Manual de Pr´ acticas de Fisica 1 de Ingenier´ıa de la Salud

´ E.T.S. DE INGENIER´IA INFORMATICA Departamento de F´ısica Aplicada 1 Universidad de Sevilla

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Sara Cruz Barrios; [email protected]

1

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´INDICE

0

´Indice 1. Pr´ actica 1: Tratamiento de Errores 1.1. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . 1.2. Clasificaci´on de los errores . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Estimaci´on de errores en las medidas . . . . . . . . 1.3.1. Medida directa de una magnitud f´ısica . . . 1.3.2. Medida indirecta de una magnitud f´ısica.- . 1.4. Presentaci´on de resultados num´ericos . . . . . . . . 1.5. Recta de m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Ajuste de recta por m´ınimos cuadrados . . . 1.6. Realizaci´on de gr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Memoria de las pr´acticas . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. RESUMEN: Estimaci´on de errores en las medidas . 1.9. Ejercicios sobre Tratamiento de Errores y Medidas .

. . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 3 7 11 14 15 17 18 19 20

2. Pr´ actica 2: Ley de Hooke 2.1. Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Asociaci´on de resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Oscilaciones Arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 26 31

3. Pr´ actica 3: Conservaci´ on de la Energ´ıa Mec´ anica 3.1. Conservaci´on de la Energ´ıa Mec´anica. Momento de Inercia . . . . . . .

37 37

4. Pr´ actica 4: P´ endulo Matem´ atico 4.1. Dependencia del periodo del p´endulo con el ´angulo de oscilaci´on . . . . 4.2. Dependencia del periodo del p´endulo con la masa . . . . . . . . . . . . 4.3. Dependencia del periodo del p´endulo con el a´ngulo de oscilaci´on . . . .

45 45 49 50

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5. Pr´ actica 5: Principio de Arqu´ımedes 53 5.1. Determinaci´on de la densidad un s´olido mediante el principio se Arqu´ımedes 53 5.2. Determinaci´on de la densidad de varios s´olidos . . . . . . . . . . . . . . 58 6. Pr´ actica 6: Estudio del Principio de Bernoulli 6.1. Verificaci´on del Principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 62

7. Agradecimientos

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´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

1.

1

Pr´ actica 1: Tratamiento de Errores

Las medidas de las diferentes magnitudes f´ısicas que intervienen en una experiencia dada, ya se hayan obtenido de forma directa o a trav´es de su relaci´on mediante una f´ormula con otras magnitudes medidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido a la precisi´on limitada que todo instrumento de medida tiene, as´ı como otros factores de distinta naturaleza que m´as adelante consideraremos, debe aceptarse el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de ninguna magnitud. Por tanto, cualquier resultado num´erico obtenido experimentalmente debe presentarse siempre acompa˜ nado de un n´ umero que indique cu´anto puede alejarse ese resultado del valor exacto.

1.1.

Error absoluto y error relativo

En general, se define como error absoluto de una medida a la diferencia existente entre el valor exacto de la magnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien, como no podemos saber el valor exacto, tampoco podemos conocer el error absoluto as´ı definido. El objetivo de la teor´ıa de errores es la estimaci´on de la incertidumbre asociada a un resultado dado. A esta incetidumbre se le denomina tambi´en error absoluto, y es esta segunda definici´on la que nosotros utilizaremos. El resultado experimental para una magnitud m lo expresaremos como sigue: m(±∆m)

(1.1)

siendo ∆m el error absoluto. El doble signo ± se debe a que el error puede producirse por exceso o por defecto. No obstante, el error absoluto de una medida no nos informa por si solo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm, al medir la longitud de una carrera que al medir la longitud de un folio. Por ello, se define como error relativo al cociente: ∆m m

(1.2)

que a veces se multiplica por cien, cualificando la incertidumbre en porcentaje de la medida realizada.

1.2.

Clasificaci´ on de los errores

Fundamentalmente, los errores se clasifican en dos grandes grupos: errores sistem´aticos y errores casuales. 1.- Errores sistem´ aticos. Son errores que se repiten constantemente en el transcurso de un experimento, y que afectan a los resultados finales siempre en el mismo sentido. Se puede distinguir varias fuentes de errores sistem´aticos:

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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1.1- Errores de calibraci´ on (o errores de cero) de los aparatos de medida. Es el caso, por ejemplo, del error que se comete cuando la aguja de un aparato anal´ogico de medida (amper´ımetro, balanza,...) no marca cero en la posici´on de reposo. Este tipo de errores tambi´en pueden aparecer en los aparatos electr´onicos digitales como consecuencia de una mala calibraci´on interna. 1.2- Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se utilizan los instrumentos de medida bajo condiciones de trabajo (presi´on, temperatura, humedad, frecuencia de la red, etc. ) diferente de las recomendadas. 1.3- F´ ormulas o modelos aproximados. Este tipo de error aparece al pretender obtener demasiadas cifras significativas en los resultados extra´ıdos de un modelo o de una f´ormula aproximada. Por ejemplo, si se quiere medir la aceleraci´on de la gravedad con m´as de tres cifras significativas no se puede usar la expresi´on g = 4π 2 L/T 2 (p´endulo simple) porque ´esta es una aproximaci´on que supone una serie de condiciones ideales a saber: 1) La cuerda no tiene masa (en la pr´actica s´ı la tiene, entrando en juego el momento de inercia del hilo y cambiando la longitud efectiva del p´endulo. 2) El extremo de suspensi´on del hilo es puntiforme (en realidad el p´endulo oscila alrededor de un eje de grosor finito) 3) El roce con el aire es nulo (nunca puede reducirse a cero el rozamiento con el aire, y esto ocasiona que las oscilaciones vaya decreciendo en amplitud y que el periodo de oscilaci´on no sea constante). 4) Las oscilaciones tienen lugar sobre un plano fijo (por mucho cuidado que se ponga, existen siempre peque˜ nas oscilaciones laterales y rotaciones adicionales de la masa en suspensi´on. 5) La amplitud de oscilaci´on debe ser peque˜ na (la f´ormula anterior es tanto mejor cuanto mas pr´oxima a cero sea la amplitud de oscilaci´on). Por definici´on, una medida es tanto m´as exacta cuanto menores son los errores sistem´aticos. 2.- Errores casuales o aleatorios. Como el propio nombre indica, no existe una causa predeterminada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y alteran, tanto en un sentido como en otro (por exceso y por defecto), la medida realizada. Este tipo de errores se someten a estudios estad´ısticos. Existen varias fuentes de errores casuales: 2.1- Cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno Esto provoca errores cuya evaluaci´on es s´olo posible a partir de un estudio estad´ıstico hecho con medidas repetitivas.

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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2.2- Falta de definici´ on en la cantidad a medir, lo que provoca valores diferentes en las distintas medidas realizadas. Por ejemplo, el di´ametro de una esfera met´alica real no es una cantidad definida exactamente porque la esfera no es perfecta; si uno mide el valor de varios di´ametros encontrar´a valores num´ericos diferentes. 2.3- Errores de precisi´ on, debidos a que el aparato de medida tiene una sensibilidad dada. Se define la sensibilidad como la unidad m´as peque˜ na que puede detectar un aparato de medida. 2.4- Errores de apreciaci´ on, debidos a posibles defectos (visuales auditivos, etc.) del observador, o tambi´en a la estimaci´on a ojo que se hace de una cierta fracci´on de la m´as peque˜ na divisi´on de la escala de lectura de los aparatos de medida. Por definici´on, una medida es tanto m´as precisa cuanto m´as peque˜ nos son los errores casuales.

1.3.

Estimaci´ on de errores en las medidas

La teor´ıa de los errores casuales proporciona un m´etodo matem´atico para calcular, con buena aproximaci´on, cu´anto puede alejarse del valor verdadero, el valor medio experimentalmente para una magnitud f´ısica dada. Debido al car´acter aleatorio de los errores casuales, distribuy´endose ´estos al azar por exceso o por defecto, se puede estudiar su influecian mediante t´ecnicas estad´ısticas. No ocurre as´ı con los errores sistem´aticos, los cuales afectan en un sentido dado al resultado, sin tener, por tanto, car´acter aleatorio. Las normas para estimar errores absolutos que a continuaci´on expondremos s´olo sirven para errores casuales, y presuponen que los errores sistem´aticos han sido cuidadosamente evitados. Hablaremos de una medida muy precisa cuando, una vez eliminados gran parte de los errores sistem´aticos, consigamos errores casuales muy peque˜ nos, y esto permitir´a escribir el resultado final con bastantes cifras significativas. El objetivo de este apartado es establecer lo que nosotros vamos a definir como resultado experimental m de una medida y como error absoluto ∆m de la misma. Distinguiremos dos situaciones: medida directa y medida indirecta. 1.3.1.

