Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educación Matemática.

Lenguaje de las ecuaciones diferenciales 2° parte.

Soluciones de una EDO Para este curso ya estamos familiarizamos con los términos función explicita y función implícita ya que estos se trabajaron en los cursos de cálculo 1 y 2. Para nuestro caso, una solución en la que la variable dependiente se expresa solo en términos de la variable independiente y las constantes se dice que es una solución explicita. Solución en forma explícita: Trabajaremos de tal manera que consideramos una solución explicita como una fórmula de la forma y    x  que podamos manejar, evaluar y derivar usando las reglas usuales. [La solución trivial y  0 es una solución en forma explícita. sin embargo, cuando veamos los métodos de solución, veremos que no siempre estas están en forma explícita] Ejemplo1: Dada d y  x   y  x  que equivale a y  x   y  x   0 , ¿es la función dx en forma explícita para la EDO? Solución: tomamos

 x   e x  x   solución

 x   y y evaluamos la 1° derivada, veamos:  x   e x    x   e x ahora

reemplazamos en la EDO para probar que la suma sea igual a cero y  x   y  x   0  e x  e x  0  0  0 por tanto

 x   e x si es una solución en forma explícita para la EDO dada.

Solución en forma implícita: Se dice que una relación G  x, y   0 es una solución implícita de una EDO en un intervalo I, suponiendo que existe al menos una función  que satisfaga ña relación así como la ecuación diferencial en I. [no es tema de este curso investigar la condición bajo la cual la relación G  x, y   0 define una función derivable  . Por lo que supondremos que si implementamos formalmente un método de

solución nos conduce a una relación G  x, y   0 , entonces existe al menos una función  que satisface tanto la relación G  x, y   G  x ,  x   0 como la EDO en el intervalo I.]

Ejemplo: ¿la relación x 2  y 2  25 es una solución implícita de la EDO dy   x en el intervalo - 5,5  ? dx

y

Solución: derivamos implícitamente y tenemos: d x 2  d y 2  d 25  2 x  2 y dy  0 resolviendo la ecuación para dx dx dx dx dy dy 2x dy x . De igual manera resolviendo y en términos de x se obtiene dy se obtiene: 2x  2 y 0    dx dx dx 2y dx y

y   25 - x 2 las dos funciones y  1  x  

25  x 2  y   2  x   

25  x 2 satisfacen la relación que es

Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educación Matemática. 2 2 x 2  1  25 y x 2   2  25 y son soluciones explicitas definidas en el intervalo - 5,5  . Las curvas solución

dadas en las figuras adjuntas son tramos de la solución implícita. Obsérvelas con atención b. soluciones explicitas

y   25 - x 2 para - 5  x  5

Nota: cualquier relación del tipo x 2  y 2  c  0 formalmente satisface la Edo dada para cualquier constante c. Sin embargo, se entiende que la relación siempre tendrá sentido en el sistema de los números reales; así por ejemplo, si c=-25 no podemos decir que x 2  y 2  25  0 es una solución implícita de la ecuación. Justifique por qué.

Solución en forma paramétrica: La solución está dada como una curva C que es descrita por ecuaciones paramétricas de la forma:

 xt   x , tI ( ) C t     y t   y En este caso para calcular dy consideramos que: dy  dy y que dx  dx para obtener dy  dx dt dt dx

Ejemplo: La curva C t   

xt   4t  1

dy dt dx dt

2

, t  (0,1) ¿es solución de la EDO 4  dy   y  2  0 ? 2   y t  t  2  dx  

Solución: De las ecuaciones que definen a C hallamos dy en la forma antes mencionada para obtener: dx

dy  dx

dy dt dx dt

2



2t t , reemplazando en el lado izquierdo de la EDO se tiene:  t  4  t2  2 2  0  4 2 2

Solución en forma de una integral: La solución está dada como una integral que NO podemos calcular.

