LA TRANSFORMACION DE LAPLACE

1.

INTRODUCCION En esta publicación se presenta la transformación de Laplace y algunas de sus apli-

caciones, principalmente en la resolución de problemas de valores iniciales que incluyen ecuaciones o sistemas de ecuaciones diferenciales o integrodiferenciales lineales. Como se podrá apreciar, la transformación de Laplace proporciona un método eficaz en el tratamiento de esos problemas, y por sus ventajas sobre los métodos convencionales es de uso habitual en análisis y síntesis de circuitos, así como en el estudio de sistemas lineales y de sistemas de control y servomecanismos. La forma de presentación utilizará algunos conceptos simples del análisis lineal, considerándose a la transformación de Laplace y a su inversa como operadores lineales. El estudio de sus propiedades operacionales, que será efectuado con cierto detalle, abre el camino para introducir otras transformaciones lineales integrales, tales como la transformación de Fourier y algunas de sus generalizaciones. Debido a que las transformaciones lineales integrales de funciones f ( t ) definidas en un intervalo ( a, b ) (no necesariamente acotado), son de gran utilidad en la resolución de problemas cuyos modelos matemáticos utilicen ecuaciones diferenciales o integrodiferenciales lineales, es conveniente efectuar una presentación general de las mismas. Si K ( t, s ) es una función especificada de la variable t y de un parámetro s , una transformación lineal integral de funciones f ( t ), respecto del núcleo K ( t, s ), es definida mediante la ecuación

2

(1.1)

La Transformación de Laplace

T [ f ( t )] =

H. V. Masía

∫

b

K (t, s ) f ( t ) d t . a

En esta igualdad T [ f ( t ) ] representa una función F ( s ) llamada imagen o transformada de la función f ( t ) . En cada caso deberá especificarse el espacio de funciones en el cual está definida la transformación, y además el rango de valores del parámetro s, los que deberán ser tales que exista la integral del segundo miembro de (1.1). Se mostrará que cuando la transformación (1.1) obtenida con determinados núcleos K ( t, s ) es aplicada a formas diferenciales o integro-diferenciales en f ( t ) , cambia tales formas en expresiones algebraicas en la transformada F ( s ) que involucran además valores iniciales de la función f ( t ) . Por esta razón, ciertos problemas con ecuaciones diferenciales o integro-diferenciales se transforman en problemas algebraicos en la imagen de la función incógnita. Si existe una transformación inversa, la solución del problema original puede hallarse por este camino simple. Algunos problemas de contorno con ecuaciones en derivadas parciales también pueden simplificarse de modo análogo. Cuando a = 0 , b = + ∞ , y K ( t, s ) = e – s t, la transformación definida por medio de la fórmula (1.1) es llamada transformación de Laplace. Su aplicación ha reemplazado con ventajas al método clásico y también al procedimiento simbólico introducido por el ingeniero electricista inglés Oliver Heaviside (1850-1925). El desarrollo de la transformación fue comenzado por Pierre Simon Laplace (1749-1827), y continuado por Augustin Louis Cauchy (1789-1857), quien hizo importantes aportes sobre el tema.

H. V. Masía

2.

La transformación de Laplace

DEFINICION

DEFINICION:

TRANSFORMACION

DE LA

DE

3

LAPLACE

Sea f una función definida en [ 0 , + ∞ ) , excepto a lo sumo en un conjun-

to discreto. Considérese la integral impropia

∫

+∞

e− s t f ( t ) d t ,

0

donde s es una variable compleja. Si existe un conjunto (no vacío) de valores de la variable s para los cuales la integral es convergente, definirá en ese conjunto una función F de la variable compleja s. En tal caso se dice que f es transformable Laplace, y la función F así definida es llamada transformada de Laplace de f , simbolizándosela indistintamente por L [ f ] , L [ f ] ( s ) , o L [ f ( t )] . Así, por definición, es

L [ f ( t )] =

(2.1)

∫

+∞

e− s t f ( t ) d t ,

0

para cada valor s tal que la integral del segundo miembro converge.

Se examinan a continuación algunos casos simples, para luego estudiar condiciones que aseguren la existencia de transformada para cierta clase de funciones.

EJEMPLO 1. Sea f ( t ) = 1

∫

b 0

e− s t 1 d t

para todo t. Entonces

b,

=

si s = 0 ,

1 (1 − e − s b ) , si s ≠ 0 . s

Se deduce de esto que si Re ( s ) ≤ 0 , la integral carece de límite para b → + ∞ , mientras que si Re ( s ) > 0 , la integral converge, y resulta

4

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

L[ 1] = 1 , s

Re ( s ) > 0 .

EJEMPLO 2. Sea f ( t ) = e a t . Entonces

∫

b

si s = a ,

b, e− s t

0

e at

dt =

1 (1 − e − (s − a)b ) , si s ≠ a . (s − a)

Análogamente al caso anterior, si Re ( s ) ≤ a , la integral diverge, mientras que si Re ( s ) > a , la integral converge, y resulta

L[ eat ] =

1 , s−a

Re ( s ) > a .

EJEMPLO 3. Sea f ( t ) = cos w t . Entonces

∫

b

0

e− s t cos wt d t =

e−s b ( w sen wb − s cos wb ) + s . 2 2 2 s +w s + w2

Obviamente, si Re ( s ) ≤ 0, la integral diverge, mientras que si Re ( s ) > 0 , existe límite del segundo miembro para b → + ∞ , resultando

L [ cos w t ] =

s , s + w2 2

Re ( s ) > 0 .

H. V. Masía

3.

CONDICIONES

La transformación de Laplace

DE EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE

5

LAPLACE

En muchos casos es posible calcular la transformada de Laplace de una función por medio de la definición, como se hizo en los ejemplos anteriores. Sin embargo, es necesario estudiar condiciones que aseguren la existencia de la transformada de una función f dada, pues resultará útil considerar a L como un operador lineal de un espacio vectorial en otro. Un análisis inicial de (2.1) indica que una condición que deberá ser cumplida por la función f es que la integral

∫

(3.1)

b

e− s t f ( t ) d t

0

exista para todo valor de b > 0 . Esta exigencia es verificada cuando f es seccionalmente continua en [ 0, + ∞ ) , ya que en este caso el integrando de (3.1) también lo es, y en consecuencia la integral existe. Obsérvese que esta condición es suficiente para la existencia de la integral (3.1), aunque no necesaria, dado que existen funciones integrables que no son seccionalmente continuas. No obstante ello, se trabajará habitualmente con el conjunto de las funciones seccionalmente continuas pues con eso se cubre la mayoría de los casos que habrán de considerarse. En lo sucesivo, cada vez que se haga referencia a una propiedad válida para todo t ≥ a , deberá entenderse como válida para todos los valores del intervalo [ a, + ∞ ) , en los que la función esté definida. Conviene recordar que el conjunto de valores del intervalo [ 0 , + ∞ ) en los cuales la función pueda no estar definida será, a lo sumo, un conjunto discreto.

6

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

Prosiguiendo con el análisis, nótese que la seccional continuidad de f no alcanza para garantizar la existencia de L [ f ] , ya que además la integral impropia deberá ser convergente al menos para un conjunto (no vacío) de valores de la variable s. Una forma de asegurar esto es exigir que el valor absoluto del integrando esté "mayorado" por alguna función integrable y positiva cuya integral impropia sea convergente. Esta idea se establece con precisión en la definición siguiente.

DEFINICION:

Se dice que una función f es de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , si exis-

ten constantes reales C, a, con C > 0 , tales que

 f ( t ) ≤ C e a t ,

(3.2)

para todo valor de t ≥ 0 en que la función esté definida. Por ejemplo, la función constante f ( t ) = k es de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , pues cumple la condición (3.2) con C = k  y a = 0 . También lo es f ( t ) = t , ya que satisface (3.2) con C = 1 y a = 1 . Es evidente que una función exponencial es de orden exponencial, así como toda función acotada en el intervalo [ 0 , + ∞ ) . Es fácil probar que la suma, combinación lineal, y producto de funciones de orden exponencial, son también funciones de orden exponencial, y la demostración de estas propiedades se propone como un ejercicio. En base a estas consideraciones, se deduce fácilmente que funciones como t n , e a t , cos w t , sen w t , t n e a t cos w t , t n e a t sen w t , que aparecen habitualmente al tratar con ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, son de orden exponencial.

H. V. Masía

La transformación de Laplace

7

En cambio, la función f ( t ) = e t , no es de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , porque 2

2

lim

t →+∞

et e at

= lim e t ( t −a ) = + ∞ , t →+∞

cualquiera sea el valor a, lo que muestra que no existen constantes C, a, que hagan verificar la desigualdad (3.2) para tal función. El teorema que sigue asegura la existencia de transformada de una clase de funciones suficientemente amplia para los usos corrientes de la transformación de Laplace.

TEOREMA 3.1

Si f es una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , existe un número real a tal que su integral de Laplace

∫

+∞

e− s t f ( t ) d t

0

converge para todo valor s tal que Re ( s ) > a .

