Jefatura de Ingeniería Electrónica en Telemática

MANUAL DE APUNTES Y EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I

Elaborado por: M.I. Ana Mayra Luna Rodríguez.

Cd. Obregón, Sonora.

Diciembre de 2005.

INDICE

I. ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11.

Corriente, voltaje y potencia. Conceptos fundamentales de resistencia, inductancia y capacitancia. Fuentes independientes y dependientes. La ley de Ohm. Las leyes de Kirchhoff. Análisis de Mallas. Análisis de Nodos. Teorema de Superposición. Teoremas de Thévenin y Norton Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia Teorema de Reciprocidad

1 1 2 3 4 7 10 14 16 19 21

II. ANÁLISIS TRANSITORIO EN CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN 2.1. 2.2.

Respuesta Natural en circuitos RL y RC Respuesta Completa en circuitos RL y RC

22 28

III. ANÁLISIS TRANSITORIO EN CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN 3.1. 3.2.

Respuesta Natural en circuitos RLC Respuesta Completa en circuitos RLC

32 33

IV. ANÁLISIS DE REDES DE C.A. EN ESTADO ESTABLE 4.1. 4.2. 4.3.

Características de la Onda Senoidal El Fasor Relaciones Fasoriales

39 40 41

I.- ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA

1.1. Corriente, voltaje y potencia. Corriente Eléctrica: es una medida de la velocidad a la cual la carga pasa por un punto de referencia determinado en una dirección especificada, su unidad es el ampere (A). Voltaje: es una medida del trabajo que se requiere para mover una carga de un punto a otro y su unidad es el volt (V). Potencia: es la velocidad o rapidez con la que se consume la energía, su unidad es el watt (W)

1.2. Conceptos fundamentales de resistencia, inductancia y capacitancia. Resistencia: es una medida de la capacidad que tiene un elemento para oponerse al flujo de la corriente, su unidad es el ohm (Ω ). La simbología es:

Inductancia: es una medida de la capacidad que tienen los inductores para almacenar corriente, su unidad es el Henrio (H). Su símbolo es:

Capacitancia: es una medida de la capacidad que tiene un capacitor para almacenar voltaje, su unidad es el Faradio (F). La simbología es:

1

Conductancia: es una medida de la capacidad que tiene un elemento para permitir el flujo de la corriente, se determina mediante el inverso del valor de la resistencia, su unidad es el Siemens (S).

1.3. Fuentes independientes y dependientes. Circuito Eléctrico: es el conjunto de elementos activos y pasivos interconectados entre si, por donde existe al menos una trayectoria cerrada para el flujo de la corriente. Elementos activos: son aquellos que proporcionan energía al circuito eléctrico, es decir las fuentes de alimentación de voltaje o corriente, baterías, generadores de señales, etc. Elementos pasivos: son aquellos que no generan energía por sí solos sino que la reciben de un elemento activo, por ejemplo el resistor, el capacitor y el inductor. Fuentes Independientes de Voltaje: son aquellas que mantienen el mismo voltaje en sus terminales, independientemente de la cantidad de corriente que circule a través de ella. Su simbología es:

Fuentes Independientes de Corriente: son aquellas que entregan el mismo flujo de corriente, independientemente del valor de voltaje entre sus terminales. El símbolo se presenta a continuación:

2

Fuentes de Voltaje dependientes : el voltaje que generan está en función de otra variable que puede ser otro voltaje o corriente en alguno de los elementos del circuito, tal como lo muestra la simbología:

k Vx

k Ix

Fuentes de Corriente dependientes : la corriente que producen está en función de otra variable que puede ser otra corriente o voltaje en alguno de los elementos del circuito.

k Vx

k Ix

Trayectoria cerrada: es cualquier camino que puede tomar la corriente, partiendo de un punto inicial y regresando al mismo punto. Nodo: es el punto de unión de dos o más elementos.

