Desde que empezamos el colegio nuestros profesores siempre nos plantean problemas a los que debemos enfrentarnos para descubrir su solución y así despertar y cultivar nuestra inteligencia.

Las propuestas que nos hacen en matemáticas son de varios tipos: * Ejercicios. Para resolverlos solo necesitas tener unos conocimientos y técnicas concretas y saber aplicarlos. Por ejemplo, operar con enteros, fracciones, resolver ecuaciones… * Problemas sencillos. Se resuelven directamente leyendo y entendiendo bien el enunciado. * Auténticos problemas. Aunque el enunciado se entiende perfectamente, no podemos aplicar un procedimiento inmediato que nos lleve a la solución.

Nosotros te vamos a proponer diferentes estrategias para que t ú puedes aplicar la que consideres más conveniente a la hora de resolver, lo que hemos llamado, auténticos problemas.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 189

PARA APRENDER 1. HAZ UNA BUENA PLANIFICACIÓN.

-

Entiende bien el enunciado del problema. Aclara lo que sabes y lo que no. Intenta resolverlo paso a paso. Cuando hallas encontrado la solución, compruébala.

Ponlo en práctica con este ejemplo: Un motorista sale de su casa para acudir al trabajo. Los días que circula a 60 km/h llega un cuarto de hora tarde, pero si lo hace a 100 km/h llega un cuarto de hora antes. Calcula a que distancia de su casa se encuentra su trabajo. Indicaciones: - Si circula a 60 km/h, ¿a que distancia se encontrará a la hora citada? - Si va a 100 km/h, ¿Cuántos kilómetros de más recorrería si continuase a esa velocidad? - Por tanto, ¿Cuántos kilómetros más recorre yendo a 100 km/h que yendo a 60 km/h?

190 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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PARA APRENDER 2. REPRESENTA LOS DAT OS.

Con frecuencia representar los datos con un buen dibujo, esquema o diagrama te resultará de gran utilidad.

Ponlo en práctica con este ejemplo: María, que es una gran repostera, hizo unas galletas de mantequilla que sabe que le encantan a su madre y a sus amigos. De la bandeja apartó 2/3 para su madre y regaló la cuarta parte de las que le quedaban a sus amigos. Ella se quedó con 15 galletas. ¿Cuántas galletas hizo?

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

191

PARA APRENDER 3. SISTEMATIZA.

Se trata de contar, de enumerar, de buscar… Procede sistemáticamente.

Ponlo en práctica ¿De cuantas maneras diferentes se pueden reunir 6 € utilizando monedas de 2 €,1 € y 0,5 €? Puedes utilizar una tabla: Nº de monedas 2€

3

2

...

...

1€

0

2

...

...

0,50 €

0

0

...

...

total

3·2

2·2+2·1

...

...

Sigue buscando posibilidades.

192 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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PARA APRENDER 4. TANTEA.

En ocasiones, tenemos que buscar la solución de un problema tanteando, que significa probando distintos caminos o posibles soluciones. Tantea de manera inteligente y siendo muy organizado.

Ponlo en práctica con este ejemplo:

Una tienda de animales tiene que trasladar varios animales a otra tienda donde dispondrán de más espacio. No disponen de muchas jaulas así que intentan meter 3 animales en cada una pero se dan cuenta de que les sobra 1, si los meten de 5 en 5, no sobran animales pero si sobran 3 jaulas. Calcula cuántos animales y cuántas jaulas tienen.

Tanteo: - Si los guardas de 3 en 3 sobra 1, puede ser: 3+1=4 6+1=7 10,13,16,19,22, 25, 28…..

- Como pueden guardarse de 5 en 5, tiene que ser un múltiplo de 5, por lo tanto: 10, 25, 40….

- Si hubiera 10 no cumpliría los requisitos.

- Si hubiera 25, ocuparían 8 jaulas distribuidos de 3 en 3 y sobraría un animal. De 5 en 5, ocuparían 5 jaulas y sobrarían 3 jaulas.

- Conclusión: hay 25 animales y 8 jaulas.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

193

PARA APRENDER 5. EXPERIMENTA, BUSCA REGULARIDADES, GENERALIZA.

