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Medicion de variables Mecanicas. Caso de Estudio: Termometros de Termistor Juan David V. Jaramillo, Graduate Member, IEEE,

Abstract—Los termistores, dispositivos cuyas caracteristicas electricas varian con el sometimiento a gradientes termicos, son de los dispositivos mas ampliamente usados para la fabricacion de termometros basados en la variacion de caracteristicas electricas. Los termistores son dispositivos que varian su resistencia de forma directamente proporcional (PTC) o inversamente proporcional (NTC)con la sugecion al gradiente termico, con los cuales se realizo la implementacion de un termometro usando dos configuraciones posibles: Configuracion en division de tension y configuracion en puente de Wheatstone. Como observaciones importantes, se tiene la alta no linealidad de el termistor y su funcion de error con relacion al dispositivo LM35, sensor compensado de temperatura de amplio rango de linealidad. El interes especifico, de cualquier manera, es el estudio de la variacion de la resistencia del termistor con la temperatura, lo que indirectamente implica el montaje de el termometro de termistor. Index Terms—PTC, NTC, LM35, Gradiente Termico, Calor Especifico

I. I NTRODUCTION

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se da a partir de la ley de Hooke. De esto, se desprende que el efecto de enrgia termica consistira en hacer que los atomos vibren como osciladores armonicos alrededor de su punto de equilibrio. El efecto fisicos que explican como se puede lograr la transduccion de energia termica en energia electrica, mediante la vibracion de una red periodica es el efecto Ettingshausen. La teoria cinetica clasica, muestra un resultado muy relevante en el estudio termodinamico de los solidos, el cual plantea que si las energia de un conjunto de osciladores clasicos se distribuyen segun la ley de Boltzmann, entonces la energia promedio de un oscilador es 𝑘𝑇 para cada grado de libertad vibratoria, de donde 𝑇 es la temperatura absoluta y 𝑘 es la constante de Boltzmann (𝑘 = 1.380 × 10−16 𝑒𝑟𝑔 𝑜 𝐾 ). Este resultado es posible de derivar usando la teoria de vibracion reticular y de calor especifico en solidos. Dado que cada atomo posee tres grados de libertad de vibracion, la energia termina total interna de un solido es de 3𝑘𝑁 𝑇 , donde 𝑁 es el numero de atomos de la red periodica. Asi podemos definir la capacidad calorica de un solido a volumen constante 𝑐𝑣 como:

OS termistores son dispositivos de una ceramica semiconductora cuya resistencia es sensible a los cambios en temperatura en sus alrededores, es decir cuando este dispositivo es sometido a un gradiente termico. Estos dispositivos difieren con con los detectores resistivos de temperatura en su construccion, pues estos ultimos son fabricados con laminas metalicas. Ya es bien sabido, de conocimiento previo en teoria electromagnetica, que la resistencia de un metal es funcion del area, y de la longitud del metal, ademas de la mecanica estadistica, se conoce que las trayectorias medias de los electrones varian significativamente con la temperatura y su distribucion con lo que se puede inferir sin duda alguna que la resistencia de un metal varia con la temperatura. En cuanto a los semiconductores, para comprender efectivamente el fenomeno que permite la transduccion de energia termica en energia electrica, es necesario comprender los fenomenos vibratorios en redes periodicas y el intercambio de energia termica en solidos. Segun la fisica clasica, se considera un cristal solido como un conjunto de atomo que se mantienen unidos en un arreglo periodico debido a la accion de fuerzas de atraccion. Los atomos son libres para vibrar alrededor de su posicion de equilibrio, inclusive, en presencia de las fuerzas exixtentes, y una primera aproximacion a las fuerzas y los desplazamientos

A. Propiedades Termicas de los Termistores NTC

Juan David V. Jaramillo es estudiante del programa de Ingenieria Electronica de la Universidad Tecnologica de Pereira, miembro del grupo de investigacion en Control Automatico y del grupo de investigacion en Instrumentacion y Control ambos, pertenecientes a la facultad de Ingenieria de la Universidad Tecnologica de Pereira, Miembro IEEE desde 2007

La energia disipada por un termistor conectado a un circuito electrico, causa la carcasa del termistor a aumentar su temperatura por encima de la temperatura ambiente. La ecuacion caracteristica de transferencia de calor en un termistor viene

𝑐𝑣 =

∂𝑈 ∂𝑇 𝑣

(1)

