ESTÁTICA

las leyes del equilibrio Ricardo Gánem

PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

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Dirección editorial: Ing. Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Ing. Estela Delfín Ramírez Revisión técnica: Jorge Díaz Velázquez Departamento de Ingeniería Mecánica ESIME-Culhuacán Instituto Politécnico Nacional Diseño de interiores: EDITEC, S.A. de C.V. Diseño de portada: Publishare Ilustraciones: Claudia Páramo Romero Fotografías: © 2007, Jupiter Images Corporation / Nemesis Estática. Las leyes del equilibrio Derechos reservados respecto a la edición: © 2014, Ricardo Gánem Corvera © 2014, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro Núm. 43 ISBN ebook: 978-607-438-912-8 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014

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CONTENIDO

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Características del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1X Introducción

LA MECÁNICA ANTES DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Los cuatro elementos y el lugar natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tipos de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 La teoría del ímpetu: una mejora a la hipótesis de Aristóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 La teoría de Aristóteles en forma de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Algunos experimentos de Galileo: el inicio del fin de la física aristotélica . . . . . . . . . . . . . . 5 La física del cielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Las observaciones: los movimientos de planetas y estrellas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 La teoría geocéntrica y su sustento en la física aristotélica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 El sistema heliocéntrico de Copérnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Cálculo del tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta al Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Las distancias relativas en el sistema de Copérnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Problemas del sistema copernicano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 El sistema heliocéntrico modificado por Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Tercera ley de Kepler y la ley de la gravitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Una sola física: la unión de cielo y Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 R Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Capítulo 1

¿PARA QUÉ SIRVE LA ESTÁTICA? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Efectos de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La segunda ley de Newton y las unidades de Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La deformación y la ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Distintas formas de aplicación de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas axiales colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas axiales no colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R Resumen ................................................................. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 22 22 24 24 29 31 35 37 39 40

Capítulo 2

LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Componentes cartesianas de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Características de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnitud de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Igualdad de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punto de aplicación y línea de acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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42 42 45 45 45 46

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Estática: las leyes del equilibrio

2.3 Multiplicación por un escalar y suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplicación de un vector por un escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Indicadores de dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Fuerza resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 El producto escalar y las proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Introducción a los tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R Resumen ................................................................. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 46 47 51 54 59 66 66 67 74 74 75 78 81 83

Capítulo 3

LAS LEYES DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.1 Primera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Desarrollo histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 La primera ley y el principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Equilibrio de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.2 Segunda ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Enunciado de la segunda ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Consecuencias de la segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 El movimiento circular es producido por una fuerza central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3 Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4 Fuerzas ficticias o inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 *La fuerza centrífuga, una fuerza ficticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 *La “fuerza” de coriolis, otra fuerza ficticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.5 Fortalezas y limitaciones de las leyes de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 R Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Capítulo 4

TORQUE Y PAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 El torque de una fuerza en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brazo de palanca: Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brazo de palanca: Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principio de transmisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principio de Varignon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Momento de un par en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Sistemas de fuerzas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para mover una fuerza de su línea de acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Momento de una fuerza en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Momento de una fuerza respecto a un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Momento de un par en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de la magnitud del par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momento de un par como vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Sistemas equivalentes en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R Resumen ................................................................ Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146 146 149 151 155 156 161 170 173 175 178 183 183 185 187 190 191

Capítulo 5

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 IV

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Contenido

5.1 Definición de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Fuerzas de acción a distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Desarrollo histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas volumétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Fuerzas de superficie (o de contacto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerza normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerza de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Diagramas de cuerpo libre de cuerpos simplemente apoyados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Fuerzas internas y diagramas de cuerpo libre compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Tipos de soporte y sus diagramas de cuerpo libre en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Apoyo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Empotramiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Articulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Movimiento libre en una dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Soportes en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Baleros y chumaceras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Chumaceras de empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *Articulación de rótula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R Resumen ................................................................ Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202 202 202 202 203 203 203 204 220 224 225 226 232 235 238 241 243 244 245 245

Capítulo 6

LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 El equilibrio en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Miembros de dos fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 El equilibrio en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256 256 272 279 289 290

Capítulo 7

LA FRICCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Características generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Ángulo de fricción estática y ángulo de fricción cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problemas de tipo 1: objetos a punto de resbalarse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Problemas de tipo 2: el deslizamiento entre los objetos NO es inminente . . . . . . . . . . . 7.5 El objeto se vuelca antes de resbalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Fricción de rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Tensión en bandas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8 Tensión en tornillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento del tornillo en dirección opuesta a la fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento del tornillo en dirección de la fuerza aplicada con la superficie resbalosa (F > Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento del tornillo en dirección de la fuerza aplicada con la superficie rugosa (F > Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 El embrague . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R Resumen ................................................................ Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306 306 307 311 315 316 317 320 325 326 328 329 331 332 333

Capítulo 8

CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 8.1 Definición de centroide y centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Centroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 V

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Estática: las leyes del equilibrio

Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diferencia entre centroides y centros de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Importancia del centroide en ingeniería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Importancia del centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Cálculo de centroides y centros de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetos simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinación de objetos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de centroides y centros de gravedad de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Cálculo del centroide en líneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Los teoremas de Pappus-Guldinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

346 347 348 351 356 356 358 360 375 381 387 388

Capítulo 9

MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Definición de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Situaciones físicas en que aparece el momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Torques sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deformación de vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pandeo de vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Torsión de una flecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Teorema de los ejes paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Errores comunes en la aplicación del teorema de los ejes paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

400 400 403 403 404 408 409 410 410 411 414 417 418

Capítulo 10

ARMADURAS Y ESTRUCTURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Elementos estructurales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Armaduras y estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 El método de los nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 El método de las secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Miembros de fuerza cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Armaduras en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

424 424 426 431 433 438 443 445 451 451

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 Apéndice A UNIDADES

DEL SISTEMA INGLÉS Y SU EQUIVALENCIA EN EL SISTEMA INTERNACIONAL

Apéndice B UNIDADES

PRINCIPALES DEL

Apéndice C EXPRESIONES

MATEMÁTICAS

SI

USADAS EN MECÁNICA

. . . . 465

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

Respuestas a problemas seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Índice analítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

VI

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PREFACIO

Generalidades En el mercado existe una extensa variedad de libros de estática, algunos de ellos son muy buenos. Pero, ¿para qué escribir un libro más? Éstas son mis razones: 1. No obstante lo anterior, la mayoría de estos libros no resultan atractivos para los estudiantes. Eso se debe, desde mi punto de vista, a que en ellos no se aborda y analiza cuál es la importancia de cada uno de los temas que tratan. El lector, por ejemplo, aprenderá a calcular centros de gravedad y momentos de inercia, pero probablemente no entenderá para qué es útil aprender a hacer esto. Mediante ejemplos tomados de disciplinas tales como la ingeniería civil, la ingeniería mecánica y la biomecánica, intento resaltar la relevancia de cada uno de los temas que se abordan en sus páginas. El estudiante encontrará aquí los principios de la estática aplicada a edificios, barcos, aviones, presas, esqueletos, iglesias y cajas de velocidades, entre otras cosas. Con base en esta premisa, cabe destacar que el principal objetivo de este texto consiste en que el lector sienta que el conocimiento que está adquiriendo es en verdad valioso. 2. Los textos de ingeniería, en general, se concentran en demasía en los números. Al parecer lo más importante para sus autores consiste en hacer que los estudiantes puedan calcular el parámetro X de manera correcta. Se supone, implícitamente, que si el alumno puede hacerlo entonces comprende el significado de X. En mi experiencia, esto no es así. Es posible que una persona sepa calcular con exactitud el momento de inercia y no tener ninguna idea de cuál es el significado físico de esta variable. O bien, es posible que pueda estimar con precisión la magnitud de una fuerza determinada sin tener la menor idea de cuál es el efecto que produce esa fuerza. Un ingeniero debe, desde luego, ser capaz de obtener la fuerza X o el momento de inercia Y correctamente, pero también ha de entender el significado físico de estas magnitudes, así como sus posibles consecuencias. 3. También, me parece que, en general, los estudiantes ignoran el alcance de sus conocimientos. Eso quizá se debe a que desconocen todo lo que pueden explicar con pocas ideas. Por ejemplo, se sabe que los arcos son muy resistentes: ¿a qué se debe esto? O ¿cómo es posible que un velero pueda navegar en contra del viento? O bien, ¿para qué sirve una caja de velocidades? Éstas son interrogantes que pueden responderse con facilidad si se posee un conocimiento elemental de la mecánica; sin embargo, muchos estudiantes ignoran que pueden contestarlas con los conocimientos adquiridos en un curso elemental. Considero que si abordamos este tipo de cuestionamientos, los alumnos sentirán que han adquirido una importante herramienta para explicar tanto la naturaleza como el mundo edificado por el hombre.

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Estática: las leyes del equilibrio

4. Como ya señalé antes, el presente libro se concentra en la comprensión de conceptos. Desde mi punto de vista, para llegar a una comprensión profunda de algunas ideas se requiere del ingrediente histórico. Así pues, es necesario explicar, por ejemplo, cómo fue que la física de Aristóteles se transformó o cómo evolucionaron las ideas sobre el movimiento hasta llegar al planteamiento de las tres leyes de Newton. Si esto no se hace así, las mencionadas leyes aparecerán como axiomas. Es importante, pues, que el estudiante comprenda que la física (y, en consecuencia, la estática) es una ciencia y que, por lo tanto, surge de la observación y de la experimentación. Por ejemplo, el simple enunciado de las leyes de Newton no contribuye a fomentar esa visión, hay que mostrar cuando menos algunos de los experimentos sobre los que se construyó este conocimiento. ¿Cómo se encuentra el coeficiente de fricción entre dos superficies?, ¿cómo puede encontrarse, experimentalmente, el centro de gravedad de un objeto?, ¿en qué experimentos y observaciones se basan las leyes de la mecánica? Todas éstas son preguntas que no se abordan en la mayoría de los textos sobre este tema. 5. Un enfoque histórico, además de fomentar una comprensión más profunda, nos conduce a concebir y apreciar a la mecánica como una ciencia interesante en sí misma, independientemente de la multiplicidad de aplicaciones que ofrece. Además, la historia nos enseña que el hombre ha estudiado la mecánica no sólo por razones prácticas. Gracias a Newton, en la actualidad es posible construir edificios y puentes, aunque esto no era su principal objetivo. Newton se basó, a su vez, en los trabajos de Kepler, quien tampoco se proponía construir máquinas o estructuras. Si observamos con detenimiento, es posible deducir que además del legítimo deseo de mejorar las condiciones materiales de la vida, el hombre ha estudiado a la mecánica por curiosidad; por el deseo de descubrir algo de los secretos de la naturaleza, por el asombro y por el deseo de satisfacer su afán de aventura. Mi principal deseo es que este libro ayude al lector a encontrar la belleza que se encuentra escondida tras las leyes del equilibrio.

