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Manejo de Espacios y Cantidades D.R. 2008 CONALEP
Calle 16 de Septiembre 147 Norte Colonia. Lázaro Cárdenas C.P. 52148, Metepec, Edo. de México Primera Edición 2010 ISBN: En trámite Prohibida su reproducción sin autorización, por escrito del CONALEP. www.conalep.edu.mx
Manejo de espacios y cantidades
Presentación En el programa de estudios se explica que este módulo ha sido diseñado con el propósito de “afirmar, interesar y desarrollar en el alumno la capacidad de traducir situaciones cotidianas a modelos matemáticos” mediante la resolución de problemas que impliquen el uso de las herramientas y procedimientos propios de esta disciplina.
La ciencia matemática se sustenta en su capacidad para explicar, predecir y modelar situaciones reales, así como dar consistencia y rigor a los conocimientos científicos; forma parte del acervo cultural de nuestra sociedad y constituye un conjunto de conocimientos que tienen en común un determinado modo de representar la realidad. Es una disciplina cuya construcción ha surgido de la necesidad y deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos: de las ciencias naturales, sociales, del arte y de la tecnología.
En el papel formativo, el aprendizaje de las matemáticas contribuye a la mejora de estructuras mentales y a la adquisición de aptitudes cuya utilidad y alcance puedan contribuir a la formación del individuo en la indagación de problemas genuinos, es decir, de aquéllos en que la dificultad está en encuadrarlos y establecer una estrategia de solución adecuada, generando en el individuo actitudes y hábitos de investigación, proporcionándole técnicas útiles para enfrentarse a situaciones concretas.
Se busca que las matemáticas no sean algo externo al alumno, a su experiencia vital, sino que las sientan necesarias y útiles, por lo cual se plantean problemas de la vida real que les permitan desarrollar las capacidades para hacer inferencias lógicas y generalizaciones, observar regularidades, representar simbólicamente expresiones del lenguaje común y viceversa, así como establecer y comparar relaciones para alcanzar razonamientos bien fundados, utilizar y participar en las matemáticas en función de las necesidades de su vida como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.
El propósito de este material es hacer que el estudiante recuerde y utilice algunos de los conocimientos que le han sido enseñados en los nueve años previos a su ingreso al CONALEP en la resolución de problemas y ejercicios tomados de las más diversas fuentes (libros de texto, software, evaluaciones nacionales e internacionales).
En algunos casos se describe un procedimiento de solución, pero en otros casos no, pues se busca precisamente, que durante el trabajo en el aula los estudiantes, con apoyo del PSP, modelen matemáticamente el problema y busquen la mejor manera de resolverlo.
Manejo de espacios y cantidades
Índice Operaciones básicas. Serie 1 ������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Operaciones básicas. Serie 2.������������������������������������������������������������������������������������������������11 Operaciones básicas. Serie 3.����������������������������������������������������������������������������������������������� 15 Operaciones básicas. Serie 4.����������������������������������������������������������������������������������������������� 19 Operaciones básicas. Serie 5.����������������������������������������������������������������������������������������������� 23 Números racionales. Serie 1�������������������������������������������������������������������������������������������������� 27 Números racionales. Serie 2�������������������������������������������������������������������������������������������������� 29 Leyes de los exponentes. Serie 1������������������������������������������������������������������������������������������ 33 Lenguaje matemático. Serie 1������������������������������������������������������������������������������������������������ 37 Lenguaje matemático. Serie 2.����������������������������������������������������������������������������������������������� 39 Operaciones con expresiones. Serie 1.��������������������������������������������������������������������������������� 42 Operaciones con expresiones. Serie 2.��������������������������������������������������������������������������������� 45 Cálculo de valores numéricos. Serie 1.���������������������������������������������������������������������������������� 47 Cálculo de valores numéricos. Serie 2.���������������������������������������������������������������������������������� 50 Productos notables. Serie 1.�������������������������������������������������������������������������������������������������� 53 Productos notables. Serie 2.�������������������������������������������������������������������������������������������������� 57 Factorización. Serie 1.������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 61 Factorización. Serie 2������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 65 Ecuaciones lineales. Serie 1�������������������������������������������������������������������������������������������������� 69 Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas. Serie 1.���������������������������������������������� 75 Ecuaciones de segundo grado. Serie 1��������������������������������������������������������������������������������� 83
Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 1
1. La mujer de la fotografía vive en Beijing y, según se asegura, tiene el cabello más largo del mundo. Se llama Wang Qing, mide solo 1,59 m y su cabello alcanza el 1,70 m de largo. Ella afirma que al cumplir 18 años se rapó y decidió dejarse crecer el cabello lo más largo posible. Desde ese entonces lo recorta aproximadamente un centímetro cada tres meses para mantenerlo. A) Si el cabello crece alrededor de 1.25 cm por mes, ¿qué edad tenía cuando le tomaron la fotografía? B) Si no se hubiera cortado el cabello para mantenerlo, ¿en cuántos tiempo ( años y meses) habría alcanzado ese largo? 2. Independientemente de lo pernicioso de fumar, se pueden hacer algunos cálculos numéricos sobre este hábito, por ejemplo, si se considera que el promedio de fumadas por cigarro es de 14, una persona que ha fumado una cajetilla al día con 20 cigarros cada una, con un costo de 24 pesos cada una, durante 10 años, ¿cuántas fumadas ha hecho y cuánto dinero ha gastado? Considere solo 2 años bisiestos. 3. Una persona bebe aproximadamente 2.5 litros al día. Suponiendo que todos los días de su vida ha tomado la misma cantidad, ¿cuántos litros ha consumido un estudiante de 16 años? 4. La famosa isla de Maui, en Hawaii se localiza en las coordenadas 20º 37’ Norte, 156º 13’ Oeste. Otra zona turística, pero de nuestro país, Puerto Vallarta, se encuentra en las coordenadas 20º 37’ Norte 105º 13’ Oeste. Si sabemos que a esa latitud la circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 36 mil kilómetros, ¿a qué distancia entre sí se encuentran estos puntos turísticos? 5. Una computadora realiza 40 millones de operaciones por segundo. Si una persona fuera capaz de realizar una operación por segundo con la ayuda de una calculadora y descansando 8 horas al día, ¿cuánto tiempo tardaría en realizar el mismo número de operaciones? 6. El manual de mantenimiento de un auto indica que se debe realizar el cambio de aceite cada 12,000 km, el filtro de aceite cada 20,000 km y las bujías cada 30,000 km. Todos los cambios se hacen a la vez cada___________km. 7. Todos los seres vivos estamos constituidos por el mismo tipo de sustancias en la siguiente proporción aproximada: Agua 70% Lípidos 5% Azúcares 2% Proteínas 18% Sales 2% Ácidos nucleicos 3%
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 1
Aceptando esa distribución para los seres humanos, completa los huecos de la frase siguiente: A) La cantidad de agua que contiene el cuerpo de una persona que pesa 70 kilogramos es de ____ kg, y la cantidad de sales es de ____ kg B) La cantidad de agua que contiene el cuerpo de una persona 55 kilogramos es de ____ kg, y la cantidad de proteínas de ____ kg 8. Anuncian un descuento del 30% en todos los artículos de ropa, que se marcará en el etiquetado junto al precio antiguo. Camisa:$143.50 Pantalón:$240.00 Saco: $520.00 Señale los precios nuevos. 9. Para llegar a Marte, una nave debe viajar 100 millones de kilómetros. Si una nave viaja a 40 mil kilómetros por hora, ¿cuántos días tardará en llegar a ese planeta? 10. Para conseguir un pastel se mezcla un 40 % de harina, un 20 % de azúcar, un 20 % de mantequilla, 5% de huevo y 15% resto de ingredientes (levadura, almendras y ralladuras de toque personal). El precio de cada apartado de ingredientes es el siguiente: harina $25 kg azúcar $10 kg mantequilla $45 kg huevo $20 kg resto de ingredientes 20 kg Si un pastel requiere 500 g de harina, ¿cuál es su costo?
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 1
Solución 1 A) 33 años B) 11 años 4 meses
Respuestas y soluciones
Solución 2 1’022,560 fumadas y $87,648.00 Solución 3 14,600 si no considero 4 años bisiestos 14,610 si considero 4 años bisiestos Solución 4 5,241 km Solución 5 Un año ocho meses (617 días) Solución 6 60,000 km Solución 7 A) agua: 49 kg, sales: 1.4 kg B) agua: 38.5 kg, proteínas: 9.9 kg Solución 8 Camisa: $100.45 Pantalón: $168.00 Saco: $364.00 Solución 9 104 días Solución 10 31,25
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 2
1. Se quiere construir un paseo planetario a escala en una playa de una localidad. Para ello, se establece un recorrido en el que encontramos primero a Mercurio, luego Venus, etc. Es decir, un recorrido que sigue el orden de los planetas que tienes en la tabla siguiente. Completa la tabla sabiendo que la escala elegida ha sido 1 cm7000 km.
2. Según la película El Código Da Vinci, un criptex es un dispositivo de forma cilíndrica utilizado para ocultar secretos en su interior. En el interior del criptex se encuentra un papiro, el cual esta enrollado en una probeta con vinagre. Esta probeta se rompe con un mecanismo si el criptex se fuerza o recibe un golpe, arruinando el papiro. La única forma de abrirlo es sabiendo la contraseña. El criptex está rodeado de letras o números que se giran formando palabras o combinaciones. Cuando se alinean correctamente, se podrá abrir el criptex.
