LOS CONCEPTOS DE TIEMPO Y ESPACIO-TIEMPO EN FÍSICA

Máximo García Sucre Centro de Estudios Interdisciplinarios de la Física (CEIF) Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas (IVIC) Apartado 21827, Caracas 1020A, Venezuela.

RESUMEN Se hace una revisión bibliográfica de artículos relacionados, bien sea por afinidad o por contraste, con una teoría fundamental del tiempo y el espacio-tiempo desarrollada previamente. Se muestra cómo a partir del concepto primitivo de prepartícula y de la relación de pertenencia de la teoría de conjuntos, y cuatro postulados que hacen alusión a conceptos simples, se obtienen los conceptos derivados de tiempo, espacio-tiempo, referencial, partícula, campo, e interacción entre campos. Se analiza el problema de la "dirección" del tiempo y se examina una paradoja cuya solución va en contra de la idea de que dicha dirección viene fijada por el crecimiento de entropía prescrito por la segunda ley de la termodinámica. En nuestra teoría dicha dirección es única en cada referencial, y es una propiedad intrínseca del tiempo. Se definen como conceptos derivados dos clases de partículas, y se demuestra que una de ellas cumple con la estadística de Bose-Einstein, y la otra con la estadística de Fermi-Dirac. Asimismo, se considera el análisis de los conceptos de función de onda y de detector de partícula, como conceptos derivados en el marco de la teoría mencionada. Haciendo uso de estos conceptos, se analiza el proceso de localización tanto de un cuerpo macroscópico (localización clásica) como de uno de escala microscópica (localización quántica), y se analiza el significado de la localización en ambos casos.

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INTRODUCCIÓN

En toda teoría fundamental los conceptos utilizados se dividen en dos clases. La primera está formada por los llamados conceptos primitivos. Estos son conceptos que no se pueden definir en términos de otros conceptos de la teoría. Por eso también se les llama "indefinibles". Los conceptos derivados, por el contrario, se pueden definir en términos de otros conceptos de la misma teoría. Los conceptos primitivos pueden ser vistos como las suposiciones de existencia más elementales de las cuales partimos para construir una teoría. El ejemplo paradigmático lo aporta una vez más la geometría euclidiana. La más antigua y, quizá también, la más bella elaboración de un sistema axiomático deductivo. El concepto de punto es un concepto primitivo en ese sistema axiomático. Euclides hace gala de una extraordinaria economía de palabras cuando simplemente dice de él que no tiene extensión. El punto geométrico se caracteriza en el pensamiento de Euclides negando que él tenga propiedades que sí tienen los conceptos derivados de esa geometría, como por ejemplo las figuras que se describen con exactitud haciendo uso del edificio conceptual de esa geometría: los conceptos de línea, triángulo, plano, etc., los cuales tienen extensión y se definen partiendo del concepto de punto que precisamente no la tiene. Más adelante veremos la importancia de este rasgo que comparten los conceptos primitivos de cualquier teoría que aspire a ser considerada fundamental en algún campo del conocimiento. Lo anterior se aplica también a las geometrías no-euclidianas, si bien estas geometrías son menos intuitivas que la euclidiana. Cabe preguntarse por qué hay que partir de conceptos primitivos para construir una teoría fundamental. La respuesta la expone de manera concisa Poincaré, en su artículo sobre geometrías no-euclidianas de 1891 (1). Esta respuesta se puede resumir así: los conceptos primitivos se hacen necesarios para evitar una regresión infinita de conceptos que se definen sucesivamente unos en términos de otros, en una serie que no tiene fin. Cuando detenemos esa serie damos lugar a la aparición de conceptos primitivos, los cuales dependerán de donde detengamos la regresión. Por otro lado, no cualquier lugar de la serie regresiva es el más conveniente para detenerla, ya que debemos procurar que los conceptos primitivos se nos presenten al pensamiento como entes intuitivamente tan simples y claros como sea posible. Es así como a través de los conceptos primitivos, cuando estos son bien escogidos, la intuición entra a jugar un papel en la elaboración de una teoría física, facilitando, por ejemplo, la adjudicación de los referentes materiales de los conceptos de la misma. Por el contrario, si los conceptos primitivos de una teoría no son intuitivamente claros, la teoría en cuestión se nos presentará a la imaginación de manera borrosa, cuando no misteriosa, y la adjudicación de referentes concretos a los conceptos de la teoría se dificultará, tendiendo a parecer arbitraria. El peor de los casos ocurre cuando suprimimos los conceptos primitivos, ya que entonces no podremos escoger un concepto más simple que los demás que sea intuitivamente claro, aparte del problema lógico que esto representa. Tenemos, por ejemplo, la evolución de las teorías físicas más recientes que buscan la unificación de la Teoría de la Relatividad General y de la Mecánica Quántica, y que ha llevado a pensar en la necesidad de elaborar una pregeometría. Es decir, una teoría fundamental de la cual pueda derivarse el espacio-tiempo con las propiedades a nivel macroscópico que le adjudica la teoría de la relatividad general, y que también describa las propiedades de la materia a nivel microscópico que predice la mecánica quántica. 2

Archibald Wheeler es uno de los iniciadores de la idea que para lograr una descripción unificada de los fenómenos físicos a todas las escalas, desde la escala intergaláctica hasta la escala ultramicroscópica de Planck, es necesario elaborar una pregeometría (2-4). Según este autor, es necesario construir un marco teórico que no presuponga las propiedades geométricas del espacio-tiempo, sino que estas propiedades puedan ser deducidas de un marco teórico más fundamental en el que no se postulen propiedades de carácter geométrico. En el artículo "Is Physics Legislated by Cosmogony" Patton y Wheeler (2) dan cinco argumentos para abandonar la idea de que los conceptos primitivos más elementales de la física deban ser de carácter geométrico. En su propuesta más reciente, Wheeler preconiza la elaboración de una pregeometría a partir del concepto de "bit". Sin embargo, si tomamos este término en su sentido literal, entonces cabe la crítica de Bunge (5), según la cual el bit presupone la existencia de sistemas macroscópicos, tales como las computadoras, con lo cual para la deducción de las propiedades del espacio-tiempo a nivel microscópico, estaríamos partiendo de un concepto primitivo dependiente de la existencia de objetos macroscópicos que tienen extensión y temporalidad, y que son de una gran complejidad. En otras palabras: para explicar la física del universo a cualquier nivel de descripción, desde lo más pequeño (extremo microscópico) hasta lo más extenso (extremo macroscópico), se estaría haciendo uso de una pregeometría que parte de un concepto primitivo que presupone la existencia de objetos materiales complejos a nivel macroscópico, y que son objetos con propiedades tales como tener extensión y temporalidad, las cuales forman parte de los conceptos que se espera obtener como derivados de la pregeometría bajo consideración. Si, por otro lado, tomamos la palabra "bit" entre comillas, estaríamos hablando en un sentido metafórico de algo diferente del bit de una computadora, algo que habría que especificar como concepto primitivo con alguna significación intuitiva, o aun como concepto derivado en el marco teórico de alguna teoría fundamental. En general, se puede decir que el ideal de toda teoría fundamental, en la que se pretenda obtener como conceptos derivados aquellos de tiempo, espacio-tiempo, partícula, estado de una partícula, interacción entre partículas, campo creado por un sistema de partículas, además de especificar claramente los referentes físicos de los conceptos que se refieran al mundo material, es que los conceptos primitivos de la teoría fundamental bajo consideración deben ser intuitivamente lo más simples que sea posible, además de no presuponer los conceptos que pretende obtener como derivados. Nosotros aquí representaremos a las partículas y a los sistemas de partículas por medio de conjuntos, y cuando hablemos de partículas que pertenecen a un determinado sistema, a veces no especificaremos si nos referimos a un ente físico o al conjunto que lo representa, aunque debe quedar implícitamente claro que se trata de entidades diferentes: el primero un objeto concreto y el segundo un concepto que lo representa (5). Consideremos, por ejemplo, una teoría del tiempo que parta del concepto primitivo de objeto material. Si mantenemos las propiedades que habitualmente le adjudicamos a la materia, tales como poder cambiar de estado con el transcurrir del tiempo, tener extensión, interactuar con otros objetos materiales, estaríamos en presencia de un caso de presuposición directa del concepto de tiempo que es precisamente lo que queremos obtener como concepto derivado. La razón de esto es que al hablar de objeto material en el sentido habitual estaríamos presuponiendo el concepto de cambio, ya que para todo objeto material de nuestra experiencia, tarde o temprano se produce un cambio de estado. Ahora bien, el concepto de cambio va asociado al de tiempo, ya que la única manera de diagnosticar un cambio en un objeto material, sin caer en contradicción, es considerar su estado en dos 3

instantes de tiempo diferentes, ya que de lo contrario un objeto material podría tener dos estados distintos en el mismo instante. Por otro lado, aquí entenderemos por instante un lapso de tiempo finito lo suficientemente corto como para que en ese lapso no se produzca un cambio de estado del sistema bajo consideración. Es cierto que tendemos a confundir el tiempo con la manera de medirlo por medio de un movimiento periódico. Esto nos lleva a ver la progresión del tiempo como una línea continua y a un instante como un punto de esa línea. Es una suerte de “espacialización” del tiempo. Más adelante veremos que a pesar de la profunda relación que existe entre los conceptos de espacio y tiempo en las teorías físicas actuales, estos dos conceptos no se pueden representar en la teoría desarrollada aquí por entes que tengan la misma estructura con respecto a una determinada relación de orden. Volveremos sobre este punto en la próxima sección. Regresando al punto anterior, no vale argumentar que a nivel quántico un sistema de partículas puede encontrase en una mezcla de estados en el mismo instante, ya que mientras no hagamos una medición del sistema, este no se encuentra en ninguno de esos estados de la mezcla, y si hacemos la medición el sistema aparecerá en sólo alguno de los estados de ésta. Por lo anterior, y de acuerdo con nuestro criterio, una teoría que parta del concepto primitivo de objeto material en el sentido tradicional, no sería una teoría fundamental del tiempo. Otra situación tendríamos si partimos de un concepto primitivo de objeto material sui-generis que no tenga propiedades que presupongan el espacio y el tiempo. Esta alternativa será explorada en la próxima sección. Consideremos ahora otro ejemplo de presuposición de los conceptos de tiempo y espacio. La teoría de Penrose (6, 7) hace uso del concepto primitivo de “twistor”, que a su vez presupone el concepto de momento angular. El concepto clásico de momento angular presupone el movimiento de una masa con respecto a un eje de rotación, y su valor se calcula haciendo uso de la distancia que media entre la masa en movimiento y el eje de rotación, y la velocidad angular de la masa. Por lo tanto, presupone también un referencial con respecto al cual estas cantidades puedan ser determinadas. En la mecánica quántica se presentan dos tipos de momento angular: el momento angular orbital y el momento propio o espín. El primero requiere de lo mismo que el momento angular clásico, y el segundo de al menos el concepto de referencial. Asimismo, la teoría de Penrose hace uso del concepto de geodésica nula (rayo de intervalo cero en el cono de luz relativista), lo cual presupone el concepto de referencial relativista. Por lo tanto, el concepto de “twistor”, presupone los conceptos de velocidad, distancia y referencial, y en consecuencia también de espacio y tiempo. Se trata así de una teoría física fundamental de la materia, que ha sido valorada por su capacidad de aportar métodos en teoría de campos para hacer cálculos que no son posibles de realizar en el marco de otros formalismos (8), aunque sigue siendo cierto que los conceptos de espacio, tiempo y espacio-tiempo no pueden ser considerados conceptos derivados de esta teoría. El caso anterior ilustra el punto de que las teorías físicas fundamentales no son en general teorías fundamentales del espacio-tiempo en el sentido que hemos expuesto aquí. Incluso las teorías más exitosas de la física, como son los casos paradigmáticos de la teoría de la relatividad general y el de la mecánica quántica, no son teorías fundamentales en el sentido que hemos considerado. Son, sin embargo, teorías con un poder de predicción asombroso, al punto que ninguna teoría fundamental conocida del espacio, o del tiempo, o del espacio-tiempo, puede competir con ellas en cuanto a esa capacidad. Y ese parece ser un rasgo que diferencia los dos tipos de teoría. Por un lado, tenemos las teorías fundamentales que procuran partir de los conceptos más simples posibles, que no 4

presupongan los conceptos derivados de la teoría, pero que tienen poco o ningún poder de predicción. Por otro lado, tenemos las teorías físicas en las que no se hace una distinción clara entre conceptos primitivos y conceptos derivados, ni en la claridad en la interpretación física de los componentes de su formalismo, pero que en general tienen un poder de predicción incomparablemente mayor que las teorías fundamentales. Lo anterior no debería sorprender demasiado si se tiene en cuenta que las teorías físicas fundamentales tienen de manera preponderante una orientación hacia la búsqueda de las bases filosóficas de la física, mientras que las teorías físicas tienen una orientación hacia la descripción cuantitativa de las propiedades de la materia, tal como se las puede considerar y medir en el laboratorio. Son en realidad dos enfoques complementarios de nuestra manera de conocer. Las teorías fundamentales con la virtud de enmarcar el conocimiento del mundo físico al expresarlo de una manera que permita clarificar conceptos y su relación con los objetos materiales, además de relacionar ese conocimiento con otros campos del saber y en general con el sistema cultural. Y las teorías físicas no propiamente fundamentales con la virtud de poder optimizar su capacidad predictiva al precio de hacer menos clara su estructura lógica y su interpretación intuitiva al considerar los referentes materiales de la teoría, así como su relación con otros campos del conocimiento. Dicho así, no habría problema. El asunto está en que la dificultad surge cuando se tiene evidencia cada vez más convincente de los problemas que se presentan al tratar de unificar la relatividad general y la mecánica quántica en una sola teoría. De hecho se han llevado a cabo varios intentos para resolver este importante y difícil problema con el enfoque de desarrollar nuevas teorías físicas en las que se presuponen los conceptos de espacio, tiempo y espacio-tiempo (9-14), y por lo tanto no son teorías en las que estos tres conceptos puedan ser considerados conceptos derivados. Estos desarrollos, con todo lo meritorios que puedan ser, no han conducido a una respuesta concluyente sobre el problema de la unificación de la relatividad general y la mecánica quántica. Por otro lado, y con otro enfoque, la teoría de cuerdas es uno de los intentos más exitosos de la mencionada unificación y, sin embargo, en su desarrollo se han presentado dificultades de interpretación que han llevado a proponer como solución del impasse revolucionar nuestras ideas sobre el espacio-tiempo haciendo uso de un enfoque fundamentalista (15). Es decir: se trataría de elaborar una teoría física en la que el espacio-tiempo con sus propiedades geométricas pueda obtenerse a partir de conceptos más simples que no presupongan ninguna de sus propiedades (2- 4, 15). De modo que se trata de la elaboración de un sistema conceptual con sus respectivos referentes materiales, que de alguna forma cumpla con los requerimientos que hemos expresado aquí como condición para calificar como teoría física fundamental del espacio-tiempo. Claro está, se trata de una tarea de investigación teórica extremadamente difícil, y lo que ha ocurrido es que han aparecido teorías del espacio, del tiempo y del espacio-tiempo que se acercan en mayor o menor grado al ideal de una teoría fundamental de la física, con énfasis predominantemente filosófico, como es característico de estas teorías. Dicho de otra manera, podemos tener teorías físicas extraordinariamente valiosas dado su poder de predicción, pero menos valiosas como teorías fundamentales de la física, y viceversa. Se trata de una suerte de complementariedad que ha venido a resultar en la práctica, y que tentativamente podría enunciarse así: en la medida que una teoría física tiene mayor poder de predicción cumple con menos condiciones para ser considerada una teoría fundamental en el sentido expresado más arriba, y viceversa. En este punto se abren dos posibilidades: (i) existe una razón de principio para esa complementariedad, la cual 5

debe cumplir nuestro conocimiento del mundo físico; (ii) la mencionada complementariedad que ha venido a resultar en la práctica es sólo una etapa en la evolución histórica de las teorías fundamentales de la física. Conviene aclarar aquí que la mecánica newtoniana es una teoría física del mundo macroscópico que, a la escala macroscópica, y para velocidades que no se acerquen a la velocidad de la luz y masas no demasiado grandes comparadas con la masa de la tierra, tiene un poder de predicción asombroso. Es, además, una teoría que se puede formalizar haciendo una clara distinción entre conceptos primitivos y conceptos derivados (16). Sin embargo, sus conceptos primitivos engloban entidades macroscópicas, como por ejemplo la masa de los cuerpos de nuestra experiencia, el tiempo, el espacio, y que, por lo tanto, no puede ser considerada una teoría fundamental a escala macroscópica del espacio ni del tiempo, ni tampoco tiene poder de predicción a escala microscópica. Lo mismo ocurre con la teoría general de la relatividad, aunque en esta teoría no hay restricción sobre las velocidades hasta el límite de la velocidad de la luz, ni sobre las masas consideradas (dejando fuera el caso de las masas enormes que corresponden a la escala de Planck). Otras teorías físicas que describen propiedades macroscópicas de la materia pueden ser formalizadas con el mismo enfoque que se puede formalizar la mecánica newtoniana (16, 17). Sin embargo, no pueden ser consideradas teorías fundamentales de la física en el sentido que hemos enunciado aquí, debido al carácter restrictivo de su ámbito de capacidad descriptiva del mundo físico, y de no dilucidar como conceptos derivados el tiempo, el espacio y el espacio-tiempo. Por otro lado, la mecánica quántica tiene un poder de predicción asombroso a nivel microscópico y tiende adecuadamente al límite clásico macroscópico, pero no dilucida los conceptos de espacio, tiempo y espacio-tiempo, ya que éstos no pueden ser considerados conceptos derivados de esta teoría. A más de que todavía subsisten controversias sobre su interpretación física (16,17). Con relación a la posibilidad (i) mencionada más arriba, hasta ahora no se ha demostrado nada formalmente que explique la complementariedad mencionada. En cualquier caso, de ser cierta la posibilidad (i), podría esperarse que hubiera un punto óptimo en el que una teoría cumpla de la mejor manera posible con las condiciones para ser considerada de carácter fundamental, y a la vez presente el menor deterioro posible de su poder de predicción. Una situación análoga a la anterior la expresa, Mutatis mutandi, el principio de complementariedad de Bohr, quien lo llevó al extremo de considerar conceptos complementarios. Tanto que una vez, cuando alguien le preguntó cuál era el concepto complementario de la verdad, él respondió sin dudar un instante: la claridad. En esta etapa de nuestra investigación teórica, consideraremos válida la posibilidad (ii). Es decir que pretendemos superar, aunque sólo sea parcialmente, la complementariedad que hasta ahora ha venido a resultar en la práctica, de acuerdo a la cual mientras más se acerca una teoría a una fiel descripción de la realidad física, en especial la microscópica, más oscura tiende a ser para el entendimiento, cuando justamente, todo lo que hemos enunciado aquí como condiciones que debe cumplir una teoría física fundamental, es una búsqueda de claridad en los conceptos y en las reglas semánticas que los relacionan con los objetos materiales de la experimentación. Nosotros aquí supondremos que la procura de esa claridad puede que dificulte lograr una teoría física fundamental con un alto grado de poder de predicción, pero que no hay una razón de principio que impida superar esa dificultad. O dicho de una manera menos tajante: puede ser estimulante pensar que el punto óptimo mencionado más arriba, sea compatible con la elaboración de una teoría con fuertes rasgos 6

de teoría física fundamental del espacio-tiempo, y que a la vez tenga un poder de predicción apreciable.