Medida directa de una magnitud f´ısica

El procedimiento no ser´a el mismo si se hace una sola medida de la magnitud f´ısica que si se hacen varias. 1. Una sola medida: En principio, cualquier medida experimental debe ser repetida varias veces. Cuando se observe que el resultado obtenido es siempre id´enticamente el mismo, y solo en ese caso, estar´a justificado el quedarse con una sola

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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medida. Dicha medida m1 ser´a el valor esperimental obtenido para m. Como error absoluto, ∆ m, se adoptar´a la sensibilidad del aparato de medida S. Sensibilidad S: es la unidad m´as peque˜ na que el aparato puede apreciar en la escala utilizada. En cuanto al resultado medido m1 hay que decir que en el caso de aparatos anal´ogicos (con agujas, diales, niveles de mercurio, etc.) existe la posibilidad de que la aguja (o cualquier otro mecanismo de medida) quede en el espacio intermedio entre dos marcas de la escala de medida. En este caso, puede adoptarse como valor de la medida el de la marca m´as cercana a la posici´on de la aguja y nuestro resultado ser´a: m1 ± S

(1.3)

Ejemplo 1.-: Supongamos un cron´ometro digital que mide hasta mil´esimas de segundos (sensibilidad S = 1ms) y queremos estimar el per´ıodo de oscilaci´on de un p´endulo en 882 milisegundos; entonces m1 = 882ms. y el error absoluto 1ms, el resultado se dar´a como 882(±1)ms. Si tenemos un amper´ımetro anal´ogico (medidor de intensidad de corriente) con una escala de lectura que se aprecia hasta d´ecimas de Amperios (sensibilidad S = 0, 1A), y al hacer una medida la aguja queda en una posici´on que es la mitad entre 0, 6 y 0, 7 la intensiad de corriente medida experimentalmente ser´a 0, 6(±0, 1)A o bien 0, 7(±0, 1)A. Ambos resultados son correctos. 2. Varias medidas: Analicemos ahora la situaci´on m´as habitual que corresponde al caso en que se realizan varias medidas de una magnitud f´ısica. La caracterizaci´on de los errores casuales se hace en este caso mediante la ayuda de la estad´ıstica. La filosof´ıa del m´etodo parte del hecho de que el valor exacto de la magnitud es inaccesible, y el proceso de medida es un proceso aleatorio que viene gobernado por una distribuci´on de probabilidad normal o gaussiana cuya representaci´on gr´afica Figura (1) es:

0.4

0.3

0.2

0.1

-6

-4

-2

2

4

Figura 1: Campana de Gauss

6

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

5

  (x − µ)2 1 (1.4) P (x) = √ exp 2σ 2 σ 2π Obs´ervese que x = µ es el valor m´as probable al realizar una medida ya que para ese valor la distribuci´on de probabilidad presenta un m´aximo. El par´ametro σ nos da una medida de la anchura de la campana. La probabilidad de que al realizar una medida obtengamos un valor comprendido en un intervalo cualquiera viene dada por el ´area que hay bajo la curva gaussiana en ese intervalo. As´ı por ejemplo, la probabilidad de que el valor de una medida caiga dentro del intervalo µ ± σ es el 68, 30 %, dentro del intervalo µ ± 2σ es del 95, 45 %, y dentro del intervalo µ ± 3σ es del 99, 73 %. El ´area total bajo la campana es l´ogicamente 1, ya que la probabilidad de encontrar el valor de una medida entre −∞ y +∞ es del 100 %. La justificaci´on del estudio estad´ıstico radica en la suposici´on de que el valor m´as probable µ del proceso aleatorio coincide precisamente con el valor verdadero de la magnitud f´ısica, y por ello nuestro objetivo ser´a determinar con la mayor precisi´on posible el valor de µ, y asimismo dar una expresi´on para el margen de error en nuestra estimaci´on de µ. Obs´ervese que si los errores sistem´aticos (de car´acter no aleatorio) no hubiesen sido previamente eliminados, no coincidir´ıan µ y el valor verdadero de la magnitud f´ısica. Para determinar con exactitud µ habr´ıa que hacer infinitas medidas. Sin embargo, en el laboratorio realizaremos un n´ umero finito n de medidas que nos dar´an los valores m1 , m2 , m3 , ....., mn . Sobre ese conjunto finito de medidas, la Estad´ıstica nos permite definir y calcular una serie de estad´ısticos (ciertas cantidades de inter´es estad´ıstico) a saber, Valor medio o media aritm´ etica de los n valores mi

(i = 1, ....., n):

n

m ¯ =

1X mi n i=1

(1.5)

Desviaci´ on de la medida mi respecto de la medida: hi = mi − m. ¯

(1.6)

Tambi´en se puede hacer una extensi´on del concepto a desviaci´on respecto de un par´ametro a cualquiera: hi,a = mi − a (1.7) Una propiedad interesante que tiene el valor medio que lo hace ser muy representativo de un conjunto de medias es precisamente el ser el par´ametro respecto al cual es m´ınima la suma de los cuadrados de las desviaciones, es decir, matem´aticamente:    2 Pn  Pn d ( i=1 (hi,a )2 ) d ( i=1 (hi,a )2 )) =0 ; >0 (1.8) da da2 a=m ¯ a=m ¯

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES Error cuadr´ atico medio o desviaci´ on t´ıpica de las n medidas: sP n 2 i=1 hi s= n−1

6

(1.9)

El valor de s nos da una idea de la dispersi´on de las medids mi respecto de la medida m. ¯ Error cuadr´ atico de la medida o desviaci´ on est´ andar de las n medidas: sP n 2 s i=1 hi (1.10) sm¯ = √ = n(n − 1) n El valor de sm¯ es muy importante porque nos informa de c´omo de parecido es el valor medio m ¯ de nuestras n medidas al valor probable µ del proceso aleatorio global (recu´erdese nuestra hip´otesis de partida de que µ es a todos los efectos el valor verdadero de la magnitud f´ısica). De hecho, puede demostrarse que la probabilidad de que m ¯ est´e dentro del intervalo µ±3sm¯ es de 99, 73 % (distribuci´on gaussiana de los valores medios). Como conclusi´on podemos decir que m ¯ nos da una estimaci´on de µ, y que cuanto menor sea la desviaci´on est´andar sm¯ tanto m´as se parece realmente m ¯ a µ. Evidentemente, la desviaci´on est´andar decrece a medida que el n´ umero n de medida es mayor. Hay que se˜ nalar que muchas de las consideraciones estad´ısticas que se han hecho s´olo son estrictamente ciertas cuando n es grande (por ejemplo, n > 30). No obstante, nosotros nos conformamos con un n´ umero inferior de medidas, por ejemplo 10. Como consecuencia de todo esto, nuestra forma de proceder ser´a la siguiente: se realizar´a un cierto n´ umero de medidas (por ejemplo 10) de una magnitud f´ısica, se calcular´a el valor medio y la desviaci´on est´andar de todas ellas mediante las ecuaciones (1.5) y (1.10),se considerar´a como valor experimental m el valor medio y como errorr absoluto el triple de la desviaci´on est´andar. Es decir: m(±3s ¯ m ¯)

(1.11)

Ejemplo 2.-: Supongamos que se desea medir con un cron´ometro digital el per´ıodo de un p´endulo. La precisi´on del aparato es de milisegundos. Se realizan 10 medidas, y se obtienen los siguientes resultados: 902ms, 850ms, 915ms, 930ms, 888ms, 875ms, 889ms, 902ms, 902ms, 890ms. A continuaci´on se procede a calcular el valor medio mediante (1.5), obteniendose 894, 3ms. La desviaci´on est´andar la calcularemos a partir de la ecuaci´on (1.10), obteniendose un valor de 6, 9ms. Por lo tanto el valor experimental ser´a el obtenido a trav´es de la ecuaci´on (1.5) y como error absoluto tomaremos el triple de la desviaci´on est´andar: 894(±21)ms. En algunas ocasiones puede ocurrir que una medida suelta est´e especialmente alejada de todas las dem´as, en este caso puede descartarse dicha medida y sustituirse

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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por una nueva, ya que lo m´as probable es que se haya tomado mal esa lectura concreta. Estas medidas incorrectas dan lugar a los denominados puntos experimentales err´oneos, los cuales deben ser indicados en las representaciones gr´aficas. Como norma, si la desviaci´on de una medida dudosa, hi = mi − m, ¯ es mayor o igual que cuatro veces la desviaci´on promedio, se puede rechazar la medida dudosa. Cuando se observa una fuerte dispersi´on en las medidas tomadas para una magnitud dada, se puede aumentar el n´ umero de medidas para as´ı reducir la desviaci´on est´andar. 1.3.2.