La cual para el caso de un solido compuesto por redes atomicas periodicas vale 3𝑁 𝑘. Literalmente podemos definir la capacidad calorifica de un solido a volumen constante (un termistor es un solido de estructura atomica periodica) como el aumento en la energia interna del solido a causa del aumento en la temperatura. Contextualizando, el termistor es un dispositivo de estado solido, cuya estructura es periodica, y donde la variacion de la resistencia se produce por la vibracion de su estructura reticular causada por un gradiente electrico que se propaga en su estructura atomica. Como ya se ha mencionado antes, en los solidos el efecto rigileduc y el efecto ettingshausen establece que un gradiente termico produce un gradiente magnetico y viceversa, lo que ocasiona vibraciones inducidas en la red periodica del solido y por lo tanto varia sus propiedades electricas, como la resistividad. II. A NALISIS DE T ERMOMETROS DE T ERMISTOR

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dada por: ∂𝐻 ∂𝑇 = 𝐸𝑇 𝐼𝑇 = 𝛿(𝑇 − 𝑇𝑎 ) + 𝑐𝑇 𝑚𝑇 ∂𝑡 ∂𝑡

(2)

De donde: ∂𝐻 ∂𝑡 es el calor suministrado al termistor, 𝑇𝑎 es la temperatura ambiente, 𝛿(𝑇 − 𝑇𝑎 ) es la perdida de calor en la frontera carcasa-ambiente, 𝑐𝑇 es el calor especifico del termistor, 𝑚𝑇 es la masa especifica del termistor y 𝑐𝑇 𝑚𝑇 ∂𝑇 ∂𝑡 es el calor absorbido por el termistor. Segun la expresion 2, la temperatura del termistor que satisface la transferencia conservativa de calor viene definida mediante la expresion 3: ] −𝛿𝑡 𝑃 [ 𝑇 = 𝑇𝑎 + 1 − 𝑒 𝑐𝑇 𝑚𝑇 (3) 𝛿 Cuando la temperatura alcanza el estado estacionario, su cambio en el tiempo se vuelve nulo, por lo que la potencia suministrada al termistor, en estado estacionario viene dada por la expresion 4: ∂𝐻 ∂𝑇 = 𝐸𝑇 𝐼𝑇 = 𝛿(𝑇 − 𝑇𝑎 ) + 𝑐𝑇 𝑚𝑇 ∂𝑡 ∂𝑡 o lo que es igual, la expresion 5: 𝐼𝑇 𝐸𝑇 = 𝛿(𝑇 − 𝑇𝑎 )

(4)

1) Caracteristica Tension-Corriente: La caracteristica tension-corriente es de gran importancia en el estudio del dispositivo ademas que de ella dependen una gran variedad de aplicaciones. En la figura 1 se muestra la caracteristica tension-corriente mostrando sus valores de operacion pico. Para bajas corrientes circulantes por el termistor, no se considera un efecto de auto calentamiento del termistor, y la resistencia del termistor se comporta como una constante. Como se observa en la caracteristica tension-corriente, a medida que se aumenta la corriente por el circuito, se aumenta la tension hasta un valor pico. El valor de la temperatura y la corriente a esa tension pico vienen dadas por las expresiones 8 y 9 y la tension pico viene dada por la expresion 10: √ 𝛽 − 𝛽 2 − 4𝛽𝑇𝑎 (8) 𝑇𝑝 = 2 √ 𝛿(𝑇𝑝 − 𝑇𝑎 ) 𝐼𝑝 = (9) 𝑅𝑝 √ (10) 𝐸𝑝 = 𝛿(𝑇𝑝 − 𝑇𝑎 )𝑅𝑝

(5)

De donde 𝛽 es una constante del material del termistor,

De donde 𝐼𝑇 es la corriente del termistor en estado estacionario y 𝐸𝑇 es la tension sobre el termistor en estado estacionario. De las ecuaciones 4 y 5 se pueden derivar las caracteristicas de corriente-temperatura y potencia-temperatura, ademas de tension-temperatura. Si la expresion 1 se iguala a cero como consecuencia de la fijacion de la energia suministrada al termistor a un valor constante, se obtiene la siguiente ecuacion diferencial dada en 6 cuya solucion dada en 7 expresa la caracteristica dinamica de la temperatura del termistor: ∂𝑇 𝛿(𝑇 − 𝑇𝑎 ) =− ∂𝑡 𝑐𝑇 𝑚𝑇

(6) 𝑡

𝑇 = 𝑇𝑎 + (𝑇𝑖 − 𝑇𝑎 )𝑒− 𝜏

(7)