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CARACTERÍSTICAS

DEL

TEXTO

Contenido El presente texto consta de introducción, 10 capítulos y tres apéndices. En el capítulo 1 (¿Para qué sirve la estática?) se explica la importancia de la estática. La intención en este capítulo es que el alumno se sienta motivado a estudiar el resto del libro. En el capítulo 2 (Los Vectores y sus operaciones) nos introducimos en el estudio de las herramientas matemáticas necesarias para la comprensión del resto del texto. En el capítulo 3 (Las leyes de Newton) se estudian con detenimiento las leyes físicas que constituyen la base de la mecánica; como este texto intenta fomentar una comprensión profunda, no se limita sólo a enunciar las leyes de Newton y a estudiar su aplicación, sino que busca entender, además, cómo es que nacieron estas leyes a partir de la observación y la experimentación. Sin embargo, si el profesor considera que se trata de material ya conocido, este capítulo puede ser omitido. No obstante, hay que hacer notar que en esta sección se tratan temas considerados básicos en el estudio de la estática, como el equilibrio de una partícula, por considerarse que no es más que una consecuencia directa de la aplicación de la primera ley de Newton. Por su parte, en el capítulo 4 (Torque y par) se hace un estudio profundo de torques y sistemas equivalentes de fuerzas. A partir de este momento, ya no es posible seguir trabajando con partículas únicamente, sino que es necesario considerar el tamaño y la forma de los objetos que vamos a estudiar. Se considera que 80% de la solución de un problema de estática se halla en la adecuada realización de los diagramas de cuerpo libre (DCL). En vista de ello, se dedica un capítulo completo al estudio de estos diagramas (capítulo 5). En mi experiencia docente, he podido comprobar que muchas de las fallas que cometen los estudiantes radican, precisamente, en la comprensión de este tema. Expuesto lo anterior, debe quedar claro que a lo largo de este capítulo no se pretende que el alumno sólo memorice qué reacciones acompañan a un objeto cuando se une con otro, sino que también entienda el porqué de esto. Sin embargo, si el profesor considera que no hay tiempo para el estudio de este tema, puede omitir la revisión de los subtemas marcados con un asterisco (*) y concentrarse en el uso de las tablas que se presentan. En el capítulo 6 (Las ecuaciones de equilibrio) se aplican los conocimientos adquiridos hasta ese momento para resolver problemas de equilibrio de cuerpos rígidos. Se trata de un capítulo de aplicación que debe ser sencillo si es que se ha comprendido el material presentado hasta ese punto. En el capítulo 7 (La fricción) se analiza la fricción; así pues, se estudia la manera de calcular la magnitud de esta fuerza en diferentes situaciones de interés para el ingeniero. En el capítulo 8 (Centroides y centros de gravedad) el estudiante aprenderá a calcular el centro de gravedad de un objeto o de un sistema de objetos. Por su parte, el capítulo 9 se avoca al estudio de momentos de inercia de áreas. El capítulo 10 (Armaduras y estructuras) es de integración. Es aquí donde se recoge el fruto de todo lo visto y aprendido a lo largo de toda la obra.

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Estática: las leyes del equilibrio

Como ya se explicó con anterioridad, desde el punto de vista del autor, la historia del desarrollo de la mecánica nos ayuda a tener una comprensión más clara de esta materia. Es por esa razón que en la introducción se dedica un espacio amplio a este tema, de manera que el estudiante no sólo entienda las leyes del movimiento, sino que, adicionalmente, comprenda cómo surgieron.

Curso rápido Debemos aclarar que los temas o los subtemas marcados con un asterisco (*) no se consideran indispensables para cubrir el material del curso. Por esa razón, si no se cuenta con el tiempo necesario para completar el estudio completo de esta obra o el estudiante ya ha tenido contacto con el estudio de la mecánica, se sugiere no abordar todos aquellos temas y subtemas marcados con asterisco.

Organización del texto Cada capítulo inicia con una breve introducción, en la cual se explica la importancia del tema que se va a tratar. Inmediatamente después se plantean los objetivos, la teoría básica y una serie de ejemplos. Acorde con la filosofía básica de este texto, se incluyen dos secciones en todos los capítulos: La estática en el mundo y Para el laboratorio. Por último, al final de cada capítulo se presenta un breve resumen.

La estática en el mundo En esta sección se relacionan los conocimientos proporcionados por el texto con situaciones reales. Se intenta, de esta forma, dotar de mayor significado el conocimiento que se está adquiriendo. Su lectura, desde luego, no es obligatoria para comprender los fundamentos de la materia o para resolver problemas. Sin embargo, enriquecen considerablemente el conocimiento de la materia y nos ayuda a apreciarla más.

Para el laboratorio Como ya se ha se expuesto, la mecánica es una ciencia experimental y, no obstante, muchas veces se enseña como si fuera una rama de las matemáticas. Con estas secciones se pretende demostrar la base experimental de esta ciencia. Así pues, en éstas se sugiere la realización de experimentos relativamente sencillos, mediante los cuales se pueden comprobar los principios básicos de la estática. Al igual que en el caso de la sección anterior, su lectura no es obligatoria.

Resumen Al final de cada capítulo se localiza un resumen en donde se pretende repasar, de manera muy breve, el material más importante estudiado durante todo el capítulo. Se puede utilizar para dar un repaso o también como un formulario.

Agradecimientos Aprovecho esta oportunidad para agradecer a las siguientes personas su valiosa colaboración, ya que gracias a sus aportaciones y conocimientos este libro es mejor de lo que hubiera sido. Ingeniero Carlos Alberto Macías Cordero, ESIA - Zacatenco. M en C Víctor Robledo Rella, ITESM - Ciudad de México. Doctora M. Consolación T. J. Gómez Soberón, UAM - Azcapotzalco. Ingeniero Javier León Cárdenas, ESIQIE - Zacatenco Ingeniero Miguel Ángel Herrera, Universidad La Salle. X

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Características del texto

Gracias a todos por su contribución, mediante sugerencias, a mejorar la calidad de este texto. Los consejos que me dieron fueron muy valiosos. Asimismo, quiero hacer una mención especial al ingeniero Jorge Díaz Velásquez, ya que sus comentarios fueron para mí de una incalculable utilidad. A la ingeniera Estela Delfín le agradezco su enorme paciencia y su disponibilidad. Por último, agradezco también a mi esposa, María Esther, por su comprensión y ayuda. A pesar de toda la ayuda recibida debo decir que el contenido de este texto es, en su totalidad, responsabilidad del autor.

Ricardo Gánem

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INTRODUCCIÓN

La mecánica antes de Newton

¿Por qué se mueven las cosas? Incluso a fines del siglo XVI, la ciencia aún no existía como la conocemos en la actualidad. Había algunas teorías que se basaban en la experiencia; sin embargo, no se había establecido la idea de experimento en el sentido de practicar observaciones sistemáticas y controladas sobre algún aspecto de la realidad. Esto era así porque, quizás, en esa época los hombres no estaban muy interesados en explicaciones cuantitativas. Para que una teoría se considerara adecuada era suficiente que explicara a grandes rasgos los fenómenos observados. A los griegos en particular no les interesaba el conocimiento fraccionado ni saber con exactitud, por ejemplo, cómo se movía un proyectil. Estaban más interesados en las grandes cuestiones: ¿cómo es el mundo?, ¿cómo se originó? La idea respecto a que primero hay que resolver problemas más sencillos antes de atacar esas cuestiones no había nacido. Para Aristóteles las leyes que regían el comportamiento de los objetos en la Tierra eran distintas de las leyes que obedecían los astros en el cielo. Por ello, conviene que dividamos en dos partes nuestra presentación de la física aristotélica. En la tabla 1 se distinguen las diferencias principales entre estos dos conjuntos de normas. ¿Cómo surgió la mecánica? Según veremos, nació en parte del intento de explicar los movimientos de los planetas; de este intento surgieron las leyes de Kepler y, de éstas, la ley de la

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Estática: las leyes del equilibrio

gravitación universal. La intención de esta introducción no es enseñar la historia de la mecánica sino observar su evolución. Para comprender verdaderamente una idea, a menudo tenemos que remontarnos a sus orígenes. Hagamos entonces un esfuerzo de imaginación. Retrocedamos al año 1600 y olvidemos lo que sabemos; situémonos con la idea de no aceptar nada a menos que los hechos nos convenzan de la verdad de las afirmaciones que aquí se vierten. Se espera que como resultado usted obtendrá una comprensión más profunda de la ciencia del movimiento. Existe otra razón importante para hablar de historia. Como lo demostraron Halloun y Esténse, la mayoría de los alumnos al comenzar sus estudios de física no llegan con la mente en blanco, sino que, sabiéndolo o no, ya tienen sus ideas preconcebidas respecto al movimiento. Estas ideas coinciden en muchas ocasiones con las opiniones que se tenían en la Edad Media. Esto sucede incluso con estudiantes que ya han tenido contacto con la física. Al alumno le será útil identificar sus creencias y contrastarlas con lo que sostiene la física clásica actual. Antes de empezar a construir el nuevo modelo, necesitará destruir en su mente las hipótesis que sostenía sin saber. Tabla 1

Principios de física aristotélica.

Mecánica terrestre Mecánica celeste

Estado natural (no requiere fuerzas)

Material del que están hechos los objetos

Reposo

Agua, aire, fuego y tierra

Movimiento circular uniforme (velocidad constante)

Éter (quintaesencia)

Los cuatro elementos y el lugar natural Según Aristóteles, cualquier objeto terrestre estaría formado por cuatro elementos: tierra, agua, fuego y aire; cada uno de los cuales con un lugar natural. La esfera de la Tierra se hallaría en el centro exacto del Universo; a su alrededor se situarían, primero, la esfera de agua, luego la del fuego y, por último, la del aire. Todas formando parte del planeta Tierra. Además, existiría la esfera del éter, el quinto elemento o la quintaesencia, donde se mueven los astros. En la Tierra el reposo parecía ser la norma, pues ningún objeto comienza a moverse por su cuenta; más bien al contrario: cuando por cualquier razón algo se mueve, ese algo no tardará en volver al reposo. Sin embargo, en el cielo el Sol, la Luna y las estrellas se mueven sin cesar. Por tanto, las reglas que rigen el movimiento no son iguales para la Tierra que

Éter (Sol, Luna, planetas y estrellas)

Fuego

Aire

Tierra Agua

Figura 1 Los cuatro elementos y la quintaesencia, según Aristóteles.

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La mecánica antes de Newton

12:00 10:00

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E N

18:00

S

O

Figura 2 El Sol parece dar vueltas alrededor de la Tierra sin descanso.

para el cielo. La mecánica se divide en dos: la mecánica de los objetos terrestres y la mecánica celeste.

Tipos de movimiento La mecánica de Aristóteles parte de una sencilla observación: los objetos inanimados en movimiento terminan por detenerse y permanecen en ese estado. Por ejemplo, si dejamos rodar un cilindro por un plano inclinado, observaremos que se va frenando hasta pararse por completo. Una vez en ese estado, el cilindro no comenzará a moverse (véase figura 3). Para que un objeto se mueva necesita una causa. De acuerdo con la concepción de Aristóteles, existían dos tipos de causas.

Figura 3 Aristóteles observó que en la Tierra los objetos en movimiento se detienen tarde o temprano.

a) Si un objeto está fuera de su lugar natural, se moverá hasta encontrarlo; por ejemplo, el lugar natural de una piedra es el suelo, por lo que si la soltamos a una altura determinada irá hacia el suelo. Lo mismo sucede con una burbuja de aire. Si se produce en el interior de un acuario, la burbuja subirá por la misma razón que la piedra baja (véase figura 4). Aire: lugar natural de las burbujas

Suelo: lugar natural de las piedras

Figura 4 Según Aristóteles, los objetos buscan su lugar natural. Por eso se mueven.

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Estática: las leyes del equilibrio

Aire desplazado por la flecha

Figura 5 Movimiento de una flecha, según Aristóteles.

b) Existe también el movimiento violento. Se produce cuando se ejerce una fuerza externa sobre un objeto que lo obliga a moverse en una dirección determinada. Por ejemplo, si se dispara una flecha, ésta se mueve gracias a que el aire desplazado por la punta de la flecha regresa sobre la cola de la misma para empujarla por detrás (véase figura 5). Cabe destacar el tipo de explicaciones que se daban entonces. Aristóteles procedía como si los objetos tuvieran vida. Éstos se movían hacia su lugar natural porque deseaban llegar a él. Por esta razón, los objetos pesados (con mayor cantidad del elemento tierra) caían con más rapidez que los ligeros, pues su ansia de llegar al suelo era mayor. Al aparecer la física de Newton todo esto cambió.