-

Experimenta con casos sencillos. Busca regularidades que puedan ser de utilidad. Saca conclusiones para casos generales.

Ponlo en práctica: Para celebrar el cumpleaños de mi abuela acudimos 10 personas y todas nos saludamos dando un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de manos nos dimos? Podemos empezar contando los apretones de mano que se darán 2, 3, 4 y 5 personas. Nos podemos ayudar de un esquema y agrupando los datos en una tabla : 3 personas = 3 apretones

2 personas = 1 apretón

X

X

4 personas = 6 apretones

X

X

X

X

X

X

X

5 personas = 10 apretones

X

X

Cuando hay 5 cada uno saluda a las otras 4 por lo que podríamos pensar que se dan 5·4 = 20 saludos, pero como cada saludo esta contabilizado dos veces es 10

X

X

X

Personas

2

3

4

5

6

…….

8

……

10

Saludos

1

3

6

10

?

…….

?

……

___

¿Podemos hacer el mismo razonamiento para otro número de personas? Vamos a comprobar tu suposición para 6 personas siguiendo el mismo razonamiento, cada una de las 6 personas saludan a 5: 6·5= 30 saludos. Como cada uno estaría contabilizado dos veces, 6 personas = 15 saludos. Compruébalo con un esquema:

Ahora podrás generalizar para cualquier número de personas. Si hay n:

194 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

n⋅(n-1) 2

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PARA APRENDER Vamos con otro ejemplo de generalizar que también se dice hallar el término enésimo.

Ibai está jugando a formar triángulos con palillos. Fíjate bien cómo lo hace para poder contestar a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos palillos tendrá que utilizar para construir el triángulo que ocupa el lugar 8 en la secuencia? b) ¿Y para el que ocupa el lugar n?

1ª etapa

2ª etapa

3ª etapa

Practicamos:

Vamos a averiguar si el número de palillos que forma cada triángulo sigue alguna regularidad. Para eso lo mejor es utilizar una tabla y escribir en ella los datos que tenemos:

Figura Nº de palillos

1

2

3

4

……

…….

……

8

……

n

3=3·1

6=3·2

9=3·3

……

……

…….

……

……

……

……

Observa que cada triángulo se forma con el múltiplo de tres correspondiente al lugar que ocupa en la secuencia.

Así el triángulo que ocupa el lugar 4 estará formado por 3 · 4 = 12 palillos, el que ocupa el lugar 8 sería 3 · 8 = 24 palillos, y el que ocupa el lugar n, tendría 3 · n palillos.

Como has podido comprobar hemos observado la sucesión formada por el nº de palillos que forma cada triángulo y hemos obtenido una regularidad que la hemos podido expresar mediante una fórmula en función de n.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

195

PARA APRENDER 6. INVESTIGA. En ocasiones te encontrarás con situaciones problemáticas complicadas que requieren una autentica investigación. Para ello:

-

Recuerda las estrategias que has visto hasta ahora. Busca las tuyas propias. No te desanimes.

Vamos a practicar:

Irene y Mikel están jugando al siguiente juego: Cada una de ellos dice un número del 1 al 10. Se van sumando y gana el que llega a 100. Empieza Irene. ¿Qué destreza debe seguir para ganar con seguridad?

Tras darle muchas vueltas, decidimos empezar por el final:

¿Qué suma debe recibir Irene en el último turno para poder responder con un número ganador?

- Irene gana si la suma que le llega es 90, 91, 92,…99.

- Esto ocurre si Mikel recibió una suma de 89. En este caso, diga el número que diga, Irene ganará.

- Es decir, Irene tiene que devolver una suma de 78 para que en el siguiente turno pueda sumar 89.

- Siguiendo hacia atrás encontramos las siguientes sumas ganadoras: 67, 56, 45, 34,23,12, 1. (quitamos 11)

- Si Irene consigue situarse en una de esas sumas, respondiendo correctamente ganará.

- Si te has fijado bien habrás descubierto que la estrategia ganadora consiste en empezar con 1 y responderle a Mikel con 11 menos el número que él diga.

196 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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PARA ENTRENAR ¡AHORA TE TOCA PONER A PRUEBA TU INGENIO Y APLICAR LO QUE HAS APRENDIDO!