𝑐𝑇 𝑚𝑇 𝛿

De donde 𝜏 = y se conoce como la constante de tiempo termica. De esta subseccion de analisis termico del termistor, podemos observar lo siguiente: ∙ A medida que el calor especifico aumenta, es mayor el tiempo que transcurre antes de que la temperatura del termistor alcance su estado estacionario. ∙ La constante de tiempo termica de un circuito electrico o electronico con termistor varia proporcionalmente con la capacidad de vibracion de la estructura reticular del termistor, es decir, con el cambio de energia interna del cristal cuando aumenta la temperatura. ∙ La estabilizacion de la temperatura del termistor se puede lograr a traves de la compensacion de la temperatura inicial del mismo y de la temperatura ambiente. 1) Propiedades Electricas de los Termistores NTC: Las aplicaciones con termistor dependen basicamente de tres caracteristicas: ∙ Caracteristica Tension-Corriente ∙ Caracteristica Corriente-Tiempo ∙ Caracteristica Resistencia-Temperatura

Fig. 1.

Caracteristica Tension-Corriente

𝑇𝑝 es la temperatura a la tension pico 𝐸𝑝 , 𝐼𝑝 es la corriente a la tension pico y 𝑅𝑝 es la resistencia del termistor a la tension pico. Despues de sobrepasar la corriente a la cual ocurre la tension pico, la pendiente de la caracteristica tension-corriente comienza a disminuir y asi a medida que la corriente por el termistor aumenta la resistencia del mismo disminuye, por lo cual lo llamamos termistor NTC (negative coefficient temperature). Entre las aplicaciones mas sobresalientes de la caracteristica tension-corriente se encuentran las siguientes: a) Variacion en disipacion constante. ∙ Manometros de vacio ∙ Anemometros, flujometros y medidores de velocidad de flujo. ∙ Analizadores de conductividad termica, detectores de gas y cromatografia de gas.

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∙ Medicion de nivel de liquido, control y alarma. b) Variacion de parametros de circuito. ∙ Osciladores de frecuencia variable y regulacion de frecuencia. ∙ Estabilizacion de ganancia y nivel y ecualizacion. ∙ Limitadores de volumen. ∙ Control de dispositivos de conmutacion. c) Variacion de la temperatura ambiente. ∙ Control de temperatura o alarma. d) Medicion de potencia de microondas. ∙ Bolometros. 2) Caracteristica Corriente-Tiempo: La caracteristica Corriente-tiempo exibe el tiempo que transcurre desde la excitacion de un circuito con termistor hasta la estabilizacion termica del mismo, es decir, hasta que su corriente electrica opere en regimen permanente. Esta caracteristica no es muy usada en sistemas de instrumentacion electronica por lo que no se profundizara en la misma. 3) Caracteristica Resistencia-Temperatura: La caracteristica resistencia-temperatura define la relacion existente entre la resistencia del termistor bajo la condicion de no autocalentamiento y la temperatura ambiente. La condicion de no autocalentamiento se ha definido en las pasadas subsecciones. La caracteristica resistencia-temperatura, permite expresar una relacion lineal entre el logaritmo de la resistencia del termistor y el inverso de la temperatura ambiente para un rango determinado de temperatutas como se muestra en la expresion 11:

𝛽 (11) 𝐿𝑛(𝑅𝑇 ) ∼ =𝐴+ 𝑇 Si para 𝑅𝑇 = 𝑅𝑇 0 la temperatura del termistor 𝑇 = 𝑇0 , entonces es posible aproximar la resistencia del termistor mediante la expresion 12 donde la temperatura 𝑇0 es usualmente la temperatura ambiente nominal o la temperatura del sistema en reposo: 𝑅𝑇 = 𝑅𝑇 0 𝑒

𝛽(𝑇0 −𝑇 ) 𝑇0 𝑇

(12)

Asi, podemos entonces definir el coeficiente de temperatura del termistor 𝛼 como sigue: 𝛼=

1 𝑑𝑅𝑇 𝑅𝑇 𝑑𝑇

(13)

