La parábola. La parábola como lugar geométrico. La parábola es el lugar geométrico que se forma con todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz, como se muestra en la siguiente figura. Elementos de la parábola:

V= Vértice.

D B

F= Foco. 1

BC = Longitud del lado recto (LLR).

V1

F

D = Recta fija llamada directriz. C

Ecuación ordinaria de la parábola con su vértice en el origen. Para que un punto forme parte de una parábola, se debe cumplir que se encuentre a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

P(x, y) R(-p,0) 1 -p (0,0)

1

F(p,0)

dRP = dPF Usando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos:

d= (x 2 − x 1 ) + (y 2 − y 1 ) 2 sustituyendo las coordenadas y elevando al cuadrado. 2

( (x − ( − p)) 2 + (y − 0) 2 )2 =( (x − p) 2 + (y − 0) 2 )2 (x+p)2+y2=(x-p)2+y2 x2+2px+p2=x2-2px+p2+y2 Ordenando términos tenemos: x2+2px+p2 -x2+2px-p2= +y2 agrupando términos semejantes semejantes. 4px = y2 y2= 4px

La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes de la parábola así como su ecuación.

y2=4px

x2=4py

V(0,0)

V(0, 0)

F(p, 0)

F(0, p)

LLR=| 4p|

LLR=| 4p|

Directriz x= -p

Directriz y= -p

y2= -4px V(0, 0) F(-p, p, 0) LLR=| 4p| Directriz x= p

x2=-4py V(0, 0) F(0, -p) LLR=| 4p| Directriz y= p

Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. Dada la ecuación de la parábola y2= -20x, 20x, encontrar las coordenadas del vértice, foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar. De la ecuación: y2= -20x

la comparamos con: con

y2= -4px obtenemos que: -20=-4p p=

− 20 −4

p=5 V(0, 0) F(-p,0) = (-5, 0) LLR= | 4p| = | 4(5)| = | 20|=20 Directriz x= p x=5 Ejemplo 2. Dada la ecuación de la parábola x2= 8y, encontrar las coordenadas del vértice, foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar. De la ecuación x2= 8y la comparamos con: con x2= 4py obtenemos que: 8=4p p=

8 4

p=2 V(0,0) F(0, p)= (0, 2) LLR=| 4(2)| = 8 Directriz y= -p y=-2

Ecuación ordinaria de la parábola con el vértice fuera del origen. Si la parábola no tiene su vértice en el origen del sistema coordenado y lo tiene en el punto V(h, k) como se muestra en la siguiente figura:

La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes y de la ecuación ordinaria de la parábola bola con vértice fuera del origen. (y--k)2= 4p(x-h)

(x-h)2= 4p(y-k)

V(h, k)

V(h, k)

F(h+p, k)

F(h, k+p)

LLR=| 4p|

LLR=| 4p|

Directriz x= h-p h

Directriz y= k-p

(y--k)2= -4p(x-h)

(x-h)2= -4p(y-k)

V(h, k)

V(h, k)

F(h k) F(h-p,

F(h, k-p)

h k

V(h,k)

LLR=| 4p|

LLR=| 4p|

Directriz x=h+p x=h+

Directriz y= k+p

Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. Dada la ecuación de la parábola (y +3)2= -10(x-1), 1), encontrar las coordenadas del vértice, foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar. Si comparamos las siguientes ecuaciones tenemos que: (y +3)2= -10(x-1), (y-k)2= -4p(x-h) -k =3 → k =-3 -h = -1 → h =1 -4p = -10

p=

− 10 p = 2.5 −4

Por lo que: V(h, k) = V(1,-3) F(h-p, k) F( 1-2.5, -3) F(-1.5, 1.5, -3) LLR =| 4p|

LLR =|4(2.5)|

LLR =10

Directriz x =h + p x =1+2.5=

x =3.5

Ejemplo 2. Dada la ecuación de la parábola (x +3)2= 8(y-5), 5), encontrar las coordenadas del vértice, foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar. Si comparamos las siguientes ecuaciones tendremos que: (x +3)2= 8(y-5) (x-h)2= 4p(y-k) -h =+3 → h =-3 -k =-5 → k =5 4p=8

p=

8 =2 4

V(h, k) = V(-3, 5) F(h, k +p)= F(-3, 5+2) = F(-3, 3, 7) LLR =| 4(2)| =8 Directriz y = k-p y = 5-2= 2= y =3

Ecuación general de la parábola. La ecuación general de la parábola es la que se obtiene al desarrollar el binomio al cuadrado, agrupar términos e igualar a cero. Quedando una ecuación de la forma: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey +F=0 Ejemplo 1. Convertir a su forma general la siguiente ecuación. (y+2)2=10(x-3). (y+2)2=10(x-3). Desarrollamos el binomio cuadrado. y2+ 4y +4=10(x-3) Multiplicamos por 10el segundo binomio. y2+ 4y +4= 10x-30 Igualamos a cero la ecuación. y2 +4y+4-10x+30=0 Ordenamos términos. y2-10x+ 4y +34=0 Ejemplo 2. Dada la ecuación general de la parábola x2-18x-6y+69=0, pasarla a su forma ordinaria y graficarla encontrando las coordenadas del vértice, foco, LLR y ecuación de su directriz. Como la ecuación contiene al termino tendrá una forma:

x2

(x-h)2= 4p(y-k) Para lo cual debemos de ordenar los términos de la siguiente manera: x2-18x = +6y-69. Del lado izquierdo de la igualdad completaremos el trinomio cuadrado perfecto. Pero para ello se requiere agregar a ambos miembros de la igualdad el número 81, dicho número se obtiene de dividir 18/2 y al resultado de este cociente se eleva al cuadrado.

Con los valores de h, k y p. Determinamos lo siguiente: V(h, k)= V( 9,-2) F(h, k+p)= F(9,-2+1.5)= F(9,-0.5) LLR= | 4p|

= | 4(1.5)|

=6

Directriz y = k-p y =-2-1.5=

y =-3.5

x2-18x+81 = +6y-69+81 (x-9)2= 6y+12 Factorizando tenemos: (x-9)2=6(y+2) y a partir de su ecuación obtendremos los demás elementos. x

(x-h)2= 4p(y-k) al comparar las ecuaciones obtenemos que: -h =-9 → h =9

-k =2 → k =-2

4p=6

p=1.5

p =6/4

y =-3.5