M309: Construyendo bloques A) PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA A Susana le gusta construir bloques utilizando bloques pequeños como el que se muestra en el siguiente diagrama:

Cubo pequeño Susana tiene muchos cubos pequeños como ese. Ella usa pegamento para unir los cubos y hacer bloques. Primero, Susana pega 8 cubos para hacer el bloque como el que se muestra en el diagrama A:

Diagrama A Después Susana hace los bloques sólidos que se muestran en el Diagrama B y C:

Diagrama B

Diagrama C

B) PREGUNTAS DEL PROBLEMA Pregunta 1 ¿Cuántos cubos pequeños necesita Susana para hacer el bloque que se muestra en el Diagrama B?

Respuesta: ..................................................cubos.

Pregunta 2 ¿Cuántos cubos pequeños necesita Susana para hacer el bloque sólido que se muestra en el Diagrama C?

Respuesta: ..................................................cubos.

Pregunta 3 Susana se da cuenta que usó mas cubos pequeños de los que realmente necesita para hacer el bloque como el que se muestra en el Diagrama C. Ella piensa que puede haber pegado los cubos pequeños para hacerlos ver como el diagrama C, pero el bloque pudiera estar hueco por dentro. ¿Cuál es el mínimo número de cubos pequeños que necesita usar para hacer un bloque como el del Diagrama C, pero hueco?

Respuesta: ..................................................cubos.

Pregunta 4 Ahora Susana quiere hacer un bloque que se vea como sólido y que tenga 6 cubos pequeños de longitud, 5 cubos pequeños de ancho y 4 cubos pequeños de altura. Ella quiere usar el mínimo número de cubos pequeños, al dejar el hueco más grande que sea posible en el interior de bloque. ¿Cuál es el mínimo número de cubos que Susana necesita para hacer el bloque?

Respuesta: ..................................................cubos.

C) SOLUCIÓN DIRECTA DEL PROBLEMA

Pregunta 1

En el dibujo podemos ver que la figura tiene 3 bloques de largo, 2 de ancho y 2 de altura, por lo tanto: (3)(2)(2) = 12 cubos.

Pregunta 2

En el dibujo podemos ver que la figura tiene 3 bloques de longitud, 3 de ancho y 3 de altura, por lo tanto: (3)(3)(3) = 27 cubos.

Pregunta 3 La figura C tiene 3 cubos por cada lado, la única manera de poder dejar un hueco en medio es quitando un cubo del interior, por lo tanto: 27 – 1 = 26 cubos

Pregunta 4 La figura tendrá 6 cubos de longitud, 5 de ancho y 4 de altura. La cantidad máxima de cubos es: (6)(5)(4) = 120. Para calcular la parte del hueco hay que considerar que la dimensión de menor magnitud (en este caso la altura) determina el número máximo de cubos que podemos quitar. Sólo podemos quitar dos cubos a la altura pues de otra manera el bloque no tendría la apariencia de ser solido. Siguiendo este razonamiento al ancho le podemos quitar dos bloques para quedar con 3 (5 - 2 = 3) y a la longitud le quitamos igualmente 2 para quedar con 4 (6 – 2 = 4).

Un corte a lo largo del bloque daría esto (cuadros amarillos son espacios vacios) longitud altura

Un corte a lo ancho al bloque daría esto ancho altura

El volumen vacio entonces tiene longitud 4, ancho 3 y altura 2: Volumen = (4)(3)(2) = 24. Por lo tanto el mínimo número de cubos que Susana necesita para hacer el bloque es: 120 – 24 = 96 cubos D) CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LOS ESTÁNDARES DE PISA INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 1 Encontrar el volumen de una figura tridimensional. Criterio de evaluación para la pregunta 1 Código 1: 12 cubos. Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta.

INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 2 Encontrar el volumen de una figura tridimensional. Criterio de evaluación para la pregunta 2 Código 1: 27 cubos. Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta.

INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 3 Analizar el volumen de una figura tridimensional.

Criterio de evaluación para la pregunta 3 Código 1: 26 cubos. Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta. INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 4 Analizar el volumen de una figura tridimensional. Criterio de evaluación para la pregunta 4 Código 1: 96 cubos. Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta.

E) SOLUCIÓN COMENTADA DEL PROBLEMA SEGÚN EL PROCESO DE MATEMATIZACIÓN EN EL MARCO PISA.

Identificación de un problema matemático.

En este problema se plantea una situación en donde se utilizarán cubos pequeños para formar figuras tridimensionales. El problema pertenece al dominio de espacio donde el estudiante debe ser capaz de encontrar cuántos cubos se requiere para formar diferentes figuras regulares.

Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos de las matemáticas identificadas.