Medida indirecta de una magnitud f´ısica.-

Cuando se utiliza una expresi´on matem´atica (ley f´ısica) para calcular el valor de una magnitud f´ısica a partir de otras magnitudes que se han medido directamente y de constantes f´ısicas, decimos que estamos haciendo una medida indirecta. Es de suma importancia para este caso saber como se propagan los errores de la magnitudes medidas directamente hacia la que se est´a obteniendo indirectamente. Dicho de otra forma, devemos ser capaces de dar una expresi´on para el error absoluto de la magnitud medida indirectamente en funci´on de los errores absolutos de las magnitudes medidas directamente. El tratamiento riguroso de la teor´ıa de propagaci´on de errores se fundamenta en el c´ alculo diferencial. En algunas ocasiones, una magnitud f´ısica es medida indirectamente a partir de otra u ´nica magnitud (funci´on de una sola variable), pero, en general es medida a partir de varias magnitudes cada una de las cuales viene afectada por un margen de error (funci´on de varias variables). 1.- Funci´ on de una sola variable: La primera situaci´on que nos podemos encontrar es el caso de una magnitud y que va a ser medida directamente mediante una f´ormula a partir de otra u ´nica magnitud x que ha sido medida directamente y que tiene un error absoluto ∆x: y = f (x)

(1.12)

Como valor experimental de y adoptaremos el que resulta de evaluar (1.12) para el valor experimental de x. Por otra parte, el c´alculo diferencial nos asegura que siempre que el error no sea demasiado grande y podamos aproximar ∆x ∼ dx, podemos obtener de forma aproximada el error absoluto de y como sigue: df (x) ∆x (1.13) ∆y = dx

donde se supone que ∆y ∼ dy y estando la derivada que aparece evaluada en el valor experimental de x. Hay que descartar que (1.13) es v´alida tanto si el valor experimental de x y su error absoluto ∆x fueron calculados por procedimientos

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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estad´ısticos (1.11), como si fueron calculados por procedimientos no estad´ısticos (1.3). En consecuencia, el resultado para y con su error vendr´a dado por:   df (x) y(±∆y) = f (x) = ∆x . (1.14) dx

Como caso particular de inter´es, el estudio anterior conduce a que el error relativo en una magnitud indirecta es el mismo que el de la magnitud medida directamente en el caso en que ambas magnitudes sean directa o inversamente proporcionales. As´ı si y = ax ´o y = a/x, siendo a una constante (sin error), partiendo de (1.13), tras realizar la correspondiente derivada y dividiendo ambos miembros por y, se tiene: ∆y ∆x a = (1.15) Si y = ax ´o y= ⇒ x y x 2.- Funci´ on de varias variables: Consideremos ahora el caso en que la magnitud F´ısica y que queremos medir (medida indirecta) depende de varias magnitudes con sus respectivos errores, por ejemplo: y = f (x, y, z) (1.16) De nuevo, se toma como valor experimental de y el que resulta de evaluar (1.16) para los valores experimentales de x, y y z. En cuanto al error absoluto de y, hay que distinguir ahora entre la posiblidad de que todas las magnitudes medidas directamente lo hayan sido mediante procedimientos estad´ısticos y la posibilidad de que una o varias de ellas hayan sido medidas mediante procedimientos no estad´ısticos. 2.1- Todas las variables son obtenidas por procedimientos estad´ısticos En el supuesto de que todas las variables hayan sido medidas mediante procedimientos estad´ısticos, (1.11) o rectas de m´ınimos cuadrados, se puede demostrar que la desviaci´on est´andar asociada a y viene dada en funci´on de las desviaciones est´andar de sus variables por: s   2  2 2 ∂f ∂f ∂f 2 2 sy¯ = sx¯ + sz¯ + s2t¯ (1.17) ∂x ∂z ∂t donde ∂f /∂x es la derivada parcial de la funci´on f con respecto a x, y as´ı sucesivamente. Todas las derivadas se eval´ uan en los valores experimentales de x, z y t. Por tanto en esta situaci´on particular escribiremos como resultado: f (x, z, t)(±3sy¯) (1.18)

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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2.2- Alguna (o todas) las variables proceden de una sola medida. Es estos casos usaremos como error absoluto en las variables que proceden de una sola medida el relacionado con la sensibilidad S del aparato utilizado, de acuerdo con (1.3), y como error absoluto para las variables estad´ısticas el triple de su desviaci´on est´andar, de acuerdo con (1.11), y como error absoluto para las variables estad´ısticas el triple de su desviaci´on est´andar, de acuerdo con (1.11). Una vez asignados los errores absolsutos, nuevamente el c´alculo diferencial (de funciones de varias variables en este caso) nos permite obtener una aproximaci´on para el error absoluto ∆y en funci´on de los errores absolutos de las variables directas: ∂f ∂f ∂f (1.19) ∆y = ∆x + ∆z + ∆t ∂x ∂z ∂t y como resultado escribiremos:

f (x, z, t)(±∆y)

(1.20)

En el supueto que aparezcan constantes f´ısicas en la expresi´on matem´atica, se eligir´an estas con un n´ umero suficientes de decimales para que su precisi´on de tal que podamos suponer que su error absoluto sea cero. Como ejemplo de especial inter´es, el estudio anterior conduce a que el error relativo en una magnitud indirecta y obtenida como cociente o producto de dos magnitudes de medida directa (no estad´ıstica), x y z, tiene como error relativo la suma de los errores relativo de las dos variables directas. As´ı si y = axz o y = ax/z, donde a es una constante sin error, tras realizar las derivadas parciales y dividiendo ambos miembros por y en (1.19) se tiene ∆y ∆x ∆z = + . y x z

(1.21)

Expresi´on v´alida tanto para y = axz como para y = ax . Finalmente como z caso m´as trivial pero de inter´es, cuando la magnitud indirecta se obtiene como suma de las magnitudes directas, y = x + z + t, la ecuaci´on (1.19) nos indica que el error absoluto ser´a la suma de los errores absolutos, ∆y = ∆x + ∆z + ∆t. En definitiva, para medidas indirectas de una magnitud se tomar´a como valor experimental de la misma el que resulte de evaluar la expresi´on matem´atica para los valores experimentales previamente obtenidos de cada una de sus variables, y como error absoluto el que corresponda seg´ un los casos (1.13), (1.17) o (1.19).

Ejemplo 3.-: Supongamos que se ha medido una magnitud f´ısica x obteni´endose un valor experimental de 0, 442(±0, 003) y que tenemos inter´es en medir indirectamente otra

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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magnitd f´ısica que es precisamente y = x2 con su error correspondiente. a.-) El valor experimental de y es y = (0.442)2 = 0.195. b.-) El error absoluto de y ser´a: ∆y = |2x|∆x (1.13); ∆y = 2 × 0.442 × 0.003 = 0.003. Por lo tanto el valor experimental de y, es: y = 0.195(±0.003) (en las unidades correspondientes) Ejemplo 4.-: Supongamos que se ha medido de forma directa la tensi´on y la intensidad en una resistencia obteni´endose: V = 10.0(±0.1)V e I = 2.50(±0.05)A. Determinar el valor de la resistencia R = V /I (ley de Ohm) con su error correspondiente. 10.0 = 4.00Ω 2.5 ∆R ∆V ∆I = + = R V I 0.1 0.05 + = 0.03 10 2.5 ∆R = 0.03 × 4.00 = 0.12Ω R=

(1.22)

por tanto: R = 4.00(±0.12)Ω

(1.23)

Ejemplo 5.-: Se han medido mediante procedimientos estad´ısticos la longitud L de un p´endulo obteni´endose 1.453(±0.001)m y para el periodo T del mismo 2.42(±0.01)s, y se desea calcular la aceleraci´on de la gravedad g con su error correspondiente a partir de la expresi´on aproximada: 4π 2 L (1.24) g= T2 a.- Caculamos el valor de g 4 × (3.1416)2 × 1.453 g= (2.42)2 g = 9.79ms−2

(1.25)

b.- Calculamos el error absoluto de g. Como L y T , fueron obtenidos por m´etodos estad´ısticos: s   2 2 ∂g ∂g 2 sg¯ = sL¯ + s2T¯ (1.26) ∂L ∂T 4π 2 ∂g = 2 ∂L T c.- Como ∆m = 3sm¯ , tenemos: sL¯ = sL¯ =