La teoría del ímpetu: una mejora a la hipótesis de Aristóteles Esta teoría fue expuesta por primera vez por Johannes Philoponus, de Alejandría, y mejorada en el siglo XIV por Jean Burilan. Ellos propusieron que cuando un objeto es aventado se le imparte determinada cantidad de una fuerza (en esa época el término no estaba bien definido) llamada ímpetu (o momentum). El objeto se mueve en línea recta mientras el ímpetu se disipa poco a poco por la resistencia del medio ambiente. En la actualidad, muchas personas creen, sin saberlo, en la teoría del ímpetu. Alberto de Sajonia usó esta teoría para explicar el movimiento de los proyectiles. De acuerdo con su explicación, este movimiento se da en tres etapas. Al principio, el proyectil se mueve en línea recta, dominado por el ímpetu. Posteriormente, el movimiento curvo del proyectil es el resultado del debilitamiento del ímpetu y de la tendencia de la gravedad (i.e. la tendencia del proyectil a llegar a su lugar natural). Por último, el proyectil cae a tierra en línea recta siguiendo su “movimiento natural”, una vez que se ha agotado el ímpetu.

Etapa I: Movimiento en línea recta dominado por el ímpetu

Etapa II: Compromiso entre el ímpetu y el movimiento natural

Etapa III: Movimiento natural en línea recta

Figura 6 El movimiento de un proyectil según Alberto de Sajonia (y muchos estudiantes).

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La mecánica antes de Newton

La teoría de Aristóteles en forma de ecuaciones Aunque el filósofo griego no presentó sus teorías en forma cuantitativa, se podrían escribir de la manera siguiente. Por ejemplo, aseguraba que los objetos en caída libre viajan a velocidad constante y que esta velocidad depende del peso de estos objetos, pues entre más “tierra” tienen más avidez manifiestan por alcanzar su lugar natural. En forma de ecuaciones diríamos que: V 

F R

(1)

Donde: V: Velocidad (constante) con que cae el objeto. F: Fuerza aplicada (en este caso el peso). R: Resistencia del objeto, que depende del tamaño y forma del mismo. Como se pensaba que la velocidad era constante y no existían los conceptos de velocidad instantánea y aceleración, la velocidad con que caería la piedra podía calcularse como la razón de la distancia recorrida entre el tiempo: V 

D t

(2)

Estas ideas nos parecen absurdas en la actualidad, pero explicaban muchos fenómenos. Demostrar su falsedad no es cuestión sencilla. Supongamos, por ejemplo, que queremos mostrar que dos objetos de la misma forma pero diferente peso caen con la misma velocidad. Podríamos pensar que en el aire los objetos caen demasiado rápido, así que quizá sería más razonable efectuar el experimento en agua. (¡Hagámoslo!) Si lo intentamos de este modo, veremos que, al parecer, ¡Aristóteles tenía razón! Los objetos parecen caer a velocidad constante y ésta depende del peso de los mismos. ¿Dónde está la falla?

Algunos experimentos de Galileo: el inicio del fin de la física aristotélica La primera duda seria acerca de la validez de esta teoría apareció en la mente del joven Galileo con una observación que podría parecer ociosa: la oscilación de una lámpara que colgaba del techo en una iglesia. Esta oscilación duraba siempre lo mismo, sin importar que la amplitud

Agua

Figura 7 Experimento con el cual Aristóteles podría haber “demostrado” que los objetos pesados caen más rápido que los ligeros.

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Estática: las leyes del equilibrio

(tt1  t2) L

L Q

Q

Q

t1

Q

t2

Figura 8 El periodo de un péndulo no depende de la masa del mismo.

de las oscilaciones fuera disminuyendo. La primera consecuencia de esta observación fue la invención, por parte del mismo Galileo, de un aparato llamado pulsímetro, usado para medir la presión en los enfermos. A la postre, tal observación condujo también a la creación del reloj de péndulo de Christian Huygens. Más allá de esto, ese hecho fue una de las puertas que condujeron al derrumbe del sistema aristotélico. Galileo repitió el experimento de forma controlada en su habitación y descubrió que el periodo en que oscilaba el péndulo tampoco dependía de su peso. Razonó entonces que el movimiento de un péndulo es un caso especial de caída libre, en el cual se obliga al objeto que cae a describir una trayectoria circular. Ahora bien, si la velocidad de un péndulo es independiente de su masa, ¿no se deduce de esto que también en la caída libre la velocidad de caída de los objetos debiera ser independiente de la masa? Galileo buscó pruebas y practicó experimentos. Se dice que dejó caer dos objetos de masa diferente desde lo alto de la torre inclinada de Pisa. Aunque quizás esto no sea cierto, sí encontró una forma sencilla de probar sus sospechas: descubrió la utilidad del plano inclinado. Las características del movimiento de un objeto en un plano inclinado eran las mismas que en la caída libre. De hecho, cabe imaginar la caída libre como un plano inclinado 90°. La gran ventaja del plano inclinado era que diluía el efecto de la gravedad, permitiendo observar y, sobre todo, medir distancias y tiempos (mediante un reloj de agua). En sus experimentos con planos inclinados, pronto fue evidente que la velocidad con que caen los objetos no es constante. Lo que se mantiene constante es lo que nosotros conocemos como aceleración, concepto definido por Galileo. Esta aceleración es independiente de la masa. Al menos eso sucede en el aire y Galileo concluyó que también debía suceder en el vacío. De este sencillo experimento se desprende una conclusión importante: una fuerza constante,

Figura 9 Galileo descubrió que lo que se mantiene constante en el plano inclinado (y por tanto en la caída libre) es la aceleración y no la velocidad.

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La mecánica antes de Newton

el peso, produce una aceleración constante. Éste fue un antecedente importante en el descubrimiento de la segunda ley de Newton. Este experimento también permitió el descubrimiento de que la aceleración no depende de la masa del objeto, pues dos pelotas de diferentes masas se aceleran de la misma manera en el plano inclinado. El primer capítulo continúa con esta historia y detalla la manera en que Newton llegó a formular sus tres leyes.

La física del cielo LAS

OBSERVACIONES: LOS MOVIMIENTOS DE PLANETAS Y ESTRELLAS

Aunque todos los cuerpos celestes parecen girar a nuestro alrededor, la distancia entre las estrellas no se altera; forman siempre las mismas figuras en el cielo: las llamadas constelaciones. Las estrellas debían ser, entonces, pequeños agujeros de una gran bóveda que gira a nuestro alrededor cada 24 horas. Los planetas (planeta es una palabra de origen griego que significa “vagabundo”) se mueven en relación con las estrellas, pues no siempre se encuentran en la misma constelación. Este movimiento no es apreciable a simple vista; pero si observamos la posición de un planeta varias noches seguidas, advertiremos su movimiento. Este desplazamiento de los planetas es muy peculiar: en general ocurre de este a oeste, pero de pronto adopta la dirección contraria para retomar, días más tarde, su dirección original. Este fenómeno se conoce como movimiento retrógrado de los planetas. En la concepción de entonces, sólo existían dos tipos de planetas: los interiores —Mercurio y Venus—, que no se alejan demasiado del Sol; es decir, sólo se pueden ver un poco antes del amanecer o un poco después del atardecer. Los exteriores —Marte, Júpiter y Saturno (que completaban la totalidad de los que se conocían entonces)— no comparten esta característica y pueden verse a cualquier hora de la noche.

LA

TEORÍA GEOCÉNTRICA Y SU SUSTENTO EN LA FÍSICA ARISTOTÉLICA

Como ya dijimos, fuera de la Tierra parecen cumplirse otras leyes. Así como en nuestro planeta el estado natural de un objeto es el reposo, en la esfera del éter el estado natural es el movimiento circular uniforme. Con base en lo anterior, la teoría geocéntrica de Claudio Ptolomeo explicaba las observaciones de forma cualitativa y cuantitativa; usando su sistema se podía predecir la posición de un planeta con una precisión de unos cuantos grados. Su teoría colocaba a la Tierra en el centro del Universo: el Sol y la Luna giraban alrededor de ella, el resto de los planetas lo hacían en un círculo llamado Epiciclo y éste, a su vez, rotaba alrededor de la Tierra en otro círculo perfecto denominado Deferente. Así pues, con lo anterior, se explica el movimiento

fecha # 4 fecha # 3

fecha # 2

fecha # 1

fecha # 5

Figura 10 Movimiento retrógrado de Marte sobre la constelación del León.

7

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Estática: las leyes del equilibrio

Esfera de las estrellas fijas

Júpiter

Venus Tierra

Sol Saturno

Marte Deferente

Epiciclo

Figura 11 El Universo según Claudio Ptolomeo.

retrógrado. En el caso de Mercurio y Venus, el centro de sus epiciclos se mueve de forma tal que siempre se hallan alineados con el Sol. Esto explica que nunca se alejen mucho de él. Las estrellas, por último, se encontraban en una esfera de cristal más allá de los planetas, atrás de la esfera en que debía estar Dios. Como se observa en la figura 11, éste es, a grandes rasgos, el sistema que desarrolló Ptolomeo. Sin embargo, dicho sistema debía explicar varios detalles que no se han mencionado hasta el momento, a saber: a) Los planetas no se mueven siempre a la misma velocidad angular. Puede ser, por ejemplo, que en un momento determinado el planeta X recorra un grado en 10 días y en otro sólo medio grado en el mismo lapso. b) El movimiento retrógrado de los planetas es más complejo de lo que se planteó en un inicio. La trayectoria que traza el mismo planeta en el cielo cambia con el tiempo (véase figura 12). Para explicar la diferencia de velocidad de los planetas, Ptolomeo supuso que la Tierra no se encontraba exactamente en el centro de las órbitas de los planetas, sino en un área llamada excéntrica; también imaginó otro punto fuera del centro llamado ecuante (véase figura 13). Los Sep, 601 a.C.

Dic, 597 a.C.

336o

69o Oct, 599 a.C.

Ene, 594 a.C.

29o 103o

Figura 12 Movimiento retrógrado de Marte en diferentes fechas. Ni la forma ni el tamaño ni la duración de estos rizos son iguales.

8

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La mecánica antes de Newton

Centro del epiciclo

45o

45o

45

o

45o

45o E 45o

45

T

T

E

o

45o

a) Movimiento uniforme respecto al ecuante

b) Movimiento no-uniforme respecto a la Tierra

Figura 13 Uso del ecuante para explicar la no-uniformidad de los movimientos planetarios.

planetas se movían con velocidad uniforme alrededor de este punto (identificado con la letra E en la figura mencionada). Esto provocaba que, desde el punto de vista de la Tierra, los movimientos no fueran uniformes. El ecuante y la excéntrica también explicaban que los movimientos retrógrados de los planetas no tenían siempre la misma forma [véase figura 13 b)], ya que ésta depende de la posición relativa del ecuante, el epiciclo sobre el que gira el planeta y la Tierra (véase figura 14). Como puede verse, el sistema de Ptolomeo, anteriormente descrito, era muy complicado. No aclaraba el porqué de la existencia del ecuante ni de los epiciclos. El movimiento circular uniforme no tenía que ser explicado, pues se suponía que era el movimiento natural de los astros en la esfera del éter. A pesar de lo complicado del sistema y de su falta de explicaciones, predecía con admirable precisión la posición de los planetas. Deferente



E

T

 Epiciclo



 Trayectoria retrógrada

Figura 14 El ecuante también explicaba por qué las trayectorias retrógradas no eran siempre iguales.