El criptex de la fotografía está compuesto de cinco discos de 26 letras. ¿cuántas combinaciones son posibles? 3. En un disco compacto, un archivo de 4 minutos de música sin comprimir ocupa alrededor de 40 Mb (megabytes). A continuación se muestra la capacidad de compresión de dos sistemas para la misma canción: WMA 6.4 Mb MP3 4.3 Mb ¿Cuánto ocuparía un CD de música de 45 minutos con cada uno de los dos sistemas anteriores? 4. En un supermercado se ofrece mayonesa en tres envases de distintos tamaños: pequeño, mediano y grande, de 150 ml, 250 ml y 400 ml, con precios $9.30 $14.50 y $20.00. Normalmente conviene comprar el que por el mismo precio te dé más cantidad, o lo que es lo mismo, por la misma cantidad se pague menos. En este caso, para poder comparar y elegir el que más conviene, calcula lo que cuesta 100 ml de cada envase:
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 2
5. Uno de los camiones de reparto de una empresa recorre 3000 km semanales, y gasta 8 litros de diésel cada 100 km. El precio del diésel es de $5.20 por litro. Un incremento de 30 centavos en el precio del litro del diésel supone un gasto anual adicional, en ese camión, para la empresa de_________ 6. La Tierra tarda un año (365.25 días) en dar una vuelta alrededor del Sol, y la distancia media al Sol es de unos 149,600,000 km. La Luna tarda 27.3 días en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra, y la distancia media de la Luna a la Tierra es de unos 384.400 km. Elige la opción que muestra las velocidades (distancias recorridas/ tiempo empleado en recorrerlas) de la Tierra alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra. A) 29.786 km/s y 1.024 km/s B) 29.786 km/s y 586.70 km/h C) 17065.64 km/h y 586.70 km/h 7. Aproximadamente, la distancia de la tierra a la luna es de 384.000 km y de la tierra al sol es de 149.600.000 Km. Con estos datos, se puede afirmar que la distancia de la tierra al sol es, ¿cuántas veces la distancia de la tierra a la luna? (el resultado está redondeado). A) 400 B) 390 C) 389 D)380 8. Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 años y otro cada 60 años. En 1950 coincidieron, ¿en qué año se producirá la próxima coincidencia? A) 2035 B) 2150 C) 2250 D)2300 9. A María le pagaron 17,350 pesos por hacer una traducción. En el contrato que firmó con la empresa le avisaban que sólo le pagarían después de descontar 20% como retención de impuestos, por lo que el pago acordado fue de: A) 13,880 B) 20,820 C) 21,687.50 D) 17,697 10. El año pasado a una persona la despidieron y consiguió otro empleo con un sueldo de 13,300 pesos que es menor 5% al que tenía. Este año se le han subido un 5 %. ¿Qué diferencia hay entre sus salarios? A) El sueldo del año pasado y el nuevo son iguales B) El sueldo del año pasado era menor que el nuevo C) El sueldo del año pasado era mayor que el nuevo
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 2
Solución 1 0.83
Venus
1.53
Tierra
213.7
Marte
3.24
Júpiter
11.1
Saturno
20.38
Urano
40.97
Neptuno
64.22
Plutón
84.25
Respuestas y soluciones
Mercurio
Solución 2 11,881,376 Solución 3 WMA MP3
72
Mb
48.38
Mb
Solución 4 Pequeño
$6.20
Mediano
$5.80
Grande
$5.00
Solución 5 $3,744.00 Solución 6 A) 29.786 km/s y 1.024 km/s Solución 7 C) 389 Solución 8 C) 2250 (300 años) Solución 9 C) 21687.50 Solución 10 C) El sueldo del año pasado era mayor que el nuevo
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 3
1. El pago mensual de un trabajador es de 9,000 pesos, pero hay una retención de impuestos de 11%, un descuento de 1.69 % por un préstamo y otro descuento de 3.86% por retardos y faltas. La cantidad de dinero disponible este mes es de: A) $7,510.50 B) $7,410.50 C) $7,460.50 D) $6,141.60 2. En entronque de las líneas 1, 3 y 5 del metro coinciden tres trenes. El de la línea 1 pasa cada 10 minutos; el de la línea 3 pasa cada 12 minutos; y el de la línea 5 cada 15 minutos. ¿Cada cuánto tiempo vuelven a coincidir 3 trenes de esas líneas en el empalme? A) Cada hora B) Cada hora y media C) Cada 2 horas D) Cada 2 horas y media 3. Los ciudadanos de un municipio pagan de porcentaje de impuesto lo mismo que ganan de salario; es decir, si alguien gana 10 pesos entonces paga 10% de impuesto, si gana 20 pesos entonces es el 20% de impuesto. ¿Cuál es el salario óptimo en ese municipio? A) 100 B) 1000 C) 50 D) 75 4. Un coche vale 95,000 pesos. El IVA que se aplica es de 16%. Por promoción harán un descuento de 20%. Es conveniente que: A) primero hagan el descuento y luego se aplique el IVA B) primero se aplique el IVA y luego hagan el descuento C) Es indiferente que hagan el descuento o apliquen el IVA, pues el precio final es el mismo 5. A partir de 2 m2 de tela se ha logrado completar un rollo de cinta de 200 metros de longitud. ¿qué anchura tiene la cinta? A) 1 dm B) 1 cm C) 1 mm D) 1m 6. Las líneas de las carreteras miden 3 metros y hay una separación de 13 metros entre cada una de ellas. ¿Cuántas líneas hay en el tramo mexicano de la carretera Panamericana, que va de Tijuana a Tuxtla Gutiérrez y tiene una longitud de 3,859 kilómetros?
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 3
7. Para la elaboración de un nuevo helado consideramos cuatro recetas. De cada receta, que numeramos, nos fijamos sólo en la cantidad de agua y jugo de naranja que utilizan respectivamente: 1. 3 vasos de agua y 5 de jugo de naranja 2. 2 vasos de agua y 3 de jugo de naranja 3. 4 vasos de agua y 8 de jugo de naranja 4. 1 vaso de agua y 4 de jugo de naranja ¿En cuál de las siguientes respuestas las recetas están ordenadas de mayor a menor concentración de jugo? A) 1, 3, 4, 2 B) 4, 3, 1, 2 C) 4, 3, 2, 1 D) 1, 4, 2, 3 8. La nave Voyager 1 se lanzó el 5 de septiembre de 1977. La velocidad a la que navega alejándose de la Tierra es de unos 17 km/s. La distancia que separa la Tierra de Plutón es de unos 5760 millones de kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardaría, aproximadamente, en llegar a Plutón una nave que viajase desde la Tierra a esa velocidad? A) 12.2 años B) 10.7 años C) 14.3 años D) 27.8 años 9. El precio de leña para el fuego, cuando está seca, es de 10 pesos por kilo. Si se compra con una humedad estimada de 15% (al secarse y perder el agua, pierde el 15% de su peso), el precio que debe pagarse para que cueste lo mismo que cuando está seca es de: A) 8.50 pesos/kg B) 11.76 pesos/kg C) 11.5 pesos/kg D) 15 pesos /kg 10. Para escribir solemos comprar paquetes de 100 o 500 hojas de papel de tamaño oficio (297 x 210 mm). En estos paquetes se puede leer la indicación 80 g/m2. Si sabemos que esto significa que un metro cuadrado de papel pesa 80 gramos, el peso de una hoja será: A) 5 g B) 8 g C) 10 g D) 12 g
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 3
Respuestas y soluciones
Solución 1 A) $7,510.50 Solución 2 A) Cada hora Solución 3 C) 50 Solución 4 A) primero hagan el descuento y luego se aplique el IVA Solución 5 B) 1 cm Solución 6 241,187 Solución 7 B) 4, 3, 1, 2 Solución 8 B) 10.7 años Solución 9 A) 8.50 pesos/kg Solución 10 A) 5 g
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 4
1. Las lecturas anuales de un grupo de 8 amigos son: cada uno lee 8 libros, de 90 páginas cada uno y 30 líneas por página; 6 caras completas de 20 revistas, de 40 líneas cada cara. 100 folletos de propaganda de una página con 15 líneas; y unos 2000 correos electrónicos de 6 líneas cada uno. Cada línea tiene, por término medio, en todos los casos, 15 palabras. El número de palabras que lee el grupo, manteniendo ese ritmo, durante 10 años es: A) 3192000 B) 5985000 C) 47880000 D) 42408000 2. Una célula humana tiene en su núcleo 46 cromosomas. En los cromosomas reside el ADN (ácido desoxirribonucleico) que contiene información genética en secuencias de unas sustancias llamadas nucleótidos. La especie humana tiene unos tres mil millones de pares de nucleótidos para codificar su información genética. Representando cada par de nucleótidos por una letra, si se quisiera tener un registro escrito, con las tres mil millones de letras, en libros iguales de 100 páginas, cada página con 140 líneas, y cada línea con 160 letras, el número de libros que se necesitarían para escribir todas esas letras sería: A) 1340 B) 133929 C) 18750 D) 1875 3. Se estima que una persona adulta respira 15 veces por minuto. El volumen de aire que se respira por minuto es de unos 8.5 litros. En cada litro de aire hay aproximadamente 3.1019 moléculas. Al cabo de 50 años, el número de veces que se ha respirado y el número de moléculas del volumen de aire que se ha respirado será, respectivamente: A) 4·108 respiraciones y 3·10 27 moléculas B) 4·106 respiraciones y 2.23·1027 moléculas C) 3.94·108 respiraciones y 6.70·1027 moléculas D) 3.94.106 respiraciones y 4.10.1027 moléculas 4. Una dieta apropiada en unos meses para Carmelo, según recomendación médica, indica que debe consumir 2000 calorías/día. Esta dieta incluye proteínas y glúcidos en proporciones 10% y 60% respectivamente, y lípidos el resto. La cantidad de calorías que debe aportarse desde cada tipo de sustancia química es, respectivamente: A) 100, 600, 300 B) 400, 1200, 200 C) 200, 1000, 800 D) 200, 1200, 600 5. Pitágoras fue un matemático (y filósofo) griego del que no se sabe mucho. Pero si investigamos en varias fuentes, encontramos: - En: http://www.mat.usach.cl/histmat/html/pita.html se afirma: Nació alrededor del 580 AC en Samos, Ionia y falleció alrededor del 500 aC en Metapontum, Lucania. (ya sabes que AC es antes de Cristo, también se dice a.n.e. antes de nuestra era).
