¿LA DUALIDAD PERDIDA? Transformación de las Derivaciones de Gentzen en Estrategias de Ganancia para Juegos Dialógicos

Christian Thiel

Dedicado a Walter Biemel en su sexagésimo aniversario.

Un tipo de dualidad entre las tablas semánticas cerradas y las derivaciones formales fue descubierto por E.W. Beth al principio de los años cincuenta 1 y, partiendo de ejemplos dados por Beth, fue convertido por E.M. Barth en un procedimiento exacto para pasar de las primeras a las segundas en 1966.2 Es bien sabido que una dualidad similar vale entre las derivaciones formales y los juegos dialógicos tal como son usados, p.ej., en los enfoques modernos de la lógica constructiva. Pero mientras que el método de justificación de las reglas de ciertos cálculos de Gentzen a partir de reglas para los juegos dialógicos ha llegado a ser un procedimiento standard,3 no siempre se ha considerado que esté claro cómo construir una estrategia de ganancia para el juego dialógico referente a una tesis dada a partir de una derivación de dicha tesis en un cálculo de Gentzen. La razón es obvia: entre las reglas para los juegos dialógicos (y aquí podemos limitamos a la lógica 1 Evert W. Beth: Entrañamiento Semántico (Cuadernos Teorema, 18), Valencia 1978.

y Derivabilidad Formal

2 E.M. Barth: "On the Transformation of Closed Semantic Tableaus into Natural and Axiomatic Deductions", Logique et Analyse, n.s., vol. 9 (1966),147-70. 3 Paul Lorenzen: Lógica Formal, Madrid 1970, Apéndice. 57 -

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de enunciados constructiva sin pérdida de generalidad), hay siempre algunas reglas para garantizar el carácter formal (esto es, la independencia del contenido) del juego dialógico, a saber: Regla 1: El proponente no puede aseverar una fórmula primitiva (es decir, una letra que está por una proposición elemental) a menos que haya sido aseverada previamente por el oponente; Regla 2:

El oponente puede aseverar, sin restricciones, cualesquiera fórmulas primitivas admitidas por las reglas del juego dialógico en la posición en cuestión como (acompañando a) preguntas o respuestas ;

Reglas 3: Las fórmulas primitivas no pueden ser cuestionadas . En las reglas del cálculo de Gentzen, sin embargo, no se establece distinción alguna entre las letras para fórmulas complejas y para fórmulas primitivas, excepto en la regla inicial Po donde, trivialmente, no podemos referimos a fórmulas distintas de las fórmulas primitivas. Consecuentemente, puede haber muchos pasos en una derivación de Gentzen cuyos pasos duales correspondien tes en los juegos dialógicos estén prohibidos por la regla 1 mencionada arriba. Para ejemplificar esta posibilidad, y con el fm de solventar la deficiencia que hemos apuntado, vamos a referirnos al siguiente cálculo de Gentzen para la lógica de enunciados constructiva (la notación sigue a Lorenzen, op. cit.):

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..

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¿La dualidad perdida?

~

~

A => ,A C

O,: ,A

OI\I:AI\

A

~ P':A

11

" O=>AI\

11

e

11

p/\:

IIA"

11B=>

11AAB

OAD:A/\B C=>A/\B C 11

B

~ ~ Ov: AvB C"AvB A B

~ C=>AvBllc PvD:~ IIB=>~ IIAvB

~

~

O~:A~B

A"A~B B

~ C=>A~BIIC

~ P~:

A 11B=>~ 11A~B

~ P '=> O'

P IIp

---

(p primitiva: la "regla inicial").

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60

¿La dualidad perdida?