EL

SISTEMA HELIOCÉNTRICO DE

COPÉRNICO

A Copérnico le molestaban dos cosas del sistema de Ptolomeo: primero, que no respetaba la física aristotélica, pues los centros de los epiciclos no mantenían un movimiento circular uniforme respecto del centro de las órbitas, y, segundo, que el Sol, no la Tierra, ocupaba un lugar especial, ya que como brinda calor y vida, debía estar en el centro. Así pues, Copérnico se propuso crear un sistema que siguiera rigurosamente la física aristotélica (es decir, que respetara el 9

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Estática: las leyes del equilibrio

Planeta X

El tamaño de esos círculos ha sido exagerado. (No se trataba de epiciclos)

Sol

Figura 15 Sistema de Copérnico. Según Copérnico, los planetas se movían en círculos que se movían sobre otros círculos. En total contaba con cerca de 50 círculos.

movimiento circular uniforme respecto del centro) y que tuviera al Sol en el puesto que antes se daba a la Tierra. Al parecer, en un principio pensó en un sistema en el que todos los planetas describieran círculos alrededor del Sol; pero luego se dio cuenta de que tal sistema no podía explicar la posición de los planetas en el cielo. De forma similar a Ptolomeo, recurrió a más y más círculos (véase figura 15) para explicar estas posiciones. Incluso así, su sistema no predecía las posiciones de los planetas mejor que el sistema de Ptolomeo. Tampoco era más simple, pues el número de círculos que usaba era similar al del sistema mencionado. Si el debate entre las dos teorías se diera hoy en día, lo más probable es que la mayoría de los físicos se inclinara por la teoría de Ptolomeo. Es importante destacar que los círculos menores en el sistema copernicano no tienen como función explicar el movimiento retrógrado de los planetas (es decir, no son epiciclos). Son demasiado pequeños para cumplir esta función de guisa que, en una primera aproximación, podríamos olvidarnos de ellos y esto es lo que haremos en el resto de la exposición. Pero, entonces, ¿cómo explicaba Copérnico el movimiento retrógrado? Pensemos en Marte. Normalmente veremos que se mueve de este a oeste, pues ése es su movimiento verdadero. Sin embargo, cuando la Tierra —que se desplaza a una velocidad mayor— lo alcanza y rebasa, Marte parece moverse en sentido opuesto (véase figura 16). 7

3

6

4

6

5

4

7

3

1

2

5

2 1

Marte

Tierra

Figura 16 Movimiento retrógrado de los planetas exteriores de acuerdo con el modelo de Copérnico.

10

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La mecánica antes de Newton

Es importante enfatizar que tanto para Ptolomeo como para Copérnico no existía fuerza alguna que moviera a los planetas. El movimiento circular era natural en el cielo. Para ellos, si alguien pudiera soltar un objeto cualquiera en esas regiones, éste empezaría a dar vueltas automáticamente; tal como sucede con un objeto soltado en la Tierra, quedaría en reposo en cuanto alcanzase su lugar natural. El sistema copernicano tenía dos características muy importantes: permitía calcular el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta al Sol y conocer la distancia relativa de ese planeta respecto al astro rey. Como se verá después, gracias a esto, Kepler pudo formular su tercera ley y Newton pudo formular su ley de la gravitación universal. A continuación veremos cómo pudo lograrse esto.

CÁLCULO

DEL TIEMPO QUE TARDA UN PLANETA EN DAR LA VUELTA AL

SOL

En el sistema de Ptolomeo, el tiempo que requiere un planeta en girar alrededor del Sol (periodo sideral), se deducía de la observación: bastaba ver cuánto tiempo tardaba el planeta en regresar a la misma constelación. En el sistema de Copérnico, la situación no era tan directa, pues había que tomar en cuenta el movimiento de la Tierra. Lo que podía observarse directamente es lo que se conoce como periodo sinódico de un planeta, que es el tiempo que tardan el Sol, la Tierra y el planeta en cuestión en regresar a las mismas posiciones relativas (véase figura 17). Por ejemplo, es fácil observar cuándo el Sol, la Tierra y el planeta en estudio forman un ángulo de 180°, lo cual sucede en el momento en que el Sol se está poniendo por el oeste y el planeta sale por el este. Cuando esto sucede, se dice que el planeta está en oposición (en otras palabras, la oposición se da cuando el planeta está lo más cerca posible de la Tierra). El tiempo entre dos oposiciones es igual a un periodo sinódico y depende tanto de la duración del año del globo terráqueo como de la duración del año del planeta en cuestión. Si llamamos PA al tiempo que el planeta tarda en dar la vuelta al Sol (un año de ese planeta) y PT a un año terrestre, podemos decir que cada día la Tierra y el planeta se mueven un ángulo de 360 360 y respecto del Sol; es decir, respecto a la Tierra, cada día, el planeta se mueve un PT PA ángulo de: 360 360 360 

S PT PA

(3)

Donde S es el periodo sinódico del planeta. Si se conocen los periodos en años terrestres, entonces PT  1 y la ecuación anterior queda como: 1 1 1 S PA

(4) A A’ B B’

Figura 17 Estimación del año de un planeta a partir de su periodo sinódico.

11

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Estática: las leyes del equilibrio

De esta manera, Copérnico pudo determinar el periodo sideral (tiempo que tardan los planetas en dar una vuelta al Sol) a partir de los periodos sinódicos.

LAS

DISTANCIAS RELATIVAS EN EL SISTEMA DE

COPÉRNICO

Una virtud del modelo de Copérnico era que permitía obtener el tamaño del Sistema Solar en relación con la distancia Sol-Tierra, llamada unidad astronómica (UA). El proceso es distinto para los planetas interiores (aquellos que están más cerca del Sol que la Tierra) y para los exteriores. Para los primeros basta observar el alejamiento máximo del planeta respecto del Sol. Este ángulo se conoce como máxima elongación —en el caso de Venus, por ejemplo, es de 46°. En la figura 18 se muestra la posición relativa entre el Sol, la Tierra y Venus, cuando este último se encuentra en su máxima elongación. Como puede verse, los tres astros forman un triángulo rectángulo y la trigonometría básica nos dice entonces que: RSol–Venus  sen (46º) RSol–Tierra  0.72 UA

(5)

Venus Ángulo de elongación  46o Tierra

Figura 18 Cálculo de la distancia relativa de Venus al Sol usando el modelo de Copérnico.

Para los planetas exteriores, el procedimiento es un poco más complejo. Supongamos que en un momento determinado, Marte se encuentra a 180° del Sol (véase figura 19). Cuando este planeta complete su viaje alrededor del mismo (periodo sideral), ya no se encontrará a 180° de éste sino a un ángulo B que la observación demuestra es igual a 96.8°. Por otro lado, el Sol no se halla en la misma posición respecto a las estrellas que en la primera observación (es decir, se localiza en una constelación distinta). Notaremos que entre los dos hechos, el Sol se ha movido

G

B

A

1

UA

Figura 19 Cálculo de la distancia relativa de Marte al Sol usando el modelo de Copérnico.

12

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La mecánica antes de Newton

un ángulo B  42.4° respecto a la “esfera” de las estrellas. A partir de estos datos podemos completar el triángulo Sol-Tierra-Marte usando la ley de los senos (apéndice A): RSol Marte RSol Tierra  sen A sen G

(6)

Al reordenar la ecuación anterior, obtenemos la distancia entre Marte y el Sol, en función de la distancia Tierra-Sol: RSol Marte 

sen A  1.52 UA sen G

(7)

Así pues, el modelo de Copérnico permite calcular tanto la distancia de un planeta al Sol como el tiempo que tarda en darle una vuelta. Este hecho lo utilizará luego Kepler para su tercera ley. En la tabla 2 el lector hallará los resultados obtenidos por Copérnico. Tabla 2

Distancias al Sol y periodos de rotación alrededor del mismo, según el sistema de Copérnico.

Planetas

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

Júpiter

Saturno

Periodo (año)

0.24

0.62

1 año

1.9

12

29

Distancia (UA)

0.39

0.72

1 UA

1.5

5.2

9.5

PROBLEMAS

DEL SISTEMA COPERNICANO

Como ya hemos dicho, el sistema de Copérnico no explicaba las observaciones con mayor precisión que el elaborado por Ptolomeo. Además de que el primero contaba con el problema de la paralaje. Si observamos la separación de dos estrellas —ambas, desde luego, en la esfera de las estrellas fijas— y volvemos a observar esta separación tres y seis meses después, deberíamos notar que cambia (véase figura 20); pero Copérnico no daba cuenta de este hecho. Si Copérnico tuviera razón A x B ¡pero no sucede así! Copérnico alegaba que las estrellas se encontraban demasiado lejos para que este efecto se pudiera notar. El tiempo le daría la razón. A

B Esferas de las estrellas fijas B A

Figura 20 Paralaje esperada en el sistema de Copérnico. No se observaba.

13

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Estática: las leyes del equilibrio

EL

SISTEMA HELIOCÉNTRICO MODIFICADO POR

KEPLER

Las posiciones de los astros se conocían con una precisión de grados. No se había tenido la necesidad de obtenerlas con mayor exactitud. Sin embargo, a Tico Brahe le apasionaba la exactitud. Esta pasión surgió en él cuando tenía 17 años, cuando en una noche de agosto advirtió que Saturno y Júpiter estaban tan juntos en el cielo que era casi imposible distinguirlos. Tico descubrió, asimismo, que las tablas planetarias preparadas con base en el sistema ptolemeico predecían este acontecimiento con un error de un mes, mientras que las tablas copernicanas incurrían en un error de apenas varios días. De esta forma, Tico ideó métodos e instrumentos para observar las posiciones de los astros con mayor precisión. Cuando murió, Kepler —que fue su discípulo— intentó obtener la forma exacta de la órbita de Marte usando los datos de Tico. Kepler había adoptado, desde hacía tiempo, la teoría de Copérnico y trataba de ajustar la órbita con base en una combinación de movimientos circulares uniformes, como lo exigía la física de aquel entonces. Así, obtuvo un éxito notable. Ajustó la órbita de Marte con un error máximo de ocho minutos de arco respecto a las observaciones de Tico Brahe. Sin embargo, a Kepler le pareció que este error era muy grande, dada la rigurosidad con que Brahe había hecho sus observaciones. Así que después de probar muchas posibilidades, y al borde de la desesperación, se le ocurrió proponer una elipse para la órbita marciana. Así pues, Kepler pudo formular sus dos primeras leyes: Primera ley: los planetas describen elipses alrededor del Sol, el cual se encuentra en uno de los focos de la elipse. Como hemos visto, hasta ese momento se creía que el movimiento natural de los objetos celestes era el círculo. Sin embargo, Kepler sospechaba que una fuerza proveniente del Sol provocaba estos movimientos. Segunda ley: la velocidad de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol no es constante. Los planetas se aceleran conforme se acercan al Sol; así pues, si trazamos una línea del planeta al Sol, aquél siempre recorrerá áreas iguales en tiempos iguales (véase figura 21). Si el sistema de Copérnico se modificaba mediante estas dos leyes, sería posible predecir con una precisión mucho mayor que antes la posición de los planetas en el cielo (véase figura 22). Además, se eliminaba la necesidad de usar una multitud de epiciclos, ecuantes y excéntricas. Tiempo más tarde, Newton demostró que la existencia de una fuerza central, que emana del Sol, produce órbitas en forma de secciones cónicas; es decir, el movimiento de cualquier objeto alrededor del Sol debe ser una elipse, una parábola o una hipérbola.

V2

Área 2

Área 1

V1

Área 1  Área 2

Figura 21 Segunda ley de Kepler. En el mismo intervalo temporal una línea imaginaria que uniera al planeta con el Sol describiría la misma área en cualquier lugar de su órbita.

14

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La mecánica antes de Newton

15o Modelo de Copérnico

Error posicional

10o

5o



Modelo de Kepler

5o 1817

Fecha

1818

Figura 22 Errores relativos de los sistemas de Ptolomeo, Copérnico y Kepler.