EL CONCEPTO DE TIEMPO La noción de tiempo ha sido un tema estudiado por una multitud de pensadores. Unos con un enfoque puramente filosófico, otros preocupados por aclarar la significación de esa importante variable física, en particular en lo concerniente al problema de la irreversibilidad, y otros aun preocupados con el significado psicológico del tiempo. Nosotros comenzaremos por estudiar cómo se relaciona la noción de tiempo con la de cambio, en un enfoque más bien afín a la física. Para ello utilizaremos la noción de estado de un objeto físico. Podemos estar de acuerdo en que los objetos físicos de nuestra experiencia directa pasan por distintos estados, y que cada vez que pasan de un estado a otro se ha producido un cambio en el objeto físico. De nada vale decir que hay objetos de nuestra experiencia que no cambian, ya que bastará esperar lo suficiente para que se produzca un cambio de estado. De manera que la noción de cambio nos la hemos formado a través de la experiencia. Notemos que antes deslizamos la frase “bastará esperar lo suficiente” cuando nos referimos a la observación de un cambio de estado. Lo cual puede ser indicio de que la noción de tiempo viene asociada a la de cambio de estado. Para verlo más nítidamente, imaginemos que el tiempo no existe en el sentido de que no hay eso de dos instantes de tiempo diferentes, que hay un solo instante que corresponde a un presente perenne. Eso nos llevaría a que, si se mantiene la existencia de los cambios de estado, un objeto físico podría tener dos o más estados diferentes en el mismo instante, y esto no es aceptable desde el punto de vista físico ni filosófico. Por lo tanto, si aceptamos la noción de cambio de estado de un objeto físico, nos vemos obligados a aceptar la noción de tiempo como una colección de instantes diferentes entre sí, de manera de poder decir que un objeto físico habiéndose encontrado en el estado s en el instante is pasó en el instante it al estado t. Dos estados diferentes de un objeto material implican dos instantes diferentes. Por otro lado, dos instantes diferentes no implican necesariamente dos estados diferentes, ya que puede que sean diferentes o que se trate del mismo estado, dependiendo de que en el lapso de tiempo considerado se produzca o no un cambio de estado. En otras palabras, desde el punto de vista físico, si los cambios de estado son algo objetivo, de igual manera lo será el tiempo. Otro asunto es la noción de tiempo psicológico (18). De acuerdo a recientes investigaciones del sistema nervioso, el cerebro es capaz de adaptar la percepción temporal a las necesidades de supervivencia. Aunque el cerebro perciba una señal visual, la cual no viaja a la misma velocidad que una señal auditiva, si estas corresponden al mismo objeto y si no están muy separadas temporalmente, el cerebro se las arreglará para sincronizar las dos señales de manera que parezcan simultaneas. Al parecer esto permite tomar decisiones de emergencia más eficazmente en el caso de que dicho objeto sea, por ejemplo, un león hambriento. De igual manera, en una sucesión de imágenes, si hay una de ellas particularmente impactante, esta parecerá permanecer más tiempo que las otras. Por lo tanto, el cerebro es capaz de cambiar el ritmo de nuestra percepción temporal (18). Pero esto no quiere decir que el tiempo se reduzca a una ilusión creada por el cerebro. Y esto porque el cerebro mismo pasa por diferentes estados de acuerdo a su fisiología. Y de nuevo, si el tiempo no existe, el cerebro puede encontrarse como un todo en varios estados 7

diferentes en un mismo instante correspondiente a un presente perenne. Por lo tanto, para que la fisiología del cerebro tenga sentido, es necesario que exista el tiempo como algo objetivo. Una posición idealista a ultranza que afirme que todo es una ilusión creada por la mente, incluiría al propio cerebro en la categoría de ilusión, lo que nos llevaría a que tampoco es el cerebro quien nos permite tener el “sueño de que somos una realidad que vive en un mundo real”. Entre otras consecuencias, esto convertiría a la ciencia en un juego fútil que la hace imposible (16,17). En este punto conviene señalar que la relatividad general no es compatible con una posición filosófica idealista del espacio y el tiempo, ya que de acuerdo con esta teoría, la masa de los cuerpos produce una modificación del espacio-tiempo (modifica su curvatura), lo cual lleva implícito que el espacio y el tiempo tienen realidad física, fusionados como están para dar lugar al espacio-tiempo. Además de que sería muy difícil de explicar, en el marco de la tesis filosófica idealista, el cambio de curvatura producido por la presencia de masa, ya que habría que aceptar que la masa de los cuerpos modifica la manera como la mente percibe el espacio y el tiempo. La discusión anterior nos inclina a favorecer la tesis de que el tiempo tiene una realidad física objetiva, lo que no quiere decir que lo podamos ver como una suerte de río que fluye uniformemente. Por ejemplo, de acuerdo a la relatividad especial, la observación de un mismo fenómeno conduce a diferencias de los lapsos temporales entre los mismos eventos observados desde referenciales diferentes. Han aparecido en la literatura varias teorías fundamentales del tiempo como variable física. Entre ellas la teoría de Noll y Bunge (19-21). Esta teoría parte del concepto primitivo de evento, considera los casos de tiempo universal (19), y es desarrollada por Bunge como teoría del tiempo local introduciendo el concepto de referencial, lo que la hace compatible con la relatividad (19-21). Otras teorías fundamentales del espacio y el tiempo son analizadas en la referencia 16. A partir de un enfoque donde se enfatizan las propiedades geométricas del espaciotiempo, Lorente construye una teoría relacional del mismo postulando un retículo ndimensional cúbico donde cada punto se relaciona con 2n-puntos diferentes, y sólo con éstos. En este desarrollo se obtienen los conceptos de punto, línea y superficie como conceptos derivados a partir del carácter relacional del retículo, así como los axiomas de la formulación de Hilbert de los fundamentos de la geometría (22-24)). Asimismo, una clara exposición de las teorías actuales del espacio-tiempo discreto ha sido elaborada por Lorente, y puede encontrase en la referencia 25. En lo que sigue procuraremos continuar desarrollando una teoría fundamental del espacio-tiempo cuyas etapas preliminares ya han aparecido publicadas (26-31). Es una teoría del espacio-tiempo discreto, que es relacional sólo en el sentido de que la desaparición de la materia conlleva a la desaparición del espacio-tiempo; es decir que el espacio-tiempo no tiene una realidad independiente de la materia. Se trata de una teoría relacional en un sentido débil, de acuerdo a la distinción introducida en la referencia (31) entre teorías del espacio-tiempo relacionales en un sentido débil o fuerte. Una teoría del espacio-tiempo es relacional en un sentido fuerte cuando el espacio-tiempo es sólo una red de relaciones entre los objetos materiales, mientras que en la teoría desarrollada aquí el espacio-tiempo tiene una realidad material, si bien su existencia depende de la existencia de la materia. En esta teoría hemos procurado partir del menor número posible de conceptos primitivos, tratando a su vez de que estos sean simples. Hemos procurado obtener como conceptos derivados los conceptos de evento, partícula, de estado de una partícula o de un sistema de partículas, además de los conceptos de espacio, tiempo, espacio-tiempo, campo 8

e interacción entre partículas, referencial, energía y momento de las partículas (26 - 31). La teoría física fundamental del espacio-tiempo que exponemos aquí parte de sólo dos conceptos primitivos: el de prepartícula y el de la relación de pertenencia de la teoría de conjuntos. Consideraremos a las prepartículas como los entes más elementales de la materia. Si cumplimos con las condiciones que hemos considerado que debe cumplir una teoría fundamental, las prepartículas no deben presuponer ninguno de los conceptos derivados de nuestra teoría. Por eso consideraremos que los conceptos de cambio de estado, de extensión espacial, de duración temporal, no se aplican a las prepartículas, si bien es cierto que en nuestra teoría estos conceptos emergen de la manera como las preparticulas forman estructuras representadas por conjuntos ordenados por la relación de inclusión; conjuntos tales que sus elementos son subconjuntos de prepartículas. Tales conjuntos representan un tipo de partícula en nuestra teoría, las cuales se pueden cruzar o no dependiendo de que haya o no recubrimiento entre conjuntos de prepartículas. Estos recubrimientos nos permiten construir lo que hemos llamado puntos de cruce, los cuales pueden tener diferentes estructuras dependiendo de las partículas que se entrecrucen. Estos conceptos, los de partícula y punto de cruce, son ejemplos de conceptos derivados a partir del concepto primitivo de prepartícula. Por ahora, de las prepartículas diremos simplemente que son una forma sui-generis de materia. Con todo lo extraño que puede parecer el concepto de prepartícula, éste se aparenta de forma muy cercana con el concepto de evento, tal como es considerado en relatividad especial y relatividad general. En estas teorías el espacio-tiempo contiene todos los eventos que ocurren en el Universo y cada evento se diferencia de los demás. A los eventos se les adjudican coordenadas espacio-temporales que dependen del referencial considerado, de manera que el mismo evento puede tener coordenadas espacio-temporales diferentes cuando se le considera en distintos referenciales. Así, las coordenadas de los eventos cambian, pero los eventos mismos no. El concepto de cambio no se aplica a los eventos, ni tampoco se le aplica el concepto de extensión. Las tres características: la de ser todos diferentes entre sí, la de no aplicárseles el concepto de cambio, la de no aplicárseles el concepto de extensión, también las cumplen las prepartículas. De manera que esos dos conceptos primitivos, el evento en relatividad, y el de prepartícula en nuestra teoría, presentan fuertes similitudes. Pero hay una diferencia entre estos dos conceptos que puede verse cuando consideramos la acepción de evento como "algo que le ocurre a algo", en cambio en nuestra teoría consideramos que la prepartícula es una entidad material suigeneris. Esta última diferencia nos inclina a considerar el concepto de prepartícula como un concepto primitivo de nuestra teoría, y al concepto de clase de equivalencia de puntos de cruce entre partículas con la misma estructura, como concepto derivado que representa los elementos que forman el espacio-tiempo, cada uno de esos puntos correspondiendo a una estructura diferente, como de igual manera los eventos difieren todos entre sí y son los elementos del espacio-tiempo en relatividad. Una discusión detallada sobre el concepto de evento en las teorías relativistas puede encontrarse en la referencia 32. Así, el análogo en nuestra teoría del evento de las teorías relativistas es el punto del espacio-tiempo representado por una clase de equivalencia de puntos de cruce con una determinada estructura. No podemos afirmar que una prepartícula sea grande o pequeña, o infinitamente pequeña, porque en nuestra teoría el concepto de tamaño no tiene sentido para las prepartículas. Tampoco podremos hablar de duración, ni de cambio de estado en relación a ellas. Sin embargo, les asignaremos un referente material, con lo cual estaremos 9

introduciendo una extensión de la idea que nos hemos formado de las propiedades de lo que usualmente llamamos materia a partir de la experiencia. Es así como las prepartículas serían una forma de materia que no tiene las propiedades usuales a las que estamos acostumbrados, principalmente por nuestra experiencia macroscópica. De forma intuitiva, podríamos decir que las prepartículas forman parte de un caldo primordial de entidades materiales con propiedades sui-generis. Entidades materiales que se relacionan con las partículas que se pueden detectar directamente en el laboratorio, de una manera diferente a la idea tradicional atomista de ser componentes de estas partículas. Más adelante veremos que en nuestra teoría hay partículas para las cuales son conjuntos de preparticulas los que representan estados de esas partículas (bosones). Pero hay también otro tipo de partículas tales que corresponden a la ausencia de preparticulas o “huecos” de las mismas, o cortes en el espacio-tiempo, cuya estructura se definirá como concepto derivado más adelante (fermiones). La única propiedad que tienen las prepartículas en nuestra teoría es la de formar agrupaciones representables por conjuntos. Con la idea de aclarar los rasgos distintivos de esta teoría, comparémosla con dos marcos conceptuales bien conocidos (una descripción muy clara de la evolución histórica de los conceptos de espacio y tiempo puede encontrarse en las referencias 15, 33-35). Uno de esos marcos generales se refiere a las teorías atomistas de la materia, las que sostienen que toda materia está compuesta de átomos materiales, en las diversas acepciones de lo que entendemos por éstos. El otro marco general lo constituye la teoría de las Mónadas de Leibniz, de carácter filosófico (36,37). Contrastarla con estas dos importantes propuestas generales diferentes entre sí, puede facilitar la comprensión de los conceptos presentados aquí. En el caso de las teorías atomistas de la materia, es claro que nuestra teoría no puede ser considerada como tal en el sentido tradicional, ya que en ella se describen partículas tales que una subclase de ellas corresponde a “huecos” de prepartículas, o cortes, en el espacio-tiempo (31). Por otro lado, en la propuesta filosófica de Leibniz, las mónadas, aun siendo de carácter espiritual, son consideradas los verdaderos átomos de la naturaleza, de los cuales están hechos todos los compuestos. En cambio las prepartículas en nuestra teoría entran en el espacio-tiempo de una manera que no permite interpretarlas como componentes que al juntarse forman las partículas, en particular en el caso ya mencionado de partículas que corresponden a “huecos” en el espacio-tiempo. En la teoría de Leibniz las mónadas no tienen extensión. El argumento de Leibniz para decir que no tienen extensión es que si la tuvieran no serían entidades simples. Esto sugiere que no tener extensión en esta teoría significa que las mónadas tienen extensión igual a cero, como si cada una fuera un punto. En cambio, para las prepartículas los conceptos de extensión y temporalidad no tienen sentido. Además, de acuerdo a Leibniz, las mónadas son entidades espirituales, cada una representando “un punto de vista en el Universo” (36,37). En cambio, las prepartículas son entidades materiales con propiedades sui-generis cuando se las compara con las propiedades de la materia de nuestra experiencia del mundo macroscópico, y también del mundo microscópico, digamos hasta el nivel de los componentes de los nucleones del núcleo atómico. Las mónadas no interactúan entre sí, por eso se dice que son substancias que "no tienen ventanas", que no se comunican entre sí. Debido a esto, Leibniz se ve obligado a elaborar la teoría de la armonía preestablecida, de manera de explicar el orden que se observa en los procesos de la naturaleza. En cambio, el concepto de interacción no tiene sentido para las prepartículas, ya que el concepto de interacción es un concepto derivado de nuestra teoría que tiene sentido únicamente para las partículas y los sistemas de partículas; si bien es cierto que las prepartículas se manifiestan de forman indirecta en la 10

manera como interactúan las partículas en nuestra teoría (26-31). Por otro lado, buena parte de los estudios filosóficos acerca del tiempo insisten en dos enfoques: (i) El tiempo sólo existe como una ilusión nuestra; (ii) La naturaleza del tiempo solo puede ser percibida intuitivamente. (Para una discusión crítica de estos dos enfoques véanse las referencias 16 y 33). El punto de vista que desarrollaremos aquí va en sentido opuesto a estos dos enfoques. De acuerdo con los argumentos expresados más arriba, consideraremos que el tiempo tiene una realidad objetiva, y que tiene propiedades que pueden ser analizadas científicamente. En particular, en la medida que haciendo uso de sus propiedades puedan ser explicadas observaciones de carácter experimental. Es decir, que si partiendo del concepto primitivo de prepartícula, cuyo referente material es una forma suigeneris de materia, y de los conceptos derivados de tiempo y espacio-tiempo, uno logra elaborar una teoría que dé una explicación coherente de observaciones experimentales que hasta ahora no han podido ser explicadas, o que lo han sido de forma controversial, esa sería un indicio de la existencia de las prepartículas. Por supuesto, éste es precisamente uno de los objetivos más difíciles de lograr. Partimos de la agrupación de todas las prepartículas que hay en el Universo y la representamos por medio del conjunto base B de esas prepartículas (26): B= { 1, 2,...

