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UNIDAD 5: CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL: COLISIONES

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

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PROBLEMA 5.2: COLISIÓN INELÁSTICA Dos vagones idénticos A de y B del metro de masa 10.000 kg colisionan como se muestra en la figura. Si los vagones quedan acoplados como resultado de la colisión, calcule su velocidad después de dicha colisión.

SOLUCIÓN Los dos vagones constituyen un sistema aislado y, por tanto, se cumple el principio de conservación del momentum lineal. ⃗

⃗ ,

Los vagones A y B se mueven juntos hacia la derecha, con una rapidez de:

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PROBLEMA 5.3 VELOCIDAD DE RETROCESO Calcule la velocidad de retroceso de un rifle de 0.5 kg que dispara una bala de 0.020 kg a una velocidad de 620 m/s. (Vea la figura).

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SOLUCIÓN Sean:

Aplicando el principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal, obtenemos:

TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Forma general de la segunda ley de Newton: ⃗ ⃗

∫

⃗

∫ ∑⃗

⃗

∑⃗

.

⃗

⃗

∑⃗ ∫ ∑⃗

⃗

La cantidad: partícula.

⃗

∫ ∑⃗

se denomina el impulso de la fuerza neta que actúa sobre la

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COLISIONES En esta secci n se usa la ley de conservaci n de cantidad de movimiento lineal para describir lo que ocurre cuando chocan dos part culas. El termino colisión representa un evento durante el que dos part culas se acercan una a la otra e interact an mediante fuerzas. Se supone que las fuerzas de interacci n son mucho mayores que otras fuerzas externas cualesquiera, asi que se puede usar la aproximaci n del impulso. Una colisi n puede involucrar contacto f sico entre dos objetos macrosc picos, como se describe en la figura (a), pero la noci n de lo que significa una colisi n se debe ampliar porque “contacto f sico” en una escala sub-microsc pica est mal definido y por lo tanto no

COLISIÓN ELÁSTICA Es aquella en la cual se conserva, además de la cantidad de movimiento, la energía cinética del sistema. Cuando la colisión sea inelástica –como en el caso de los vagones del metro- entonces, la energías cinética del sistema no se conserva.

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El teorema del impulso y la cantidad de movimiento establece que: El cambio en la cantidad de movimiento que experimenta una partícula sobre la actúa una fuerza neta, es igual al impulso que dicha fuerza produce sobre dicha partícula. ⃗ PROBLEMA 5.4 Estime el impulso y la fuerza promedio debidos a un golpe de karate que rompo unas tablas de unos pocos cms. de espesor. Asuma que la mano de la karateca se desplaza 1 cm aproximadamente a . justo antes de golpear las tablas. La masa de la mano es aproximadamente

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SOLUCIÓN La magnitud del impulso es:

| ⃗|

| ⃗|

(

)(

La fuerza promedio se obtiene de la ecuación:

)

¿Quién es

?... ̅

La velocidad media es: ̅ Por lo tanto,

̅

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PROBLEMA Una bola de masa m está amarrada al extremo del asta de una bandera que está conectada al lado de un alto edificio en el punto P, que se muestra en la figura de la derecha. La longitud del asta es y forma un ángulo u con el eje x. La bola se suelta y comienza a caer con aceleración ⃗ (a) Determine la cantidad de movimiento angular de la bola con respecto al punto P como una función del tiempo. (b) ¿Por qué razón física cambia la cantidad de movimiento angular? (c) ¿Cuál es la razón de cambio?

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(a) El momentum angular de la bola con respecto al punto P es: ⃗⃗

⃗

(

Donde, el vector de posición es: ⃗

⃗

( )̂

⃗

La velocidad de la bola en caída libre es: ⃗

⃗.

( ) ̂) ̂

̂

Y, el momentum lineal buscado es: ⃗⃗

[

( )̂

(

( )

) ̂]

[

̂]

(b) ¿Cuál es la razón para que cambie el momentum angular? Por qué la tierra ejerce un torque sobre la bola. ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

.