TERCERA

LEY DE

KEPLER

Y LA LEY DE LA GRAVITACIÓN

Kepler descubrió su tercera ley varios años después que las primeras dos. Recordemos que, a diferencia del sistema de Ptolomeo, el modelo de Copérnico permitía calcular el tamaño relativo del Sistema Solar. Esto es, si se considera la distancia de la Tierra al Sol igual a uno (la unidad astronómica), entonces, mediante la observación de los movimientos planetarios, es posible conocer la distancia de los planetas al Sol. Al usar este modelo, Kepler encontró una relación entre el semieje mayor de la órbita de los planetas y el periodo que tardan en rodear al Sol. En términos matemáticos: r3 k p2

(8)

Donde: r: Distancia promedio del planeta al Sol. p: Periodo orbital. Tipos de corte

Resultado Círculo

Elipse

Parábola

Hipérbola

Figura 23 Secciones cónicas. Según se corte un cono, se puede obtener un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola. Newton demostró que las órbitas de cualquier objeto que girara alrededor del Sol tenían que ser una sección cónica.

15

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Estática: las leyes del equilibrio

Entre otras cuestiones, esta relación permitió a Newton percatarse de que la fuerza de atracción entre el Sol y los planetas disminuía en relación inversa al cuadrado de la distancia entre el planeta y el Sol. Podemos demostrar esto de una manera simplificada suponiendo órbitas circulares. En este caso la velocidad del planeta se podría calcular como: v

2Pr p

(9)

Christian Huygens ya había demostrado que cuando existe un movimiento circular uniforme, la aceleración del objeto se dirige hacia el centro del círculo y es igual a: a

v2 r

(10)

Al sustituir la ecuación 6 en la expresión anterior, encontramos que: a

4 P2 r P2

(11)

Finalmente, usamos la tercera ley de Kepler (véase ecuación 8) para eliminar el periodo: a

2 4 P2 r ¨ª4 P k ·¹  ¥ r3 ´ r2 ¦§ k µ¶

(12)

Obsérvese que esta aceleración centrípeta no depende de la masa del planeta, pues k es la misma para todos. Luego entonces, Newton aplicó su segunda ley —misma que ya había formulado como veremos en el próximo capítulo— y obtuvo:

4 P k m 2

FSol – planeta 

planeta

(13)

r2

Ésta es la fuerza que el Sol debe ejercer sobre el planeta. Por otro lado, si suponemos que la gravitación es una fuerza que mantiene la misma forma para cualquier objeto, la fuerza del planeta sobre el Sol también debe poder escribirse como:

4 P k a M 2

Fplaneta– Sol 

r

Sol

(14)

2

donde k´ no es necesariamente la misma constante que k. Sin embargo, de acuerdo con la ley de la acción y la reacción (que ya había descubierto y de la que se hablará en el próximo capítulo), la fuerza del Sol sobre el planeta debería ser igual a la fuerza del planeta sobre el Sol. Por tanto:

4 P k a M 2

r2

4 P k m  2

Sol

planeta

(15)

r2

que se reduce a: 4 P2 k a 4 P2 k  G m planeta M Sol

(16)

16

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La mecánica antes de Newton

Newton encontró que había una constante que no dependía del Sol ni de los planetas. Supuso, pues, que era una constante universal y la llamó G  4P2k/M MSol. P G MSol  4P2k al sustituir 4P2k en la ecuación 8 obtenemos: FSol – planeta  G

M Sol m planeta

(17)

r2

Que es la ley de la gravitación universal de Newton.

Una sola física: la unión de cielo y Tierra Después de deducir la ley de la gravitación, Newton se preguntó si esta fuerza que hacía que los planetas giraran en torno al Sol (y la Luna alrededor de la Tierra) era la misma que producía la caída de los objetos en nuestro planeta. Se dice que esta idea se le ocurrió al observar la caída de una manzana en una mañana clara, con la Luna bien visible sobre el horizonte… Entonces, pudo haber pensado algo como: Si la Luna también se siente atraída hacia la Tierra, como la manzana, ¿por qué no cae?, ¿por qué no toca el suelo? Newton sabía que un objeto puede tener dos movimientos independientes (principio de superposición, que se estudiará en el capítulo 1); por ejemplo, un objeto se puede desplazar en una dirección a velocidad constante y al mismo tiempo moverse de una manera acelerada en otra dirección (como en el tiro parabólico). Todo esto sin que lo que pase en una dirección parezca afectar lo que sucede en la otra. Newton recreó en su mente un experimento: imaginó que disparaba horizontalmente una bala de cañón desde lo alto de una gran montaña hacia un globo terráqueo sin aire (véase figura 24). La bala, por un lado, se movería con velocidad constante en dirección horizontal y, por otro, se aceleraría hacia el centro de la Tierra. El resultado de ambos movimientos sería que el proyectil terminaría por hacer contacto con el suelo en un punto dado. Si repetimos el experimento dando al proyectil una velocidad inicial mayor, éste recorrerá una distancia mayor antes de caer —describirá cierta curva—. Sea cual sea la velocidad inicial, la bala terminará por caer hacia el centro de la Tierra, puesto que la curvatura de la trayectoria que describa será igual a la curvatura de la Tierra; es decir, ¡la bala de cañón caerá siempre! Esto es, desde luego, lo que sucede a la Luna, los satélites artificiales y los astronautas. Quiero enfatizar que al afirmar esto, no estoy utilizando alguna metáfora. La Luna y los astronautas verdaderamente están cayendo hacia la Tierra y esto explica la aparente falta de

Figura 24 Trayectoria de una bala de cañón según Newton.

17

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Estática: las leyes del equilibrio

Cable

Elevador

Manzana g g

g

Figura 25 Un elevador en caída libre.

gravedad en las naves espaciales. Lo que sucede con los cosmonautas es lo mismo que nos ocurriría si al estar en un elevador alguien cortara el cable, ya que en los breves momentos que tardaría el ascensor en llegar al piso sentiríamos que no tenemos peso. No sólo nosotros sino también el piso del elevador y todo lo que estuviera dentro de él (una manzana, por ejemplo) nos aceleraríamos hacia abajo con la misma intensidad (véase figura 25). Esto es lo que sucede en una nave espacial, con la única diferencia de que el “ascensor” (la nave) nunca termina de caer. En resumen, la misma fuerza que causa que la manzana caiga a la Tierra, también da lugar a que la Luna gire a nuestro alrededor. A manera de analogía podemos pensar en un resorte que une al objeto A con el objeto B. Este resorte puede usarse para acercar los dos objetos o para hacer que B gire alrededor de A (véase figura 26). ¿Es posible probar esto? La aceleración de la manzana hacia el centro de la Tierra es igual a g  9.8 m/s2. La aceleración centrípeta de la Luna alrededor de la Tierra es 3 600 veces menor. Esto se sabe por el tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta a la Tierra. ¿Corresponde este valor a la aceleración que debía tener nuestro satélite en caso de cumplir con la ley de la gravitación universal? Efectuemos el cálculo aplicando esta ley más la segunda ley del movimiento: amanzana aLuna



F F

Tierra – manzana Tierra – manzana

mmanzana mLuna





(18)

Como: FTierra – manzana  G

mTierrammanzana 2 Tierra – manzana

R

y FTierra – Luna  G

mTierramLuna 2 RTierra – Luna

(19)

VB

B

A

A

B VB

Figura 26 Dos modos de usar un resorte: 1) para acercar dos objetos o 2) para hacer que uno gire alrededor del otro.

18

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La mecánica antes de Newton

entonces: amanzana aLuna

¥ R ´  ¦ Tierra – Luna µ § RTierra – manzana ¶

2

(20)

Como se sabía, gracias a observaciones trigonométricas, que la distancia media de la Tierra a la Luna es igual a 60 veces el radio terrestre, se obtendría: amanzana aLuna

2

¥ 60 RTierra – manzana ´ ¦ µ  3 600 § RTierra – manzana ¶

(21)

¡Lo que concuerda a la perfección con la observación, como ya se ha señalado! Éste fue un triunfo gigantesco de la mecánica newtoniana. Demostraba con brillantez que las leyes que se aplicaban a los astros eran válidas también para los objetos terrestres; con lo anterior, se acababa con la separación de la física en dos. En el capítulo tres se detallará esta cuestión. RESUMEN Antes de Galileo se pensaba que existían dos tipos de física: una se aplicaba a cuestiones del cielo y la otra a lo referente a la Tierra. En nuestro planeta, lo natural parecía ser el reposo: se sabía que los objetos se movían sólo si los obligábamos o los cambiábamos de su lugar natural. En el cielo, en cambio, lo natural era el movimiento circular uniforme. Todos los astros se movían de esa manera. El sistema de Ptolomeo explicaba el extraño movimiento de los planetas usando una compleja combinación de movimientos circulares. A Copérnico le pareció que esta combinación era demasiado complicada y propuso un sistema alterno, en el que se pensaba que el Sol y no la Tierra —como suponía Ptolomeo— era el centro del Universo y estaba inmóvil en su puesto. Sin embargo, la teoría de Copérnico no era más precisa que la de Ptolomeo. Kepler modificó la teoría heliocéntrica de Copérnico al suponer que las órbitas de los planetas no eran circulares

sino elípticas y que éstos no se movían a velocidad uniforme alrededor del Sol sino que esta velocidad dependía de la cercanía que tuvieran respecto del mismo. La hipótesis de Kepler predecía la posición de los planetas con una exactitud mucho mayor. Además, Kepler observó (en su tercera ley del movimiento planetario) una relación entre la distancia promedio de los planetas al Sol y el tiempo que éstos tardaban en darle una vuelta. Al aplicar la tercera ley de Kepler, Newton encontró su ley de la gravitación universal. Ésta da cuenta de las tres leyes del movimiento planetario de Kepler y explica, también, la caída de los objetos en la Tierra. Esto se refiere a la física celeste. Respecto a la física en la Tierra, Galileo demostró experimentalmente que el estado natural de los objetos no era el reposo, sino el movimiento rectilíneo uniforme. Para finalizar, gracias a Galileo y a Newton se pudo explicar con una sola teoría tanto lo que pasaba en la Tierra como en el cielo.

PROBLEMAS 1. 2. 3. 4.

¿El reposo es el estado natural de los objetos en la superficie de la Tierra? Si no es así, explique la afirmación de Aristóteles en el sentido de que si un objeto se encuentra en movimiento tarde o temprano éste llegará al reposo. ¿Los objetos necesitan una causa para moverse? Si es así, ¿por qué en el cielo los planetas, la Luna y el Sol aparentemente se encuentran siempre en movimiento? ¿Qué los mueve? Diseñe un experimento para demostrar que un proyectil describe una trayectoria parabólica (o bien, para demostrar que no la describe). Para demostrar que los objetos pesados caen a mayor velocidad que los ligeros, es posible que Aristóteles hubiera propuesto un experimento en el cual se soltasen en el agua dos objetos de la misma forma. ¿Cuál sería el resultado en caso de ejecutarse el experimento? ¿Qué hay de erróneo en ello? 19

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Estática: las leyes del equilibrio

5. 6.

7.

8.

9.

10.

11.