;

∆L 3

0.001 = 0.0003m 3

∂g 4π 2 L = −2 3 ∂T T

sT¯ =

∆T 3

sT¯ =

0.01 = 0.003s 3

(1.27)

(1.28) (1.29)

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

11

d.- Por lo tanto: sg¯ =

s

4 × π2 (2.42)2

sg¯ = 0.024ms−2

2

(0.0003)2 + (

4 × π 2 × 1.453 2 ) (0.003)2 (2.42)3 (1.30)

e.- Como ∆g = 3sg¯, el resultado final de la medida indirecta de g con su error correspondiente es: g = 9.79(±0.07)ms−2 (1.31)

Ejemplo 6.-: Supongamos que nuevamente deseamos obtener el valor de la gravedad de acuerdo con (1.24), habiendo side en este caso L y o T obtenidas mediante una sola medida. En este caso, tras asignar los errores absolutos, seg´un corresponda (o bien a partir de la sensibilidad S o de la desviaci´on est´andar, dependiendo de c´omo se obtuvo la medida), aplicando (1.19) se obtiene: ∂g ∂g ∆g = ∆L + ∆T ∂L ∂T 2 4π 2 L 4π (1.32) = 2 ∆L + 2 3 ∆T T T Sustituyendo los valores de L, T , ∆L, ∆T del ejemplo anterior, se obtiene ∆g = 0.009ms−2 . Por lo tanto, el resultado de la medida indirecta de g, en este caso es: g = 9.79(±0.09)ms−2 .

1.4.

Presentaci´ on de resultados num´ ericos

Cualquier valor experimental m de una magnitud f´ısica debe expresarse con determinado n´ umero de cifras significativas que viene limitado por el valor del error absoluto. Se define cifras significativas N s al n´ umero de cifras que hay desde la primera cifra distinta de cero empezando por la izquierda hasta la primera cifra que venga afectada por el error absoluto, ambas inclusive. Es evidente que no tiene sentido escribir cifras no significativas de un resultado f´ısico. Adem´as, el convenio de s´olo escribir las cifras significativas de un resultado nos hace tener informaci´on inmediata sobre su error absoluto por el mero hecho de verlo escrito. Ejemplo 7.-: Si nos dicen que la longitud de un cuerpo es de 14.7m sabemos que se ha medido con una precisi´on de dec´ımetros y que por ello nos dan 3 cifras significativas. Si la precisi´on de la medida hubiese sido de cent´ımetros, entoces nos habr´ıan dicho 14.70m (4 cifras significativas). El expresar un resultado en una u otra cantidad no cambia su n´ umero de cifras significativas. Por ello, los ceros a la izquierda de un n´ umero no son cifras significativas y

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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s´olo se utilizan para situar el lugar decimal. Los ceros a la izquierda pueden evitarse usando notaci´on cient´ıfica (potencias de 10). Ejemplo 8.-: Decir que una masa es de 2.342g o decir que es de 0.002342kg, no cambia el n´umero de cifras significativas. En ambos casos es N s = 4. En notaci´on cient´ıfica ser´ıa: 2.342 × 10−3 . Los ceros al final de una medida pueden ser o no cifras significativas. Ejemplo 9.-: Si nos dicen que en Espa˜na hay 40000000 de personas puede que los haya exactamente, en cuyo caso el cuatro y todos los ceros son cifras significativas, o puede que se haya redondeado a un n´umero entero de millones, en cuyo caso s´olo el cuatro y el primer cero son cifras significativas. Para esta u´ltima situaci´on, lo m´as aconsejable para evitar ambig¨uedades, ser´ıa entonces haber escrito 40 × 106 o cuarenta millones. Cuando se hace una medida tanto directa como indirectamente puede que se obtenga el resultado con m´as cifras de las significativas. De acuerdo a lo expuesto anteriormente ser´a el error absoluto de la medida el que nos determine las cifras significativas con que debemos presentar el resultado. As´ı, tras obtener el error absoluto, ser´a necesario llevar a cabo un redondeo en el valor de la medida para conservar s´olo cifras significativas. La t´ecnica de redondeo consiste en: Una vez conocido el n´ umero de cifras significativas con las que debemos presentar nuestro resultado, si la cifra siguiente a ella es cinco o mayor que cinco, entonces debemos aumentarla en una unidad, pero si es menor que cinco no se modifica la u ´ltima cifra conservada. El redondeo, tambi´en debe aplicarse al error absoluto, para ello debemos recordar el concepto de incertidumbre en el resultado que se asocia al error absoluto, por lo tanto ´este mismo no debe expresarse nunca con m´as de dos cifras significativas. Por convenio, el error absoluto se expresar´a con dos cifras si la primera de ella es 1, o si siendo un 2, no llega a 5 la segunda. En los dem´as casos, el error absoluto deber´a expresarse con una sola cifra significativa obtenida mediante redondeo. Ejemplo 10.-: Veamos algunos casos de resultados expresados correcta e incorrectamente: INCORRECTO 5, 619(±0.126) 8.4(±0.06) 345.233(±0.18) 2.023(±0.0261)

CORRECTO 5.62(±0, 13) 8.40(±0.06) 345.23(±0.18) 2.02(±0.03)

Aunque la determinaci´on precisa del error y por tanto, del n´ umero de cifras significativas en una magnitud calculada a partir de otras magnitudes debe llevarse a cabo

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

13

mediante la t´ecnica de propagaci´on de errores, podemos no obtante estimar el n´ umero de cifras significativas en algunos casos sin necesidad de obtener previamente el error. As´ı en c´alculos que implican multipicaci´ on, divisi´ on extracci´ on de ra´ıces de n´ umeros, el resultado final no puede tener m´as cifras significativas que los datos con menor n´ umero de ellas. En c´alculos de sumas y restas de n´ umeros, el resultado final no tiene m´as cifras significativas despu´es de la coma decimal que la de los datos con menor n´ umero de ellas despu´es de la coma decimal. En el caso de restas entre n´ umeros muy parecidos suele ocurrir que el resultado tiene muchas menos cifras significativas que cada uno de ellos. Ejemplo 11.-: Tras medir los tres lados de un paralelep´ıpedo se han obtenido los siguientes resultados: a = 12.3(±0.1)cm, b = 8.5(±0.1)cm y c = 0.3(±0.1)cm. Con estos datos deseamos estimar el n´umero de cifras significativas para su volumen obtenido como V = abc. De acuerdo con lo expuesto, el resultado final del volumen tendr´a s´olo una cifra significativa, (c posee una sola cifra significativa). Por lo tanto: V = 12.3 × 8.5 × 0.3 = 31.365cm3 . Tras el redondeo V = 0.00003m3 o V = 3 × 10−5 . (Si calculamos el posible valor m´aximo y m´ınimo de V obtenemos: Vmin = 12.2×8.4×0.2 = 20.496cm3 y Vmax = 12.4×8.5×0.3 = 42.656cm3 . Verificamos que la primera cifra del volumen es distinta en cada caso, por lo tanto est´a afectada de error (es incierta), y por lo tanto el resultado deber´a redondearse a una sola cifra) Cuando aparezcan constantes en las expresiones a evaluar, tomaremos dichas constantes con un n´ umero mayor o ,al menos, igual de cifras significativas que el que corresponda a la media con m´as cifras significativas. De esta forma evitamos que las constantes introduzcan errores adicionales (podemos entoces considerarlas como exactas). Ejemplo 12.-:Se quiere calcular el volumen de un cilindro recto de radio r y altura h siendo r = 4.5(±0.1)cm y h = 55.7(±0.1)cm. El volumen es πr2 h. En este caso la constante π la tomaremos (como m´ınimo) con tres cifras significativas para no ser causa de errores adicionales y el volumen que obtendremos lo expresaremos con dos cifras significativas (coincide con la medida con menos cifras significativas). En el ejemplo siguiente, se pone de manifiesto la importancia de conocer los errores absolutos de las magnitudes f´ısicas para poder sacar conclusiones de los resultados obtenidos. Ejemplo 13:-: Supongamos que se desea determinar si la resistencia de un material depende de la temperatura. Para ello tomamos una bombilla de alambre de cobre y se mide

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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su resistencia a dos temperaturas distintas, obteniendose: T1 = 20o C R1 = 4.024Ω T2 = 30o C R2 = 4.030Ω

(1.33)

Si no indicamos los errores obtenidos en cada medida, no podemos llegar a ninguna conclusi´on. Si el error en cada medida fuese ±0.002Ω, la conclusi´on ser´ıa que la resistencia s´ı depende de la temperatura. En cambio, si el error hubiese sido de ±0.008Ω, la conclusi´on ser´ıa que la resistencia no depende de la temperatura.

