LIBRO DE ACTIVIDADES - SECUNDARIA

MATEMÁTICA 2

Punto de partida

Cuidamos el ambiente

Shutterstock

1

En las últimas décadas, la temperatura media del planeta ha aumentado debido al uso excesivo de combustibles fósiles, como el petróleo, carbón, gas, etc., y ha excedido la cantidad de CO2 que la biomasa y los océanos pueden absorber. Alaska, por ejemplo, incrementó su clima subpolar, con temperaturas mínimas promedio que llegan casi a 30 °C bajo cero y temperaturas medias máximas que superan los 20 °C. El aumento de la temperatura genera deshielos de los polos y nevados, inundaciones, elevación del nivel del mar, etc. • Reúnete en equipo y propón acciones que podrían contribuir a la protección del ambiente. 8

ad...

En esta unid

mbinadas con operaciones co • Resolveré ros. números ente n simple y una proposició de verdad. • Identificaré inaré su valor rm te de y , ta compues icionales. rmulas propos fó ré ua al Ev • es en progresion regularidades é ar ic tif en Id • aritméticas. ométricas situaciones ge ulos • Resolveré lígonos, triáng , con rectas po relacionadas tables. y sus líneas no tes dísticas presen variables esta ré ca ifi as Cl os • gráfic ta y elaboraré en una encues estadísticos.

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

Responsables del cambio climático

¿Qué recuerdo? E VA L UA C I Ó N D I A G N Ó S T I C A

Actividades previas Los termómetros muestran las temperaturas de algunas ciudades del mundo.

10° 0°

Moscú

10° 0°

10° 0°

La Paz

10° 0°

Lima

Contamos contigo para cuidar el ambiente.

París

1 ¿Cuál de las ciudades tiene la temperatura más alta? ¿Y cuál tiene la

temperatura más baja?

2 Ordena las temperaturas de mayor a menor.

Calcula. 3 (–2)(–3)(– 4)

4 (5)2 · (3)2 – 200

5 (– 48) ÷ (6) + 12

6 ​ ​√36    ​​ + √ ​   125    ​​ – 20

___

3 ____

Calcula el valor de B​ˆ O​​ ​ C   en cada caso.

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

7

C

A

8

B

D

α – 10°

α + 15° α – 50° O A

F E

60°

B

α O α + 20º C D

Mi reto Proponer acciones a nivel local (personal, familiar, comunal) que contribuyan a la protección del ambiente.

UNIDAD 1

9

Lección 1

RESUELVO PROBLEMAS DE CANTIDAD

Operaciones con números enteros Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Justifica tus respuestas. 1

2

3

14 M

+N+P

15 M

–N+P

El resultado de sumar dos números enteros de signos iguales es siempre positivo.

Para que el producto de dos números enteros sea positivo, ambos factores deben tener igual signo. Al restar dos números enteros opuestos, el resultado es cero.

Completa para que se cumplan las igualdades. 4

(+50) +

= +27

5



– (–14) = –54

6

(–32) –

= –52

7



+ (+60) = +19

8

(+8) ×

= –120

9



÷ (–28) = +3

= +8

11

× (+4) = –56

10 (+96)

÷

Resuelve las siguientes operaciones combinadas: 12 (+4)

× (–20) – (–120) ÷ (+2) + 28 ÷ (–7)

13 [(–8)

16 Teresa

le dice a Jorge: “Descubre el mínimo valor de R que resulta de la operación combinada R = [(▲ – ■) × ●] + ♦. Usa cuatro números enteros positivos de una sola cifra, pero que sean diferentes entre sí”. ¿Cuál será la respuesta?

+ (–12) ÷ (+4)] × (–1) – [(–34) + 31]

Observa la equivalencia de las letras y calcula el valor numérico de cada expresión.

M = +400 ÷ (–16) N = –570 ÷ (–10)

familia de Rebeca se dedica a la confección de mochilas con materiales de excelente calidad. De las 150 mochilas que confeccionaron este mes, se vendieron 40 a S/60 cada una, 60 a S/70 cada una y el resto a S/75 cada una. Si se obtuvo una ganancia de S/3600 por las ventas, ¿cuál es el precio de costo de cada mochila?

Recuerda aplicar la jerarquía de las operaciones combinadas.

P = –492 ÷ (+12)

10

Argumenta afirmaciones: 1-3

Usa estrategias y procedimientos: 4-15

Traduce cantidades: 16-17

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

17 La

RESUELVO PROBLEMAS DE CANTIDAD

Potenciación y radicación con números enteros Calcula.

7

13 (–2)

1

(+6)3 =

2

(–8)4 =

3

(–3)5 =

4

​​[(+2)2]​​ =

5

​​√  –729 ​​ =

6

​​√ ​√ +81 ​ ​​   =

7

​​√  +1296 ​​  =

8

​​√  (–15)7 ​​  =

3

_____

4

______

5

_____ ____

7

______

Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Luego, justifica tus respuestas con ejemplos. 9

Cuando el exponente de una potenciación es par, la potencia es positiva.

10 En

una potencia de potencia, el resultado será 1 si uno de sus exponentes es 1.

11 Cuando en una radicación el índice es

impar y el radicando es negativo, la raíz es negativa.

Resuelve las siguientes operaciones combinadas: 5

___

12 ​​√  –1 ​​ ×

______ __

+ (–6) × ​​{[ – (–2)2 × (7) – (–9)] – √ ​  1 + √ ​  9 ​ ​ }  ​​

3

____

Resuelve.

14 Enrique

analiza el grado de descomposición de un alimento y concluye que este se considera descompuesto si la cantidad de bacterias por milímetro cuadrado es 512 o más. Si se sabe que en un inicio hay en el alimento una bacteria por milímetro cuadrado y que, además, dicha bacteria se duplica cada 20 minutos, ¿en cuánto tiempo estará descompuesto?