Demostración:

Por hipótesis, f es de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , por lo que

existen constantes reales C, a, tales que

 f ( t ) ≤ C e a t ,

para todo valor de t ≥ 0 .

Entonces

 e –s t f ( t ) = e – Re ( s ) t  f ( t ) ≤ C e – Re ( s ) t e a t = C e – ( Re ( s ) – a ) t , para todo t ≥ 0 . Además

∫

+∞

C e − ( Re (s) − a ) t d t =

0

=

lim

b → +∞

lim

b→+∞

∫

b

C e − ( Re (s) − a ) t d t

0

C ( 1 − e − ( Re ( s ) − a ) b ) , Re (s) − a

8

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

o sea

∫

+∞

C , Re (s) − a

C e − ( Re (s) − a ) t d t =

0

si Re ( s ) > a .

Usando ahora el teorema de comparación para integrales impropias, se deduce que

∫

+∞

e− s t f ( t ) d t

0

converge para todo valor s tal que Re ( s ) > a . █

OBSERVACIONES: 1. El Teorema 3.1 no sólo prueba que toda función seccionalmente continua y de orden exponencial es transformable Laplace, sino además que el dominio de su función transformada contiene un semiplano de la forma { s : Re ( s ) > a }. 2. Nótese que, por uso del teorema de comparación para integrales impropias, resulta no sólo la convergencia de la integral de Laplace, sino también su convergencia absoluta cuando Re ( s ) > a, verificándose además que

L[ f ] ( s ) ≤

(3.3)

∫

+∞ 0

e − s t f (t ) d t ≤

C , Re(s) − a

para cada s tal que Re ( s ) > a .

De las observaciones anteriores se deduce que si f es seccionalmente continua y de orden exponencial, el conjunto de A de números reales a tales que la integral de Laplace de f converge para todo valor s tal que Re ( s ) > a , es no vacío. Existen dos casos posibles:

( i ) Que la integral sea convergente para todo valor de s ; o

( ii ) Que existan

valores de s para los cuales la integral diverge. En este caso, indicando con α al ínfimo

H. V. Masía

La transformación de Laplace

9

del conjunto A, no es difícil probar que la integral de Laplace de la función f diverge para todo valor s tal que Re ( s ) < α . El teorema que sigue resume estas consideraciones, y su demostración es propuesta como un ejercicio.

TEOREMA 3.2

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) . Si la integral de Laplace de f diverge para algún valor de s, existe un único número real α con la propiedad de que la integral de Laplace de f es absolutamente convergente para todo valor s tal que Re ( s ) > α , y es divergente para todo valor s tal que Re ( s ) < α .

OBSERVACIONES: 1. Nótese que, con la posible excepción de la recta de ecuación Re ( s ) = α , el dominio de L [ f ] es el semiplano { s : Re ( s ) > a }. Por este motivo el número real α es llamado abscisa de convergencia de L [ f ] . Para ciertas funciones, como por ejemplo, f ( t ) = 0 , o f ( t ) = e – t , la región de convergencia resulta ser todo el plano comple2

jo. En tales casos, se dirá que la abscisa de convergencia de f es – ∞ . 2. Las conclusiones anteriores garantizan la existencia de transformada de toda función seccionalmente continua y de orden exponencial. Debe tenerse en cuenta que estas condiciones son suficientes, aunque no necesarias para la existencia de transformada, ya que hay funciones transformables que no son continuas y/o no son de orden exponencial. Por ejemplo, la función f ( t ) = t –1/ 2 es transformable aún cuando no es seccionalmente continua. En efecto, mediante el uso del teorema de comparación no hay dificultad para probar la convergencia de su integral de Laplace para todo valor de s tal que Re ( s ) > 0. Más aún, mediante el cambio de variable t = x2 / s, resulta

10

La Transformación de Laplace

L [t –1/ 2 ] =

∫

+∞

H. V. Masía

e −st

0

1 t

dt =

2 s

+∞

∫0

e − x² d x =

π , s

para cada s tal que Re ( s ) > 0 . La función f ( t ) = t –1/ 2 del ejemplo no es seccionalmente continua. Se propone como ejercicio encontrar un ejemplo de una función transformable Laplace que sea seccionalmente continua y no sea de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) .

Como consecuencia de todo lo expuesto, resulta que el conjunto E de todas las funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, es un subconjunto propio del conjunto de todas las funciones transformables Laplace. No es sencillo determinar con exactitud este conjunto, y no se abordará este problema, trabajándose habitualmente con el conjunto E por ser lo suficientemente amplio para los usos corrientes.

H. V. Masía

4.

La transformación de Laplace

LA TRANSFORMACION

DE

LAPLACE

11

COMO UNA TRANSFORMACION

LINEAL

El conjunto E de todas las funciones reales seccionalmente continuas y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , con la suma y el producto por escalares definido de la manera usual, es un espacio vectorial real. Llámese con S al conjunto de todas las funciones complejas cuyo dominio es un semiplano de la forma { s : Re ( s ) > a }, siendo a un número real cualquiera, o bien todo el plano complejo. El conjunto S también puede ser considerado como un espacio vectorial real, pero para ello debe modificarse la definición habitual de igualdad con el objeto de posibilitar la suma entre sus elementos, ya que no todas las funciones de S tienen el mismo dominio. Así, se dirá que dos funciones F, G, pertenecientes al conjunto S son iguales si existe un número real a tal que F ( s ) = G ( s ) para todo valor s tal que Re ( s ) > a . (Obsérvese que esta definición de igualdad difiere de la habitual, que exige que ambas funciones tengan el mismo dominio, y además que la igualdad se verifique en todo punto del dominio común a ambas). De este modo, si F y G pertenecen a S, su función suma F + G será la función cuyo dominio es la intersección de los dominios de F y de G, y además ( F + G ) ( s ) para cada s de esa intersección. Es muy fácil verificar que con estas definiciones, y el producto por escalares definido en la forma usual, S es un espacio vectorial. En base a las consecuencias del Teorema 3.2, puede afirmarse que L define una transformación de E en S. Es inmediato verificar que la transformación L es lineal, es decir que (4.1)

L[ a f + b g ] = a L[ f ] + b L[ g ] ,

cualesquiera sean los números reales a, b, y las funciones f, g, en E.

12

La Transformación de Laplace

NOTA:

H. V. Masía

Si no se modificara la noción de igualdad en S del modo indicado, surgirían

algunas dificultades. En efecto, con la definición de igualdad usual, no siempre L [ f + g ] es la misma función que L [ f ] + L [ g ] . Esa diferencia puede apreciarse considerando, por ejemplo, el caso en que g ( t ) = – f ( t ) , y siendo la abscisa de convergencia de la función f un número real a. En tal caso L [ f + ( – f ) ] = L [ 0 ] = 0 para todo s, mientras que L [ f ] + L [ – f ] = 0 para todo valor de s tal que Re ( s ) > a , pero no está definida si Re ( s ) ≤ a . Es decir que los dominios de L [ f + (– f ) ] y de L [ f ] + L [ – f ] son distintos, y en consecuencia, con la definición usual de igualdad, tales funciones son diferentes. Similar diferencia resulta en el caso de multiplicar una función f por el número 0. Esas dificultades son obviadas con la definición de igualdad adoptada en S , y de la linealidad de las integrales impropias se concluye la validez de la igualdad (4.1) en todos los casos. Una vez probada la linealidad de la transformación L : E → S , es de sumo interés determinar si L es biyectiva, con el objeto de intentar definir una transformación inversa. Un planteo equivalente a éste es estudiar la existencia y la unicidad de soluciones de la ecuación funcional (4.2)

L[ y ] = F (s) ,

donde F es una función dada de S , e y ( t ) es la función incógnita. Primeramente cabe observar que en caso de existir solución para la ecuación (4.2), ésta tendrá infinidad de soluciones, ya que si f y g son funciones de E que difieren en sus valores en un conjunto discreto, entonces L [ f ] = L [ g ] . Sin embargo, aunque tales funciones son distintas, en realidad son "muy parecidas", ya que únicamente difieren en puntos aislados. Si ésta resultara ser la mayor diferencia que pudiera existir entre las

H. V. Masía

La transformación de Laplace

13

soluciones de la ecuación (4.2), podría considerarse que, para los fines prácticos, la transformación L es inyectiva. El teorema siguiente, conocido como teorema de Lerch, y que no será demostrado, asegura que ello es así, estableciendo una de las propiedades más importantes de la transformación de Laplace. Una prueba de este teorema puede encontrarse en CARSLAW, H.S. y JAEGGER, J.C. [1]; PARODI, M. [1]; o REY PASTOR, J., PI CALLEJA, P.

y TREJO, C.A. [1].

TEOREMA 4.1

Sean f , g , funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial

en [ 0 , + ∞ ) , tales que L [ f ] ( s ) = L [ g ] ( s ) para todo s que verifica Re ( s ) > a . Entonces f ( t ) = g ( t ) para todo t ≥ 0 , excepto a lo sumo en los puntos de discontinuidad de ambas funciones.