(c) ¿Cuál es la razón de cambio del momentum angular de la bola? ( ).

PROBLEMA (a) Modele la Tierra como una esfera uniforme. Calcule la cantidad de movimiento angular de la Tierra debida a su movimiento de giro en torno a su eje. (b) Calcule la cantidad de movimiento angular de

( )̂

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la Tierra debida a su movimiento orbital en torno al Sol. (c) ¿Los dos resultados en la cantidad de movimiento angular son casi iguales o muy diferentes? ¿Cuál es mayor en magnitud? ¿En qué factor?

(a) El momento de inercia de la Tierra considerada como una esfera perfecta es: ( ⁄ )

)(

( ⁄ )(

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)

Su velocidad angular de rotación es: (

)

(

)

Su momentum angular debido al movimiento de rotación alrededor de su propio eje es: (

)(

)

La tierra gira en dirección Oeste-Este y en sentido anti-horario, dando una vuelta completa cada 23 h – 56 min. Este movimiento de rotación propio de la Tierra nos da la impresión de que es el cielo el que gira alrededor de ella. (b) El momentum angular de la Tierra con respecto al Sol es: (

)

(

)

(

) (

)(

) (

)

Por el movimiento de traslación la Tierra se mueve alrededor del Sol, impulsada por la gravitación, en 365 días, 5 horas y 57 minutos, equivalente a 365,2422 días, que es la duración del año. Nuestro planeta describe una trayectoria elíptica de 930 millones de kilómetros, a una distancia media del Sol de 150 millones de kilómetros. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse. La distancia media Sol-Tierra es 1 U.A. (Unidad Astronómica), que equivale a 149.675.000 km. (c) ¿Cuál es mayor en magnitud? Como la Tierra está tan lejos del Sol su momentum angular orbital es mucho mayor.

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PROBLEMA Un estudiante se sienta sobre un banco rotatorio sosteniendo dos pesas, cada una de 3.00 kg de masa (vea la figura de la derecha). Cuando el estudiante extiende los brazos horizontalmente como en la figura (a), las pesas están a 1.00 m del eje de rotación y el estudiante da vueltas con una rapidez angular de 0.750 rad/s. El momento de inercia del estudiante más el del banco es de 3 kg* y, se supone constante. El estudiante trae las pesas horizontalmente hacia adentro, a una nueva posición 0.3 m del eje de rotación figura (b).

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(a) Encuentre la nueva rapidez angular del estudiante. (b) Encuentre la energía cinética del sistema rotatorio antes y después de jalar las pesas hacia adentro.

SOLUCIÓN Como el sistema se encuentra aislado, el momentum angular se conserva, es decir: ⃗⃗ Como:

⃗⃗

, la ecuación anterior se puede expresar de la siguiente forma:

En esta ecuación tenemos: (

)

(

(

)(

)

)

.

Luego, (

)(

)

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(c) La energía cinética antes y después: ,

.

PROBLEMA Una soga ligera pasa sobre una polea ligera sin fricción. Un extremo está unido a un racimo de plátanos de masa M y un mono de masa M escala por el otro extremo. El mono escala la cuerda con la intención de llegar a los plátanos. (a) Al tratar el sistema que consiste de mono, plátanos, soga y polea, evalúe el momento de torsión neto en torno al eje de la polea. (b) Use los resultados de (a) y determine la cantidad de movimiento angular total en torno al eje de la polea y describa el movimiento del sistema. ¿El mono alcanzará los plátanos?

(a) Al analizar los torques con respecto al centro de la polea vemos que: ∑ (b) Además: ∑ Como el momento cinético del sistema es constante, el mono y los plátanos se mueven ambos hacia arriba con la misma rapidez por lo cual el mono no alcanzará las bananas. Las alcanzará sólo cuando estas se enreden en la polea.

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