(–1)8 + (–2)3(–2) – (–4)2 ÷ √​​   –64 ​​ 

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

Voy más allá Lorena participa en la campaña de reciclaje “No me dejes en la playa”, que busca fomentar una cultura de recojo de botellas de plástico. Ella envía, en una hora, mensajes por WhatsApp a cuatro personas para informarles sobre la campaña y compromete a cada una a enviar mensajes e informar a otras cuatro personas en el transcurso de una hora. ¿Cuántas personas estarán informadas al cabo de 6 horas? Si la cantidad de personas que se hubiesen informado durante la décima hora fueran a la playa y reciclarán 28 botellas cada una, ¿cuántas botellas se reciclarían? Lista algunas actitudes positivas y negativas que observas en la ciudadanía con respecto a la cantidad de basura que se genera al día. ¿Cómo actúas frente a ello? Averigua más al respecto mediante cómo reducir los residuos

Comunica: 1-8

Argumenta afirmaciones: 9-11

Usa estrategias y procedimientos: 12-13

Traduce cantidades: 14

ACCIÓN POR EL CLIMA

Objetivo de Desarrollo Sostenible

UNIDAD 1

11

Estrategia para resolver problemas Shutterstock

Empezar por el final Un grupo de promotores ambientales colocaron un stand en un parque zonal con la finalidad de obsequiar cierta cantidad de bolsas ecológicas que había en una caja. En la primera hora, obsequiaron la mitad y 4 bolsas más de las que había en la caja; en la segunda hora, 60 bolsas más de las que quedaban en la caja, y en la tercera hora, la mitad y 2 bolsas más de las que quedaban. Si aún les quedaban 6 bolsas ecológicas, ¿cuántas bolsas ecológicas había en la caja al inicio? El problema trata sobre unas bolsas ecológicas que han obsequiado un grupo de promotores ambientales durante diferentes horas. La información que se tiene es la cantidad de bolsas que les quedan después de transcurridas tres horas. Comprende

Planifica

Debemos calcular la cantidad inicial de bolsas ecológicas que había en la caja.

Como se conoce toda una secuencia de información y, además, la información principal (que aún les quedaban 6 bolsas) está al final, usamos un esquema que vaya desde atrás (información final) hacia delante (información inicial). Organizamos los datos en un esquema. Indicamos con flechas azules cómo fue variando el reparto de las bolsas ecológicas. Luego, realizamos las operaciones inversas del final hacia el comienzo, como indican las flechas rojas. La disminución se representa en el circuito rojo como una adición (proceso inverso) y las divisiones como multiplicaciones (proceso inverso). ÷2

–4

– 60

÷2

–2

Cantidad inicial de bolsas

Cantidad final de bolsas: 6

Resuelve

80 × 2 = 160

76 + 4 = 80 ×2

16 + 60 = 76 +4

8×2 = 16 + 60

6+2 =8 ×2

+2

Verificamos si la respuesta es correcta. Para ello, reemplazamos los valores hallados. • En la primera hora, obsequiaron la mitad y 4 bolsas más de las que había: 160 ÷ 2 = 80; 80 – 4 = 76 Comprueba

• En la segunda hora, obsequiaron 60 bolsas más: 76 – 60 = 16

• En la tercera hora, obsequiaron la mitad y 2 bolsas más de las que quedaban: 16 ÷ 2 = 8; 8 – 2 = 6

12

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

Los promotores ambientales tenían en la caja 160 bolsas ecológicas.

Resuelve los siguientes problemas. Apóyate en la estrategia de empezar por el final. 1

3

El contenido de agua de un camión cisterna se utilizó para regar las áreas verdes de una localidad. En un parque, se utilizó la mitad y 100 L de agua que había en la cisterna; en una plazuela, se utilizó la mitad de lo que quedaba y 50 L más, y en las bermas, se utilizó la mitad del resto y 20 L más. Si todavía el camión cisterna contiene 505 L de agua, ¿cuántos litros de agua se utilizaron para regar las áreas verdes de la localidad?

4

Rubén lee cada día la mitad de las páginas que aún no ha leído de un libro y 20 páginas más. Si terminó de leer el libro en 4 días, ¿cuántas páginas del libro leyó Rubén cada día?

Una cajera inició sus actividades con cierta cantidad de dinero que había en la caja registradora. Así, en la mañana pagó S/1250 a un proveedor y en la tarde triplicó el dinero que le quedaba. Por último, tuvo un ingreso de S/750, pero se dio cuenta de un billete falso y tuvo que descontar S/100. Si al finalizar el día tenía S/4250, ¿con cuánto dinero inició la cajera sus actividades?

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

2

Un profesor da algunas pistas para que sus estudiantes adivinen la cantidad de árboles que se plantarán en un parque cerca de su colegio: “Si quintuplicamos la cantidad de árboles, al resultado le sumamos 90, luego dividimos entre 10, al cociente le extraemos la raíz cuadrada y finalmente restamos 4, obtendremos 3 árboles. ¿Cuántos árboles se plantarán en el parque?”.

Traduce cantidades: 1-4

Usa estrategias y procedimientos: 1-4

UNIDAD 1

13

Lección 2

RESUELVO PROBLEMAS DE REGULARIDAD, EQUIVALENCIA Y CAMBIO

Introducción a la lógica proposicional Determina el valor de verdad de las proposiciones. Luego, escribe V (verdadera) o F (falsa) según corresponda. 1 2

Un polígono regular tiene sus lados de igual longitud. Una decena tiene doce unidades.

4

El mes de enero tiene 31 días.

5

525 es un cuadrado perfecto.

Todos los triángulos son isósceles. 7 Los residuos orgánicos son restos biodegradables de plantas y animales. 6 es un número compuesto.

Perú obtuvo 11 medallas de oro en los Juegos Panamericanos Lima 2019.

11 ¿Qué

es mayor que 3 y número primo.

17 El

sábado no hay clases.

18 Si hago mi tarea, entonces podré ver

televisión.

19 3

+ 9 ≠ 11

20 La

Analiza cada expresión y explica si se trata de una proposición.