Como consecuencia del teorema de Lerch, puede decirse que en el caso en que la ecuación (4.2) admita solución para y , tal solución habrá de ser "esencialmente" única. Dando más precisión a esto, si se modifica la definición de igualdad en E estableciendo que dos funciones f, g, de E son iguales si coinciden para todo t ≥ 0 , excepto a lo sumo en sus puntos de discontinuidad, podrá decirse que tal solución de (4.2) es única (Quien que posea conocimientos de estructuras algebraicas reconocerá que esta presentación responde a definir en E una relación de equivalencia, como antes se hizo de modo análogo en S .). Esa solución de la ecuación (4.2) es llamada antitransformada de Laplace o transformada inversa de Laplace de F , se simboliza con L–1 [ F ], y se caracteriza por (4.3)

L–1 [ F ] = y

⇔

L[ y ] = F .

14

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

Otra consecuencia importante del teorema de Lerch es que si la ecuación (4.2) admite una solución continua en [ 0 , + ∞ ) , entonces cualquier otra solución de la misma será discontinua; más precisamente, tendrá únicamente discontinuidades evitables en el intervalo [ 0 , + ∞ ) . Esto equivale a afirmar que si f y g son funciones continuas y de orden exponencial, entonces

L[ f ] = L[ g ]

⇔

f (t ) = g (t )

para todo t ≥ 0 .

Resta ahora estudiar si la transformación L es sobreyectiva. Esto es equivalente a determinar si toda función de S es transformada de alguna función de E, es decir si la ecuación funcional (4.2) tiene solución en E para cada F dada de S . La respuesta es negativa, como consecuencia del teorema que sigue.

TEOREMA 4.2

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) = L [ f ] ( s ) . Entonces (4.4)

lim

Re(s)→+∞

Demostración:

F (s) = 0 .

Lo propuesto se deduce inmediatamente de la desigualdad (3.3),

que se obtuvo como consecuencia del Teorema 3.1. █

La propiedad establecida en este teorema permite asegurar que el operador L no es sobreyectivo dado que existen funciones de S, como 1 , s , cos s , s / (s +1) , etc., que no verifican la condición (4.4), y por lo tanto no pueden ser imágenes de ninguna función de E .

H. V. Masía

La transformación de Laplace

15

No nos proponemos identificar exactamente el subconjunto de funciones de S que admiten antitransformada, y no es posible describirlo de un modo sencillo. No obstante, es fácil verificar que el operador antitransformada es lineal, es decir que si F y G son dos funciones tales que existen L–1 [ F ] y L–1 [ G ] , entonces

L–1 [ a F + b G ] = a L–1 [ F ] + b L–1 [ G ] , cualesquiera sean los números reales a, b . Finalmente, cabe destacar que el cumplimiento de (4.4) es una condición necesaria, pero no suficiente para que una función de S sea transformada de alguna función de E. Esto resulta de observar que existen funciones de S que aunque verifican la condición (4.4), no satisfacen (3.2), como por ejemplo F ( s ) =

s . En consecuencia, una función

de esta clase no puede ser imagen de ninguna función de E, o equivalentemente, en caso de admitir antitransformada, ésta no será una función seccionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) .

16

La Transformación de Laplace

5.

TRANSFORMADAS

H. V. Masía

DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

En el párrafo 2, luego de definir la transformación de Laplace, fueron calculadas las transformadas de algunas funciones haciendo uso de la definición. En forma similar se deducen las fórmulas elementales que siguen, cuyas demostraciones se proponen como ejercicio. (5.1)

L [ t ] = 12 , s

(5.2)

L [ sen w t ] =

(5.3)

L[ tn ] =

Re ( s ) > 0 .

w , s 2 + w2

Re ( s ) > 0 .

n! , s n +1

Re ( s ) > 0 , ( n ∈ N ) .

Haciendo uso de la linealidad del operador L , obtenemos (5.4)

L [ cosh a t ] = L [ ( e a t + e – a t ) / 2 ] = 1 ( L [ e a t ] + L [ e – a t ] ) 2

= 1 ( 2

1 + 1 ) = s , s−a s+a s2 − a2

Re ( s ) >  a .

Trabajando de modo análogo, resulta (5.5)

L [ senh a t ] =

a , s − a2 2

Re ( s ) >  a .

Puede formarse así una primera tabla de transformadas de Laplace de funciones elementales, que naturalmente puede usarse también de modo inverso, como una tabla elemental de antitransformadas. En ella notamos con F ( s ) = L [ f ( t )] , y recíprocamente será f ( t ) = L–1 [ F ( s ) ] .

H. V. Masía

La transformación de Laplace

17

TABLA 1

f (t )

F ( s)

f (t )

F ( s)

1

1 s

e–at

1 s+a

t

1 s2

cos w t

s s + w2

t2

2 s3

sen w t

w s + w2

n!

2

2

tn

s n +1

cosh a t

s s − a2

eat

1 s−a

senh a t

a s − a2

2

2

La propiedad de linealidad de la transformación de Laplace permite extender el uso de los resultados de la Tabla 1 para calcular la transformada de cualquier combinación lineal de funciones que se encuentren en la misma. También pueden calcularse por este medio, antitransformadas de funciones en algunos casos simples.

EJEMPLO 1. Calcular la transformada de Laplace de f ( t ) = 5 t + 4 sen 3 t . L [ 5 t + 4 sen 3 t ] = 5 L [ t ] + 4 L [ sen 3 t ] = s 2 + 45 . = 17 s 2 ( s 2 + 9)

5 +4 3 s2 s 2 + 32

18

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

EJEMPLO 2. Calcular la transformada inversa de F ( s ) = 5 / s 4. L–1 [ 5 / s 4 ] = 5 L–1 [ 3 ! / s 4 ] = 5 t 3 . 3! 6

EJEMPLO 3. Calcular la transformada inversa de F ( s ) =

8 s + 11 . s + 3s + 2 2

Descomponiendo la expresión de F ( s ) en fracciones simples, es

L−1 [

8s + 11 ] = L−1 [ 3 + 5 ] = 3 e – t + 5 e – 2 t . s +1 s+2 s + 3s + 2 2

EJERCICIOS 1. Demostrar la validez de las fórmulas (5.1), (5.2) y (5.3) . 2. Utilizando las fórmulas de la Tabla 1, calcular la transformada de Laplace de cada una de las funciones siguientes, y determinar en cada caso la abscisa de convergencia.

a.

f (t ) = a + b t + c t 2 + d t 3

b.

f (t ) = eat – 1

c.

f (t ) = 1 – e–a t

d.

f (t ) = eat – a t – 1

e.

at bt f (t ) = e − e , a−b

f.

f (t ) =

g.

wt f ( t ) = 1 − cos 2 w

a e at − b e bt , a−b

a≠b a≠b

H. V. Masía

La transformación de Laplace

h.

at , f ( t ) = cos w2t − cos 2 a −w

a2 ≠ w2

i.

at , f ( t ) = a sen wt −2 w sen a w(a − w 2 )

a2 ≠ w2

j.

wt f ( t ) = w t − sen 3 w

3. Calcular L–1 [ F ( s ) ] en cada uno de los siguientes casos.

a.

F ( s ) = 12 s

b.

F ( s ) = − 72 s

c.

F ( s ) = 222 s

d.

F (s) =

9 s−5

e.

F (s) =

1 7 − 3s

f.

F (s) =

5s 2s2 + 3

g.

F (s) =

6 6 − s2

h.

F (s) =

3s 16 − s 2

19

20

La Transformación de Laplace

6.

CALCULO

H. V. Masía

DE TRANSFORMADAS POR DERIVACION

La propiedad que establece el teorema siguiente permitirá calcular la transformada de t n f ( t ) cuando es conocida L [ f ( t )] .

TEOREMA 6.1

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) = L [ f ( t )] . Entonces

L [ t f ( t )] = – F '( s ) .

(6.1) Más generalmente

L [ t n f ( t )] = ( –1 ) n F ( n ) ( s ) .

(6.2)

Demostración:

Nótese que por ser f ( t ) una función seccionalmente continua y de

orden exponencial, también lo es t n f ( t ). El resultado será obtenido derivando ambos miembros de F (s) =

∫

+∞

e− s t f ( t ) d t .

0

Puede probarse que la función e – s t f ( t ) y sus derivadas parciales respecto de s, satisfacen condiciones suficientes para poder asegurar que F ( s ) es analítica en el semiplano { s : Re ( s ) > a }, siendo α la abscisa de convergencia de L [ f ] , y también que sus derivadas sucesivas pueden obtenerse derivando bajo el signo integral en el segundo miembro de la igualdad anterior (Se omite la demostración de lo afirmado). Entonces

∫

F '( s ) = d ds

=

∫

+∞

+∞

e− s t f ( t ) d t =

0

∫

+∞ 0

∂ ( e− s t f ( t ) ) d t ∂s

e− s t ( − t ) f ( t ) d t = – L [ t f ( t )] ,

0

H. V. Masía

La transformación de Laplace

21

lo que prueba la validez de (6.1). La fórmula (6.2) se obtiene fácilmente por aplicación del principio de inducción matemática. █

En términos de antitransformadas, las fórmulas (6.1) y (6.2) son equivalentes respectivamente a

L–1 [ F '( s ) ] = – t L–1 [ F ( s ) ] ,

(6.3)

L–1 [ F ( n ) ( s ) ] = ( –1 ) n t n L–1 [ F ( s ) ] .