1.4. La ley de Ohm. Esta ley constituye la base del análisis de los circuitos eléctricos y permite calcular los valores eléctricos desconocidos dentro de un circuito (voltaje, corriente, resistencia, etc.). La Ley de Ohm establece que la cantidad de corriente que circula a través de un elemento es directamente proporcional al voltaje que la genera e inversamente proporcional a la resistencia, matemáticamente se expresa por: I= V R

3

1.5. Las leyes de Kirchhoff. Las Leyes de Kirchhoff se clasifican en función de la corriente y el voltaje: 9 La Ley de Kirchhoff de Voltaje (LVK). Enuncia que la suma algebraica de todos los voltajes a lo largo de una trayectoria cerrada en un circuito es igual a cero. 9 La Ley de Kirchhoff de Corriente (LCK). Enuncia que la suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nodo en un circuito es igual a cero: EJERCICIOS. 1.1. Utilice las leyes de Kirchhoff y Ohm en un procedimiento paso a paso para evaluar todas las corrientes y las tensiones en el circuito de la figura. b) Calcule la potencia que absorbe cada uno de los cinco elementos de circuito y muestre que la suma es cero.

Va

Ix

1.2. En el circuito de la figura, halle el valor correspondiente de la fuente de corriente Is y la potencia suministrada por las fuentes. (Resp. IS = 10 A)

4

1.3. Con referencia al circuito de la figura, determine la potencia absorbida por cada uno de los siete elementos de circuito.

1.4. Dado el circuito de la figura e I4 = 0.5 mA, encuentre el voltaje VO de la fuente. (Resp. VO = 36 V)

I4

Los divisores de voltaje y de corriente. El divisor de voltaje permite encontrar el voltaje de un elemento resistivo que se encuentre en una trayectoria en serie, aplicando para ello la ley de Ohm y la LVK, mediante la siguiente expresión: Donde:

VRn = VT Rn RT

VRn = es el voltaje en el resistor deseado. VT = es el voltaje que recibe la trayectoria en serie. Rn = es el valor de resistencia del elemento en donde se desea calcular el voltaje. RT = es la resistencia total de los resistores en serie.

5

El divisor de corriente permite encontrar la corriente de un elemento resistivo que se encuentre en un circuito en paralelo, aplicando para ello la ley de Ohm y la LCK, mediante la siguiente expresión: Donde:

IGn = IT Gn GT

IGn = es la corriente en el resistor deseado. IT = es la corriente que recibe el nodo. Gn = es el valor de conductancia del elemento en donde se desea calcular la corriente. GT = es la conductancia total de los resistores en paralelo.

EJERCICIOS. 1.5. Encuentre la potencia absorbida por la resistencia de 6 KΩ en la red de la siguiente figura: (Resp. Pot= 2.66 mW)

1.6. ¿Cuál es la potencia en el resistor de 47 kΩ de la figura? (Resp. Pot= 18.11 µW)

+ Vx _

6

1.6. Análisis de mallas. El análisis de mallas es una técnica que hace uso de la LVK para expresar voltajes en función de corrientes. Una malla es una trayectoria cerrada que no encierra dentro de sí a ningún elemento del circuito. La metodología para realizar el análisis de mallas es la siguiente: 1. Identificar y clasificar el número total de mallas en el circuito, a cada malla asignarle una corriente de malla. 2. Aplique la LVK a cada malla, siempre y cuando no esté presente una fuente de corriente, expresando los voltajes en función de las corrientes de malla. (V=IR) 3. Si existe una fuente de corriente y ésta afecta a una sola malla, entonces la corriente de malla toma el valor de la fuente de corriente, verificando el sentido de la corriente de malla respecto al sentido de la fuente de corriente. 4. Si existe una fuente de corriente que afecta a dos mallas, entonces se dice que hay una supermalla, para obtener la ecuación de la supermalla es necesario: 9 Eliminar la fuente de corriente (circuito abierto). 9 Aplicar la LVK a la malla resultante expresando los voltajes en función de las corrientes de la supermalla. 5. Resolver las ecuaciones resultantes

7

EJERCICIOS. 1.7. Utilice el análisis de mallas para determinar las tres corrientes de mallas en el circuito de la figura.