10 Mantener

Escribe PS (proposición simple) o PC (proposición compuesta) según corresponda. Justifica. 16 5

6

9

expresiones, que no sean proposiciones, que utilices para comunicarte en el hogar.

Todo número par es divisible por dos.

3

8

15 Dos

el aula limpia.

opinas de la contaminación ambiental?

12 Las

botellas de plástico tardan 450 años en degradarse.

13 Los

árboles absorben el dióxido de carbono y también protegen al suelo de la erosión.

ballena es un mamífero.

21 Manejo

con cuidado solo si dejo de chatear.

Sean las proposiciones simples: p: Gané la lotería, q: Pago mis deudas, y r: Me voy de vacaciones. Expresa en lenguaje simbólico estas proposiciones: 22 Gané



la lotería, entonces me voy de vacaciones. _______________________________________

23 Pago



mis deudas o me voy de vacaciones. _______________________________________

24 Me

voy de vacaciones si y solo si pago mis deudas. _________________________________

25 No

gané la lotería, entonces no pago mis deudas ni me voy de vacaciones. __________________

Identifica las proposiciones simples del siguiente argumento y simboliza.

colaboro con la limpieza en casa y reutilizo algunos materiales en desuso, estaré cuidando el ambiente y protegiendo nuestro planeta.

Escribe lo que se indica. 14 Dos

proposiciones simples verdaderas relacionadas con matemática.

14

Comunica: 1-8; 14-15

Argumenta afirmaciones: 9-13; 16-21

Traduce datos y condiciones: 22-26

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

26 Si

RESUELVO PROBLEMAS DE REGULARIDAD, EQUIVALENCIA Y CAMBIO

Valores de verdad de una proposición compuesta Simboliza y determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1

2 3 4

Paolo Guerrero es un jugador de fútbol y es peruano. No es cierto que la ballena es un mamífero.

Si Perú limita con Brasil, entonces Brasil limita con Chile. Atahualpa fue el último inca si y solo si Francisco Pizarro conquistó el Perú.

EJEMPLO

Si ∼ p ∨ q es falsa, determina el valor de verdad de ∼ (p ∨ ∼ q) ∧ (∼ p ↔ q). • Sabemos que la disyunción solo es falsa si ambas proposiciones son falsas. Entonces, p ≡ V y q ≡ F. • Reemplazamos y resolvemos: ∼ (p ∨ ∼ q) ∧ (∼ p ↔ q) ∼ (V ∨ V) ∧ (F ↔ F) F ∧ V≡F

11 Si

(∼ q ∧ r) → p es falsa, halla el valor de verdad de (∼ p ∧ r) ↔ ∼ (q → p).

12 Si

se sabe que p → q es falsa y q ↔ r es verdadera, halla el valor de verdad de (q ∨ ∼ p) ↔ [r ↔ (s ∨ ∼ s)].

Sean p ≡ V y q ≡ F. Halla el valor de verdad de cada fórmula lógica. 5

p ∧ q

6

∼ p ∧ q

7

∼ (p ∧ q)

8

p ∨ ∼q

9

∼ p ∨ ∼q

10

∼ (∼p ∨ q) Analiza y responde. Luego, justifica.

profesora le dijo a un estudiante: “Si participas en clase y haces los ejercicios, entonces no te dejaré tarea”. El estudiante solo participó en clase, pero la profesora no le dejó tarea. Representa en lenguaje simbólico la proposición compuesta. Luego, halla su valor de verdad.

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

13 Una

Traduce datos y condiciones: 1-4

Usa estrategias y procedimientos: 5-12

Argumenta afirmaciones: 13

UNIDAD 1

15

Lección 3

RESUELVO PROBLEMAS DE REGULARIDAD, EQUIVALENCIA Y CAMBIO

Evaluación de fórmulas lógicas Evalúa cada formula lógica e identifica si se trata de una tautología, contradicción o contingencia. 1

2

∼ (p ∧ q) ↔ (∼ p ∨ ∼ q) p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

∼(p ∧ q)

↔

Sea la proposición p verdadera. Determina el valor de verdad de estas fórmulas lógicas: I. (p ∧ q) → (p ∨ s) _______________________ II. (p ∨ q) ↔ (∼ p ∧ ∼ s) ____________________ III. (p → q) → p __________________________

[p → (q

∨ ∼p)] ↔

(p → q)

Evalúa cada fórmula lógica en una tabla de verdad y clasifícala. 7 8 9

3

4

16

___________________

∼ (p ↔ q) ↔ (∼ p ↔ ∼ q) ___________________

[∼ p ∧ (q ∨ r)] ↔ ∼ (p ∨ r) q

r

[∼p

∧ (q ∨ r)] ↔

∼ (p ∨ r)

________________________________________ [(p → ∼ q) ↔ r] ∧ [(q ∧ p) ↔ r] p



[(∼ p ∧ q) ∨ ∼ q] → ∼ p

___________________

________________________________________ p



∼ p → (p ∨ q)

q

r [(p → ∼q)] ↔ r] ∧ [(q ∧ p) ↔ r] © Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822



Si una tabla de verdad tiene 8 casos posibles, ¿cuántas proposiciones simples tiene la fórmula lógica?

6

[p → (q ∨ ∼ p)] ↔ (p → q) q

5

(∼p ∨ ∼q)

________________________________________ p

Analiza y responde. Justifica tu respuesta.

________________________________________ Usa estrategias y procedimientos: 1-4; 7-9

Argumenta afirmaciones: 5-6

Lección 4

RESUELVO PROBLEMAS DE REGULARIDAD, EQUIVALENCIA Y CAMBIO

Progresión aritmética Coloca un ✔ en el caso de que se trate de una progresión aritmética. 1

5; 11; 17; 23; 29; 35; …

2

1; 2; 4; 7; 11; 16; 22; …

3

9; 5; 1; –3; –7; –11; …

4

3; 6; 9; 12; 15; 18; …

5

4; –8; 16; –32; 64; …

6

1; 4; 9; 16; 25; 36; …

Completa la tabla con la diferencia d y el término general an de las progresiones aritméticas correspondientes.