(6.4)

EJEMPLO 1. Calcular la transformada de Laplace de f ( t ) = t sen w t .

w 2 ws L [ t sen w t ] = − d L [ sen wt ] = − d = . ds d s s 2 + w2 ( s 2 + w2 ) 2 Se obtiene, como consecuencia de esto que

L−1 [

s ] = 1 t sen wt . 2 2 2w (s + w ) 2

EJERCICIOS 1. Calcular por derivación de alguna función transformada conocida, la transformada de Laplace de cada una de las funciones siguientes.

a.

f ( t ) = t cos w t

b.

f ( t ) = t cosh a t

c.

f ( t ) = t senh a t

d.

f (t ) = t eat

2. Utilizando resultados obtenidos anteriormente, calcular la transformada de f ( t ) en cada uno de los casos siguientes.

22

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

a.

f ( t ) = sen w t – w t cos w t

b.

f ( t ) = senh a t – a t cosh a t

c.

f (t ) = 1 – 4 a t e–a t

d.

f ( t ) = w sen w t – a t sen w t

e.

f (t ) =

e at − ( 1 + ( a − b ) t ) e bt ( a − b )2

H. V. Masía

7.

La transformación de Laplace

TRANSFORMADAS

23

DE DERIVADAS E INTEGRALES

Hasta aquí se ha tratado casi exclusivamente el problema de encontrar transformadas de algunas funciones elementales. Sin embargo, para cualquiera de sus aplicaciones, es imprescindible estudiar propiedades de la transformada de Laplace. En este párrafo serán deducidas dos de ellas, de fundamental importancia para las aplicaciones, que permiten expresar las transformadas de la derivada y de la integral de una función f seccionalmente continua y de orden exponencial, en términos de L [ f ] .

TEOREMA 7.1

Sea f una función continua en ( 0 , + ∞ ) , cuya función derivada f ' es

seccionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) . Entonces f es de orden exponencial.

Demostración:

Siendo f ' de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , existen números re-

ales positivos C, a, tales que – C e a x ≤ f '( x ) ≤ C e a x , para todo x > 0 . Como consecuencia de las hipótesis, f será continua por derecha en 0, o deberá existir su límite lateral por derecha. Por lo tanto, es integrable y puede utilizarse el teorema de Barrow, resultando

−

∫

t

C eax d x ≤

0

∫

t 0

f ' ( x) d x ≤

t

∫ Ce

ax

dx,

0

y llamando con K = C / a, es – K ( eat – 1 ) ≤ f (t ) – f ( 0+ ) ≤ K ( eat – 1 ) Es decir que

 f ( t ) – f ( 0 + ) ≤ K ( e a t – 1 ) ≤ K e a t ,

24

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

para todo t ≥ 0 . Esto demuestra que f ( t ) – f ( 0 + ) es de orden exponencial, por lo cual también lo es f ( t ) . █

COROLARIO.

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , y sea g la función definida por g (t ) =

∫

t

f ( x) d x , a

para cada t ≥ 0 , siendo a ≥ 0 . Entonces la función g es continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) .

Demostración: Por ser f seccionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , g es continua, y su derivada g ' = f , por lo que g ' es seccionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) . Así entonces, g verifica las hipótesis del Teorema 7.1, y por lo tanto es de orden exponencial. █

Establecidos estos resultados, se está en condiciones de demostrar las importantes propiedades que siguen.

TEOREMA 7.2

Sea f una función continua en ( 0 , + ∞ ) , cuya función derivada f ' es

seccionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) = L [ f ] ( s ) . Entonces (7.1)

L[ f ' ] (s ) = s F (s) – f ( 0+ ) .

H. V. Masía

La transformación de Laplace

Demostración:

25

Como f satisface las hipótesis del Teorema 7.1, puede asegurarse

que es de orden exponencial, y en consecuencia existe su transformada. Integrando por partes, resulta

L[ f ' ] (s ) =

∫

+∞

e− s t f ' ( t ) d t =

0

= ( e− s t f ( t ) ) = ( e− s t f ( t ) )

+∞ 0+ +∞ 0+

+ s

∫ ∫

+∞

e− s t d f ( t )

0 +∞

e− s t f ( t ) d t

0

+ s F (s) .

Siendo f de orden exponencial, se tendrá que si Re ( s ) es suficientemente grande, e – s t f ( t ) → 0 cuando t → + ∞ . Así, para tales valores de s, es ( e− s t f ( t ) )

+∞ 0+

= lim ( e−s t f ( t )) – lim ( e−s t f ( t )) = – f ( 0 + ) , t →+∞

t →0 +

Y sustituyendo esto en el último miembro de la desigualdad anterior, se obtiene lo propuesto. █

El resultado probado se extiende fácilmente a transformadas de derivadas de orden superior, en el corolario que sigue.

COROLARIO.

Si

f, f', . . . , f

(n – 1)

son continuas en ( 0 , + ∞ ) , y f

(n)

es sec-

cionalmente continua y de orden exponencial en [ 0 , + ∞ ) , entonces (7.2)

L [ f '' ] ( s ) = s 2 F ( s ) – s f ( 0 + ) – f '( 0 + ) .

. (7.3)

L[ f

(n) ] (s )

.

.

= s n F ( s ) – s n – 1 f ( 0 + ) – s n – 2 f '( 0 + ) – . . . – f

( n – 1) ( 0 + ) .

26

La Transformación de Laplace

Demostración:

H. V. Masía

Usando la fórmula (7.1) en forma reiterada, se obtiene

L [ f '' ] ( s ) = L [ ( f ' ) ' ] ( s ) = s L [ f ' ] ( s ) – f '( 0 + ) . = s ( s F ( s ) – f ( 0 + ) ) – f '( 0 + ) . = s 2 F ( s ) – s f ( 0 + ) – f '( 0 + ) . Finalmente, la fórmula (7.3) se prueba fácilmente por aplicación del principio de inducción matemática. █

EJEMPLO 1. Calcular la transformada de Laplace de f ( t ) = sen w t , a partir de la transformada de cos w t . Usando la fórmula (7.1), se tiene que

L [ sen w t ] = – 1 L [ D ( cos w t ) ] = – 1 ( s L [ cos w t ] – cos 0 ) w w 2 = − 1 ( 2 s 2 −1) = 2 w 2 , w s +w s +w

Re ( s ) > 0 .

n

EJEMPLO 2. Calcular la transformada de f ( t ) = t , ( n ∈ N ) . Como D n t n = n !, se tiene que

L[ Dn t n ] = L[ n !] = n ! L[ 1 ] = n ! . s Además, de la fórmula (7.3) resulta

L[ D n t n ] = s n L[ t n ] – s n –1 0 – . . . – 0 = s n L[ t n ] . En consecuencia y por lo tanto

s n L[ t n ] = n ! s

para cada n ∈ N ,

H. V. Masía

La transformación de Laplace

L[ tn ] =

NOTA:

n!

s n +1

27

Re ( s ) > 0 .

,

La fórmula (7.1) no es válida en el caso en que la función f tiene discontinui-

dades en [ 0 , + ∞ ) , y sufre modificaciones que le agregan términos por cada salto finito que tenga la función f (Ver Ejercicio 4 de este párrafo).

A continuación serán deducidas para transformadas de integrales, fórmulas análogas a las vistas para transformadas de derivadas.

TEOREMA 7.3

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , a ≥ 0 , y sea F ( s ) = L [ f ] ( s ) . Entonces

L[

(7.3)

∫

t a

f ( x) d x ] = 1 ( F ( s ) − s

∫

a

f ( x) d x ) .

0

Por el corolario del Teorema 6, g ( t ) =

Demostración:

∫

t

f ( x) dx

es continua y

a

de orden exponencial. Integrando por partes, se tiene

L[

∫

t a

f ( x) d x ] =

∫

+∞

e− s t (

0

= − 1 ( e− s t s

Como

∫

∫

t

f ( x) d x ) d t a

∫

+∞

t

f ( x) d x ) a

t

f ( x) d x es de orden exponencial,

0

e − st

a

Re ( s ) es suficientemente grande. En consecuencia,

∫

t a

+ 1 s

∫

+∞

e− s t f ( t ) d t .