1.8. Recurra al análisis de mallas para determinar Ia en el circuito de la figura. (Resp. Ia = - 7.27 A)

Ia

8

1.9. Determine las corrientes de malla del siguiente circuito.

1.10. Recurra al análisis de mallas para determinar I2 y el voltaje de la resistencia de 2Ω, en el circuito de la figura. (Resp. I2 = 2.6 A, VR2 = 6.8 V)

I2

9

1.11. Utilice el análisis de mallas para encontrar Va y la potencia disipada por el resistor de 2.5 Ω. (Resp. Va = 25.9 V, PR2.5 = 81.9 mW)

++ Va Va __

1.7. Análisis de nodos. El análisis de nodos es una técnica que hace uso de la LCK para expresar corrientes en función de voltajes. La metodología para realizar el análisis de mallas es la siguiente: 1. Identifique el total de nodos del circuito y clasifíquelos. 2. Seleccione un nodo como referencia, en donde el voltaje será de 0 V. 3. Aplique la LCK a cada nodo excepto al de referencia, siempre y cuando no esté presente una fuente de voltaje, expresando las corrientes en función de los voltajes de nodo. (I=GV) 4. Si existe una fuente de voltaje conectada al nodo de referencia, entonces el voltaje de nodo toma el valor de la fuente de voltaje, verificando la polaridad del voltaje de nodo respecto a la polaridad de la fuente.

10

5. Si existe una fuente de voltaje conectada entre dos nodos y ninguno de ellos es referencia, entonces se dice que hay un supernodo, para obtener la ecuación del supernodo es necesario: 9 Eliminar la fuente de voltaje (corto circuito). 9 Aplicar la LCK al nodo resultante expresando las corrientes en función de los voltajes del supernodo. 6. Resolver las ecuaciones resultantes

EJERCICIOS. 1.12. Encuentre los voltajes de nodo para el circuito de la figura (Resp. Va = 15.49 V, Vb = - 1.71 V)

1.13. Recurra al análisis de nodos para determinar Vp en el circuito de la figura. (Resp. Vp = 171.6 V)

+ Vp _

11

1.14. Utilice el análisis de nodos para encontrar Va y Vc en el circuito de la figura. (Resp. Va = - 12 V, Vc = 0 V )

+ Va _

+ Vc _

1.15. Encuentre los voltajes de nodo para el circuito de la figura

12

1.16. Recurra al análisis de nodos para determinar Vx en el circuito de la figura (Resp. Vx = 11.71 V)

+ Vx -

1.17. Para el circuito de la figura, determine las cuatro tensiones de nodo.

13

1.8. Teorema de Superposición. El principio de Superposición establece que la tensión (o corriente) a través de un elemento en un circuito lineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través de ese elemento debido a cada fuente independiente actuando sola. La metodología para aplicar la Superposición es: 1. Apague todas las fuentes independientes excepto una, las fuentes de voltaje se ponen en corto circuito tal que V= 0 V, las fuentes de corriente se dejan en circuito abierto para que I= 0 A. 2. Encuentre el valor deseado de tensión o corriente debido a esa fuente activa, utilizando cualquier técnica de análisis de circuitos. 3. Repita el paso anterior para cada una de las otras fuentes independientes. 4. Encuentre la contribución total del valor deseado de tensión o corriente, sumando algebraicamente todas las contribuciones de las fuentes independientes. EJERCICIOS. 1.18. Aplique la superposición y determine VX (Resp. Vx = 2.75 V)

- VX +

14

1.19. Aplique la superposición y encuentre Va (Resp. Va = 25.9 V)

+ Va _

1.20. Por medio del teorema de superposición encuentre VX. (Resp. Vx = 14.69 V)

+ Vx -

15

1.9. Teoremas de Thévenin y Norton. El

teorema de Thévenin nos dice que podemos reemplazar toda la red,

excluyendo la carga, por un circuito equivalente que contenga solo una fuente de voltaje independiente en serie con una resistencia de tal forma que la relación corriente—voltaje en la carga se conserve sin cambios.

VTH

RTH

La metodología para aplicar el Teorema de Thévenin es la siguiente: 1. Identifique en el circuito la red A que contiene a los elementos de alimentación a la carga; y la red B que contiene a la carga. 2. Desconecte la red B, dejando las terminales en circuito abierto. 3. Determine el voltaje de en las terminales del circuito abierto utilizando las técnicas de análisis de circuitos. El voltaje encontrado corresponde al voltaje de Thévenin del modelo equivalente (VTH). 4. Para determinar la resistencia de Thévenin (RTH), elimine todas las fuentes independientes del circuito: 9 Si no existen fuentes dependientes, determine la resistencia equivalente tomando como referencia el circuito abierto, este valor corresponde a la resistencia equivalente de Thévenin (RTH) 9 De existir fuentes dependientes, en el circuito abierto coloque una fuente voltaje de 1 V o de corriente de 1 A; determine la corriente o el voltaje en la fuente agregada según sea el caso y aplique la ley de Ohm para determinar el valor de la resistencia equivalente (RTH)