Entonces, p.ej., la derivación 1 Po:

a-+bc a b

a 2 P-+: a-+bc

"

b

3

Po:

a-+b

a

11

b e 11e

11a-+b

4 0-+:

e

a....bc

a

5

b

11

e

P-+: a -+b c

a - b-+c 11

6

P-+: a-+bc

7

P-+:

11

tI- a-+bc

ab-+c

:+ ab-+c,

no puede ser transfonnada en un esquema dialógico en el que gane el proponente, limitándonos, simplemente, a invertir esta derivación. Pues después de

. ?.,a-+ b -+c ?, a ?, b

1 2 3 4

a-+b~c::'a~b-+c a~b-+c b -+c

(7 ~ 6) (6 ~ 5)

el proponente no puede actuar aseverando e al estar esto prohibido por la regla 1, puesto que e es primitiva y no ha sido aseverada aún por el oponente. Así, pues, parece que la sucesión correcta de pasos en el diálogo tendría que ser 7-6-5-2-1 o 7-6-5-2-3, y ni una ni otra es la dual de 1-2-3-4-5-6-7 o de 3-1-2-45-6-7) como podríamos esperar.

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Claramente, la dualidad buscada ha de alcanzarsereintroduciendo la distinción entre fónnulas primitivasy fónnulas complejas en las reglas del cálculo. En una posición en la que L sea la colección de fónnulas en la parte del oponente, una fónnula será llamada regularsi es compleja, o si es primitiva y está contenida en L. En caso contrario, esto es, si la fónnula es primitiva pero no es una fónnula de L, será llamada critica. Indicaremospor

; 11~' [C] + una posición en un juego dialógico donde L se interpreta como antes, TI es la colección de fónnulas aseveradas previamente por el proponente, X e Y, respectivamente, las fónnulas principales de la regla que va a ser aplicada en el paso en cuestión, y [C] + la última obligación del proponente sin descargar. Ciertamente, cada uno de estos componentes puede ser vacío según el caso particular, y TI podría omitirse completamente en la medida en que, en el curso de un juego dialógico, podemos cancelar todas las fónnulas del lado del proponente excepto aquella a la que se ha llegado en el último paso y la última obligación sin descargar (si hay alguna). Entonces, valdrán las siguientes reglas para transfonnar las derivaciones de Gentzen en estrategias de ganancia para juegos dialógicos por medio de adiciones paso a paso a las posiciones dialógicas ya alcanzadas: (En todos los casos en los que no encontremos de alguna manera [a] + (o [b] +) en el lado del proponente, "A" (o "B") ha de ser reemplazada por" [A] +" o "[B] +", respectivamente, en el lado del proponente, si el paso subsiguiente en la ramificación es un O-paso). (Para 01):

,No hay transición para A critica! Para A regular: TI,[C] +

-

-

-

TI,[C] + ?,A

-

-

-

62 (Para

¿La dualidad perdida? ll,[C]+

01\ ¡):

ll, [C]

AI\B

(Para

AI\B A ll,[ C]+

OI\D):

ll, [C]

AI\B

AI\B

B (Para Ov):

ll, [C]

O ~):

+

D? 11

+

AvB II ll, ?

AvB

(Para

+

I?

¡No hay transición para

[C]+

A critical

Para A regular : Caso 1, A compleja:

ll,[C]+~

~ A~B

n, [C]+ ?, A *

B**

* para la ramificación izquierda, i.e. , la primera premisa; ** para la ramificación derecha, i.e. , la segunda premisa.

Caso 11,A primitiva, pero en ~ (reemplácese"A" por "a"):

ll, [C] + ~

~ a~b B

n, [C] + ?, a

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La dualidad perdida?

I

il ¡

(para P 1):

n

n

lA

lA ?,A

(Para P/\):

Caso 1, A YB regulares:

n

n

A/\B

A/\B l? I D?" A I B

Caso 11,A crítica (reemplácese "A" por "a"):

n

n

a/\B

a/\B

l?

D?

11

B

[a]+1

Caso 111,B crítica (reemplácese "B" por "b"):

n

n

A/\b

A/\b l?

(Para Pv ¡):

D?

jl

A

I

[b]+

Caso 1, A regular:

n AvB

n ~ ?

