LA LONGITUD EFECTIVA Y EL DISEÑO DE COLUMNAS Oscar de Buen López de Heredia Colinas de Buen, S.A. de C.V. Plaza Villa de Madrid Nº 2 Col. Roma 06700 México, D.F. Tel. y Fax: 52 07 7077 E-mail: [email protected]

RESUMEN Se explica el origen del uso del factor de longitud efectiva K en el diseño de columnas de acero que forman parte de estructuras reticulares, y se presentan varios procedimientos, en orden creciente de dificultad y precisión, para calcularlo. Se resuelven dos ejemplos, y se ve que los resultados varían considerablemente según el método que se emplee. Finalmente, se discuten los problemas e incertidumbres que origina el uso del factor K, y se propone que se abandone, sustituyéndolo por otras formas de diseño.

SUMMARY The origin of the use of the effective length factor K in the design of steel-framed columns is explained, and several procedures to determine that factor, of increasing difficulty and precision, are presented. Two examples are solved, whose results have important differences, according to the particular method employed. Finally, the problems and incertitudes involved in the use of K-factors are discussed, and it is proposed to employ other design procedures.

INTRODUCCIÓN Las columnas son parte, casi siempre, de estructuras formadas por vigas y columnas unidas entre sí; por ello, su comportamiento no depende sólo de sus características propias, sino también de la interacción con el resto de la estructura; si las conexiones son rígidas, se restringen los giros de los extremos de las columnas, y se introducen en ellas momentos, además de la fuerza axial, que las hacen trabajar en flexocompresión, muchas veces biaxial. Sin embargo, las columnas se han diseñado, siempre, como si estuviesen aisladas y articuladas en los extremos, con las fuerzas y momentos obtenidos con un análisis elástico, de primer o segundo orden, de la estructura completa, en el que no se incluyen los cambios de rigidez producidos por las fuerzas normales que obran en ellas. La interacción con el resto de la estructura se toma en cuenta, aproximadamente, determinando la relación de esbeltez de la columna con su longitud efectiva KL, en lugar de la real, L. KL, es la longitud de una columna aislada, biarticulada, cuya carga crítica de pandeo es igual a la de la columna en el marco real; es la distancia entre los puntos de inflexión teóricos, en el instante en que se inicia el pandeo de la estructura completa; puede ser mayor o menor que la longitud real.

Este concepto tiene significado físico sólo para miembros en compresión axial, pero se ha extendido a columnas flexocomprimidas. Para el diseño se usan las fórmulas de interacción deducidas para elementos aislados, en las que se introduce el factor K que les corresponde por formar parte de la estructura.

ECUACIONES DE INTERACCIÓN Las columnas flexocomprimidas se diseñan con fórmulas de interacción del tipo  P My Mx f  , ,  Pu M ux M uy

  ≤ 1.0  

(1)

que proporcionan una transición continua entre los puntos que representan la resistencia bajo una sola carga, compresión axial, o flexión alrededor de x o de y. Relaciones como ésta se utilizan con frecuencia en el diseño de elementos estructurales sujetos a varias acciones simultáneas, cuando la solución es compleja, pero se conoce para cada acción por separado (Shanley, 1957). En diseño por factores de carga y resistencia, el Instituto Americano de la Construcción en Acero recomienda las ecuaciones de interacción siguientes (AISC 1993): Si

Si

Pu φ c Pn Pu φ c Pn

≤ 0.2,

≥ 0.2,

Pu

1

+

2 φ c Pn Pu φ c Pn

+

M ux φ b M nx

+

M uy φ b M ny

M uy 8  M ux  + 9  φ b M nx φ b M ny

≤ 1.0   ≤ 1.0  

(2)

(3)

