Story Transcript
pag 26 32 Lineas de transmisio
7/11/03
12:31
Página 26
Líneas de transmisión. Principios de funcionamiento y aplicaciones a frecuencias de microondas
Las frecuencias de microondas [300 MHz - 300 GHz] están cada vez más presentes en nuestra vida diaria. Telefonía celular, transmisión de datos vía satélite, redes de área local, accesos sin cable de corta distancia y, por supuesto, hornos de microondas son algunos ejemplos de sus aplicaciones. La mayor diferencia con el diseño de componentes a bajas frecuencias se fundamenta en que a frecuencias de microondas la longitud de onda es comparable a las dimensiones físicas de los componentes del sistema, por lo que la teoría clásica de circuitos no es aplicable directamente. Se hace necesario recurrir a las ecuaciones de Maxwell para encontrar la distribución del campo electromagnético. Las líneas de transmisión de alta frecuencia son un tipo fundamental de componente en circuitos de microondas, para el cual la aplicación de las ecuaciones de Maxwell conduce a soluciones sencillas, representables con un circuito equivalente.
Isabel Gavela Pérez
Ingeniero Eléctrico del ICAI (1999). Desde octubre de 1999 trabaja para la multinacional Epcos en el departamento de diseño de componentes para frecuencias de microondas en la planta de Deutschlandsberg (Austria). Desde 2001 cursa adicionalmente estudios de doctorado sobre integración de elementos pasivos en substrato LTCC (Low Temperature Cofired Ceramics) en la Universidad Técnica de Graz (Austria).
26
Introducción En la teoría de líneas eléctricas es bien conocido que, cuando la longitud de éstas se aproxima a la longitud de onda de la señal electromagnética que conducen, los retardos en el establecimiento del campo electromagnético a lo largo del eje longitudinal deben ser tenidos en cuenta. Por ello la modelización de estas líneas, frecuentemente denominadas líneas largas, mediante circuitos equivalentes debe realizarse en tramos de longitud infinitesimal o parámetros distribuídos. No obstante, dado que la longitud de onda correspondiente a la frecuencia normalizada de las redes de transmisión de energía eléc-
anales de mecánica y electricidad / septiembre-octubre 2003
trica (de 50 Hz) es de unos 6000 km, longitud significativamente superior a la real de las líneas, el tratamiento habitual para estas redes consiste en modelizarlas con circuitos equivalentes simples, formados por una inductancia y una resistencia que describen el comportamiento en toda su longitud. La teoría de líneas largas, con modelización infinitesimal, solo tiene interés en este caso para el estudio de fenómnenos transitorios en los que aperecen frecuencias muy superiores. En este ar tículo se pretende desarrollar algunos aspectos de la teoría de líneas largas, aplicándola a un campo diferente, en el que su uso se hace imprescindible: las microondas.
