GUÍA

DE

MATEMÁTICAS

III

Lección 8: Potencias con exponentes enteros Cuando queremos indicar productos de factores iguales, generalmente usamos la notación exponencial. Por ejemplo podemos expresar 11 x 11, como 112 (11 al cuadrado), del mismo modo 8 x 8 x 8 x 8 x 8, puede expresarse como 85 (8 a la quinta). Para referirnos a expresiones como las anteriores, también decimos que "el 11 está elevado al cuadrado" o que el "8 está elevado a la quinta potencia". Usted ya ha usado esta notación en los cursos anteriores y en algunas lecciones de este libro. Ahora trataremos de profundizar más en el concepto de potenciación. En la notación exponencial, la base es el factor que debe multiplicarse por sí mismo tantas veces como lo indica el exponente. Así en la expresión 95, tenemos: Exponente 95 base

102

LECCIÓN 8 95 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 5 veces En general, si tenemos un número real cualquiera que llamamos a y un número natural que llamamos n, entonces: an = a x a x a x a x ..... x a n veces La expresión anterior nos dice que an significa que hay que multiplicar a x a x a..., n veces. Cuando la base de una potencia es un número positivo, el resultado siempre es positivo. Si la base es negativa, el signo del resultado depende del exponente, si el exponente es un número par, el resultado es positivo; si es impar el resultado es negativo. Ejemplos: • (–5)4 = (–5) (–5) (–5) (–5) = 625 • (–5)5 = (–5) (–5) (–5) (–5) (–5) = –3125 Observe que el signo del resultado es consecuencia de las reglas de multiplicación de los números racionales.

Operaciones con potencias Para poder operar con exponentes hay que tener en cuenta, que:

103

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS

III

• Si a es un número cualquiera, entonces: a1 = a Esto significa que si el exponente es uno el resultado es igual a la base de la potencia. Ejemplos: • • • •

13281 = 1328 0.041 = 0.04 (–2456)1 = –2456 (–0.378)1 = –0.378

•

(

34 59

)

1

=

34 59

Si a es un número cualquiera distinto de cero, entonces: a0 = 1 Esto significa que si el exponente es 0 (cero), el resultado de la potencia siempre es igual a 1. Ejemplos:

104

• • • •

13280 = 1 (–0.375)0 = 1 2.180 = 1 (–4.30)0 = 1

•

(

34 59

) =1 0

LECCIÓN 8 Aquí hay que considerar la condición a ≠ 0, ya que no se puede resolver la potencia 00. Hasta ahora hemos hablado de exponentes que son números naturales, es decir 0 ó cualquier número entero positivo; pero el exponente de una potencia también puede ser un número entero negativo. En este caso

• Si a es un número cualquiera distinto de cero,

y n es un

número natural, entonces: a = -n

( )= 1 a

n

1 an

Esto significa que cuando el exponente es negativo se debe transformar la potencia en otra cuya base sea el inverso multiplicativo de la base dada, cuyo exponente sea el inverso aditivo del que se tenía. Ejemplos: • 2–3 =

( )= 1 2

3

1 23

=

( ) =-

• (–2) –3 = -

( ) = (–2)

• •

1 2

3

1 2

-3

3

-4

3 2

1 23

=-

=

1 8

1 8

= –8

( )=( )= 2 3

1 2x2x2

4

81 16

Hemos dicho que en matemáticas es útil el uso de letras para expresar un número cualquiera, para representar una cantidad

105

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS

III

que no conocemos o para expresar relaciones entre números; entonces, así como usamos los exponentes para indicar productos entre números, también los usamos cuando los números están representados por letras. De este modo podemos escribir 2x2, z–3, etc. Por otro lado es importante recordar que si una expresión está encerrada entre paréntesis y elevada a una potencia, esto significa que toda la expresión debe elevarse a la potencia indicada. Por ejemplo: 1

• (5 + 2 – 2)2 = 3.5 2 = 12.25 • (x + 2 y)3 = (x + 2 y) (x + 2 y) (x + 2 y) Ahora veremos ciertas reglas que nos permiten hacer operaciones con potencias.

• Producto de potencias de igual base. Al multiplicar dos potencias que tienen la misma base, se obtiene como resultado otra potencia cuya base es la misma que tienen los factores, y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes dados. Es decir, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros: an·am = an + m Ejemplos: • 5 6 x 5 7 = 513 • 10 3 x 10–3 = 10 0 • (–14.5) –9 x (–14.5) 7 = (–14.5) –2

106

LECCIÓN 8

• Cociente de potencias de igual base. Al

dividir dos potencias que tienen la misma base, se obtiene como resultado otra potencia cuya base es la misma que tienen el dividendo y el divisor, y cuyo exponente es igual a la resta del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Es decir, si a es un número cualquiera distinto de cero, y m y n son números enteros: an ÷ am = an – m Ejemplos: • 85 ÷ 8 3 = 82 • 6 2 ÷ 6 –5 = 67 • (–7.03) –4 ÷ (–7.03) –3 = (–7.03) –1