Ejemplo: La función

 x   e

 x2

 x t2  dy  2 xy  1 ?   e dt  c  , c   , es solución de la ED dx 0 

Solución: para hallar  x  debemos recordar el teorema fundamental del cálculo

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 x t2  2 2  x2    x   e - 2x   e dt  c   e - x e x Reemplazando en la ED tenemos: 0  x x    2  2  2  2    x   2 x  x   - 2xe  x   e t dt  c   1   2x  e - x   e t dt  c    1 Por lo tanto   x  es  0  0   solución de la ecuación dada.

Familias de soluciones El estudio de las ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo integral. De ahí que es extraño encontrar en algunos textos de las referencias bibliográficas que una solución  sea llamada integral de la ecuación y su grafica sea llamada curva de la integral. Cuando obtenemos una antiderivada o una integral indefinida, usamos una sola constante de integración llamada c. De modo similar, cuando resolvemos una ecuación diferencial de primer orden F  x, y, y   0 normalmente obtenemos una solución que contiene una sola constante arbitraria llamada parámetro c. Una solución que contiene una constante arbitraria c representa el conjunto G  x, y,c   0 de soluciones llamado familia de soluciones uniparamétrica. Hay casos en que encontramos una solución con dos parámetros c1 y c2 respectivamente, ésta será llamada familia de soluciones biparamétrica. En general cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden n F x, y, y ,..., y n    0 buscamos una familia de soluciones n-paramétricas G x, y,c1 ,c2 ,...,cn   0 . Esto significa que una sola Edo puede tener infinito número de soluciones correspondiendo a un número ilimitado de elecciones de parámetros.

Nota:

 

Si en la solución general asignamos valores a los parámetros Ci ; i  1,2,...,n obtenemos una solución que denominamos solución particular. Si una solución no se puede obtener a partir de la solución general dando valores a los parámetros Ci ; i  1,2 ,...,n dicha solución la llamaremos singular.

En este ejemplo se verá la diferencia entre la solución general, solución particular y una solución singular.

Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educación Matemática. 2 Dada la E.D. y - xy  -  y 2  0 y las funciones 1 x   C1 x  C12 ; C1   ;  2  x   2 x  4 , y  3  x    x , 4 verifiquemos que tanto 1 x , 2 x , y  3 x , son solución de la ecuación dada.

-

Para 1 x   1 x   C1 reemplazando al lado izquierdo de la ED se tiene:





2 2 2 1  x   x 1  x   1  x   C1 x  C1  xC1   C1   0 de donde vemos que  1  x  es solución de la ecuación

-

Para  2 x    2 x   2 reemplazando al lado izquierdo de la ED se tiene:

2 2  2 x   x  2 x    2 x    2 x  4  x 2   2  0 Vemos que  2  x  también es solución de la ecuación

-

Para  3 x    3 x    x reemplazando al lado izquierdo de la ED se tiene: 2

  x2   x  x 2   x    -     0 Que también es solución de la ecuación  3 x   x  3 x    3 x     2  2  4  2

De ahí que la función 1 x   C1 x  C12 ; C1   es llamada una familia uniparametrica de curvas (familia de rectas), y actúa como una solución general de la ecuación y - xy  -  y 2  0 que puede ser representada en la forma G  x, y,C1   0 , C1   . La función  2  x   2 x  4 , que se obtuvo a partir de  1  x  dándole al parámetro C1 el valor de -2 es llamada una solución particular de la ED. La función  3  x    x

2

(una

4

parábola) NO se puede obtener a partir de  1  x  asignándole valores al parámetro C1 por tanto es llamada una solución singular de la ED

Problemas con Valores Iniciales. [PVI] Con frecuencia nos interesan problemas en loq eu busquemos una solcuion  1  x  de una ecuación diferencial tal que  1  x  satisface condiciones prescritas, es decir, condiciones impuestas sobre una   x  desconocida o sus derivadas. En algún intervalo I que contiene a x0

n En general si nos piden resolver d y  f x , y , y ,..., y n1  sujeto a yx0   y0 , y x0   y1 ,..., y n1 x0   yn1 , n

dx

Donde y0 , y1 ,..., y n1 son constantes reales arbitrarias dadas, se llama problema de valores iniciales (VIP). Los valores de y x  y de sus primeras n-1 derivadas es un solo punto x0 , y x0   y0 , y x0   y1 ,..., y n1 x0   y n1 , se llama problema de condiciones iniciales

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Taller de práctica #2.