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 4
- En http://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/pitagoras.htm se lee: nace en la isla de Samos, actual Grecia, hacia 572 a.C. y muere en Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, hacia 497 a.C. - En la Enciclopedia Universal Multimedia ©Micronet S.A. aparece: Pitágoras (570- ca. 490 a.C.) Con estos datos, tomemos por cierto que vivió desde el año 572 aC al año 497 aC. Elige la opción correcta que contiene los siglos en que vivió y los años que vivió: A) Siglos V - IV aC y 75 años B) Siglo VI y V aC y 69 años C) Siglos VI y V aC y 75 años D) Siglos V - IV AC y 69 años 6. La velocidad de una nave Nuevos Horizontes, enviada a Plutón, es de 58000 km/h. Esto supone que, si no intervienen otros factores, y mantiene esa velocidad, para recorrer los 8.000 millones de kilómetros que tiene su trayectoria, debería tardar, aproximadamente unos_____años (aproximar los cálculos a centésimas): A) 12.52 B) 9.5 C) 15.75 D) 13.72 7. Un coche tiene un depósito de combustible de 52 L de capacidad. El coche gasta 7.5 L de combustible por cada 100 km recorridos. Se llena el depósito para comenzar un viaje de 250 km. ¿Cuánto combustible quedará en el depósito al final del viaje? A) 33.25 L B) 18.75 L C) 26.65 L D) 31.20 L 8. Un coche vale 192,000 pesos. Anuncian un aumento de 3.2 % en los precios. ¿Cuánto costará ahora? A) $ 194,024 B) $ 195,864 C) $ 198,144 D) $ 253,440 9. En la papelería, queremos comprar dos lápices, tres bolígrafos, dos cuadernos y un libro. El precio de cada artículo es: 1 lápiz: 7 pesos, 1 bolígrafo: 9.50 pesos, 1 cuaderno 15 pesos y el libro 140 pesos. Tenemos un billete de 500 pesos. Si compramos todo lo previsto, nos sobrarán: A) $ 287.50 B) $ 328.50 C) $ 297.00 D) $ 302.00
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 4
10. Una empresa tiene 10 depósitos de jugo. Cada uno le permite llenar 3000 envases de 2 L. Decide cambiar el tamaño del envase y vender el jugo en botellas de 0.75 L. El número de botellas que puede vender es: A) 8000 B) 45000 C) 80000 D) 4000
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Manejo de espacios y cantidades
Respuestas y soluciones
Operaciones básicas. Serie 4
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Solución 1 C) 47,880,000 Solución 2 A) 1340 Solución 3 C) 3.94·108 respiraciones y 6.70·1027 moléculas Solución 4 D) 200, 1200, 600 Solución 5 A) Siglos V - IV aC y 75 años Solución 6 C) 15.75 años Solución 7 A) 33.25 L Solución 8 C) $ 198,144 Solución 9 A) $ 287.50 Solución 10 C) 80000 botellas
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 5
1. Una vivienda se vende por 150000 pesos. Para comprarla hay que contar con gastos extras: Impuestos ante Hacienda, 7%; notaría, 2% y una serie de pagos adicionales (banco, ayuntamiento, etcétera) que supone un 4%, aparte de amueblarla. De esta forma, el dinero que se debe presupuestar, para la compra de esa casa es: A) 163,500 B) 169,500 C) 196,500 D) 250,500 2. Hemos de realizar un viaje de 450 km. y queremos conocer el consumo de gasolina del coche, es decir, los litros por kilómetro que gasta. Para ello, se llena el depósito al partir y al llegar. Al volver a llenar el depósito se han necesitado 30 litros. El gasto medio de gasolina, en litros por cada 100 km (l/100 km), redondeando los cálculos a centésimas, es: A) 8.25 B) 15.00 C) 6.67 D) 3.33 3. La temperatura en superficie de la tierra, en un lugar determinado, un día determinado, es de 10ºC. Sabemos que en la troposfera, capa de la atmósfera donde vivimos, la temperatura desciende unos 6.4 ºC por kilómetro que se asciende. Por ello, aproximadamente, la temperatura en ese lugar, en el exterior de un avión que vuela a 11000 m de altura, es: A) -60.4 ºC B) -70.4 ºC C) 60.4 ºC D) 70.4 ºC 4. En una empresa se preparan y empaquetan mesas de computadora para que la persona que compre un paquete pueda montar la mesa. Cada mesa requiere: - 1 tablero - 4 tablas medianas - 6 tablas cortas - 12 tornillos largos - 14 tornillos cortos - 2 guías de tablero Quien controla la preparación de los paquetes comprueba que dispone de 15 tableros, 26 tablas medianas, 33 tablas cortas, 200 tornillos largos, 510 tornillos cortos, y 20 guías de tablero. El número de paquetes, de mesas completas, que se puede preparar es: A) B) C) D)
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5. Tenemos un rollo de cinta adhesiva de 25 m. La cuarta parte se gastó el primer día. Luego se utilizaron 6.80 m. Más tarde se gastaron 14 trozos de 15 cm. La cantidad de cinta que queda es:
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 5 A) 4.2 m B) 9.85 m C) 16.65 m D) 15.15 m 6. La compra de libros por internet en una determinada librería se realiza mediante el pago con tarjeta, siguiendo un protocolo seguro, es decir, siguiendo instrucciones claras y con medidas de seguridad que impiden el uso indebido de datos bancarios del comprador. Se quiere comprar tres libros, de 121.50 pesos, 327.50 pesos y 432.50 pesos. Al seleccionarlos para encargarlos, aparece una pantalla con el aviso del descuento que tiene cada libro, 10%, 15% y 20%, respectivamente, y, con el cargo que se hará por los gastos de envío, 95 pesos. El importe del pago total que debe aparecer en pantalla para cargar en la cuenta es de: A) $ 733.70 B) $ 976.50 C) $ 828.70 D) $ 881.5 7. Un artículo se compra en origen a 300 pesos, y después de pasar por 3 intermediarios está en su punto de venta final. Cada intermediario gana un 10%. El porcentaje que ha incrementado su valor, y su valor de venta es: A) 130 % y $ 339.00 B) 33.1 % y $ 399.30 C) 30% y % 390 D) 33.3% y $ 399.9 8. Un depósito de agua de dimensiones 24 x 12 x 2.5 m está lleno. Se vacía a razón de 2 litros de agua por minuto. El tiempo que tarda en vaciarse es de: A) 250 días B) 300 días C) 360 días D) 1 año y 6 días 9. El importe de una multa es de 300 pesos. Si se paga antes de un plazo determinado, el descuento es del 20%. Pero, si pasa el plazo de pago voluntario se aplica un recargo de un 30%. Las cantidades que se pagan, cuando descuenta o recarga, son respectivamente: A) 240 y 210 B) 240 y 390 C) 210 y 390 D) 210 y 330 10. Una máquina hace 4800 tapones de corcho en 3 días al día trabajando 8 horas diarias. Se necesita fabricar de forma urgente 30000 tapones, por lo que se pone a trabajar la máquina 10 h al día. El tiempo necesario para acabar la tarea es: A) 10 días B) 15 días C) 18 días D) 30 días
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones básicas. Serie 5
Solución 1
Respuestas y soluciones
B) 169,500 Solución 2 C) 6.67 Solución 3 A) -60.4 ºC Solución 4 B) 5 Solución 5 B) 9.85 m Solución 6 C) $ 828.70 Solución 7 B) 33.1 % y 399.30 Solución 8 A) 250 días Solución 9 B) 240 y 390 Solución 10 B) 15 días
Ejercicios
25
Manejo de espacios y cantidades Números racionales. Serie 1
Pregunta 1 Convierte la siguiente fracción impropia en una fracción mixta 14/2 Pregunta 2 Convierte la siguiente fracción impropia en una fracción mixta 15/2 Pregunta 3 Convierte la siguiente fracción mixta en una fracción impropia (no simplifiques). 3 4/10 Pregunta 4 Simplifica la siguiente expresión 25/45 Pregunta 5 Simplifica la siguiente expresión 21/84 Pregunta 6 Convierte la siguiente fracción común a decimal. Represéntalo con el punto y 2 decimales. (19/2) Pregunta 7 Convierte la siguiente fracción común a decimal. Represéntalo con el punto y 2 decimales. (18/13) Pregunta 8 Convierte la siguiente expresión decimal a fracción. 0.08 Pregunta 9 Convierte la siguiente expresión decimal a fracción. 0.571 Pregunta 10 Realiza la suma de la siguiente expresión (1/4) + (4/4) No simplifiques el resultado.
Ejercicios
27
Manejo de espacios y cantidades Números racionales. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 1 Se divide el numerador entre el denominador. El cociente se convierte en entero. Al no existir residuo, el resultado es: 7
28
Solución 2 Se divide el numerador entre el denominador. El cociente se convierte en entero (7) y el residuo en numerador (1). Se conserva el denominador (2): 7 1/2 Solución 3 34/10 Solución 4 Se divide entre 5 tanto el numerador como el denominador: 25/5 = 5 45/5 = 9 Por lo tanto, el resultado es 5/9 Solución 5 Se divide entre 7 tanto el numerador como al denominador: 21/7 = 3 84/7 = 12. Todavía se puede simplificar más la expresión. Por lo tanto, el resultado es 1/4 Solución 6 Se divide el numerador entre el denominador, es decir 19 / 2. Se expresa el resultado con dos decimales: 9.50 Solución 7 Se divide el numerador entre el denominador, es decir 18 / 13. Expresamos el resultado con dos decimales: 1.38 Solución 8 Se escriben en el numerador los números a la derecha del punto decimal, es decir 08. En el denominador escribimos 1 seguido de tantos ceros como decimales existan: 8/100 Solución 9 Se escriben en el numerador los números a la derecha del punto decimal, es decir 571. En el denominador escribimos 1 seguido de tantos ceros como decimales existan: 571/1000 Solución 10 Primero puedes agrupar la operación (1 + 4)/4 Se realiza la operación y obtenemos el resultado: 5/4
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Números racionales. Serie 2
1. Obtén el resultado de la siguiente expresión, no simplifiques 5/2 + 6/4 + 4/16 2. Realiza la suma de la siguiente expresión (1/4) + (5/4) 3. Obtén el resultado de la siguiente expresión, no simplifiques 8/4 + 7/16 + 5/32 4. Realiza la resta de la siguiente expresión, no simplifiques 12/6 - 2/12 - 2/24 5. Realiza la resta de la siguiente expresión, no simplifiques (17/2)- (2/2) - (7/2) 6. Realiza la resta de la siguiente expresión, no simplifiques 11/4 - 2/12 - 4/24 7. Realiza el producto de las fracciones en la siguiente expresión. (4/12) x (8/8) x (5/10) 8. Realiza el producto de las fracciones en la siguiente expresión. (4/9 x 4/2) 9. Realiza el producto de las fracciones en la siguiente expresión. (3/7) x (1/5) x (-6/10) 10. Obtén el resultado de la siguiente expresión, no simplifiques 8/4 + 4/16 + 7/48