AvB A

Caso 11, A crítica (reemplácese "A" por "a"):

n avB

~ ?

------------

n avB [a]+

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¿La dualidad perdida?

(Para Pv D):

Caso/, B regular:

n AvB

n

=>

AvB B

Caso //, B crítica (reemplácese "B" por "b"):

n Avb

(Para P ):

n

=>

Avb [b]+

Caso /, B regular:

n

=>

A B

11

L ?,A

n

A B B

Caso //, B crítica (reemplácese "B" por "b"):

n A b

=>

n L A b ?,A [b] +

Prosíganse todas las ramificacionesno acabadasde la derivación; si no queda ninguna, procédase como sigue: 1. En todos los casos donde el penúltimo paso fue dado de acuerdo con la regla P/\, Pv[' Pv D' o P (el caso 1 en todas ellas), ciérreseel diálogo(o columna) si las fórmulas pertinentes son regulares, pero primitivas, esto es, en L, de tal modo que el proponente ha ganado (defensainmediata inatacable); 2.

Si el penúltimo paso se dió de acuerdo con 0-" ciérreseel diálogo(o columna) en cuanto que la úl-

----

_,t

65

¿La dualidad perdida?

tima pregunta del proponente es inatacable (véase el último caso, siendo esta vez el movimiento una pregunta); 3.

En todos los casos en los que el penúltimo paso fue dado de acuerdo con Ov , O 1\[, 01\D' U O~, procédase de acuerdo con

L

n, [C]+

C

L =>

C

n, [C]+ [C]-

y ciérrese el diálogo (o columna). No pueden ocurrir otros casos. Se sobreentiende que en todas las conclusiones que contengan una ocurrencia de la forma "[ C] +", la línea está aún abierta para insertar el argumento siguiente; se sobreentiende, además, que en el caso Ov, que puede ocurrir como el último movimiento sólo si C es idéntica a A y B Y es, además, primitiva, la conclusión de O v será escrita como

L CvC C

n, [C]+ ?

en lugar de

L n, [C]+ ? CvC CIC

Con este cálculo modificado somos capaces de transformar cualquier derivación de Gentzen directamente en una estrategia de ganancia para un juego dialógico. P.ej., la derivación usada arriba como ejemplo será transformada ahora de la siguiente manera:

-----

--

-

--

- - -

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¿La dualidad perdida?

1 ?.,a

a

2 3

ab:..c a:"'b be

b

4

?, ab

[e] +

5

b

[e]-

b'

?. , ?.,

?. , a

e

a=+b

Hasta la pregunta del oponente H?, b", los pasos se han dado como en nuestro anterior diálogo ejemplificador. El siguiente paso se da de acuerdo con p~, caso Il, añadiéndose "[ e] +" en el lado del proponente, pero quedando libre la línea para el siguiente argumento, siendo éste la pregunta del proponente H?,a~b" contra el argumento del oponente de la línea 2. Como ésta es un condicional, el diálogo se divide según la regla O~, caso 1. En la columna de la izquierda, el oponente cuestiona el cuarto argumento del proponente por "?, a" que ya puede, no obstante, ser contestado por la defensa necesaria "b", puesto que b ha sido aseverado por el mismo oponente en la línea 4. De aquí que, por nuestra última regla del cálculo modificado, caso 1, esta columna pueda cerrarse. En la columna derecha, el oponente contesta a la pregunta del proponente con e, siendo tomado éste por el proponente de acuerdo con el último caso de la regla fmal de nuestro cálculo modificado: el diálogo ha llegado al fmal, ganando el proponente.

Se invita al lector a comprobar las reglasmodificadascon derivacionesy juegosdialógicospara,p.ej.,a-+--¡--¡a, al\b-+av b, a~b... -, b~--¡a, etc., y celebrar la recuperaciónde la dualidad.4

4 Estoy en deuda con el Dr. Gerrit Haas y el Dr. Barry Smitb por leer la primera versión de este artículo y sugerir me algunu enmienda.

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