pag 26 32 Lineas de transmisio
7/11/03
12:31
Líneas de transmisión Una línea de transmisión consiste en un conductor por el que se envía una señal y otro paralelo de referencia por el que retorna la corriente, asimilable al cable de neutro en una instalación eléctrica. Las secciones de ambos conductores pueden tomar formas arbitrarias pero deben mantenerse constantes a lo largo del eje longitudinal.Típicamente se utilizan metales de alta conductividad que pueden estar inmersos en un medio dieléctrico. El circuito mostrado en la Figura 1 representa un ejemplo de línea de transmisión en el aire formada por dos conductores de longitud l. En un extremo de la línea se coloca una fuente de tensión alterna con frecuencia v mientras que en el otro extremo, en vez de una carga o consumidor, ambos conductores se han cortocircuitado. La cuestión a resolver es: ¿qué impedancia de entrada, Zin, ve la fuente conectada a esta línea de transmisión? una respuesta inmediata sería cero o a lo mas una resistencia muy pequeña debida a las inevitables pérdidas; sin embargo un tratamiento mas exhaustivo del problema revelará las limitaciones de esta respuesta. El método de resolución comienza aplicando las ecuaciones de Maxwell a la línea de longitud l para demostrar que, en el modo de propagación considerado, esta justificado hablar de un potencial escalar entre ambos conductores en cada sección transversal de la línea, semejante al caso electrostático. A continuación se determina la distribución de este potencial a lo largo del eje z por medio del ciruito equivalente de parámetros distribuídos para líneas largas. Seguidamente se impone la condición de que el voltaje se anule en el punto del cortocircuito y, finalmente, se calcula el cociente entre voltaje e intensidad al otro extremo de la línea. Puesto que en la región de aire que separa ambos conductores no hay fuentes exteriores y la corriente debida a la conductividad del medio puede despreciarse por ser éste un buen aislante, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma: ≠E x H = ´0 –––– (1.1) ≠t ≠H x E = -m 0 –––– (1.2) ≠t
donde se han aproximado la permitividad dieléctrica y permeabilidad magnética a las del vacío. A continuación se supone que la
Página 27
Figura 1
Zin ν
cond b
ω cond a
x
z
-1 y
Figura 2
x y b
Exy
a
componente longitudinal (componente z) de los campos magnético y eléctrico es, o bien nula, o a lo más pequeña debida a las pérdidas óhmicas en los conductores. En este caso se dice que las ondas se propagan en la línea de transmisión según el modo TEM (Transverse ElectroMagnetic), lo cual es exacto para conductores ideales y una buena aproximación para materiales reales de alta conductividad. En general existen infinitos modos de propagación con componente longitudinal de E no debida a las pérdidas (modos TM, Transverse Magnetic) o componente longitudinal de H (modos TE, Transverse Electric), pero éstos aparecen a partir de ciertas frecuencias críticas, calculables a partir de las dimensiones transversales de los conductores, que no se superarán en este cálculo. Para el modo TEM, la tercera componente de la ecuación (1.2) se puede interpretar como Líneas de transmisión. Principios de funcionamiento y aplicaciones a frecuencias de microondas
27
pag 26 32 Lineas de transmisio
7/11/03
12:31
Página 28
Figura 3
(5.1)
dI ––– =(-G- jvC) • V(z) dz
(5.2)
I(z+∆z)
I(z)
R
L V(z+∆z)
V(z) C
G
lo que conduce a: d2V(z) –––––– – 2 - g2 • V(z) = 0 dz
∆z
(6.1)
g = a + jb = œ (R + j vL)•(G + jvC)
que, fijado z, el campo eléctrico que se establece entre ambos conductores es irrotacional
Las soluciones de esta ecuación diferencial de segundo orden son dos ondas de voltaje que viajan en direcciones opuestas a lo largo del eje z.
≠Ey ≠Ex –––– - –––– = 0 (2.1) ≠y ≠x
V(z) = V0 e-gz + V0 egz
x E xy = 0 (2.2)
Por lo tanto, para cada sección a lo largo del eje longitudinal esta justificado hablar de un potencial escalar V(z) o voltaje entre ambos conductores. b
V(z) = -ea E xy • dl (3)