Pu, Mux y Muy son la fuerza normal y los momentos de diseño (multiplicados por el factor de carga correspondiente), en los que se incluye el efecto Pδ, por medio de un factor de amplificación B1 = Cm/(1 Pu/Pe) ≥ 1.0, Pn, Mnx y Mny las resistencias nominales de la columna en compresión axial o en flexión alrededor de uno sólo de los ejes x o y, y φc y φb los factores de resistencia para compresión y flexión. La representación gráfica de las ecuaciones anteriores, en un sistema de coordenadas Pu/Pn-Mux/MnxMuy/Mny, es una superficie. Cualquier punto situado sobre un eje representa un solo tipo de carga, mientras que la línea, o superficie, que une los puntos extremos define la resistencia bajo dos o tres acciones diferentes. Las ecuaciones de interacción se satisfacen en los tres límites, cuando actúa una sola acción, y proporcionan una seguridad aceptable, aunque indeterminada, comprendida entre las especificadas para compresión axial y flexión, en todos los casos intermedios; sirven, además, para evitar la inestabilidad de la estructura, por medio de los factores de longitud efectiva Kx y Ky, y tienen en cuenta la amplificación de momentos por efectos de segundo orden, cuando el diseño se basa en un análisis de primer orden.

Para que las ecs. 2 y 3 proporcionen resultados confiables, deben hacerse estimaciones precisas de los puntos extremos de la interacción, las resistencias Pu, Mux y Muy. Aquí se tratan sólo los aspectos en los que interviene la esbeltez de las columnas, que son su resistencia en compresión, Pn, y los factores de amplificación necesarios para calcular Mux y Muy. La resistencia en compresión axial se determina con la longitud efectiva KL, que sustituye a la real, L, con lo que se modifica la capacidad para resistir compresión, como resultado de la participación de la columna en la respuesta de la estructura completa. Los factores de longitud efectiva se incluyen en el primer término de la fórmula para evaluar adecuadamente la resistencia en el caso límite en que el pandeo se inicia con momentos nulos o muy pequeños. Si los desplazamientos lineales de entrepiso no son significativos, K es siempre menor o igual que la unidad, y es mayor que 1.0 cuando esos desplazamientos influyen de manera no despreciable en la respuesta de la estructura.

CÁLCULO DE LAS LONGITUDES EFECTIVAS Los procedimientos para determinar los factores de longitud efectiva K se subdividen en dos categorías: métodos elásticos, que no toman en cuenta el flujo plástico parcial de las columnas que suele preceder a la iniciación del pandeo, y métodos inelásticos, en los que se incluye la inelasticidad, de una manera aproximada. En general, se determinan suponiendo que el pandeo se inicia en el intervalo elástico, pero se han propuesto procedimientos para evaluar las longitudes efectivas de columnas parcialmente plastificadas, restringidas en sus extremos por vigas elásticas. Cualquiera de los métodos anteriores se subdivide, a su vez, en tres, según la amplitud del modelo que se emplee: la columna y los miembros unidos con ella (pandeo de un subconjunto idealizado), el entrepiso en el que está situada (pandeo de un entrepiso), o la estructura completa (pandeo del sistema estructural). Pandeo de un subconjunto idealizado (método de los nomogramas) Es el método que se ha usado ( y se sigue usando) con más frecuencia para calcular los factores K de las columnas de marcos rígidos regulares; se obtienen con los nomogramas propuestos por el AISC (Julian y Lawrence, 1959; CRC, 1960), que provienen del estudio de la estabilidad de un subconjunto formado por la columna y los miembros del marco, vigas y columnas, que llegan directamente a sus extremos y se encuentran en el plano de pandeo. Se han deducido para marcos rígidos, pero pueden utilizarse, con modificaciones, en estructuras con conexiones parcialmente restringidas. Los nomogramas están basados en suposiciones que no suelen cumplirse en estructuras reales; cuando las condiciones de la estructura difieren significativamente de las supuestas, su aplicación directa puede llevar a diseños muy conservadores y, en ocasiones, absurdos. La suposición más importante es la de que todas las columnas de la estructura se pandean al mismo tiempo, sin que ninguna contribuya a la resistencia de las demás. Los resultados pueden corregirse por inelasticidad, cuando la columna se pandea fuera del intervalo elástico, mientras las vigas se conservan, básicamente, en él. Pandeo de un entrepiso

