas las partículas del cuerpo rígido

Segunda ley de Newton en las rotaciones

Par neto sobre todas las partículas del cuerpo rígido

En el modelo de cuerpo rígido, todas las partículas tienen la misma aceleración angular

Como el par neto debido a las fuerzas internas se anula (ver tema de Sistemas de partículas), entonces el término de la izquierda queda reducido al par externo neto

La segunda ley de Newton en las rotaciones El par neto que actúa sobre un cuerpo rígido es proporcional a su aceleración angular y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia

Segunda ley de Newton en las rotaciones Se puede hacer girar el disco mediante la aplicación de dos fuerzas ejercidas en el borde del disco y en la dirección tangencial

y

Física para la Ciencia y Tecnología Tipler, Mosca Editorial Reverté Volumen 1, capítulo 9

La dirección y sentido de las fuerzas son importantes Si las mismas fuerzas se aplican en la radial el disco no gira

Si las mismas fuerzas se aplican en la dirección tangencial, pero en puntos cercanos al centro del disco, este no ganará velocidad angular tan rápidamente

10.8 Work, and Energy Trabajo y energía en el movimiento dePower, rotación in Rotational Motion

Supongamos un cuerpo rígido puede derotational un punto Up que to this point rotar in ouralrededor discussion of motion in this chap F

φ ds dθ O

r

P

on an approach involving force, leading to a description of torque on We now see how an energy approach can be useful to us in so problems. We begin by considering theque relationship between Supongamos aplicamos unathe torque actin ject and its resulting motion in order to punto generate expression únicarotational fuerza externa en el a rotational analog to the es work–kinetic energy theorem. y que el desplazamiento queConsider the oted at O in Figure 10.22. Suppose a single external force F is applied a experimenta el punto de aplicación in the plane of the page. The work done by F on the object as it rotate de la fuerza por acción de la misma finitesimal distance ds " r d' is dW " F)ds " (F sin ()r d'

Figure 10.22 A rigid object rotates ( is the tangential of aF, or, in other words, th where F sin El trabajo infinitesimal la fuerza sobrecomponent el cuerpo, about an axis through O under theque realiza the force de along displacement. thatde theuna radial component of F doe medida que elforce punto la the fuerza gira a loNote largo action of an external F de aplicación it is perpendicular to the displacement. applied at P. infinitesimal distancia en un tiempo

es la componente tangencial de la fuerza, o la componente a lo largo del desplazamiento La componente radial de la fuerza no realiza ningún trabajo porque es perpendicular al desplazamiento

10.8 Work, and Energy Trabajo y energía en el movimiento dePower, rotación in Rotational Motion

Supongamos un cuerpo rígido puede derotational un punto Up que to this point rotar in ouralrededor discussion of motion in this chap

on an approach involving force, leading to a description of torque on We now see how an energy approach can be useful to us in so problems. We begin by considering theque relationship between Supongamos aplicamos unathe torque actin ject and its resulting motion in order to punto generate expression únicarotational fuerza externa en el a rotational analog to the es work–kinetic energy theorem. y que el desplazamiento queConsider the oted at O in Figure 10.22. Suppose a single external force F is applied a experimenta el punto de aplicación in the plane of the page. The work done by F on the object as it rotate de la fuerza por acción de la misma finitesimal distance ds " r d' is

F

φ ds dθ

P

r

O

dW " F)ds " (F sin ()r d'

Figure 10.22 A rigid object rotates about an axis through O under the action of an external force F applied at P.

where F sin ( is the tangential component of F, or, in other words, th the force along the displacement. Note that the radial component of F doe it is perpendicular to the displacement.

Como El trabajo realizado en el movimiento de rotación es igual al producto del par por el desplazamiento angular

Trabajo y energía en el movimiento de rotación A partir de la segunda ley de Newton para las rotaciones

De la expresión anterior para el diferencial de trabajo

Integrando esta expresión tenemos el trabajo total realizado por el par

Exactamente la misma fórmula matemática que el teorema de las fuerzas vivas para el movimiento de traslación

Potencia en el movimiento de rotación La potencia es el ritmo al cual una fuerza realiza un trabajo

Con lo que la potencia instantánea queda definida como

Expresión análoga a

en el movimiento de traslación

Comparación de los movimientos lineales y movimientos rotacionales

tial acceleration than the portion below it. (The tangential acceleration of a given point on the smokestack is proportional to the distance of that portion from the base.) As the angular acceleration increases as the smokestack tips farther, higher portions of the smokestack experience an acceleration greater than that which could result from gravity alone; this is similar to the situation described in Example 10.10. This can happen only if these portions are being pulled downward by a force in addition to the gravitational force. The force that causes this to occur is the shear force from lower portions of the smokestack. Eventually the shear force that provides this acceleration is greater than the smokestack can withstand, and the smokestack breaks.