Nótese que en las ecuaciones (2.2) y (3) y en la Figura 2 Exy se refiere al campo eléctrico total (Ez < 0 por hipótesis) en el plano z = cte. El análisis continúa determinando la dependencia de V en z. Para ello se divide la línea en trozos infinitesimales representables por un circuito equivalente. La Figura 3 muestra este circuito que consiste en una impedancia en serie, que describe los efectos de ambos conductores, y una admitancia en paralelo. Los parámetros R, L, G y C son la resistencia, autoinductancia, conductancia y capacidad mutua del sistema formado por ambos conductores por unidad de longitud. Sus valores se obtienen integrando los campos eléctrico y magnético como se indica en el apéndice I. Al igual que en circuitos de baja frecuencia, R y G son los parámetros disipativos. R representa las pérdidas óhmicas en los conductores y G las pérdidas dieléctricas del medio que los separa. En lo sucesivo se supone que las dependencias temporales son armónicas, lo que permite usar la notación compleja de Gauss y sustituir las derivadas temporales por el factor jv. Aplicando las leyes de Kirchoff al circuito de la Figura 3 se tiene: V(z) = V(z+z) + I (z) • Rz+jv Lz) (4.1) I (z) = I (z+z) + V(z) • Gz+jv Cz) (4.2)
En el límite de z O0, se obtiene: 28
dV ––– =(-R- jvL) • I (z) dz
anales de mecánica y electricidad / septiembre-octubre 2003
+
-
(7)
V0+ es la amplitud de una onda que viaja en la dirección positiva de z y V0- es la amplitud de una onda que viaja en sentido contrario. Cuando, como en el caso de la Figura 1, solo hay una fuente de señal, se denominan onda incidente y onda reflejada respectivamente. Del mismo modo existen dos ondas de intensidad: V0+ -gz V0- gz I(z) = I0+ e-gz - I0- egz = ––– (8) e - ––– e Z0 Z0
Z0 =
+ vL œ ––RG––––– + vL j j
(9)
A Z0 se le denomina impedancia característica de la línea, pues relaciona las amplitudes de voltaje e intensidad en cualquier punto de la línea tanto para la onda incidente como para la reflejada. En ausencia de pérdidas, el voltaje toma la expresión temporal: +
V(z,t) = V0 cos(ω t -œ LC z) + V0 cos(ω t +œ LC z)
(10)
Se trata de dos ondas con velocidad de fase v
1
1
Vp = ––– = ––––– = –––––– = c b œ LC œ ´ •m 0 0
(11)
Para cada sentido de propagacion, las ondas de voltaje e intensidad están asociadas a una onda electromagnética que viaja a través del medio dieléctrico y cuya velocidad de fase en modo TEM coincide con la de la luz. Nótese que la velocidad de propagación de las señales eléctricas coincide con la velocidad de la luz en el medio dieléctrico que rodea a los conductores. Las amplitudes V+0 y V0- se determinan en función de las condiciones de contorno del
pag 26 32 Lineas de transmisio
7/11/03
12:31
problema. En el caso de la línea de la Figura 1 el voltaje en la posición del cortocircuito debe anularse: –
–
z=0O0 = V0 +V 0 O V 0=-V0 (12.1) + + V(z) = V0 (e-gz-egz)=-2V0 sinh(gz) +
Página 29
Figura 4 Im(Zin) Z0 10
+
2•V+ V+ I(z)= ––0 (e-gz+egz)= ––––0 cosh(gz) (12.2) Z0 Z0
5
0
La impedancia de entrada toma el valor:
-5
V(I) Zin = –––– = -Z0tanh(g) I(I)
-10
(13.1)
v vo 0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
y en ausencia de pérdidas (R=0, G=0): Zin= +jZ0tan(bI)=jZ0tan(vIœ LC) (13.2)
Figura 5. Resonador de l/2
La expresión (13.2) proporciona la respuesta a la cuestión inicial sobre qué impedancia de entrada ve el generador: una impedancia puramente imaginaria que depende periódicamente de la frecuencia. A la frecuencia π –– ––––––– v 0 = ––– 2•1•œ LC la impedancia de entrada se hace infinita, o lo que es lo mismo el sistema de conductores cortocircuitados en su extremo aparece como un circuito abier to. En general a otras frecuencias la línea de transmisión presenta una impedancia finita, que llega a anularse. La Figura 4 muestra el valor de esta impedancia en función de la frecuencia Este interesante fenómeno encuentra aplicación en múltiples funcionalidades del diseño a alta frecuencia, como son resonadores, filtros, transformadores de impedancia o antenas.