1.5.

Recta de m´ınimos cuadrados

El problema de la ciencia experimental no se reduce a medir ciertas magnitudes con la m´axima precisi´on posible, sino que es fundamental buscar una ley cuantitativa entre dos o m´as magnitudes que ´estan variando de manera correlacionada. Supongamos que el fen´omeno que se quiere estudiar dependa de dos magnitudes x e y. La ley que gobierna el fen´omeno relaciona una magnitud x con la otra y de tal manera que durante una serie de experiencias se determinan los valores de una de ellas, por ejemplo y, que corresponden a los distintos valores de la otra (en este caso x). Si se han hecho n medidas tendr´ıamos: (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ......, (xn , yn )

(1.34)

y nos preguntamos si es posible conocer la relaci´on funcional o la ley f´ısica, entre las magnitudes x,y. Dicha relaci´on se puede formular diciendo que una magnitud es funci´on de la otra, o sea: y = y(x) (1.35) Se trata por lo tanto de determinar la curva de mejor ajuste que relaciona ambas magnitudes utilizando los datos experimentales (1.34). Esto suele ser un problema bastante complejo, pero si conocemos la ley f´ısica (y(x)) que relaciona ambas cantidades de antemano, se tratar´ıa de elegir el tipo de comportamiento funcional que representa nuestro problema, o sea eligir´ıamos como ambas variables se relacionan entre s´ı. Esa relaci´on puede ser de la forma: y = ax + b,

y = b + a/x,

y = ax2 + bx + c

, y = aebx , .....

(1.36)

Una vez elegida, queda por determinar el valor de los par´ametros a, b, c, etc. que aparezcan en y(x), de forma que la funci´on se ajuste lo mejor posible a la nube de puntos experimentales (x1 , y − 1), (x2 , y2 ), ...., (xn , yn ). Para ajustar estos puntos lo mejor posible, nosotros elegiremos el denominado m´ etodo de los m´ınimos cuadrados. A continuaci´on explicaremos esta t´ecnica para

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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el caso en el que la dependencia ente x e y es lineal, y = ax + b . O sea, vamos a definir la recta de mejor ajuste en el sentido de m´ınimos cuadrados, tambi´en denominada recta de regresi´ on. Esta idea puede ser desarrollada para ajustar cualquier otro tipo de funci´on. 1.5.1.

Ajuste de recta por m´ınimos cuadrados

Nuestra funci´on elegida es una recta de la forma: y = ax + b

(1.37)

donde a es la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen. El objetivo ser´a determinar a y b para que (1.37) sea la recta que mejor se ajuste a la colecci´on de datos experimentales (1.34) seg´ un el criterio que veremos a continuaci´on: 1. Residuo: Lo primero que tenemos que definir es el residuo de cada punto de (1.34) con respecto a la recta (1.37) como: ri = yi − y(xi ) = yi − (axi + b)

(i = 1, .....n)

(1.38)

cantidad que puede ser positiva o negativa seg´ un si el punto experimental (xi , yi ) est´e por encima o por debajo, respectivamente, de la recta. En el caso particular de que el punto estuviese sobre la propia recta su residuo ser´ıa nulo. En principio el valor de los residuos depender´a de la recta elegida (determinada por los valores concretos elegidos para a y b). El criterio de ajuste por m´ınimos cuadrados que utilizaremos consistir´a en elegir la recta de forma que la suma de los cuadrados de los residuos sea m´ınima. Esto es, debemos determinar a y b de forma que: n n X X ri2 = (yi − axi − b)2 (1.39) i=1

i=1

sea m´ınima. La suma anterior puede verse como una funci´on de dos variables, Pn 2 i=1 r = f (a, b), ya que, para un conjunto de datos experimentales, el resultado de dicha suma depender´a solo de los valores elegidos de a y b, que actuan ahora como variables de la funci´on. En este sentido, para determinar los valores de a y b que hacen m´ınima a f (a, b) puede utilizarse la t´ecnica de c´alculo de m´aximos y m´ınimos de funciones de varias variables. As´ı, exigiendo que las derivadas parciales de la funci´on f [a, b) con respento las variables a y b (∂f /∂a) (∂f /∂b), sean nulas se obtiene: F E − DC nC − DE b= (1.40) a= 2 nF − D nF − D2 siendo: n n n n X X X X C= xi yi ; D= xi ; E= yi ; F = x2i i=1

i=1

i=1

i=1

(1.41)

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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Puede denostrarse que la recta de m´ınimos cuadrados tiene la propiedad de pasar por el punto medio de los valores experimentales (¯ x, y¯). La pendiente a y la ordenada en el origen b de la recta de m´ınimos cuadrados son en muchas ocasiones magnitudes f´ısicas que se quieren medir. Por ello, es importante establecer qu´e error absoluto vamos a considerar para dichos par´ametros as´ı calculados. Estos vienen dados por: s P n ni=1 ri2 (1.42) sa¯ = (n − 2)(nF − D2 ) s P F ni=1 ri2 (1.43) s¯b = (n − 2)(nF − D2 ) Tomaremos como error absoluto de la pendiente y de la ordedenada en el origen de una recta de m´ınimos cuadrados el triple de sus desviaciones est´andar respectivas, o sea: a(±3sa¯ )

b(±3s¯b )

(1.44)

Conviene se˜ nalar que, en algunas ocasiones, esta banda de error para a y b resulta ser excesiva, resultando aparentemente imposible seleccionar ni siquiera una sola cifra significativa de los resultados. Cuando esto ocurra, es aceptable adoptar un criterio de error m´as suave (por ejemplo, las propias desviaciones est´andar en lugar del triple de las mismas). La recta de regresi´on obtenida nos permitir´a, si lo deseamos, estimar el valor de la magnitud y para valores de s inicialmente medidos. Se puede demostrar que el valor obtenido y0 , utilizando la recta de regresi´on para un cierto x0 cualquiera no medido, viene afectado por una desviaci´on est´andar sP   n 2 D − 2x0 D + nx0 i=1 ri , (1.45) sy¯0 = (n − 2) nF − D2 y como error absoluto del valor estimado y0 adoptaremos el triple de su desviaci´on est´andar: y(±3sy¯0 ) (1.46) 2. Coeficiente de correlaci´ on r. Par´ametro lineal de las variables x e y, que nos permite determinar la bondad del ajuste de la recta de m´ınimos cuadrados. Una de las formas de expresarlo es: r=p

nC − DE

(nF − D2 )(nG − E 2 )

(1.47)

P siendo G = ni=1 yi2 . El coeficiente de correlaci´on puede ser positivo o negativo y su valor absoluto |r|, var´ıa entre 0 y 1. El ajuste es tanto mejor cuanto m´as

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

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pr´oximo est´e |r| de la unidad. Un valor de |r| pr´oximo a cero indica que no hay mucha correlaci´on lineal entre los datos, y que simplemente hay que buscar una correlaci´on m´as complicada (es decir, la nube de puntos experimentales se ajustar´ıa mejor con una funci´on distinta de una recta). Muchas calculadoras as´ı como programas para representaci´ on gr´aficas de funciones traen incorporadas como utilidad estad´ıstica el c´alculo de rectas de regresi´ on, proporcionando todos los par´ametros del ajuste para los pares de valores (xi , yi ) que utilicen como datos. Para concluir indicar que el estudio anterior llevado a cabo para la recta de mejor ajuste tiene un doble inter´es: Por un lado la dependencia lineal (tipo recta) es muy frecuente entre magnitudes f´ısicas y, por otro, otras dependencia m´as complicadas pueden reducirse a una dependencia tipo recta mediante un cambio de variables adecuado. A continuaci´on se muestran algunos ejemplos: Funci´on inicial y = ax2 √ y=a x y = A exp(−x) y = axn

1.6.

