Capítulo 10

LA ECUACIÓN DE UN CÍRCULO

10.1.1 – 10.1.2

Los alumnos han calculado las circunferencias y áreas de círculos, y de partes de los círculos, y han usado las propiedades de los círculos en problemas de aplicación de probabilidad. En esta sección, se ubica al círculo en un gráfico de coordenadas de modo que los alumnos puedan encontrar la ecuación de un círculo. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 10.1.2.

Ejemplo 1 ¿Cuál es la ecuación del círculo con centro en el origen con un radio de 5 unidades? La clave para encontrar la ecuación de este círculo es el Teorema de Pitágoras. Ello significa que tendremos que crear un triángulo rectángulo dentro del círculo. Primero, dibuja el círculo en una hoja cuadriculada. Las coordenadas de cualquier punto en el círculo pueden ser representadas como (x, y). Como los extremos del radio son (0, 0) y (x, y), podemos representar la longitud del cateto vertical como y y la longitud del cateto horizontal como x. Si llamamos al radio r, entonces usando el Teorema de Pitágoras podemos escribir x2 + y2 = r2. Como sabemos que el radio es 5, podemos escribir la ecuación de este círculo como x2 + y2 = 52, o x2 + y2 = 25.

y (x, y)

x

Ejemplo 2 y

Grafica el círculo (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49.

Este es un círculo con un radio de 7 unidades. Este, sin embargo, no está centrado en el origen. La ecuación general de un círculo es (x – h)2 + (y – k)2 = r2. El centro del círculo está representado por (h, k), por lo tanto, en este ejemplo el centro es (4, –2).

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x

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Ejemplo 3 ¿Cuál es el centro y el radio del círculo x2 – 6x + y2 + 2y – 5 = 0? Esta ecuación no está en la forma de graficación, (x – h)2 + (y – k) 2 = r2, por lo tanto, es necesario utilizar el método de “completar cuadrados”. Para hacer un cuadrado perfecto para x, tenemos que añadir 9 unidades a ambos lados de la ecuación, y para hacer un cuadrado perfecto para y, tenemos que agregar 1 unidad a ambos lados de la ecuación (o añadir un total de 10 a ambos lados de la ecuación). Finalmente, factoriza los trinomios cuadrados perfectos para reescribir la ecuación en forma de graficación.

x 2 − 6x + y 2 + 2y − 5 = 0 (x 2 − 6x + 9) + (y 2 + 2y + 1) − 5 = 10 (x − 3)2 + (y + 1)2 = 15 El centro es (3, –1), y el radio es 15 .

Problemas 1.

¿Cuál es la ecuación del círculo centrado en (0, 0) con un radio de 25?

2.

¿Cuál es la ecuación del círculo centrado en el origen con un radio de 7.5?

3.

¿Cuál es la ecuación del círculo centrado en (5, –3) con un radio de 9?

Grafica los siguientes círculos. 4.

(x + 1)2 + (y + 5)2 = 16

5.

x2 + (y – 6)2 = 36

6.

(x – 3)2 + y2 = 64

“Completa el cuadrado” para convertir la ecuación de cada círculo a la forma de graficación. Identifica el centro y el radio de cada círculo. 7.

x2 + 6x + y2 – 4y = –9

8.

x2 + 10x + y2 – 8y = –31

9.

x2 – 2x + y2 + 4y – 11 = 0

10.

x2 + 9x + y2 = 0

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Capítulo 10

Respuestas

y

1.

x2 + y2 = 625

2.

x2 + y2 = 56.25

3.

(x – 5)2 + (y + 3)2 = 81

4. x

y

5.

6.

y

x

x

7.

(x + 3)2 + (y – 2)2 = 4; (–3, 2), r = 2

8.

(x + 5)2 + (y – 4)2 = 10; (–5, 4), r = 10 ≈ 3.2

9.

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 16; (1, –2), r = 4

10.

(x +

9 )2 2

+ y2 =

81 ; 4

(– 92 , 0), r = 92

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MÁS ACERCA DE CÍRCULOS

10.2.1 – 10.2.5

En esta sección los alumnos desarrollarán herramientas para círculos, que los ayudarán a hallar las longitudes de cuerdas y las medidas de ángulos en círculos. Al igual que con muchos temas estudiados en este curso, los triángulos son útiles para resolver muchos problemas de este tipo. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 10.2.2, 10.2.3, 10.2.4, y 10.2.5.

Ejemplo 1 B

En el círculo de la derecha hay dos cuerdas, AB y CD . Determina el centro del círculo y denomínalo P. Las cuerdas de un círculo (segmentos con extremos sobre el círculo) son segmentos útiles. En particular, el diámetro es una cuerda especial que pasa por el centro. La mediatriz de una cuerda también pasa por el centro del círculo. Por lo tanto, para localizar el centro hallaremos la mediatriz de cada cuerda. Estas se intersecan en el centro. Existen muchos modos de hallar la mediatriz de un segmento. Una manera rápida es plegar la hoja de modo de reunir los extremos de la cuerda. El pliegue será perpendicular a la cuerda y la bisecará. Otro método es utilizar una construcción con un compás y un escalímetro. En ambos casos, el punto P del diagrama es el centro del círculo.