Resonadores Una línea de transmisión de una cierta impedancia característica Z0 cortocircuitada en uno de sus extremos y cuya longitud coincide con la mitad de la longitud de onda a una frecuencia determinada que llamamos f S (Figura 5) se comporta como un resonador en serie y, por lo tanto, admite una representación equivalente formada por una inductancia y un condensador (Figura 6). Para determinar los valores de LS y CS vamos a comparar las expresiones simplificadas de la impedancia de entrada a frecuencias cercanas a la de resonancia. Por simplicidad se desprecian las pérdidas. Igualando (14.2) y (15.2) se obtienen los valores de LS y CS equivalentes al resonador
l=λS/2
ZS
l π•c l= ––s = ––– 2 vS v S = 2π ƒS
Z0
(14.2) v=v S+∆v G
(14.1)
π•∆v ~ ∆v•π jZ0 ––––– ZS = jZ0tan π+ ––––– = vS vS
πv ZS = jZ0tan(ßl)=jZ0tan ––– vS
(
( )
)
Figura 6. Resonador LC en serie
ZS CS
1 ZS = j LSv - ––– CSv
(
)
1 LS•CS= ––– v 2S
LS
(15.1)
v = v S+∆vGZS=j2LS ∆v
(15.2)
de línea de transmisión para frecuencias próximas a ωS Z0•π LS= ____ 2v S
1 C S = _____ (16) L S•v 2S
Si ahora la longitud de la línea de transmisión es un cuar to de la longitud de onda a una cierta frecuencia que llamaremos fP (Figura 7), ésta se comporta como un resonador en paralelo y admite el circuito equivalente de la Figura 8. De manera similar al caso anterior, se obtienen los parámetros del circuito equivalente, escritos en (17). Líneas de transmisión. Principios de funcionamiento y aplicaciones a frecuencias de microondas
29
pag 26 32 Lineas de transmisio
7/11/03
12:31
Página 30
fabricación pero su comportamiento es dispersivo al no estar rodeadas de un medio homogéneo. Las líneas de stripline se utilizan especialmente para realizar interconexiones en circuitos de multicapa. Finalmente, las líneas coaxiales se utilizan para fabricar resonadores de alta calidad usados, por ejemplo en LO (Local Oscillator) para generar una onda de frecuencia estable en las estaciones base. Poseen la desventaja de tener mayores costes de fabricación y difícil integrabilidad en circuitos impresos.
Figura 7. Resonador de l/4
l=λp/4
ZS
l π•c l= ––p = –––– 4 2•v p v p = 2π ƒp
Zo
Figura 8. Resonador LC en paralelo
ZS
Cp
1 Lp•Cp= ––– v 2p
Lp
π Cp= –––––– 4•v p•Z0
1 Lp= –––––– Cp• v 2p
(17)
Figura 9. Modos de fabricación de líneas microstrip
εr
stripline
coaxial
εr
εr
Figura 10. Filtro paso-banda. Circuito equivalente 1
2 B12
R1
Z0
~ U0
Z0
R2
U2
Filtros Una de las principales aplicaciones de la impedancia variable de una línea de transmisión es el diseño de filtros de alta frecuencia. Los filtros son imprescindibles para la los sistemas de transmisión por aire. En el caso de un sistema receptor un filtro de paso-banda se coloca normalmente tras la antena receptora para limitar el espectro de frecuencia captado por ésta, evitando así la saturación de los amplificadores posteriores y disminuyendo el ruido. En el transmisor, la presencia de un filtro de paso-banda o de paso-bajo antes de la antena es necesario para evitar la emisión de los armónicos producidos por los componentes no lineales, especialmente el amplificador de potencia, y cumplir, así, con los límites legales a la emisión electromagnética. Los filtros de alta frecuencia compuestos por líneas de transmisión consisten en una cascada de resonadores, normalmente del tipo l/4, acoplados por medio de elementos reactivos. La Figura 10 muestra un ejemplo de un filtro de paso-banda de segundo orden compuesto por dos líneas de transmisión de impedancia característica Z0 y longitud l, separadas por una susceptancia B12 El comportamiento de este circuito se puede caracterizar con el factor de transmisión,T (18), que se define como la raíz cuadrada de la relación entre la potencia consumida en la carga R2 y la máxima potencia que el generador es capaz de entregar al circuito, la cual se produce cuando éste presenta una impedancia igual a la conjugada del generador. U T = 2 –––2 U0
La realización de las líneas de transmisión puede tomar varias formas geométricas, algunas de las cuales están esquematizadas en la Figura 9. Las líneas de microstrip, que se utilizan fundamentalmente en circuitos impresos, poseen la ventaja de tener bajos costes de 30