1. NOS VAMOS VAMOS DE VIAJE Este fin de semana hemos ido a Barcelona a visitar a unos amigos. Como no encontramos un lugar para aparcar el coche en la calle, decidimos meterlo en un parking. En la entrada había un cartelito que indicaba las siguientes tarifas: La primera hora 4€ y 2€ más cada una de las horas siguientes a la primera. a) Si decidimos dejarlo 7 horas,¿cuánto tuvimos que pagar? b) ¿y si lo dejamos n horas?

2. CABALLOS A Maitane le encantan los caballos y un día, muy especial para ella, convence a su aita para ir una feria de caballos. Se quedó impresionada con un pura sangre pero su precio era excesivo,¡100.000€¡. A su padre se le ocurrió una idea y le dijo al vendedor: - Acepto el precio si me rebajas un céntimo por el primer clavo de herradura, 2 céntimos por el segundo, 4 por el tercero…., y así sucesivamente hasta el último clavo de la última herradura. ¿Cuánto pagó por el pura sangre sabiendo que cada herradura se sujetaba con 6 clavos?

3. CON LA CALCUADORA A Jon Ander, le gusta jugar con la calculadora y su amigo Isaac le propone escribir el mayor número que pueda obtener en pantalla pulsando solo 2 veces cada una de las teclas de las operaciones de +, -, x,

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 197

4. BOCAT BOCATAS Leire, María y Ohiane, deciden subir el domingo al Gorbea. En Pagomakurre les empieza a entrar hambre y sacan los bocadillos para comer. Leire lleva tres bocatas, María seis y Ohiane como no ha tenido tiempo de preparar bocadillos, paga a sus amigas con nueve monedas de 1€. Explica cómo deben repartirse las monedas.

5. RESIDUOS En Bilbao, se generan al año 400 toneladas de residuos peligrosos. El Ayuntamiento junto a Agenda 21, ha establecido un plan de actuación para que cada año la cantidad se reduzca a sus 3/4 partes. a) ¿Cuántas toneladas se generarán el 3º año del plan de actuación? b) ¿Y el enésimo año?

6. LIMPIANDO LA PISCINA Iñaki quiere limpiar la piscina del Colegio Vizcaya, para ello decide quitar el agua poco a poco. Primero saca 2/3 y después 3/4 de lo que le quedaba. Si aún hay 1.000 litros, ¿cuál es la capacidad de la Piscina? Utiliza un esquema para resolverlo.

7. SOLDADITOS SOLDADITOS DE PLOMO Borja tiene una colección de 12 soldaditos de plomo y quiere colocarlos sobre una mesa de forma que haya 6 filas de 4 soldaditos.

198 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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8. EUROS Hoy es el cumpleaños de Andrea y sus abuelos le han dado 60 € para que se compre ropa. Después de ver varias cosas que le gustan, se muestra indecisa y piensa: - Si me compro el pantalón y el chaleco, me gasto 53,75 €. - El pantalón y el pañuelo me cuestan 51,25 € - Pero si me compro el chaleco y el pañuelo me gasto los 60 € justos. ¿Sabrías decir cuanto vale cada prenda de ropa?

9. ESTE ES UN PROBLEMA DE QUILATES QUILATES 1 en peso de oro puro que contiene cualquier aleación de este metal. 24 18 18 quilates equivalen a una ley de = 0,75 24

Un quilate es

24 quilates equivalen a una ley de

24 = 1. Es el oro puro. 24

Por ejemplo: Una cadena de 18 quilates que pesa 20 g tiene:

18 18 de 20 = ⋅20 =15 g de oro puro. 24 24

Practica y calcula: a) La cantidad de oro puro que contiene un anillo de 14 quilates que pesa 12 g. b) Lo que pesa un broche de oro de 18 quilates que tiene 60 g de oro puro. c) La ley de la aleación que se obtiene al fundir 30 g de oro de 18 quilates con 20 g de oro de 15 quilates.