El nomograma para columnas cuyos extremos pueden desplazarse lateralmente se basa en la suposición de que todas las de cada entrepiso se pandean al mismo tiempo, sin que ninguna restrinja lateralmente a las demás. Proporciona resultados aceptables cuando se aplica a marcos regulares, pero puede llevar a conclusiones absurdas en marcos irregulares en geometría y/o cargas, al no tener en cuenta que las columnas más resistentes, o las menos cargadas, retrasan el pandeo de las más débiles y de las que tienen las compresiones más elevadas. Un caso extremo lo constituye un entrepiso compuesto por varias columnas conectadas rígidamente a las vigas, y una (o más) unida a ellas con articulaciones: si se aplica el nomograma a la columna biarticulada, se obtiene K = ∞; de acuerdo con él, su resistencia es nula. Esto sería correcto si la columna estuviese aislada, pero no lo es en la estructura real, porque las columnas restantes proporcionan estabilidad lateral hasta que el entrepiso falla en conjunto, o hasta que la columna biarticulada alcanza su carga crítica de pandeo individual, correspondiente a K = 1, antes de que falle el entrepiso completo. Como la falla por inestabilidad lateral de una estructura de un piso, o de un entrepiso de un marco de varios niveles, es un fenómeno de conjunto, la aplicación directa del nomograma lleva a resultados erróneos excepto en los casos, prácticamente inexistentes, en que todas las columnas se pandean simultáneamente, bajo las cargas individuales que les corresponden, de manera que cada una de ellas es incapaz de proporcionar apoyo lateral a las otras, pues necesita toda su resistencia para soportar su propia carga. (En marcos de varios pisos se obtienen resultados conservadores aún en este caso, a menos que los entrepisos situados arriba y abajo se pandeen también al mismo tiempo; este aspecto suele tener menos importancia que la interacción de las columnas del entrepiso). Se han propuesto varios procedimientos para obtener las longitudes efectivas de las columnas, basados en la determinación de la carga crítica de pandeo con desplazamiento lateral del entrepiso de que forman parte, en los que se incluyen las restricciones al desplazamiento proporcionadas por las columnas que tienen los parámetros de rigidez L P / EI más pequeños. Se basan en modelos que predicen, razonablemente, la resistencia de entrepisos que contienen una o más columnas sin rigidez lateral (“leaning columns”, en inglés; aquí se denominan “columnas soportadas”). Método de LeMessurier. El factor de longitud efectiva de cada una de las columnas que contribuyen a la resistencia lateral del entrepiso se determina con la expresión (LeMessurier, 1977) Ii

2

Kt =

Pi

π

2

∑ P + ∑ Q + ∑(C L P) ∑( βI)

(4)

donde β =

6(G A + G B ) + 36

(5)

2(G A + G B ) + G A G B + 3 2

CL =

βK 0 π

2

- 1

(6)

Ki y Pi son el factor de longitud efectiva de la columna i (tiene en cuenta el efecto de las columnas soportadas) y la fuerza axial de compresión en ella, e Ii es su momento de inercia, en el plano de la flexión.