anales de mecánica y electricidad / septiembre-octubre 2003
œ
R1 ––– R2
(18)
Un filtro pasivo ideal tiene un factor de transmisión igual a la unidad a las frecuencias de la banda de paso y nulo en el resto de las frecuencias. La banda de paso de este filtro tiene lugar a frecuencias próximas a las del comportamiento de las líneas como resonadores de
pag 26 32 Lineas de transmisio
7/11/03
12:31
l/4, pues en ese caso ofrecen una admitancia nula y la potencia de la fuente pasa a través del elemento reactivo, que no consume potencia activa, a la carga. En estas condiciones la carga reciba la máxima potencia disponible cuando su resistencia, R2 iguala a R1 por lo que suponemos el caso ideal R 1=R 2=R. El factor de transmisión del filtro de la Figura 10 puede ser calculado utilizando la teoría clásica de circuitos teniendo en cuenta la impedancia variable de las líneas de transmisión, y toma la expresión: T=
2• b12 j j (19) 1- –– cot(u) (j-2b12)+ –– cot(u) Z0 Z0
(
)[
Página 31
Figura 11. Influencia factor de acoplamiento T
1,0
0,8 b121 acoplo sobrecrítico b12=1 acoplo crítico
0,6
0,4
0,2
0 0
]
0,5
1,5
1,5
2,0
2,5
3,0
v •l c
donde b12 = B12•R
Z0 z0= ––– R
v • l • œ ´r u= ––––––––
Figura 12. Influencia de impedancia característica
c
La representación de T en función de la frecuencia muestra las características del filtro de paso banda. A la cantidad |b12| se la llama factor de acoplamiento . En el caso de |b12|=1 el acoplo se dice crítico, con una única frecuencia de transmisión perfecta, si |b12|1 existen dos frecuencias de transmisión perfecta, el acoplo es sobrecrítico. Para un factor de acoplamiento constante, diferentes valores de z0 determinan la anchura de la banda del filtro. En ausencia de pérdidas, la potencia que no se consume en la carga es reflejada y devuelta al generador. Por cada elemento reactivo y resonador añadido en cascada al circuito de la Figura 10 se aumenta el orden del filtro en una unidad. A igualdad de valores de z0 y b12 un filtro de mayor orden ofrece mejor atenuación pero tiene la desventaja de poseer mayores pérdidas y ocupar más espacio. Las líneas de transmisión de estos filtros están a menudo inmersas en un substrato dieléctrico, normalmente cerámico, de permitividad superior a la del aire, para reducir las dimensiones del componente. De este modo se alcanzan tamaños de 2 o 3 mm a frecuencias entre 1 y 5 GHz, a las que funcionan una gran parte de los sistemas de telefonía celular o transmisión de datos sin cable actuales. La Figura 13 muestra un filtro de GPS con frecuencia central de 1577 MHz basado en dos líneas de transmisión de tipo coaxial que actúan como resonadores de l/4. El medio es
T 1,0
0,8 z0=0.1 z0=0.2 z0=0.3
0,6
0,4
0,2
0 0
0,5
1,5
1,5
2,0
2,5
3,0
v •l c
cerámico de permitividad relativa aproximadamente 90. La señal de radio-frecuencia llega a los resonadores a través de las capacidades Cin y Cout que se fresan mecánicamente en la base metálica del filtro permitiéndole, así, ser soldado sobre una platina de circuito impreso. El acoplamiento entre ambos resonadores tiene lugar gracias al efecto capacitivo que se da entre los dos conductores interiores en la parte central del filtro. En este caso el acoplamiento, a diferencia del filtro esquematizado en la Figura 10, está distribuído en toda la longitud de las líneas. Este detalle confiere al filtro un cero en el factor de transmsión o “notch” fuera de su banda de paso. La posición de este mínimo de transmisión se puede ajustar con la geometría del diseño y es, por tanto, una potente herramienta para maximizar la atenuación a ciertas frecuencias sin incrementar el orden del filtro. La Figura14 muestra la respuesta de este filtro para GPS en el que la “notch” se ha siLíneas de transmisión. Principios de funcionamiento y aplicaciones a frecuencias de microondas
31
pag 26 32 Lineas de transmisio
7/11/03
12:31
Página 32
tuado alrededor de 1950 MHz para minimizar la interferencias con los sistemas de telefonía celular próximos. La Figura 15 muestra dos filtros cerámicos formados por dos y tres resonadores respectivamente soldados en la platina de un teléfono móvil para PCS 1900 MHz.