10. COGEMOS LA CALCULADORA Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas se puede obtener cualquier número. Por ejemplo para conseguir el 6 podemos hacer: 55 : 5 - 5 = 6 Busca la manera de obtener con la mínima cantidad de cincos, los siguientes números: a) Los diez primeros números naturales. b) Los números 125 y 111 c) Los números 500, 1000 y 3000

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 199

11. VIAJE A USA Los alumnos del Colegio Vizcaya van todos los años de intercambio cultural a Chicago. Los padres de Ane han decidido darle 300 € para posibles gastos que pueda tener en EEUU. Por ello va al banco donde le informan que el cambio monetario ese día es: 1 € equivale a 1,32 $ a) Al cambiar los 300 €, ¿cuántos dólares recibe? b) Al volver del viaje aún le quedan 71,60 $. En el banco el euro está ahora a 1,30 dólares. ¿Cuantos euros recibe?

12. EL TROFEO Mi amiga Elena y yo hemos ganado un trofeo de dobles de padel. Para ver quién se lo queda decidimos hacerlo tirando dos dados. Yo me lo quedo si al multiplicar los dos números que marcan los dados el resultado es par, y ella se lo queda si el resultado es impar. Explica si el sistema es justo o alguien tiene ventaja.

13. VAMOS A POR LA VIDEOCONSOLA En unos grandes almacenes realizan un sorteo entre sus clientes, de tal manera que el cliente agraciado puede extraer una bola con regalo de alguna de las tres bolsas que se le ofrecen. Según el color de la bola extraída es uno u otro el regalo. Nos gustaría conseguir una videoconsola, que se obtiene sacando una bola amarilla. ¿Qué bolsa debemos escoger? Bolsa 1

Bolsa 2

Bolsa 3

40 bolas rojas 35 bolas verdes 25 bolas amarillas

10 bolas rojas 15 bolas verdes 25 bolas amarillas

20 bolas rojas 45 bolas verdes 35 bolas amarillas

200 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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14. MOVILES Una alumna de secundaria se ha comprado un teléfono móvil de la marca "Euskofon". Buscando en internet obtuvo unas tablas comparativas de costes (con IVA) a diferentes horas y de diferentes compañías. Las tablas son las siguientes: De 12 a 14 h. de un viernes Coste/minuto € 0,0348 0,0557 0,1206 0,2088 0,0507

Operador

Establecimiento de llamada

A B C D Euskofon

0,1392 € 0,1392 € 0,1392 € 0,0795 € 0,1150 €

Mensaje 0,0563 0,0091 0,0613 0,1012 0,0625

€ € € € €

De 19 a 22 h de un viernes Coste/minuto € 0,0348 0,0696 0,1276 0,2088 0,0403

Operador

Establecimiento de llamada

A B C D Euskofon

0,1392 € 0,1206 € 0,1192 € 0,0795 € 0,1392 €

Mensaje 0,0563 0,0091 0,0613 0,1012 0,0625

€ € € € €

a) Quiere introducir un PIN que sea curioso. Decide que sea el "último año que fue a la vez capicúa y primo". ¿Cuál es el PIN que ha introducido?

b) La alumna habla con una amiga a las 13 h de un viernes y la duración de su llamada es de 3 minutos exactos. ¿Cuanto pagará por esa llamada telefónica? A. B. C. D.

0,1521 € 0,2671 € 1,521 € 2,671 €

c) La operadora Euskalfon presenta el "Plan Verano". Dicho plan consiste en aplicar las siguientes reducciones a los costes de la operadora: 20% del coste de llamada/minuto a partir del minuto 5º, una reducción del 10% sobre el establecimiento de llamada y un 15% sobre el coste de los mensajes. Completa la tabla de costes de llamadas con la operadora si la alumna se da de alta en el plan. Redondea a la 4ª cifra decimal. Euskofon

Coste/minuto

Establecimiento de llamada

Mensaje

Hasta el minuto 4º A partir del minuto 5º k y = h cuya duración ha Una vez que se ha dado de alta en el plan Verano, realiza una llamada a las 19,30 x sido de 4 minutos y 40 segundos.¿Cual ha sido el coste de la llamada? (Ten en cuenta que la empresa no factura segundos, sino minutos enteros, al usuario le facturan como el minuto 5º si la duración ha sido de 4 minutos y algún segundo)