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

Datos 7



a1 = 1

a2 = 6

8



a1 = 5

a3 = 13

9



a5 = 33

a6 = 41

d

an

Resuelve y justifica tu respuesta. 10 El

primer término de una PA es 12 y el segundo término es 17. Si la PA tiene 32 términos, ¿cuál es el último término?

11 Calcula



el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) 8; 18; 28; 38; ...

b) 7; 13; 19; 25; …

12 Ángela se ha inscrito en el gimnasio. El instructor

le ha sugerido empezar con una sesión de 30 minutos y, a partir de ahí, aumentar las sesiones en 5 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo de ejercicio habrá acumulado Ángela luego de quince días?

Voy más allá Una empresa, debido a las ganancias obtenidas, aumentó el sueldo a sus empleados. Entonces, Piero, trabajador de la empresa, decidió seguir un plan de ahorro en una entidad financiera: el primer mes ahorró 250 soles; el segundo mes, 255 soles; el tercer mes, 260 soles, y así, sucesivamente, 5 soles más que el mes anterior. ¿Cuánto habrá ahorrado en el vigésimo mes? ¿Cuánto tendrá en total en su cuenta de ahorros al final de dos años, sin considerar los intereses? Comenta en clase sobre las razones por las cuales tener un empleo no siempre garantiza la capacidad de disminuir la pobreza. ¿Cómo se manifiesta la pobreza dentro de una sociedad? Averigua más al respecto mediante pobreza + erradicación

Comunica: 1-6

Usa estrategias y procedimientos: 7-9

Argumenta afirmaciones: 10-12

FIN DE LA POBREZA

Objetivo de Desarrollo Sostenible

UNIDAD 1

17

Modelación matemática Ahorro solidario Shutterstock

Los estudiantes de segundo grado de secundaria de un colegio deciden juntar mensualmente una parte de sus propinas a fin de comprar una computadora para donarla a un colegio de menores recursos. Este último mes han ahorrado S/121 y se sabe que todos los meses ahorraron, cada vez, S/3 más que el mes anterior. Si en el primer mes ahorraron S/67, ¿cuántos meses han transcurrido desde que empezaron a ahorrar? ¿Cómo puedes representar algebraicamente la regla de formación del ahorro mensual? Estudiamos la realidad ¿Cuál fue el ahorro de los estudiantes en cada uno de los tres primeros meses?¿Y en los tres últimos meses? ¿Qué variación tiene el dinero ahorrado mes a mes? ¿Conoces alguna campaña de ayuda social que se realice a nivel nacional? ¿Qué te piden hallar?

2

¿Qué datos identificas en el problema?

3

4

¿Qué estrategia usarás para determinar el número de meses transcurridos desde que los estudiantes empezaron a ahorrar?

Si el primer mes ahorraron S/67, y en cada mes siguiente, S/3 más que el mes anterior, ¿cómo podrías generalizar? Completa la tabla. N.° de meses

Dinero ahorrado (S/)

18

1

67 + 3(0) = 67

2

67 + 3(1) = 70

3

4

n

5

Representa algebraicamente la regla de formación.

6

¿Cuántos meses han transcurrido desde que los estudiantes empezaron a ahorrar?

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

Cuando a un ahorro se le incrementa una cantidad constante, los resultados obtenidos forman una sucesión lineal conocida como progresión aritmética.

1

Razonamiento matemático Progresión aritmética 4

EJEMPLO

En un parque hay 48 filas de árboles. Se sabe que la diferencia entre el número de árboles de una fila y la anterior es constante. Además, en la fila seis hay 35 árboles, y en la fila catorce, 59 árboles. ¿Cuántos árboles hay en total en el parque?

A) 1458

5

• Reconocemos que es una PA porque la diferencia es constante. Para calcular la suma de todos los términos, usamos la siguiente fórmula: (a + an) ​​  1  ​​    � n Sn = ________ 2

6

59 = 35 + 8d

8d = 24

d=3

35 = a1 + (5) · 3

• Calculamos an, donde n = 48 filas:

a48 = 20 + (48 – 1) · 3

a1 = 20

7

a48 = 20 + 141 = 161

Resuelve en tu cuaderno y marca la opción correcta.

B) 22 h 45 min

C) 1265 min 2

D) 20 h



Calcula la suma de todos los múltiplos de 5 que tengan tres cifras.

A) 98 550 B) 97 500 C) 95 650 D) 76 555

¿Cuál es la suma de los 40 primeros números pares? B) 1820

C) 400 5. B

6. D

A) 1640

D) 2956

2. A 3. A 4. B

3

B) 326 L

C) 220 L

D) 210 L

Por el alquiler de un inmueble se acordó pagar S/1500 mensuales el primer año. Si cada año se incrementará el alquiler en S/160, ¿cuál será el monto mensual que se pagará al cabo de 8 años? B) S/2413

D) S/1120

En una campaña de reciclaje, se recolectaron 128 botellas el primer día y, cada día, 12 botellas más que el día anterior. Si la campaña duró 8 días, ¿cuántas botellas se recolectaron en total? A) 212

B) 340

C) 1190

D) 1360

10 En

1. B

7. A 8. A 9. D

10. C

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

A) 1 día

D) 204

D) S/60 750

C) S/1500 9

C) 180

B) S/20 500

A) S/2620

Aldo se preparó durante tres semanas para participar en un campeonato de tiro al blanco. Si el primer día practicó 15 minutos y cada día practicó 5 minutos más que el día anterior, ¿cuánto tiempo practicó en total durante las tres semanas?