Aristóteles podría haber argumentado que cuando se realiza ese experimento en el aire, los objetos caen demasiado rápido para poder observar lo que realmente sucede. ¿Cómo se explican los resultados del experimento anterior de acuerdo con la mecánica newtoniana? Aristóteles pensaba que la naturaleza aborrece al vacío; de hecho, se puede construir una bomba de pistones para subir agua utilizando este principio. ¿Puede pensar en algún hecho o experimento que contradiga la hipótesis de Aristóteles? Si en el experimento ilustrado el agua no sube porque la naturaleza aborrece el vacío, entonces, ¿por qué sube? Una parte de los problemas de la física aristotélica proviene de la falta de una buena definición de algunos conceptos. De hecho, palabras como fuerza, trabajo o energía se siguen usando en contextos muy disímiles. Se habla, por ejemplo, de la “fuerza” del pensamiento. Defina con claridad estos conceptos, tal como se usan en física. ¿Se puede decir, por ejemplo, que una pelota en movimiento tiene, todavía, cierta fuerza guardada? ¿Cabe señalar que la misma pelota posee energía? Explique sus respuestas. Como puede observar, esta introducción permite construir más de una teoría que explique, en términos cuantitativos, los hechos observados. En caso de que tuviera dos teorías que realizaran predicciones igualmente exitosas, ¿cuál escogería y por qué? ¿Ha escuchado hablar del principio de la navaja de Occam? ¿En qué consiste? ¿Qué razones existían en el siglo XVI para dudar de la teoría de Claudio Ptolomeo? Ésta predecía con mucha precisión (unos pocos grados) la posición de los planetas en el cielo. ¿La teoría de Copérnico era más precisa? ¿Cómo explica el movimiento retrógrado de los planetas la teoría de Copérnico? Hay que tomar en cuenta que el mismo planeta puede describir distintos tipos de movimiento retrógrado. ¿Cómo explicarían esto Copérnico y Kepler? Cuando Galileo realizó sus primeras observaciones telescópicas, uno de los fenómenos que presenció fue el de las fases de Venus, que eran diferentes de las lunares. El tamaño aparente del planeta cambiaba según la fase. Cuando Venus estaba lleno parecía muy pequeño y el Venus nuevo (o casi nuevo) parecía enorme en comparación, tal como se muestra en la figura siguiente. ¿Se puede explicar este fenómeno con la teoría de Ptolomeo? ¿Puede explicarse con la teoría heliocéntrica?

Venus lleno

Venus nuevo (invisible)

Figura 27

12.

Una demostración directa de que la Tierra rota (cuando menos en relación con las estrellas) es el péndulo de Foucault. Explique en qué consiste.

20

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CAPÍTULO

¿PARA QUÉ SIRVE LA ESTÁTICA?

1

La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento de un objeto cuando sobre éste actúan determinadas fuerzas. Se divide en dos: dinámica y estática. La dinámica estudia los objetos que no se mueven a una velocidad constante, mientras que la estática estudia las fuerzas necesarias para mantener a un objeto sin acelerarse, es decir, en equilibrio. ¿Por qué es necesario que un ingeniero conozca qué es la estática y para qué sirve? Por ejemplo, sin nuestro esqueleto seríamos como una masa de gelatina desparramada sobre el piso. Los huesos nos permiten permanecer de pie, saltar, caminar y hacer ejercicio, entre otras cosas; es decir, el esqueleto está hecho para resistir fuerzas que actúan sobre nosotros y que siempre están presentes. Pero no sólo los seres vivos tenemos huesos sino, de hecho y en cierta forma, todos los objetos; por ejemplo, aviones, puentes, coches, edificios y cualquier tipo de máquina. Así, cuando un ingeniero diseña uno de estos objetos, debe asegurarse de que las fuerzas a las que estarán sujetos los “miembros de la estructura” (huesos), no serán tan grandes como para romperlos o deformarlos más allá de cierto punto. Supongamos que queremos construir un carro de cartón. Pronto nos daremos cuenta de la imposibilidad de hacerlo. Además de cargar el motor y los pasajeros, el vehículo tendría que soportar los golpes del terreno, el viento y los posibles choques con otros autos. El carro no podría mantener su propia forma por mucho tiempo.

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Estática: las leyes del equilibrio

Necesitamos, por tanto, diseñar unos “huesos” para este auto. Éstos no deben ser demasiado pesados, pues harían que el vehículo fuera excesivamente lento e ineficiente. Por otro lado, tampoco pueden ser muy ligeros. ¿Cómo escoger el tamaño adecuado? El primer paso consiste en calcular las fuerzas a las que estará sujeto nuestro miembro. Eso es lo que aprenderá a hacer con este libro: básicamente a calcular fuerzas como un primer paso en el diseño de estructuras y maquinaria. El siguiente paso, que ya no daremos en este texto, consiste en tomar en cuenta las propiedades de los materiales utilizados.

Objetivos a) Comprender la importancia de las estructuras, tanto en los seres vivos como en los objetos creados por el hombre. b) Entender por qué es necesario calcular las fuerzas que actúan sobre los diferentes puntos de una estructura. c) Analizar las diferentes formas en que puede aplicarse una fuerza y los efectos que produce. dd) Comprender la diferencia entre los conceptos de esfuerzo y fuerza. ee) Explicar por qué es importante el concepto de esfuerzo.

1.1

Efectos de una fuerza Una fuerza puede producir dos tipos de efectos: acelera un objeto, lo deforma o ambas cosas simultáneamente. La aceleración que produce una fuerza actuando por sí sola se encuentra descrita en la segunda ley de Newton.

La segunda ley de Newton y las unidades de Fuerza Esta ley asegura que si F es la única fuerza que actúa sobre una masa, m, entonces la relación entre F y la aceleración, a, producida será: F  ma

(1.1)

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es el newton (N), el cual se define como la fuerza necesaria para que una masa de un kilogramo cambie su velocidad a una razón de un metro cada segundo, es decir: 1 N  1 kg (1m/s2)

(1.2)

En este libro usaremos el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el apéndice A encontrará los factores de conversión para transformar una cantidad del Sistema Internacional al Sistema Inglés. Como cualquier otra unidad, en ocasiones el newton se hace acompañar de prefijos cuyo significado se muestra en la tabla 1.1. El peso es una fuerza, pues si soltamos un objeto cualquiera en el aire, éste se acelerará con una magnitud llamada g, misma que al nivel del mar es igual a g  9.81 m/s2. La segunda ley de Newton indica, en este caso, que el peso, W W, es igual a: W  mg

(1.3)

Para su mayor comprensión, en el capítulo 3 hablaremos con más detalle de la segunda ley de Newton.

La deformación y la ley de Hooke Robert Hooke (1635-1702) fue el primero en estudiar la deformación producida por una fuerza. Observó que un resorte cambia su longitud conforme se incrementa el peso que sostiene y que esta relación es lineal si el resorte no se estira demasiado (véase figura 1.1). 22

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¿Para qué sirve la estática?

Tabla 1.1

Prefijos del Sistema Internacional. Factor de multiplicación

Prefijo

1 000 000 000 000 000 000 = 10 1 000 000 000 000 000 = 1015 1 000 000 000 000 = 1012 1 000 000 000 = 109 1 000 000 = 106 1 000 = 103 1 00 = 102 10 = 101 0.1 = 101 0.01 = 102 0.001 = 103 0.000 001 = 106 0.000 000 001 = 109 0.000 000 000 001 = 1012 0.000 000 000 000 001 = 1015 0.000 000 000 000 000 001 = 1018

exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto Atto

18

Símbolo E P T G M K H Da D C M M N P F A

En la ecuación: F  kx

(1.4)

Donde: x:: Deformación del resorte [[m m]. m]. k:: Constante diferente para cada resorte [[N N/m]. N/ m F: Fuerza del resorte sobre la masa m [N F [N]. N]. El signo negativo indica que la fuerza F está en dirección contraria al desplazamiento x. La ley de Hooke se cumple hasta un punto determinado llamado “límite elástico”; si se rebasa este límite, el resorte se deformará permanentemente. De cierto modo, todos los materiales se comportan como un resorte: se deforman cuando se les aplica una fuerza cualquiera y si ésta no es muy grande regresan a su forma original una vez que se quita la fuerza. Esto implica que siempre que dos objetos entran en contacto se deforman, como el piso sobre el que estamos parados o cualquiera de las cosas que tocamos. Fuerza supone deformación. Si ésta actúa por sí sola también denota aceleración, como veremos después con más detalle.

L0 L1 x1

x2

m1 F1

m2

F2

Figura 1.1 Ley de Hooke.

23

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Estática: las leyes del equilibrio

PARA EL LABORATORIO: CONSTRUCCIÓN DE UN DINAMÓMETRO

Un dinamómetro es un aparato para medir fuerzas. Su funcionamiento se basa en la ley de Hooke. Todo lo que tenemos que hacer es tomar un resorte y medir su longitud inicial (véase figura 1.1). Llamemos L0 a esta longitud. A continuación, coloquemos un peso conocido, digamos F1, sobre el resorte y anotemos la nueva longitud, L1, del mismo. Una vez hecho esto, podremos calcular la constante, k, del resorte como se muestra abajo. k

F1 F1  x1 L1 L0





Gracias a ello calibraremos nuestro dinamómetro de forma que a cierta longitud del resorte le asignaremos una fuerza determinada por aplicación directa de la ley de Hooke.

1.2

Distintas formas de aplicación de una fuerza La misma fuerza puede producir efectos muy diferentes según se aplique. Podemos tener fuerzas axiales de tensión o de compresión, fuerzas de flexión y de torsión. En la figura 1.2 se muestra un brazo sujeto a todas estas fuerzas. En los siguientes puntos se trata cada una con más detalle y se explican, a grandes rasgos, los efectos que tienen al ser aplicadas a un objeto determinado.

Fuerzas axiales colineales Las viejas tiendas de campaña eran hechas con pieles de animales; las modernas, de plástico. Para tenerlas en pie, el plástico debe permanecer estirado, pero es tan delgado que no puede mantenerse en esa posición. La manera más fácil de lograrlo es mediante un palo central o “polo”. Sin embargo, este palo tampoco puede permanecer de pie por sí solo, a menos que lo clavemos a gran profundidad en la tierra. Así que tendremos que usar tres o cuatro cuerdas para amarrar la punta del palo y mantener las cuerdas pegadas al piso con alguna estaca (véase figura 1.3). Al armar la tienda de campaña, la longitud del palo central disminuirá ligeramente y la de las cuerdas aumentará. Se dice que el palo se encuentra en compresión (columna) y las cuerdas en tensión. En esta situación los cinco elementos de la estructura (el palo y las cuatro cuerdas)

Tensión del brazo Compresión del brazo

Flexión del brazo

Torsión del brazo

Figura 1.2 Distintas formas de aplicación de una fuerza.

24

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¿Para qué sirve la estática?

Polo: en compresión (columna)

Cuerda: en tensión

Figura 1.3 Estructura de una tienda de campaña simple.

se encuentran bajo la acción de fuerzas axiales; es decir, las fuerzas que actúan sobre ellos son paralelas al eje longitudinal de los miembros. Como veremos dentro de poco, esto es lo más deseable. ¿Qué sucede en el interior de las cuerdas (o de cualquier objeto sujeto a tensión)? En primer lugar, la cuerda se vuelve más delgada. Si pudiéramos observar los átomos que la componen, veríamos que la distancia entre ellos aumenta. Entre más se estire la cuerda, mayor será también la fuerza de tensión, pues, en última instancia, se trata de fuerzas elásticas. Estas fuerzas elásticas mantienen a los átomos unidos y se pueden representar mediante resortes; esto es, si dos átomos se alejan demasiado se atraerán y si se acercan más de la cuenta se repelerán. En cualquiera de los dos casos, entre más se alejen los átomos de sus posiciones de equilibrio más intensas serán las fuerzas entre ellos en el interior de los materiales. Por otro lado, el polo de la tienda de campaña puede fallar de dos formas: por compresión o por pandeo. Si la columna es relativamente gruesa y soporta un peso excesivo, fallará por compresión: los átomos en el interior de la columna tenderán a acercarse más de lo normal. Puesto que las fuerzas intraatómicas son muy grandes, la mayoría de los materiales son muy resistentes a la compresión. Como se sugiere en la figura 1.5, cuando una columna se rompe de esta forma, primero se ensancha en su parte media.

Elemento sin estirar

Elemento bajo tensión

Figura 1.4 La tensión y su efecto microscópico.

25

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Estática: las leyes del equilibrio

Elemento sin comprimir Elemento comprimido

Columna en compresión

Figura 1.5 La compresión y su efecto microscópico.