},

(1)

El cual consideraremos finito (en la referencia 29, se dan argumentos en favor de que el número de prepartículas en el Universo es finito, aunque pueda ser enorme). Veremos que el concepto de tiempo es un concepto derivado en nuestra teoría. También lo es el concepto de referencial, y a cada referencial le corresponderá una manera de adjudicar coordenadas temporales a los puntos del espacio-tiempo descritos desde el referencial considerado. De una manera esquemática, la idea de base para representar el tiempo puede describirse como sigue (26). A partir del conjunto base B construimos el conjunto potencia P(B) cuyos elementos son todos los subconjuntos de B. Si consideramos un par cualquiera de esos subconjuntos, puede ocurrir que sean disjuntos entre sí, o que se recubran parcialmente, o aun que uno esté incluido en el otro. Sea ahora una colección de subconjuntos de B incluidos unos en otros de manera que esos subconjuntos queden completamente ordenados por la relación de inclusión. Habremos entonces construido una representación matemática que ordena completamente a esos subconjuntos a partir únicamente de la relación de pertenencia de las prepartículas a esos subconjuntos. En una primera interpretación simplificada, cada uno de esos subconjuntos representa un instante de tiempo, y así habremos obtenido una representación del tiempo en sucesivos instantes de una manera constructiva a partir únicamente de conjuntos de prepartículas. Nótese que esos instantes no fluyen: cada uno de ellos no cambia y forma parte de una colección cuyos elementos son representados por subconjuntos de prepartículas ordenados por la relación de inclusión (26). El tiempo asociado a un referencial puede verse grosso modo de la siguiente manera. Un referencial se construye seleccionando un determinado conjunto de puntos del espaciotiempo y haciendo una selección de partículas que conecten esos puntos. Entre esas partículas hay partículas tales que sus elementos son representados por subconjuntos de prepartículas, los cuales, cuando están completamente ordenados por la relación de inclusión, dan lugar a lo que hemos llamado partículas evolutivas. Estas partículas pueden conectar puntos del espacio-tiempo y permiten adjudicar coordenadas temporales a esos 11

puntos. De igual manera, veremos que considerando partículas que a su vez conecten esas partículas evolutivas, podremos adjudicar coordenadas espaciales a los puntos considerados. Maneras diferentes de seleccionar las partículas que conectan los puntos del espacio-tiempo darán lugar a diferentes maneras de adjudicar coordenadas espaciotemporales a esos puntos, y así a referenciales diferentes (27, 28). En esta manera simplificada de representar el tiempo, no hemos tenido que presuponer el concepto de cambio. Las suposiciones que hemos hecho son: (i) la existencia de las prepartículas como una forma sui-generis de materia; (ii) la representación de las agrupaciones de prepartículas por medio de conjuntos; (iii) la representación de una sucesión de instantes de tiempo por medio de subconjuntos de prepartículas ordenados por la relación de inclusión, cada subconjunto representando uno de esos instantes.

CAMPO PRODUCIDO POR UN SISTEMA DE PARTICULAS A partir de nuestra discusión anterior, los conjuntos formados por subconjuntos de prepartículas pueden clasificarse en dos clases de acuerdo con su estructura con respecto a la relación de inclusión. Como ya dijimos, algunos de esos conjuntos pueden ser ordenados completamente por la relación de inclusión, y otros no. En el primer caso, esos conjuntos representan partículas que hemos denominado “evolutivas”, y en el segundo caso las hemos llamado “no evolutivas” (26). Antes de proseguir vamos a necesitar definir el concepto de alfa-estado de una partícula. Con un fin puramente ilustrativo, consideremos el caso de una partícula evolutiva cuya representación grafica venga dada en la figura 1a. Allí aparece esta representación como una línea curva continua, sobre la que están marcados sucesivamente los puntos A, B, C, D, E, F. Dado que hemos considerado que el número total de prepartículas es finito, aunque pueda ser enormemente grande, aclaramos que en nuestra representación gráfica, cada molécula de papel sobre la cual pasa la curva OE, corresponde a una prepartícula, de manera de así evitar hacer corresponder cada prepartícula con un punto de una curva continua, pues esto no sería consistente con el carácter finito del número total de prepartículas. Nótese, por otro lado, que los elementos AB, AC, AD, AE y AF de la partícula representada por la curva AF, están sucesivamente incluidos unos en otros: AB  AC  AD  AE  AF. Llamaremos alfa-estados de la partícula considerada aquellos conjuntos de prepartículas representados en la figura 1a por los segmentos de curva AB, BC, CD, DE y EF. Estos alfa-estados pueden considerarse completamente ordenados por la relación de orden inducida por la relación de inclusión que existe entre los elementos AB, AC, AD, AE y AF de la partícula representada. Nótese que en nuestro ejemplo el ordenamiento de los alfa-estados de la partícula no se basa en la representación gráfica de la misma en una hoja de papel. En nuestro desarrollo, el ordenamiento y estructura de las partículas y sus alfa-estados puede ser especificado con elementos de la misma teoría sin hacer alusión a ningún procedimiento figurativo. Sin embargo, en nuestro ejemplo hemos hecho uso de uno de tales procedimientos con un propósito ilustrativo.

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Fig 1: (a) Partícula evolutiva representada por los subconjuntos AB, AC, AD, AE, AF de prepartículas. Los alfa estados de la partícula evolutiva son AB, BC, CD, DE y EF. (b)Particula no evolutiva de cinco ramas. (c) Partícula no evolutiva de cuatro ramas.

Así, desde un punto de vista formal tenemos que partiendo del conjunto base B de la ec. (1), se pueden definir conjuntos que representan partículas y alfa-estados de partículas de la manera siguiente (26-31): pi

=

 a i (x)  x  X y a i (x)  P(B) 

,

(2)

donde el conjunto pi representa una partícula, P(B) es el conjunto potencia del conjunto base B de todas las prepartículas, y los alfa-estados de pi vienen dados por: si (x)= ai (x) - U ai (x´) ,

(3)

donde ai (x) es un elemento de la partícula pi , y los ai (x´)´s son todos los elementos de pi que no contienen a ai (x). Para el caso en que pi represente una partícula evolutiva, uno puede considerar intuitivamente que ai (x) corresponde a un determinado estadio de la evolución de la partícula pi , y cada ai (x`) a un estadio anterior a ai (x) de la evolución de la partícula pi . En la figuras 1b y 1c se ilustran dos casos diferentes de partículas no-evolutivas. Estas figuras se hicieron con las mismas convenciones que usamos en la figura 1a. En la figura 1b aparece una curva que se ramifica, y en la figura 1c, cuatro curvas que no se intersectan. Es claro que estas figuras 1b y 1c corresponden a dos casos diferentes de partículas noevolutivas, ya que en cada caso, los elementos de las partículas representadas no pueden ordenarse completamente haciendo uso de la relación de inclusión . De acuerdo con la

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figura 1b, hay muchos casos diferentes que corresponden a la misma figura. Un caso corresponde a tres partículas evolutivas que tienen un subconjunto de elementos igual para las tres, pero que luego cada una de ellas tiene elementos diferentes de las otras dos. Otro caso sería el de dos partículas evolutivas con un subconjunto a de elementos idéntico para las dos, y una tercera partícula con un subconjunto de elementos que coincide con a solo parcialmente (un caso particular sería el de la tercera partícula coincidiendo con un solo elemento de a en el punto de ramificación). En el primer caso tenemos tres partículas evolutivas cuando se las considera separadamente, pero que juntas las tres corresponden a una partícula no evolutiva, ya que los elementos de esa partícula no se pueden ordenar completamente por medio de la relación de inclusión. Llamaremos rama evolutiva de esa partícula no evolutiva cada una de las tres partículas evolutivas consideradas en ese primer caso. El segundo caso también corresponde a tres partículas evolutivas que pueden ser consideradas como una sola partícula no evolutiva, una de ellas siendo una rama evolutiva cuyo primer elemento no coincide con el primer elemento de las otras dos. Y así podemos considerar un número apreciable de casos de partículas no evolutivas cuyo gráfico ramificado es idéntico al de la figura 1b. Es decir, que la capacidad descriptiva de las relaciones de orden basadas en la relación de inclusión entre subconjuntos de prepartículas, permite discriminar diferentes casos de ordenamientos que no se pueden discriminar basándose en representaciones gráficas como las de la figura 1b. En el caso de la figura 1c, cada curva separada representa una rama evolutiva de la partícula no evolutiva de cuatro ramas, donde cada una de ellas puede ser ordenada completamente por  . En ambos casos representados en las figuras 1b y 1c, hablaremos de ramas evolutivas de partículas noevolutivas. Imaginemos ahora un conjunto S cuyos elementos son conjuntos que representan las partículas pi con i= 1, n , donde n es un número muy grande. El conjunto S representará un sistema formado por un gran número de partículas. Una partícula cruzará a otra si al menos un alfa-estado de una de ellas tiene una intersección no nula con algún alfa-estado de la otra partícula. Haciendo uso de las mismas convenciones que en el caso de la figura 1, podríamos ver una enorme cantidad de curvas en la representación del sistema S, unas que se entrecruzan y otras que no lo hacen, lo que le daría a la representación gráfica de S el aspecto de una red extensa con nodos producidos por el entrecruce de las curvas. Esta red podría tener zonas más o menos densas de curvas que representan partículas, y otras donde aparecen huecos en la red. Consideremos ahora los nodos de la red, o los puntos donde se cruzan curvas que representan partículas. Estos puntos de cruce pueden ser tales que pocas partículas se crucen en ellos, o en el otro extremo, pueden cruzarse en ellos un gran número de curvas. Llamaremos centro de un punto de cruce el alfa-estado donde se cruzan curvas, y a estas últimas filamentos del punto de cruce. Denotaremos un punto de cruce como un par (si (x); ix(S)), donde si (x) representa un alfa-estado de alguna partícula del sistema S, y ix(S) es el conjunto de todos los conjuntos que representan partículas de S que tienen alfa-estados que dan intersecciones no vacías con si (x). Este último conjunto de prepartículas representa el centro del punto de cruce, y ix(S) representa el conjunto de filamentos que se encuentran o se cruzan en si (x). Un caso particular de punto de cruce ocurre cuando un solo filamento pasa por el centro del punto de cruce, o cuando un filamento termina o comienza en dicho centro del punto de cruce. Denotaremos (S) al conjunto de todos los puntos de cruce del sistema S. Diremos que dos puntos de cruce pertenecientes a (S) tienen la misma estructura

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cuando poniendo en correspondencia los centros de esos puntos de cruce, los filamentos de uno de ellos puedan ser puestos en correspondencia biunívoca con los filamentos del otro, de tal manera que los alfa-estados de dos filamentos en correspondencia tengan ordenamientos similares. Nótese que no hemos hecho alusión a otros cruces que puedan presentar los filamentos de un dado punto de cruce. El único cruce de curvas que cuenta para un dado punto de cruce es su centro. Los otros cruces que puedan presentar sus filamentos darán lugar a otros puntos de cruce. Denotaremos la relación entre dos puntos de cruce con la misma estructura por medio del símbolo ~ . Representaremos el campo C creado por un sistema físico S por medio del conjunto cociente (S) / ~ . A los elementos del conjunto (S) / ~ los llamaremos puntos del campo C. Esta manera de representar el campo producido por un sistema S tiene las siguientes propiedades (27-31):

(i)

A todo sistema S de partículas corresponde un campo representado por (S) /

~. (ii)

Cada elemento de (S) / ~ representa un punto del campo producido por el sistema de partículas S. Para cada clase de equivalencia x de puntos de cruce diremos indistintamente que un punto de cruce pertenece a ella, o que entra en ella, cuando dicho punto de cruce tenga la estructura que singulariza a x.

(iii)

Los puntos de un campo representados por elementos de (S) / ~ tienen estructuras diferentes entre sí, de manera que cada punto se distingue de los demás por su estructura.

(iv)

Los puntos del campo C representado por (S) / ~ se conectan entre sí por medio de partículas del sistema S, de tal forma que dada una partícula p de S, tal que al menos uno de sus alfa-estados se recubre parcial o totalmente con los centros de dos puntos de cruce que entran en dos puntos de C, diremos que esos dos puntos están conectados por p. De igual manera, diremos que dos partículas p y p´ están conectadas por la partícula p´´ si alfa-estados de p´´ se recubre parcial o totalmente con alfa estados de p y p´.

(v)

Dos puntos x e y del campo C representado por (S) / ~ son próximos o vecinos en C si existe una partícula evolutiva p (o una rama evolutiva de p) de S que los conecta de tal manera que al menos un alfa-estado de p se recubre con centros de puntos de cruce que entran en los puntos x e y, o bien el alfaestado de p que se recubre con el centro de un punto de cruce que entra en el punto x es el inmediato antecesor o el inmediato sucesor del alfa-estado de p que se recubre con un centro de un punto de cruce que entra en el punto y.

(vi)

La representación del campo producido por S por medio de (S) / ~ permite la definición de uniformidad de campo haciendo uso del concepto de intensidad de campo en un punto dado del mismo, la cual definimos como el

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número de prepartículas que pertenecen a la unión de todos los centros de puntos de cruce que pertenezcan a dicho punto. Un campo es uniforme si la intensidad de campo es la misma en todos sus puntos.

Diremos que dos campos C1 y C2 respectivamente asociados a S1 y S2 interactúan entre sí, si los conjuntos que los representan cumplen con la desigualdad (S1 U S2) / ~ ≠ ((S1) / ~) U ((S2) / ~) (27). En el caso de que se cumpla la igualdad, diremos que C1 y C2 no interactúan. Se puede demostrar que los campos C1 y C2 no interactúan entre sí en el caso de que los sistemas S1 y S2 no compartan ninguna partícula, y que además ninguna partícula de S1 se cruce con una partícula de S2. También se puede demostrar que C1 y C2 interactúan entre sí cuando se producen cruces entre partículas de S1 con partículas de S2, y al menos uno de esos cruces da lugar a un punto de cruce que no es similar a ninguno de los puntos de cruce de S1 ni de S2. También puede ocurrir que aun en el caso de que partículas de S1 se crucen con partículas de S2 puede ser que C1 y C2 no interactúen entre sí. Esto ocurre cuando todos los puntos de cruce entre partículas de S1 con partículas de S2 dan lugar a puntos de cruce similares a puntos de cruce de S1 o de S2. La discusión anterior sobre la interacción entre campos va bien con la idea intuitiva de la superposición de campos, sea que estos interactúen o no entre sí. Para completar la discusión sobre el concepto de campo introducimos los siguientes postulados (28): Postulado 1: “Cualquier región del mundo físico está formada por puntos de campos o por puntos de superposición de campos”. Postulado 2: “Dos regiones del mundo físico son distintas entre sí solo porque los puntos de campos o de superposición de campos que entran en una de esas regiones tienen diferentes estructuras de las estructuras de los puntos que entran en otra región”.

