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Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos. Objetivos. La primera lección del curs está dedicada a repasar los

conceptos y algoritmos del álgebra lineal, básicos para el estudio de la geometría con coordenadas.

n n n n n

Operaciones con matrices. Determinantes. Rangos. Sistemas de ecuaciones lineales. Inversión de matrices.

1.1 Operaciones con matrices. En este apartado repasaremos las

operaciones b ásicas con matrices: suma, producto por un escalar y producto. La inversión de matrices se estudia más adelante.

Suma de matrices. Les matrices, de la misma manera que los vectores, se suman componente a componente. Ejemplo 1

Solamente se pueden sumar matrices cuando éstas tienen las mismas dimensiones.

Producto por escalares. El producto de una matriz por un escalar -o número real- se efectúa multiplicando este escalar por cada uno de los elementos de la matriz. Ejemplo 2

Producto de matrices. El producto de dos matrices se obtiene efectuando

el producto escalar de las filas de la primera matriz per las columnas de la segunda.

Ejemplo 3

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Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera ha de coincidir con el número de filas de la segunda. La matriz resultante tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda. dim(A) = 2 x 2, dim(B) = 2 x 3 >>> dim(AB) = 2 x 3 dim(A) = m x n, dim(B) = n x p >>> dim(AB) = m x p ejercicio 1 problema 1.1 ejercicio 2 problema 1.2

1.2 Determinantes. El determinante de una matriz cuadrada nos informa,

por un lado, de la dependencia lineal entre sus vectores fila (o columna). Por otro lado, nos permite calcular el volumen del sólido que tiene como aristas dichos vectores. También nos proporciona información sobre la orientación de la base.

Cálculo del determinante. El determinante de una matriz cuadrada se

define como la suma de todos los productos (con signo) en los que intervienen un único elemento de cada fila y de cada columna. Ejemplo 4 determinante 2x2.

Ejemplo 5 determinante 3x3 (estrella).

Ejemplo 6 determinante nxn (desarrollo por filas o por columnas).

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El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones puede utilitzarse también (con precaución) para calcular determinantes.

Interpretación geométrica. El determinante de dos vectores mide el área del paralelogramo que tiene como lados dichos vectores. por qué?

El determinante de tres vectores mide el volumen del paralelep ípedo que determinan. Por consiguiente, el determinante de dos vectores paralelos o de tres vectores coplanarios es igual a cero. En general, el determinante de n vectores linealmente dependientes es nulo.

1.3 Rango de una matriz. El rango de una matriz es el número de

columnas (filas) linealmente independientes. El cálculo del rango puede hacerse por determinantes, o por el método de Gauss.

Cálculo del rango Para calcular el rango de una matriz se busca el menor de mayor orden con determinante no nulo que se puede formar con los elementos de la matriz.

Entendemos por menor de una matriz cualquier submatriz cuadrada de la misma. Ejemplo 7 es un menor nulo (su determinante vale 0 ) de orden 2 (matriz 2x2) de la matriz

es un menor no nulo (determinante diferente de 0) de orden 2 de la misma matriz.

NO es un menor de orden 2 de esta matriz, porque 1 y 2 no son de la misma fila:

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No hace falta considerar todos los menores posibles de la matriz. Es suficiente con una secuencia de ampliaciones sucesivas. Ejemplo 8 El rango de la matriz del ejemplo anterior es 3. Observad la secuencia de menores no nulos:

ejercicio 4 problema 1.6

1.4 Sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones

lineales expresan dependencias lineales entre variables (incógnitas). Resolver el sistema es hallar valores de estas variables que satisfacen todas las ligaduras simultáneamente. Si las ligaduras son demasiado restrictivas (resp. demasiado laxas), puede suceder que no existan tales valores (resp. puede que no estén completamente determinados).

Algunos ejemplos sencillos. Problema 9 Determinar dos valores num éricos tales que el primero más el doble del segundo sumen 6. Solución Representaremos las cantidades desconocidas por dos letras x e y, que se llaman variables o incógnitas, e impondremos la condición x + 2y = 6 . A simple vista se ve que hay muchos valores posibles de x e y que satisfacen la igualdad (ecuación) anterior, p. ej. x=2 e y=2, o también x=0 e y=3, etc. El problema no está determinado. Problema 10 Hallar dos valores numéricos tales que uno cualquiera de ellos más el doble del otro sumen 6. Solución En este caso hemos de imponer dos condiciones, x + 2y = 6 , pero también y + 2x = 6 .Tenemos, pues, dos ecuaciones y dos incógnitas. El problema está determinado, y la única solución es ahora x = y = 2 . Problema 11 Hallar dos valores numéricoss tales que un cualquiera de ellos más el doble del otro sumen 6, y que su producto valga 8. Solución En este caso hemos de imponer tres condicions, x + 2y = 6 , y + 2x = 6 y además xy = 8 . Tenemos tres ecuaciones y dos incógnitas. El problema no tiene solución (sistema incompatible), es decir, no existen unos valores numéricos x e y que satisfagan lss tres condiciones pedidas.