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades Números racionales. Serie 2
Respuestas y soluciones
Solución 1 Se obtiene el común denominador de 2, 4 y 16, en este caso 16. Se divide el común denominador entre los denominadores y se multiplica por los numeradores: 5, 6 y 4 La operación queda así: (40 + 24 + 4) / 16 Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 17/4 Solución 2 Como el denominador es común, simplemente se suman los numeradores: 1+5=6 6/4 Es posible simplificar: 1 2/4 Solución 3 Se obtiene el común denominador de 4, 16 y 32, en este caso 32. Se divide el común denominador entre los denominadores y se multiplica por los numeradores: 8, 7 y 5 La operación queda así: (64 + 14 + 5) / 32 Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 83/32 Solución 4 Se obtiene el común denominador de 6, 12 y 24, en este caso 24. Se divide el común denominador entre los denominadores y se multiplica por los numeradores: 12, 2 y 2 La operación queda así: (48 - 4 - 2) / 24 Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 7/4 Solución 5: Primero puedes agrupar la operación (17 - 2 - 7)/2 Se realiza la operación en el numerador y obtenemos el resultado: 8/2 Solución 6 Se obtiene el común denominador de 4, 12 y 24, en este caso 24. Se divide el común denominador entre los denominadores y se multiplica por los numeradores: 11, 2 y 4. La operación queda así: (66 - 4 - 4) / 24 Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 29/12
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Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Números racionales. Serie 2
Solución 8 Se multiplican los numeradores: 4 x 4 = 16 Se multiplican los denominadores: 9 x 2 = 18 El resultado es: 16/18 Se puede simplificar. El resultado final es 8/9 Solución 9 Se multiplican los numeradores: 3 x 1 x -6 = -18 Se multiplican los denominadores: 5 x 7 x 10 = 350 El resultado es: -18/350 Se puede simplificar. El resultado final es -9/175 Solución 10 Se obtiene el común denominador de 4, 16 y 48, en este caso 48. Se divide el común denominador entre los denominadores y se multiplica por los numeradores: 8, 4 y 7 La operación queda así: (96 + 12 + 7) / 48 Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 115/48
Ejercicios
Respuestas y soluciones
Solución 7 Se multiplican los numeradores: 4 x 8 x 5 = 160 Se multiplican los denominadores:12 x 8 x 10 = 960 El resultado es: 160/960 Se puede simplificar. El resultado final es 1/6
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Manejo de espacios y cantidades Leyes de los exponentes. Serie 1
1. Simplifica la expresión v-6 · v13 A) v-78 B) v7 C) -v-6 D) v-7 2. Simplifica la expresión y10 · y18 A) y180 B) y-28 C) y-180 D) y28 3. Simplifica la expresión 7w6a + 10 (4 w2) A) 11w6a + 12 B) 11w6a + 12 C) 28w6a + 12 D) 28wa + 12 4. Simplifica la expresión 8x10c + 6 (9 x8) A) 72x10c + 14 B) 17x10c + 14 C) 72x10 + 14 D) 72xc + 14 5. Simplifica la expresión 6w-6a + 7 (7w-3a + 6) A) 42w18a + 42 B) 13w18a + 42 C) 13w-9a + 13 D) 42w-9a + 13 6. Simplifica la expresión 7y-2a + 9 (5y-2a + 8) A) 35ya + 17 B) 35y-4a + 17 C) 12y4a + 35 D) 12y-4a + 17 7. Simplifica la expresión (20y5c + 13 )/(5y-7c + 6) A) 25y-2c + 4 B) 4y12c + 7 C) 4y-2c + 7 D) 25y12c + 7
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades Leyes de los exponentes. Serie 1 8. Simplifica la expresión (6u9b + 18 )/(3u-15b + 10) A) 2ub + 8 B) 2u24b + 8 C) 9u-6b + 2 D) 9u24b + 8 9. Realiza la siguiente potencia de potencias (11c6i6m5)3 A) 1331c19i18m15 B) 1331c18i18m16 C) 1331c18m15 D) 1331c18i18m15 10. Realiza la siguiente potencia de potencias (6d4h6m4)4 A) 1296d16h24m17 B) 1296d17h24m16 C) 1296d16m16 D) 1296d16h24m16
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Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Leyes de los exponentes. Serie 1
Solución 1 Recuerda que v-6 · v13 = v-6 + 13, por lo tanto: v7
Solución 3 Realizas la multiplicación de coeficientes: 7w6a + 10 (4 w2) = 28w6a + 10 + 2 y efectúas la multiplicación de exponentes como una suma para obtener el resultado: 28w6a + 12 Solución 4 Realizas la multiplicación de coeficientes: 8x10c + 6 (9 x8) = 72x10c + 6 + 8 y efectúas la multiplicación de exponentes como una suma para obtener el resultado: 72x10c + 14 Solución 5 Realizas la multiplicación de coeficientes: 6w-6a + 7 (7w-3a + 6) = 42w(-6a + 7 ) + (-3a + 6 ) y efectúas la multiplicación de exponentes como una suma para obtener el resultado: 42w-9a + 13 Solución 6 Realizas la multiplicación de coeficientes: 7y-2a + 9 (5y-2a + 8) = 35y(-2a + 9 ) + (-2a + 8 ) y efectúas la multiplicación de exponentes como una suma para obtener el resultado: 35y-4a + 17 Solución 7 Realizas la división de coeficientes: (20y5c + 13 )/(5y-7c + 6) = 4y(5c + 13 ) - (-7c + 6 ) y efectúas la multiplicación de exponentes como una suma para obtener el resultado: 4y12c + 7 Solución 8 Realizas la división de coeficientes: (6u9b + 18 ) / (3u-15b + 10) = 2u(9b + 18 ) - (-15b + 10 ) y efectúas la multiplicación de exponentes como una suma para obtener el resultado: 2u24b + 8
Ejercicios
Respuestas y soluciones
Solución 2 Recuerda que y10 · y18 = y10 + 18, por lo tanto: y28
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Manejo de espacios y cantidades Leyes de los exponentes. Serie 1
Solución 9 Realizas la potencia de potencias de los coeficientes (11c6i6m5)3 = 113c(6)(3)i(5)(3)m(5)(3) y efectúas la multiplicación de exponentes para obtener el resultado: 1331c18i18m15
Respuestas y soluciones
Solución 10 Realizas la potencia de potencias de los coeficientes (6d4h6m4)4 = 64d(4)(4)h(4)(4)m(4)(4) y efectúas la multiplicación de exponentes para obtener el resultado: 1296d16h24m16
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Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Lenguaje matemático. Serie 1
1. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: b dividido por 6 produce un cociente y y un residuo o resto de 6. 2. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: Un número de tres dígitos tiene 19 unidades, b decenas y y centenas. Dividiéndolo entre el producto de sus dígitos obtenemos un cociente de 11 y un resto o residuo de 9. 3. Construye una ecuación a partir del siguientes enunciado: c % de k es igual a 4. 4. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: 5c + 10 dividido por 8 produce un cociente 3w + 18 y un residuo o resto de 3. 5. Construye una ecuación a partir del siguientes enunciado: El número a es 2 veces mayor que 42m + 70. 6. Construye una ecuación a partir del siguientes enunciado: Un número de tres dígitos tiene 6 unidades, c decenas y 2 centenas. Dicho Número es mayor que w en 24. 7. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: c dividido por 2 produce un cociente v y un residuo o resto de 8. 8. Construye una ecuación a partir del siguientes enunciado: El número a es 6 veces mayor que 94k + 50. 9. Construye una ecuación a partir del siguientes enunciado: La velocidad de un automóvil que recorre 7c + 5 kilómetros en 19 horas es mayor que 94w + 5 en 63 Km/h. 10. Construye una ecuación a partir del siguientes enunciado: b % de k es igual a 9.
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades Lenguaje matemático. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 1 La solución es: b = 6y + 6
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Solución 2 El número es: 100y + 10b + 19 El producto de sus dígitos es: 19yb La ecuación es: 100y + 10b + 19 = 11(19yb) + 9 Solución 3 La ecuación es: c/100 · k = 4 Solución 4 La solución es: 5c + 10 = 8(3w + 18) + 3 Solución 5 Se debe expresar el enunciado en forma algebraica: a = 2(42m + 70) Al eliminar el paréntesis obtenemos el resultado: a = 84m + 140 Solución 6 La ecuación es 600 + 10c + 6 = w + 24 Solución 7 La solución es: c = 2v + 8 Solución 8 Se debe expresar el enunciado en forma algebraica: a = 6(94k + 50) Al eliminar el paréntesis obtenemos el resultado: a = 564k + 300 Solución 9 La velocidad del automóvil es igual a: 7c + 5 / 19 km/h De modo que la ecuación queda así: 7c + 5 / 19 = 94w + 5 + 63 Solución 10 La ecuación es: b/100 · k = 9
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Lenguaje matemático. Serie 2
1. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: La velocidad de un automóvil que recorre 3b + 6 kilómetros en 18 horas es mayor que 39x + 7 en 21 Km/h. 2. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: La velocidad de un automóvil que recorre 3f + 4 kilómetros en 12 horas es mayor que 43x + 5 en 42 Km/h. 3. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: La velocidad de un automóvil que recorre 5g + 2 kilómetros en 89 horas es mayor que 65x + 2 en 60 Km/h. 4. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: c % de m es igual a 11. 5. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: a dividido por 5 produce un cociente v y un residuo o resto de 6. 6. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: b % de 5n + 65 es igual a 45. 7. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: Un número de tres dígitos tiene 8 unidades, e decenas y w centenas. Dividiéndolo entre el producto de sus dígitos obtenemos un cociente de 14 y un resto o residuo de 6. 8. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: Un número de dos dígitos tiene 14 unidades y h decenas. El producto de dicho número por la suma de sus dígitos es y. 9. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: Un número de tres dígitos tiene 19 unidades, c decenas y x centenas. Dividiéndolo entre el producto de sus dígitos obtenemos un cociente de 10 y un resto o residuo de 9. 10. Construye una ecuación a partir del siguiente enunciado: Un número de tres dígitos tiene 9 unidades, a decenas y v centenas. Dividiéndolo entre el producto de sus dígitos obtenemos un cociente de 10 y un resto o residuo de 4.