• Potencia de otra potencia. Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene como resultado una potencia cuya base es la misma de la potencia original y cuyo exponente es el producto de los dos exponentes. Es decir, si a es un número cualquiera, y m y n son números enteros: (an)m = an·m Ejemplos: • (18 6)2 = 18 12 • (–95)–3 = –9 –15 • (6.3 –2)–3 = 6.3 6

107

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS

III

Ejercicio 1 Calcule las siguientes potencias: a) 3.5 3 b) 0.50 –2 c) –3.2 0 d) 1.28 1

f) (–1.02)3 g) (–28) 2 h) 0.5 3 i) 10 –12

( )

e) -

3 4

-4

j)

( ) 7 9

-2

k) (–5.4) –1 l) 0.4 2 m) (1.25) –3 n) (–1.25) 3 o)

( ) 4 5

-2

p) 10 9 q) 1876 0 r) 1 165 s) (–4.2) 2

(

t) -

2 3

)

5

Ejercicio 2 Exprese como potencias cuyos exponentes sean números naturales los resultados de las siguientes operaciones: a) 105 x 10 –2 b) 2 6 x 2 –10 x 2 5 c) 128 –3 ÷ 128 3 d) –34 4 ÷ (–34) 6

e) (5 3)4 f) [(–4) 3]2 g) (3x)5 (3x)2 h) z8 · z2 ÷ z4

i) (w 2)–4 j) (–2h)3 (–2h)–4 (–2h) k) a18 ÷ a–12 l) [(u3)–5]–2

Propiedades de la potenciación Así como la suma y la multiplicación tienen propiedades, también la operación de potenciación tiene propiedades, que son las que veremos a continuación.

108

LECCIÓN 8

• La potenciación es distributiva con respecto al producto. Si a y b son dos números cualesquiera y m es un número entero, entonces: (a · b)m = am · bm Ejemplo: • (2 x 5)3 = 10 3 = 1000, y también 23 x 5 3 = 8 x 125 = 1000 Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una multiplicación a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de los dos procesos siguientes: • Resolver primero la multiplicación y después elevar el producto a la potencia indicada. • Elevar a la potencia dada cada uno de los factores y después resolver la multiplicación.

• La potenciación es distributiva con respecto de la división. Si a y b son dos números cualesquiera, con b distinto de cero, y m es un número entero, entonces: (a ÷ b)m = am ÷ bm Ejemplo: • (6 ÷ 3)2 = 2 2 = 4, y también 62 ÷ 3 2 = 36 ÷ 9 = 4 Esta propiedad nos dice que si tenemos que elevar una división a una potencia dada, podemos seguir cualquiera de los dos procesos siguientes:

109

GUÍA

DE

MATEMÁTICAS

III

• Resolver primero la división y después elevar el cociente a la potencia indicada. • Elevar a la potencia dada el dividendo y el divisor y después resolver la división.

• La potenciación no es distributiva con respecto de la suma o la resta. Si a y b son dos números cualesquiera y m es un número entero, entonces en general: (a + b)m ≠ am + bm (a – b)m ≠ am – bm Ejemplos: • (3 + 5) 2 = 8 2 = 64, pero este resultado es diferente de 32 + 5 2 = 9 + 25 = 34 • (3 – 5) 2 = (–2) 2 = 4, pero este resultado es diferente de 32 – 5 2 = 9 – 25 = –16 Esto significa que si debemos elevar a una potencia dada una suma o una resta debemos: • Resolver primero la operación indicada y después elevar el resultado a la potencia dada.

Ejercicio 3 Resuelva los siguientes ejercicios: a) (5 x 4)3 b) (103 ÷ 102)4

110

h) (–8.6 ÷ 4.3)5 i) (7.23 + 2.77)6

o) (r · s · t)4 p) (x · 5y)2

LECCIÓN 9 c) (8 + 3)3 d) (3 – 5)4 e) (2.1 ÷ 0.3)2 f) (–5) 3 + (–4) 3 g) (10 x 0.23)2

j) [–19.56 – (–19.56)]8 k) (6z)2 l) (y · z)3 m) (c ÷ d)7 n) (g7 ÷ g3)2

q) (3a x 2b)3 r) [k–10 ÷ (k5 · k3)]2 s) (v2 ÷ u3)4 t) (p + q)2

Lección 9: Polinomios Nosotros ya hemos trabajado con distintas expresiones algebraicas desde el primer curso de secundaria y sabemos que en las expresiones algebraicas, las letras representan números. Ahora veremos algo más referente a estas expresiones y cómo podemos operar con ellas recordando las propiedades que hemos visto para las operaciones aritméticas.

Definiciones Comenzaremos por conocer algunos nombres con los que se identifican algunas expresiones algebraicas. • Se llama monomio a una expresión algebraica en la que no hay sumas ni restas. Por ejemplo: 1

3xz2, 5y, - 2 w, ab, etc.

111