Tanto las fuerzas de tensión como las de compresión deben mantenerse dentro de ciertos límites. Sin embargo, no es la fuerza en sí lo que determina si falla o no una estructura, sino el llamado esfuerzo. Pensemos en un pequeño experimento. Tomemos dos cuerdas del mismo material, de diámetros diferentes, y colguemos de ellas pesos cada vez mayores hasta conseguir que se rompan. Notaremos que las fuerzas necesarias para conseguir esto son distintas. Sin emF bargo, si definimos el esfuerzo axial como S  axial , veremos que ambas cuerdas se rompen Atransversal cuando alcanzan el mismo valor de S. Por tanto, para cierto material, es el esfuerzo y no la fuerza, lo que determina si un miembro se va a romper o no. El material y sus propiedades son los que, aunados a la sección transversal y a la fuerza aplicada, determinan si falla o no un elemento por fractura. Lo mismo sucede si hablamos de compresión. Por ejemplo: un hueso humano se rompe por N N tensión cuando el esfuerzo correspondiente está en un rango de 703 2  S tensión  1 406 2 . cm cm Los valores varían dependiendo del hueso y de la persona. Para el caso de la compresión: N N 1 406 2  S compresión  2 109 2 . En la tabla 1.2 se muestran los esfuerzos de ruptura aproxicm cm mados para algunos materiales sometidos a tensión. F2 A1

F1

Techo A2

Cuerda 1

Cuerda 2 S2 

Masa

F2 A2

Masa

F1 F2

Figura 1.6 Rompiendo dos cuerdas por tensión (al momento de romperse S1 S2).

26

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¿Para qué sirve la estática?

Tabla 1.2

Esfuerzos de ruptura de algunos materiales.

S de ruptura en MPa/m2

Material Músculo humano

0.1

Tendón humano fresco

82

Cemento y concreto

4.1

Madera en dirección al grano

103

Madera perpendicular al grano

3.5

Vidrio ordinario

35-175

Fibra de algodón

350

Acero de alta tensión

1 550

Aluminio

70

Note que los tendones resisten mucho más que los músculos. Por esa razón, es que éstos pueden ser mucho más delgados que los primeros. Por otro lado, los tendones no pueden comprimirse como los músculos, así que su función se reduce a cuerdas que conectan los músculos con los huesos para poder moverlos.

EJEMPLO ¿SE

ROMPERÁ EL HUESO?

Una persona levanta un peso de 30 kN. Supongamos que los huesos de su brazo tienen un área transversal de 3.6 cm2. ¿Qué esfuerzo tendrán que soportar los huesos?

SOLUCIÓN Digamos que el peso se distribuye de forma equitativa entre los dos brazos; entonces, la fuerza de compresión que tendría que soportar cada uno sería igual a:

S compresión 

Fcompresión Área transversal



107 N 15 0000 N  4 . 15 s  4.15 MPa 3.6 s 10 4 m 2 m2

Este esfuerzo de compresión es insuficiente para romper el hueso, aunque puede pandearlo (véase la siguiente sección).

A  30 cm2

Figura 1.7 Comentario. Cabe decir que el problema resuelto arriba está sobresimplificado. En primer lu-

gar, el hueso no tiene un área transversal constante ni está hecho de un material único; además, nos olvidamos de los músculos, de forma que el hueso no actúa como una columna simple. 27

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ión

Estática: las leyes del equilibrio

EJEMPLO LAS

TORRES DE ENERGÍA

Una de las propuestas para generar electricidad a partir de energía solar, consiste en la construcción de una torre de 1 200 m de altura y aproximadamente 400 m de diámetro. El principio de funcionamiento es, básicamente, que el aire caliente tiende a subir. Si en un desierto sobrecalentamos el suelo con ayuda de algunos plásticos, al aire no le quedaría más remedio que fluir por el centro de la torre propuesta. Además, si se colocan algunas turbinas en el camino obtendremos electricidad. Si las torres fueran de concreto, ¿no fallarían por compresión? (el esfuerzo de ruptura del concreto por compresión es de, aproximadamente Sruptura  40 MN/m2 y su densidad es de Rcon  2 000 kg/m3).

SOLUCIÓN En este caso, la fuerza de compresión que tendrá que soportar la base de la torre es igual al peso de la misma. Este peso, a su vez, es igual a la densidad del concreto multiplicado por el volumen ocupado por el mismo; es decir: Fcompresión  Rcon g Volumen  Rcon g Atransversal H Por otro lado, el esfuerzo por compresión será: S compresión 



Fcompresión Atransversal



Fcompresión Atransversal

Rcon g Atransversal H ¥ kg ´  Rcon g H  ¦ 2 000 3 µ Atransversal § m ¶



Rcon g Atransversal H ¥ kg ´  Rcon g H  ¦ 2 000 3 µ Atransversal § m ¶

¥ m´ 6 N ¦§ 9.8 s 2 µ¶ 1 200 m  23.5 s 10 m 2





¥ m´ 6 N ¦§ 9.8 s 2 µ¶ 1 200 m  23.5 s 10 m 2





Como este esfuerzo es mucho menor que Sruptura  40 MN/m2, concluimos que no hay peligro alguno de que la torre falle por compresión, debido a su propio peso. Comentario. Este ejemplo ilustra cómo fue posible que se pudieran construir grandes catedra-

les en la Edad Media sin un conocimiento científico de los materiales. Mientras las estructuras construidas solamente se encuentren en compresión, no hay peligro de que se destruyan por los esfuerzos internos. Sin embargo, hay que tomar en cuenta el fenómeno del pandeo, del que se hablará más adelante.

D  400 m exterior

H = 1 200 m Plástico transparente Aire caliente Suelo del desierto

Figura 1.8

28

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¿Para qué sirve la estática?

LA

ESTÁTICA EN EL MUNDO:

¡CUIDADO

CON LAS MAQUETAS!

Supongamos que hemos construido una pequeña maqueta de un edificio. Si no tuvimos problemas para hacerla, podríamos sentirnos tentados a pensar que podemos construir el edificio real de dimensiones mayores, siempre que mantengamos las proporciones que en el de juguete. Por desgracia, lo anterior es falso debido al llamado efecto de escala, advertido por primera vez por Galileo: si cambian las dimensiones lineales de un objeto en una cantidad x y queremos mantener las proporciones de este objeto, la superficie del mismo deberá modificarse como x2 y su volumen (y por lo tanto su peso) como x3. Esta observación tan simple tiene grandes consecuencias tanto para la naturaleza como para la ingeniería. ¿Por qué? Veamos lo que sucedería a cada una de las columnas si aumentáramos su diámetro y su altura 20 veces. Primeramente: el área transversal de la columna se incrementaría 400 veces (202) y su peso, que es proporcional a su volumen, crecería 8 000 veces (203). Por lo tanto, el esfuerzo de compresión de la columna podría calcularse como: S nueva 

Peso nueva columna 8 0000 Peso anterior Peso anterior   20  20 S juguete Área nueva columna 400 Área anterior Área anterior

Como puede verse, el esfuerzo de compresión que resentirían las columnas del edificio real es muy diferente al esfuerzo de compresión que recaería en el edificio de la maqueta. El esfuerzo que sufrirán estas columnas no permanecerá igual, sino que crecerá veinte veces y, por lo tanto, el esfuerzo máximo permisible podría ser rebasado.

S1 x S2

Figura 1.9 Como una consecuencia del efecto escalar, los esfuerzos producidos en las columnas de ambos edificios no son iguales aunque las construcciones tengan la misma forma.

El efecto de escala tiene grandes consecuencias para la ciencia, la ingeniería y la naturaleza; por ejemplo, las moscas gigantes que se muestran en algunas películas no podrían existir (afortunadamente). Si estos insectos fueran 100 veces más grandes de su tamaño normal, sus patas tendrían que ser desproporcionadamente más gruesas para poder resistir su peso. Por la misma razón, Galileo razonó que el árbol más grande que puede existir no puede rebasar los 100 metros, como sucede en la realidad.

FUERZAS

AXIALES NO COLINEALES

Para una mejor comprensión de este tema, visualicemos a una persona que se apoya sobre un bastón muy delgado. En este caso, el bastón funciona como una columna y, como ya dijimos, es muy difícil que falle por compresión. Sin embargo, si las dos fuerzas que producen 29

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Estática: las leyes del equilibrio

Un cable

Alambres

Un hilo

Núcleo de nylon

Hilos

Puente colgante

Figura 1.10 Estructura del cable de acero de un puente colgante.

la compresión (F FA, producida por la mano de la persona, y FB, ejercida por el suelo) no están perfectamente alineadas, el bastón puede fallar por pandeo; es decir, se deformará tal como se muestra en la figura 1.11. Si esta deformación sobrepasa cierto punto, la columna se hallará en equilibrio inestable y colapsará. Este tipo de pandeo se llama pandeo de Euler o pandeo de onda larga. Así pues, entre más esbelta es una columna, es más fácil que falle por esa causa. FA

Pandeo de Euler

Pandeo local

FB

Figura 1.11 Tipos de pandeo.

¿Cómo podemos evitar esta falla? Aumentando el área transversal de las columnas o moviendo material hacia fuera de los ejes de la mismas (es decir, incrementando el momento de inercia del área transversal, lo cual se estudiará más adelante). Sin embargo, esto no siempre es posible. Analicemos el caso de una bicicleta. El centro de cada una de las ruedas de la bicicleta está unido a la orilla de éstas por medio de unas varillas metálicas llamadas rayos (véase figura 1.12). Cuando alguien se sube a la bicicleta, algunos rayos tienden a comprimirse mientras que otros se tensan. Como los rayos son muy delgados es muy fácil que se pandeen cuando entran en compresión. La solución consiste en pre-tensarlos, de forma que aun cuando nadie se monte en la bicicleta, los rayos ya se encuentren en tensión; de esta forma, nunca se comprimen demasiado. Originalmente, los rayos no cuentan con la longitud necesaria para unir la orilla de la rueda con su centro; por lo que deben estirarse para que puedan cumplir su misión. Al ser 30

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¿Para qué sirve la estática?

Rayo estirado

Rayos en tensión

R

R  $R

Rayo: longitud original

Rayos en compresión

Figura 1.12 Forma de evitar el pandeo de Euler de los rayos de una bicicleta.

estirados se encontrarán en tensión y esto les ayudará a evitar el pandeo cuando alguien se suba a la bicicleta y las ruedas comiencen a girar. Existe otro tipo de pandeo llamado pandeo de Frazier o pandeo local. Se produce cuando se usa una lámina delgada y ésta se somete a fuerzas de compresión. Por ejemplo, una lata de refresco que esté soportando un peso es difícil que sufra un pandeo de Euler, puesto que su diámetro es considerable. Sin embargo, si es posible que ésta pueda arrugarse localmente (pandeo de Frazier). Para impedir este tipo de falla pueden usarse costillas o cuerdas, como se muestra en la figura 1.13.

FUERZAS

PERPENDICULARES

Como vimos en el ejemplo de la tienda de campaña del caso anterior sólo intervienen fuerzas dirigidas a lo largo de los ejes de los miembros en cuestión (fuerzas axiales). Sin embargo, en la mayoría de los casos debemos incluir también las vigas. Una viga es un miembro que resiste fuerzas perpendiculares a la longitud del elemento. Al hacerlo la longitud de una parte de ella se reduce (se comprime), mientras que la otra aumenta (se tensa), tal como se muestra en la figura 1.14). Aunque siempre que sea posible hay que evitar las vigas, pues los esfuerzos internos que se producen en éstas son, en general, considerablemente mayores que los que se dan en cuerdas y Costillas (ejemplo: bambú) Cuerdas

Cubierta de un barco

Figura 1.13

Formas de evitar el pandeo local.

31

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Estática: las leyes del equilibrio

(L  $L) Compresión

L Viga sin cargar L  $L

)

n (Tensió Viga cargada

Figura 1.14 Deformación de una viga.

columnas. Para ejemplificar lo anterior pensemos en un experimento simple: cargue una cubeta de agua usando su brazo como si fuera una cuerda. Acto seguido haga lo mismo usando el brazo como viga (véase figura 1.15). Esto último le resultará bastante más difícil. W

Viga

Cuerpo en compresión

Brazo en tensión

W

W

Figura 1.15 Tres formas diferentes de soportar un peso.