EL CONCEPTO DE ESPACIO-TIEMPO Y SU EXTENSION Sea ahora una colección de sistemas representados por S1, S2, ..., Si y los correspondientes campos C1, C2, ... , Ci asociados a esos sistemas y representados respectivamente por (S1) / ~ , (S2) / ~ ,....., (Si) / ~. A toda colección de campos C1, C2, ... , Ci asociados respectivamente a los sistemas de partículas S1, S2, ..., Si, asociaremos un espacio-tiempo representado por ST (S)= (S) / ~ , donde S= S1 U S2 U....U Si. Es decir que, en nuestro desarrollo, dados varios campos, bien sea que interactúen o no, el espacio-tiempo asociado se puede ver intuitivamente como el campo global o resultante de esos campos. Los elementos o puntos de un espacio-tiempo son representados por clases de equivalencia de puntos de cruce, y estos elementos juegan un papel análogo al papel que juegan los eventos en las teorías relativistas, como ya hemos

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explicado. Con esta definición de espacio-tiempo es posible definir referenciales inmersos en un espacio-tiempo, tales que dado un referencial podamos adjudicar sin ambigüedad coordenadas de espacio y tiempo a puntos del espacio-tiempo, de tal manera que las coordenadas de un dado punto podrán cambiar cuando se consideren referenciales diferentes (28). Antes de precisar cómo se puede especificar un referencial de manera de adjudicar coordenadas a los diferentes puntos de un dado espacio-tiempo, analicemos una propiedad importante del concepto de espacio-tiempo que se relaciona con el concepto de su extensión. La primera idea que se sugiere es que la extensión de un espacio-tiempo venga dada por el número de puntos de dicho espacio-tiempo, y de hecho es lo que asumiremos. El problema reside en que la extensión de un dado campo o espacio-tiempo ST(S) se puede alejar enormemente de una relación proporcional al número de partículas que entran en S y al número de alfa-estados de esas partículas. De hecho, la extensión de ST(S) depende del carácter de completitud de S, entendiendo por sistema completo, sea este S, con respecto a un subconjunto de B` del conjunto base B de prepartículas, si a S pertenecen todas las partículas que pueden representarse por subconjuntos del conjunto potencia de B’, y sólo esas partículas. Esta propiedad está relacionada con dos teoremas que demostramos en la referencia (30), y puede enunciarse así: Dado un espacio-tiempo ST(S), si S es completo con respecto a un dado B` incluido en B, y solo consideramos las partículas de S para formar los puntos de cruce que dan lugar a los puntos de ST(S), entonces el espacio-tiempo ST(S) se reduce a un punto, y así puede considerarse que su extensión se reduce a cero. Aquí enfocaremos la prueba de esta propiedad de una manera menos formal que en la referencia mencionada. Partiremos de las siguientes definiciones: Definición 1: Diremos que el espacio-tiempo ST(S) es de orden n si todos los alfaestados de las partículas de S contienen n prepartículas, y denotaremos a ese espaciotiempo ST(S, n). Definición 2: Diremos que ST(S, n) es completo de orden n con respecto a un subconjunto B` del conjunto base B, si a S pertenecen todas las partículas, y solo esas, que son representadas por subconjuntos del conjunto potencia de B`, tales que siempre es igual a n el número de prepartículas de los conjuntos que representan alfa-estados de las partículas de S. Entonces tendremos las siguientes propiedades: 1)Una propiedad inmediata es que ST(S, n) contiene un solo punto si n es el número total de prepartículas de B`. Este único punto contiene un solo punto de cruce cuya única partícula tiene un solo elemento que coincide con su único alfa-estado de n prepartículas (véase las ecs. (1)-(3)). 2) Consideremos ahora otro caso extremo posible, el cual corresponde a n=1. Si B` tiene un número muy grande prepartículas, ST(S, n) puede ser un espacio-tiempo con un número muy grande de puntos de cruce, pero sólo en la medida en que se aleje de ser un espacio-tiempo completo podrá tener muchos puntos representados por clases de equivalencia de esos puntos de cruce. Para verlo, consideremos que ST(S, n) sea completo y x un punto del mismo. Si n=1 los centros de todos los puntos de cruce que pertenecen a x 17

son representados por conjuntos de una sola prepartícula. Supongamos que exista un punto x` de ST(S; n=1) diferente de x, es decir con puntos de cruce de estructura diferente a los puntos de cruce de x. Además los centros de los puntos de cruce que entran en x` tendrían que ser alfa-estados a los que pertenecen prepartículas diferentes de las que pertenecen a los centros de los puntos de cruce que entran en x, ya que dos puntos de cruce diferentes no pueden tener el mismo centro (formarían un solo punto de cruce con ese centro). Consideremos ahora dos puntos de cruce que denotamos a = (si (x); ix(S)) y b = (sj (y); jy(S)), tales que el punto de cruce a pertenece al punto x y el punto de cruce b al punto x`. Sea además una partícula p del punto de cruce a. Por tanto, existe un alfa-estado s de p que tiene recubrimiento no nulo con el centro si (x). Si ahora hacemos uso de que el espaciotiempo ST(S, n) es completo, todos los subconjuntos posibles del conjunto potencia de B´ con alfa-estados de una sola prepartícula, representan partículas de S. Por tanto, al punto de cruce b va a pertenecer una partícula p´ de S con los mismos alfa-estados de p excepto el alfa-estado s que ahora es un alfa-estado s´ con recubrimiento no nulo con el centro sj (y) del punto de cruce b. Podemos además escoger a p´ de manera que exista una correspondencia biunívoca que preserve el orden entre los alfa-estados de p con los de p´ y que ponga en correspondencia al alfa-estado s con el alfa-estado s´. Podemos así ir construyendo partículas que entran en el punto de cruce b que son similares a las partículas que entran en el punto de cruce a, de tal manera que los centros de a y b queden en correspondencia. Como podemos hacer lo mismo ahora partiendo de las partículas de b para construir las de a, llegamos así a que los puntos de cruce a y b tienen la misma estructura y por lo tanto los puntos x y x` de ST(S, n) corresponden a la misma estructura. En conclusión, de acuerdo con el postulado 2 lo único que distingue a los puntos entre sí es su estructura, y por lo tanto todo espacio-tiempo ST(S, n=1) completo tiene un solo punto. Como consecuencia puede esperarse que en la medida que ST(S; n=1) se acerque mucho a completitud tendrá menos puntos, independientemente de que B´ sea un conjunto de un número muy grande de prepartículas. De igual manera se puede demostrar que ST(S, n>1) también se reduce a un punto cuando es completo. La demostración sigue los mismos pasos que para el caso n=1, sólo que ahora hay que tener en cuenta que los alfa-estados de las partículas pueden recubrirse parcialmente, en contraste con el caso de n=1, para el cual dos alfa-estados se recubren completamente o no se recubren. 3)Consideremos ahora, dos subconjuntos B´ y B´´ del conjunto base B de todas las prepartículas, tales que a estos subconjuntos pertenece el mismo número n de prepartículas, y sean S´y S´´ conjuntos de partículas correspondientes a B´y B´´. Si los correspondientes conjuntos ST(S´, n) y ST(S´´, n) son ambos completos entonces por la propiedad 2) ambos se reducen a un conjunto con un solo punto, sean estos x´ y x´´ respectivamente, y además los puntos de cruce de x´ tendrán la misma estructura que los puntos de cruce de x´´. Por lo tanto, los puntos x´ y x´´ no se diferencian entre sí, de acuerdo con el postulado de que dos puntos de un campo se diferencian sólo por su estructura (Postulado 2), y así ST(S) donde S=S´US´´ , tendrá un solo punto. Nótese que en este caso el espacio-tiempo ST(S) no es completo, ya que se pueden construir conjuntos de subconjuntos de prepartículas a partir del conjunto potencia P(B´UB´´) que no representan ninguna partícula de S. Y a pesar de no ser completo, ST(S) se reduce a un punto. 4)El caso más general se presenta cuando no hacemos ninguna restricción sobre el

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número de prepartículas que pertenecen a cada alfa-estado de las partículas de S. También en este caso se cumple que el espacio-tiempo se reduce a tener un solo punto si es completo. La prueba de esta propiedad puede hacerse siguiendo una estrategia similar a la que usamos para el caso más simple de un espacio-tiempo ST(S, n) completo, solamente que ahora hay que tener en cuenta la complicación que surge de que los alfa-estados de las partículas de S pueden recubrirse parcialmente, cuando en el caso n=1 considerado en el punto 2), dos alfa-estados se recubren completamente, o no se recubren, debido a que a cada alfa-estado pertenece una sola prepartícula. También hay que tener en cuenta que en el caso más general los alfa-estados de las partículas de S pueden diferir en el número de prepartículas que pertenece a cada uno de ellos. A pesar de estas complicaciones se puede probar que si ST(S) es completo entonces será un espacio-tiempo de un solo punto. Una prueba de esta propiedad en el caso más general puede encontrarse en la referencia (30). De igual manera se puede generalizar la propiedad 3) al caso en que suprimamos la restricción de que a cada alfa-estado pertenece el mismo número de prepartículas. 5) En el caso de que consideremos una partición del conjunto base B de todas las prepartículas, de tal manera que cada elemento de la partición pertenezca el mismo número de prepartículas, se puede demostrar que los espacio-tiempos completos que se pueden construir de los elementos de la partición de B, todos se reducen a un solo punto, y todos esos puntos corresponden a la misma estructura. De igual manera, si consideramos subconjuntos de B que se recubran entre sí y cuya unión sea igual a B, tales que todos esos subconjuntos tiene el mismo número de prepartículas, entonces ocurre lo mismo que para el caso de la partición de B considerado antes: el espacio tiempo STe( S, n) tal que en S entren todas las partículas representadas por todos los conjuntos que se pueden construir a partir de los subconjuntos de B, se reduce a un punto. De manera que a pesar de que ST(S, n) no es completo en el caso considerado, también se reduce a un punto, y no es completo porque se pueden construir conjuntos a partir del conjunto potencia de B que no representan ninguna partícula que pertenezca a S. Las partículas que pertenecen a S son ahora representadas por los conjuntos que se pueden construir a partir de los conjuntos potencia de subconjuntos de B, o sea que la estrategia de repartir el conjunto B de todas las prepartículas en una suerte de mosaico de subconjuntos de B con el mismo número de prepartículas, no resuelve el problema de que los correspondientes espacio-tiempos se reducen a un punto. Sin embargo, veremos en el siguiente aparte que cuando los subconjuntos considerados de B no tienen el mismo número de prepartículas, y aun cuando se recubran o no, el espacio tiempo STee(S) que se puede construir siguiendo el procedimiento ya descrito puede tener más de un punto, de hecho puede tener un número muy grande de puntos. 6)Primero consideremos dos subconjuntos B’ y B’’ del conjunto B de todas las prepartículas. Sean n’ y n’’ los números de prepartículas que pertenecen a B’ y B’’ respectivamente, tales que n’ > n’’. Es claro que al conjunto potencia que se puede construir a partir de B’ van a pertenecer conjuntos que no se pueden construir a partir del conjunto potencia de B’’, ya que algunas representaciones de partículas correspondientes a B’ van a tener más alfa-estados que cualquier representación de partículas que podamos construir a partir del conjunto potencia de B’’. Por lo tanto, al menos algunos puntos de cruce que se pueden construir a partir de B’ no pueden tener la misma estructura que los puntos de cruce que se pueden construir a partir de B’’, y así la estructura del único punto de ST (S’) difiere de la estructura del único punto de ST(S’’), donde S` y S`` son los 19

sistemas de partículas representadas por subconjuntos de los conjuntos potencia de B`y B``, respectivamente. Por otro lado, si el número N de todas las prepartículas que pertenecen B es muy grande (en la referencia 29 se dan argumentos a favor de que ese número puede ser enorme), entonces también puede ser muy grande el número de puntos con estructuras diferentes que se pueden construir si se considera una colección de subconjuntos de B tal que la unión de esos subconjuntos sea igual a B, y a los cuales pertenezcan números muy diferentes de prepartículas, y que cada uno de esos números sea mucho menor que N.

SISTEMA DE OBSERVACION EN UN ESPACIO-TIEMPO Veamos ahora que existe una manera de representar un campo, o más generalmente un espacio-tiempo, diferente de las consideradas en los puntos 1)-6) antes descritos. Una manera que imita de modo más cercano el procedimiento que entra en juego en una observación física. Aunque generalmente no lo enunciemos explícitamente, en física clásica consideramos que el observador no tiene influencia en el sistema físico bajo estudio y que, por lo tanto, se puede considerar separado de éste. Dicho de una manera más explícita: en la descripción clásica de los sistemas físicos la influencia del observador en el sistema observado queda borrada por la manera como la física clásica describe a los sistemas físicos, ya que se trata de una teoría que no incluye entre sus ingredientes conceptuales el concepto de observador. Nótese que la física clásica aporta una excelente descripción de los sistemas macroscópicos, aún cuando sabemos que los sistemas macroscópicos son también sistemas quánticos, y que el observador indudablemente interactúa físicamente con el sistema observado (interacción electromagnética y gravitacional, por ejemplo). Sólo que el efecto sobre el sistema observado, tanto en cuanto a su carácter quántico como por la interacción con el observador, suele ser muy pequeño para sistemas macroscópicos. Por lo tanto, la física clásica puede ignorar al observador y seguir aportando una descripción física muy precisa de los sistemas macroscópicos. Nosotros aquí dejaremos de lado toda interpretación del observador como sujeto con atributos psicológicos. No entraremos en la controversia que todavía subsiste en relación con el concepto de observador en física quántica (por ejemplo, el problema de la conciencia del observador en la detección de un evento quántico), ya que consideraremos que la influencia del observador sobre un sistema S de partículas se produce por interacciones puramente físicas. Por ello, en lugar del término observador S2 del sistema S, haremos uso de la terminología de sistema de observación S2 del sistema S. En la descripción quántica de los sistemas microscópicos, el sistema S2 tiene una influencia sobre el sistema observado S; una influencia de una naturaleza tal que S2 no puede dejar de ser considerado. Desde la aparición de la física quántica esto ha sido discutido desde varios ángulos y ha dado lugar a diversas interpretaciones de la influencia del observador en el sistema observado (17, 35). Mediciones experimentales inspiradas en el gedankenexperiment (“experimento pensado”) propuesto por Einstein, Poldowsky y Rosen (EPR) (38), experiencias realizadas a lo largo de los últimos 30 años (32, 38, 39), han venido a dar apoyo a la interpretación ortodoxa de la mecánica quántica sobre la influencia del observador en el sistema observado. Este resultado lleva en su seno una cierta ironía, ya que el “experimento pensado” EPR fue concebido para demostrar que la mecánica quántica en su versión ortodoxa era una teoría incompleta, lo que no fue confirmado por los experimentos mencionados. Por otro lado, también es cierto que el 20

concepto de observador en la versión ortodoxa de la mecánica quántica, no entra en el tramado conceptual de la teoría sino como un agregado, como una suerte de muletilla a la hora de interpretar los resultados experimentales (16,17). Se han hecho intentos por modificar la formulación de la mecánica quántica de manera de introducir en la formulación de la teoría el concepto de observador en pie de igualdad con el concepto de sistema observado (35, 41). Nosotros procuraremos aquí incluir el concepto de sistema de observación S2 en el tramado conceptual de nuestra teoría en el mismo nivel que el concepto de sistema observado S, en el sentido de que ambos son sistemas físicos de partículas, cada una de ellas representadas por conjuntos de subconjuntos de prepartículas. Debido a que en física clásica el efecto de S2 sobre S es ignorado, pero no así en física quántica, la manera más general de tener en cuenta este hecho es considerar que S2 forma parte de S. En física clásica no hay problema con esa suposición, ya que consideramos que en ese caso la influencia de S2 sobre S puede ser despreciada. En cambio, en física quántica, la influencia de S2 sobre S debe ser tenida en cuenta, lo cual da lugar a varias interpretaciones que consideran diferentemente la manera como S2 se relaciona con S (15, 35).

POSTULADO 3: Consideremos un sistema S de partículas representadas por los subconjuntos del conjunto potencia de B´, P(B´), donde B´ es un subconjunto del conjunto base B de todas las prepartículas. Sean ahora dos subsistemas S1 y S2 de S tales que S = S1 U S2 y S1=S ― S2. Entonces el sistema S2 es un sistema de observación de S y la extensión de ST(S) con respecto a S2 viene dada por el número de puntos de ST(S1). Demos un ejemplo para aclarar el concepto de sistema de observación. Consideremos el caso de que el espacio-tiempo ST(S) sea completo, es decir que cada elemento de S sea representado por un subconjunto de P(B´), y que haya una correspondencia biunívoca entre S y P(B´). En ese caso, el espacio-tiempo ST(S) tendrá un solo punto, como ya demostramos, y la extensión de ST(S) con respecto a S2 vendrá dada por el número de puntos de ST(S1). Ahora bien, dependiendo de las partículas que pertenezcan a S2 la extensión de ST(S) con respecto al sistema de observación S2 puede ser un número diferente de uno, incluso puede ser un número mucho mayor que uno, dependiendo del número de prepartículas de B´ y de cuantas partículas entren en S2. Supongamos que a B´ pertenece un número muy grande de prepartículas. Eso quiere decir que el número de puntos de cruce que pertenecen al único punto de ST(S) también será muy grande. Todos esos puntos de cruce tienen la misma estructura y así pertenecen a un mismo (único) punto de ST(S). Si S2 es un sistema de una sola partícula, sea esta p1, y al único punto x de ST(S) pertenece un número enorme de puntos de cruce, habrá muchos puntos de cruce que no son afectados por haber quitado de S la partícula p1, y así la extensión de ST(S) con respecto al sistema de observación S2={ p1 } corresponderá a un número relativamente pequeño de puntos, uno de esos puntos con un número enorme de puntos de cruce y unos cuantos puntos más a los cuales pertenecen pocos puntos de cruce. Consideremos ahora el caso extremo opuesto, es decir que ahora pertenecen a S2 casi todas las partículas de S, esto lleva inmediatamente a que a S1=S―S2 pertenecerán muy pocas partículas y por tanto muy pocos puntos de cruce entraran en cada punto de ST(S1), y así este espacio-tiempo tendrá pocos puntos, ya que este número no puede ser mayor que el número de puntos de cruce que se pueden formar con las partículas de S1. Si ahora consideramos un caso intermedio 21

tal que al sistema S2 pertenezca un gran número de partículas, aunque todavía mucho menor que el número de partículas que pertenecen a S, entonces la extensión de ST(S) con respecto al sistema de observación S2 podrá ser un número muy grande, ya que ahora la estructura de un número muy grande puntos de cruce del punto x de ST(S) se modificará al extraer de S un gran número de partículas (todas las que pertenezcan a S2). Esto va a ser así a menos que las partículas de S2 sean seleccionadas de una manera muy especial. Por ejemplo cuando las partículas de S2 modifican los puntos de cruce que entran en x siempre de la misma manera, en cuyo caso, la estructura de los puntos de cruce modificados será la misma y de nuevo todos van a pertenecer a un solo punto de ST(S´). Lo anterior puede ocurrir cuando todas las partículas de S2 sean similares entre sí. Por otro lado, si a S2 pertenece un número grande de partículas escogidas al azar habrá muchísimas más maneras de escoger las partículas que pertenezcan a S2 y que darán lugar a una extensión grande de ST(S) con respecto al sistema de observación S2 , que si escogemos las partículas de S2 de manera de modificar de la forma más parecida posible a los puntos de cruce del punto x de ST(S). Ya que no sabemos cuáles son estas partículas cuando consideramos un determinado sistema macroscópico S2 como sistema de observación de ST(S), si S2 es un sistema con un número grande de partículas, aunque siempre considerablemente menor que el número de partículas de S, entonces la extensión de ST(S) con respecto a S2 podrá ser muy grande, y lo será casi con respecto a cualquier S2 macroscópico escogido al azar, aunque mucho menor que S en cuanto al número de partículas que le pertenecen. Para resumir: 1) En la medida que S2 sea un sistema de muy pocas partículas, entonces, independientemente del número de partículas de S, la extensión de ST(S) con respecto al sistema de observación S2 tenderá a ser pequeña. 2) El mismo resultado se obtiene cuando, en el otro extremo, S2 se acerque a tener las mismas partículas que S. 3) La mayor extensión de ST(S) con respecto al sistema de observación S2 se obtiene generalmente cuando S2 sea un sistema de un número muy grande partículas aunque todavía mucho menor que el número de partículas de S. Postulado 4: "El Universo está formado por todas las partículas del sistema S que se pueden representar por medio de los subconjuntos del conjunto potencia P(B), donde B es el conjunto de todas las prepartículas, y la extensión de éste dependerá del sistema de observación S2 que consideremos, y esa extensión será la del número de puntos de ST(S1) donde S=S1US2 y S1=S―S2.