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades Lenguaje matemático. Serie 2
Respuestas y soluciones
Solución 1 La velocidad del automóvil es igual a: 3b + 6 / 18 km/h De modo que la ecuación queda así: 3b + 6 / 18 = 39x + 7 + 21 Solución 2 La velocidad del automóvil es igual a: 3f + 4 / 12 km/h De modo que la ecuación queda así: 3f + 4 / 12 = 43x + 5 + 42 Solución 3 La velocidad del automóvil es igual a: 5g + 2 / 89 km/h De modo que la ecuación queda así: 5g + 2 / 89 = 65x + 2 + 60 Solución 4 La ecuación es: c/100 · m = 11 Solución 5 La solución es: a = 5v + 6 Solución 6 La ecuación es: b/100 · (5n + 65) = 45 Solución 7 El número es: 100w + 10e + 8 El producto de sus dígitos es: 8we La ecuación es: 100w + 10e + 8 = 14(8we) + 6 Solución 8 El número de dos dígitos es 10h + 14 La suma de sus dígitos es h + 14 La ecuación es: y = (10h + 14)(h + 14)
40
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Lenguaje matemático. Serie 2
Respuestas y soluciones
Solución 9 El número es: 100x + 10c + 19 El producto de sus dígitos es: 19xc La ecuación es: 100x + 10c + 19 = 10(19xc) + 9 Solución 10 El número es: 100v + 10a + 9 El producto de sus dígitos es: 9va La ecuación es: 100v + 10a + 9 = 10(9va) + 4
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones con expresiones. Serie 1 1. Ordena el siguiente polinomio -10b + 6b2 -3 + 17b-13 2. Realiza la suma de polinomios siguiente (-2w-12 -15w3 -5w2 + 9) + (4w-12 + 6w3 -5w2 + 12) 3. Ordena el siguiente polinomio -15a + 16a2 -13 + 10a-4 4. Realiza la multiplicación siguiente (-12d + 10v) (-7d + 12v) 5. Realiza la multiplicación de monomios siguiente -13a (7w) 6. Simplifica la siguiente expresión -6j -11n -5n -8j 7. Realiza la operación siguiente (-5d2r + 5dr4) - (17d2r -4dr4) 8. Realiza la multiplicación siguiente (-12x6) (5x7 + 4x6 + 10x) 9. Ordena el siguiente polinomio-12c + 8c2 + 6 + 8c9 10. Realiza la multiplicación de monomios siguiente -9b (19t)
42
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades
Operaciones con expresiones. Serie 1
Solución 1 Debes ordenar de grado mayor a grado menor. El resultado es: 6b2 -10b + 17b-13 -3
Solución 3 Debes ordenar de grado mayor a grado menor. El resultado es: 16a2 -15a + 10a-4 -13 Solución 4 Se multiplica el primer término del multiplicador por los términos del multiplicando (-12d) (-7d + 12v) = 84d2 -144dv Se multiplica el segundo término del multiplicador por los términos del multiplicando (10v) (-7d + 12v) = -70dv + 120v2 Se realizan las operaciones faltantes y se obtiene el resultado: 84d2 -214dv + 120v2 Solución 5 Se usa la propiedad conmutativa y asociativa para reordenar los factores -13•7•a•w Realiza las operaciones -91aw Solución 6 Debes agrupar términos semejantes de diversas clases: -6j -8j -11n -5n Solución 7 Primero debes remover el paréntesis tomando en cuenta los signos -5d2r - 17d2r + 5dr4 +4dr4 Se realizan las operaciones. El resultado es: - 22d2r + 9dr4 Solución 8 Se usa la propiedad distributiva (-12x6)(5x7)+(-12x6)(4x6)+(-12x6)(10x) Realiza las operaciones -60x13 -48x12 -120x7
Ejercicios
Respuestas y soluciones
Solución 2 Primero debes agrupar términos semejantes (-2w-12 + 4w-12) + (-15w3 + 6w3) + (-5w2 -5w2) + (9 + 12) Ahora realizas las operaciones. El resultado es: 2w-12 -9w3 -10w2 + 21
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones con expresiones. Serie 1
Solución 9 Debes ordenar de grado mayor a grado menor. El resultado es: 8c9 + 8c2 -12c + 6
Respuestas y soluciones
Solución 10 Se usa la propiedad conmutativa y asociativa para reordenar los factores -9 • 19 • b • t Realiza las operaciones -171bt
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Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades
Operaciones con expresiones. Serie 2
1. Realiza la multiplicación siguiente ( 12w-4) (19w5 -6w-8) 2. Ordena el siguiente polinomio 9a + 3a2 + 5 + 8a-10 3. Realiza la multiplicación de monomios siguiente -7b (11y) 4. Realiza la multiplicación de monomios siguiente 19do (14dow) 5. Realiza la multiplicación de monomios siguiente 19b (4u) 6. Realiza la suma de polinomios siguiente (-10u7 -15u3 -4u2 -10) + (7u7 + 2u3 -5u2 + 5) 7. Realiza la operación siguiente (11g3q -18gq6) + (19g3q -17gq6) 8. ealiza la suma de polinomios siguiente (2m-9 + 13m3 + 4m2 -9) + (-15m-9 + 13m3 + 10m2 - 2) 9. Realiza la multiplicación siguiente (3u-7) (15u-7 + 4u-8 + 17u) 10. Realiza la multiplicación siguiente (2b + 17v) (8b + 14v)
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades Operaciones con expresiones. Serie 2
Respuestas y soluciones
Solución 1 Primero multiplica los coeficientes (12w-4) (19w5 -6w-8) = 228w-4 + 5 -72w-4 -8
46
Solución 2 Debes ordenar de grado mayor a grado menor. El resultado es: 3a2 + 9a + 8a-10 + 5 Solución 3 Se usa la propiedad conmutativa y asociativa para reordenar los factores -7·11·b·y Realiza las operaciones -77by Solución 4 Se usa la propiedad conmutativa y asociativa para reordenar los factores 19·14·d·d·o·o·w Realiza las operaciones 266d2o2w Solución 5 Se usa la propiedad conmutativa y asociativa para reordenar los factores 19·4·b·u Realiza las operaciones 76bu Solución 6 Primero debes agrupar términos semejantes (-10u7 + 7u7) + (-15u3 + 2u3) + (-4u2 -5u2) + (-10 + 5) Solución 7 Primero debes remover el paréntesis tomando en cuenta los signos 11g3q + 19g3q -18gq6 -17gq6 Solución 8 Primero debes agrupar términos semejantes (2m-9 -15m-9) + (13m3 + 13m3)+(4m2 + 10m2) + (-9 -2) Solución 9 Se usa la propiedad distributiva (3u-7)(15u-7)+(3u-7)(4u-8)+(3u-7)(17u) Realiza las operaciones 45u-14 + 12u-15 + 51u-6 Solución 10 Se multiplica el primer término del multiplicador por los términos del multiplicando (2b)(8b + 14v) = 16b2 + 28bv Se multiplica el segundo término del multiplicador por los términos del multiplicando (17v)(8b + 14v) = 136bv + 238v2 Se realizan las operaciones faltantes y se obtiene el resultado: 16b2 + 164bv + 238v2
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Cálculo de valores numéricos. Serie 1
Pregunta 1 Sustituye l=10, y=-7 en la expresión -8ly Pregunta 2 Sustituye l=-2, u=7 en la expresión 10l -14u Pregunta 3 Sustituye l=-11, x=10 en la expresión -15l -14x Pregunta 4 Simplifica la expresión 6a8 (5a8)2 Pregunta 5 Simplifica la expresión 7c4 (7c5)2 Pregunta 6 Sustituye m=-11, w=-14 en la expresión 10mw Pregunta 7 Simplifica la expresión 3b2 (3b2)3 Pregunta 8 Simplifica la expresión 7a3 (3a6)2 Pregunta 9 Sustituye n=-9, y=14 en la expresión -9ny Pregunta 10 Simplifica la expresión 2c3 (2c8)5
Ejercicios
47
Manejo de espacios y cantidades Cálculo de valores numéricos. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 1 Se sustituye el valor numérico (-8)(10)(-7) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 560
48
Solución 2 Se sustituye el valor numérico 10(-2) -14(7) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: -118 Solución 3 Se sustituye el valor numérico -15(-11) -14(10) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 25 Solución 4 6a8 (25a16) 150a(8 + 16) 150a24 Solución 5 7c4 (49c10) 343c(4 + 10) 343c14 Solución 6 Se sustituye el valor numérico (10)(-11)(-14) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 1540 Solución 7 3b2 (27b6) 81b(2 + 6) 81b8 Solución 8 7a3 (9a12) 63a(3 + 12) 63a15
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Cálculo de valores numéricos. Serie 1
Solución 9 Se sustituye el valor numérico (-9)(-9)(14) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 1134
Respuestas y soluciones
Solución 10 2c3 (32c40) 64c(3 + 40) 64c43
Ejercicios
49
Manejo de espacios y cantidades Cálculo de valores numéricos. Serie 2 Pregunta 1 Simplifica la expresión 8c9 (7c4)4 Pregunta 2 Simplifica la expresión 2c6 (2c8)4 Pregunta 3 Sustituye k=-6, x=-5 en la expresión 9k + 6x Pregunta 4 Sustituye l=-10, x=-14 en la expresión 8l + 8x Pregunta 5 Simplifica la expresión 2a5 (4a2)4 Pregunta 6 Sustituye l=13, v=-6 en la expresión -15l -14v Pregunta 7 Sustituye l=13, t=-5 en la expresión -5lt Pregunta 8 Sustituye l=-5, v=3 en la expresión -10lv Pregunta 9 Sustituye k=8, y=6 en la expresión -5k -10y Pregunta 10 Sustituye k=13, s=-7 en la expresión -2k -9s
50
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Cálculo de valores numéricos. Serie 2
Solución 1 8c9 (2401c16) 19208c(9 + 16) 19208c25
Respuestas y soluciones
Solución 2 2c6 (16c32) 32c(6 + 32) 32c38 Solución 3 Se sustituye el valor numérico 9(-6) + 6(-5) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: -84 Solución 4 Se sustituye el valor numérico 8(-10) + 8(-14) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: -192 Solución 5 2a5 (256a8) 512a(5 + 8) 512a13 Solución 6 Se sustituye el valor numérico -15(13) -14(-6) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: -111 Solución 7 Se sustituye el valor numérico (-5)(13)(-5) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 325 Solución 8 Se sustituye el valor numérico (-10)(-5)(3) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 150
Ejercicios
51
Manejo de espacios y cantidades Cálculo de valores numéricos. Serie 2 Solución 9 Se sustituye el valor numérico -5(8) -10(6) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: -100
Respuestas y soluciones
Solución 10 Se sustituye el valor numérico -2(13) -9(-7) Se realizan las operaciones y se obtiene el resultado: 37
52
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Productos notables. Serie 1
Pregunta 1 Desarrolla la expresión (4a + 9)2 A) 16a2 + 81 B) 16a2 + 72a + 81 C) 8a2 + 72a + 81 D) 72a2 + 8 Pregunta 2 Desarrolla la expresión (5a + 8)2 A) 25a2 + 80a + 64 B) 80a2 + 10 C) 10a2 + 80a + 64 D) 25a2 + 64 Pregunta 3 Desarrolla la expresión (8b + 3x)2 A) 64b2 + 9x2 B) 11b2 + 48bx + 9x2 C) 64b2 + 48bx + 9x2 D) 48b2x2 Pregunta 4 Desarrolla la expresión 3a(6a + 7y)2 A) 108a3 + 252a2y + 147ay2 B) 36a + 84ay + 49y C) 36a2 + 49y2 D) 13a2 + 84ay + 49y2 Pregunta 5 Desarrolla la expresión 8c(3c + 6y)2 A) 72c3 + 288c2y + 288cy2 B) 9c2 + 36y2 C) 9c2 + 36cy + 36y2 D) 9c + 36cy + 36y
