LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR) DEFINICIÓN: El lugar geométrico de las raíces es la trayectoria formada por las raíces de una ecuación polinómica cuando un parámetro de ésta varía. En el caso de Sistemas de Control, la ecuación polinómica resultante es la ecuación característica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las raíces de ésta ecuación cuando algún parámetro está cambiando: P(s) num( s ) =0 = 1+ =0 Q( s) den( s ) Podemos ver más claramente el parámetro variable de la siguiente forma: 1 + G( s) H (s) = 0

1+ K

P( s) =0 Q( s )

ó

=

1+ K

1+

num( s ) = 0 ; con K como parámetro variable. den( s )

Ejemplo: Sea G ( s ) H ( s ) =

K , esto implica que la ecuación característica será: s ( s + 1)

S2 + S + K = 0 Y el lugar geométrico es:

Figura 1. LGR para G(s)H(s)=1/s(s+1).

Nota: la finalidad de ésta sección es poder hacer el bosquejo del LGR (gráfica) a mano, contrastarla con los resultados arrojados por Matlab, y crear subrutinas para su elaboración.

EL LGR SE DIVIDE EN: 1. RL: porción del LGR cuando K es mayor o igual a cero (positiva ), [0, ∞) 2. CRL: porción del LGR cuando K es menor que cero (negativa), (-infinito,0), la letra C al principio de RL significa que el CRL es el complemento del RL. 3. CR: contorno de las raíces, esto implica que hay más de un parámetro variando en la ecuación polinómica.

CONSTRUCCIÓN DEL LGR A MANO Construir el LGR implica elaborar una gráfica en el plano S en donde X es la parte real (σ) y en Y la parte imaginaria (jw) de las raíces encontradas cuando K varía en la función de transferencia G(s)H(s); en el caso de que K sea igual a cero, lo que se tienen son los polos del sistema, esto se demostrará más adelante. 1. Encontrar G(s)H(s) Dado el sistema:

Figura 2. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La función de transferencia en lazo cerrado es: M ( s ) =

Y ( s) G (s) = R(s) 1 + G (s) H ( s)

Y la ecuación característica es: 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 En el caso de que nos den una ecuación polinomica, lo que hay que hacer es agrupar todos los términos que tengan la variable K, y luego dividir por todos los términos restantes para que la función quede expresada como la ecuación anterior, esto es: S 2 + 3S + KS + K = 0 es la ecuación polinómica o ecuación característica. S 2 + 3S + K ( S + 1) = 0 Agrupamos los términos de K. K ( S + 1) = 0 Dividiendo por los términos que no contienen a K, que es la forma S 2 + 3S que queríamos obtener. 1+

2. Número de ramas del LGR Con base en G(S)H(s) (función de transferencia en lazo abierto) del ítem anterior, encontramos el número de polos (n) y sus valores y el número de ceros (m) y sus valores. n=número de polos que es igual al grado de la ecuación característica m =número de ceros o grado de la ecuación del numerador.

Ejm: del ejemplo anterior tenemos: 1 +

K ( S + 1) =0 S 2 + 3S

n=2, y los polos son S=0 y S=-3. m=1, y el zero es en S=-1. NOTA: El número de ceros debe de ser igual al número de polos (teorema de ecuaciones racionales), por lo tanto sí solo hay un cero finito (que posee valor), implica que el otro cero está en infinito. De ésta manera tendríamos 2 ceros en S=1 y en S=∞. La nomenclatura en el LGR es una X para cada polo y un 0 para cada cero finito. Teniendo lo anterior claro, se define el número de ramas como el número de polos del sistema, o sea, el grado de la ecuación característica. Las ramas son trayectorias que van desde K= - ∞, pasan por K=0 y se van a K = ∞. K y su LGR se muestra en la gráfica 1, pueden verse 2 s ( s + 1) ramas, una verde y la otra azul, y como no hay ceros finitos, los ceros estarán en S= + ∞ y en S= -∞. Rama 1 verde: va desde -∞ pasa por el polo en S=-1 y se va a S= -∞. Rama 2 azul: va desde -∞ pasa por el polo en S=0 y se va a S=∞.

Ejm: G ( s ) H ( s ) =

3. Asíntotas y su intersección Las asíntotas nos darán una idea de por donde se irán las ramas del LGR, de allí su importancia para elaborar un bosquejo a mano. Para RL: (2i + 1) θi = 180 0 , para i =0,1,2,…. |n-m|-1. n−m Para CRL: o sea, para el complemento del anterior. 2i θi = 180 0 , para i =0,1,2,…. |n-m|-1. n−m Intersección de las asíntotas: ∑ Polos _ finitos − ∑ ceros _ finitos , cuando se tienen pares complejos θ int = n−m conjugados, la parte imaginaria se cancela, por lo tanto la ecuación anterior se puede reducir tomando solo las partes reales tanto de los polos como de los ceros.

1 tenemos: n=2 polos en S=0 y S=-1, y dos ceros en el s ( s + 1) infinito, ya que no son finitos o no existen en la función de transferencia.

Ejm: de G ( s ) H ( s ) =

|n-m|=2, i va hasta |n-m|-1=1.

RL:

θi =

(2i + 1) 180 0 n−m

=

θ0 =

(2 ∗ 0 + 1) (2 ∗ 1 + 1) 180 0 , θ1 = 180 0 2 2

Las asíntotas están en θ=90 y 270 grados. CRL:

θi =

2i 2∗0 2 ∗1 180 0 = θ 0 = 180 0 , θ1 = 180 0 n−m 2 2

Las asíntotas están en θ= 0 y 180 grados. Intersección ∑ Polos _ finitos − ∑ ceros _ finitos = θ = (0 − 1) − (0) = θ int = int n−m 2 −1 Θint= - 0.5.

De la gráfica 1, se puede ver que en S= - 0.5, está la intersección de las asíntotas, para el RL los ángulos son 90 y 270 por lo tanto las ramas desde K=0 (polo en S=0) hasta K= ∞, y K=0 (polo en S= -1) hasta K= - ∞, se van por estas asíntotas respectivamente, mientras que para K=-∞ hasta K=0 (polo en S=-1) y K= ∞ hasta K=0 (polo en S=0), las ramas vienen por todo el eje real siguiendo las asíntotas 180 y 0 grados respectivamente.

4. Condición de Magnitud y Ángulo Con el fin de establecer sí un punto del plano S, pertenece al LGR lo que se hace es primero aplicar la condición de ángulo, luego de estar seguros de que sí pertenece se le aplica la condición de magnitud y se encuentra el valor de K. Condición de Ángulo RL: ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i + 1) ∗ 180 0 para K > = 0. CRL: ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i ) ∗ 180 0 para K = 0. ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = (θ Z 1 ) − (θ P1 + θ P 2 + θ P 3 ) = 180 0

CRL: ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i ) ∗ 180 0 para K=0 implica RL, en caso contrario CRL.

Continuando con el ejemplo, vemos que las magnitudes de los polos al punto S1 son: B, C y D, mientras que la magnitud del vector que va desde el cero hasta S1 es: A.

Π ( polos ) B ∗ C ∗ D K = 1m = A Π 1 ( ceros ) n

5. LGR sobre el eje real Para observar la porción del eje real que pertenece al LGR lo que se debe realizar es aplicar la condición de ángulo de la siguiente forma: RL: sí el número total de polos ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i + 1) ∗ 180 0

+

CRL: sí el número total de polos + 0 ∠G1 ( s ) H 1 ( s ) = ∑ ∠ceros − ∑ ∠polos = (2 ∗ i ) ∗ 180 para K