Aceleración angular de una rueda Una rueda de radio

, masa y momento de inercia horizontal sin fricción. Figure 10.19 (Conceptual Example 10.11) A falling

se monta sobre un eje

smokestack breaks at some point along its length.

Interactive Calcular: - la aceleración angular A wheel of radius R, mass M, and moment of inertia I is Solution The magnitude of the torque acting on the de wheel la rueda, mounted on a frictionless horizontal axle, as in Figure 10.20. about its axis of rotation is ! " TR , where T is the force ex- la aceleración lineal del objeto, A light cord wrapped around the wheel supports an object of erted by the cord on the rim of the wheel. (The gravitamass m. Calculate the angular acceleration of the wheel, the tional force exerted by the Earth on the wheel and the nor- la cuerda linear acceleration of the object, and the tension in the cord. mal forcetensión exerted by thede axle la on the wheel both pass Example 10.12

Angular Acceleration of a Wheel

through the axis of rotation and thus produce no torque.) Because !! " I#, we obtain

M

Magnitud ! ! " I# " TRdel torque neto de las fuerzas externas TR que actúan sobre la rueda (1) #" I

O

Now let us apply Newton’s second law to the motion of the object, taking the downward direction to be positive:

! Fy " mg % T " ma

R

Ni la gravedad mg % T ni la normal que ejerce el eje sobre la rueda (2) a" no ejercenm ningún par sobre la rueda si este se calcula Equations (1) and (2) have three unknowns: #, a, and T. con Because the object and wheel are connected by a cord that respecto a O.

T

T

m

does not slip, the linear acceleration of the suspended object is equal to the tangential acceleration of a point on the rim of the wheel. Therefore, the angular acceleration # of the wheel and the linear acceleration of the object are related by a " R #. Using this fact together with Equations (1) and (2), we obtain

Segunda ley de Newton de las rotaciones

(3)

a " R# "

(4)

T"

mg

Figure 10.20 (Example 10.12) An object hangs from a cord wrapped around a wheel.

TR 2 mg % T " I m

mg 1 $ (mR 2/I )

tial acceleration than the portion below it. (The tangential acceleration of a given point on the smokestack is proportional to the distance of that portion from the base.) As the angular acceleration increases as the smokestack tips farther, higher portions of the smokestack experience an acceleration greater than that which could result from gravity alone; this is similar to the situation described in Example 10.10. This can happen only if these portions are being pulled downward by a force in addition to the gravitational force. The force that causes this to occur is the shear force from lower portions of the smokestack. Eventually the shear force that provides this acceleration is greater than the smokestack can withstand, and the smokestack breaks.

Aceleración angular de una rueda Una rueda de radio

, masa y momento de inercia horizontal sin fricción. Figure 10.19 (Conceptual Example 10.11) A falling

se monta sobre un eje

smokestack breaks at some point along its length.

Interactive Calcular: - la aceleración angular A wheel of radius R, mass M, and moment of inertia I is Solution The magnitude of the torque acting on the de wheel la rueda, mounted on a frictionless horizontal axle, as in Figure 10.20. about its axis of rotation is ! " TR , where T is the force ex- la aceleración lineal del objeto, A light cord wrapped around the wheel supports an object of erted by the cord on the rim of the wheel. (The gravitamass m. Calculate the angular acceleration of the wheel, the tional force exerted by the Earth on the wheel and the nor- la cuerda linear acceleration of the object, and the tension in the cord. mal forcetensión exerted by thede axle la on the wheel both pass Example 10.12

Angular Acceleration of a Wheel

through the axis of rotation and thus produce no torque.) Because !! " I#, we obtain

M

Aplicando !la! "segunda ley de Newton al movimiento del objeto I# " TR TR (tomado hacia abajo como sentido positivo) (1) #" I

O

Now let us apply Newton’s second law to the motion of the object, taking the downward direction to be positive:

! Fy " mg % T " ma

R T

(2)

T

m

a"

mg % T m

Equations (1) and (2) have three unknowns: #, a, and T. Como objeto yconnected la rueda conectados por una cuerda que no Because the el object and wheel are by a cordestán that does not slip, the linear acceleration of the suspended resbala, latangential aceleración lineal del objeto suspendido es igual a la object is equal to the acceleration of a point on the rim of the wheel. Therefore, the angular acceleration # tangencial de un punto en el borde de la rueda. of the aceleración wheel and the linear acceleration of the object are related by a " R #. Using this fact together with Equations (1) and (2), we obtain

La aceleración angular de la rueda y la aceleración lineal del objeto TR mg % T (3) a " R# " " I m están relacionados por 2

mg

Figure 10.20 (Example 10.12) An object hangs from a cord wrapped around a wheel.