A. B. C. D.

0,2863 0,3187 0,3407 0,3002

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€ € € €

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

201

15. ENERGÍA PARA EL TRANSPORTE Estamos acostumbrados a ver imágenes de países como China o India donde el hombre todavía utiliza la tracción humana como medio de transporte, por ejemplo utilizan bicicletas tirando de carritos donde van los pasajeros en lugar de taxis, autobuses…. Esto es debido a que el desarrollo de los diferentes medios de transporte ha sido muy desigual en los distintos lugares del mundo. La energía para el transporte es uno de los bienes menos compartido y, por ello, la velocidad es un lujo para algunos países. Sí es cierto que todos están preocupados por el consumo de las fuentes de energía y por la contaminación de ahí que se esté trabajando en disminuir esos niveles. Observa la siguiente tabla en la que se indica el consumo de combustible de cada medio de transporte según los kilómetros recorridos y el número de pasajeros transportados.

Medio de transporte Coche Autobús Tren Avión

Kms recorridos /litro Número de pasajeros 10 2,3 0,8 0,06

4 60 600 225

a) Según los datos de la tabla, calcula cuantos litros de combustible son necesarios en cada uno de los medios de transporte para recorrer 100 kms.

b) ¿Qué transporte te parece el más indicado si queremos llevar a 7 personas a 100 kms de distancia?

c) ¿Y para 70 personas a 200 kms de distancia?

d) Razona que medio de locomoción utilizarías para llevar a 500 pasajeros a lo largo de 150 kms.

202 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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16. LA PLAGA DE LAS ALGAS EN EL MEDITERRÁNEO La plaga de cierta especie de alga se ha convertido en un grave hecho que afecta a varias zonas del Mediterráneo y que se prevé irá extendiéndose a lo largo de todo el mar, con los consiguientes perjuicios de tipo ambiental y económico. En una de las zonas más afectadas se ha comprobado que una población inicial de 500 ejemplares por m2 ha aumentado el doble en sólo 3 meses. De seguir en las mismas condiciones, dicha población llegará a tener 2.000 ejemplares por m2 en el plazo de un año. Comprueba si los datos estimados para el plazo de un año son correctos, dándose como buenos los iniciales.

17. LOS ÁNGULOS DEL RELOJ Relaciona cada hora marcada en estos relojes con uno de los siguientes ángulos: A. B. C. D. E. F.

15º 180º 165º 90º 7º 15' 82º 30'

18. LAT LATAS DE REFRESCOS En las siguientes latas cabe la misma cantidad de refresco, 236 cm3, pero un de ellas necesita más cantidad de material para su construcción. Averigua cuál de las dos latas es la que tiene mayor superficie total.

8,33 cm

12 cm 3 cm 2 cm

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

203

19. CAMINAR La foto muestra las huellas de un hombre caminando. La longitud del paso P es la distancia entre los extremos posteriores de dos huellas consecutivas.

Para los hombres, la fórmula

n = 140 da una relación aproximada entre n y P donde: p

n = número de pasos por minuto, y P = longitud del paso en metros. a) Si se aplica la fórmula a la manera de caminar de Enrique y éste de 70 pasos por minuto,¿ cuál es la longitud del paso de Enrique?. Muestra tus cálculos.

b) Bernardo sabe que sus pasos son de 0,80 metros. El caminar de Bernardo se ajusta a la fórmula. Calcula la velocidad a la que anda en metros por minuto y en kilómetros por hora.

20. CAMPEONAT MIXTO CAMPEONAT O DE TENIS MIXTO En un campeonato de tenis dobles mixto, tres cuartas partes de los hombres están jugando con tres quintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está jugando? Ayudate del siguiente esquema.

No juegan Juegan

204 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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21. CRECER La estatura media de los chicos y las chicas de Holanda en 1998 está representada en el siguiente gráfico.

a) Desde 1980 la estatura media de las chicas de 20 años ha aumentado 2,3 cm, hasta alcanzar 170,6 cm. Cual era la estatura media de las chicas de 20 años en 1980?

b) Explica cómo está reflejado en el gráfico que la tasa de crecimiento de la estatura media de las chicas disminuye a partir de los 12 años en adelante.

c) De acuerdo con el gráfico anterior, como promedio, durante qué periodo de su vida son las chicas más altas que los chicos de su misma edad.

