Ministerio de Educación Dirección Regional de Escuelas Particulares Colegio San Vicente de Paul Asignatura: Lógica Docente: Néstor Gaitán Estudiante: Angelo Ortiz Grupo: 12 C Tema: Kurt Godel. Fecha de Entrega: 22/11/2022 2022.

Introducción Kurt Godel fue un lógico, matemático y filosofo austriaco. Se le considera uno de los lógicos mas importantes de todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX.

Kurt Godel (Brünn, actual Austria, 1906 - Princeton, Estados Unidos, 1978) Lógico y matemático estadounidense de origen austriaco. En 1930 entró a formar parte del cuerpo docente de la Universidad de Viena. Por su condición de judío se vio obligado a abandonar la ciudad durante la ocupación alemana de Austria y a emigrar a Estados Unidos, donde pasó a ocupar una plaza de profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, institución que ya había visitado con anterioridad. En 1931 publicó el artículo «Sobre proposiciones formalmente indecidibles del Principia Mathematica y sistemas relacionados», en el que propuso sus dos teoremas de la incompletitud, el primero de los cuales establece que ninguna teoría finitamente axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Giuseppe Peano (esto es, abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la vez consistente y completa. En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas y las reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo que sea posible estipular con precisión qué es y qué no es un axioma, la teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar los postulados de Peano), incompleta (existirá al menos una proposición matemáticamente válida que no será derivable de la teoría) o inconsistente. El segundo teorema de la incompletitud, corolario del primero, afirma que si una teoría es finitamente axiomatizable, consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la demostración de las imperfecciones del sistema axiomático como herramienta, heredada de los antiguos griegos, para la elaboración de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de Gödel echó definitivamente por tierra las empresas formalistas (David Hilbert) y logicistas (Gottlob Frege, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead) y, en definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una fundamentación de las matemáticas basada en dichos instrumentos. entre todos los epitafios de personajes célebres de la historia, sin duda uno de los que más destaca es el del matemático alemán David Hilbert sobre su tumba en el camposanto de Göttingen: "Debemos saber, sabremos". Esta frase sintetiza a la perfección la corriente matemática que él mismo abanderó a comienzos del siglo XX, el formalismo, cuya pretensión era demostrar a partir de la filosofía que las matemáticas tenían unas bases sólidas y completamente lógicas. En aquella época, esta disciplina atravesaba una crisis de fundamentos, pues se había puesto en duda la consistencia de los axiomas, es decir, la posibilidad de hallar contradicciones en un enunciado formal. Las paradojas existentes en

diversos enunciados lógicos y semánticos habían puesto en tela de juicio que los sistemas matemáticos, centrados en las leyes aritméticas de Peano para definir los números naturales, pudieran tener un carácter absoluto y ser infalibles a la hora de resolver problemas lógicos. Pero un joven matemático austríaco de tan solo 23 años emigrado de la Alemania nazi llamado Kurt Gödel vino a desmontar su teoría, cambiando el rumbo de las matemáticas para siempre y, a su vez, estableciendo los principios de la computación moderna. Incluso, fue capaz de ver contradicciones lógicas en la propia Constitución estadounidense,como veremos más adelante, argumentando que esta no protegía de la hipotética llegada al poder de un partido fascista y encontrando así un gran fallo lógico en su propósito de funcionar como el mayor instrumento legal y político para prevenir a la sociedad de situaciones tan traumáticas como las acontecidas en su Austria natal cuando se desencadenó la Segunda Guerra Mundial. Gödel presentó en tan solo once páginas (cuando las teorías formalistas de Hilbert llegaron a ocuparle más de 700) sus teoremas de la incompletitud,publicados en 1931 después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena. Este refutó el famoso Programa de Hilbert al corroborar que sea cual sea el sistema matemático definido, si no existen contradicciones en él, es decir, si es consistente, habrá enunciados que nunca podrán demostrarse ni verdaderos ni falsos. En otras palabras o resumiéndolo mucho, en cualquier sistema matemático formal, siempre habrá afirmaciones verdaderas que el propio sistema no puede demostrar, por lo que también es incompleto, algo que no pensaba Hilbert. Por ejemplo, en la frase "no hay prueba de que esta frase esté bien escrita"; si existe prueba alguna, la frase es falsa al entrar en contradicción, pero por otro lado si no hay prueba alguna de que esté bien escrita, se trata de una afirmación verdadera que no se puede demostrar. Las matemáticas, por tanto, dejaron de ser 'decidibles', pasando a convertirse en una especie de laberinto plagado de bellas y potenciales paradojas. En definitiva, hay enunciados que damos por verdaderos que nunca podremos demostrar. Estos teoremas de la incompletitud revolucionaron las matemáticas e inspiraron otras disciplinas como la teoría de juegos o la Máquina de Turing, a partir de la cual, el creador que lleva su nombre demostró que hay funciones matemáticas que son imposibles de calcular a pesar de implementar diversas y avanzadas consecuciones lógicas y algorítmicas. En ese sentido, la aportación más deslumbrante de Gödel al mundo de la lógica y las matemáticas es que la mente humana tiene una cualidad especial que no puede ser imitada por los ordenadores: tal vez el hecho de desenvolvernos de manera lógica y funcional a partir de paradojas, es decir, saber resolver problemas lógicos a pesar de que estos estén plagados de contradicciones.

Comentario Personal. KURT GÖDEL, no sólo ha sido el más brillante lógico del Siglo XX y quizá de la historia, sino el que más desconcierto ha sembrado. Sus descubrimientos establecen auténticas e insalvables limitaciones al poderío de la matemática y de la mente humana. Era un grande de la logica. Imágenes

Bibliografías http://www.scielo.org.bo/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S2071- 081X2008000100004 https://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gödel https://www.biografiasyvidas.com/biografia/g/godel.htm https://www.elconfidencial.com/alma-corazon-vida/2021-07-24/kurt-godelmatematicas-constitucion-americana_3193143/ https://www.buscabiografias.com/biografia/verDetalle/8904/Kurt%20Godel %20-%20Kurt%20Godel Criterios de Evaluación CRITERIOS DE EVALUACIÓN PTS. Criterio 1 Entregó en la fecha indicada 5 puntos Criterio 2 Siguió las indicaciones 5 puntos Criterio 3 Mantuvo la coherencia y ortografía 5 puntos Criterio 4 Realizó una reflexión apropiada. Evite solo copiar y pegar 30 puntos Criterio 5 Demostró honestidad, no copió 5 puntos Total 50 puntos