D) 3240

Doña Elvira inició un pequeño negocio de elaboración de leche de almendras. El primer día elaboró 12 litros de leche y cada día aumentó la producción en un litro. ¿Cuántos litros elaboró en 25 días? A) 600 L

8

C) 1628

Por la compra de un auto, Estela se comprometió a pagar S/1250 al final del primer mes, S/1500 al final del segundo mes y S/1750 al final del tercer mes. Si los pagos continuaron así durante un año y medio, ¿cuánto pagó por el auto? C) S/45 000

• Reemplazamos en la fórmula: (20 + 161)  ​​  · 48 S48 = _________ ​​    S48 = 181 · 24 = 4344 2 En total hay 4344 árboles en el parque.

1

B) 171

A) S/47 500

• Calculamos el primer término (a1) de la PA considerando an = 35 y n = 6 filas: 35 = a1 + (6 – 1) · 3

B) 1620

Ernesto armó una pila de troncos de madera. En el primer nivel, colocó 18 troncos. Luego, sobre estos puso 17 troncos; después, 16 troncos, y así sucesivamente. ¿Cuántos troncos tiene en total en la pila? A) 168

• Calculamos la razón de la PA. Sabemos que a6 = 35 y a14 = 59 n = 9. Por lo tanto:

a14 = a6 + (9 – 1) · d

Sea la PA 5; 13; 21; … ¿Cuál es la suma de los 20 primeros términos?

un viñedo se recolectaron 5 kg de uvas el primer día. Si cada día se recolectaron 10 kg más que el día anterior, ¿qué cantidad de uvas se recolectó en una semana? A) 1360 kg B) 620 kg C) 245 kg D) 20 kg

UNIDAD 1

19

Lección 5

RESUELVO PROBLEMAS DE FORMA, MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN

Ángulos entre paralelas y secantes Escribe congruentes o suplementarios según corresponda a cada par de ángulos si se sabe que ↔ ​​  r ​​ // ↔ ​​ s ​​.  r s e f

c

a

13 El

m

t

g

4x + 16° a

h

14 El

b

s

1

b y h: ___________________________________

2

a y d: __________________________________

3

d y e: __________________________________

4

e y c: __________________________________

5

a y e: ___________________________________

valor de x. 138° a

l1 8x + 10°

9x – 5°

d

b

valor de m.

t

l2

2x – 4° 26°

b

l1

l2

Escribe V (verdadero) o F (falso) según ↔ ↔ ​​ r ​​ y que ↔ ​​ s ​​ y ​​ t  ​​ son corresponda si se sabe que ​​ l  ​​ // ↔ ˆ = 30° y m​2​​ ˆ​  = 140°. rectas secantes. Además, m​​1​​ 6

1 ≅ 3

7 m 6 = 110°

(

)

(

)

8

5 ≅ 3

(

)

9

m 5 = 150°

(

)

+ 4 = 180° (

)

10 2

s 16

t

7

2

l

5

3 4

r ↔

↔

Calcula lo que se indica en cada caso si ​​ l1 ​​  // ​​ l2 ​​.  11 El

valor de α.

2α

l2

s

valor de x. a + 22°

2a – 48°

x

t l1 l2

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

l1

α + 15°

12 El

Representa gráficamente y resuelve. 15 Sean a y b dos ángulos conjugados internos. Si al ángulo menor se le disminuye 10° y esa misma cantidad se le agrega al ángulo mayor, la medida de este nuevo ángulo es 5 veces la medida del ángulo en que se transformó el primero. ¿Cuánto mide el complemento del ángulo menor?

20

Comunica: 1-10

Modela objetos: 11-15

Lección 6

RESUELVO PROBLEMAS DE FORMA, MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN

Polígonos Observa la imagen y responde. Shutterstock

10 Calcula

1

la medida del ángulo externo que forman un pentágono regular y un cuadrado que están unidos por unos de sus lados.

¿Cómo se llama el polígono señalado en el caparazón de la tortuga? ____________________

2

¿Cuántos vértices tiene? ____________________

3

¿Cuántos lados tiene? ______________________

4

¿Cuánto suman sus ángulos internos? _________

5

¿Cuánto suman sus ángulos externos? _________

6

¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total? ___

Calcula la medida del ángulo x si se sabe que los polígonos son regulares. 7



8



x

x

11 ¿Cuánto

es la suma de los ángulos internos más la suma de los ángulos externos de un icoságono?

12 Elabora,

Resuelve las siguientes situaciones:

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

9

¿Cuántos lados tiene un polígono si sus ángulos internos y externos suman 1440°?

Comunica: 1-6

Modela objetos: 7-12

en cartulina de diferentes colores, 12 triángulos equiláteros de 6 cm de lado. Forma polígonos uniendo 2; 3; 4; ... triángulos. Luego, calcula la suma de los ángulos internos de cada polígono formado.

UNIDAD 1

21

Lección 7

RESUELVO PROBLEMAS DE FORMA, MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN

Propiedades de los triángulos Halla el valor de x en cada caso. 1



B

80º

5 cm A

2

5 cm

x

Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

E



x + 70º x + 30º

D

7

x + 50º

C

F

8

9

Se puede construir un triángulo cuyas medidas sean de 5 cm, 6 cm y 5 cm.

Si dos ángulos internos de un triángulo miden 40° y 70°, el tercer ángulo mide 80°. El triángulo que tiene dos ángulos internos que miden 42° y 96° es un triángulo isósceles.

10 Existe

un triángulo tal que dos de sus lados miden 1 cm y 4 cm, y su perímetro mide 11 cm.

3

D

B

x

E

C

4

30º

Representa gráficamente y resuelve.

B

11 Calcula

80º

120º

A

130º



2x

A

C

la medida de los ángulos internos de un triángulo, si se sabe que dos de los ángulos externos miden 100° y 135°.

12 En

un triángulo isósceles, la suma de las medidas de dos ángulos diferentes es 115°. Halla la medida del mayor ángulo externo.



6



124°

y – 20° y x

22

80°

30°

3y

y

x 3z

z

13 Las

medidas de los ángulos internos de un triángulo son directamente proporcionales a 2; 3 y 5. Calcula las medidas de los ángulos externos.