22. UN DÍA EN LA GRANJA Un campesino utiliza para llevar la carga su tractor, una carretilla y un todo terreno. Cuando lleva a trabajar el tractor y el todo terreno, pone 3/5 de la carga en el tractor y 2/5 en el todo terreno. Sin embargo, cuando lleva el todo terreno y la carretilla, pone 3/5 en el todo terreno y 2/5 en la carretilla. ¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva todos los medios de transporte y la carga es de 190 kg?

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 205

23. UN CASO CURIOSO En el país de Norlandia durante los meses de invierno la temperatura máxima siempre varía, en relación con la del día anterior, según la siguiente tabla. DIAS

VARIACIÓN

Lunes Miércoles Viernes

+ 3º

Martes Jueves Sábados

- 2º

Domingos

- 4º

Ayer, lunes 13 de enero, se alcanzaron 1º C de máxima. Calcula la temperatura máxima de cada uno de los siguientes días: a) b) c) d)

El pasado lunes. El lunes próximo Dentro de tres lunes. Hace tres lunes.

24. ROBOS Un presentador de TV mostró este gráfico y dijo: "El gráfico muestra que hay un enorme aumento del número de robos comparand 1998 con 1999 ". ¿Consideras que la afirmación del presentador es una interpretación razonable del gráfico?. Da una explicación que fundamente tu respuesta.

25. OFERTAS OFERTAS En unos grandes almacenes, si compras 3 prendas iguales, por una de ellas solo pagas 1 €. a) Nerea, ha comprado 6 camisetas. ¿Cuántas pagará a su precio normal y cuántas a 1 €?

b) Completa la siguiente tabla: Nº de camisetas compradas

7

8

9

10

11

12

Nº que se pagan a su precio Nº que se pagan a un euro

206 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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26. CUADRADOS Y NIVELES Los siguientes dibujos muestran cómo va cambiando un cuadrado formado por losetas cuadradas:

1er nivel

2º nivel

3er nivel

4º nivel

a) Cuenta el nº total de losetas que hay en cada uno de los cuatro niveles. ¿Qué observas? b) Cuenta el número de azulejos blancos que hay en cada uno de los cuatro niveles.¿Qué observas? c) Calcula el nº de azulejos negros en cada uno de los niveles. d) Considerando las respuestas anteriores, completa la siguiente tabla Totales

Blancos

Negros

1º nivel 2º nivel 3º nivel 4º nivel 5º nivel 6º nivel 7º nivel

e) ¿Cuántas losetas negras habrá en el décimo nivel? ¿Y en el nivel n?

27. CARPINTERO Un carpintero tiene 32 metros de madera y quiere construir una pequeña valla alrededor de un jardín. Está considerando los siguientes diseños:

Rodea con un círculo Sí o No para indicar si, para cada diseño, se puede construir o no se puede construir el jardín con los 32 metros de madera.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 207

28. X E Y En la tabla siguiente tienes lo pedidos que Jon y Gorka han realizado en los grandes almacenes: Nº de chaquetas Jon Gorka

10 21

Nº de pantalones

Precio total a pagar

9 16

236 € 457 €

Si suponemos que el precio de una chaqueta es de x €, y el de un pantalón de y €: a) Escribe una ecuación por el precio total que de be pagar Jon por toda su compra.

b) Haz lo mismo para la compra de Gorka.

c) Calcula el valor de x e y.

29. NOS VAMOS VAMOS DE CUEVAS Km Ana ha decidido visitar unas cuevas que han descubierto cerca de su casa. La gráfica representa la distancia a la que se encuentra de su casa en cada momento desde que salió de ella hasta que regresó una vez visitada la cueva. Ana salió de casa andando a las 9 de la mañana. Pero como quedaba un poco lejos, se le ocurrió regresar a casa para coger la bicicleta. a) ¿Cuantos metros recorrió andando? ¿Cuánto tiempo tardó?

b) ¿Cuántos kilómetros recorrió en bici? ¿Cuánto tardó?

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

c) ¿Empleó el mismo tiempo en ir que en regresar a casa?

60 120 240 Tiempo (minutos)

d) ¿Cuánto tiempo estuvo dentro de la cueva?