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Página 5 de 8 Además, en este caso el sistema NO es lineal, porque la tercera ecuación contiene un producto de d0s variables.

Sistemas de ecuaciones lineales. Expresi ón matricial.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que se han de satisfacer simultaneamente. Si estas ecuaciones contienen solamente sumas de valores numéricos (escalares) multiplicados por variables (incógnitas) y valores numéricos independientes, decimos que el sistema es lineal. Todo sistema lineal de ecuaciones se puede escribir como un producto de matrices Ax = b on: ¡ A es la matriz de los coeficientes ¡ x es el vector de las incógnitas ¡ b es el término independiente Puesto que el vector de las incógnitas x no aporta ninguna información, con frecuencia se utiliza una expresión matricial compacta (A | b) en lugar del producte Ax = b. ejemplo 12 En el caso de los tres problemas del apartado anterior, tenemos: ecuaciones

producto de matrices

No es lineal. No admite una expresión como producto de matrices.

expresión matricial

No la admite.

Resolución de sistemas lineales. El método de Gauss. Consiste en hacer aparecer ceros debajo de la diagonal principal de la matriz. ejercicio 5 problema 1.8

Discusión de sistemas. No es necesario aplicar el método de Gauss (o

cualquier otro) para saber si un sistema tiene o no solución, o si esta solució será única. Teorema de Rouché-Frobënius

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El sistema Ax=b es compatible (es decir, tiene solución) si y sólo si rang(A) =rang(A,b). Además, la solución depende de m=n-rang(A) parámetros,donde n representa el número de incógnitas. ejercicio 6 problema 1.11

1.5 Inversa de una matriz. Invertir una matriz es hallar otra ( si existe)

que sea la inversa de la anterior respecto al producto de matrices, o sea que multiplicadas den la matriz identidad. La matriz inversa está estrechamente relacionada con el proceso de resolución de los sistemas de ecuaciones lineales determinados.

Ejemplos preliminares. ejemplo 13

La matriz inversa de

es

. Para verlo, es suficiente con efectuar el producto y comprobar que:

ejemplo 14

La matriz

no tiene matriz inversa.

Efectivament, el resultado de multiplicar A por cualquier altra matriz B tendrá siempre una fila de ceros:

Propiedades. ¡ ¡ ¡

¡

Solamente se calcula la inversa de les matrices cuadradas. Si A -1 es la inversa de A, entonces AA -1 = A -1A = Id La inversa de una matriz es única. Por tanto, si AB=Id y AC=Id, se tiene que B=C. Como pone de manifiesto el ejemplo anterior, existen matrices que no se pueden invertir. De hecho, una matriz A es invertible solamente si su determinante es diferente de cero.

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Cálculo de la matriz inversa. Existen dos algoritmos b ásicos para el cálculo de la matriz inversa, basados ambos en sendos métodos de resolución de sistemas lineales : 1. El método de Gauss. 2. El método de los adjuntos. ejemplo 15

Para calcular la matriz inversa de

utilizando el método de Gauss,escribimos la matriz ampliada:

y operamos por filas hasta obtener

La parte derecha de la matriz ampliada contiene ahora la matriz inversa ejercicio 7

problema 1.9

Relación con los sistemas de ecuaciones. Calcular la inversa de una matriz A equivale a resolver un conjunto de sistemas de ecuaciones, todos con la misma matriz de coeficientes (la propia matriz A), pero con diferentes vectores como términos independientes (las columnas de la matriz identitat). ejemplo 16 Queremos calcular la inversa de la matriz A del ejemlo anterior. La inversa, (desconocida de momento), ser á una matriz B tal que AB=Id, es decir, tal que:

Si efectuamos el producto de matrices, se obtienen dos sistemas de ecuaciones

que podemos escribir en la forma:

Dado que los pasos a seguir en el algoritmo de Gauss dependen únicamente de la parte izquierda de la matriz, pero no de los términos independientes, esto justifica que se pueda

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escribir una nueva matriz ampliada

y resolver de este modo los dos sistemas simultáneamente. ejercicio 8

problema 1.10