Modela objetos: 1-6; 11-13

Comunica: 7-10

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

5

Lección 8

RESUELVO PROBLEMAS DE FORMA, MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN

Congruencia de triángulos Determina los pares de triángulos que son congruentes e indica el caso de congruencia utilizado. C

9u

8u

Q

12 u

9u 45°

K

8u

S

P

_________ y _________, por el caso _______.

2

_________ y _________, por el caso _______.

3

_________ y _________, por el caso _______.

A

Determina el caso de congruencia entre cada par de triángulos. Justifica. △ ABC ≅ △ DAC

5

△ ABD ≅ △ CBD

A

B

D

A'

B'

8

Construye el triángulo rectángulo MNP que sea congruente al triángulo rectángulo QRS.

C

Por el caso _______ △ EFG ≅ △ GHI

7

Por el caso _______ △ MNR ≅ △ PQR

F © Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

B

D

C

6

C'

△ A'B'C' ≅ △ ABC.

A

B



C

R

1

4

• Denominamos C' a la intersección de las circunferencias y unimos los vértices formando los lados del △ A'B'C'.

12 u

50°

O

• Desde cada extremo del lado A'B' trazamos con el compás circunferencias de radio de igual medida que los lados homólogos, es ‾ y BC​ ‾ ‾ ‾ decir, AC​ ​ ​ ≅ ​A'C'​​ ​  ​≅ B'C'​​ ​ . 

G

N

12 u

• Trazamos con la regla el segmento A'B' de igual medida al lado AB.

30°

E

12 u

J

45°

• Dibujamos el △ ABC. 9u

B

M

Construye, con regla y compás, el △ A'B'C' congruente al △ ABC.

I

50°

F

A

9u

H

D

30°

EJEMPLO

N

E

G

R

M

H

P

9

Averigua otras formas de construir triángulos congruentes.

Q I



Por el caso _______

Comunica: 1-3; 8-9



Por el caso _______

Argumenta afirmaciones: 4-7

UNIDAD 1

23

Lección 9

RESUELVO PROBLEMAS DE FORMA, MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN

Líneas notables en el triángulo Sea el triángulo ABC tal como se muestra. Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda a los siguientes enunciados: 1 2 3

4

5

‾ es bisectriz. ​​AE​​

8

B

‾ es bisectriz. ​​CD​​

D

El triángulo ACB es equilátero. El punto P es el incentro del triángulo ABC.

Resuelve y justifica tus respuestas.

75º E 65º P

A

⟷

C

70º 100º

A 30º

El ángulo ECP mide 10°.

C

Realiza lo que se indica en cada caso. 6

⟷

Si ​​ AC ​​ // ​​ BD ​​, ¿qué clase de triángulo se forma al trazar las bisectrices de los ángulos CAB y DBA?

9

D

B ↔

ℓ F M α 100° β – 12º N

Si ​​ l   ​​es mediatriz relativa a ‾  ​​ , ¿cuál es el valor DE​​ de α? D

β

E

Traza las alturas del triángulo obtusángulo. C

​​‾  PQ​​mediana del triángulo APS. ¿Cuánto miden ‾  QS​​ ​​ y ​​‾  AS​​si sus longitudes están expresadas en centímetros?

10 Sea

B

A

S

x + 20 Q

P

2x – 40

A

Grafica y resuelve. Ubica el circuncentro en el triángulo rectángulo. F

D

24

11 En

un triángulo MNP, se traza la bisectriz interior ​​ ‾  MS​​, de modo que MS = NS = MP. Además, m​​‾  MN​​= 15 cm. ¿Cuál es la longitud del lado NP?

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

7

E

Comunica: 1-7

Argumenta afirmaciones: 8-10

Modela objetos: 11

Lección 10

RESUELVO PROBLEMAS DE GESTIÓN DE DATOS E INCERTIDUMBRE

Encuesta. Gráficos estadísticos En cada situación, identifica y clasifica las variables estadísticas. 1

2

3

4

5

6

7 8

Profesión que quieren seguir los estudiantes de una institución educativa.

Utiliza la información de la tabla y resuelve.

La tabla muestra los resultados de una encuesta que se aplicó a un grupo de recicladores de dos distritos para saber el tipo de material que reciclan más.

Número de mascotas que hay en los hogares de un distrito.

Material

Mes de nacimiento de los participantes de un concurso de baile.

Plástico

Medio de transporte en el que llegan los estudiantes a su institución educativa.

Vidrio

Aluminio Papel

Temperatura de los pacientes del área de pediatría de un hospital.

10 Elabora

Escala de interés de un grupo de jóvenes por el reciclaje.

11 ¿Qué

Lugar preferido para vacacionar. Grado militar del personal que pertenece a una tropa.

Distrito

Barranco

Chorrillos

36

24

24 22 18

48 8

20

el gráfico más adecuado para representar la información de la tabla. tipo de variable estadística es la que está en estudio?

12 ¿Cuántos 13 ¿Qué

recicladores fueron encuestados?

tipo de gráfico has utilizado? ¿Por qué?

Analiza la siguiente situación y responde.

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

9

Cada vez que llega un paciente al área de pediatría para su control, se pregunta la edad, se le toma la temperatura, se le mide la estatura y se le pesa. ¿Qué tipos de variables se consideran en el control del paciente?

14 Encuesta

a 30 estudiantes acerca del reciclaje en el hogar. Luego, elabora un gráfico y escribe dos conclusiones.