El elemento matemático fundamental es volumen ocupado por figuras cúbicas iguales. En el problema se plantea lo siguiente: A Susana le gusta construir bloques utilizando bloques pequeños como el que se muestra en el siguiente diagrama:

Cubo pequeño

Susana tiene muchos cubos pequeños como ese. Ella usa pegamento para unir los cubos y hacer bloques. Primero, Susana pega 8 cubos para hacer el bloque como el que se muestra en el diagrama A:

Diagrama A Después Susana hace los bloques sólidos que se muestran en el Diagrama B y C:

Diagrama B

Diagrama C

Se plantean 4 preguntas: Para la pregunta 1, ¿Cuántos cubos pequeños necesita Susana para hacer el bloque que se muestra en el Diagrama B? En la pregunta 2, ¿Cuántos cubos pequeños necesita Susana para hacer el bloque sólido que se muestra en el Diagrama C? La pregunta 3, Susana se da cuenta que usó mas cubos pequeños de los que realmente necesita para hacer el bloque como el que se muestra en el Diagrama C. Ella piensa que puede haber pegado los cubos pequeños para hacerlos ver como el diagrama C, pero el bloque pudiera estar hueco por dentro. ¿Cuál es el mínimo número de cubos pequeños que necesita usar para hacer un bloque como el del Diagrama C, pero hueco? Y la pregunta 4, Ahora Susana quiere hacer un bloque que se vea como sólido y que tenga 6 cubos pequeños de longitud, 5 cubos pequeños de ancho y 4 cubos pequeños de altura. Ella quiere usar el mínimo número de cubos pequeños, al dejar el hueco más grande que sea posible en el interior de bloque. ¿Cuál es el mínimo número de cubos que Susana necesita para hacer el

bloque? Abstracción matemática progresiva de la realidad

En la pregunta 1, se analiza la figura en el dibujo:

En el dibujo podemos ver que la figura tiene 3 bloques de largo, 2 de ancho y 2 de altura. Multiplicando el largo, ancho y la altura se puede encontrar el total de bloques. De la misma forma, para la pregunta 2:

En el dibujo podemos ver que la figura tiene 3 bloques de longitud, 3 de ancho y 3 de altura. En este caso también podemos multiplicar el largo, ancho y la altura. En la pregunta 3, se puede observar que la figura C tiene 3 cubos por cada lado, la única manera de poder dejar un hueco en medio es quitando un cubo del interior.

Resolución del modelo matemático

En el caso de la pregunta 4, se puede obtener la cantidad máxima de cubos, ya que la figura tendrá 6 cubos de longitud, 5 de ancho y 4 de altura. Para calcular la parte del hueco, podemos restar 2 cubos a cada medida (ya que debe de haber uno en cada extremo). En la pregunta 1, se realizan las multiplicaciones y se obtiene la cantidad total de cubos: (3)(2)(2) = 12 cubos. De la misma manera para la pregunta 2 se realizan las multiplicaciones y se obtiene: (3)(3)(3) = 27 cubos. Para la pregunta 3, como tiene 3 cubos por cada lado, la única manera de poder dejar un hueco en medio es quitando un cubo del interior, por lo tanto: 27 – 1 = 26 cubos En la pregunta 4, la figura tendrá 6 cubos de longitud, 5 de ancho y 4 de altura. La cantidad máxima de cubos es: (6)(5)(4) = 120. Para calcular la parte del hueco,

podemos restar 2 cubos a cada medida (ya que debe de haber uno en cada extremo), por lo que restan: (4)(3)(2) = 24.

Uso de la solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real.

Por lo tanto 120 – 24 = 96 cubos. La formación de diversas figuras geométricas regulares permite al alumno desarrollar la lógica y percepción espacial.

F) COMENTARIOS AL CONTEXTO Y DOMINIO DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA.

CLASIFICACION Contexto Personal/Recreativo: se requiere construir diferentes bloques con cubos pequeños.

Dominio Espacio y forma: combinar los cubos pequeños para formar los bloques solicitados.

G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS

PROCESOS

Reproducción

Conexión

Reflexión

Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Uso de herramientas de apoyo.

Analizaremos el problema desde el punto de vista de la pregunta 4 solamente, las otras tres preguntas son convencionales, es decir, principalmente reproductivas. Con respecto a la pregunta cuatro, si el alumno tuviera un modelo para realizar esto físicamente con cubos de plástico que se unen los unos a los otros, el problema es simplemente de prueba y error y tomaría poco esfuerzo dar con el resultado. Sin embargo esto no es posible y obliga al estudiante a reflexionar profundamente sobre las dimensiones del espacio vacío del bloque que obviamente sólo puede visualizar en su mente. Por ello el problema es principalmente reflexivo en la construcción de modelos y la representación del problema con los cortes a lo largo y a lo ancho según se mostró. Por otra parte la solución del problema es totalmente reproductiva pues se limita a aplicar una fórmula para el volumen.

H) CONEXIONES CURRICULARES DEL REACTIVO PISA CON EL PROGRAMA DE LA SEP. En el documento “CurrMateSEPMaster” obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase “Programa Mate SEP” Este problema está relacionado directamente con conocimientos y habilidades: Forma, 2.2.3 espacio y medida

Forma, 3.5.2 espacio y medida

Formas Cuerpos geométricas geométricos

Describir las características de diferentes figuras. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

Formas Cuerpos geométricas geométricos

Anticipar las características de las figuras que se generan al girar o trasladar figuras.Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos a una esfera o un cono recto.