ESPACIO-TIEMPO Y REFERENCIAL Una vez que hemos introducido el concepto de sistema de observación S2 de un dado sistema S, vamos a mostrar que hay varias formas posibles de adjudicar coordenadas espacio-temporales a los puntos de ST(S1) donde S1=S―S2. Primero consideremos la forma más simple de definir un referencial, tal como lo hemos hecho en un trabajo previo(30). Consideremos un subconjunto τ de partículas evolutivas que formen parte del sistema S1, y téngase en cuenta sólo los puntos del espacio-tiempo ST(S1)= (S1) / ~ conectados por las partículas pertenecientes a τ . Considérese también un subconjunto σ de partículas evolutivas de S1 tales que cada una de ellas conecta partículas pertenecientes a τ. Tendremos así, que cada partícula evolutiva p perteneciente a τ ordenará parcial o totalmente el subconjunto de puntos del espacio-tiempo ST(S1) con los cuales ella se cruza 22

(es decir que sus alfa-estados tienen recubrimiento no nulo con centros de puntos de cruce pertenecientes a esos puntos de ST(S1)). Esto induce en esos puntos el ordenamiento de los alfa-estados de p, que a su vez es establecido por la relación de inclusión entre los elementos pertenecientes a p . De esta forma se podrá adscribir coordenadas temporales a esos puntos de ST(S1). La adscripción de coordenadas temporales podrá hacerse sin ambigüedad si cada partícula p de τ bajo consideración se cruza una sola vez o ninguna con un punto dado de ST(S1). En ese caso, la coordenada temporal de cada uno de tales puntos podrá ser el ordinal del correspondiente alfa-estado de p. Debido a que en ese caso todos los puntos de ST(S1) con los cuales se cruza p quedan completamente ordenados, podremos adjudicar a cualquiera de esos puntos la coordenada temporal 0 (origen temporal) y a los puntos ordenados de acuerdo a los alfa-estados de la partícula p las coordenadas temporales ...-3,-2,-1,0, 1,2,3,...etc. Podremos adjudicar así tantas coordenadas temporales como alfaestados tenga p. Si, por otro lado, cada alfa-estado de p tiene intersección no vacía con los puntos de cruce que entran en varios puntos de ST(S1), entonces el orden inducido por los alfa-estados de p será parcial, y así cada coordenada temporal se le adjudicará no a un punto sino a un subconjunto de puntos de ST(S1). Si las partículas que entran en τ no se cruzan unas con otras en ST(S1), entonces podemos considerarlas como si fueran segmentos paralelos orientados que son a su vez ordenados por cada partícula evolutiva que entra en σ. De nuevo, para que no haya ambigüedad en la manera de adjudicar coordenadas, es necesario que las partículas que entran en σ todas ordenen de la misma manera las partículas que entran en τ. La forma más simple de lograrlo es cuando en σ entra una sola partícula p´ evolutiva que corta a cada una de las partículas que entran en τ en un solo punto (figura 2). Entonces podemos adjudicar la coordenada temporal 0 a todos esos puntos. De igual manera podemos escoger una partícula que pertenezca a τ y adjudicarle la coordenada espacial 0, y luego una coordenada espacial a cada partícula que entra en τ de acuerdo al orden inducido en τ por la única partícula p´ que pertenece a σ. De esta forma habremos establecido una manera de adjudicar coordenadas espacio-temporales a una colección de puntos del espacio-tiempo ST(S1), y en ese sentido habremos establecido un referencial dentro de ése espacio-tiempo. Este caso es el de un referencial con una dimensión espacial y su correspondiente dimensión temporal. Denotemos R(ST(S1), τ, σ) a ese referencial. Nótese que un referencial puede que cubra sólo una parte de los puntos de un dado espacio-tiempo, lo cual depende de las partículas de S1 que entren en los conjuntos τ y σ, aunque en principio, estos conjuntos pueden ser escogidos de tal manera que se pueda adjudicar coordenadas espaciotemporales a todos los puntos de ST(S1). Hemos descrito así una de las maneras más simples de definir un referencial dentro de un dado espacio-tiempo (29), y la misma es ilustrada en la figura 2. Hay otras maneras de definirlo, como puede verse en las referencias 27 y 29. De hecho, una forma más natural de definir un referencial, de acuerdo a como suele hacerse en la práctica, es haciendo uso de sistemas de cuerpos macroscópicos. Consideraremos esta forma de definir un referencial en el momento de analizar el concepto de cuerpo macroscópico en el marco de nuestra teoría.

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Fig. 2. Las líneas a, b, c, .... representan partículas que entran en τ. p´ representa la única partícula que entra en σ. Volvamos por un momento, a nuestra definición de espacio-tiempo como un campo global dada una colección de campos. Esto quiere decir que las propiedades de los campos que hemos discutido se aplican también al espacio-tiempo tal como lo hemos definido. En particular, a ese concepto se aplican los postulados 1 y 2 ya enunciados. Es así como los elementos (puntos) de un espacio-tiempo se construyen a partir de partículas únicamente, y en el caso en que se consideren todas las partículas del mundo físico hablaremos del espacio-tiempo como una entidad única. Por otro lado, dependiendo de los sistemas S2 y S, el espacio-tiempo ST(S1)= (S1) / ~ , con S1= S―S2, podrá tener un aspecto fragmentario, con pocos puntos, presentando cortes (o huecos) y siendo no homogéneo en intensidad de campo (en especial cuando S sea un sistema de pocas partículas), o bien puede presentar un aspecto sin cortes y homogéneo en intensidad de campo con un número muy grande de puntos (en especial cuando S y S2 sean sistemas de muchas partículas, aunque S con muchas más que S2). También puede ocurrir que dependiendo de S y S2 el espacio-tiempo ST(S1) pueda presentar un aspecto intermedio entre los dos casos extremos precedentes (28). Nosotros distinguiremos entre el carácter conexo y el carácter homogéneo de un dado campo, y de igual manera de un espacio-tiempo. Diremos que un campo es conexo si no presenta ningún corte o hueco entre sus puntos, y que es homogéneo si su intensidad es la misma en todos sus puntos. Llamaremos huella de p en el espacio-tiempo ST(S) con respecto al sistema de observación S2 al conjunto de puntos de ST(S, S2) que son cruzados por la partícula p, y la denotamos h (ST( S, S2), p). Por otro lado, llamaremos trayectoria T(R(ST(S, S2), τ, σ), pj ) de una partícula pj en un referencial R(ST(S, S2), τ, σ) al conjunto de coordenadas espaciotemporales ordenadas de acuerdo al valor creciente de la coordenada temporal de los puntos de ese referencial tales que una parte o todos los alfa-estados de pj tienen recubrimiento no nulo con los centros de los puntos de cruce que pertenecen a esos puntos de R(ST(S, S2), τ, σ). En general, las huellas de las partículas en ST(S, S2) son conjuntos ordenados de puntos

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que aparecen esparcidos en ST(S, S2). Por otro lado, las trayectorias son conjuntos ordenados de coordenadas espacio-temporales de puntos de un dado referencial. Cuando se recubren los conjuntos que representan las huellas de dos partículas en ST(S, S2) diremos que las huellas de esas dos partículas se intersectan. Sea τ un conjunto de partículas evolutivas de S1=S-S2 cuyas huellas no se intersectan, es decir que los conjuntos que las representan son disjuntos entre sí. Asimismo, sea σ un conjunto de partículas evolutivas de S1 tales que cualquier p´ que pertenezca a σ intersecta en solamente un punto la huella en ST(S, S2) de una partícula p que pertenezca a τ, o no la intersecta en ninguno. Si, por otro lado, cada alfa estado de las partículas que pertenecen a τ da una intersección no vacía con centros de puntos de cruce pertenecientes a un solo punto de ST(S, S2), entonces la huella en ST(S, S2) de cada partícula que pertenece a τ será un conjunto completamente ordenado. Así mismo, el conjunto de huellas h( ST(S, S2), p1), h( ST(S, S2), p2),…, h( ST(S1), pk), de partículas de τ ordenadas por las intersecciones de las partículas de σ, pueden constituir un conjunto de huellas tales que cada una de ellas se conecta con ninguna, una o varias huellas de partículas que pertenecen a τ. Además, diremos que la conexión entre dos huellas de partículas τ es contigua cuando las partículas de σ que las conectan son tales que uno o dos de sus alfa-estados consecutivos las conectan. Dada una partícula pk que pertenece a τ, llamaremos orden de conexión contigua de pk en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ), al número de partículas de τ cuyas huellas se conectan de forma contigua con h( ST(S, S2), pk), y lo denotaremos Oστ(h( ST(S, S2), pk)). Ahora definiremos lo que llamamos un referencial ideal, que denotaremos RI (ST(S, S2), τ, σ), el cual debe cumplir con las siguientes condiciones: (j)Las huellas h(ST(S, S2), pk) de partículas pk de τ en un espacio-tiempo ST(S, S2), son representadas por conjuntos completamente ordenados. (jj) El orden de conexión contigua Oστ(h( ST(S, S2), pk)) es el mismo para toda huella h(ST(S, S2), pk) , excepto en los bordes del referencial. Si el orden de conexión contigua de cada partícula pk es igual a 2, el referencial en cuestión tendrá una dimensión espacial igual a 1. Debido a que el número de prepartículas es finito, si Oστ(h( ST(S, S2), pk)) es igual a 2 tendrá que haber al menos dos partículas pk para las cuales el orden de conexión contigua sea igual a 1. Así, el referencial en cuestión será espacialmente unidimensional con bordes de dimensión cero. En general, consideraremos referenciales con órdenes de conexión contigua respectivamente igual a 2n, y 2n-2 para los bordes. Para el caso n=2 tendremos un referencial de dos dimensiones espaciales y bordes unidimensionales. Los bordes temporales tendrán siempre dimensión cero. El origen de las coordenadas temporales es convencional y puede no coincidir con el borde inicial temporal. Una vez definido un referencial R(ST(S, S2), τ, σ), llamaremos puntos de este referencial a aquellos puntos de ST(S, S2) a los cuales han sido adjudicadas coordenadas espacio-temporales por la manera como están conectados por las partículas pertenecientes a τ y σ. La trayectoria T(R(ST(S, S2), τ, σ), pj ) de una partícula pj de S en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ) será el conjunto ordenado de las coordenadas espacio-temporales de los de puntos de ese referencial, tales que una parte o todos los alfa-estados de pj tienen recubrimiento no nulo con los centros de los puntos de cruce que pertenecen a esos puntos de R(ST(S, S2), τ, σ). Además podemos considerar que el ordenamiento total o parcial de 25

los elementos de la trayectoria T(R(ST(S, S2), τ, σ), pj ) se hace de acuerdo con el orden creciente de la coordenada temporal. Este procedimiento de adjudicar coordenadas es compatible con la manera como se practica en física el uso de referenciales, ya que el ordenamiento de los puntos de la trayectoria de pj en el referencial R se hace de acuerdo con las coordenadas temporales de esos puntos. Por lo tanto, independientemente de cuál pueda ser el ordenamiento de los alfa-estados de pj , el ordenamiento de la trayectoria de pj en R se hace de acuerdo con las coordenadas temporales. Nótese que dado un referencial R(ST(S, S2), τ, σ) la trayectoria de una partícula cualquiera de S1 puede aparecer en R como una nube de puntos tales que algunos de ellos pueden o no tener la misma coordenada temporal, de acuerdo a lo cual esos puntos serán ordenados parcial o totalmente, dependiendo del caso. Nótese que la partícula p puede ser no evolutiva y sin embargo corresponder a una trayectoria en R completamente ordenada por las respectivas coordenadas temporales en R. De igual manera, la partícula considerada puede ser evolutiva y tener una trayectoria en R ordenada sólo parcialmente. Esto se debe a que a excepción de las partículas que pertenecen a τ o a σ, y que permiten definir un referencial dado, no es la relación de inclusión entre los elementos del conjunto que representa una determinada partícula que no pertenezca ni a τ ni a σ, la que ordena los puntos de su trayectoria en el referencial, sino las coordenadas temporales que determina ese referencial.

REFERENCIALES NO INERCIALES Y GRAVITACIÒN

Definimos referencial inercial como aquél en que todos sus puntos tienen la misma intensidad de campo; es decir que el número de prepartículas que pertenecen a la unión de los centros de los puntos de cruce que entran en un punto, es el mismo para todo punto del referencial (27). De acuerdo con esta definición, consideremos una partícula p de S1=S-S2 en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ) escogida al azar. Los puntos de la huella de la partícula p tenderá a aparecer en R sin mostrar acumulación de puntos en ninguna región pequeña de este, ya que la partícula p, habiendo sido escogida al azar, la probabilidad de que uno de sus alfa-estados comparta prepartículas con un dado punto del referencial R es proporcional al número de prepartículas que entran en ese punto de R. En la referencia 28 hicimos uso de este argumento para demostrar que si representamos fotones por medio de conjuntos definidos en la ec. (2), la velocidad promedio de un número suficientemente grande de fotones es la misma en cualquier referencial inercial. De manera que si consideramos rayos de luz correspondientes a un número grande de fotones, la velocidad de la luz será una constante igual a c en las unidades consideradas y en cualquier referencial inercial. A partir de allí, si exigimos que al pasar de un referencial inercial a otro sean lineales las trasformaciones de las coordenadas espacio-temporales, uno obtiene las transformaciones de Lorenz. Asimismo, en la referencia 29 se muestra que para los fotones así representados se puede definir una frecuencia y una longitud de onda. En cambio, si el referencial R(ST(S, S2), τ, σ) no es inercial, y el número de prepartículas que entran en los puntos localizados digamos en una estrecha franja definida alrededor de la trayectoria de una partícula que pertenezca a τ, es mayor que para otros puntos del referencial, entonces la trayectoria de p escogida al azar tenderá a mostrar una acumulación de puntos en la franja mencionada. Más aún, si el carácter no inercial de R es 26

descrito por una distribución de intensidades de los puntos del referencial R que digamos sea una campana de Gauss centrada en uno de los ejes temporales de R, entonces la trayectoria de p tenderá a aparecer curvada hacia ese eje temporal. Esto sugiere inmediatamente una conexión entre gravitación y carácter no inercial de un referencial en nuestra teoría (29). De igual manera, si ahora definimos un referencial no inercial R´(ST(S, S2), τ, σ) que cubra únicamente una franja alrededor de uno de los ejes temporales de R cuya anchura sea despreciable frente a la anchura de la franja definida por la distribución de intensidades descrita por la curva de Gauss antes considerada, entonces la trayectoria de p en esa franja tenderá a verse como si R´ fuera un referencial inercial, lo que de nuevo está de acuerdo con la manera usual como se considera en relatividad general la conexión entre referenciales no inerciales y gravitación cuando se hace uso de referenciales locales. En el caso de que no consideremos ningún referencial dentro de un espacio-tiempo ST(S, S2), la huella de la partícula p corresponderá a puntos de ese espacio-tiempo, sin que sea posible adjudicar coordenadas espacio-temporales a esos puntos. En ese caso, las diversas regiones de ST(S, S2) solo podrán ser especificadas por la manera como están conectados sus puntos, cuyas estructuras difieren entre sí dada la definición de punto de un campo dado, y así también de un espacio-tiempo dado.