30. CARAMELOS DE COLORES La madre de Roberto le deja coger un caramelo de una bolsa. Él no puede ver los caramelos. El número de caramelos de cada color que hay en la bolsa se muestra en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la probabilidad de que Roberto coja un caramelo rojo? A. B. C. D.

10% 20% 25% 50%

208 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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31. BUSCANDO NÚMEROS Buscamos números de 4 cifras que cumplan las siguientes propiedades: * Uno de los dígitos es igual a dos. * Es un número impar * Es mayor que 8.500. ¿Cuántos hay?

E

32. TRIÁNGULOS Aquí tienes unos triángulos cuya característica común es que son rectángulos e isósceles: OAB, OBC, OCD Y ODE. Calcula la longitud de la hipotenusa OE.

D

O

C

4 cm A

B

33. ANIMANDO A NUESTRO EQUIPO Asier y Laura deciden comprar unos banderines que los hacen girar para animar a su equipo. A D a) ¿Cuál de los siguientes cuerpos geométricos se obtienen al hacer girar cada uno de los banderines? B C D A C

B

b) El cuerpo que no se obtiene al hacer girar el banderín de Asier ni el de Laura, se obtiene al girar el trapecio ABCD alrededor de otro de sus lados ¿De qué lado se trata?

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 209

34. FERIA En un juego de una caseta de feria se utiliza en primer lugar una ruleta. Si la ruleta se para en un número par, entonces el jugador puede sacar una canica de una bolsa. La ruleta y las canicas de la bolsa se representan en los dibujos siguientes.

Cuando se saca una canica negra se gana un premio. Daniela juega una vez. ¿Cómo es de probable que Daniela gane un premio? A. B. C. D. E.

Es imposible No es muy probable Tienes aproximadamente el 50% de probabilidad Es muy probable Es seguro

35. UN ENVOLT BONITO ENVOLT ORIO BONITO Una perfumería encarga a una empresa que hace cajas de metal para envases de regalo la fabricación de unas cajas pero que se ajusten a estas condiciones: - Las cajas deben tener forma de ortoedro. - La base tiene que ser un rectángulo en el que una de sus dimensiones sea el doble que la otra. - La altura debe coincidir con la medida menor de la base. a) Dibuja el desarrollo de la caja.

b) Suponiendo que la altura de la caja es x, calcula la superficie total de la caja.

36. EL MP4 Leire ha conseguido ahorrar 90 € para comprarse un MP4, pero el que le gusta vale 120 €. Ha decidido esperar a las rebajas pues sabe que le harán el 20% de descuento. ¿Le llegará para comprarse el MP4? Si no,¿cuánto dinero tendrá que seguir ahorrando?

210 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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37. MÁS Y + Mikel tiene que colocar azulejos en una pared. Para que le resulte más divertido decide colocarlos de un modo especial. Aquí tienes cómo los va colocando según pasan los días. a) Cuenta cuántos azulejos tiene cada una de las figuras. b) ¿Cuántos añade cada día a la figura anterior? c) Dibuja la figura del quinto día.

d) Si te fijas en el número de azulejos que forma cada figura, ¿cumple alguna norma? Si completas esta tabla te puede ayudar: Día

Número de azulejos

1º

5

2º

4·1 + 5

3º

4·2 + 5

4º 5º 6º 7º 8º e) Escribe una expresión algebraica para saber cuantos cuadrados habrá el día n.

38. GRÁFICAS Representa en una gráfica: a) La altura a la que se encuentra el asiento de un columpio, al pasar el tiempo. b) La temperatura de una cazuela de sopa que se calienta hasta que hierve y luego se deja enfriar. c) La altura que alcanza una pelota en el bote al pasar el tiempo. d) Nivel de ruido en el patio del colegio (teniendo en cuenta sólo a los alumnos de secundaria) un viernes desde las 8,45 h hasta las 16.00 h.

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 211

39. ESTANTERÍAS Para construir una estantería un carpintero necesita lo siguiente: 4 tablas largas de madera 6 tablas cortas de madera 12 ganchos pequeños 2 ganchos grandes 14 tornillos El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. ¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero?