Cambio x2 = z √ x=z ln(x) = z; ln(A) = b ln(x) = z; ln(A) = 0b; ln(x) = t

Forma Lineal y = az y = az z = −x + b z = b + nt

Realizaci´ on de gr´ aficas

Las representaciones gr´aficas son herramientas imprescindibles para la f´ısica experimental. Con el fin de que la gr´afica aporte toda la informaci´on necesaria de la forma m´as adecuada deben seguirse ciertas normas de car´acter general: 1. Las gr´aficas podr´an realizarse manualmante o bien haciendo uso de alg´ un software gr´afico. Caso de hacerse manualmente deber´a utilizarse papel milimetrado. 2. Los datos experimentales siempre deben aparecer n´ıtidamente en la gr´afica. Se presentaran como un conjunto de puntos. En este sentido, no deben unirse dichos puntos entre s´ı mediante segmentos formando una extra˜ na l´ınea quebrada (debe controlarse esta opci´on en los programas de software gr´aficow. 3. La recta de regresi´on se dibujar´a sobre la nube de puntos experimentales en una u ´ nica gr´ afica. 4. Los intervalos de valores considerados en los ejes deben ser tales que la recta representada se visualice convenientemente en la gr´afica ocupando la mayor ´ area posible y no aparezca concentrada en una fracci´on de ella (es decir, evitar que la gr´afica quede en una esquina y el resto de papel vac´ıo.

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

18

5. Debe especificarse siempre sobre los ejes horizontales y verticales cu´ales son las magnitudes all´ı representadas,as´ı como las unidades f´ısicas a que corresponden.

1.7.

Memoria de las pr´ acticas

La realizaci´on de un trabajo experimental en el laboratorio ir´a siempre acompa˜ nado de la posterior presentaci´on de una Memoria de Pr´ acta. Cada pareja de pr´actica presentar´a una memoria de cada pr´actica realizada. La presentaci´on de las memorias deber´a estar dentro de los m´argenes de claridad y limpieza exigibles a un alumno de ense˜ nanzas superiores. La utilizaci´ on de ordenadores e impresoras para la elaboraci´ on de la memoria es la opci´on m´as recomendable, no obstante, pueden realizarse manualmente si el alumno no dospusiese de medios adecuados. La presentaci´on extremadamente cuidada ser´a un factor positivo a tener en cuenta, pero en nig´ un caso la excusa para descuidar el contenido escrito de las memorias. Un esquema general, aunque flexible, del contenido de una memoria es el que sigue: 1. Una primera p´agina con t´ıtulo, autores y fecha de realizaci´on de la misma. 2. Una breve introducci´on para marcar los objetivos de la Pr´actica. 3. Una descripci´on del montaje experimental utilizado en el laboratorio: aparatos, t´ecnicas de medida, etc. 4. Presentaci´on de resultados: tablas, gr´aficas, etc. Los resultados deber´an venir acompa˜ nados de sus correspondientes errores, cuando as´ı se especifique. No olvidar nunca presentar los resultados con sus unidades correspondientes, en otro caso carecer´ıan de significado. 5. Interpretaci´on de los resultados y conclusiones. a.-) Comentarios sobre cualquier aspecto del trabajo experimental. b.-) Detalles acerca del desarrollo del experimento, c.-) Posibles fuentes de errores sistem´aticos no eliminada, d.-) Sugerencias, etc 6. Un u ´ltimo punto que se debe a˜ nadir a la memoria de pr´actica y de fundamental importancia concierne a la confrontaci´ on de los resultados obtenidos mediante las rectas de m´ınimos cuadrados con los resultados predichos por la teor´ıa correspondiente. Una memoria de pr´acticas sin estos comentarios se considerar´a incompleta y por lo tanto no terminada en su totalidad.

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

1.8.

19

RESUMEN: Estimaci´ on de errores en las medidas

1.- Medidas Directas 1.1- Una u ´nica medida 1) Valor verdadero: el medido, m 2) Error cometido: Aparatos anal´ogicos y digitales, la sensibilidad S del aparato ⇒ m ± S. 1.2- Varias medidas 1) Valor verdadero: el valor medio, m. ¯ 2) Error cometido: El triple de la desviaci´on est´andar media, sm¯ ⇒ m ¯ ± 3sm¯ . 2.- Medidas Indirectas y = f (x, z, t) 2.1- Medidas obtenidas de una sola medici´on 1) Valor experimental de y: el que resulta de evaluar la funci´on y para los valores obtenidos directamente de x, z, t, .... 2) Error cometido: aproximamos mediante t´ecnicas de c´alculo diferencial.       ∂f ∂f ∂f ∆x + ∆z + ∆t + ..... dy = ∆y = ∂x ∂z ∂t los ∆x, ∆z, ∆t, .... se obtendr´an de las sensibilidades de los aparatos de medidas. 2.2- Medidas obtenidas por t´ecnicas estad´ısticas 1) Valor verdadero: x −→ x¯ ± 3sx¯ z −→ z¯ ± 3sz¯ t −→ t¯ ± 3st¯ 2) Error absoluto cometido en y, ±sy¯, se obtiene de t´ecnicas estad´ısticas: s   2  2 2 ∂f ∂f ∂f 2 2 sy¯ = sx¯ + sz¯ + s2t¯ ∂x ∂z ∂t 3.- Recta de m´ınimos cuadrados: y = ax + b 3.1- Error cometido en a y b, es suficiente con a ± sa¯ , b ± s¯b . 3.2- Buen ajuste: si el valor absoluto del coeficiente de correlaci´on |r|, es pr´oximo a la unidad

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

1.9.

20

Ejercicios sobre Tratamiento de Errores y Medidas

1.- Expresar en notaci´on cient´ıfica las siguientes cantidades: 1.1- 23 nT 1.2- 0.003 mA 1.3- −5.0 µV 1.4- 2.5 GHz 1.5- 3.0 M W 1.6- 7.0 pF 2.- Estime el error de aproximaci´on al medir: 2.1- Una distancia aproximada de 75 cm con una cinta m´etrica. 2.2- Una masa de unos 1.2 g con una balanza anal´ıtica. 2.3- Un lapso de aproximadamente 6 min con un cron´ometro. 3.- Una t´ecnica para medir distancias desde un punto a un sat´elite artificial es la que se denomina Laser Ranging. Esta t´ecnica consiste en emitir un pulso l´aser desde la superficie terrestre y medir el tiempo que tarda en recibirse el pulso reflejado por el objeto. Sabiendo que la velocidad de la luz es c = 299792458 m/s y que entre la emisi´on y recepci´on del pulso han transcurrido ∆t = 4000012ns: 3.1- ¿Cu´al es el error impl´ıcito en c y ∆t? 3.2- ¿Cu´al es la distancia al sat´elite? 3.3- ¿Con qu´e precisi´on se conoce la distancia? 3.4- Expresar correctamente dicha distancia. 4.- Con una regla graduada de madera, usted determina que un lado de un trozo rectangular de l´amina mide 12 mm y usa un micr´ometro para medir el ancho del trozo, obteniendo 5.98 mm. Conteste las siguientes preguntas con las cifras significativas correctas: 4.1- ¿Qu´e ´area tiene el rect´angulo? 4.2- ¿Qu´e raz´on ancho/largo tiene el rect´angulo? 4.3- ¿Qu´e per´ımetro tiene el rect´angulo? 4.4- ¿Qu´e diferencia hay entre la longitud y la anchura?

´ 1 PRACTICA 1: TRATAMIENTO DE ERRORES

21

5.- Para determinar el ´area de un rect´angulo se han realizado 10 medidas de cada uno de sus lados obteni´endose los valores reflejados en la tabla adjunta: a(mm) b(mm)

24.25 50.36

24.26 50.35

24.22 50.41

24.28 50.37

24.23 50.36

24.25 50.32

24.22 50.39

24.26 50.38

24.23 50.36

24.24 50.38

Deteminar el valor del ´area del rect´angulo y de la incertidumbre asociada: 5.1- A partir de los valores medios asociados a cada una de las dos dimensiones. 5.2- A partir del valor medio que se obtendr´ıa calculando los valores individuales del ´area para cada una de las medidas. 6.- Calcular la capacidad de un condensador esf´erico de radio R = (0.350 ± 0.002)cm, y separaci´on entre armaduras d = (0.75 ± 0.04) mm. La permitividad di´electrica del medio es ǫ = (8.85 ± 0.001) × 10−12 F/m. La capacidad del condensador viene dada por la expresi´on: R2 (1.48) C = 4πǫ d 7.- Para determinar el valor de la aceleraci´on de la gravedad g se ha utilizado un carril de aire inclinado, de longitud L = (1000 ± 1)mm, cuyo punto m´as alto se situa respecto al m´as bajo a una altura de H = (259 ± 1)mm. Por dicho carril se ha dejado caer cierta masa, y se ha medido el tiempo empleado en recorrer distintas distancias, obteni´endose los siguientes resultados: d(cm) t(s)

100 0.887

120 0.973

140 1.052

160 1.124

180 1.192

200 1.257

La distancia recorrida por la masa viene expresada en funci´on del tiempo por: d =

gH 2 t 2L

(1.49)

Si se representa en un sistema de ejes cartesianos las distancias d en ordenadas y los cuadrados de los tiempos t2 en abscisas, obtendremos una recta cuya pendiente nos permite determinar el valor de g. 7.1- Representar gr´aficamente los puntos anteriores y la recta de regresi´on correspondiente. 7.2- Obtener por el m´etodo de m´ınimos cuadrados la pendiente y la ordenada en el origen de dicha recta. 7.3- A partir de la pendiente y su error, determinar el valor de g con su error correspondiente.

