Universidad Los Ángeles de Chimbote

CURSO BIOESTADÍSTICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD

LECTURA 04: INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL. INTERVALOS DE CONFIANZA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES. TEMA 8: INTERVALOS DE CONFIANZA: INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN 1. INTRODUCCION: Actualmente se debe estar bien consciente de que las poblaciones son generalmente muy grandes como para ser estudiadas en su totalidad. Su tamaño requiere que se selecciones muestras las cuales se pueden utilizar para hacer inferencias sobre poblaciones. Hay dos tipos de estimadores que se utilizan más comúnmente para este propósito: un estimador puntual y un estimador por intervalo. Un estimador puntual utiliza un estadístico para estimar el parámetro en un solo valor o punto. El estimador puntual por ser un solo numero, no proporciona por si mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación. Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendrá que x = µ . El estimado puntual nada dice sobre lo cercano que esta de µ . El Psicologo puede seleccionar una muestra de n=50 pacientes y hallar la edad promedio de x = 36 , este valor sirve como estimación puntual para la media poblacional. Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esta estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un intervalo de confianza. Una estimación por intervalo especifica el rango dentro del cual está el parámetro poblacional desconocido. El Psicologo puede decidir que la media poblacional esté entre 35 y 38. Tal intervalo con frecuencia va acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza que se da con exactitud. Por lo tanto se llama intervalo de confianza. En realidad hay tres niveles relacionados comúnmente con los intervalos de confianza: 99%, 95% y 90%. El Psicologo mencionado puede tener un 95% de confianza en que la media poblacional está entre 35 y 38.

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2. DEFINICIÓN: Es el rango dentro del cual se encuentra el parámetro desconocido θ con un nivel de confianza dado.

ˆ , se trata de En base a una muestra aleatoria y la correspondiente estadística θ encontrar un intervalo [L 1, L2] llamado Intervalo de Confianza que debe contener el parámetro θ con una probabilidad dada (1-α) llamado nivel de confianza. Si θˆ es una estadística f( θˆ )

1-α

α/2

α/2 L1

θ. 1

L2

fig. 11 El intervalo [L1, L2] es un intervalo aleatorio ya que sus extremos L 1, L2 llamados límites de confianza son variables cuyos valores varían de una muestra a otra. La Estimación Interválica consiste en calcular L 1, L2 dada una muestra aleatoria y un nivel de confianza (1-α) y decir que se tiene confianza del 100 (1-α) % que el intervalo contiene el valor desconocido θ. Por ejemplo: Si 1-α = 0.95, se dice que se tiene una confianza del 95% que el intervalo contenga el valor desconocido θ; o bien, de 100 intervalos aleatorios que se tomen 95 de las veces contendrá el parámetro y sólo 5 veces no lo contendrá.

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TEMA 09: INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL HACIENDO USO DE LA ESTADISTICA Z Y T. 1.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL P[ L 1 ≤ µ ≤ L 2 ] = 1 − α

1-α

α/2

μ

L1

α/2

L2

fig. 12 Se presentan los siguientes casos: 1.1.

CASO I: Uso de la Estadística Z.

i) Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional conocida σ2 y población normal o no.

ii)

L1 = x − Z 0 × σ

x

L 2 = x + Z0 × σ

x

(

)

2 2 Muestra grande (n ≥ 30), varianza poblacional desconocida σ ≅ s y población

normal o no. L1 = x − Z 0 × s x L 2 = x + Z0 × s x

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Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional conocida σ normal.

iii)

1.2.

L1 = x − Z 0 × σ

x

L 2 = x + Z0 × σ

x

2

CASO II: Uso de la Estadística t. Muestra pequeña (n < 30), varianza poblacional desconocida

y población

(σ

2

≅ s2

)

y

población normal. L1 = x − t 0 × s x L 21 = x + t 0 × s x Donde:

t 0 = t 1− α / 2 , n -1

2. ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA El error estándar es una medida de la dispersión de las medias de muestras alrededor de la media de la población. Si la dispersión disminuye (si σ se hace más pequeña), entonces los valores tomados por la media de la muestra tienden a agruparse mas cercanamente alrededor de µ . Y a la inversa, si la dispersión se incrementa (si σ se agranda), los valores tomados por la media de la muestra tienden a agruparse menos cercanamente alrededor de µ . Al disminuir el error estándar, el valor de cualquier media de muestra probablemente se acercara al valor de la población, lo que quiere decir que al disminuir el error estándar, se incrementa la precisión con que se puede usar la media de la muestra para estimar la media de la población. •

Si el muestreo es con o sin reposición en una población infinita (o con sustitución en una población finita de tamaño N), el error estándar de la media muestral es: σ → (σ 2 conocida ) i) σ x = n ii)

sx =

s → (σ 2 desconocida ) n

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•

Si el muestreo es sin reposición en una población finita de tamaño N, el error estándar de la media muestra es: =

σ × n

N− n → (σ 2 conocida ) N− 1

ii) s x =

s × n

N− n → (σ 2 desconocida ) N− 1

i) σ

x

Donde:

N− n es el factor de corrección para población finita. N− 1

NOTA: Generalmente se utiliza el muestreo sin reposición en poblaciones infinitas y finitas de tamaño N Ejemplo 1: Se ha llevado acabo una prueba para determinar el coeficiente intelectual medio de los alumnos, sabiendo que el coeficiente intelectual sigue una distribución normal con desviación estándar 24 . De una muestra de 100 alumnos se obtiene un un coeficiente intlectual medio de 90 soles. Calcular un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente intelectual medio poblacional tomando en cuenta que el coeficiente normal varía de 80 a 120. Solución: a) Se desea estimar:

μ: Coeficiente intelectual medio poblacional b)

Análisis: • n = 100 • n=100 (n>30) • σ = 24 soles

x = 90

• Varianza poblacional conocida y población normal. • Para un nivel de confianza 1 – α = 0.95

ZO = 1.96

• Error estándar de la media muestral x es: σ 24 σx = = = 2.4 n 100 ____________________________________________ Elaborado por Fecha Versión

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c)

Haremos uso de la estadística Z descrita en el Caso I – i:

d)

Hallando el intervalo de confianza: σ L1 = x − Z0 × = 90 − 1.96 × 2.4 = 85.30 n σ L 2 = x + Z0 × = 90 + 1.96 × 2.4 = 94.70 n

e)

Interpretación: El coeficiente medio intelectual poblacional de los alumnos varia entre 85.30y 94.70 con una confianza del 95%.

Ejemplo 2: Un Psicologo hace un estudio sobre el número de comportamientos agresivos a la semana en una muestra aleatoria de 9 monos de una determinada zona obtiene una media media muestral de 11 agresiones, considerando que la poblaciòn es normal con varianza 12 . Obtener un intervalo de confianza del 90% para el número medio de comportamientos agresivos real. Solución: a) Se desea estimar: μ: Número medio de comportamientos agresivos. b) Análisis: x = 11 • n=9 • n=9 (n