A D

C

B

P

A D

C

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Capítulo 10

Ejemplo 2 En ⊙O a la derecha, utiliza la información provista para calcular los valores de x, y, y z. Las partes conectadas de un círculo se denominan arcos, y cualquier par de puntos en un círculo lo divide en dos arcos. El arco más grande se denomina arco mayor, y el más pequeño se denomina arco menor. La longitud de un arco puede calcularse como una fracción de la circunferencia. Los arcos también poseen una medida basada en la medida del ángulo central correspondiente. En el diagrama de la derecha, ∠JOE es un ángulo central pues su vértice está en el centro, O. La medida de un arco es igual a la medida de su ángulo  = 100° , m∠JOE = 100º, o x = 100º. central. Dado que JE

100° E J x O y z

Un ángulo cuyo vértice se ubica sobre el círculo se denomina ángulo inscrito. Los ángulos y y z son ambos ángulos inscritos. Los ángulos inscritos miden la mitad de sus arcos interceptados.  es el arco interceptado de ∠y y ∠z. Por lo tanto, y = z = 1 (100º) = 50º. En este caso, JE 2

Ejemplo 3   En la figura de la derecha, O es el centro del círculo. TX y TB son tangentes a ⊙O, y m∠BOX = 120º. Halla la m∠BTX. Una recta tangente a una circunferencia la interseca en un único punto. Además, un radio trazado hacia el punto  de tangencia  es perpendicular a la recta tangente. Entonces, OB ⊥ BT y OX ⊥ XT . Una forma de resolver este problema es agregar un segmento al diagrama. Agregando OT se generarán dos triángulos congruentes por HC ≅ ( OB ≅ OX porque ambos son radios, y OT ≅ OT ). Dado que las partes correspondientes de triángulos congruentes son también congruentes, y m∠BOX = 120°, sabemos que m∠BOT = m∠XOT = 60º. Ya que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, 60º + 90º + m∠BTO = 180º. Por lo tanto, m∠BTO = m∠XTO = 30º y m∠BTX = 60°.

T B

O

X

T B

O

X

Una solución alternativa es observar que los dos ángulos rectángulos en los puntos B y X, adicionados a ∠BOX, suman 300°. Dado que sabemos que los ángulos de un cuadrilátero suman 360°, m∠BTX = 360° – 300º = 60º.

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Ejemplo 4 En el círculo de la derecha, DV = 9 unidades, SV = 12 unidades, y AV = 4 unidades. Calcula la longitud de IV.

S

D

V I

A

SV IV = DV AV

En el diagrama de arriba, si dibujáramos SI y DA formaríamos dos triángulos semejantes (consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 10.2.5). Los lados de triángulos semejantes son proporcionales, por lo que podemos escribir la proporción de la derecha.

SV DV 12 9

Sustituye las longitudes que conocemos y luego resuelve la ecuación.

= =

IV AV IV 4

9IV = 48 IV ≈ 5.3 unidades

Problemas Determina cada medida en ⊙P si m∠WPX = 28º, m∠ZPY = 38º, y WZ y XV son diámetros. 1.

 mYZ

2.

 mWX

3.

m∠VPZ

4.

 mVWX

5.

m∠XPY

6.

m XY

7.

 m XWY

8.

 mWZX

W

P

V

Z

Y

En cada una de las siguientes figuras, O es el centro del círculo. Calcula el valor de x y justifica tu respuesta. 9.

10. x

O

11.

136º x

13.

O

14. 100º x

12. Ox 49º

146º

15.

Ox 62º

16. O

150º

O

x

O

X

18º

O x

x

27º

100º

17.

18. 55º

19. 12º

O x

20. O

O

91º

35º

x

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x

x

O

29º 101º

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Capítulo 10

 = 86º y mEA  = 62º. Calcula: En ⊙O, mWT 21.

T

m∠EWA

E K

22.

m∠WET

23.

m∠WES

24.

m∠WST

S

O

A

W

En ⊙O, m∠EWA = 36º y m∠WST = 42º. Calcula: 25.

T

m∠WES

E K

26.

 mTW

27.

 mEA

28.

m∠TKE

29.

 mSD En el diagrama de la derecha,  = 92°,  = 41° y SW es tangente  = 103°, mAI mDA a ⊙O. Determina m∠AKD y m∠VAS.

S

O

A

W

S W I

O K A

V

30.

D

W

 En el diagramade  la derecha, mEK = 43°, EW ≅ KW , y ST es tangente a ⊙O. Determina m∠WEO y m∠SEW.

O

S

43º

K

E T

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Respuestas 1.

38º

2.

28º

3.

28º

4.

180º

5.

114º

6.

114º

7.

246º

8.

332º

9.

68º

10.

73º

11.

98º

12.

124º

13.

50º

14.

55º

15.

18º

16.

27º

17.

55º

18.

77º

19.

35º

20.

50º

21.

1 2

(62°) = 31°

22.

1 2

(86°) = 43°

23.

180º – 43º = 137º

24.

180º – 137º – 31º = 12º

25.

180º – 36º – 42º = 102º

26.

m∠TEW = 180º – 102º = 78º, 2(78º) = 156º

27.

2(36º) = 72º

28.

180º – 36º – 78º = 66º

29.

m∠SAD = 12 (92°) , m∠IDA = 12 (41°) , 180º – 46º – 20.5º = 113.5º, m∠VAS = 180º – 46º = 134º

30.

m∠EWK = 12 (43°) = 21.5° , m∠EOK = 43º, de modo que 317° queda para el otro ángulo en O. m∠WEO = m∠WKO y para WEOK, 360º – 21.5º – 317º = 21.5º = m∠WEO + m∠WKO, entonces m∠WEO = 12 (21.5º) = 10.75º. m∠SEO = 90º, m∠WEO = 10.75º, por lo que m∠SEW = 79.25º.

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