0

f ( x ) d x → 0 cuando t → + ∞ , si

28

La Transformación de Laplace

L[

∫

t

H. V. Masía

∫

f ( x) d x ] = 1 F ( s ) + 1 s s

a

= 1 ( F (s) − s

∫

a

0

f ( x) d x a

f ( x ) d x ) .█

0

En la mayor parte de las veces en que aparecen integraciones, el valor de a es 0, en cuyo caso la fórmula (7.4) toma la forma particular más simple

L[

(7.5)

∫

t

0

f ( x) d x ] = 1 F ( s ) . s

Aunque en el uso de transformadas de Laplace, en escasas oportunidades surge la necesidad de usar integrales iteradas, las fórmulas (7.4) y (7.5) admiten equivalentes para tales casos. En el corolario que sigue se formulan las mismas, y su demostración se propone como un ejercicio.

COROLARIO.

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) = L [ f ] ( s ) . Entonces (7.6)

L[

t

∫ ∫

t

dt . . .

dt

a

a

∫

t

f (t ) d t

]

a

= 1n F ( s ) − 1n s s

∫

a

f (t ) d t −

0

n veces

∫

1

−

s n −1

a

0

dt

∫

t

f (t ) d t − . . . − 1 s

a

a

∫ ∫

t

dt . . .

dt

0

a

∫

(n – 1) veces

(7.7)

L[

t

∫ ∫

t

dt

0

dt . . .

0

∫

t

0

n veces

f (t ) d t

]

= 1n F ( s ) s

t

f (t ) d t . a

H. V. Masía

La transformación de Laplace

29

EJEMPLO 3. Calcular la transformada de Laplace de f ( t ) = t e a t , usando las fórmulas de integración. Siendo

∫

t

0

x e a x d x = 1 t e a t − 12 e a t + 12 , a a a

por aplicación de (7.5), resulta

1 + 1 1 . 1 L [ t e at ] = L [ 1 t e at − 1 e at + 1 ] = 1 L [ t e at ] − 1 2 2 2 s a a a a a s − a a2 s Y explicitando L [ t e a t ] , se obtiene finalmente 1 . (s − a) 2

L[ t eat ] =

Las fórmulas deducidas hasta ahora permitirían presentar algunos usos de la transformación de Laplace. Sin embargo, los conocimientos son aún algo limitados como para resolver problemas con cierto grado de agilidad. Por esta razón, en los dos párrafos siguientes se estudiarán otras propiedades antes de mostrar algunas aplicaciones.

EJERCICIOS 1. Hallar la transformada de Laplace de f ( t ) en cada uno de los siguientes casos .

a.

f ( t ) = sen ( t + a )

b.

f (t ) = ( t + a )n

c.

f ( t ) = t sen w t

d.

f (t ) = t 2 eat

e.

f ( t ) = t 2 cos w t

f.

f ( t ) = sen 2 w t

2. Utilizar la fórmula de transformada de derivadas para hallar la transformada de Laplace de

f ( t ) = e a t sen w t .

30

La Transformación de Laplace

3. Calcular la transformada de

H. V. Masía

f ( t ) = cos 2 w t .

4. Supóngase que la función f en el Teorema 7 tiene una discontinuidad de tipo salto finito en a ( a > 0 ) . Demostrar que

L[ f ' ] (s ) = s F (s) – f ( 0+ ) – eas ( f ( a+ ) – f (a– ) ) . 5. Demostrar la fórmula (7.6) para el caso n = 2 .

H. V. Masía

8.

EL

La transformación de Laplace

31

PRIMER TEOREMA DE TRASLACION

El uso de la transformación de Laplace para la resolución de problemas de valores iniciales, requiere saber encontrar la transformada inversa de una función F ( s ) , que frecuentemente es una función racional. En tales casos, un método práctico consiste en descomponer la expresión de F ( s ) en fracciones simples, representándola como una suma en la que se pueda reconocer la antitransformada de cada sumando mediante el uso de ciertas fórmulas. Una de tales fórmulas es proporcionada por el llamado primer teorema de traslación, que se refiere al efecto de una traslación de coordenadas en la función imagen. El corolario de este teorema es de gran utilidad para el cálculo de antitransformadas.

TEOREMA 8.1

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , y sea F ( s ) = L [ f ] ( s ) . Entonces

L [ e a t f ( t )] = F ( s – a ) .

(8.1)

Demostración:

Si f ( t ) es seccionalmente continua y de orden exponencial, puede

asegurarse que e a t f ( t ) también lo es. Entonces

L [ e a t f ( t )] =

∫

+∞

e− s t e a t f ( t ) d t =

0

∫

+∞

e− ( s − a ) t f ( t ) d t

0

= F(s – a) . █ Una consecuencia importante del primer teorema de traslación es la fórmula que se obtiene del mismo al plantearla en términos de antitransformadas, y que se enuncia como corolario.

32

La Transformación de Laplace

COROLARIO.

H. V. Masía

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , y sea f ( t ) = L–1 [ F ( s ) ] . Entonces

L–1 [ F ( s – a ) ] = e a t f ( t ) .

(8.2)

EJEMPLO 1. Hallar la transformada de Como

L [ cos w t ] = L [ e a t cos w t ] =

f ( t ) = e a t cos w t .

s , usando la fórmula (8.1), resulta s + w2 2

s−a . (s − a) 2 + w2

EJEMPLO 2. Hallar la antitransformada de F ( s ) =

2s − 9 . s − 4 s + 13 2

Nótese que el denominador tiene dos raíces complejas, por lo que no es factible descomponer a F ( s ) como suma de fracciones simples cuyos denominadores sean reales y lineales. En estos casos, con el objeto de utilizar la fórmula (8.2), conviene expresar la fracción en términos de ( s – a ) , eligiendo un valor adecuado de a. Esto se consigue completando un cuadrado en el denominador y modificando el numerador, como sigue. 2 ( s − 2) − 5 2s − 9 s−2 3 = = 2 − 5 2 2 2 3 ( s − 2) 2 + 32 s − 4 s + 13 ( s − 2) + 9 ( s − 2) + 3 2

Observemos que

y

L−1 [

s−2 ] = e 2 t L−1 [ 2 s 2 ] = e 2 t cos 3 t , 2 2 (s − 2) + 3 s +3

L−1 [

3 ] = e 2 t L−1 [ 2 3 2 ] = e 2 t sen 3 t . 2 2 (s − 2) + 3 s +3

H. V. Masía

La transformación de Laplace

33

En consecuencia

L−1 [

2s − 9 ] = 2 e 2 t cos 3 t – 5 e 2 t sen 3 t . 3 s − 4 s + 13 2

EJERCICIOS 1. Usando la fórmula del primer teorema de traslación hallar la transformada de Laplace de f ( t ) en cada uno de los siguientes casos y verificar el resultado obtenido mediante otro procedimiento .

a.

f (t ) = t eat

b.

f (t ) = t 2 eat

c.

f ( t ) = e a t sen w t

d.

f ( t ) = e a t cos w t

e.

f ( t ) = e a t senh b t

f.

f ( t ) = e a t cosh b t

g.

f ( t ) = t e a t sen w t

h.

f ( t ) = t e a t cos w t

i.

f ( t ) = t e a t senh b t

j.

f ( t ) = t e a t cosh b t

2. Mostrar que si L [ f ( t )] = F ( s ) , entonces:

a.

L [ f ( t ) cosh a t ] = 1 ( F ( s – a ) + F ( s + a ) )

b.

L [ f ( t ) senh a t ] = 1 ( F ( s – a ) – F ( s + a ) )

c.

L [ f ( t ) cos w t ] = 1 ( F ( s + i w ) + F ( s – i w ) )

d.

L [ f ( t ) sen w t ] = 1 ( F ( s + i w ) – F ( s – i w ) )

2

2

2

2

34

La Transformación de Laplace

9.

EL

H. V. Masía

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

El primer teorema de traslación establece que a una multiplicación de la función objeto por una función exponencial, le corresponde una traslación en el dominio de su transformada. A continuación será efectuada deducción análoga para la multiplicación de la transformada por una función exponencial, que según se verá, corresponde a una traslación en el dominio de la función objeto. En lo que sigue se llamará función escalón unitario a la función H definida por (9.1)

H (t ) =

0,

si t < 0 ,

1,

si t ≥ 0 .

Si a es número no negativo, se indicará con H a ( t ) a la función escalón unitario desplazada en a unidades hacia la derecha. Más precisamente, (9.2)

Ha ( t ) = Obsérvese que

1

0,

si t < a ,

1,

si t ≥ a .

Ha ( t ) = H ( t – a ) ,

y que

H0 ( t ) = H ( t ) .

1

y = H (t )

t

y = Ha ( t )

a

t

FIGURA 9-1 Conviene destacar que para casi todos los fines prácticos, carecen de importancia los valores asumidos por una función en sus puntos de discontinuidad, y particularmente para una función escalón, es irrelevante su valor en su único punto de discontinuidad.

H. V. Masía

La transformación de Laplace

35

Esto se debe a que en las aplicaciones, el efecto producido por una excitación en un sistema físico no depende de un valor puntual. (Recuérdese que si dos funciones seccionalmente continuas difieren únicamente en un conjunto discreto de puntos, sus integrales en cualquier intervalo son iguales). La función escalón es especialmente útil para dar expresiones compactas de ciertas funciones que tienen una ley "sencilla" por tramos. Por ejemplo, sea f (t ) =

0,

si

t < a,

e– (t – a) ,

si

t ≥ a.