SISTEMAS MACROSCOPICOS EN UN ESPACIO-TIEMPO Consideremos el espacio tiempo ST(S) con una extensión con respecto a un dado sistema de observación S2. En ese caso la extensión de ST(S) con respecto a S2 vendrá dada por el número de puntos de ST(S, S2) donde S1US2=S y S1=S―S2. Diremos que dos puntos x e y de ST(S, S2) están inmediatamente conectados si existe al menos una partícula p de S1 que entre en algún punto de cruce pcx de x, y que también entre en algún punto de cruce pcy de y, de tal forma que el alfa-estado de p que se recubre con el centro de pcx también se recubra con el centro de pcy , o bien sea el inmediato antecesor o el inmediato sucesor del alfa-estado de p que se recubre con el centro de pcy. Consideremos además que el número de puntos de ST(S, S2) sea muy grande, y que exista un subconjunto STM(S, S2) de ST(S, S2) tal que en cada uno de sus puntos entren un gran número de puntos de cruce, no siendo así para el resto de los puntos de ST(S, S2). Sea z un punto de STM(S, S2). Veamos primero que necesariamente z estará inmediatamente conectado con un gran número de puntos de STM(S, S2). Para ello, consideremos una partícula p de S1 que entre en un punto de cruce pcz1 de z, y sean α1, α2 , α3,... los alfa-estados de p. Supóngase además que α2 es el alfa- estado de p que tiene intersección no vacía con el centro del punto de cruce pcz1 . Dado que p pertenece a S1 habrá un punto de cruce pcz´1 que pertenece a un punto z´ de ST(S, S2) tal que p entra en el punto de cruce pcz´1 , y digamos que es el alfa-estado α3 de p el que tiene intersección no vacía con el centro de pcz´1. Debido a que el número de alfa-estados de cualquier partícula es finito en nuestra teoría, ya que el número total de prepartículas es también finito, el punto de cruce pcz´1 tendrá una estructura diferente del punto de cruce pcz1, aun cuando la única diferencia que exista entre esos puntos de cruce provenga de que son dos alfa-estados diferentes de p los que se cruzan con sus centros. Consideremos que ése sea el caso. Los puntos z y z´ de ST(S, S2) tienen entonces estructuras diferentes, y son por lo tanto dos puntos diferentes de ese espacio-tiempo. Además, debido a que todos los puntos de cruce que entran en un determinado punto de un espacio-tiempo tienen la misma estructura, el 27

cambio introducido por la diferencia en el alfa-estado de p que se cruza con los centros de pcz1 y pcz´1 deberá corresponder a la misma modificación de los demás puntos de cruce que entran en z para dar lugar a z´. En otras palabras, si la partícula p entra en un punto de cruce de z, debe haber en cada punto de cruce de z al menos una partícula similar a p, y la modificación del alfa-estado de p que se cruza con el centro de pcz1 puede considerarse también para todas esas partículas similares a p, dando lugar a todos los puntos de cruce que entran en z´. Por otro lado, en el z´ construido de esta forma entrará el mismo número de puntos de cruce que los que entran en z, y así z´ calificará para pertenecer al subconjunto STM(S, S2) de puntos de ST(S, S2) con un número muy grande de puntos de cruce. Además, los puntos z y z´ están inmediatamente conectados el uno con el otro, al menos por la partícula p y todas las que le son similares que entran en los puntos de cruce de z y también de z´. Debido a que este mismo procedimiento se puede hacer con cualquier otra partícula que entre en un punto de cruce del punto z, habrá más de un punto de STM(S, S2) inmediatamente conectado con el punto z. Dos casos pueden presentarse: i) los puntos de cruce que pertenecen a los puntos de STM(S, S2) son tales que pocas partículas de S1=SS2 se cruzan entre sí en cada uno de ellos; y ii) cada uno de los puntos de cruce es tal que muchas partículas de S1 se cruzan en cada uno de ellos; iii) casos intermedios entre los dos anteriores. En el primer caso, cada punto de STM(S, S2) estará inmediatamente conectado con menos puntos de STM(S, S2) que en el segundo caso. El tercer caso corresponderá a una situación en la que algunos puntos de STM(S, S2) están inmediatamente conectados con muchos puntos de STM(S, S2) y otros puntos no. Consideremos ahora un referencial R(ST(S, S2, τ, σ) definido en el espacio-tiempo ST(S, S2) de manera que a cada punto de ese espacio-tiempo le correspondan coordenadas espacio-temporales. De acuerdo con esas coordenadas podremos definir para cada punto x de R(ST(S, S2), τ, σ), cuáles son los puntos de ese referencial que son vecinos de x, tanto espacialmente como temporalmente. Sea ahora, SC1 el sistema de partículas de S1 que además cumplen con la condición de formar puntos de cruce que entran en los puntos de STM(S, S2). Diremos que el sistema de partículas SC1 es un cuerpo macroscópico en el espacio-tiempo ST(S, S2), si para todo referencial R que adjudique coordenadas a todos los puntos de ese espacio-tiempo, las partículas de SC1 se cruzan con los puntos de R de manera que una región R´ de R, de ancho espacial apreciable (mucho mayor que lo que corresponde a dos puntos del referencial vecinos espacialmente) y duración temporal que cubra todo el eje temporal del referencial, es tal que en esa región no haya puntos de R que no sean cruzados por alguna partícula de SC1. Es decir que las trayectorias de todas las partículas de SC1 en R cubre de manera densa los puntos de R´. O dicho de otra forma, para todo punto x´ de R´ existe al menos una partícula de SC1 que forma parte de al menos un punto de cruce que entra en x´. Sea ahora un cuerpo macroscópico SC1 que corresponda al caso ii) descrito más arriba. Eso quiere decir que SC1 es un sistema de partículas que da lugar a los puntos de STM(S, S2) y que son tales que muchas de esas partículas forman parte de cada punto de cruce que entra en algún punto de STM(S, S2), y también se cumple que muchos puntos de cruce entran en cada uno de esos puntos. Hemos visto que para cada uno de estos puntos es de esperar que haya al menos otro punto de STM(S, S2) inmediatamente conectado con él. Esto nos permite definir lo que llamaremos camino entre dos puntos x y x´ de STM(S, S2). Un camino entre x y x´ , el cual denotaremos C(x, x´), es un conjuntos de puntos de STM(S, S2) tales que x tiene un punto inmediatamente conectado con él que pertenece a C(x, x´), 28

sea este el punto x´´ que está inmediatamente conectado con x´´´ que también pertenece a C(x, x´), y así se sigue hasta llegar a un punto de C(x, x´) que está inmediatamente conectado con x´. De modo que los puntos de C(x, x´) forman una cadena de puntos tales que cada punto de C(x, x´) está inmediatamente conectado con sólo dos puntos de C(x, x´), uno anterior y otro posterior a él en la cadena, excepto en el caso de x y x´, en que cada uno de ellos se conecta inmediatamente con un solo punto de C(x, x´). A x y x´ los llamaremos puntos finales del camino C(x, x´). Ahora bien, dos puntos x´´ y x´´´ de un camino que estén inmediatamente conectados pueden estarlo de dos maneras distintas. Sean α1 y α2 los alfa- estados de la partícula p que conecta inmediatamente a x´´ con x´´´. Hay entonces dos posibilidades: α1 precede a α2 en la partícula p, o viceversa. Al primer caso lo representaremos con una flecha que va de x´´ a x´´´, y el segundo caso con una flecha que va de x´´´ a x´´ ( respectivamente x´´ → x´´´ y x´´← x´´´). Por lo tanto, podremos simbolizar un camino C(x, x´) entre dos puntos x y x´ de STM(S, S2) por medio de un conjunto de flechas orientadas tales como:

x →→→←→→←←←→→→→←← x´

Fig.3: Camino C(x, x´) de 16 puntos y 15 flechas en STM(S, S2) entre los puntos x y x´ , donde cada flecha representa una partícula evolutiva.

En la Figura 3 hemos ilustrado el caso de un camino C(x, x´) en STM(S, S2) entre los puntos x y x´, con 16 puntos y 15 flechas. De estas hay 9 de izquierda a derecha y 6 de derecha a izquierda. Camino mínimo Cm(x, x´) entre los puntos x y x´ de STM(S, S2) será aquel que tiene un número de puntos de STM(S, S2) igual o menor al de cualquier otro camino C(x, x´) entre x y x´. Las separación espacial entre dos puntos x y x´ de STM(S, S2) vendrá dada por el número de pares de flechas en direcciones opuestas que se presentan en el camino mínimo Cm(x, x´), y la separación temporal por la diferencia entre el número de flechas que van de izquierda a derecha y el número de flechas que van de derecha a izquierda. Supongamos que el camino ilustrado en la figura 3 corresponda a un camino mínimo Cm(x, x´). En ese caso la separación espacial entre los puntos x y x´ de STM(S, S2) será de 3 unidades, y la separación temporal será también de 3 unidades. Nótese que la separación espacial siempre se mide en unidades positivas o cero. El signo de las separaciones espaciales aparece una vez que escogemos como positiva la separación entre x y x´, lo cual induce que sea negativa la separación espacial entre x´y x. Por otro lado, el signo de la separación temporal viene dado por el signo de la diferencia entre el número de flechas que van de izquierda a derecha y el número de las que van de derecha a izquierda. En cuanto a los signos de la separación espacial y la temporal entre x y x´, la diferencia reside en que en el caso temporal los signos vienen dados directamente por la orientación 29

de las flechas que aparecen entre x y x´; en cambio para establecer el signo de una separación espacial hay que introducir una convención adicional. El concepto de camino entre dos puntos x y x´ de un cuerpo macroscópico representado por STM(S, S2) nos permite adjudicar coordenadas a los puntos de STM(S, S2). Tal como mencionamos al considerar referenciales dentro de un espacio-tiempo, también se puede establecer un referencial a partir de un cuerpo macroscópico haciendo uso del concepto de camino entre dos puntos. Para ello consideramos todos los caminos que se pueden establecer con puntos de STM(S, S2) tales que todas la fechas (véase la figura 3) queden orientadas de la misma manera, por ejemplo de izquierda a derecha. En ese caso, el punto inicial y el punto final de esos caminos estarán ambos separados y no hay ningún par de flechas con sentidos opuestos, y por lo tanto los intervalos espaciales serán siempre cero. Si ahora escogemos de esa colección de caminos aquellos que no se cruzan entre sí, estaremos en la misma situación que tuvimos cuando definimos los referenciales con ayuda de dos conjuntos de partículas, uno el conjunto τ y el otro el conjunto σ. Ahora nuestro conjunto τ tendrá como elementos a los caminos que hemos considerado antes, y que sólo dan lugar a intervalos temporales, y el conjunto σ de caminos que se cruzan con los caminos del conjunto τ, de la misma manera como consideramos en la definición ya dada de un referencial a partir de los conjuntos de partículas τ y σ. Esta manera de definir un referencial a partir del concepto de cuerpo macroscópico es más cercana al procedimiento que se suele seguir para definir un referencial físico. Veamos ahora el caso complementario del que venimos de considerar. Sea un sistema de partículas SC1´ en el espacio-tiempo ST(S, S2) tal que para todo referencial R que adjudique coordenadas a todos los puntos de ese espacio-tiempo, las partículas de SC1´ sólo se cruzan con puntos de R que aparecen dispersos en alguna región R´ de R, o dispersos en todo R. Es decir que los puntos de R con los que las partículas de SC1´ se cruzan no cubren a R de manera densa. Llamaremos a SC1´ sistema de partículas microscópico o cuerpo microscópico. De acuerdo con la referencia (29), en el caso de que esos puntos tengan una separación espacial uniforme en R diremos que el sistema de partículas microscópico SC1´ tiene una longitud de onda bien definida en R, y si la separación temporal de esos puntos es uniforme diremos que SC1 tiene una frecuencia bien definida en R.

SISTEMAS DETECTORES DE PARTICULAS

Consideremos el espacio tiempo ST(S) con una extensión definida con respecto a un dado sistema de observación S2, lo cual denotamos ST(S, S2), y un referencial R(ST(S, S2), τ, σ) definido en ese espacio-tiempo. Consideremos además una partícula p cuya trayectoria en el referencial R venga representada por el conjunto T(R(ST(S, S2), τ, σ), p). Sea ahora un sistema de partículas representado por Sd que a su vez sea un subsistema de S. De acuerdo con nuestra definición de extensión deben cumplirse las igualdades S1US2=S y S1=S―S2. Supongamos que la trayectoria de p en R tenga el aspecto de una nube no densa de puntos deslocalizados en R. Es decir, que de acuerdo a la definición que hemos dado de cuerpo microscópico, puede considerarse como tal el sistema de partículas al cual solo pertenezca la partícula p. Consideramos ahora el espacio-tiempo ST´(S, S2 U Sd ) y el referencial R´(ST(S , S2 U Sd ), τ, σ), es decir que ahora el espacio-tiempo ST´ y el 30

referencial R´ corresponden a un S1´= S1― Sd y un S2´=S2 U Sd de manera que siempre se cumpla S=S1´U S2´ y S1´=S―S2´ con Sd  S. Lo anterior corresponde a haber agregado al sistema de partículas S2 una parte del sistema S1. Veamos ahora que es posible que la trayectoria de p en R´ presente a lo largo de un intervalo temporal t un angostamiento en el ancho espacial de la nube de puntos con respecto a como la trayectoria de p aparece en R. Si t es mayor que un cierto valor umbral t0 de intervalo temporal, diremos que el sistema de partículas representado por Sd es un detector de la partícula p con respecto al umbral t0 en el referencial R´. En principio, este umbral de intervalo de tiempo debe ser escogido de modo que la detección mencionada se pueda caracterizar en un experimento. La manera como puede ocurrir el angostamiento de la nube puntos cuando uno pasa del referencial R al referencial R´ puede describirse así: al pasar del sistema S2 al sistema S2 U Sd , la extensión de ST(S) con respecto a S2 U Sd tenderá en unos casos a ser mayor que la extensión de ST(S) con respecto a S2, y en otros casos menor. Una situación extrema ocurrirá cuando S1= Sd , en cuyo caso la extensión de ST´(S, S2 U Sd ) se reduce a cero, ya que entonces la extensión de ST´(S1´, S2 U Sd ) es el número de puntos de ST´(S1´= S1― S1, S2U Sd) que es un conjunto vacío de puntos, y así decimos que su extensión se reduce a cero. En este caso de detección de sistema microscópico, se produce un colapso del espacio-tiempo, del referencial y del propio sistema microscópico. Si no estamos en ese caso extremo, digamos que a Sd pertenecen mucho menos partículas que a S2, y S2 es a su vez un sistema pequeño comparado con S, entonces el espacio-tiempo ST´ y el referencial R´ tendrán extensión, y puede que las partículas de Sd pasen sobre ciertos puntos de cruce que entran en los puntos de R modificando su estructura, lo cual va a producir una redistribución de esos puntos de cruce para dar lugar a los puntos de R´. Por tanto, ahora la trayectoria de p en R´, que es determinada por los puntos de cruce con cuyos centros los alfa-estados de p se recubren, puede cambiar de aspecto con respecto a como aparece la trayectoria de p en el referencial R, y el angostamiento mencionado es posible que se produzca. Por otro lado, el número de partículas de Sd puede ser tan pequeño con respecto al número de partículas de S2, que al pasar de ST a ST´ y de R a R´ el número de puntos permanezca constante, y sólo se produzca la redistribución de puntos de cruce mencionada más arriba, aunque es cierto que si Sd no es tan pequeño con respecto a S1, entonces el número de puntos al pasar de ST a ST´ tenderá a aumentar. Nótese que debido a que en principio no tenemos información de cuáles son las prepartículas que entran en la partícula p, ni en los puntos de R, ni en los de R´, dado un sistema representado por Sd no tendremos certeza de que dicho sistema detecte la partícula p considerada, aunque en principio se podrá hablar de la probabilidad de que esto ocurra. Este es un rasgo característico de la mecánica quántica, el cual consideraremos de nuevo cuando enunciemos el concepto de función de onda en el marco de nuestra teoría. Podemos ahora preguntarnos: ¿qué ocurre en el caso de un detector de partículas cuando se trate de la detección de un cuerpo macroscópico? De nuevo, si nos ubicamos en la situación extrema en que S1= Sd , tanto el espacio-tiempo ST´(S, S2 U Sd ) como el referencial R´(ST(S , S2 U Sd ), τ, σ), y el cuerpo macroscópico representado por STM(S― S2U Sd ), todos tres se reducirán a conjuntos vacíos. Si por el contrario, nos encontramos en un caso en el que a Sd pertenezcan mucho menos partículas que a S2, y a su vez a S2 pertenezcan mucho menos partículas que a S, entonces el espacio-tiempo ST´ y el referencial R´ tendrán extensión, y puede que las partículas de S d pasen sobre ciertos puntos de cruce que entran en los puntos de R modificando su estructura, lo cual va a

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producir una redistribución de esos puntos de cruce para dar lugar a los puntos de R´. Pero ahora, a diferencia del caso de un cuerpo microscópico, no ocurrirá un cambio en la densidad de los puntos de la trayectoria del cuerpo macroscópico cuando pasamos del referencial R al referencial R´. Esto se debe a que la distribución de los puntos de la trayectoria de un cuerpo macroscópico en el referencial R es ya densa, y continuará siéndolo en el referencial R´, ya que si bien es cierto que el efecto de Sd en ST(S, S2) tiende a aumentar el número de puntos para dar lugar a ST´(S, S2 U Sd ), este aumento del número de puntos va a tender a ser despreciable, ya que en el caso considerado a Sd pertenecen mucho menos partículas que a S2. El otro caso extremo de reducción a cero de la extensión de un espacio-tiempo, ocurrirá cuando S2 y Sd sean conjuntos vacíos, ya que entonces ST´(S, S2U Sd)= ST (S). Por lo tanto, ST´ es un espacio-tiempo completo y a él sólo pertenece un punto, y así su extensión se reduce a cero. Este caso corresponde al tipo de colapso estudiado en la referencia (30), y por el cual se reduce el espacio-tiempo a ser representado por un conjunto de un solo punto, al que pertenecen todos los puntos de cruce que se pueden construir a partir del conjunto B de todas las prepartículas, ya que todos esos puntos de cruce tienen la misma estructura.