(4)

T"

mg 1 $ (mR 2/I )

El péndulo físico Consideremos un cuerpo rígido que pivota en un punto centro de masas

situado a una distancia

de su

La fuerza gravitacional tiene un momento no nulo con respecto de un eje que pase por El módulo de este momento viene dado por Pivot

O

θ

d

d sin θ

CM

Usando la regla de la mano derecha, el signo del momento es negativo (se mete en el plano de la pizarra). Dicho de otra manera, el momento tiende a hacer decrecer el ángulo Por la segunda ley de Newton para las rotaciones

mg

Figure 15.18 A physical pendulum pivoted at O.

La fuerza gravitacional produce un momento que siempre hace que el ángulo tienda hacia la posición de equilibrio (es un “momento restaurador”).

El péndulo físico

Consideremos un cuerpo rígido que pivota en un punto situado a una distancia de su centro de masas La fuerza gravitacional produce un momento que siempre hace que el ángulo tienda hacia la posición de equilibrio (es un “momento restaurador”).

Pivot

O

Si suponemos que los ángulo son pequeños (y están medidos en rad)

θ

d

d sin θ

CM

mg

La ecuación del movimiento armónico simple, cuya solución es

Figure 15.18 A physical pendulum pivoted at O.

Frecuencia angular

Periodo

Máxima amplitud angular

El péndulo de torsión Consideremos un cuerpo rígido suspendido de un alambre que cuelga del techo

Cuando el objeto se gira un determinado ángulo , el alambre girado ejerce sobre el objeto un torque de restauración que es proporcional al ángulo

es la constante de torsión (Como la ley de Hooke para los muelles, pero ahora aplicado a rotaciones) Aplicando la segunda ley de Newton de las rotaciones

De nuevo, la ecuación del oscilador armónico simple con una frecuencia y periodos iguales a

ng on the center of mass rather than on a point on the rim of the rolling object. As we see in Figure 10.26, the center of mass moves in a straight line. If an object such as a cylinder rolls without slipping on the surface (we call this pure rolling motion), we can show that a simple relationship exists between its rotational and translational motions. Consider a uniform cylinder of radius R rolling without slipping on a horizontal Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie. urface (Fig. 10.27). As the cylinder rotates through an angle %, its center of mass un Therefore, cilindrothe que rueda (see Eq. 10.1a). linear speed según of the cen-una trayectoria recta. moves a linear distance s ! R%Ejemplo, er of mass for pure motion is given bypermanece paralelo a su orientación inicial en el espacio Elrolling eje de rotación

Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos

vCM !

ds d% !R ! R" dt dt

(10.25)

where " is the angular speed of the cylinder. Equation 10.25 holds whenever a cylinder or sphere rolls without slipping and is the condition for pure rolling motion.

Figure 10.26 One light source at the center of a rolling cylinder and another at one point on the rim illustrate the different paths these two points take. The center moves n a straight line (green line), while the point on the rim moves in the path called a cycloid (red curve).

El centro de masas del cilindro se mueve según una línea recta.

Un punto del borde se mueve siguiendo una trayectoria más compleja: la cicloide.

Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie. Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta. El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio S E C T I O N 10 . 9 • Rolling Motion of a Rigid Object

317

Cuando el cilindro gira un ángulo su centro de masas se mueve una distancia

R

θ

Por lo tanto, la velocidad y la aceleración del centro de masas para movimiento de rodadura puro son

s

Figure 10.27 For pure rolling motion, as the cylinder rotates through an angle !, its center moves a linear distance s " R!.

s = Rθ

The magnitude of the linear acceleration of the center of mass for pure rolling motion is dvCM

d%

Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie. Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta. El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio

Velocidades de traslación de varios puntos del cilindro y del centro de masas P′

Q

2vCM

La velocidad de traslación de cualquier punto sigue una dirección perpendicular a la línea que une ese punto con el punto de contacto

vCM

CM

P

Figure 10.28 All points on a rolling object move in a direction perpendicular to an axis through the instantaneous point of contact

En cualquier instante de tiempo, el punto P está en reposo con relación a la superficie (siempre que no haya deslizamiento)

Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie. Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta. El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio About a Fixed Axis

P′

P′

v CM

v CM

CM

P

v=0

CM

v = Rω ω

v CM

(a) Pure translation

ω v = Rω

P (b) Pure rotation

P′

ω = 2v CM v = v CM + Rω

v = v CM

CM

P

v=0

(c) Combination of translation and rotation

re 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure lation and pure rotation.