1

a

t

FIGURA 9-2 Entonces es f ( t ) = Ha ( t ) e – ( t – a ) = H ( t – a ) e – ( t – a ) Obsérvese que si

0 < a < b , resulta

H (t – a ) – H (t – b ) =

0,

si

t < a o t ≥ b,

1,

si

a ≤ t < b.

1

a

b

t

FIGURA 9-3

36

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

Este pulso rectangular de amplitud unitaria, que se expresa como la diferencia de dos escalones desplazados, y cuya gráfica se indica en la Figura 9-3, puede usarse para dar una ley sencilla de ciertas funciones que "cambian" su expresión simple por tramos. Por ejemplo, sea f la función cuya gráfica es la que se ilustra en la Figura 9-4.

1

1

2

t

FIGURA 9-4 La función f es expresada analíticamente por

(9.3)

f (t ) =

0,

si

t < 0,

t,

si

0 ≤ t < 1,

2 – t, t–2,

si 1 ≤ t < 2 , si t ≥ 2 .

Entonces puede escribirse (9.4)

f ( t ) = t (H ( t ) – H ( t – 1 )) – ( t – 2 ) (H ( t – 1 )) – H ( t – 2 )) + ( t – 2 ) H ( t – 2 ) = t H (t ) – 2 (t – 1 ) H (t – 1 ) – 2 (t – 2 ) H (t – 2 ) Para ciertos cálculos, esta forma de expresión compacta de f ( t ) es más útil que la

expresión por tramos dada por (9.3). Como observación general, la expresión g (t ) =

0,

si t < a ,

f (t – a ) ,

si t ≥ a ,

H. V. Masía

La transformación de Laplace

37

define una función g cuya gráfica es obtenida mediante una traslación de la gráfica de f en a unidades hacia la derecha, y a la cual se le asigna el valor 0 para todo valor de t menor o igual que a. (Figura 9-5).

y = g (t )

y = f (t )

t

a

t

FIGURA 9-5

Es conveniente remarcar que funciones definidas de este modo son de particular importancia en las aplicaciones, ya que su uso es imprescindible cada vez que se consideran sistemas físicos (eléctricos, mecánicos, etc.) en los cuales ciertas excitaciones, como tensiones, corrientes, fuerzas, etc., se aplican o se quitan abruptamente a partir de cierto instante a > 0 . En tales casos, la interpretación que corresponde al valor a será la de un retardo o retraso en el tiempo. El teorema que se mostrará a continuación, llamado segundo teorema de traslación, proporciona una fórmula para las transformadas de funciones de esta clase.

TEOREMA 9.1

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , y sea a > 0 . Entonces (9.5)

L [ H ( t – a ) f ( t – a ) ] = e – a s L [ f ( t )] .

38

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

Demostración: L [ H ( t – a ) f ( t – a )] =

∫

+∞

e− s t H ( t − a ) f ( t − a ) d t =

0

∫

+∞

e− s t f ( t − a ) d t

a

Efectuando en esta última integral la sustitución x = t – a , se obtiene

L [ H ( t – a ) f ( t – a )] =

∫

+∞

e− s ( x + a ) f ( x ) d x

0

= e–a s

∫

+∞

e− s x f ( x ) d x = e – a s L [ f ( t )] . █

0

Una consecuencia importante del segundo teorema de traslación es la fórmula que se obtiene del mismo al plantearla en términos de antitransformadas, y que se enuncia como corolario.

COROLARIO.

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) , a > 0 , y sea (9.6)

f ( t ) = L–1 [ F ( s ) ] . Entonces

L–1 [ e – a s F ( s ) ] = H ( t – a ) f ( t – a ) .

EJEMPLO 1. Hallar la transformada de

g ( t ) = H ( t – a ) cos w t .

L [ H ( t – a ) cos w t ] = L [ H ( t – a ) cos w ( t – a + a ) ] = e – a s L [ H ( t – a ) cos w ( t – a ) ] = L [ H ( t – a ) ( cos w a cos w ( t – a ) – sen w a sen w ( t – a ) ) ] = e – a s L [ cos w a cos w t – sen w a sen w t ] = e – a s ( cos w a L [ cos w t ] – sen w a L [ sen w t ] ) = e – a s s cos wa2 − w 2sen wa s +w

H. V. Masía

La transformación de Laplace

39

EJEMPLO 2. Sea f la función definida por la fórmula (9.3) . Calcular L [ f ( t )] . Según se ha visto oportunamente,

f (t)

puede ser expresada haciendo uso de la

función escalón como en la fórmula (9.4), por lo que

L [ f ( t )] = L [ t H ( t ) – 2 ( t – 1 ) H ( t – 1 ) – 2 ( t – 2 ) H ( t – 2 ) ] = L[ t ] – 2 e–s L[ t ] – 2 e–2s L[ t ] = 12 ( 1 − 2 e − s − 2 e − 2 s ) . s

EJEMPLO 3. Calcular L−1 [

f ( t ) = L−1 [

Llamando con

L−1 [

e −4s ]. s + 4s + 5 2

1 ] , y usando (9.6), se tiene s + 4s + 5 2

e − 4s ] = H (t – 4 ) f (t – 4 ) . s + 4s + 5 2

Utilizando el primer teorema de traslación, resulta

L−1 [

1 1 ] = L−1 [ ] s + 4s + 5 ( s + 2) 2 + 1 2

= e – 2 t L−1 [

1 ] = e – 2 t sen t . s2 + 1

En consecuencia

L−1 [

e − 4s ] = H ( t – 4 ) e – 2 ( t – 4 ) sen ( t – 4 ) . s2 + 4s + 5

EJEMPLO 4. Hallar la transformada del pulso de forma parabólica definido por f (t ) =

–t2 + 6t – 8 ,

si 2 ≤ t < 4 ,

0,

si t < 2 ó t ≥ 4 .

40

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, puede expresarse a f ( t ) en la forma f (t ) = ( – t 2 + 6 t – 8 ) ( H (t – 2 ) – H (t – 4 ) ) = ( – t 2 + 6 t – 8 ) H (t – 2 ) + ( – t2 + 6 t – 8 ) H (t – 4 ) ) . Con el objeto de utilizar el segundo teorema de traslación, el primer sumando del segundo miembro deberá ser expresado en potencias de ( t – 2 ) , mientras que el segundo sumando deberá expresarse en potencias de ( t – 4 ) , para tener de ese modo expresiones de funciones cuyas transformadas son conocidas, pero desplazadas en el mismo valor que el valor en el cual está desplazado el escalón. Así f (t ) = ( – (t – 2 )2 + 2 (t – 2 ) ) H (t – 2 ) + ( (t – 4 )2 + 2 (t – 4 ) ) H (t – 4 ) . Ahora la fórmula (9.5) es aplicable a cada sumando, resultando

L [ f ( t )] = L [ ( – ( t – 2 ) 2 + 2 ( t – 2 ) ) H ( t – 2 ) + ( ( t – 4 ) 2 + 2 ( t – 4 ) ) H ( t – 4 ) ] = e–2s L[ – t 2 + 2 t ] + e–4s L[ t 2 + 2 t ] = e – 2 s ( − 23 + 22 ) + e – 4 s ( − 23 + 22 ) . s s s s

A continuación, y por aplicación del segundo teorema de traslación, será deducida una fórmula que permite calcular transformadas de funciones periódicas mediante una simple integral definida.

TEOREMA 9.2

Sea f una función seccionalmente continua y de orden exponencial en

[ 0 , + ∞ ) . Si f es periódica, de período fundamental T ( T > 0 ) , entonces (9.7)

L [ f ( t )] =

1 1 − e −T s

∫

T

0

e− s t f ( t ) d t .

H. V. Masía

La transformación de Laplace

Demostración:

Por definición, es

L [ f ( t )] =

=

∫

T

41

∫

+∞

e− s t f ( t ) d t

0

e− s t f ( t ) d t +

0

∫

2T

e− s t f ( t ) d t + . . . +

T

∫

( n + 1)T

e− s t f ( t ) d t + . . .

nT

Efectuando la sustitución t = x + n T en la n-ésima integral, para cada n ∈ N , y debido a la periodicidad de la función f , se obtiene

∫

( n +1)T

e− s t f ( t ) d t =

nT

∫

T

e− s ( x + nT ) f ( x + n T ) d x = e − nT s

0

∫

T

e− s x f ( x ) d x .

0

Por lo tanto,

L [ f ( t )] =

∫

T

e− s x f ( x ) d x + e −T s

0

∫

T

e− s x f ( x ) d x + . . . + e − n T s

0

= ( 1 + e–Ts + e–2 Ts + . . . + e–n Ts + . . . )

∫

T

∫

T

e− s x f ( x ) d x + . . .