16

EJERCICIOS. 1.21. Determine el equivalente de Thévenin de la red de dos terminales que se muestra en la figura. (Resp. VTH = 83.48 V, RTH = 8.523 kΩ)

a

b

1.22. Determine el equivalente de Thévenin en las terminales a y b para el circuito que se presenta en la figura. ¿Qué cantidad de potencia se entregaría a un resistor conectado entre a y b, si el valor es de a) 50 ohm b) 12.5 ohm? (Resp. VTH = 75 V, RTH = 12.5 Ω, P50 = 72 W, P12.5 = 112.5 W )

a

b

17

El teorema de Norton es idéntico al teorema de Thévenin con la excepción de que el circuito equivalente es una fuente de corriente independiente en paralelo con una resistencia.

IN

RN

La metodología para aplicar el Teorema de Norton es la siguiente: 1. Identifique en el circuito la red A que contiene a los elementos de alimentación a la carga; y la red B que contiene a la carga. 2. Desconecte la red B, dejando las terminales en corto circuito. 3. Determine la corriente que circula entre las terminales del corto circuito utilizando las técnicas de análisis de circuitos. La corriente encontrada corresponde a la corriente de Norton del modelo equivalente (IN). 4. La resistencia de Norton (RN) se determina de la misma manera que la resistencia de Thévenin (RTH)

EJERCICIOS. 1.23. Aplique el teorema de Norton y obtenga el voltaje en el resistor de 17 Kohm, en el circuito de la siguiente figura. (Resp. VR = -13.58 V)

Ix

18

1.10. Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia. Una fuente de voltaje entrega la máxima potencia a una resistencia de carga RL, cuando el valor de esta resistencia es igual a la resistencia equivalente del resto del circuito RL=RTH . RTH VTH

RL

EJERCICIOS. 1.24. Para el circuito que se presenta, determine si el resistor de 40 ohm recibe la máxima transferencia de potencia.

1.25. Analice el siguiente circuito y determine a) ¿qué valor de RL se requiere para obtener la máxima transferencia de potencia del circuito? b) Calcule la potencia máxima transferida. (Resp. RL = 15.8 Ω, Pmáx = 6.329 W)

RL

19

1.26 Determine la potencia máxima que puede extraerse del circuito que se presenta a continuación. (Resp. Pmáx = 34.027 W)

a

Ix b

1.27. Aplique el Teorema de Thévenin o Norton para determinar: a) El valor de RL para máxima transferencia de potencia b) La potencia máxima transferida. (Resp. RL = 16 Ω, Pmáx = 1.5625 W)

Ia

RL

20

1.11. Teorema de Reciprocidad. Establece que la corriente IX en cualquier malla de un circuito que cuente con una sola fuente de voltaje en cualquier otra parte de la red, será igual a la corriente que pasa por la malla en la cual se encontraba ubicada la fuente originalmente, si la fuente se coloca en la malla en la cual se midió la corriente inicialmente. EJERCICIO. 1.28. Demuestre el Teorema de Reciprocidad para el circuito que se presenta a continuación.

IX

21

II.- ANÁLISIS TRANSITORIO EN CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. 2.1. Respuesta Natural en circuitos RL y RC. Es importante hacer notar que tanto el resistor, el capacitor y el inductor son elementos pasivos, la diferencia entre ellos es su comportamiento ya que el resistor disipa la potencia que recibe en forma de calor, mientras que el inductor y el capacitor almacenan la energía temporalmente en forma de corriente y voltaje respectivamente. La ecuación que rige la relación de voltaje y corriente en el resistor es la ley de Ohm; para el capacitor y el inductor es:

Comportamiento en c.d. Cuando al capacitor se le aplican señales de c.d. no hay variación de voltaje respecto al tiempo por lo que la corriente en el capacitor es cero, lo que equivale a un circuito abierto. En el caso del inductor, al recibir señales de c.d. no hay variación de corriente por lo que el voltaje en el inductor es de cero, lo que equivale a un corto circuito. Comportamiento en c.a. Por consideraciones de potencia la restricción que presenta el inductor es que no permite variaciones bruscas de corriente, mientras que el capacitor no permite cambios bruscos de voltaje.