Todos los puntos del cilindro tienen la misma celeridad angular

Como la distancia de a es el doble que la distancia de al centro de masas, el punto tiene una celeridad con respecto a igual a

Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie. Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta. El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio About a Fixed Axis

P′

P′

v CM

v CM

CM

P

v=0

CM

v = Rω ω

v CM

(a) Pure translation

ω v = Rω

P (b) Pure rotation

P′

ω = 2v CM v = v CM + Rω

Las superficies deben ejercer una fuerza de rozamiento la una sobre la otra. Esta fuerza de rozamiento produce un torque Si no existiera la fuerza de rozamiento, el objeto simplemente se deslizaría sin rodar

Si la fuerza de rozamiento es suficientemente grande, entonces el objeto rueda sin deslizar La fuerza de rozamiento es estática. El punto P está en reposo relativo con respecto al suelo

v = v CM

CM

P

v=0

(c) Combination of translation and rotation

re 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure lation and pure rotation.

Sin embargo, la fuerza de rozamiento actúa a lo largo de una distancia igual a cero y, por lo tanto, no realiza ningún trabajo sobre el cilindro y la energía mecánica se conserva

Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie. Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta. El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio About a Fixed Axis

P′

P′

v CM

v CM

CM

P

v=0

CM

v = Rω ω

v CM

(a) Pure translation

ω v = Rω

La energía cinética total del cilindro que rota con respecto al punto es

P

es el momento de inercia del cilindro con respecto a un eje que pasa por

(b) Pure rotation

Aplicando el teorema de Steiner

P′

ω = 2v CM v = v CM + Rω

v = v CM

CM

P

v=0

(c) Combination of translation and rotation

re 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure lation and pure rotation.

Movimiento de rodadura de cuerpos rígidos Supongamos un objeto redondo que rueda sin deslizar sobre una superficie. Ejemplo, un cilindro que rueda según una trayectoria recta. El eje de rotación permanece paralelo a su orientación inicial en el espacio About a Fixed Axis

P′

P′

v CM

v CM

CM

P

v=0

CM

v = Rω ω

v CM

(a) Pure translation

ω v = Rω

La energía cinética total del cilindro que rota con respecto al punto es

P

es el momento de inercia del cilindro con respecto a un eje que pasa por

(b) Pure rotation P′

ω = 2v CM v = v CM + Rω

v = v CM

CM

P

v=0

(c) Combination of translation and rotation

re 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure lation and pure rotation.

La energía cinética de un objeto rodante es la suma de la energía cinética de rotación alrededor del centro de masas más la energía cinética de traslación del centro de masas

P (c) Combination of translation and rotation

Figure 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure Energía cinética rotacional translation and pure rotation.

2 represents Supongamos unaThe esfera sin deslizar en un plano inclinado. term 12que I CM"rueda the rotational kinetic energy of the cylinder about its cen 1 2 represents Supongamos que parte desde el reposo. of mass, and the term Mv CM the kinetic energy the cylinder would have 2

were just translating through space without rotating. Thus, we can say that the to kinetic energy of a rolling object is the sum of the rotational kinetic energy ab the center of mass and the translational kinetic energy of the center of mass. We can use energy methods to treat a class of problems concerning the rolling tion of an object down a rough incline. For example, consider Figure 10.30, wh shows a sphere rolling without slipping after being released from rest at the top of incline. Note that accelerated rolling motion is possible only if a friction force is sent between the sphere and the incline to produce a net torque about the cente mass. Despite the presence of friction, no loss of mechanical energy occurs because contact point is at rest relative to the surface at any instant. (On the other hand, if sphere were to slip, mechanical energy of the sphere–incline–Earth system would lost due to the nonconservative force of kinetic friction.) Para el sistema formado por la esfera y la Tierra, y definiendo el cero ! Rla " base for pure we can express Equa Using thepotenciales fact that vCM en de energías delrolling planomotion, inclinado, el teorema de 10.28 as conservación de la energía nos da vCM 2 1 1 K ! 2 ICM # 2MvCM 2 R

¿Cuál es la celeridad del centro de masas cuando llega al punto inferior?

M R

h

ω

x

θ

vCM

Active Figure 10.30 A sphere rolling down an incline. Mechanical energy of the sphere–incline–Earth system is conserved if no slipping occurs.

At the Active Figures link at http://www.pse6.com, you can roll several objects down the hill and see how the final speed depends on the type of

!

K ! 12

!

"

"

ICM # M vCM 2 2 R

(10

For the system of the sphere and the Earth, we define the zero configuration of gra tional potential energy to be when the sphere is at the bottom of the incline. Th conservation of mechanical energy gives us

Transparencias de soporte

Cálculos de momentos de inercia Sistema discreto

Sistema continuo