0

e− s x f ( x ) d x

0

Si Re ( s ) > 0 , la serie geométrica 1 + e–Ts + e–2 Ts + . . . + e–n Ts + . . . de razón e – T s , resulta ser convergente y su suma es

1 . Reemplazando esto en 1 − e −T s

la igualdad anterior, se obtiene finalmente la fórmula (9.7) . █

EJEMPLO 5. Sea f la función cuya gráfica es la onda rectangular de la Figura 9-6. Hallar su transformada de Laplace .

42

La Transformación de Laplace

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A

1

2

3

4

t

FIGURA 9-6 La función f es periódica de período 2, por lo que

L [ f ( t )] =

2

1 1 − e −2s

∫

1 1 − e −2s

A (1 − e − s ) A = . s s (1 + e − s )

=

e− s t f ( t ) d t =

0

1 1 − e −2s

∫

1

A e− s t d t

0

EJERCICIOS 1. Dibujar la gráfica de f y hallar su transformada en cada uno de los casos siguientes .

a. f (t ) =

c.

0, t − 2, 3,

si t < 2 , si 2 ≤ t < 5 , si t ≥ 5 .

f (t ) = 1 + [ t ] ,

b. f (t ) =

2 t − 6 , si 3 ≤ t < 6 , 18 − 2 t , si 6 ≤ t < 9 , 0, si t < 3 ó t ≥ 9 .

siendo [ t ] la parte entera de t .

( Sugerencia: Expresar [ t ] mediante una serie de funciones escalones ) .

d.

f ( t ) =  sen t .

2. Encontrar la expresión analítica de una onda diente de sierra de valor máximo A, valor mínimo 0, y período T , usando para ello una serie de escalones unitarios . Hallar la expresión de su transformada de Laplace .

H. V. Masía

La transformación de Laplace

43

3. Encontrar la expresión analítica de una onda triangular de valor máximo A, valor mínimo 0, y período fundamental 2 T , usando para ello una serie de escalones unitarios . Hallar la expresión de su transformada de Laplace . 4. Calcular L–1 [ F ( s ) ] en cada uno de los siguientes casos.

a.

F (s) =

e −s . s2 + 5s + 4

c.

F (s) =

e −as . s 2 + w2

b.

F ( s ) = 1 ( 1 − 2 e − s − e −2 s ) . s

44

La Transformación de Laplace

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10. APLICACION

A LA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Muchos problemas en Ingeniería y en Física son representados mediante modelos matemáticos que involucran ecuaciones diferenciales o íntegrodiferenciales lineales, o sistemas de ecuaciones de tal clase. Después de haber definido y estudiado propiedades de la transformación de Laplace y conocer métodos para calcular transformadas y transformadas inversas de un conjunto de funciones relativamente amplio, nos interesamos en mostrar aplicaciones de su uso para determinar la respuesta de sistemas lineales sometidos a la influencia de diferentes tipos de excitación. El análisis de sistemas lineales usando el método de la transformación de Laplace consiste básicamente de cuatro pasos. Primero se debe encontrar la ecuación o ecuaciones diferenciales o íntegro-diferenciales que describen el sistema bajo consideración, mediante el uso de las leyes físicas a las cuales responde. Segundo, es aplicada la transformación de Laplace a cada uno de los términos, incluyendo las funciones excitaciones, en la ecuación o ecuaciones obtenidas. Tercero, se explicita la transformada de la función respuesta en la ecuación o sistema de ecuaciones. Finalmente, la función o funciones res-puestas deben ser obtenidas mediante uso de la transformación inversa. Las técnicas para estos tres últimos pasos están basadas esencialmente en los resultados referentes a transformadas de derivadas e integrales, y de los teoremas de desplazamiento, y sus respectivos corolarios. A continuación se pasa a describir el uso de las propiedades y técnicas antes desarrolladas para resolver algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales o íntegro-diferenciales con coeficientes constantes. Como un primer ejemplo físico simple, considérese un cuerpo de masa m que puede moverse deslizándose horizontalmente, vinculado a un resorte y a un mecanismo amor-

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La transformación de Laplace

45

tiguador. Por tratarse de un movimiento puramente traslatorio, la posición en cada instante del cuerpo queda determinada por la de uno cualquiera de sus puntos, como puede ser su centro de masa.

m

k

0

c

x( t )

F( t )

t

FIGURA 10-1 La segunda ley de Newton establece que en cada instante deberá verificarse que (10.1)

ma = Σ F .

Supongamos que el resorte responde con una fuerza de acuerdo con la ley de Hooke, o sea proporcional a su elongación, ya sea estiramiento o compresión, que el amortiguador responde con una fuerza proporcional a la velocidad, que tanto el rozamiento como la resistencia del medio viscoso pueden despreciarse, así como otros rozamientos en el resorte, amortiguador, etc., suponiendo además que la masa de los vínculos es despreciable. Siendo el movimiento rectilíneo, la igualdad vectorial (10.1) queda reducida, en términos de componentes, a una igualdad escalar. Con referencia a la Fig. 10-1, se tiene: m x '' = F ( t ) – k x – c x ' , o bien (10.2)

m x '' + c x ' + k x = F ( t ) .

Otro ejemplo consiste en estudiar el comportamiento de un circuito eléctrico sencillo, compuesto por una fuente de voltaje, y elementos simples (resistores, inductores y ca-

46

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

pacitores). Las relaciones voltaje-corriente para cada uno de esos elementos están dadas en la Tabla 10.1. Consideremos el circuito simple R-L-C serie de la Figura 10-2. i(t )

S

L

R

C

+ e(t )

FIGURA 10-2 Se pretende estudiar el comportamiento del circuito, es decir encontrar la expresión de i ( t ) luego de cerrar el interruptor S en el instante t 0 = 0 , suponiendo que el circuito está inicialmente relajado, es decir que no hay energía almacenada en sus elementos reactivos. La segunda ley de Kirchhoff establece que suma de las caídas de tensión es igual a la tensión aplicada, o sea: uL ( t ) + uR ( t ) + uC ( t ) = e ( t ) . Teniendo en cuenta las expresiones de cada una de las caídas de tensión, y el hecho de que las condiciones iniciales dadas se traducen en que i ( 0 ) = 0 , q ( 0 ) = 0 ,

se ob-

tiene la ecuación íntegro-diferencial: (10.3)

L i' + R i + 1 C

∫

t

i (τ ) d τ = e ( t ) .

0

Es decir que el comportamiento del circuito, o sea la relación que vincula la tensión que lo excita con la respuesta i ( t ) está representado por una ecuación íntegro-diferencial lineal con coeficientes constantes. En el caso en que la tensión aplicada, expresada como

H. V. Masía

La transformación de Laplace

47

e ( t ) sea una función derivable, derivando ambos miembros de la ecuación (10.3) se obtendría la ecuación diferencial lineal L i '' + R i ' + 1 i = e ' ( t ) ,

(10.4)

C

que al igual que en el caso del sistema mecánico masa-resorte-amortiguador es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes que son los parámetros propios del sistema, y donde la función del segundo miembro representa la función excitación del sistema, o su derivada. La mayor parte de las veces, la tensión excitación e ( t ) es una función no derivable, más aún, frecuentemente es discontinua, y en consecuencia no es posible efectuar esa última transformación, por lo cual en la teoría de circuitos habitualmente se trabaja con ecuaciones íntegro-diferenciales. Por esta razón, se hará referencia principalmente a las ecuaciones íntegro-diferenciales, aunque el tratamiento para ecuaciones diferenciales es completamente análogo. El paso siguiente consiste en aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación (10.3). Teniendo en cuenta la linealidad del operador L y sus propiedades, transformando ambos miembros de (10.3), se tiene: L L [ i ' ( t )] + R L [ i ( t )] + 1 L [ C

Llamando con:

I ( s ) = L [ i ( t )]

y

L s I(s ) + R I(s ) +

∫

t

i (τ ) d τ ( t )] = L [ e ( t )]

0

E ( s ) = L [ e ( t )] , resulta: 1

Cs

I( s ) = E( s ) ,

y explicitando I ( s ) se obtiene: (10.5)

o bien:

I(s ) =

1 Ls + R + 1 Cs

E( s )

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La Transformación de Laplace

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s I(s ) = 1 E( s ) L s2 + R s + 1 L LC Finalmente, la respuesta i ( t ) se obtendrá antitransformando la expresión resultante en el segundo miembro de (10.6) . Por ejemplo, si R = 10 kΩ , L = 0,1 H , C = 0,1 µF , y e ( t ) = 12 V (constante), o sea la fuente de voltaje es una batería, se tendrá: I ( s ) = 10

s s + 10 s + 10 2

5

8

12 = 120 1 . 2 s s + 10 5 s + 10 8

Finalmente, antitransformando resulta: i ( t ) = 0,0012247 ( e−97980 t − e−1010 t ) .

Es conveniente efectuar varias observaciones importantes con respecto al uso del método de la transformación de Laplace.

OBSERVACIONES 1. Nótese que cuando se tienen condiciones iniciales nulas, la transformada I ( s ) de la respuesta se obtiene simplemente multiplicando la transformada E ( s ) de la excitación por la función Z(s ) =

1 Ls + R + 1 Cs

.