Lo cual arroja el siguiente resultado acorde con la expresion 12: −𝛽 𝛼= 2 (14) 𝑇 Ahora si reemplazamos la aproximacion 11 por una aproximacion polinomial expresada mediante la expresion 15: 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐿𝑛(𝑅𝑇 ) = 𝐴0 + + 2 + 3 (15) 𝑇 𝑇 𝑇 Esta aproximacion reduce el error de medida significativamente, ademas de que el orden depende basicamente

del tipo de material semiconductor del cual este fabricado el termistor y de la aplicacion, un polinomio de tercer orden es una muy buena aproximacion. La expresion 16 fue propuesta por los oceanografos Steinhart y Hart la cual resulto ser una buena aproximacion para el rango oceanografico de (−2𝑜 𝐶 − 30𝑜 𝐶) 1 . 1 2 3 = 𝜆0 + 𝜆1 𝐿𝑛(𝑅𝑇 ) + 𝜆2 [𝐿𝑛(𝑅𝑇 )] + 𝜆3 [𝐿𝑛(𝑅𝑇 )] 𝑇 (16) Quienes tambien demostraron que el despreciar el termino al cuadrado en la expresion 16, no afecta la relevancia de la aproximacion. La delegacion tecnica de Thermometrics, Inc, evalua la expresion 15, encontrando que su rango de relevancia era (−80𝑜 𝐶 −260𝑜 𝐶) usando 17 materiales conbinaciones de ellos en la fabricacion de los termistores y se presento en el Sixth International Symposium on Temperature. El analisis numerico, nos permitira, obtener una curva polinomial de resistencia contra temperatura, obteniendo los coeficientes 𝜆𝑘 mediante la solucion del siguiente sistema lineal: 𝑗

𝑇𝑖−1 = [𝐿𝑛(𝑅𝑇𝑖 )] 𝜆𝑖 De donde:

⎞ 𝑇1−1 ⎜ 𝑇 −1 ⎟ 2 ⎟ =⎜ ⎝ 𝑇 −1 ⎠ 3 𝑇4−1

(17)

⎛

𝑇𝑖−1

⎛

1 ⎜ 1 𝑗 ⎜ [𝐿𝑛(𝑅𝑇𝑖 )] = ⎝ 1 1

𝐿𝑛(𝑅𝑇1 ) 𝐿𝑛(𝑅𝑇2 ) 𝐿𝑛(𝑅𝑇3 ) 𝐿𝑛(𝑅𝑇4 ) ⎛ 𝜆0 ⎜ 𝜆1 𝜆𝑖 = ⎜ ⎝ 𝜆2 𝜆3

[𝑙𝑛(𝑅𝑇1 )]2 [𝑙𝑛(𝑅𝑇2 )]2 [𝑙𝑛(𝑅𝑇3 )]2 [𝑙𝑛(𝑅𝑇4 )]2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(18)

⎞ [𝐿𝑛(𝑅𝑇1 )]3 [𝐿𝑛(𝑅𝑇2 )]3 ⎟ ⎟ [𝐿𝑛(𝑅𝑇3 )]3 ⎠ [𝐿𝑛(𝑅𝑇4 )]3 (19) (20)

III. D ESARROLLO Y DATOS O BTENIDOS En el desarrollo de esta practica se realizaron dos montajes mostrados en las figuras 2 y 3. Para el montaje de la figura 2, se obtuvieron los datos ilustrados en la tabla I y II y para el montaje de la figura 3 se obtuvieron los datos ilustrados en la tabla III. En el primer montaje, se toman datos de TABLE I DATOS DEL T ERMOMETRO EN C ONFIGURACION D IVISOR DE T ENSION U SANDO PTC Temperatura de Operacion 28𝑜 𝐶 38𝑜 𝐶 48𝑜 𝐶 58𝑜 𝐶 68𝑜 𝐶 78𝑜 𝐶

Tension en 0.488 0.490 0.497 0.520 0.580 0.740

el Termistor mVolts mVolts mVolts mVolts mVolts mVolts

tension en el termistor y usando la expresion 22 se puede 1 J. S. Seinhart, S. R. Hart, Calibration Curves for Thermistors, Deep sea Research, Volume 15 page 497, 1968

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calcular la resistencia del termistor, y de esta manera establecer la caracteristica resistencia-temperatura: 𝑉𝑇 =

𝐸𝑅𝑇 𝐸 ⇒ 𝑉𝑇 = 𝑅 + 𝑅𝑇 1 + 𝑅𝑅𝑇

(21)

𝑉𝑇 𝑅 (22) 𝐸 − 𝑉𝑇 Para el montaje de la figura 3, se tiene una configuracion en puente de Wheatstone de rama simple. Los datos registrados para esta parte se ilustran en la tabla III y el calculo de la resistencia del termistor tendiente al levantamiento de la caracteristica resistencia-temperatura se realiza mediante la expresion 24: ( ) 1 1 − 𝑉0 = 𝐸 (23) 2 1 + 𝑅𝑅𝑇 𝑅𝑇 =

Fig. 2.