Representa datos: 1-10

Comunica: 11-12

Sustenta conclusiones o decisiones: 13-14

Usa estrategias y procedimientos: 14

UNIDAD 1

25

Punto de llegada

Síntesis de unidad

Operaciones con números enteros

Multiplicación

División

Factores de signos iguales

(+) · (+) = +

Factores de signos diferentes

(–) · (+) = –

(–) · (–) = +

(+) · (–) = –

Potenciación Base

(+) ÷ (+) = +

Dividendo y divisor de signos iguales

(–) ÷ (–) = + (–) ÷ (+) = –

Dividendo y divisor de signos diferentes

(+) ÷ (–) = –

Positiva Negativa

Radicación

Exponente Par

Potencia Positiva

Impar

Positiva

Impar

(+)

Positiva

Par

Positiva

Impar

(–)

Negativa

Impar

Negativa

Par

Lógica

Conjunción ∧

Disyunción ∨

Condicional →

Bicondicional ↔

∼V≡F

V∧V≡V

∼F≡V

V∧F≡F

V∨V≡V V∨F≡V

V→V≡V V→F≡F

V↔V≡V V↔F≡F

F∨V≡V F∨F≡F

F→V≡V F→F≡V

F↔V≡F F↔F≡V

{an} = {a1, a2, a3, a4, a5, … an} +d +d +d +d (a + a ) Sn = _______ ​ ​ 1   n     ​​ · n 2

an = a1 + (n – 1) d

Geometría plana

Ángulos entre dos rectas paralelas y una secante ↔ ↔ ​​  l1 ​​ // ​​ l2 ​​ 

c g

Estadística Polígonos Lado

Congruentes:

a e

f h

d

b

l1 l2

∉ ZZ

(–)

Progresiones aritméticas

Negación ∼

F∧F≡F

Raíz Positiva

Sucesiones

Proposiciones compuestas

F∧V≡F

Radicación Par (+)

• Correspondientes • Alternos internos • Alternos externos Suplementarios: • Conjugados

Ángulo interno Dia go na l Vértice Ángulo externo

a

Triángulo

Gráficos estadísticos

C b y

• El de barras permite representar variables cualitativas y cuantitativas discretas.

z

x

γ

A B • x + y + z = 180º • a + b + γ = 360º

• x + y = a

• El lineal permite representar el comportamiento en un lapso de tiempo.

Digita, en el buscador de internet de tu preferencia, el conjunto de palabras que se indican y accede responsablemente a las primeras direcciones que aparezcan.

Para saber más • Khan Academy + números enteros • Filetype: PDF libro de Matemática + polígonos

Para interactuar online • Superprof + ejercicios interactivos + propiedades de los triángulos • ThatQuiz + gráficos de barras

26

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

Para consultar

Una mirada a lo recorrido Las predicciones meteorológicas y climáticas contribuyen a la reducción de los riesgos de desastre y ofrecen a las comunidades alertas tempranas de inundaciones, sequías, olas de frío, olas de calor y otros fenómenos. Observa la tabla con el pronóstico del tiempo de algunas ciudades del Perú para un mismo día. Luego, responde.

1

2

Temperatura máxima

Temperatura mínima

Juliaca

20 °C

–4 °C

Pozuzo

24 °C

18 °C

La Oroya

15 °C

0 °C

Sicuani

17 °C

–2 °C

Representa cada situación mediante una operación combinada. Luego, resuelve. 4

5

¿Cuál de las ciudades tiene la temperatura mínima más alta? ¿Cuál de las ciudades tiene la temperatura mínima más baja?

Un colegio de nivel Inicial compró cubitos elaborados de pino recuperado y reciclado. En el aula de 3 años, se entregaron 12 cajas cúbicas con 5 cubitos de largo, 5 cubitos de ancho y 5 cubitos de alto, y en el aula de 4 años, se entregaron la mitad de las cajas que se entregaron en el aula de 3 años. ¿Cuántos cubitos se compraron?

Julieta vende pulseras artesanales que confecciona con semillas de tagua. Para su próxima producción, utilizará 36 bolsas con 36 semillas cada una para entregar un pedido de 16 pulseras a una tienda y 92 pulseras a una feria. ¿Cuántas semillas deberá colocar en cada pulsera si todas son iguales?

Ordena las temperaturas mínimas en forma descendente. Determina las proposiciones y expresa en lenguaje simbólico.

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

3

¿Cuál es la variación entre la temperatura máxima y la temperatura mínima en cada ciudad? ¿En qué ciudad hubo mayor variación de temperatura?

6

7

Si el álamo es un árbol muy vinculado al agua, entonces habita en regiones húmedas.

Es falso que los bosques no son los pulmones del planeta y garantizan el equilibrio ambiental.

UNIDAD 1

27

Una mirada a lo recorrido Sean las proposiciones simples: p: El plástico es uno de los residuos contaminantes del agua. q: El plástico pone en peligro la vida de los ecosistemas marinos. Halla el valor de verdad de estas fórmulas lógicas: 8 ∼ p ∧ q 9 ∼ p → ∼ q

12 Para

cosechar las 24 higueras distribuidas linealmente, don Jacinto camina 30 m desde su finca hasta la primera higuera. A partir de allí, la distancia entre higuera e higuera es de 5 m. Si hoy regresó a su finca después de cosechar la higuera que ocupa el lugar 20, ¿qué distancia caminó de regreso?

13 Para

Resuelve. 10 Para

ahorrar su consumo, Marcela utiliza un tanque que tiene agua hasta una altura de 30 cm. Si el tanque se llena a razón de 5 cm cada hora y tiene una altura de 145 cm, ¿cuánto tiempo demorará en llenarse completamente?

reducir la contaminación ambiental, un municipio mandó sembrar árboles cada 2 m a lo largo de la berma de una avenida. Además, se sabe que a 15 m del primer árbol de la avenida se ubica un complejo deportivo. Si Tomás está parado a 47 m de dicho complejo deportivo, ¿a la altura de qué árbol se encuentra?

el biohuerto de su colegio, un grupo de estudiantes implementó un sistema de regadío como el que se muestra en la figura. ¿Qué ángulos emplearon para colocar los tubos?

11 Eduardo

x

3y + 15°

5y – 25°

VÁLVULA DE DESCARGA LATERAL

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

cavó una zanja para almacenar el agua de las lluvias a fin de conservar el suelo. Se sabe que durante la primera hora cavó 80 cm de longitud; durante la segunda hora, 86 cm; durante la tercera hora, 92 cm, y así sucesivamente. Si en la última hora cavó 158 cm, ¿cuántas horas trabajó?