¿Es la función dada (en forma explícita) una solución de la E. D. que se indica? (suponga en todo caso que la función  está definida en un intervalo donde tenga sentido hablar de solución). 1.

  x   e -x ; y   y  0

2.

1  x   ln   ; xy   y   0 x

3.

 t   - 3 e -2t  5e - t ;

4.

 t   3t 2 - 1 ; 1 - t 2

5.

 x   e x  2x 2  6x  7 ;

6.

 t  

7.

 x   x 3  c e -3x , c  IR ;

8.

 t  

9.

 x   C1e - x  C2 e - 2x  7  6x  2x 2 , C1 ,C2  IR ;







2

 ddt y - 2t dy 6 y 0 dt 2

t  c , c  IR ;



10.  t  

d 2x dx  3  2x  0 2 dt dt



2

d2y dy  3  2 y  4x 2 2 dx dx

dy  dx

y t

dy  3y  3x 2 e 3 x dx

1  ce 2t dy , c  eIR;  y 2 1 dt 1  ce 2t d2y dy  3  2 y  4x 2 2 dx dx

3 C1e 3t dP , C1  eIR;  3P  2 P 2 dt 1  2C1e 3t

2. ¿Es la relación dada (en forma implícita) una solución de la E. D. que se indica? (Igual observación que en los ejercicios anteriores con respecto al intervalo)

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1. x 3  3xy 2  1; 2xy dy   x 2  y 2  0  dx  2 3 3 2. 5x y  2 x y  1; y dx  x dy  0 3. ln  2 - x   t ;  dy   2  x 1  x   1- x   dx  4. xy  x  1 y  1; xx - 1 y  y  y - 1  0 5. x 2  2 y 2 ln (y); y  

xy x  y2 2

3. ¿Es la curva dada, (en forma paramétrica), una solución de la E. D. que se indica? t   1. C   x t  te ; 1  xy  dy  y 2  0 -t

 y t   e

dx

 x t   t ln (t) 2. C   ; 2  y t   t 2 ln t   1

  y   ln  4  y   4x   

 x t   t 2  e t 3. C   ;  y    e y  x 2 3 t     y t  t  t 1 e  3   x t   - 2t 2 4. C   ; t  - 1,1 ; y  xy    y  2   y t  t 

4. Para cada uno de los siguientes P. de V. I. hallar la región del plano xy donde el problema tiene solución única. (si le es posible trate de graficar dicha región)

1.

2y  dy  1  x  dx  y x0   y0

 dy 1  y 2 3.  dx  x 2  1  y x   y 0 0 

 dy

2.  dx  y

2

3

 y x0   y0

4.

 dy 1- y   x2  dx  y x   y 0 0 

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Referencias:  

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Zill, Dennis., y Cullen, Michael. (2009). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. Séptima edición. ISBN-13:978-970-830-038-4. ISBN-10:970-830-038-1. México Kreider, Donald., y Kuller, Robert. (1973). Ecuaciones Diferenciales. Versión en Español de M. en C. Federico Velasco Coba. Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México.Fondo Educativo Interamericano Bogotá. Arnold V.I.: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Mir, 1974. Berkley/Blanchard, "Calculos", Saunders College Publishing Elsgoltz: Ecuaciones diferenciales y Cálculo variacional. Mir, 3a ed. Granville, "Calculo diferencial e integral", editorial LIMUSA. ISBN 968-18-1178-X Simmons, G.F.: Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill, 1993 Stewart, J. “Cálculo Multivariado. Trascendentes tempranas”.Cengage Learning. Sexta edición. 2008. Texto guía del curso. Stewart. Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999.