Termometro en Configuracion Divisor de Tension

𝑅𝑇 =

1+

𝑉0 𝐸

−

1 2𝑅

−

𝑉0 𝑅𝐸

1 2

(24)

Usando las expresiones 22 y 24, se obtuvieron los valores de resistencia en el termistor en cada caso, y las caracteristicas de transferencia que se obtuvieron se muestran en las figuras 4, 5 y 6.

Fig. 3.

Termometro en Configuracion Puente de Wheatstone

TABLE II DATOS DEL T ERMOMETRO EN C ONFIGURACION D IVISOR DE T ENSION U SANDO NTC Temperatura de Operacion 28𝑜 𝐶 38𝑜 𝐶 48𝑜 𝐶 58𝑜 𝐶 68𝑜 𝐶 78𝑜 𝐶

Tension en 0.420 0.350 0.320 0.310 0.270 0.245

Fig. 4. Caracteristica de Transferencia Resistencia Electrica-Temperatura Para el Termistor PTC en Configuracion Divisor de Tension

el Termistor mVolts mVolts mVolts mVolts mVolts mVolts

TABLE III DATOS DEL T ERMOMETRO EN C ONFIGURACION P UENTE DE W HEATSTONE U SANDO NTC Temperatura de Operacion 31𝑜 𝐶 35𝑜 𝐶 40𝑜 𝐶 42𝑜 𝐶 50𝑜 𝐶 61𝑜 𝐶 70𝑜 𝐶

Tension en Terminales del Puente -47.50 mVolts -55.30 mVolts -61.20 mVolts -63.40 mVolts 50.15 mVolts 186.10 mVolts 270.00 mVolts

Fig. 5. Caracteristica de Transferencia Resistencia Electrica-Temperatura Para el Termistor NTC en Configuracion Divisor de Tension

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Fig. 6. Caracteristica de Transferencia Resistencia Electrica-Temperatura Para el Termistor NTC en Configuracion Puente de Wheatstone Fig. 7.

Terminales Electricos de la Termocupla

Fig. 8.

Guaya de la Termocupla

Fig. 9.

Termosensible de la Termocupla (Union Metalica)

IV. C ONCLUSIONES ∙

∙

∙

∙

Se pudo comprobar con claridad que a medida que la temperatura aumenta, la resistencia aumenta para un termistor de coeficiente de temperatura positivo (PTC), la cual aumenta a partir de su valor inicial de 357Ω, calentandose usando una candela. Para el caso del termistor de coeficiente de temperatura negativo (NTC) se comprobo que la resistencia disminuye apartir de su valor inicial o en reposo de 2.7Ω, cuando la temperatura aumenta. Los termistores en configuracion divisor de tension no son aptos para medida de temperatura con grandes rangos de entrada, pues su sensibilidad relativa varia notoriamente en todo el rango de temperatura, lo cual hace inviable su uso para medida. Se podria caracterizar el termistor a trozos y para cada trozo determinar su sensibilidad, lo cual significa que se debe de linealizar a trozos el termistor lo cual computacionalmente es un disparate. Por ello, industrialmente, se prefiere el uso de la termocupla2 . La caracteristica de transferencia del termistor NTC en configuracion puente de Wheatstone aumenta el rango de linealidad aunque presenta un punto de quiebre debido al cruce por cero de la tension en terminales del puente, por lo que para su caracterizacion y linealizacion se requiere determinar el cruce por cero de una seal. Aunque esta configuracion reduce el numero de veces que se debe de determinar la sensibilidad relativa en un intervalo de tiempo dado, la determinacion del cruce por cero puede introducir significancia en la complejidad computacional de su linealizacion.

2 Ver figuras 7, 8, 9, 10, 11 y 12. En estas figuras se ilustra la configuracion para la conexion de una termocupla industrial a su transmisor de temperatura que se encarga de informar a un sistema de control a travez de un protocolo 4-20mA. Aunque la termocupla es un dispositivo tambien altamente no lineal, su rango de linealidad es mayor que el de el termistor, ademas de que su no linealidad es mas facil de compensar mediante dispositivos electronicos. Este fue un aprendizaje que aprendi a traves de mi corta practica en el departamento de instrumentacion del ingenio Risaralda.

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Fig. 10.

Estuche Metalico de la Termocupla

Fig. 11.

Estuche Metalico de la Termocupla (Vista Superior)

Fig. 12.

Transmisor de Temperatura Para Termocupla.

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