FUNCION DE ONDA DE UNA PARTICULA Se puede dar otra definición de detector de partícula más directamente relacionada con los conceptos que se manejan en mecánica quántica. Una manera de hacerlo es a través del concepto de función de onda, el cual introduciremos en lo que sigue a partir de los conceptos expuestos aquí. Consideremos el espacio tiempo ST(S) con una extensión con respecto a un dado sistema de observación S2, el cual denotamos ST(S, S2), y un referencial R(ST(S, S2), τ, σ) definido en ese espacio-tiempo. Para simplificar la exposición vamos a referirnos primero al caso en que el referencial R tenga una sola dimensión espacial. Sea entonces una partícula p representada por un elemento de S, y el conjunto S2´= S2 U{p}. La trayectoria de p en el referencial R estará formada por todas las coordenadas espacio- temporales de los puntos de R por donde pasa p, es decir los puntos de R en los cuales entran puntos de cruce con cuyos centros uno o varios alfa-estados de p tienen recubrimientos no vacíos. Consideremos ahora el espacio-tiempo ST´(S, S2´), es decir que ST´ difiere de ST sólo en que la partícula p no entra en ningún punto de cruce que pertenezca a un punto de ST´. De igual manera definimos R´(ST(S, S2´), τ, σ) para el que suponemos que los conjuntos τ, σ no cambian cuando uno pasa de R a R´, y que debido al cambio de estructura de los puntos de cruce que entran en R al sustraer la partícula p, éstos se redistribuyen en los puntos de R´, de manera que esa redistribución no afecta el número de puntos de R´. En otras palabras, el número de partículas de S―S2´ es tan grande que el efecto de p solo produce una redistribución de puntos de cruce entre los puntos de R para dar lugar a R´. El hecho de que por efecto de la sustracción de la partícula p del sistema S pueda producirse una redistribución de puntos de cruce entre los puntos de R para dar lugar a R´, sin que el número de puntos de ST´(S, S2´) cambie con respecto al número de puntos de ST(S, S2), puede verse de la siguiente manera: la modificación de los puntos de ST(S, S2) para dar lugar a ST´(S, S2´), producida por la sustracción de la partícula p del sistema S, producirá la redistribución de puntos de cruce que hemos mencionado, y para que se forme un nuevo punto se necesita que por sustracción de la partícula p se produzcan puntos 32

de cruce cuya estructura sea diferente de la de cualquier punto de cruce que pertenezca a un punto de ST(S, S2). Pero si a S pertenece un número enorme de conjuntos que representan partículas, el número de puntos ST(S, S2) podrá ser enorme y, como sabemos, cada punto corresponde a una estructura diferente de puntos de cruce. Por lo tanto, lo frecuente será que ya existan puntos de ST(S, S2) que correspondan a las estructuras que se obtienen por sustracción de la partícula p de los puntos de cruce que entran en los puntos de ST(S, S2) para dar lugar a ST´(S, S2´). Así que, debido a que en S2 y S2´ entra un número mucho menor de partículas que las que entran en S, lo que ocurrirá con más frecuencia será que la mencionada sustracción de p sólo producirá una redistribución de los puntos de cruce entre los puntos de ST(S, S2) para dar lugar a ST´(S, S2´), conservándose el número de puntos. Sea ahora un punto x de R correspondiente a la coordenada temporal t. Denotemos X(t) los puntos de R que corresponden al tiempo t. Sea N+(x, t) el número de puntos de cruce que pertenecen a x debido a que la partícula p forma parte de esos puntos de cruce, y que son tales que al quitarles la partícula p, estos pasan a tener estructuras idénticas a algunos o todos los puntos de X(t), y sólo a esos puntos. Sea también N-(x, t) el número de puntos de cruce que pertenecen a puntos de X(t) tales que la partícula p forma parte de ellos y que de no considerar la partícula p esos puntos de cruce formarían parte del punto x. En términos más figurativos, N+(x, t) mide el número de puntos de cruce que "entran" en el punto x en el instante t debido a la partícula p, y que provienen de los puntos de X(t). Por otro lado, N-(x, t) mide el número de puntos de cruce que "salen" del punto x para ir a formar parte de los puntos de X(t) debido a la partícula p. Considérese ahora un conjunto de puntos del referencial R(ST(S, S2), τ, σ) tal que todos esos puntos caen en el eje temporal definido por la partícula τi que pertenece a τ y que pasa sobre el punto x de R. Denotaremos T(R, τi) ese conjuntos de puntos. Sea ahora T+(x, t) el número de puntos de cruce que pertenecen a x debido a que la partícula p forma parte de esos puntos de cruce, y que son tales que al quitarles la partícula p, estos pasan a tener estructuras idénticas a algunos o todos los puntos de T(R, τi), y sólo a esos puntos. De igual manera, denotemos T-(x, t) el número de puntos de cruce que pertenecen a puntos de T(R, τi) tales que la partícula p forma parte de ellos y que de no considerar la partícula p esos puntos de cruce formarían parte del punto x. Igual que para el caso de los puntos de X(t), podemos interpretar de manera más figurativa que T+(x, t) mide el número de puntos de cruce que "entran" en x en el instante t debido a la partícula p y que provienen de los puntos del eje temporal T(R, τi). De igual manera T-(x, t) mide el número de puntos de cruce que "salen" del punto x para ir a formar parte de los puntos de T(R, τi) debido a la partícula p. Ahora estamos preparados para definir lo que entendemos por función de onda de una partícula p en un referencial R(ST(S, S2), τ, σ) definido en el espacio-tiempo ST(S, S2). Con el fin de evitar confusión con la notación que hemos usado para los puntos x´s que pertenecen a R(ST(S, S2), τ, σ), hacemos uso de itálicas x y t para designar las coordenadas espacio-temporales del punto x en el referencial R. Definición 3. Dado un espacio-tiempo ST(S, S2) y una partícula p representada por un elemento de S-S2, la función de onda de la partícula p en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ), viene dada por la función compleja Ψ (x, t) = Ψr (x, t) + i Ψi (x, t),

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para la cual el valor de la parte real Ψr (x, t) en la coordenada espacial x y el tiempo t viene dado por N+(x, t) ― N-(x, t), y el valor de la parte imaginaria Ψi (x, t) por T+(x, t) ― T-(x, t). Para facilitar la discusión hemos considerado el caso de referenciales con una dimensión espacial, aunque nuestra definición es generalizable al caso de referenciales multidimensionales. En el caso tridimensional denotaremos las coordenadas espaciotemporales de un punto x por medio de itálicas x, y, z, t . La expresión (4) de función de onda de una partícula tiene algunas propiedades similares a las propiedades que tienen las funciones de onda en mecánica quántica. Primero veamos cómo se transforma la expresión (4) bajo la operación llamada de "inversión temporal". Para ello, veamos primero qué significa esta operación en el marco de nuestra teoría. De acuerdo con la manera como hemos definido referencial en un espacio-tiempo, el eje temporal de un referencial se construye por medio de un dado conjunto τ de partículas evolutivas, tal como lo describimos en el aparte dedicado a los conceptos de espacio-tiempo y referencial, en la página 19. De acuerdo con nuestra definición de referencial no se puede invertir el tiempo en un sentido literal, ya que en un referencial la dirección del tiempo es determinada por la relación de inclusión de los elementos que pertenecen a conjuntos que representan las partículas evolutivas que entran en τ, y el orden de un conjunto ordenado por la relación de inclusión no puede invertirse de manera que sus elementos queden de nuevo ordenados por la relación de inclusión. Lo que sí puede hacerse es invertir el signo de las coordenadas temporales que en el referencial en cuestión son adjudicadas a los puntos de ese referencial. Y eso es lo que estrictamente corresponde a la operación usual de cambiar el signo de la variable temporal que aparece en los argumentos de una función de onda. Este cambio de signo lo podemos interpretar de acuerdo con nuestra definición 3 de función de onda. En la expresión dada para la parte real de la función de onda Ψr (x, t)= N+(x, t) ― N-(x, t),

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cambiar el signo de la variable t no afecta el lado derecho de la expresión, ya que N+(x, t) y N-(x, t) tienen que ver con el número de puntos de cruce que entran y salen del punto x en un dado instante, y cambiar el signo de la coordenada temporal de ese instante no inducirá un cambio de esos números. No obstante, la parte imaginaria de la función de onda Ψi (x, t)= T+(x, t) ― T-(x, t)

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sí cambiará de signo, ya que pasar de t a -t equivale a leer al revés el incremento de la coordenada temporal en R. Con lo cual, cuando hablamos del número de puntos de cruce que entran en x provenientes de puntos que caen en el eje temporal que pasa por el punto x, que hemos denotado T+(x, t), ese número de puntos corresponderá a ahora al número de puntos de cruce que salen de x para ir a formar parte de puntos que caen en el eje temporal de R que pasa por x, es decir que T+(x, t) pasa a ocupar el lugar de T-(x ,t) en la ecuación 6 ya que la inversión del signo de t equivale a leer lo que entra como si saliera y lo que sale como si entrara. De igual manera T-(x, t) pasará a ocupar el lugar de T+(x, t) en la ecuación 6. Por tanto, Ψi (x, t) se invertirá con el cambio de signo de t. La manera como hemos descrito en el marco de nuestra teoría el cambio de signo de la variable t, también se aplica a la descripción clásica de un sistema físico, en cuyo caso el cambio de signo de t 34

corresponderá a invertir las velocidades de las partículas cuyas trayectorias se describen en un dado referencial R. Es decir que en nuestro modelo la llamada dirección de tiempo viene dada por una propiedad intrínseca de los conjuntos de subconjuntos de prepartículas que representan el eje temporal en un dado referencial, y no de alguna propiedad de los sistemas de muchas partículas como puede ser la Segunda Ley de la termodinámica. De seguidas veremos que suponer que la dirección del tiempo viene dada por el crecimiento con el tiempo de la entropía de un sistema aislado lleva a una contradicción. En los modelos cosmológicos más recientes, se argumenta que el Universo comenzó en una pequeñísima región de muy baja entropía, la cual ha ido aumentando en la medida que el espacio se expande. Esta manera de ver, se aviene bien con el hecho de que en los procesos que observamos en sistemas aislados, o aproximadamente aislados, casi siempre se produce un aumento de entropía (33). De modo que en esta manera de ver, a pesar de que en principio no se niega la posibilidad de invertir el tiempo, dicha inversión no tiene relevancia práctica. Sin embargo, el problema no es nada más de carácter práctico, ya que la idea de que es el aumento de entropía lo que fija la dirección del tiempo, lleva a una dificultad de principio. Esta dificultad consiste en que si una disminución de entropía corresponde a una inversión del tiempo, entonces si el tiempo aumenta en sentido inverso, ocurre que al tiempo progresar en ese sentido, veremos de nuevo aumentar la entropía en lugar de disminuir, ya que al invertir el tiempo lo que era "antes" se convierte en "después". Por lo tanto, nunca se podría observar una disminución de entropía. Sin embargo, experimentalmente se sabe que tanto en los sistemas aislados como en lo no-aislados, pueden ocurrir fluctuaciones que correspondan a una disminución de entropía. La solución de esta dificultad es aceptar que no es la disminución ni el aumento de entropía lo que determina la dirección del tiempo. Demos ahora una definición de detector de partícula haciendo uso del concepto de función de onda dado más arriba en la definición 3 (ecs. 4, 5 y 6). Consideremos el espaciotiempo ST´(S, S2 U Sd ) y el referencial R´(ST(S , S2 U Sd ), τ, σ), es decir que ahora el espacio-tiempo ST´ y el referencial R´ corresponden a un S1´= S1― Sd y un S2´=S2 U Sd de manera que siempre se cumpla S=S1´U S2´ y S1´=S―S2´ con Sd  S , lo cual corresponde a haber agregado al sistema de partículas S2 una parte del sistema S1. Diremos que el sistema de partículas Sd es un detector de partículas, si para una partícula p de S´ cuya función de onda en el referencial R(ST(S , S2), τ, σ) es Ψ (x, t)= Ψr (x, t) + i Ψi (x, t), se cumple que el conjunto de puntos x de R(ST(S , S2), τ, σ) tales que, para un dado t, en cada uno de esos puntos tengamos Ψr (x, t)≠ 0 y Ψi (x, t) )≠ 0, y esos puntos aparecen dispersos en R, entonces para el mismo instante t, los puntos x´ de R´(ST(S , S2 U Sd ), τ, σ) para los cuales Ψ´r (x´, t)≠ 0 y/o Ψ´i (x´, t) )≠ 0, donde estas son la parte real y la parte imaginaria de la función de onda de la partícula p en R´, aparecen en este referencial concentrados en una zona muy pequeña comparada con la zona de R en donde los puntos x aparecen dispersos. En mecánica quántica uno describe la detección de una partícula elemental, digamos un fotón, como un proceso donde el fotón pasa de estar deslocalizado en el espacio, a localizarse en el punto de detección. A menos que el fotón tenga una frecuencia tan alta que corresponda a una energía comparable con la de los procesos nucleares, dicho punto de detección es un átomo o una molécula, los cuales son muy pequeños comparados con el tamaño de un cuerpo macroscópico. De ahí que con relación a la escala de descripción macroscópica de la física, los átomos puedan ser considerados como puntos, pero hay que tener en cuenta dos salvedades. La primera es que puede considerarse que un átomo en 35

cualquiera de sus estados quánticos tiene la extensión de la función de onda que lo describe, es decir una extensión infinita en principio (a menos que el átomo esté restringido a moverse en un espacio finito con bordes reflectores) ya que su función de onda tenderá a cero en la medida que nos alejemos del núcleo del átomo, o del centro de masa de la molécula, y sólo se hace estrictamente cero en el infinito. De manera que en ese caso, un átomo, o una molécula, pueden ser considerados de tamaño finito sólo cuando uno supone un criterio adicional de umbral para la amplitud de la función de onda, por debajo del cual consideramos que la función de onda tiene amplitud cero. Sólo en ese sentido los átomos y moléculas pueden ser considerados que tienen un diámetro que, groso modo, va de 1 a 100 Å , es decir que son muy pequeños comparados con el tamaño de un cuerpo macroscópico, y es entonces que en términos relativos pueden ser considerados como puntos. La segunda salvedad se plantea cuando consideramos distancias mucho menores que el diámetro de un átomo, tales como se presentan en teoría quántica de campos, bien sea de las partículas elementales de acuerdo con el modelo estándar, o la teoría de cuerdas, o más recientemente las teoría de membranas M. En física suele considerarse la distancia de Planck como la más fundamental por su magnitud, y esta es del orden de 10 -33 cm, con respecto a la cual el tamaño del diámetro de un átomo o molécula, definido con el mencionado criterio de umbral, es gigantesco: es 25 órdenes de magnitud mayor que la distancia de Planck. De manera que cuando decimos que un fotón es localizado por un detector, lo que decimos es que el fotón fue absorbido por un átomo del detector, es decir que pasó a formar parte de un ente que tiene un diámetro gigantesco comparado con la distancia de Planck, o con la longitud de una cuerda, o incluso comparado con el diámetro de un protón. Por lo tanto, podemos suponer que cuando un fotón es localizado en un proceso de detección, eso corresponde en nuestro modelo a que la función de onda del fotón detectado aparece ahora en una región de tamaño considerablemente más restringido que la región de dimensión macroscópica en la que se extendía su función de onda antes de la detección; pero que esa región más restringida puede todavía corresponder a un gran número de puntos del referencial donde la detección es llevada a cabo. Esencialmente el mismo argumento se aplica al caso de fotones de frecuencia tan alta que tienen energías comparables a las de los procesos nucleares, sólo que en ese caso la localización del fotón corresponderá a una región bastante más pequeña que la que corresponde a un átomo o a una molécula, pero todavía enormemente más grande que la longitud de Planck. Para tener una visión más intuitiva del proceso de detección de una partícula microscópica, consideremos el caso de un fotón y un detector con una de sus partes formada por una pequeña lámina cubierta de átomos de sodio. Sabemos que si la frecuencia asociada al fotón coincide con la de resonancia de absorción de energía, puede ocurrir que el átomo pase por medio de una transición permitida de un estado a otro, y de ese modo el fotón es localizado en ese átomo por un lapso de tiempo equivalente al tiempo de vida del estado al que el átomo ha sido excitado. Dependiendo del dispositivo, esta localización puede desencadenar una cascada de electrones que terminan por dar cuenta a nivel macroscópico de la detección. En el momento en que el fotón es localizado en el átomo la función de onda del fotón de hace cero excepto en la región que corresponde a la función de onda asociada al estado al cual el átomo ha sido excitado. Si ahora hacemos uso de nuestra definición de detección de una partícula microscópica, lo descrito anteriormente puede verse así: el fotón presenta en el referencial R y en el instante t zonas donde N+ > Ny otras zonas donde N+ < N-, y dichas zonas corresponderán respectivamente a amplitudes positivas y negativas de la componente real de la función de onda en el instante t. Lo 36

mismo ocurrirá con la componente imaginaria cuando consideramos los casos T+ > T- y T+ < T- . La situación de un fotón deslocalizado en un referencial R puede ser el resultado de que una partícula p puede intervenir en un número muy grande de puntos del referencial R, y muchos de esos puntos pueden encontrarse distanciados entre sí en ese referencial. Esto puede verse de la siguiente manera: una partícula p con muchos alfa estados puede interceptar diferentes puntos de cruce debido a una intersección no vacía de diferentes alfa estados de esa partícula con diferentes centros de puntos de cruce. Esos puntos de cruce pueden tener estructuras diferentes y así pertenecer a distintos puntos de R. Más aún, un mismo alfa estado de la partícula p puede tener intersección no vacía con centros de distintos puntos de cruce, los cuales pueden pertenecer a diferentes puntos de R. Por otro lado, los puntos de cruce en los cuales entra la partícula p pueden ser distantes entre sí en el referencial R, ya que puntos de R con estructuras diferentes pueden corresponder a coordenadas espacio-temporales muy diferentes entre sí. Dependiendo del número de prepartículas que pertenezcan a los alfa estados de p, los puntos de R en donde entra la partícula p podrán ser pocos, deslocalizados o bien localizados, si este número de prepartículas es relativamente pequeño. En caso contrario, los puntos de R en donde entra la partícula p podrán ser muchos, y de nuevo deslocalizados o localizados. Un detector de partículas Sd tiene la propiedad de igualar N+ con N- y a T+ con T- en un rango de temporal t mayor que un cierto umbral para todos los puntos de R excepto para una región restringida de R. Esto puede ocurrir debido a la redistribución de puntos de cruce en los puntos de R al pasar el sistema de observación de S2 a S2´=S2 U Sd . En la medida en que N+(x, t) ― N-(x, t) y T+(x, t) ― T-(x, t) se acerquen a cero será más probable que esas diferencias permanezcan cerca de cero debido a la redistribución de puntos de cruce producida al pasar de S2 a S2 U Sd , y cuando las mencionadas diferencias sean muy diferentes de cero éstas tenderán a permanecer alejadas de cero.

