Matemática I – 6° FM

Definición de Límite

Límites de una función Introducción Comenzaremos a analizar la definición del límite finito de tendencia finita a través de un ejemplo. Consideremos la función f. Observemos su regla de asignación y su representación gráfica:

Vemos que si tomamos valores de x cerca de 3, pero diferentes de 3, los valores de las imágenes están "cerca" o "se aproximan" a 1. En esta situación, se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 3 es 1 Observemos lo siguiente: Si tomamos en el eje vertical un entorno de centro 1 y radio tenemos que es decir

ε = 0,5 ,

0,5 < f ( x) < 1,5 0,5 < 2 x − 5 < 1,5

Luego dividimos entre 2:

0,5 + 5 < 2 x − 5 + 5 < 1,5 + 5 5,5 < 2 x < 6, 5 2, 75 < x < 3, 25

Observemos que

3 − 0, 25 < x < 3 + 0, 25

es decir:

x ∈ E3, 0,25

Ahora sumamos 5 en cada parte: y operamos:

Pero como dijimos que x no puede valer 3, el entorno es reducido por lo tanto:

x ∈ E3,* 0,25

De la misma manera podríamos haber tomado un épsilon menor aún, lo que implicaría una mayor aproximación a 1, para lo cual los valores de x deben estar más próximos aún a 3.

En general, podemos proponernos tomar, para cualquier

ε > 0 , f ( x) 9

entre 1 + ε y 1 − ε profesormartinlopez.webs.com

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Definición de Límite

Para eso, razonamos análogamente a la parte anterior:

1 − ε < f ( x) < 1 + ε 1 − ε < 2 x − 5 < 1 + ε (con x ≠ 3 ) 6 − ε < 2x < 6 + ε

3−

ε

2

< x < 3+

ε

2

* Encontramos que x debe pertenecer a un E ε . Si a este radio le llamamos δ , para todo ε positivo podemos hallar 3, 2 positivo tal que para todo x ≠ 3 , con 3 − δ < x < 3 + δ , tendremos que 1 − ε < f ( x) < 1 + ε .

δ

Si utilizamos la definición de entorno, tenemos que: *

Para todo E1,ε existe un E3,δ tal que si

x ∈ E3,* δ , entonces f ( x) ∈ E1,*ε

Por cumplirse esto, decimos que

En el ejemplo podemos observar que f (3) ≠ 1 , por lo tanto, f (3) no tiene necesariamente que coincidir con lim f (3) . Y x →3

aun existiendo el límite, puede no existir f (3) . Ejercicio Sea

f : ℝ − {a} → ℝ / f ( x) =

x2 −1 x +1

a) Halla a para que f sea función. b) Haz un bosquejo de la función. c) Intuye cuál es el límite cuando x tiende a -1. d) Halla

δ

positivo, tal que si

x ∈ E−*1,δ ⇒ f ( x) ∈ E−2,0.5 Definición de límite (primera aproximación)

límite finito de tendencia finita Consideramos una función real f y dos números reales a y b.

Otras maneras de escribir esto: Son equivalentes a − δ < x < a + δ , con x ≠

Son equivalentes

x∈E −δ < x − a < δ , con x ≠ a

b − ε < f ( x) < b + ε f ( x) ∈ Eb ,ε −ε < f ( x) − b < ε

x−a 0∃δ > 0 / 2 − δ < x < 2 + δ ⇒ 4 − ε < f ( x) < 4 + ε ∀ε > 0 ∧ ∀δ > 0, 2 − δ < x < 2 + δ ⇒ 4 − ε < f ( x) < 4 + ε x ∈ E2, 0,1 ⇒ f ( x) ∈ E4, 0,3 ∃ε > 0 / ∀δ > 0, 2 − δ < x < 2 + δ ⇒ 4 − ε < f ( x) < 4 + ε