Ejercicios
53
Manejo de espacios y cantidades Productos notables. Serie 1 Pregunta 6 Desarrolla la expresión (5a + x)3 A) 125a3 + 75a2x + 15ax2 + x3 B) 125a2 + 75a2x + 15ax2 + x2 C) 125a3 + 15ax2 + 75a2x + x3 D) 75a2 + 75a2x + 15ax2 + x3 Pregunta 7 Desarrolla la expresión (5c + 3x)3 A) 9c2 + 25c2x + 9cx2 + 27x3 B) 130c2 + 225c2x + 9cx2 + 27x2 C) 125c3 + 225c2x + 135cx2 + 27x3 D) 130c3 + 25cx2 + 9c2x + 27x3 Pregunta 8 Desarrolla la expresión (c + 5) (c -5) A) -c2 + 25 B) -c - 25 C) c - 25 D) c2 - 25 Pregunta 9 Desarrolla la expresión (4b + 3x) (4b -3x) A) 16b - 9x B) 16b2 - 9x2 C) 16b2 + 9x2 D) 4b2 - 3x2
54
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Productos notables. Serie 1
Solución 1 La fórmula del producto notable cuadrado de la suma un binomio es: (4a)2 + 2(4a)(9) + (9)2 Realizando las operaciones nos queda 16a2 + 72a + 81
Respuestas y soluciones
Solución 2 La fórmula del producto notable cuadrado de la suma un binomio es: (5a)2 + 2(5a)(8)+ (8)2 Realizando las operaciones nos queda 25a2 + 80a + 64 Solución 3 La fórmula del producto notable cuadrado de la suma un binomio es: (8b)2 + 2(8b)(3x)+ (3x)2 Por lo tanto: 64b2 + 48bx + 9x2
Solución 4 Se resuelve lo que está entre paréntesis mediante la fórmula del producto notable cuadrado de la suma un binomio: (6a)2 + 2(6a)(7y)+ (7y)2 Por lo tanto: (6a + 7y)2 = 36a2 + 84ay + 49y2 Se resuelve la segunda parte, es decir 3a(36a2 + 84ay + 49y2) Y obtenemos el resultado: 108a3 + 252a2y + 147ay2 Solución 5 Se resuelve lo que está entre paréntesis mediante la fórmula del producto notable cuadrado de la suma un binomio: (3c)2 + 2(3c)(6y)+ (6y)2 Por lo tanto: (3c + 6y)2 = 9c2 + 36cy + 36y2 Se resuelve la segunda parte, es decir 8c(9c2 + 36cy + 36y2) Y obtenemos el resultado: 72c3 + 288c2y + 288cy2 Solución 6 La fórmula del producto notable cubo de la suma de un binomio es: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Por lo tanto: (5a + x)3 = (5a)3 + 3(5a)2(x) + 3(5a)(x)2 + (x)3 Lo que da por resultado: 125a3 + 75a2x + 15ax2 + x3
Ejercicios
55
Manejo de espacios y cantidades Productos notables. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 7 La fórmula del producto notable cubo de la suma de un binomio es (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Por lo tanto: (5c + 3x)3 = (5c)3 + 3(5c)2(3x) + 3(5c)(3x2) + (3x)3 Realizamos los cuadrados y cubos (5c + 3x)3 = 125c3 + 3(25c)2(3x) + 3(5c)(9x)2 + 27x3 Simplificamos: 125c3 + 225c2x + 135cx2 + 27x3 Solución 8 Se resuelve lo que está entre paréntesis mediante a fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados: (a + b) (a - b) = (a2 - b2) Por lo tanto: (c + 5) (c -5) = c2 -25 Solución 9 Se resuelve lo que está entre paréntesis mediante a fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados: (a + b) (a - b) = (a2 - b2) Por lo tanto: (4b + 3x) (4b -3x) = 16b2 -9x2
56
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Productos notables. Serie 2
1. Efectúa la siguiente operación (7c + 10y)2 2. Efectúa la siguiente operación (a + 6) (a - 6) 3. Efectúa la siguiente operación 2x(-5t2 + 8x) (-5t2 - 8x) 4. Efectúa la siguiente operación -10x(6w2 + 4x) (6w2 - 4x) 5. Efectúa la siguiente operación (-3v + x3)3 6. Efectúa la siguiente operación (d + 9) (d - 9) 7. Efectúa la siguiente operación (6w + x2)3 8. Efectúa la siguiente operación (-5w + 3y3)3 9. Efectúa la siguiente operación -3u + 8y2) 3 10. Efectúa la siguiente operación (12b + 8y)2
Ejercicios
57
Manejo de espacios y cantidades Productos notables. Serie 2
Respuestas y soluciones
Solución 1
58
Utiliza la fórmula del cuadrado de un binomio y obtendrás: (7c)2 + 2(7c 10y) + (10y)2 Al realizar las operaciones obtenemos 49c2 + 140cy + 100y2 Solución 2 Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: (a + b) (a - b) = a2 - b2, es decir: (a + 6) (a - 6) = (a)2 - (6)2 Al realizar las operaciones obtenemos el resultado a2 - 36 Solución 3 Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: (a + b) (a - b) = a2 - b2, es decir: 2x(-5t2 + 8x) (-5t2 - 8x) = 2x(-5t2+2) - (8x)2 Al realizar las operaciones obtenemos 2x(25t4 - 64x2) Por lo tanto: 50t4x - 128x3 Solución 4 Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: (a + b) (a - b) = a2 - b2, es decir: -10x(6w2 + 4x) (6w2 - 4x) = -10x(6w2+2) - (4x)2 Al realizar las operaciones obtenemos -10x(36w4 - 16x2) Por lo tanto: -360w4x +160x3 Solución 5 Siguiendo la fórmula del cubo de la suma de un binomio tenemos: (a+b)2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; es decir: (-3v)3 + 3(-3v2 x3) + 3(-3v x3(2)) + (x3)3 Al realizar las operaciones obtenemos -27v3 + 27v2x3 -9vx6 + x9
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Productos notables. Serie 2
Solución 6
Solución 7 Siguiendo la fórmula del cubo de la suma de un binomio tenemos: (a+b)2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; es decir: (6w)3 + 3(6w2 x2) + 3(6w x2(2)) + (x2)3 Al realizar las operaciones obtenemos 216w3 + 108w2x2 + 18wx4 + x6 Solución 8 Siguiendo la fórmula del cubo de la suma de un binomio tenemos: (a+b)2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; es decir: (-5w)3 + 3(-5w2 3y3) + 3(-5w 3y3(2)) + (3y3)3 Al realizar las operaciones obtenemos -125w3 + 225w2y3 -135wy6 + 27y9 Solución 9 Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: (a + b) (a - b) = a2 - b2, es decir: 3y(-3u2 + 8y) (-3u2 - 8y) = 3y(-3u2+2) - (8y)2 Al realizar las operaciones obtenemos 3y(9u4 - 64y2) Por lo tanto: 27u4y - 192y3 Solución 10 Utiliza la fórmula del cuadrado de un binomio y obtendrás: (12b)2 + 2(12b 8y) + (8y)2 Al realizar las operaciones obtenemos 144b2 + 192by + 64y2
Ejercicios
Respuestas y soluciones
Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: (a + b) (a - b) = a2 - b2, es decir: (d + 9) (d - 9) = (d)2 - (9)2 Al realizar las operaciones obtenemos el resultado d2 - 81
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Manejo de espacios y cantidades Factorización. Serie 1
Pregunta 1 Factoriza la expresión 8ew + 2w (Ordena el resultado). A) 2w (4e + 1) B) 10 (8e + 2) C) e (8w + 2) D) e (8w + 2w) Pregunta 2 Factoriza la expresión 4fy + 2y (Ordena el resultado). A) 6 (4f + 2) B) yf (4 + 2) C) f (4y + 2) D) 2y (2f + 1) Pregunta 3 Factoriza la expresión 14x8 + 5x A) x7 (14x + 5) B) x (14x8 + 5) C) x (14x7 + 5) D) x7 (14 + 5) Pregunta 4 Factoriza la expresión 7x6 + 15x A) x (7x5 + 15) B) x (7x6 + 15) C) x (75 + 15) D) x5 (7x + 15) Pregunta 5 Factoriza la expresión 14ay5 -4a5y -2ay A) ay (14y4-4a4-2) B) ay (14ay5 -4a5y-2ay) C) ay (14ay - 4ay -2ay) D) ay (14y + 4a-2y)
Ejercicios
61
Manejo de espacios y cantidades Factorización. Serie 1 Pregunta 6 Factoriza la expresión 8dx3 -9d7x +7dx A) dx (8x + 9d+7x) B) dx (8 + 9+7) C) dx (8dx - 9dx + 7dx) D) dx (8x2-9d6+7) Pregunta 7 Factoriza la expresión d2 + 8d + 16 A) (d2 + 4) (d -4) B) (d-4) (d -4) C) (d + 4) (d + 4) D) (d2 + 4) (d + 4) Pregunta 8 Factoriza la expresión c2 + 8c + 16 A) (c2 + 4) (c -4) B) (c2 -4) (c -4) C) (c + 4) (c -4) D) (c + 4) (c + 4) Pregunta 9 Factoriza la expresión a30 -w22 A) (a15 + w11) (a15 - w11) B) (a30 + w11) (a30 - w11) C) (a15 - w11) (a15 - w11) D) (a15 + w11) (a15 + w11) Pregunta 10 Factoriza la expresión 4e20 -25v10 A) (2e10 -12v5) (2e10 -12v5) B) (2e10 + 12v5) (2e10 + 12v5) C) (2e10 + 5v5) (2e10 -5v5) D) (2e10 -5v5) (2e10 -5v5)
62
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Factorización. Serie 1
Solución 1
Solución 2 Identifica el factor común, en este caso y 4fy + 2y Aplicando la propiedad distributiva nos queda 2y (2f + 1) Lo que nos da como resultado 2y (2f + 1) Solución 3
Respuestas y soluciones
Identifica el factor común, en este caso w 8ew + 2w Aplicando la propiedad distributiva nos queda 2w (4e + 1) Lo que nos da como resultado 2w (4e + 1)
Identifica el factor común, en este caso x 14x8 + 5x Como x está elevado a la 8 potencia, debes hacer la resta respectiva, se aplica la propiedad distributiva: x (14x7 + 5) Solución 4 Identifica el factor común, en este caso x 7x6 + 15x Como x está elevado a la 6 potencia, debes hacer la resta respectiva, se aplica la propiedad distributiva: x (7x5 + 15) Solución 5 Identifica los factores comunes, en este caso a y y. 14ay5 -4a5y -2ay Aplica la propiedad distributiva; considera las potencias: ay (14y4-4a4-2) Solución 6 Identifica los factores comunes, en este caso d y x. 8dx3 -9d7x +7dx Aplica la propiedad distributiva; considera las potencias: dx (8x2-9d6+7)
Ejercicios
63
Manejo de espacios y cantidades Factorización. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 7
64
Se obtiene la raíz cuadrada del primer término el cual es el primer término de ambos factores d2 = (d + a) (d + b) Se identifican dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término y cuyo producto sea igual al tercer término: a + b = 8, ab = 16 El resultado es: (d + 4) (d + 4) Solución 8 Se obtiene la raíz cuadrada del primer término el cual es el primer término de ambos factores c2 = (c + a) (c + b) Se identifican dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término y cuyo producto sea igual al tercer término: a + b = 8, ab = 16 El resultado es: (c + 4) (c + 4) Solución 9 De acuerdo con la fórmula del producto de dos binomios conjugados tenemos a2 - b2 = (a + b) ( a - b) Es decir (a15)2 - (w11)2 Lo que nos da (a15 + w11) (a15 -w11) Solución 10 De acuerdo con la fórmula del producto de dos binomios conjugados tenemos a2 - b2 = (a + b) ( a - b) Es decir (2e10)2 - (5v5)2 = (2e10 + 5v5) (2e10 -5v5)
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Factorización. Serie 2
1. Factoriza la expresión 12v4x - 12x3 2. Factoriza la expresión 12w4y - 12y3 3. Factoriza la expresión 36v4 - 36x6 4. Factoriza la expresión 72w4x - 32x3 5. Factoriza la expresión 75u4y - 192y3 6. Factoriza la expresión 12u4x - 243x3 7. Factoriza la expresión 243t4x - 48x3 8. Factoriza la expresión 27w4y - 108y3 9. Factoriza la expresión 12t4y - 147y3 10. Factoriza la expresión 9u6 - 9y4
Ejercicios
65
Manejo de espacios y cantidades