ESPACIO-TIEMPO Y ESTADISTICAS QUANTICAS DE LAS PARTICULAS A partir de los conceptos de espacio-tiempo y referencial que ya hemos definido, y de una definición precisa de estado de una partícula, ahora analizaremos el problema de la estadísticas quánticas en el marco de nuestra teoría. Este problema fue analizado en la referencia 31. Aquí consideraremos algunos aspectos esenciales de ese artículo. La ecuación (2) define un conjunto que representa una partícula. A las partículas representadas por ese tipo de conjuntos, cuyos elementos son a su vez conjuntos de prepartículas, las denominaremos partículas de clase 1. Por otro lado, consideraremos otro tipo de partículas que llamaremos de clase 2, las cuales tienen que ver con la topología del espacio-tiempo, es decir con la manera como los puntos de un espacio-tiempo están conectados entre sí. Estas partículas de clase 2 en un espacio-tiempo corresponden a cortes en el mismo. Mostraremos que estas dos clases de partículas son tales que las de clase 1 obedecen la estadística de Bose-Einstein y las de clase 2 a la estadística de Fermi-Dirac (31). Para verlo necesitamos una definición precisa de trayectoria y estado de una partícula, sea esta de clase 1 o de clase 2, en un dado espacio-tiempo. En la página 24 definimos la trayectoria T(R(ST(S, S2), τ, σ), pj ) de una partícula pj de clase 1 en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ) como el conjunto de coordenadas espaciotemporales ordenado de acuerdo al valor creciente de la coordenada temporal de los puntos 37

de ese referencial tales que una parte o todos los alfa-estados de pj tienen recubrimiento no nulo con los centros de los puntos de cruce que pertenecen a esos puntos de R(ST(S, S2), τ, σ). De manera análoga, definiremos la trayectoria T(R(ST(S, S2), τ, σ), pj ) de una partícula pj de clase 2, en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ), como el conjunto ordenado de las coordenadas espacio-temporales de los de puntos de ese referencial que pertenecen a los bordes de los cortes correspondientes a la partícula pj. El ordenamiento total o parcial de los elementos de la trayectoria T(R(ST(S, S2), τ, σ), pj ) se hace de acuerdo con el valor creciente de la coordenada temporal.

Definición 4: Consideremos el espacio tiempo ST(S, S2) con una extensión definida con respecto a un dado sistema de observación S2, y un referencial R(ST(S, S2), τ, σ) definido en ese espacio-tiempo. El estado de una partícula p de clase 1 en el espacio-tiempo ST(S, S2) viene especificado por la huella de esa partícula en ese espacio-tiempo. A dicho estado lo denotaremos ε1ST(ST(S, S2), p). De manera análoga, el estado de una partícula p de clase 1 en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ) viene especificado por la trayectoria de la partícula p en ese referencial, y lo denotaremos ε1R(T(R(ST(S, S2), τ, σ) , p). Definición 5: Dada una partícula p´ de clase 2 en el espacio-tiempo ST(S, S2) con una extensión definida con respecto a un dado sistema de observación S2, el estado de p´ en ese espacio-tiempo viene especificado por los puntos de ST(S, S2) que definen los bordes del corte o de los cortes que representan la partícula p´ en ST(S, S2). A dicho estado lo denotaremos ε2ST(ST(S, S2), p´)). De igual manera que para las partículas de clase 1, el estado de una partícula de clase 2 en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ), viene especificado por la trayectoria de la partícula p´ en ese referencial, y lo denotaremos ε2R(T(R(ST(S, S2), τ, σ) , p´). Estas definiciones son consistentes con el postulado de que los puntos de un espaciotiempo sólo se distinguen entre sí por su estructura. De forma que la mayor especificación que se puede dar de una partícula de clase 1, o de clase 2, en un determinado espaciotiempo, corresponde a especificar los puntos de las huellas de esas partículas en ese espacio-tiempo. En cuanto a las partículas de clase 1 tenemos: (i) Dada una partícula de clase 1 y un espacio-tiempo ST(S, S2), a dicha partícula le corresponde un solo estado en ese espaciotiempo (ii) Dado el estado ε1(ST(S, S2), p) de una de esas partículas p en un espaciotiempo ST(S, S2), ese estado determina completamente la trayectoria de esa partícula en cualquier referencial R(ST(S, S2), τ, σ), es decir que a cada partícula de clase 1 le corresponde una sola trayectoria en cada referencial R(ST(S, S2), τ, σ); (iii) muchas partículas de clase 1 pueden corresponder al mismo estado en un dado espacio-tiempo. Para verlo, considérense dos partículas p y p´ de clase 1, tales que si la partícula p pertenece a un punto de cruce que entra en un punto del espacio-tiempo ST(S, S2), entonces la partícula p´ entra en al menos un punto de cruce del mismo punto de ese espacio-tiempo, y que lo mismo ocurre en sentido inverso cuando pasamos de p´a p. Dada la definición de partícula de clase 1, no hay restricción a que lo anterior ocurra cuando al sistema S pertenezca un número muy grande de partículas, ya que una partícula de clase 1 pertenece a un punto de cruce que entra en un punto de un espacio-tiempo cuando al menos uno de sus alfa estados 38

se recubre con el centro de ese punto de cruce, y eso puede ocurrir para muchas partículas de clase 1. Por lo tanto, dado el punto (ii), para un referencial definido en un espaciotiempo ST(S, S2) que corresponda a un sistema S con un número muy grande de partículas, muchas partículas de clase 1 pueden tener la misma trayectoria en ese referencial. Los puntos (i) - (iii), nos llevan a la conclusión de que las partículas de clase 1 cumplen con la estadística de Bose-Einstein. Para verlo, consideremos que en el referencial donde las partículas de clase 1 son descritas, es un referencial inercial (véase la sección dedicada a referenciales no inerciales y gravitación de la página 24). En la sección 3 de la referencia 29 mostramos que podemos adscribir valores de energía a las trayectorias que corresponden a valores bien definidos de la velocidad. Sea entonces S= { p1, p2,...,pN} un sistema de N partículas de clase 1 descritas en un referencial inercial R. Teniendo en cuenta las características (i) - (iii) de las partículas de clase 1 mencionadas más arriba, somos conducidos inmediatamente a que la función de partición correspondiente al sistema S viene dada por (31): Z=

∑

exp [-β(n1ε1 +

n2ε2+. . .+ nsεs)],

(7)

n1,n2,...,ns donde nj es el número de partículas de S en el estado j, εj es la energía correspondiente al estado j en el referencial R(ST(S, S2), τ, σ) y ∑ nj = N, donde N es el número total de partículas de clase 1 descritas en el referencial considerado. En la ecuación (7) hemos tenido en cuenta que cada estado j corresponde a una sola trayectoria en el referencial inercial R(ST(S, S2), τ, σ) y por ende a un solo valor εj de energía. Por otro lado, en la ecuación (7), delante de cada término de la sumatoria no aparece el factor N!/ n1! n2!. . . ns !, el cual, de ser introducido, tendría en cuenta las posibles maneras en que las partículas pj , para j = 1, N , pueden encontrarse en los estados j=1, S de una partícula, en cuyo caso la ecuación (7) conduce a la distribución clásica de Maxwell-Boltzmann. Si no incluimos esos factores, como corresponde en nuestro caso, la ecuación (7) con la restricción ∑ nj =N conduce inmediatamente a la distribución de Bose-Einstein (41). En el caso de las partículas de clase 2, el estado ε2ST(ST(S, S2), p´)) de la partícula p´ en el espacio-tiempo ST(S, S2) en general vendrá especificado por los puntos de ese espacio-tiempo que definen los bordes de los cortes que representan a p´. En la referencia 31 consideramos el caso en el que un solo corte representa a la partícula de clase 2. La situación más general ocurrirá cuando a la partícula p´ correspondan muchos cortes en el espacio-tiempo considerado. En ese caso especificamos el estado ε2ST(ST(S, S2), p´)) por medio de un conjunto de subconjuntos Ck de puntos de ST(S, S2) tales que los elementos de Ck son los puntos de ese espacio-tiempo que definen el borde del corte k-ésimo que corresponde a la partícula p´. Cuando a la partícula p´ correspondan M cortes en el espaciotiempo considerado, podemos especificar su estado por medio del conjunto:

ε2ST(ST(S, S2), p´)) = { C1, C2,...,CM}

(8)

Por otro lado, en el caso de las partículas de clase 2 se cumple una propiedad similar a la propiedad (i) de las partículas de clase 1, ya que tenemos la propiedad: (j) dada una 39

partícula de clase 2 y un espacio-tiempo ST(S, S2) a dicha partícula le corresponde un solo estado ε2ST(ST(S, S2), p´) en ese espacio-tiempo. También tenemos una propiedad similar a la señalada en el punto (ii), y ésta es: (jj) dado el estado ε2ST(ST(S, S2), p) de una partícula p´ de clase 2 en un espacio-tiempo ST(S, S2), ese estado determina completamente la trayectoria de esa partícula en cualquier referencial R(ST(S, S2), τ, σ), es decir que a cada partícula de clase 2 le corresponde una sola trayectoria en cada referencial R(ST(S, S2), τ, σ). Sin embargo, para las partículas de clase 2 no se cumple una propiedad similar a la señalada en el punto (iii), concerniente a las partículas de clase 1, ya que tenemos: (jjj) más de una partícula de clase 2 no pueden corresponder al mismo estado en un dado espacio-tiempo ST(S, S2), y por lo tanto tampoco pueden corresponder a la misma trayectoria en cualquier referencial R(ST(S, S2), τ, σ). Dados los puntos (j) y (jj), el estado ε2ST(ST(S, S2), p´) de una partícula p´ de clase 2 determina completamente la trayectoria de p´ en cualquier referencial R(ST(S, S2), τ, σ), es decir que a cada partícula de clase 2 le corresponde una sola trayectoria en cada referencial R(ST(S, S2), τ, σ). Por otro lado, la diferencia con el caso de las partículas de clase 1 reside en la propiedad (jjj), de acuerdo a la cual dos partículas p´y p´´ de clase 2 en un espaciotiempo ST(S, S2) no pueden encontrarse en el mismo estado en ese espacio-tiempo, y por ende tener la misma trayectoria en cualquier referencial R(ST(S, S2), τ, σ). Para verlo, supongamos que p´ y p´´ se encuentran en el mismo estado {C1, C2,...,CM} (ec. 8). Dado que cada Ck específica completamente los puntos que definen el k-ésimo corte en ST(S, S2) y cada punto que entra en el borde de ese corte se distingue de todos los demás puntos de ST(S, S2) por su estructura, las dos partículas p´ y p´´ corresponderán a los mismos cortes en ST(S, S2), y así tendremos p´= p´´. Es decir, que en cada estado j considerado en la ecuación 8 no puede haber más de una partícula, y así también no puede haber más de una partícula de clase 2 con la misma trayectoria en un referencial R(ST(S, S2), τ, σ). Por lo tanto, teniendo en cuenta las propiedades (j) - (jjj), para las partículas de clase 2 debe cumplirse la ecuación 7 con las restricciones n1= n2=. . .= ns =1 y ∑ nj =N, lo cual conduce inmediatamente a la estadística de Fermi-Dirac (41). Este resultado de nuestra teoría nos permite decir que la diferencia entre la estadística de Maxwell- Boltzmann y las estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac, reside en que cuando consideramos la estadística de Maxwell-Boltzmann, lo que llamamos una partícula corresponde en realidad a una colección de partículas (31). Para verlo, consideremos el sistema de partículas macroscópicas p1, p2,..., pr. De acuerdo a la descripción clásica, cada una de esas partículas puede ocupar diferentes estados, y una partícula cambia de estado cuando interactúa con otras partículas o con un campo, interacción que es mediada por el intercambio de partículas. Como ejemplo, consideremos el caso de la interacción entre partículas con carga eléctrica, para el cual es el intercambio de fotones entre las partículas el responsable de la interacción. Por lo tanto, cuando hablamos de la posibilidad de que una partícula macroscópica pr ocupe diferentes estados, en realidad hablamos de un sistema pr formado por un número variable de partículas. En la descripción clásica uno identifica el sistema pr que tiene un número variable de partículas como una sola partícula macroscópica que cambia de estado. Si uno identifica las partículas macroscópicas de la forma descrita y hace el correspondiente conteo de ellas, así como el de los estados en los que esas partículas macroscópicas se pueden encontrar, entonces hay que tener en cuenta el correspondiente factor N!/ n1! n2!. . . ns ! multiplicando cada término de la sumatoria en la ecuación 7. De esa manera se llega a que es la estadística de Maxwell-Boltzmann la que 40

describe correctamente el sistema de partículas donde cada una de ellas es interpretada de la forma descrita. En el caso de la descripción quántica de partículas microscópicas, tal como se hace usualmente, si uno interpreta cada partícula como una unidad que puede cambiar de estado, y hace de la misma manera que en el caso clásico, el conteo correspondiente de partículas y estados en los que éstas se pueden encontrar, hay que introducir la propiedad de ser indistinguibles de esas partículas para llegar a las estadísticas corroboradas por los resultados experimentales, que son las de Bose-Einstein para el caso de los bosones, y de Fermi-Dirac para el caso de los fermiones. Justamente, al introducir el carácter indistinguible de las partículas uno borra el efecto del factor N!/ n1! n2!. . . ns ! que multiplica cada término de la sumatoria en la ecuación 7 (31). Finalmente, de acuerdo con nuestra teoría, una partícula microscópica no puede tener diferentes estados en un dado espacio-tiempo, y por ende su trayectoria en cada referencial corresponde a una sola energía, lo cual conduce a la estadística de Bose-Einstein cuando diferentes partículas pueden estar en el mismo estado, y a la de Fermi-Dirac cuando en cada estado puede encontrase a lo más una partícula. Así, nuestra descripción de partículas bosónicas y fermiónicas requiere de menos suposiciones que las usuales para llegar a una descripción correcta de las estadísticas quánticas.

CONCLUSIONES Hemos analizado una teoría fundamental del tiempo y el espacio-tiempo que parte de los conceptos primitivos de prepartícula, de la relación de pertenencia de la teoría de conjuntos, y de cuatro postulados consistentes con lo que distingue un punto de otro del espaciotiempo es la estructura de cruce de partículas, tales que cada punto es representado por una clase de equivalencia de puntos de cruce con la misma estructura. Se obtienen los conceptos derivados de tiempo, espacio-tiempo, referencial, partícula, campo, e interacción entre campos. Se definen como conceptos derivados dos clases de partículas: las de clase 1 son representadas por conjuntos de subconjuntos de prepartícuas, y las de clase 2 por cortes en el espacio-tiempo. Se demuestra que una de ellas cumple con la estadística de BoseEinstein, y la otra con la estadística de Fermi-Dirac. Asimismo, se definen los conceptos de función de onda y de detector de partícula como conceptos derivados. Vemos así que partiendo de conceptos primitivos muy simples, y de postulados que dan lugar a una estructura simple del espacio-tiempo, se obtienen como propiedades demostrables varias características fundamentales del mundo físico. Es claro que el desarrollo presentado aquí de la realidad física es un tanto esquelético, y que mucha "carne" habrá que agregarle para hacer una descripción más completa del mundo físico. Sin embargo, llama la atención que una teoría fundamental tan simple del tiempo y el espacio-tiempo, como la que hemos considerado aquí, permita describir algunas propiedades fundamentales de la realidad física.

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