El esqueleto de un edificio convencional está formado por columnas y vigas. Los techos, por lo regular, están hechos de vigas aunque no siempre tiene que ser así. También se pueden construir techos que se encuentren en tensión, compresión o ambos, sin que sus elementos tengan que soportar fuerzas perpendiculares (véase figura 1.16). Además de los esfuerzos axiales las vigas también sufren los llamados esfuerzos cortantes. Para entender este tipo de esfuerzo pensemos en una rama con la que se pueda cargar,

Cables en tensión

Viga

Arcos parabólicos en compresión (concreto reforzado)

Figura 1.16 Dos tipos de techos.

32

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¿Para qué sirve la estática?

Viga cargada Viga no-cargada

L  $L

L

L  $L

Figura 1.17 Deslizamiento relativo entre dos láminas que forman una viga.

de nueva cuenta, una cubeta. Como ya vimos, la parte superior de la viga reduce su longitud, mientras que lo contrario sucede con la parte inferior de la misma. Si imaginamos que nuestra viga se divide en pequeñas láminas cuya longitud original era L, entonces es evidente que éstas tuvieron que deslizarse unas sobre otras al cambiar de longitud (véase figura 1.17). El hecho de que las láminas se deslicen una sobre otra, significa que éstas se frotan. En otras palabras, entre ellas se producen fuerzas tangenciales. El esfuerzo cortante, T, entre dos de estas láminas se define como la razón entre las fuerzas tangenciales (o cortantes) y el área sobre la cual se aplican. En el experimento que se muestra en la figura 1.18, se muestra la forma en que se aplican fuerzas tangenciales variables sobre la superficie A fija. Si no hay movimiento entre los dos bloques, el esfuerzo cortante sobre el área A se puede calcular como la razón entre la fuerza (el peso W en este caso) y A. Entre mayor sea este esfuerzo cortante es más probable que se deformen los bloques que reciben estos esfuerzos. De igual modo que en el experimento, los huesos humanos también pueden ser sometidos a fuerzas constantes. En este caso, el esfuerzo máximo que resiste es de: 703

N N  T  1406 2 2 cm cm

(1.5)

Se puede decir que así como el esfuerzo axial es una medida de la concentración de una fuerza normal sobre una superficie, el esfuerzo cortante es una medida de la concentración de la fuerza de fricción sobre una superficie. Una situación típica en que aparece el esfuerzo cortante se suscita cuando unimos dos placas por medio de un remache. Si entonces aparece

T

W A

A

W

Figura 1.18 Experimento para producir un esfuerzo cortante T sobre una superficie A.

33

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Estática: las leyes del equilibrio

F

F Remache

F

F

Figura 1.19 Esfuerzo cortante sobre el remache.

una fuerza F que trata de apartar las placas, tendremos un esfuerzo cortante sobre el remache (véase figura 1.19). Además de los edificios en la vida cotidiana existen muchos otros ejemplos de estructuras en donde se usan vigas. En algunos autos la estructura recibe el nombre de bastidor, el cual, por lo general, se atornilla a la carrocería (véase figura 1.20). Una serie de tacos de caucho están colocados entre el bastidor y la carrocería para reducir el ruido y las vibraciones. El bastidor realiza varias funciones, como soportar el peso del motor, de la caja de velocidades, del tanque de combustible y hasta de los ocupantes. Además de resistir, el bastidor no puede deformarse demasiado pues tocaría el suelo. Los automóviles de modelos recientes poseen lo que se denomina estructura de monocasco (véase figura 1.21). En este caso, todo el carro forma parte de la estructura (en la práctica, el bastidor se suelda a la carrocería en determinados puntos). De esta forma, los esfuerzos se reparten mejor. El cascarón del huevo, también, suele citarse como ejemplo de este tipo de estructura, ya que cuando se quiere romper un huevo, la fuerza que se aplica sobre él se dispersa por toda la superficie del cascarón, dificultando la tarea. Las vigas también son necesarias en la construcción de un avión (véase figura 1.22). En la estructura de una aeronave, los largueros trabajan como vigas, pues tienen que soportar, principalmente, fuerzas verticales como el peso de los pasajeros y del equipaje, además de la fuerza

s de Taco ho c u a c

B

A

A

Fuerzas perpendiculares al bastidor

B

Figura 1.20 Bastidor de un automóvil y algunas de las fuerzas que actúan sobre él.

34

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¿Para qué sirve la estática?

Figura 1.21 Estructura monocasco de un automóvil de modelo reciente.

de sustentación que mantiene al avión en el aire. Los anillos, por otro lado, se encuentran en tensión o compresión. Anillos

Largueros Estructura del ala Largueros

Figura 1.22 Estructura de un avión típico.

TORSIÓN Además de cuerdas, columnas y vigas también contamos con ejes o flechas. Por su parte, las flechas deben transmitir el movimiento rotacional de un punto a otro. Si un motor ha de mover una polea, este movimiento deberá transmitirse a través de una flecha. Como ésta no es perfectamente rígida se deformará como se muestra en la figura 1.23; si marcamos diferentes puntos Motor apagado

A

B

Motor encendido

C

A

B

C

Figura 1.23 Efecto de torsión de una flecha.

35

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Estática: las leyes del equilibrio

Motor apagado

Motor encendido

T T T T

Figura 1.24 Presencia de esfuerzos cortantes en una flecha.

a lo largo de la flecha, veremos que el más cercano al motor gira como éste, pero el resto de los puntos ((B ByC C) se retrasan cierto grado. Resultado: la flecha se tuerce. Cuando una flecha se tuerce, aparecen esfuerzos axiales y cortantes sobre la misma. Para ilustrar este suceso supongamos que la flecha del experimento anterior es de hule y que en su superficie trazamos una cuadrícula antes de encender el motor. Cuando se prende el motor, cada uno de los recuadros sobre la superficie de la flecha se deformará, evidenciando la presencia de esfuerzos cortantes (véase figura 1.24). Otro ejemplo de flecha, lo constituye el eje motriz de un automóvil. En un extremo de este miembro, se encuentra la caja de velocidades, y en el otro, el diferencial (véase figura 1.25).

Llantas traseras

Flecha motriz Diferencial

Figura 1.25 Eje motriz de un automóvil (ejemplo: flecha).

LA

ESTÁTICA EN EL MUNDO: LA CAJA DE TORSIÓN

Uno de los problemas que se presentaba con mayor frecuencia en los primeros aviones monoplanos consistía en que sus alas se torcían con facilidad. Esto sucedía, sobre todo, cuando el aparato levantaba uno de sus alerones para girar respecto de su eje longitudinal. Al realizar esta maniobra, la fuerza que sostiene al avión, y que se aplica sobre las alas, y la fuerza aplicada sobre los alerones, tendían a producir esta torsión (véase figura 1.26). 36

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¿Para qué sirve la estática?

Alerones Elevadores Vista desde arriba

Eje longitudinal

Alerones

F

al

er

Vista de lado

Ala

ón

Fsustentación

Figura 1.26 Los cuatro elementos y la quintaesencia, según Aristóteles.

Por esta razón, los primeros monoplanos eran bastante inseguros. Para resolver el problema había que incrementar el área transversal del ala, con lo cual aumentaría su resistencia a la torsión. Sin embargo, esto tendría que hacerse sin elevar mucho el peso del ala. Los biplanos solucionaban este problema. La estructura del ala doble proporciona lo que se conoce como caja de torsión (véase figura 1.27).

Caja de torsión: se incrementa el área transversal con un muy ligero aumento de peso.

Figura 1.27 Diseño de un biplano.

RESUMEN Todo objeto sólido tiene una estructura; es decir, un conjunto de elementos capaz de resistir fuerzas hasta un punto determinado. Aunque la estructura no se mueva, o lo haga a una velocidad constante, cualquiera de sus elementos puede fallar (romperse o deformarse demasiado) por tensión, compresión, pandeo, flexión o torsión. Para asegurarnos de que esto no suceda, necesitamos calcular la magnitud y la dirección de las fuerzas que actúan en cada una de las partes de la estructura en equilibrio. Éste es el objetivo principal de la estática. Sin embargo, no es el fin del trabajo ingenieril.

Una vez que hemos calculado las fuerzas, necesitamos conocer las propiedades de los diferentes materiales, con el fin de seleccionar los más adecuados y dar, a cada uno de los miembros de la estructura, las dimensiones correctas para cumplir con su misión. Si la estructura en cuestión no se mueve, habremos cubierto el objetivo. De lo contrario, necesitaremos calcular de nuevo las fuerzas en los miembros, pero, ahora, tomando en cuenta las aceleraciones máximas que puedan tener estos objetos. Esto, sin embargo, es ya objeto de un curso de dinámica.

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Estática: las leyes del equilibrio

Antes de concluir es muy importante aclarar que, por tratarse de un libro de estática, no hemos hablado de otras formas de falla, que también son muy comunes y las cuales están relacionadas con las aceleraciones y las desacelera-

ciones de la máquina o aparato en cuestión. Hablamos de fallas como la fatiga y la resonancia, de suma importancia también para el diseño de una máquina.

Tabla 1.3 Formas de ejercer fuerzas estáticas sobre los miembros de una estructura. Carga

Descripción

Ejemplo

Tensión

Dos fuerzas colineales y de sentidos opuestos dirigidas hacia fuera del objeto.

Cables en un puente colgante.

Compresión

Dos fuerzas colineales dirigidas hacia adentro del objeto.

Columnas en el mismo puente colgante.

Pandeo

Fuerzas paralelas dirigidas longitudinalmente. Generan inestabilidad en el material.

Primer puente de Quebec, el cual falló porque sus miembros eran demasiado esbeltos.

Flexión

Fuerzas de la misma magnitud, paralelas y en sentidos opuestos (par de flexión), aplicadas de tal forma al objeto, que lo harían girar sobre un eje perpendicular al eje longitudinal del mismo.

Ala de avión.

Torsión

Fuerzas de la misma magnitud, paralelas y en sentidos opuestos (par de torsión), aplicadas de tal modo al objeto que lo harían girar sobre su eje longitudinal.

Flecha de un motor.

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¿Para qué sirve la estática?

PROBLEMAS 1.1 Con base en el concepto de esfuerzo, explique cómo funcionan los clavos. 1.2 En Papalote Museo del Niño, en Chapultepec, ciudad de México, se exhibe una cama de clavos en la cual, si una persona se acuesta con cuidado, los clavos no la lastiman. ¿Puede explicar por qué? 1.3 Existe un tipo especial de zapatos para caminar sobre la nieve, de tal forma que el usuario no se hunde al caminar sobre ésta. ¿Cómo funcionan? 1.4 Explique cuál es la diferencia entre una viga, una columna y un miembro en tensión, cómo se deforma cada uno de estos elementos y cómo pueden fallar. 1.5 Es imposible tocar un objeto sin deformarlo, ¿cierto o falso? Explique su respuesta. 1.6 No hay esfuerzos cortantes en una cuerda ni en una columna. ¿Cierto o falso? Explique su respuesta. 1.7 ¿Por qué es importante calcular la magnitud de las fuerzas que actúan sobre una estructura? 1.8 Muchos animales (por ejemplo, los insectos y los arácnidos) no cuentan con un esqueleto interno. ¿Cómo conservan su forma? 1.9 En las fotografías siguientes se puede apreciar la reproducción de uno de los aviones de los hermanos Wright. ¿Puede identificar en éste los miembros en tensión y en compresión? ¿Reconoce las vigas? ¿Cómo cambiarían sus respuestas cuando el avión estuviera aterrizando?

1.10 La turbina eólica de la siguiente figura está girando. ¿Puede identificar los miembros que se encuentran en compresión y aquellos que se hallan en tensión?

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