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

2.

22

Pr´ actica 2: Ley de Hooke

Figura 2: Muelle

2.1.

Ley de Hooke

1.- Conceptos Implicados: Fuerza, esfuerzo, deformaci´on, constante el´astica, resorte. 2.- Principios F´ısicos: Para mantener un resorte estirado una distancia x m´as all´a de su longitud sin estiramiento, debemos aplicar una fuerza de igual magnitud en el extreno del resorte. Si el alargamiento x no es excesivo, vemos que la fuerza aplicada en el extremo es proporcional al propio alargamiento, o sea : |F~ | = ky

(2.50)

donde k es una constante llamada constante de fuerza o (constante de resorte) del resorte (o muelle)y las unidades son: [fuerza dividida por distancia]. Esta constante nos indica lo r´ıgido que es dicho muelle. Por ejemplo un resorte blando (de juguetes) tiene una constante de fuerza del orden de 1N/m; para los resortes mucho m´as r´ıgidos de la suspensi´on de un autom´ovil, k es del orden de 105 N/m. La observaci´on de que el alargamiento (no excesivo) es proporcional a la fuerza fue hallada por Robert Hooke en 1678 y se conoce como Ley de Hooke; sin embargo no deber´ıa llamarse ley, pues es una afirmaci´on acerca de un dispositivo espec´ıfico y no una ley fundamental de la Naturaleza. Los resortes

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

23

reales no siempre obedecen la ecuaci´on (2.50) con precisi´on, o sea que no en todos los resortes (muelles) la deformaci´on es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Por ejemplo una goma el´astica no tiene esa propiedad. Si la fuerza aplicada a un resorte es muy grande, puede ocurrir que este puede que no vuelva a su posici´on de equilibrio, en este caso decimos que el resorte, (o muelle), se ha desformado. As´ı, todo muelle real tiene un l´ımite de deformaci´on en el que pierde esta proporcionalidad (l´ımite el´astico), o sea, que la fuerza aplicada sea proporcional al estiramiento, no cumpliendo en ese momento la ley de Hooke. 3.- Material: Base soporte, varilla, nuez con gancho, dispositivo ley de Hooke (rojo = muelle blando, azul = muelle duro), portapesas 20g, 8 pesas de 10 g y 5 pesas de 20 g. 4.- Objetivos: Estudiar la relaci´on existente entre la fuerza aplicada a un muelle y su estiramiento. Verificar la ley de Hooke y calcular la constante de cada uno de los muelles. 5.- Disposici´on Experimental:

Realizar el montaje mostrado en la Figura (3). Para ello roscar la varilla en la base soporte y fijar la nuez con gancho en la varilla vertical. Colgar de la nuez el dispositivo que corresponda: El rojo es el muelle m´as blando y el azul el m´as duro. Estos dispositivos llevan incorporada una escala en mil´ımetros, para poder medir directamente el estiramiento del muelle mediante el ´ındice rojo. Antes de colgar ning´ un peso asegurese que el ´ındice rojo marque el ′′ 0′′ de la escala. Figura 3: Experimento

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

24

6.- Realizaci´on y Toma de Datos: Colguemos del gancho el dispositivo rojo al que previamente habremos ajustado el ′′ 0′′ . Puesto que el portapesas tiene un peso exacto de 20 g, lo usaremos tambi´en como una pesa m´as y mediremos la elongaci´on correspondiente. Por ello, en nuestro caso, como la posici´on inicial del reposo es xo = 0, entonces ∆x = x − xo = x. Despu´es del portapesas iremos introduciendo una a una las 8 pesas de 10 g e iremos rellenando la tabla I. Tener en cuenta que |F~ | es el peso en N de las masas por lo que |F~ | = |m~g | con g = 9, 8 m/s2 y x es el valor medido en la escala transparente.

Tabla 1: Medidas del la fuerza aplicada al resorte Rojo en funci´ on de su elongaci´ on m(kg)

|F~ | = |m × 9.8~j| (N )

x(cm)

x(m)

kr =

~| |F x

0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100

A partir de los valores de kr obtenidos calcular el valor medio de k con su error correspondiente k¯r ± ∆ kr = .......... Repetir estas mismas medidas para el dispositivo azul. En este caso usaremos las cinco pesas de 20 g y las ocho pesas de 10 g. Como en el caso anterior el portapesas lo usaremos como una pesa m´as.

(N/m)

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

25

Tabla 2: Medidas del la fuerza aplicada al resorte Azul en funci´ on de su elongaci´ on m(kg)

|F~ | = |m.9.8~j| (N )

x(cm)

x(m)

ka =

~| |F x

(N/m)

0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200 A partir de los valores de ka obtenidos calcular el valor medio de k con su error correspondiente k¯a ± ∆ ka = .......... 7.- Tarea a Realizar: 7.1- Dibujar la gr´afica de |F~ | frente a x y estudiar la linealidad de la recta para el muelle rojo. 7.2- Ajustar la recta por m´ınimos cuadrados y hallar el valor de la pendiente de la recta para el muelle rojo. 7.3- Hallar el valor de kr con su error correspondiente a partir de la pendiente de la recta para el muelle rojo. 7.4- Comparar ambos resultados, o sea el valor de k¯r y el obtenido a trav´es de la pendiente de la recta, indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo, explicar las causas de dicha discrepancia. 7.5- Dibujar la gr´afica de |F~ | frente a x y estudiar la linealidad de la recta para el muelle azul. 7.6- Ajustar la recta por m´ınimos cuadrados y hallar el valor de la pendiente de la recta para el muelle azul. 7.7- Hallar el valor de ka con su error correspondiente a partir de la pendiente de la recta para el muelle azul. 7.8- Comparar ambos resultados o sea el valor de k¯a y el obtenido a trav´es de la pendiente de la recta indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo, explicar las causas de dicha discrepancia.

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

2.2.

26

Asociaci´ on de resortes

1.- Material: Base soporte, varilla, nuez con gancho, dispositivo ley de Hooke (rojo = muelle blando, azul = muelle duro), portapesas 20g, 8 pesas de 10 g y 5 pesas de 20 g. 2.- Objetivo: Determinar la constante k para ambos resortes conectados en serie y en paralelo. 3.- Fundamento Te´orico: Decimos que dos o m´as muelles estan conectados en serie cuando lo est´an solo por uno de ellos y en el punto de conexi´on no hay conectado ning´ un resorte adicional. Decimos que est´an conectados en paralelo cuando lo est´an por sus dos extremos. 3.1- Muelle en Paralelo: Por tanto, la asociaci´on se comporta como un solo muelle, cuya constante es la suma de las constante. kp = ka + kr

(2.51)

3.2- Muelle en Serie: m0 a~1 = −ka~x1 − kr (~x1 − ~x) = F~1 − F~2 Recordando que la masa m0 es igual a cero, o sea que no est´a ah´ı, tendremos que: F~1 − F~2 = ~0 ⇒ F~1 = F~2 = F~ O sea, la fuerza se transmite a lo largo de la asociaci´on, de forma que la fuerza que se ejerce sobre el muelle rojo es la misma que la que se hace sobre el muelle azul y la que este hace sobre el punto de anclaje. La fuerza se conserva a lo largo de una asociaci´on en serie, por lo tanto:   1 ~ 1 F~ F~2 F~ F~1 F = − ~x2 = − = − ~x = ~x1 +~x2 = − + ~x1 = − ka ka kr kr ka kr

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

27 Supondremos el caso unidimensional y consideraremos que un peso mg cuelga de ellos. La masa est´a unida al techo a trav´as de dos resortes de constantes k1 = kr y k2 = ka . Cuando la masa desciende una cantidad x, los muelles se estirar´an la misma cantidad. x1 = x2 = x La fuerza total que los muelles ejercen sobre la masa ser´a su resultante: F~ = F~1 + F~2 = −ka~x1 − kr ~x2 =