resonadores 1/4
Cin
Cout
Figura 13: filtro para GPS
Figura 14. Respuesta en frecuencia
GPS 1577 MHz
Conclusión Se han presentado los principios de funcionamiento de líneas de transmisión en modo TEM y su aplicación a algunos componentes de radio frecuencia. También se ha pretendido ilustrar la asombrosa generalidad de las ecuaciones de Maxwell y cómo su comprensión detallada puede llegar a resolver cualquier problema del electromagnetismo clásico. Apéndice Los parámetros distribuídos del circuito equivalente representado en la Figura 3 se obtienen identificando las expresiones de la energía electromagnética media almacenada para L y C y de la potencia disipada para R y G por unidad de longitud en línea de transmisión. Se supone que las variaciones temporales son armónicas, por lo que los conductores de la línea de transmisión poseen un voltaje y una intensidad acorde con las expresiones (7) y (8). m |I0|
L= –––2 DCS PCS UMTS 1842 - 1960 - 2140 -50 dB
1300
frecuencia [Mhz]
eS Hx •H*xy ds H/m
´ C=–––2
|V0|
R=
2100
œ
g
eS Ex •E*xy ds F/m
1
e
Figura 16
C1 S E H
Ω/m
S/m
(20.4)
Las ecuaciones (20.1-4) muestran las expresiones integrales de los parámetros del circuito equivalente. La superficie S es cualquier superficie transversal de la línea de transmisión y su dieléctrico. Para casos de conductores no concéntricos, como los representados en la Figura 2, esta superficie se extiende hasta el infinito. aunque en la práctica las fronteras de integración pueden colocarse en puntos en los que los campos eléctrico y magnético hayan decaído suficientemente. Nótese que estas integrales superficiales son en realidad integrales volúmetricas simplificadas sobre la unidad de longitud transversal, como requiere el cálculo de la energía electromagnética. Las trayectorias cerradas C1 y C2 son las curvas de contorno de los conductores en un plano z=cte. Aparentemente se trata de integrales de línea en las que el espesor del conductor no tiene influencia. En realidad, la ecuación (20.3) asume que el efecto corona es acentuado (el espesor de la metalización es mayor que la profundidad de penetración del campo electromagnético) por lo que la profundidad conductiva es un valor conocido que ya está implícito en la ecuación. En la ecuación (20.3) d es la conductividad de los conductores y en (20.4) d es el ángulo de pérdidas dieléctricas del medio aislante. Bibliografia [1] D.M. Pozar; Microwave Engineering, 1998 by John Wiley & Sons
C2
[2] F. García-Ochoa García, J.I Pérez Arriaga, Electrotecnia I, 1993, Ediciones ICAI [3] O. Zinke. Lehrbuch der Hochfrequenztechnik 1 Band. 1990, Springer-Verlag Berlin.
32
(20.3)
2
v ´ tand G= ––––––– E •E*xy ds |Vo|2 S xg
Figura 15
(20.2)
g
vm 1 ––– –––2 eHxg•H*xy dl 2s |I0| C +C
(20.1)
anales de mecánica y electricidad / septiembre-octubre 2003