Veremos dos ejemplos sencillos: Ejemplo 1 Utilizar la definición para probar que Debemos probar que para todo Dado que la elección de

Operando, tenemos que

δ

lim3 x−2= 4 x →2

ε >0

dado, existe un

depende de

δ >0

tal que (3 x − 2) − 4 < ε siempre que

0< x−2 0 dado, podemos tomar δ = . 3

Y esto funciona, porque

x−2 0

dado, existe un

apropiado, comencemos por escribir

Para todo x del intervalo (1,3), sabemos que Por lo tanto, tomando

δ >0

δ

tal que

x 2 − 4 < ε cuando 0 < x − 2 < δ .

x2 − 4 = x + 2 ⋅ x − 2 .

x+2 K . Es decir lim f ( x) = +∞ . Esto conduce a la siguiente definición:

tenemos que

x →a

Definición de límite infinito de tendencia finita

lim f ( x) = +∞ si ∀K ∈ ℝ∃Ea*,δ / si x ∈ Ea*,δ ⇒ f ( x) > K . x →a

En forma análoga puede definirse los límites infinitos laterales.

Límite finito de tendencia infinita Consideremos la función

3x − 1 1  . f : ℝ −   → ℝ / f ( x) = 2x −1 2

Mediante un razonamiento análogo al realizado en la función anterior, podemos investigar qué ocurre con f ( x ) a medida que tomamos valores grandes de x . Podemos utilizar una tabla de valores e intuir el resultado:

x 10 100 1000

f ( x)

Como podemos observar, a medida que x se acerca al infinito, los valores de f ( x ) se acercan al valor 1,5. Esta situación está representada en el gráfico de la derecha y ya es conocida por nosotros: se trata de la función racional, cuyas asíntotas tienen por ecuación x = 1/ 2 e y = 3 / 2

Esto conduce a la siguiente definición:

Definición de límite infinito de tendencia infinita

lim f ( x) = b si ∀Eb ,ε existe H ∈ ℝ tal que si x > H , entonces f ( x) ∈ Eb ,ε .

x →+∞

En forma análota puede definirse este límite cuando

x tiende a −∞ , lo que queda a cargo del lector.

Para terminar las combinaciones de límites y tendencias, veamos la siguiente definición:

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Definición de Límite Límite infinito de tendencia infinita

Consideremos la función

f : ℝ → ℝ / f ( x) = x3 .

x toma valores grandes, f ( x) también toma valores grandes. Es decir: si x tiende a +∞ , entonces f ( x ) también tiende a +∞ . Esto nos conduce a la siguiente definición: Inspeccionando el gráfico adjunto podemos ver que si

Definición de límite infinito de tendencia infinita

lim f ( x) = +∞ si ∀K ∈ ℝ existe H ∈ ℝ tal que si x > H , entonces f ( x) > K .

x →+∞

En forma análoga podemos definir las restantes combinaciones de signo, lo que queda a cargo del lector: Definir

lim f ( x) = −∞ , lim f ( x) = −∞ y lim f ( x) = +∞ .

x →+∞

x →−∞

x →−∞

Algunos ejercicios Para cada una de las funciones representadas, indica el dominio y los límites que se indican. Dominio:

lim f ( x) =

x → 0−

lim f ( x) =

x →−∞

lim f ( x) =

x → 0+

lim f ( x) =

x →+∞

Dominio:

lim g ( x) =

lim g ( x) =

x →−∞

x →+∞

lim g ( x) =

lim f ( x) =

x → 2−

lim g ( x) =

x → 2+

x →0

Dominio:

lim h( x) =

x → 0−

lim h( x) =

lim h( x) = x →0

x →1−

x →1+

lim h( x) =

lim h( x) =

lim− h( x) =

lim+ h( x) =

lim h( x) =

x →3

lim h( x) =

x →+∞

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lim h( x) =

x → 0+

x →3

x →1

x →3

lim h( x) =

x →+∞

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