22

Todo circuito que contenga un solo elemento reactivo, sea una bobina o un capacitor, es un circuito de primer orden, es decir su comportamiento se representa mediante una ecuación diferencial de orden uno. La solución de la ecuación diferencial representa la respuesta del circuito y se le conoce de las siguientes maneras: 9 Respuesta Natural: puesto que depende de la “naturaleza” del circuito, es decir, de las intercoexiones, de los elementos que conforman al circuito, de los valores de los elementos pasivos. 9 Respuesta Transitoria: debido a que la energía no puede almacenarse por siempre, los resistores asociados con los inductores y capacitores a la larga convertirán toda la energía almacenada en calor. 9 Respuesta Forzada: se refiere al efecto que tienen una o más fuentes independientes sobre los inductores y capacitores de un circuito. 9 Respuesta Completa: consiste en la suma de la respuesta forzada y la respuesta natural. El circuito RL Considerando que en el circuito que se presenta a continuación el inductor cuenta con un almacenamiento inicial de carga, se desea determinar una ecuación que represente la respuesta natural del circuito:

iL (t)

Al aplicar la LVK se obtiene una ecuación diferencial de primer orden:

23

dicha ecuación puede resolverse separando diferenciales, es decir, se procede como sigue:

Para resolver esta ecuación se integran ambos miembros, con lo que se obtiene:

El valor de la constante de integración K, se obtiene aplicando a la última expresión las condiciones iniciales, es decir: en t = 0 se tiene i = Io por lo tanto ln Io = K este valor se sustituye en la ecuación:

La respuesta del circuito RL esta dada por:

24

EJERCICIOS. 2.1. El interruptor de la figura se abre en t = 0, luego de haber estado cerrado por un tiempo indefinido. Calcule IL e IX en: a) t = 0-; b) t = 0+; c) t = 0.3 ms. (Resp. IL = 30 mA, 30 mA, 6.7 mA, IX = 20 mA, -30 mA, -6.7 mA)

t =0

IL

Ix

2.2. El interruptor en el circuito de la figura ha estado abierto por mucho tiempo, antes de cerrarse en t = 0. Determine IL(t) y Vx (t) para t > 0. t t (Resp. iL = 0.4 e 18750 A, VX = 7.5 e 18750 V )

+ Vx IL

t =0

2.3. En el circuito de la figura el interruptor se cierra en t = 0, para t = 0.15 s determine el valor de IL, I1 y I2. (Resp. iL = 0.756 A, i1 = 0 A, i2 = 1.244 A )

iL

t =0

i2

i1

25

El circuito RC La respuesta del circuito RC es análoga al circuito RL, solo que el almacenamiento de energía se da en forma de voltaje:

VC (t)

La ecuación que define la respuesta del circuito RC está dada por:

v c = V0 .e

−

t C .R

= V0 .e

−

t

τ

EJERCICIOS. 2.4. En el circuito de la figura el interruptor se cierra en t=0, a) Determine Vc(t) para el tiempo t. b) ¿En qué tiempo se tiene Vc = 0.1 Vc(0)? t (Resp. VC =192 e 125 V, t = 18.42 ms)

t =0 Vc

26

2.5. Suponga que el interruptor del circuito de la figura ha estado cerrado durante mucho tiempo y en t=0 se abre. Determine Vc(t) para cualquier t luego de que se abre el interruptor. b) Calcule Vc(t) en t = 3 μs. t (Resp. VC = 20 e 250 V, VC (3 μs) = 9.44 V)

t =0

2.6. Para el circuito que se presenta, el interruptor ha estado cerrado y se abre en t = 0, determine VC y VO en a) t = 0- , b) t = 0+, c) t = 1.3 ms. (Resp. VC = 100 V, 100 V, 59.5 V, VO = 38.4 V, 25.6 V, 15.22 V)