40. LA BALANZA Koldo quiere enviar cuatro latas iguales de mermelada a una ONG, pero la empresa de transporte necesita saber su peso exacto para establecer el precio. En su casa solo encuentra una balanza antigua y una pesa de 5 kg y otra de 1 kg. Poniendo en un lado de la balanza la pesa de 5 kg más una lata y en el otro la pesa de 1 kg más tres latas, consigue equilibrar la balanza. ¿Cuánto pesa cada lata?

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41. DADOS A) A la derecha hay un dibujo de dos dados. Los dados son cubos con un sistema especial de numeración en los que se aplica la siguiente regla: El número total de puntos en dos caras opuestas es siempre siete.

a) A la derecha se pueden ver tres dados colocados uno encima del otro. El dado uno tiene cuatro puntos en la cara de arriba. ¿Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no se pueden ver? (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de debajo de los dados 2 y 3)

B) Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y pegando cartón. Estos dados se pueden hacer de muchas maneras. En el dibujo siguiente puedes ver cuatro recortes que se pueden utilizar para hacer cubos, con puntos en las caras. ¿Cuál de las siguientes figuras se pueden doblar para formar un cubo que cumpla la regla de que la suma de caras opuestas sea 7? Para cada figura rodea con círculo Sí o No en la tabla de abajo.

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42. SELECCIÓN En una pizzería se puede elegir una pizza básica con dos ingredientes queso y tomate. También puedes diseñar tu propia pizza con ingredientes adicionales. Se pueden seleccionar entre cuatro ingredientes adicionales diferentes: aceitunas, jamón, champiñón y salami. Jaime quiere encargar una pizza con dos ingredientes adicionales diferentes. ¿Cuántas combinaciones diferentes podría seleccionar Jaime?

43. OFERTAS OFERTAS EN SUPERMERCADOS Si queremos comprar 6 botes de tomate, ¿qué oferta es la más económica?

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44. CUBOS A) En principio la figura era un cubo de 3x3x3 formado por cubitos de cristal azul. Al caerse al suelo y retirar los cubitos rotos nos ha quedado la figura que ves en el dibujo, ¿cuántos cubitos se han roto? a) b) c) d) B)

12 11 16 24

Si nos situáramos en la vertical, ¿puedes dibujar cómo se vería este edificio desde arriba?

45. CUADRADOS Con 5 cuadrados, ¿qué otras figuras o cuerpos geométricos podemos conseguir? Clasifícalas. Trata de rellenar una cuadrícula de 5x5 empleando las figuras obtenidas anteriormente.

46. MÁS CUBOS Con 4 cubos, ¿qué figuras geométricas podemos conseguir? Podrías nombrarlas

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47. PRÉSTAMOS PRÉSTAMOS BIBLIOTECARIOS La biblioteca del Instituto tiene un sistema simple de préstamo de libros: para el personal interno, el periodo de préstamo es de 28 días; para los estudiantes, el periodo de préstamo es de 7 días. El siguiente esquema es un diagrama de flujo que muestra este sistema: La biblioteca del Colegio tiene un sistema similar aunque más complejo: - Las publicaciones clasificadas como reservadas tienen un periodo de préstamo de 2 días. - El periodo de préstamo para los libros (no las revistas) que no estén en la lista reservada es de 28 días para el personal interno y de 14 días para los estudiantes. - El periodo de préstamo de las revistas no incluidas en la lista reservada es, para todos, de 7 días. - Las personas con documentos que hayan sobrepasado la fecha de devolución no pueden recibir ningún nuevo préstamo.

Dibuja el diagrama de flujo de préstamos para el Colegio.

48. POR FIN NOS VAMOS VACACIONES VAMOS DE VACACIONES

MAPA DE LAS CARRETERAS QUE HAY ENTRE LAS CIUDADES

DISTANCIA MÁS CORTA ENTRE LAS CIUDADES EN KILÓMETROS

Calcula la distancia más corta por carretera entre Nuben y Kado.

49. CONSTRUYENDO TORRES TORRES Un artista ha construido con 14 cubos iguales de 1 dm de lado esta torre de tres pisos. Quiere pintar toda la superficie exterior. a) ¿Cuántos decímetros cuadrados debe pintar? b) ¿Y si tuviera 5 pisos? c) ¿Y si tuviese n pisos? Saca una fórmula en función del nº de pisos.

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