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Sociedad de Matem´atica de Chile

La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pit´ agoras en Tres Dimensiones

Miguel Bustamantes

1

- Alejandro Necochea2

El prop´osito de este art´ıculo es mostrar una manera sencilla e intuitiva de probar la conocida f´ormula con la cual se calcula la distancia desde un punto a una recta en el contexto de la geometr´ıa cartesiana bidimensional. Nuestra construcci´on se basa en consideraciones geom´etricas elementales, que como esperamos demostrar, surgen sin necesidad de recurrir a t´ecnicas que est´an fuera del alcance de nuestros estudiantes de ense˜ nanza media. (por ejemplo el c´alculo vectorial, el cual puede usarse para obtener estos resultados). Tembi´en obtenemos como consecuencia una deducci´on de f´ormula para calcular la distancia desde un punto a un plano, y a continuaci´on un teorema de Pit´agoras en el espacio cartesiano de tres dimensiones. El lector puede consultar las referencias [1], [2], donde estas ideas han sido sugeridas anteriormente. Otra demostraci´on elemental de la f´ormula para calcular la distancia desde un punto a una recta consiste en un tedioso conjunto de manipulaciones algebraicas donde el estudiante corre el serio peligro de cometer errores, cuya incidencia, como es bien sabido, aumenta al crecer el n´ umero de pasos en el argumento. El esquema al cual nos referimos es el siguiente: encu´entre la recta perpendicular a la recta dada que pasa por el punto dado. A continuaci´on encu´entrese la intersecci´on de ambas rectas resolviendo un sistema de dos ecuaciones. La distancia buscada ser´a por consiguiente la medida del segmento en la perpendicular que une el punto dado con el punto de intersecci´on. La ventaja de nuestro m´etodo consiste en que todo fluye de manera transparente a partir de un sencillo diagrama, desde el cual se razona comparando las a´reas de un tri´angulo calculadas de dos maneras diferentes. La demostraci´on de la versi´on tri-dimensional de la f´ormula si bien menos simple que la f´ormula para la recta tambi´en se basa en aprovechar la ventaja de comparar dos formulaciones diferentes de una misma cosa, que en este caso es el volumen de 1 2

Estudiante del Doctorado en F´ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. Departamento de Matem´ aticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile

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un tetraedro. Nuestra primera tarea es probar que la distancia d entre un punto P de coordenadas (x0 , y0 ) y una recta L de ecuaci´on Ax + By + C = 0 est´a dada por la f´ormula

(1)

d=

|Ax0 + Bx0 + C| √ . A2 + B 2

Supondremos que la recta no es ni vertical ni horizontal, pues en tal caso la distancia puede encontrarse f´acilmente a lo largo del eje coordenado respectivo. Por lo tanto y sin p´erdida de generalidad, supondremos que AB 6= 0. A continuaci´on, construiremos un tri´angulo rect´angulo cuya base est´a en la recta, cuyo v´ertice opuesto es P y cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Los v´ertices del tri´angulo tienen por lo tanto coordenadas (x0 , y0 ), (x0 − h, y0 ) y (x0 , y0 − k). Sea d la longitud de la altura del tri´angulo perpendicular a √ L. Se observa entonces que los lados del tri´angulo miden |h|, |k| y h2 + k 2 , respectivamente.

Se tienen las relaciones A(x0 − h) + By0 + C = 0 y Ax0 + B(y0 − k) + C = 0, las cuales implican la igualdad Bk = Ah = Ax0 + By0 + C.

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La determinaci´on de d se har´a calculando el a´rea del tri´angulo de dos maneras diferentes. En efecto, si denotamos el a´rea del tri´angulo por ∆ , por 1 1 √ una parte se tiene que ∆ = |hk| , y por otra ∆ = d h2 + k 2 (ver Figura 2 2 1) Comparando ambas expresiones para el a´rea, obtenemos que d= √

|hk| . h2 + k 2

Por lo tanto, puesto que k =

d= s

A 2 h B

h2 +

A2 2 h B2

=s

A h, B

A 2 |h | B

h2 2 (A + B 2 ) B2

=√

|Ah| |Ax0 + By0 + C| √ = , 2 2 A +B A2 + B 2

que es la conclusi´on buscada. A continuaci´on demostraremos que si Π es un plano en el espacio euclidiano tridimensional con ecuaci´on cartesiana Ax + By + Cz + D = 0, y Q es un punto con coordenadas (x0 , y0 , z0 ) no contenido en Π , entonces la distancia d desde Q hasta Π est´a dada por d=

|Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B 2 + C 2

El m´etodo de la demostraci´on es similar al c´alculo de la distancia desde un punto a una recta. Como antes, y sin perdida de generalidad, podemos suponer que el plano Π no es paralelo a ninguno de los tres planos coordenados, puesto que de serlo el c´alculo de la distancia puede hacerse de manera trivial a los largo de un eje coordenado. Por lo tanto, podemos suponer que ABC 6= 0 . Sea E = Ax0 + By0 + Cx0 + D , y sup´ongase que el plano intersecta a las rectas paralelas a los tres ejes coordenados que convergen en el punto Q en los puntos N, O y P , cuyas coordenadas son (x0 − h, y0 , z0 ), (x0 , y0 − k, z0 ) y (x0 , y0 , z0 − l), respectivamente. De la ecuaci´on del plano se obtiene entonces que (2)

h=

E E E , k= , l= . A B C

Se sabe por otra parte que el volumen V de un tetraedro con base de ´area ∆

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1 y altura m es dado por V = ∆ m . Luego, en la figura 2, el volumen del 3 tetraedro con v´ertice N, O, P, Q , considerando a la cara con lados de longitud f , |h| y |l| como base del tetraedro es dado por 

1 V = 3

(3)



l hl k = |hkl|. 2 6

e es el a Por otro lado, si ∆ ´rea del tri´angulo N OP , tenemos

1e d, V = ∆ 3

(4)

donde d , la distancia buscada, es la altura del tetraedro. Para calcular el e n´ e = (base) (altura) = 1 gu, donde u2 = t2 + l2 y t a´rea ∆ otese que ∆ 2 2 es la distancia medida desde el punto Q = (x0 , y0 , z0 ) a la recta en el plano z = z0 de ecuaci´on Ax + By + Cz0 + D = 0. Usando la f´ormula para calcular la distancia desde un punto a una recta, e identificando Cz0 +D con el coeficiente C en esa f´ormula, se tiene que

t=

|Ax0 + By0 + Cz0 + D| |E| √ √ = . A2 + B 2 A2 + B 2

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Luego recordeando que l = − 2

u =E

2



E , obtenemos que C

1 1 + 2 2 C A + B2



=

E2 (A2 + B 2 + C 2 ). (A2 + B 2 )C 2

Ahora, desde la figura 2 se tiene que que g 2 = h2 + k 2 . Luego, desde las ecuaciones (2) obtenemos qu g2 = E 2



1 1 + 2 2 A B



=

E2 (A2 + B 2 ). A2 B 2

e , nos queda Reemplazando estos valores en la f´ormula del a´rea ∆

E2 √ 2 A + B2 + C 2 . 2 |ABC|

e = 1 gu = 1 ∆

2

Reemplazando en la ecuaci´on (4) obtenemos que

(5)

V =

d E2 √ 2 A + B2 + C 2 . 6 |ABC|

Finalmente, desde la ecuaci´on (3) tenemos que

(6)

V =

|E|3 1 1 |hkl| = . 6 6 |ABC|

Comparando las dos u ´ltimas expresiones para el c´alculo del volumen, se obtiene que d= √

A2

|E| |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ = . 2 2 +B +C A2 + B 2 + C 2

que es la f´ormula que deseabamos demostrar. Nuestro siguiente resultado no es m´as que un corolario de la demostraci´on anterior.

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Teorema (El teorema de Pit´ agoras en dimensi´ on 3). Sean ∆1 , ∆2 , ∆3 las ´areas de las caras del tetraedro N OP Q que confluyen en el punto Q y sea ∆ el ´area de la cara N OP (ver figura 2)). Entonces ∆2 = ∆21 + ∆22 + ∆23 .

Demostraci´ on. De la ecuaci´on (5) se tiene que ∆2 =

B4 1 (A2 + B 2 + C 2 ) , 4 (ABC)2

y adem´as se verifica que ∆1 =

1 1 hl, ∆2 = kl , y 2 2

1 ∆3 = hk . 2

Por lo tanto procediendo directamente a partir de las ecuaciones (2), obtenemos

∆21 + ∆22 + ∆23 =

1 22 (h l + k 2 l2 + h2 k 2 ) 4

1 4 1 1 1 = E + 2 2+ 2 2 2 2 4 AB B C AC 

= lo que completa la demostraci´on.

1 4 (A2 + B 2 + C 2 ) E = ∆2 , 4 (ABC)2



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Referencias [1] [2]

Necochea A., M. Taylor On the distance from a point to a line. Mathematics Teacher, vol. 35 no. 2, Feb. 1991. Necochea A., M. Taylor, W. Watkins, On a three-dimensional Pythagorean theorem and the distance from a point to a plane. Texas Mathematics Teacher, vol XXVII, no 7, 1992.