+ VC _

t =0

+ VO _

27

2.2. Respuesta Completa en circuitos RL y RC. Como se mencionó anteriormente la respuesta completa se conforma por la respuesta forzada más la respuesta natural: X(t) = XF + XN El circuito RL Específicamente para el inductor la respuesta esta dada por: iL (t) = iF + A e –

t/τ

donde τ = Leq/Req La metodología de análisis se puede resumir de la siguiente manera: 1. Elimine todas las fuentes independientes y determine el valor de Req y Leq para el cálculo de τ. 2. Sustituya el inductor por su equivalente en c.d., y calcule la corriente que circula a través de él en t < 0, el valor obtenido representa la condición inicial de carga en el inductor. 3. Sustituya de nuevo el inductor por su equivalente en c.d. y calcule la corriente a través de él en t > 0, el valor obtenido representa el valor de la respuesta forzada en el inductor. 4. Escriba la respuesta total como la suma de la respuesta forzada y la respuesta natural. 5. Determine el valor de A evaluando la ecuación en t = 0+.

28

EJERCICIOS. 2.7. Calcule IL para cualquier t > 0 en el circuito de la figura. t (Resp. IL = 0.2 + 0.5 e 9000 A)

IL

2.8. Obtenga VX(t) para todo t > 0 en el circuito de la figura. t (Resp. VX = 4.6152 (1+ e 260 V)

+ Vx -

2.9. Obtenga iL(t) para cualquier tiempo t > 0, en el circuito de la figura. – t (Resp. iL = 50 - 25 e 0.5 A)

iL

29

El circuito RC Para el caso de los circuitos RC, la respuesta completa en el capacitor se obtiene mediante la siguiente ecuación: VC (t) = VF + A e – t/τ donde: τ = Ceq*Req La metodología de análisis es análoga a la de los circuitos RL: 1. Elimine todas las fuentes independientes y determine el valor de Req y Ceq para el cálculo de τ. 2. Sustituya el capacitor por su equivalente en c.d., y calcule el voltaje que hay entre sus terminales en t < 0, el valor obtenido representa la condición inicial de carga en el capacitor. 3. Sustituya de nuevo el capacitor por su equivalente en c.d. y calcule el voltaje en sus terminales en t > 0, el valor obtenido representa el valor de la respuesta forzada en el capacitor. 4. Escriba la respuesta total como la suma de la respuesta forzada y la respuesta natural. 5. Determine el valor de A evaluando la ecuación en t = 0+.

EJERCICIOS. 2.10. Proporcione VC en el circuito de la figura en t = -2 μs y t = 2 μs. (Resp. VC (-2 μs) = 2 V, VC (2 μs) = - 3.056 V)

30

2.11. En el circuito de la figura si el interruptor ha estado abierto durante mucho tiempo y se cierra en t=0, determine VC(t) para: a) t < 0; b) t > 0. Suponga luego que el interruptor ha estado cerrado durante largo tiempo y que se abre en t = 0. Calcule VC(t) para: c) t < 0; d) t > 0. – t (Resp. a) VC = 240 V, b) VC = 80 + 160 e 100 k V, – t c) VC = 80 V, b) VC = 240 - 160 e 20 k V )

t =0

2.12. Para el circuito de la figura, determine IR en: a) t=0- , b) t=0+ , c) t=∞ , d) t=0.08 s. (Resp. a) IR (0- ) = -0.8 mA, b) IR (0+) = -0.4 mA, c) IR (∞) = -0.72 mA, d) IR (0.08 s) = -0.576 mA) IR

31

III.- ANÁLISIS TRANSITORIO EN CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN. 3.1. Respuesta natural en circuitos RLC. Un circuito de segundo orden es aquel que contiene dos elementos almacenadores de energía, este tipo de circuitos se describen por medio de una ecuación diferencial de segundo orden. La respuesta del circuito toma diferentes formas funcionales dependiendo de los valores de los elementos del circuito. Considerando un circuito RLC en paralelo, en el cual al menos uno de los elementos ha almacenado energía, la ecuación que describe al circuito esta dada por:

Al derivar la ecuación respecto al tiempo tenemos: Considerando la respuesta de voltaje en el capacitor como:

Resolviendo la ecuación resultante:

32

Se tiene como resultado:

PARA CIRCUITO PARALELO

PARA CIRCUITO SERIE

En función de los valores de los elementos que conforman al circuito existen tres tipos de respuesta: Si

la respuesta es sobreamortiguada y está dada por: X = A1 e

Si

+ A2 e S2

t

la respuesta es críticamente amortiguada y está dada por: X= e

Si

S1t

- αt

(A1 t + A2)

la respuesta es subamortiguada y está dada por: X=e

- αt

( A1 Cos ωd t + A2 Sen ωd t )

donde

3.1. Respuesta completa en circuitos RLC. La respuesta completa se refiere al comportamiento del circuito cuando además de la energía almacenada ya sea por el inductor y/o el capacitor, existe otra fuente de energía adicional, es decir, permanecen activas una o más fuentes independientes que recargan a dichos elementos pasivos. De igual manera que en

33

los circuitos de primer orden, la respuesta completa de los circuitos RLC de segundo orden se obtiene mediante la suma de la respuesta forzada y la respuesta natural. Se puede realizar el análisis de los circuitos RLC ya sea en serie o en paralelo mediante la siguiente metodología: 1. Sustituya el capacitor y el inductor por su equivalente en c.d., para el circuito en t0, elimine todas las fuentes independiente y determine si el circuito es serie o paralelo, obtenga los valores de α y ω0. 3. Compare los valores de α y ω0, determine el tipo de respuesta del circuito usando la ecuación que representa la respuesta del circuito. 4. En t>0, sustituya el capacitor y el inductor por su equivalente en c.d., determine el voltaje en el capacitor o la corriente en el inductor, según sea el caso, el valor obtenido representa el valor de la respuesta forzada. 5. Evalúe la ecuación que representa la respuesta completa del circuito en t=0+, haciendo uso de la condición inicial de carga. 6. Derive la ecuación que representa la respuesta completa del circuito y evalue en t=0+.

34

EJERCICIOS. 3.1. Después de estar abierto durante largo tiempo, el interruptor en el circuito de la figura se cierra en t = 0. Para t > 0, determine: a) Vc(t); b) Isw(t). – t (Resp. a) VC = e 5000 (200 Cos 10k t + 100 Sen 10k t) V, – t b) ISW = 10 – e 5000 (10 Cos 10k t – 7.5 Sen 10k t) mA).

t =0

ISW

3.2. El interruptor en el circuito de la figura ha estado abierto desde hace mucho tiempo y se cierra en t=0. Determine:a) Vc(0+), b) Ic(0+) y c) Vc(t) – t – t (Resp. a) VC (0+) = 50 V, b) IC (0+) = - 2 A, c) VC = – 25 e 2000 + 75 e 6000 V)

t =0

35

3.3. Determine IR(t) para t > 0 en el circuito de la figura. – t – t (Resp. a) IR = (10 – 15 e 500 + 5 e 1500 ) mA

IR

3.4. Para el circuito de la figura, t > 0, determine: a) IL(t); b) VC(t). – t – t (Resp. a) IL = 0.5 e 10 A, b) VC = 100 e 10 V)

IL

3.5. Determine Vc(t) para t > 0 en el circuito que se presenta en la figura, si el interruptor se cierra en t=0. – t (Resp. VC = e 1000 (8 Cos 5000 t + 1.6 Sen 5000 t) V)

t =0

36

3.6. Encuentre VR(t) para t > 0 en el circuito de la figura. – t (Resp. VR = 10 e Sen 2t V)

+ VR _

3.7. El interruptor del circuito de la figura ha estado cerrado durante mucho tiempo y abre en t = 0. Calcule VC(t) para t > 0. – t (Resp. VC = 12 – e (t+2) V)

t =0

37

3.8. Para el circuito de la figura, calcule la tensión VS en: a) t = 0b) t = 0+ c) t = ∞ d) t = 3.4 ms (Resp. a) VS (0-) = 30 V, b) VS (0+) = 51 V, c) VS (∞) = 44 V, d) VS (3.4 ms) = 51.35 V )

+ Vs -

38

IV.- ANÁLISIS DE REDES DE C.A. EN ESTADO ESTABLE. 4.1 Características de la onda senoidal. En el análisis de circuitos eléctricos una señal senoidal, que representa la tensión o corriente se puede expresar matemáticamente como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación:

donde: A0

es la amplitud de la señal (también llamado valor máximo o de pico),

ω

la pulsación en radianes/segundo,

t

el tiempo en segundos, y

β

el ángulo de fase inicial en radianes.