∑P y ∑Q son, respectivamente, las sumas de las fuerzas de compresión en todas las columnas que contribuyen a la resistencia lateral del entrepiso (columnas activas) y en todas las columnas soportadas; ∑P + ∑Q es la carga vertical total de diseño en el entrepiso. ∑(CLP) y ∑(βI) son las sumas del producto CLP de todas las columnas del entrepiso y del producto βI de todas las columnas activas. Ko es el factor K obtenido con el nomograma para la columna i. El coeficiente CL tiene en cuenta la pérdida de rigidez de las columnas por efecto Pδ; sería máximo (0.216) si las vigas que limitan el entrepiso tuviesen rigidez infinita, y mínimo (0) cuando esa rigidez fuese nula; tiene valores intermedios en todas las estructuras reales. Es nulo, también, para las columnas soportadas, en las que no hay efecto Pδ, pues se conservan rectas cuando el entrepiso se desplaza lateralmente. El factor que multiplica a Ii/Pi en la ec. 4 es constante para cada entrepiso. GA y GB tiene los mismos significados que en los nomogramas. Ecuaciones de las especificaciones AISC. En los comentarios de las normas vigentes del AISC (AISC 1993) y del proyecto de nuevas normas (AISC 1999) se incluyen dos ecuaciones simplificadas, que provienen de la ec. 4. Una se basa en el pandeo de conjunto del entrepiso, y la otra en su rigidez lateral. Modelo basado en el pandeo del entrepiso. Se supone que la compresión axial no reduce la rigidez de las columnas; para ello, se toma CL = 0 en todas, lo que lleva a β = π2/K2o. Con esta sustitución, y algunas transformaciones, la ec. 4 se reduce a (AISC 1993) '

Ki =

Ii Pui

∑P + ∑Q ∑(I i /

2 Ko

)

≥

5 8

Ko

(7)

Esta ecuación puede escribirse en la forma que se propone en el Comentario de la nueva versión de las normas AISC (1999):

'

Ki =

Pei  ∑ Pu  Pui  ∑ Pe2

  

(8)

Pei y Pui son la carga crítica elástica (π2EIi/L2) y la carga de diseño (factorizada) en la columna en estudio, y ∑Pu es la suma de cargas de diseño en todas las columnas del entrepiso. ∑Pe2 es la suma de cargas críticas elásticas de todas las columnas activas del entrepiso, calculadas con los factores K determinados con el nomograma. Modelo basado en la rigidez lateral del entrepiso. Se incluye, en todas las columnas activas, el valor máximo posible de la reducción de rigidez producida por las fuerzas normales, que corresponde a vigas infinitamente rígidas; así, CL = 0.216; como las columnas soportadas no tienen rigidez lateral, CL es igual a cero en ellas.

Utilizando el cociente del desplazamiento lateral relativo de los dos niveles que limitan el entrepiso entre la fuerza horizontal que actúa en él como una medida de su rigidez lateral, se llega a 2

Ki =

Ii

2

π E ∆ oh 3

Pui

( ∑ Pu + ∑ C L Pu )

∑H

L

(9)

L es la altura de las columnas, constante en todo el entrepiso, ∑ H es la fuerza horizontal total en el entrepiso, ∆oh el desplazamiento lateral relativo correspondiente, obtenido con un análisis elástico de primer orden, y ∑Pu = ∑P + ∑Q es la carga total de diseño en el entrepiso. Como CL = 0 en las columnas soportadas, la carga en ellas se resta de la total, luego ∑Pu + ∑CL Pu = ∑Pu + 0.216 (∑Pu - ∑Q); con esta sustitución, y sacando a ∑Pu como factor común, se obtiene 2

Ki =

2

Ii

π E

Pui

L

∑ Pu

3

∆ oh  ∑Q 1.216 - 0.216 ∑H  ∑ Pu

  

Haciendo algunas simplificaciones, se llega a la ecuación del comentario de AISC 93: 2 Ki

=

∆ oh  1  ∑ Pu ∑ H  0.85 + 0.15 ∑ Q / ∑ Pu

2

Ii

π E

Pui

L

3

2  π EI ∆ oh  ≥ 2 1.7 L HL 

(10)

Si la reducción de rigidez se aplica a todas las columnas, incluyendo las soportadas, lo que es conservador, toda la carga vertical en el entrepiso se afecta por el coeficiente CL = 0.216, y 2

2 Ki

=

Ii π E Pi

∑ Pu

3

L

∆ oh ∑H

(1.216)

En AISC 1999 esta ecuación se presenta en la forma Pei

∑ Pu ∆ oh

0.822 Pui

∑H L

'

Ki =

El término

∑ Pu ∆ oh ∑H L

(11)

es una constante para todas las columnas activas del entrepiso.