Respuestas y soluciones
Factorización. Serie 2
66
Solución 1 Primero obtenemos el factor común 3x(4v4 - 4x2) Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: 3x(2v2+2) - (2x)2 = 3x(2v2 + 2x) (2v2 - 2x) Por lo tanto: 3x(2v2 + 2x) (2v2 - 2x) Solución 2 Primero obtenemos el factor común 3y(4w4 - 4y2) Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: 3y(2w2+2) - (2y)2 = 3y(2w2 + 2y) (2w2 - 2y) Por lo tanto: 3y(2w2 + 2y) (2w2 - 2y)
Solución 3 Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: (6v2)2 - (6x3)2 = (6v2 + 6x3) (6v2 - 6x3) Por lo tanto: (6v2 + 6x3) (6v2 - 6x3) Solución 4 Primero obtenemos el factor común 2x(36w4 - 16x2) Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: 2x(6w2+2) - (4x)2 = 2x(6w2 + 4x) (6w2 - 4x) Por lo tanto: 2x(6w2 + 4x) (6w2 - 4x) Solución 5 Primero obtenemos el factor común 3y(25u4 - 64y2) Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: 3y(5u2+2) - (8y)2 = 3y(5u2 + 8y) (5u2 - 8y) Por lo tanto: 3y(5u2 + 8y) (5u2 - 8y)
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Factorización. Serie 2
Solución 7 Primero obtenemos el factor común 3x(81t4 - 16x2) Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: 3x(9t2+2) - (4x)2 = 3x(9t2 + 4x) (9t2 - 4x) Por lo tanto: 3x(9t2 + 4x) (9t2 - 4x) Solución 8 Primero obtenemos el factor común 3y(9w4 - 36y2) Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: 3y(3w2+2) - (6y)2 = 3y(3w2 + 6y) (3w2 - 6y) Por lo tanto: 3y(3w2 + 6y) (3w2 - 6y) Solución 9 Primero obtenemos el factor común 3y(4t4 - 49y2) Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: 3y(2t2+2) - (7y)2 = 3y(2t2 + 7y) (2t2 - 7y) Por lo tanto: 3y(2t2 + 7y) (2t2 - 7y) Solución 10 Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: (3u3)2 - (3y2)2 = (3u3 + 3y2) (3u3 - 3y2) Por lo tanto: (3u3 + 3y2) (3u3 - 3y2)
Ejercicios
Respuestas y soluciones
Solución 6 Primero obtenemos el factor común 3x(4u4 - 81x2) Siguiendo la fórmula del producto notable producto de dos binomios conjugados tenemos: a2 - b2 = (a + b) (a - b), es decir: 3x(2u2+2) - (9x)2 = 3x(2u2 + 9x) (2u2 - 9x) Por lo tanto: 3x(2u2 + 9x) (2u2 - 9x)
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Manejo de espacios y cantidades Ecuaciones lineales. Serie 1
1. Encuentra el valor de y que resuelva la igualdad. y + 12 = 5 Consejo: Recuerda que sumar o restar una cantidad a ambos lados de la ecuación no altera su solución. A) y = 7 B) y = 17 C) y = -7 D) y = -17 2. Encuentra el valor de x que resuelva la igualdad. x + 15 = 10 Consejo: Recuerda que sumar o restar una cantidad a ambos lados de la ecuación no altera su solución. A) x = -5 B) x = 5 C) x = -150 D) x = 150 3. Encuentra el valor de x que resuelva la igualdad. 14x = -42 Consejo: Recuerda que dividir o multiplicar una cantidad en ambos lados de la ecuación no altera su solución. A) x = -56 B) x = 42 C) x = -3 D) x = -28 4. Encuentra el valor de x que resuelva la igualdad. -2x = -22 Consejo: Recuerda que dividir o multiplicar una cantidad en ambos lados de la ecuación no altera su solución. A) x = -44 B) x = 11 C) x = -24 D) x = 22 5. Encuentra el valor de y que resuelva la igualdad. 3y + 70 = 13y + 10 Consejo: Recuerda que dividir o multiplicar una cantidad en ambos lados de la ecuación no altera su solución. A) y = 70 B) y = 13 C) y = 6 D) y = - 70
Ejercicios
69
Manejo de espacios y cantidades Ecuaciones lineales. Serie 1
6. Encuentra el valor de y que resuelva la igualdad. 3y + 38 = 12y + 2 Consejo: Recuerda que dividir o multiplicar una cantidad en ambos lados de la ecuación no altera su solución. A) y = 38 B) y = - 12 C) y = - 4 D) y = 4 7. Encuentra el valor de y que resuelva la igualdad. 2y + 43 = - 5 + 4 (y + 10) Consejo: Recuerda que dividir o multiplicar una cantidad en ambos lados de la ecuación no altera su solución. A) y = - 4 B) y = 4 C) y = 18 D) y = - 18 8. Encuentra el valor de y que resuelva la igualdad. 4y + 67 = - 3 + 6 (y + 9) Consejo: Recuerda que dividir o multiplicar una cantidad en ambos lados de la ecuación no altera su solución. A) y = 8 B) y = 25 C) y = - 6 D) y = - 8 9. Si el triple de un número menos 12 es 420 ¿Cuál es el número? Consejo: Se trata de una ecuación de primer grado con una incógnita. A) x = 143 B) x = 431 C) x = 144 D) x = 432 10. Si el triple de un número menos 9 es 444 ¿Cuál es el número? Consejo: Se trata de una ecuación de primer grado con una incógnita. A) x = 152 B) x = 454 C) x = 151 D) x = 452
70
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Ecuaciones lineales. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 1 Simplemente encontremos el valor de y. y + 12 = 5 Restamos 12 en ambos lados de la ecuación y + 12 - 12 = 5 - 12 Lo que nos da y = -7 Solución 2 Simplemente encontremos el valor de x. x + 15 = 10 Restamos 15 en ambos lados de la ecuación x + 15 - 15 = 10 - 15 Lo que nos da x = -5 Solución 3 14x = -42 Divide entre 14 a ambos lados de la ecuación 14x/14 = -42/14 Realizamos las operaciones lo que nos da x = -3 Solución 4 -2x = -22 Divide entre -2 a ambos lados de la ecuación -2x/-2 = -22/-2 Realizamos las operaciones lo que nos da x = 11 Solución 5 Tenemos la expresión 3y + 70 = 13y + 10 Eliminamos 13y de un lado de la igualdad restándola a ambos lados 3y - 13y + 70 = 13y - 13y + 10 Nos queda -10y + 70 = 10 Dejamos la incógnita de un sólo lado eliminando 70 de la misma forma -10y + 70 - 70 = 10 - 70 La ecuación queda así -10y = -60 Dividimos entre -10 a ambos lados de la ecuación -10y/-10 = -60/-10 Lo cual nos da como resultado y=6 Solución 6 Tenemos la expresión 3y + 38 = 12y + 2 Eliminamos 12y de un lado de la igualdad restándola a ambos lados 3y - 12y + 38 = 12y - 12y + 2
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades
Respuestas y soluciones
Ecuaciones lineales. Serie 1
72
Nos queda -9y + 38 = 2 Dejamos la incógnita de un sólo lado eliminando 38 de la misma forma -9y + 38 - 38 = 2 - 38 La ecuación queda así -9y = -36 Dividimos entre -9 a ambos lados de la ecuación -9y/-9 = -36/-9 Lo cual nos da como resultado y=4 Solución 7 Tenemos la expresión 2y + 43 = -5 + 44(y + 10) Realizamos la operación entre paréntesis 2y + 43 = -5 + 4y + 40 Sumamos -5 con 40, lo que nos da 2y + 43 = 4y + 35 Eliminamos 4y de un lado de la igualdad restándola a ambos lados 2y - 4y + 43 = 4y - 4y + 35 Nos queda -2y + 43 = 35 Dejamos la incógnita de un solo lado eliminando 43 de la misma forma -2y + 43 - 43 = 35 - 43 La ecuación queda así -2y = - 8 Dividimos entre -2 ambos lados de la ecuación -2y/- 2 = -8/-2 Lo cual nos da como resultado y=4 Solución 8 Tenemos la expresión 4y + 67 = -3 + 66(y + 9) Realizamos la operación entre paréntesis 4y + 67 = -3 + 6y + 54 Sumamos -3 con 54, lo que nos da 4y + 67 = 6y + 51 Eliminamos 6y de un lado de la igualdad restándola a ambos lados 4y - 6y + 67 = 6y - 6y + 51 Nos queda -2y + 67 = 51 Dejamos la incógnita de un solo lado eliminando 67 de la misma forma -2y + 67 - 67 = 51 - 67 La ecuación queda así -2y = - 16 Dividimos entre -2 ambos lados de la ecuación -2y/- 2 = -16/-2 Lo cual nos da como resultado y=8
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Ecuaciones lineales. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 9 El problema se expresa 3x - 12 = 420 Se despeja la incógnita sumando en ambos lados de la ecuación 12: 3x - 12 + 12 = 420 + 12 3x = 432 dividiendo ambos lados por 3 nos queda 3x / 3 = 432 / 3 lo que nos da que x = 144 Solución 10 El problema se expresa 3x - 9 = 444 Se despeja la incógnita sumando en ambos lados de la ecuacion 9 3x - 9 + 9 = 444 + 9 3x = 453 dividiendo ambos lados por 3 nos queda 3x / 3 = 453 / 3 lo que nos da que x = 151
Ejercicios
73
Manejo de espacios y cantidades
Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas. Serie 1 1. Resuelve el siguiente conjunto de ecuaciones: 4c + y = 23 c + 8y = 60 (Expresa el resultado en forma de conjunto { c , y } ) A) { -4, 7 } B) { 4, - 7 } C) { -4, -7 } D) { 4, 7 } 2. Resuelve el siguiente conjunto de ecuaciones: 3a + x = 14 a + 2x = 18 (Expresa el resultado en forma de conjunto { a , x } ) A) { -2, -8 } B) { 2, - 8 } C) { -2, 8 } D) { 2, 8 } 3. Resuelve el siguiente conjunto de ecuaciones: 3c + y = 12 c + 5y = 18 (Expresa el resultado en forma de conjunto { c , y } ) A) { 3, - 3 } B) { 3, 3 } C) { -3, 3 } D) { -3, -3 } 4. Resuelve el siguiente conjunto de ecuaciones: 2b + y = 21 b + 4y = 42 (Expresa el resultado en forma de conjunto { b , y } ) A) { 6, - 9 } B) { 2, 4 } C) { 6, 9 } D) { 2, - 4 } 5. Resuelve el siguiente conjunto de ecuaciones: 5b + y = 13 b + 6y = 20 (Expresa el resultado en forma de conjunto { b , y } ) A) { -2, -3 } B) { 5, 6 } C) { 2, 3 } D) { 5, - 6 }
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades
Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas. Serie 1 6. Resuelve el siguiente conjunto de ecuaciones: 2a + x = 10 a + 6x = 38 (Expresa el resultado en forma de conjunto { a , x } ) A) { 2, - 6 } B) { 2, 6 } C) { -2, 6 } D) { 2, 6 } 7. Patricia compró 100 cochecitos de cuerda y de pilas. Los de cuerda costaron $9.00 y los de pilas costaron $13.00. Si pagó un total de $1108, ¿cuántos cochecitos de cuerda compró? A) 48 B) 52 C) 100 D) 208 8. Mary compró 100 cochecitos de cuerda y de pilas. Los de cuerda costaron $9.00 y los de pilas costaron $16.00. Si pagó un total de $977, ¿cuántos cochecitos de cuerda compró? A) 89 B) 11 C) 77 D) 70
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Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades
Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 1 Mediante el método de suma y resta, tendrías que eliminar una de las incógnitas igualando su valor, pero de signo contrario, elijamos c Tenemos el conjunto de ecuaciones 4c + y = 23 c + 8y = 60 Eliminaremos c de la primera ecuación multiplicando la segunda ecuación por -4c + 8y = 60 -4c -32y = -240 Si sumamos las dos ecuaciones, nos queda una ecuación con una incógnita 4c + y = 23 -4c -32y = -240 lo que nos da -31y = -217 Ahora despejamos y y obtenemos su valor -31y = -217 -31y / -31 = -217 / -31 y =7 Para encontrar el valor de c sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones 4c + 7 = 23 4c = 23 -7 4c = 16 4c/4 = 16/4 c = 4 Por lo tanto, el conjunto solución es: { 4, 7 } Solución 2 Mediante el método de suma y resta, tendrías que eliminar una de las incógnitas igualando su valor, pero de signo contrario, elijamos a Tenemos el conjunto de ecuaciones 3a + x = 14 a + 2x = 18 Eliminaremos a de la primera ecuación multiplicando la segunda ecuación por -3a + 2x = 18 -3a - 6x = -54 Si sumamos las dos ecuaciones, nos queda una ecuación con una incógnita 3a + x = 14 -3a -6x = -54 lo que nos da -5x = -40 Ahora despejamos x y obtenemos su valor -5x = -40 -5x / -5 = -40 /-5 x =8 Para encontrar el valor de a sustituimos el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones 3a + 8 = 14 3a = 14 -8 3a = 6 3a/3 = 6/3 a = 2
Ejercicios
77
Manejo de espacios y cantidades
Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas. Serie 1
Respuestas y soluciones
Por lo tanto, el conjunto solución es: { 2, 8 }
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Solución 3 Mediante el método de igualación, debes despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación, elijamos c Tenemos el conjunto de ecuaciones 3c + y = 12 c + 5y = 18 Despejamos c en la primer ecuación 3c + y = 12 3c = 12 -y c = (12 -y) / 3 Ahora despejamos c en la segunda ecuación c + 5y = 18 c = 18 -5y Como ambas ecuaciones tienen a c de un lado de la igualdad, las ecuaciones resultantes son iguales y podemos despejar y (12 -y) / 3 = 18 -5y 12 -y = (18 -5y)(3) 12 -y = 54 -15y -y = 54 -15y -12 -y = 42 -15y -y + 15y = 42 14y = 42 y = 42 / 14 y = 3 Para encontrar el valor de c sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones 3c + 3 = 12 3c = 12 -3 3c = 9 3c/3 = 9/3 c = 3 Por lo tanto, el conjunto solución es: { 3, 3 } Solución 4 Mediante el método de igualación, debes despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación, elijamos b Tenemos el conjunto de ecuaciones 2b + y = 21 b + 4y = 42 Despejamos b en la primera ecuación 2b + y = 21 2b = 21 -y b = (21 -y) / 2 Ahora despejamos b en la segunda ecuación b + 4y = 42 b = 42 -4y Como ambas ecuaciones tienen a b de un lado de la igualdad, las ecuaciones resultantes son iguales y podemos despejar
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades
Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas. Serie 1
Respuestas y soluciones
y (21 -y) / 2 = 42 -4y 21 -y = (42 -4y)(2) 21 -y = 84 -8y -y = 84 -8y -21 -y = 63 -8y -y + 8y = 63 7y = 63 y = 63 / 7 y =9 Para encontrar el valor de b sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones 2b + 9 = 21 2b = 21 - 9 2b = 12 2b/2 = 12/2 b =6 Por lo tanto, el conjunto solución es: { 6, 9 }
Solución 5 Mediante el método de sustitución, debes despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación, elijamos b Tenemos el conjunto de ecuaciones 5b + y = 13 b + 6y = 20 Despejamos b en la segunda ecuación b + 6y = 20 b = 20 -6y Ahora sustituimos el valor de b en la primera ecuación 5b + y = 13 5(20 -6y) + y = 13 100 -30y + y = 13 -30y + y = 13 -100 -29y = -87 y = -87 /29 y =3 Para encontrar el valor de b sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones 5b + 3 = 13 5b = 13 - 3 5b = 10 5b/5 = 10/5 b = 2 Por lo tanto, el conjunto solución es: { 2, 3 } Solución 6 Mediante el método de sustitución, debes despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación, elijamos a Tenemos el conjunto de ecuaciones 2a + x = 10 a + 6x = 38
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades
Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas. Serie 1
Respuestas y soluciones
Despejamos a en la segunda ecuación a + 6x = 38 a = 38 -6x Ahora sustituimos el valor de a en la primera ecuación 2a + x = 10
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(38 -6x) + x .....................................................................................................................= 10 2 76 -12x + x = 10 -12x + x = 10 -76 -11x = -66 x = -66 /-11 x = 6 Para encontrar el valor de a sustituimos el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones 2a + 6 = 10 2a = 10 -6 2a = 4 2a/2 = 4/2 a = 2 Por lo tanto, el conjunto solución es: { 2, 6 } Solución 7 El problema puede expresarse asignando una letra a cada tipo de cochecitos y elaborando las ecuaciones que expliquen el problema: x + y = 100 9x +13y = 1108 La primera ecuación expresa la suma de los cochecitos y la segunda la relación que tienen con el precio. Se despeja x en la primera ecuación: x + y = 100 x = 100 - y Se despeja ahora en la segunda ecuación: 9x +13y = 1108 9x = 1108 -13y x = (1108 -13y) / 9 Como ambas ecuaciones son equivalentes, pues x está de un lado de la igualdad, se pueden expresar así para despejar y: 100 - y = (1108 -13y) / 9 900 -9y = (1108 -13y) 900 + 4y = 1108 4y = 1108 -900 4y = 208 y = 52 Tienes el valor de las y; por lo tanto, el resultado es: 48 Solución 8 El problema puede expresarse asignando una letra a cada tipo de cochecitos y elaborando las ecuaciones que expliquen el problema: x + y = 100 9x +16y = 977
Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades
Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas. Serie 1 La primera ecuación expresa la suma de los cochecitos y la segunda la relación que tienen con el precio. Se despeja x en la primera ecuación: x+y= 100 x = 100 - y
Respuestas y soluciones
Se despeja ahora en la segunda ecuación: 9x +16y = 977 9x = 977 -16y x = (977 -16y) / 9
Como ambas ecuaciones son equivalentes, pues x está de un lado de la igualdad, se pueden expresar así para despejar y: 100 - y = (977 -16y) / 9 900-9y = (977-16y) 900 + 7y = 977 7y = 977-900 7y = 77 y = 11 Tienes el valor de las y; por lo tanto, el resultado es: 89
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Manejo de espacios y cantidades Ecuaciones de segundo grado. Serie 1
1. Resuelve la ecuación 7y2 + 4y = 0 (Expresa el resultado como un conjunto {. . .} y redondea el resultado a dos decimales) A) { 0, 0.57 } B) { -1.75, 0 } C) { 0, 11 } D) { 0, -0.57 } 2. Resuelve la ecuación 2y2 + 6y = 0 (Expresa el resultado como un conjunto {. . .} y redondea el resultado a dos decimales) A) { -0.33, 0 } B) { 0, 3 } C) { 0, -3 } D) { 0, 3 } 3. Resuelve la ecuación 6n2 - 10 = 0 (Expresa el resultado como un conjunto {. . .} y redondea el resultado a dos decimales) A) { 1.29, 16 } B) { 1.29, 1.29 } C) { 1.29, -1.29 } D) { -1.29, 16 } 4. Resuelve la ecuación 2v2 - 6 = 0 (Expresa el resultado como un conjunto {. . .} y redondea el resultado a dos decimales) A) { -1.73, 8 } B) { 1.73, 8 } C) { 1.73, -1.73 } D) { 1.73, 1.73 } 5. Resuelve la ecuación en el conjunto de los números los reales 2r2 + 4 = 0 Sugerencia: Recuerda factorizar. (Expresa el resultado como un conjunto {. . .} y redondea el resultado a dos decimales) A) { N } B) { 1.41, 6 } C) { 0 } D) { -1.41, 6 }
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades Ecuaciones de segundo grado. Serie 1
6. Resuelve la ecuación en el conjunto de los números los reales -6n2 + 9 = 0 Sugerencia: Recuerda factorizar. (Expresa el resultado como un conjunto {. . .} y redondea el resultado a dos decimales) A) { 1.22, 1.22 } B) { -1.22, 3 } C) { 1.22, -1.22 } D) { 1.22, -1.5 }
Problema -64x2 - 8x - 42 = 0 7. Resuélvela y encuentra el valor de x1 Sugerencia: Recuerda la fórmula general. (Recuerda que x1 es: raíz positiva de delta, redondea el resultado a dos decimales) A) x1 = -0.87 B) x2 = 1.25 C) x1 = 1.25 D) x1 = 0.75 8. Resuelvela y encuentra el valor de x2 Sugerencia: Recuerda la fórmula general. (Recuerda que x2 es: raíz negativa del delta, redondea el resultado a dos decimales) A) x2 = -0.87 D) x2 = 1.25 E) x1 = -0.87 D) x1 = 1.25
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Ejercicios
Manejo de espacios y cantidades Ecuaciones de segundo grado. Serie 1
Respuestas y soluciones
Solución 1 Factoriza un lado y obtendrás y(7y + 4) = 0 Iguala cada factor a cero Primer factor y=0 Segundo factor: 7y + 4 = 0 7y = - 4 y = - 4/7 El conjunto solución es: { 0, -0.57 } Solución 2 Factoriza un lado y obtendrás y(2y + 6) = 0 Iguala cada factor a cero Primer factor y=0 Segundo factor: 2y + 6 = 0 2y = - 6 y = - 6/2 El conjunto solución es: { 0, -3 } Solución 3 Aísla la incógnita en un lado 6n2 = 10 Divide ambos lados de la ecuación entre 6 lo que nos da n2 = 10 / 6 Sacamos raíz en ambos lados x = √( 10 / 6 ) El número 10 / 6 es positivo, por lo tanto existen dos soluciones opuestas x1 = √( 10 / 6 ) x2 = - √( 10 / 6 ) El conjunto solución es: { 1.29, -1.29 } Solución 4 Aísla la incógnita en un lado 2v2 = 6 Divide amos lados de la ecuación entre 2 lo que nos da v2 = 6 / 2 Sacamos raíz en ambos lados x = √( 6 / 2 )
Ejercicios
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Manejo de espacios y cantidades Ecuaciones de segundo grado. Serie 1
Respuestas y soluciones
El número 6 / 2 es positivo, por lo tanto existen dos soluciones opuestas x1 = √( 6 / 2 ) x2 = - √( 6 / 2 ) El conjunto solución es: { 1.73, -1.73 }
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Solución 5 Aísla la incógnita en un lado 2r2 = - 4 El número - 4 / 2 es negativo, por lo tanto no existe solución El conjunto solución es: {N}
Solución 6 Aísla la incógnita en un lado -6n2 = -9 El número -9/-6 es positivo, por lo tanto existen dos soluciones opuestas x1 = √( -9/-6 ) x2 = - √( -9/-6 ) El conjunto solución es: { 1.22, -1.22 } Solución 7 Sustituyendo los valores en la fórmula general, obtenemos: delta = ( -8 )2 - 4( -64 )( 42 )= 10816 Por lo que tenemos dos soluciones: x1 = (- ( -8 ) + √( 10816 ) ) / ( -128 ) Lo que nos da x1 = 0.75 Solución 8 Sustituyendo los valores en la fórmula general, obtenemos: delta = ( -8 )2 - 4( -64 )( 42 )= 10816 Por lo que tenemos dos soluciones: x2 = (- ( -8 ) - √( 10816 ) ) / ( -128 ) Lo que nos da x2 = -0.87
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