Cuando dos ondas senoidales se van a comparar es necesario que: 9 Las dos ondas se representen como señales senoidales o cosenoidales. 9 Deben expresarse con amplitudes positivas. 9 Debe tener cada una la misma frecuencia.

39

4.2. El fasor. Todas las señales cosenoidales pueden representarse mediante un fasor. Un fasor es un segmento de línea recta que gira alrededor del origen es sentido contrario a las manecillas del reloj, a una velocidad angular constante de ω rad/s. La longitud del segmento representa la amplitud máxima de la señal A0=Vm, mientras que β=θ representa el ángulo de desplazamiento en grados desde la línea de referencia de cero grados.

El análisis fasorial es posible gracias a la ecuación de Euler:

El fasor es una herramienta matemática que permite transformar un conjunto de ecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas, facilitando de esta manera el análisis de las ecuaciones que modelan a los circuitos eléctricos. El fasor se puede definir como una cantidad compleja que contiene información sobre la amplitud y la fase de una señal eléctrica (corriente o voltaje), por ejemplo: donde Im representa a la amplitud y φ es el ángulo de fase. Es importante hacer notar que el fasor es una representación en el dominio de la frecuencia, para transformar una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia se deben seguir los siguientes pasos:

40

1. Expresar la señal en el dominio del tiempo como una función coseno, es decir si la señal está expresada en seno, utilice la siguiente identidad trigonométrica: sen ωt = cos (ωt – 90°). 2. Identifique la amplitud y el ángulo de fase. 3. Exprese la señal en forma polar. EJERCICIOS. 4.1 Transforme las siguientes funciones del tiempo a su equivalente fasorial: a) – 5 Sen (580 t – 110°) b) 3 Cos (600 t ) – 5 Sen (600 t + 110°) c) 8 Cos (4 t + 30°) + 4 Sen (4 t – 100°) 4.2. Exprese los siguientes fasores a funciones del tiempo: a) 5 |30° V b) 2 | 115° A c) 13 | - 83° + 25 | 15° d) 24 | 12° - 26 | 43° 12 |- 27°

4.3. Relaciones Fasoriales. Las relaciones fasoriales entre el voltaje y la corriente definen lo que se concoce como “impedancia”, de tal forma que los elementos pasivos se pueden expresar en función de su impedancia cuando se trabaja en el dominio de la frecuencia, lo que facilita el análisis de circuitos.

41

El inductor: La relación voltaje-corriente del inductor en el dominio del tiempo esta dada por la ecuación:

Si se sustituyen los valores complejos del voltaje y la corriente la ecuación resultante esta dada por:

Derivando y simplificando la ecuación, tenemos:

Expresando la ecuación anterior en forma fasorial:

V = jω L I De tal forma que la impedancia del inductor es:

ZL = V/ I = jω L El capacitor: En forma análoga, la relación voltaje-corriente del capacitor en el dominio del tiempo esta dada por la ecuación:

Sustituyendo los valores complejos del voltaje y la corriente, derivando y simplificando, la ecuación resultante se reduce a:

42

Expresando la ecuación anterior en forma fasorial:

I = jω C V De tal forma que la impedancia del capacitor es:

ZC = V/ I = 1/ jω C EJERCICIOS. 4.3. De acuerdo al circuito de la figura, emplee el análisis fasorial y el nodal para determinar Vx(t).

+ VX -

4.4. Repita el problema anterior empleando el Teorema de Superposición.

43

4.5. Determine Vx(t) para el circuito de la figura utilizando el análisis fasorial.

+ Vx

-

4.6. Use el análisis de mallas para determinar Ix(t) en el circuito de la figura.

0.5 Ix

Ix

4.7. Utilice el análisis fasorial para obtener las tres corrientes de malla del circuito de la figura.

Ia

43

4.8. De acuerdo al circuito de la figura utilice la superposición para determinar Vx(t).

+ Vx

4.9. Determine la corriente Ix(t) que fluye por la fuente de tensión en el circuito de la figura, aplicando el Teorema de Superposición.

Ix

4.10. Determine el equivalente de Thévenin de la red que se muestra en la figura.

a +

Vx 0.02 Vx

b

44

4.11. Determine el equivalente de Norton de la red que se presenta en la figura.

+ VL -

a

0.25 VL

b

4.12. Obtenga el circuito equivalente de Thévenin para la figura.

a

b

45