Pandeo del marco completo La carga crítica del marco completo puede evaluarse resolviendo un problema de valores característicos; una vez que se conoce, se determina la carga axial en cada columna en el instante en que se inicia el fenómeno, y su factor de longitud efectiva es:

Ki =

PE Pcr

=

PE '

Pi

2

=

π EI i '

2

Pi Li

(12)

P’i (o Pcr), es la fuerza axial de compresión cuando se inicia el pandeo (la carga crítica de la columna individual) y PE su carga crítica de Euler.

EJEMPLOS Ejemplo 1. En este ejemplo se determinan los factores de longitud efectiva de las columnas del marco de la Fig. 1, utilizando los diversos procedimientos que se han presentado en este artículo. El marco se ha tomado de ASCE (1997).

WM = 1.19 T/m; WV =1.19 T/m (11.9 Kg/cm) 1.81 Ton B

W33 x 118

D

W33 x 118

F

5.49 m

W14 x 43 A

C 18.29 m

Fy = 2530 Kg/cm2 W 33” x 118 lb/ft. A = 224 cm2, W 14” x 43 lb/ft. A = 81.5 cm2,

E 18.29 m

Ix = 246 000 cm4 Ix = 17 900 cm4

Fig. 1 Marco del ejemplo 1.

Las dos columnas laterales están articuladas en los extremos (columnas soportadas), de manera que la rigidez lateral del marco proviene, exclusivamente, de la columna central, que es la única activa. Las cargas indicadas en la figura son de servicio; la condición que rige el diseño es 1.2 C. Muerta + 0.5 C. Viva + 1.3 Viento (ASCE 1997 y AISC 1993). Carga vertical total de diseño ∑Pu = 73.89 Ton. En ASCE 1997 se demuestra que el pandeo de las columnas se inicia en el intervalo elástico. Los resultados se presentan en la Tabla 1.

TABLA 1. Valores del coeficiente K de la columna CD del marco de la Fig. 1.

Pandeo del marco completo

Caso 1 2.56

Caso 2 3.42

Caso 3 2.08

Nomograma.

Caso 4 67.79

2.08

Pandeo de entrepiso Ec. 7 2.63

Rigidez lateral

Ec. 8 2.63

Ec. 10 2.56

Ec. 11 2.69

El pandeo del marco completo se ha estudiado con el método “exacto” del programa MASTAN2 (Ziemian, 1999). En el caso 1 la estructura tiene las cargas de diseño aplicadas como en la Fig. 1; en los otros tres casos actúan en el marco cargas concentradas de 1000 Kg aplicadas en los tres nudos, en el central y en el izquierdo, respectivamente. Con el programa de Ziemian (1999) se ve que la manera en que están aplicadas las cargas verticales es determinante; los valores de K varían considerablemente entre los casos 1 y 4; el último valor, 67.79, no tiene significado físico, pues en ese caso la “columna” central, que no tiene carga, trabaja, realmente como una viga empotrada en la base, que proporciona rigidez lateral al marco completo.

Ejemplo 2. Los resultados que se obtienen para los marcos A y B de la Fig. 2 se resumen en las Tablas 2 y 3. Los dos marcos difieren únicamente en que en el A todas las columnas son activas, y en el B hay una soportada en cada entrepiso. Las cargas mostradas son de diseño. 2T/m

C

2T/m

Sec. 1

Sec. 1

F

Sec. 3

Sec. 4 3T/m

4m

3T/m

Sec. 2

B

I Sec. 3

Sec. 2

E

Sec. 4

Sec. 5

A

H

Sec. 4

D

5m

G

Marco A Sección 1.- A = 20 cm2, Sección 2.- A = 40 cm2,

Marco B

I = 20 000 cm4 I = 40 000 cm4

Sección 3.- A = 20 cm2, Sección 4.- A = 40 cm2, Sección 5.- A = 80 cm2,

I = 10 000 cm4 I = 15 000 cm4 I = 30 000 cm4

Fig. 2. Marcos A y B del ejemplo 2.