Esta función Z ( s ), cociente entre la corriente (operacional) y la tensión (operacional) aplicada, es llamada impedancia del circuito. 2. En general, cuando en un sistema físico la respuesta (operacional) y la excitación (operacional) están vinculadas mediante una multiplicación, la función H ( s ), cociente entre la respuesta y la excitación, es llamada función transferencia. De ello es inmediato

H. V. Masía

La transformación de Laplace

49

que la respuesta del sistema se obtiene simplemente multiplicando la excitación por la función transferencia (Siempre en términos de funciones operacionales). 3. La respuesta real, en términos de las funciones objeto, se obtiene antitransformando la respuesta operacional. Obviamente, es imprescindible en todo este proceso tener un hábil manejo de las propiedades que se mencionaron al comienzo (teoremas de transformación de derivadas e integrales, teoremas de desplazamiento, etc.), además de una adecuada destreza en la descomposición de funciones racionales en fracciones simples para poder antitransformar con agilidad.

En relación con la aplicación del método para resolver una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, es conveniente efectuar algunas comparaciones con el método clásico. Aunque las mismas consideraciones son válidas para ecuaciones de orden cualquiera, por razones de simplicidad nos referiremos a una ecuación de segundo orden. Sea entonces la ecuación x '' + a x ' + b x = f ( t ) . Como es sabido, la solución general de esta ecuación diferencial lineal no homogénea, compuesta por todas sus soluciones particulares, consiste de una familia de funciones que contiene dos constantes arbitrarias. En las aplicaciones, es frecuente conocer condiciones iniciales que debe cumplir la solución de un problema, esto es, valores que debe alcanzar la solución y su derivada para un mismo valor de la variable independiente. En tal caso, no cualquiera de las funciones de la familia solución de la ecuación es solución del problema. Por ejemplo, en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, la función que da la posición en cada instante dependerá de la posición ocupada por el cuerpo en el momento en que comenzó el contado de tiempo (que puede considerarse t = 0 o instante inicial), y también de su velocidad en dicho instante. Estas dos condiciones, que por tal ra-

50

La Transformación de Laplace

H. V. Masía

zón son llamadas matemáticamente condiciones iniciales, determinarán cuál de las soluciones particulares de la ecuación es la solución del problema. Para el modelo matemático de un sistema mecánico consistente de un péndulo, o de un péndulo de torsión, o el de un circuito eléctrico R-L-C serie o paralelo, o para sistemas más complicados que dan lugar a sistemas de ecuaciones diferenciales o íntegro-diferenciales, son válidas similares consideraciones. Como es sabido, para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea por el método clásico, debe hallarse primeramente la solución general de la ecuación homogénea asociada, y luego encontrarse una solución particular de la ecuación no homogénea, que deberá ser sumada a la solución general de la ecuación homogénea asociada. La solución del problema se obtendrá finalmente determinando la solución particular teniendo en cuenta las condiciones iniciales. El uso del método clásico presenta en las aplicaciones ciertas dificultades de orden práctico. En efecto, si la función f ( t ) no es continua, o bien es continua pero no de tipo polinómica, exponencial, o sinusoidal, o suma de productos de funciones de esa clase, resulta necesarios efectuar cálculos bastante engorrosos. A esto se agrega que en muchos casos el modelo matemático de un sistema físico incluye ecuaciones o sistemas de ecuaciones íntegro-diferenciales lineales, planteándose el problema de dimensionar elementos del sistema para optimizar su comportamiento. Esas situaciones exigen encontrar respuestas del sistema para diferentes excitaciones, o para una misma excitación pero con distintas condiciones iniciales, en cuyo caso el método clásico resulta muy poco ágil. En la última década del siglo XIX, el ingeniero electricista inglés Oliver Heaviside [He], en estudios sobre fenómenos transitorios en circuitos eléctricos, introdujo ciertos métodos y mecanismos operatorios que aunque carecían de justificación matemática, generalmente llevan a soluciones correctas. Este método, que transforma la resolución de problemas que involucran ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales o íntegro-

H. V. Masía

La transformación de Laplace

51

diferenciales en problemas algebraicos, fue considerado en principio simplemente como un medio práctico que produce resultados coincidentes con los reales. Su practicidad y su éxito provocó que varios matemáticos se ocuparan del mismo. Así, T. J. Bromwich [Br], J. R. C. Carson [Ca], y posteriormente K. W. Wagner, lo justificaron analíticamente. Sin embargo, fue G. Doestsch [Do] quien lo vinculó con la transformación de Laplace, y desarrolló el método que lleva este nombre. Como se estableció anteriormente, la base del método la constituyen los resultados de la Sección 7, referentes a transformadas de derivadas e integrales, y el complemento indispensable para la aplicación a resolución de problemas lo proporcionan los resultados de los Teoremas 8.1, 9.1 y 9.2, y sus corolarios. De ellos se concluye que la aplicación de la transformación de Laplace reduce las operaciones de derivaciones e integraciones en la función objeto, a simples multiplicaciones o divisiones por potencias de la variable s de la función imagen con el agregado de términos que incluyen las condiciones iniciales. Esto permite transformar ecuaciones diferenciales o íntegro-diferenciales en simples ecuaciones algebraicas de primer grado en la transformada de la función incógnita, y en la cual las condiciones iniciales quedan incorporadas al ser aplicada la transformación. Como un ejemplo adicional, considérese la ecuación del mismo sistema mecánico masa-resorte, sin amortiguador, ahora despreciando los efectos de rozamiento. La ecuación será en este caso de la forma (10.6)

m x '' + w2 x = b ( t ) ,

donde b ( t ) = F ( t ) / m . Supongamos conocidas la posición y la velocidad en el instante t = 0, es decir tendremos como condiciones iniciales x(0 ) = x0 ,

x'(0 ) = v0 .

Transformando como antes ambos miembros de (10.6), y teniendo en cuenta la linealidad del operador L, se tiene

52

La Transformación de Laplace

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L [ x '' ] + w 2 L [ x ] = L [ b ( t ) ] .

Llamando con

X ( s ) = L [ x ( t ) ] , y B ( s ) = L [ b ( t ) ] , resulta s 2 X ( s ) – s x0 – v0 + w 2 X ( s ) = B ( s ) ,

(10.7) de donde se obtiene (10.8)

s + v 0 2 1 2 + 2 1 2 B ( s ). 2 s +w s +w s +w

X ( s ) = x0

2

En esta última expresión se observa que el aporte de los dos primeros sumandos del segundo miembro se debe únicamente a las condiciones iniciales, mientras que el tercer sumando corresponde exclusivamente al efecto de b ( t ) , que es proporcional a la excitación F ( t ). Finalmente, para determinar la respuesta x ( t ) , deberá hallarse la transformada inversa de X ( s ) . En el caso en que b ( t ) = A sen a t , ( a ≠ w ) , (10.9)

X ( s ) = x0

la igualdad (10.7) toma la forma

s + v0 2 1 2 + A 2 1 2 2 1 2 , 2 s +w s +w s +w s +a 2

y usando el resultado del Ejercicio 5.2 i., se obtiene x ( t ) = x0 cos wt + v0 sen wt +

A ( a sen wt − w sen at ) . w( a − w2 ) 2

El método descrito puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, pero no se podrá aplicar en general cuando los coeficientes sean variables porque en tales casos debería transformarse un producto de funciones, y excepto algunos casos muy particulares, no existen fórmulas para la transformada de un producto. Es importante destacar que cuando la ecuación está asociada a un sistema físico, sus coeficientes representan los parámetros propios del mismo (resistencias, coeficientes de autoinducción y capacitancias en el caso de circuitos eléctricos; o masas, coeficien-

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La transformación de Laplace

53

tes de amortiguación y de elasticidad en sistemas mecánicos, etc.). Generalmente tales parámetros pueden ser considerados constantes, es decir independientes del tiempo y de cualquier otra variable, dentro de un razonable rango de valores de las variables. En tales casos el método de la transformación de Laplace constituye una herramienta matemática de suma utilidad.

EJEMPLO 1. Hallar la solución de la ecuación diferencial x '' − 5 x ' + 4 x = 2 e − t que verifica las condiciones iniciales

x (0) = 0 ,

x' (0) = 2 .

Transformando ambos miembros de la ecuación, introduciendo las condiciones iniciales, y llamando con

X ( s ) = L [ x ( t )] , se obtiene

s 2 X ( s ) −2 − 5 s X ( s ) + 4 X ( s ) = o sea

2 , s +1

( s2 − 5 s + 4 ) X ( s ) = 2 s + 2 . s +1

Explicitando X ( s ) , es X(s) =

2s + 4 . ( s + 1) ( s 2 − 5 s + 4 )

Descomponiendo en fracciones simples, resulta 1 − 1 + 4 1 X(s) = 1 . 5 s +1 s +1 5 s−4 En consecuencia, la solución del problema de valores iniciales es x ( t ) = L −1 [ X ( s )] = 1 e −t − e t + 4 e 4 t . 5 5