Shutterstock

14 En

28

Traduce/ Modela/ Representa: 1-7; 12; 14-15; 17-19 Comunica: 20-22 Usa estrategias y procedimientos: 8-9; 10-11; 13 Argumenta/Sustenta: 16

compró un estante con forma de hexágono regular de madera maciza sostenible como el que se muestra. ¿Cuánto miden los ángulos que se indican?

Shutterstock

15 Luna

y x

Clasifica las siguientes variables estadísticas: 17 Materiales 18 Tiempo

que se pueden reciclar.

de duración de focos ahorradores.

19 Cantidad

distrito.

de árboles que hay en los parques de un

Utiliza la información del gráfico y resuelve.

0

3

4

6

7

8

9

55,8

5

41,4

2

36,4

1

44,6

50

45,4

N

51,5

D

66,0

M

63,1

100

115,3

141,3

200 150

10 11 12 13 14 15

Días

Fuente: Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (Senamhi)

A

70°

B

132,1

Concentración diaria del material particulado

107,7

ug/m3 250

75,1

C

El gráfico muestra la concentración diaria del material particulado inferior a 2,5 micras (PM2,5) de la primera quincena del mes de marzo de 2022, en Lima Metropolitana, registrada por la estación de medición de Villa María del Triunfo.

20,3

Shutterstock

jardín. Si la escalera forma con el piso un triángulo isósceles y se sabe que AMD = BND = 75°, ¿cuánto mide MDN? Explica.

27,3

16 Alejandra y Francisco decidieron podar el árbol de su

El material particulado (PM, por sus siglas en inglés), también llamado contaminación por partículas, está conformado por partículas sólidas y líquidas que se encuentran en el aire.

20 ¿En qué días la concentración de material particulado

se encontró entre los 50 ug/m3 y 100 ug/m3?

21 ¿Entre

qué días hubo mayor decrecimiento de concentración de material particulado?

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

22 Si

se sabe que para que exista buena calidad de aire no se debe exceder los 50 ug/m3, ¿qué días hubo buena calidad de aire?

UNIDAD 1

29

Superficie reforestada anualmente La reforestación es una actividad que busca repoblar zonas que han perdido su cobertura forestal. Los bosques son considerados ecosistemas de alta diversidad biológica, los cuales a la vez proveen importantes servicios ambientales.

Shutterstock

En estos gráficos correspondientes a las regiones La Libertad y Apurímac, el indicador muestra la superficie reforestada en un espacio y tiempo determinados. Este indicador nos permite conocer el esfuerzo de una determinada gestión en recuperar estos espacios de bosques perdidos. Observa los gráficos y realiza lo que se indica. Apurímac: Superficie reforestada anualmente

La Libertad: Superficie reforestada anualmente

10 000

10 000 8 938

8310

8000

1

1889 1396

2092

2112 1133 1192

1446 1386

1336 1314

497 398 600 2016

2014

2015

2013

2011

2012

2010

2008

Años

Fuente: SERFOR

2009

2006

2007

2004

2005

2003

2002

2000

2001

1998

1999

1996

0

2019

1954

2017

2175

3704

33310

377 2019

2017

2018

2011

2012

2009

2010

2007

2008

2005

Años

92 71 66 129 2015

653 556

384 2004

2002

2003

2000

2001

1998

1999

1996

917

2000

2016

1612

1232 1997

1803

1760

2013

1748

2099

3597 3141 3141

3200 3058

2014

2500 1

2717

2577

4473 473 4000

1997

2956

6000

2018

Hectáreas

4 5000 5214

0

8329

7229

2006

Hectáreas

7500

Fuente: SERFOR

Según la información presentada, escribe en las casillas el signo + si la superficie reforestada aumentó de un año respecto al otro, o un signo – si la superficie reforestada disminuyó de un año respecto al otro. Periodo Región Apurímac

2002 respecto a 2001

2004 respecto a 2003

2012 respecto a 2011

2019 respecto a 2018

La Libertad

Según la información presentada, ¿en qué región hubo mayor superficie reforestada en 2002? ¿Cuánto más? © Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

2

30

¿Qué aprendí? E VA L UA C I Ó N D E U N I DA D

3

A partir de los dos gráficos, determina el valor de verdad de cada proposición.

a) En 2012 en La Libertad se reforestó más superficie que en 2013 o menos que en 2018.

b) Si en 2010 en Apurímac no se reforestó casi el doble de superficie que en 2007, entonces en 2013 no se reforestó la tercera parte de lo que se reforestó en 2012.

Voy más allá Cerca de la casa de la familia Alegría hay un parque abandonado. La asociación de vecinos ha decidido realizar jornadas de plantación de algunas especies arbóreas para reforestarlo y así contribuir con el cuidado del medio y la recreación saludable. Averigua más sobre la reforestación mediante

4

Una organización preocupada por la reducción de la contaminación ambiental realiza gestiones para recibir donaciones de árboles de molle. Si el primer día recibieron 23 árboles y se han propuesto cada semana incrementar las donaciones en 5 árboles más, ¿cuántos árboles de molle tendrán en total al cabo de ocho semanas?

Programa de arborización ACCIÓN POR EL CLIMA

Objetivo de Desarrollo Sostenible

5

© Santillana S. A. Prohibido fotocopiar. D. L. 822

6

¿Qué tipo de gráficos se han empleado para presentar la superficie reforestada anualmente en La Libertad y en Apurímac?

Según la información de los gráficos, ¿cuáles fueron los tres años en los que hubo mayor superficie reforestada en cada región?

¿Qué estrategias facilitaron mi aprendizaje? ¿En cuál tema tuve mayores dificultades? ¿Qué hice para superarlas?

Respuesta al reto Propón dos acciones concretas y viables a nivel local (personal, familiar, comunal) que contribuyan a la protección del ambiente donde vives.

actividades en

UNIDAD 1

31