TABLA 2. Coeficientes K de las columnas del marco A de la Fig. 2. Columna

Pandeo del marco completo

Nomo-

Pandeo de entrepiso

Rigidez lateral

AB DE GH

Caso 1 1.285 1.035 1.070

Caso 2 1.181 1.094 1.023

Caso 3 1.114 1.542 1.111

grama 1.13 1.13 1.17

Ec. 7 1.585 1.276 1.320

Ec. 8 1.585 1.276 1.320

Ec. 10 1.541 1.241 1.283

Ec. 11 1.565 1.260 1.303

BC EF HI

2.081 1.436 1.729

1.906 1.521 1.651

1.133 1.365 1.131

1.25 1.24 1.33

1.598 1.108 1.327

1.601 1.105 1.334

1.931 1.339 1.604

1.956 1.356 1.633

TABLA 3. Coeficientes K de las columnas del marco B de la Fig. 2. Columna AB DE GH

Pandeo del marco completo Caso 1 Caso 2 Caso 3 1.491 1.349 1.636 1.163 1.244 2.268 1.238 1.163 1.632

BC EF HI

2.368 1.639 1.962

2.167 1.729 1.877

1.664 2.005 1.662

Nomograma 1.13 1.07 ∞ 1.25 ∞ 1.23

Pandeo de entrepiso Ec. 7 Ec. 8 1.782 1.782 1.390 1.390 ----2.066 --1.712

2.066 --1.712

Rigidez lateral Ec. 10 Ec. 11 1.791 1.848 1.397 1.441 ----2.317 --1.920

2.208 --1.834

En este ejemplo se ha utilizado también el programa de Ziemian (1999), para estudiar el pandeo del marco completo. El caso 1 es el de la Fig. 2; en el caso 2 se han aplicado las mismas cargas, pero concentradas en los nudos (no producen flexión), y en el 3, cargas de 1000 Kg en cada uno de los nudos del segundo nivel. La manera en que están aplicadas las cargas influye decisivamente en los resultados; sin embargo, los que se obtienen con el nomograma no reflejan, para nada, este importante aspecto. Las ecs. 7, 8, 10 y 11 se han aplicado al caso 1 (cargas reales). El aspecto más importante que se observa al estudiar los resultados de las Tablas 2 y 3 es la gran dispersión que hay en ellos.

CONCLUSIONES Los resultados de los ejemplos indican que los nomogramas, cuando se aplican a marcos con columnas con extremos que se desplazan lateralmente, uno con respecto al otro, proporcionan valores poco confiables de los factores K. Por ello, durante las últimas tres o cuatro décadas se han dedicado muchos esfuerzos a mejorar sus resultados, pero durante ese proceso han aparecido nuevas limitaciones en su aplicación; además, el uso del nomograma obliga a efectuar cálculos laboriosos, fuera de los programas de computadora, que se complican, todavía más, si se utilizan los métodos propuestos para mejorarlos. Más aún, al tratar de explicar y aclarar su uso, el problema se ha vuelto cada vez más confuso, al grado de que, incluso, se ha perdido de vista cuál es el significado real del factor de longitud efectiva, como se ilustra en los párrafos siguientes:

Geschwindner (2000) afirma que “como las columnas de los marcos no son perfectas, sino tienen múltiples imperfecciones, su carga crítica es un poco menor que la proporcionada por la fórmula de Euler, de manera que Pcr = PEx (factor de reducción) Si el factor de reducción se define como I/K2, se obtiene 2

Pcr =

π ΕΙ ( KL )

2

Así, el factor K es, simplemente, un ajuste matemático de la ecuación para la columna perfecta, para tratar de predecir la resistencia de la columna real”. En un trabajo en el que pretenden aclarar, entre otras cosas, cómo calcular los factores K, al hablar de un marco sin contraventeo, simétrico, y con cargas verticales también simétricas, Kim y Chen (1999) dicen: “nótese que este marco debe considerarse no contraventeado, a pesar de que es simétrico y las cargas que obran sobre él, verticales, lo son también, porque puede, fácilmente, desplazarse lateralmente, por la falta de verticalidad de las columnas”. La verdad es que la falta de verticalidad, u otros defectos, no tienen nada que ver con el factor K, que se calcula para columnas perfectas. En el caso mencionado en el párrafo anterior la forma crítica de pandeo es con desplazamiento lateral, aunque el marco sea perfecto, de la misma manera que cuando se pandea una columna “perfecta” en voladizo, su extremo superior se desplaza lateralmente, porque la carga crítica de este modo es menor que la que corresponde al pandeo sin desplazamiento lateral del extremo. El objetivo principal del factor K es que las fórmulas de interacción proporcionen valores correctos en el caso extremo en que las columnas trabajan en compresión axial (momentos nulos), y la influencia de los defectos se cubre con las fórmulas para diseño de columnas aisladas, que se han deducido para columnas imperfectas. El método basado en el estudio de entrepisos completos tiene también importantes limitaciones; una de las principales es que sólo es válido para marcos regulares en los que todas las columnas de cada entrepiso son de la misma altura, aunque ésta varíe de unos entrepisos a otros. Se ha afirmado (Picard y Beaulieu, 1991) que una columna soportada tiene dos factores K, uno que corresponde a la estabilidad global de la estructura, que puede ser mayor o menor que la unidad, y otro para el estudio de su estabilidad individual, que vale, siempre, 1.0. Esto se aprecia en las columnas soportadas GH y EF del marco B del ejemplo 2, para las que se obtienen valores de K distintos de uno cuando se estudia la estabilidad del marco completo pero que, sin embargo, se diseñan con K = 1. Ante la confusión generada por los problemas mencionados, se ha sugerido la conveniencia de abandonar el concepto de longitud efectiva; al hacerlo, incorporando la interacción con la estructura completa con otros procedimientos, el dimensionamiento de las columnas se simplifica de manera considerable, tanto en estructuras regulares como irregulares, y el problema se puede resolver, de manera mucho más general y directa, incluyendo el efecto de la posible plastificación parcial de las columnas, empleando computadoras. Este es el camino que siguen muchas de las normas modernas para diseño de estructuras de acero, entre las que se cuentan las europeas, canadienses y australianas; se adoptará, también, en la próxima versión de las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal.

REFERENCIAS AISC (1993). “Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings”, y “Comentario”, Manual of Steel Construction, Load and Resistance Factor Design, 2a edición, AISC, Chicago, Illinois, 1994. AISC (1999). “Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings”, y “Comentario”, AISC, Chicago, Illinois. ASCE (1997). “Effective Length and Notional Load Approaches for Assessing Frame Stability: Implications for American Steel Design”, Task Committee on Effective Length, ASCE. CRC (1960), “Guide to Design Criteria for Metal Compression Members”, Column Research Council, Engineering Foundation, Ann Arbor, Mich. Geschwindner, L.F. (2000), “A Practical Look at Frame Analysis, Stability, and Leaning Columns”, Proceedings, North American Steel Construction Conference, Chicago, IL. Julian, O.G. y Lawrence, L.S. (1959), “Notes on J and L Nomograms for Determination of Effective Lengths” (no se ha publicado). Kim, S.E., y Chen, W.F. (1999), “Guidelines to Unbraced Frame Design with LRFD”, The Structural Design of Tall Buildings, Vol. 8, Nº 4, John Wiley & Sons, Ltd, diciembre. LeMessurier, W.J. (1977), “A Practical Method of Second Order Analysis, Part 2: Rigid Frames”, Engineering Journal, AISC 13(4). Picard, A. y Beaulieu, D. (1991), “Calcul des charpentes d’ acier”, Institut Canadien de la Construction en Acier, Willowdale, Onterio, Canadá. Shanley, F.R. (1957). “Strength of Materials”, McGraw-Hill Book Co., Nueva York. Ziemian, R.D. y McGuire, W. (1999), “Mastan2”, Versión 1.0, John Wiley and Sons, Inc.