Figura 4: Muelles en paralelo

−ka~x − kr ~x = −(ka + kr )~x

Figura 5: Muelles en serie

Consideremos ahora dos muelles uno puesto a continuaci´on del otro. El muelle azul se encuentra anclado en la pared y se estira una cantidad x1 . El muelle rojo se encuentra anclado a ´este, y se estirar´a una cantidad x2 . Por lo tanto la masa m se encontrar´a a una distancia x1 + x2 = x del techo. Para escribir las ecuaciones de movimiento, podemos suponer temporalmente que en el punto de uni´on de los dos muelles se encuentra una peque˜ na masa m0 , que posteriormente podemos hacerla tender a cero. Esa masa est´a unida a los dos muelles, uno de constante ka unido a la pared y otro de constante kr unido a la masa m. La segunda ley de Newton aplicada a la masa m0 ser´a:

y la constante equivalente a la asociaci´on en serie cumple que: 1 1 ka kr 1 = + ⇒ ks = ks ka kr ka + kr

(2.52)

Resumiendo, de forma an´aloga a como ocurre en condensadores en circuitos tenemos:

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

28

1) Si los muelles est´an en paralelo, la constante de la asociaci´on es la suma de las constantes kp = ka + kr (2.53) 2) Si los muelles est´an en serie, la inversa de las constantes es la suma de las inversas, 1 1 1 = + (2.54) ks ka kr

4.- Disposici´on Experimental y Toma de Datos: 4.1- Muelles en Paralelos: Siguiendo la disposici´on experimental de la Figura (6)

Figura 6: Muelles en Paralelo una el resorte rojo y el azul en paralelo. 4.2- Toma de Datos: Colguemos el portapesas de 20 g y anotemos el valor de x0 inicial que tendremos, utilice para esa medida la regla que est´a unida a la barra de la disposici´on experimenal. A partir de ese valor inicial a˜ nadamos pesas de 20 gramos, hasta completar la tabla. La elongaci´on asociada a cada pesa a˜ nadida la llamaremos xi

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

29

Tabla 3: Medidas de la fuerza aplicada a dos muelles en paralelo en funci´ on de su elongaci´ on x0 (cm) = m(kg)

|F~ | = |m.9.8~j| (N )

xi (cm)

x(cm) = xi − x0

x(m)

kp =

0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200 A partir de los valores de kp obtenidos calcular el valor medio de kp con su error correspondiente k¯p ± ∆kp = .............. 4.3- Muelles en Serie:

Figura 7: Muelles en serie Siguiendo la disposici´on experimental de la Figura (7) una el resorte azul y rojo en serie.

~| |F x

(N/m)

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

30

4.4- Toma de Datos: Colguemos el portapesas y anotemos el valor de la elongaci´on inicial x0 con ayuda de la regla unida a la barra de la disposici´on experimental. A partir de este valor inicial a˜ nada pesas de 10 gramos, hasta completar la tabla. La elongaci´on asociada a cada masa a˜ nadida la llamaremos xi . Tabla 4: Medidas de la Fueza aplicada a dos muelles en serie en funci´ on de su elongaci´ on x0 (cm) = m(kg)

|F~ | = |m.9.8~j| (N )

xi (cm)

x(cm) = xi − x0

x(m)

kp =

0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.09 0.100 A partir de los valores de ks obtenidos calcular el valor medio de ks con su error correspondiente k¯s ± ∆ks = .............. 5.- Tareas a Realizar: 5.1- Dibujar la gr´afica de |F~ | frente a x y estudiar la linealidad de la recta para la asociaci´on de muelles en paralelo. 5.2- Ajustar la recta por m´ınimos cuadrados y hallar el valor de la pendiente de la recta para los muelles en paralelo. 5.3- Hallar el valor de kp con su error correspondiente a partir de la pendiente de la recta para los muelles en pararelos. 5.4- Comparar ambos resultados, o sea k¯p y kp obtenido a trav´es de la pendiente, indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo, explicar las causas de dicha discrepancia. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular los errores correspondientes) 5.5- Verifique que el valor obtenido para kp coincide con el valor te´orico kp = ka + kr . Compare el valor de kp obtenido con la recta de ajuste por m´ınimos cuadrados con el obtenido a trav´es de su expresi´on te´orica. Caso no coincidan

|F~ | (N/m) x

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

31

indique el por qu´e. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular los errores correspondientes) 5.6- Dibujar la gr´afica de |F~ | frente a x y estudiar la linealidad de la recta para la asociaci´on de muelles en serie. 5.7- Ajustar la recta por m´ınimos cuadrados y hallar el valor de la pendiente de la recta para los muelles en serie. 5.8- Hallar el valor de ks con su error correspondiente a partir de la pendiente de la recta para los muelles en serie. 5.9- Comparar ambos resultados, o sea k¯s y ks obtenido a trav´es de la pendiente, indicando si ambos coinciden o no. En caso negativo, explicar las causas de dicha discrepancia. (Recuerde que para comparar los datos debemos calcular los errores correspondientes) 5.10- Verifique que el valor obtenido para ks coincide con el valor te´orico 1/ks = (1/ka + 1/kr ). 5.11- Compare el valor de ks obtenido con la recta de ajuste por m´ınimos cuadrados con el obtenido atrav´es de su expresi´on te´orica. En caso de que no coincidan indique el por qu´e. (Recuerde que para comparar dos resultados debemos calcular los errores correspondientes). 5.12- Dos resortes est´an en paralelos cuando est´an conectados entre s´ı y est´an conectados en sus extremos. Es posible pensar en esta combinaci´on como equivalente a un solo resorte. La constante de fuerza del resorte equivalente individual se denomina constante de fuerza efectiva kef e de la combinaci´on. 1) Demuestre que la constante de fuerza efectiva de esta combinaci´on es kef e = k1 + k2 2) Generalice este resultado para N resortes en paralelo. 5.13- Dos resortes sin masa est´an conectados en serie cuando se unen uno despu´es de otro, punta con cola. 1) Demuestre que la constante de fuerza efectiva de una combinaci´on en serie est´a dada por: 1/kef ec = (1/k1 + 1/k2 ). (sugerencia: para una fuerza dada, la distancia total de estiramiento por el resorte individual equivalente es la suma de las distancias estiradas por los resortes en combinaci´on, adem´as cada resorte debe ejercer la misma fuerza) 2) Generalice este resultado para N resortes.

2.3.

Oscilaciones Arm´ onicas

1.- Material: Base soporte, varilla, nuez con gancho, dispositivos ley de Hoole (rojo= muelle blando y azul = muelle duro), portapesas 20 g, 8 pesas de 10 g, 5 pesas de

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

32

20 g y cron´ometro. 2.- Objetivos: Realizar un estudio din´amico del muelle. Estudiaremos de que factor o factores depende el periodo de oscilaci´on de un muelle y calcularemos la constante k da cada muelle. 3.- Fumdamento Te´orico: Hemos visto que la ecuaci´on de movimiento de un resorte gobernado por la ley de Hooke, es: F~ = − k~x = m~a

(2.55)

donde F~ es la fuerza de recuperaci´on, ~x es cuanto se ha estirado el muelle, k es la constante del muelle y el signo negativo indica que la fuerza de recuperaci´on es de sentido contrario a la direcci´on de deformaci´on. m es la masa que oscila en el extremo del muelle. La ecuaci´on (2.55) la podemos escribir como: k d2~x m~a = m 2 = −k~x ⇒ ~a = − ~x dt m

(2.56)

Si hacemos

k m la soluci´on de la ecuaci´on (2.56) corresponde a un movimiento arm´onico simple, ´ cuya soluci´on general es de la forma (en mdulo): ω2 =

x = x0 cos(ωt) +

v0 sen(ωt) = A cos(ωt − ϕ) ω

Donde A es la amplitud del movimiento y ϕ es la constante de fase inicial. Ambos par´ametros dependen de la posici´on y de la velocidad inicial. Si tomamos la fase inicial ϕ igual a cero, x = A cos(ωt) (2.57) y A es la amplitud m´axima inicial en t = 0. El periodo de oscilaci´on T depende de la masa y de la constante del muelle, r r m k 2π 1 1 T = = 2π ⇒ f = = (2.58) ω k T 2π m donde f es la frecuencia natural de las oscilaciones. Observamos que esta ecuaci´on (4.76) es similar a la obtenida en el movimiento del p´endulo simple en la aproximaci´on de ´angulos peque˜ nos, donde aparece la masa m all´ı aparec´ıa la longitud del p´endulo l y donde tenemos la constante del muelle k en el p´endulo nos aparece la constante de la aceleraci´on de la gravedad g. Si tomamos el cuadrado de la expresi´on del periodo (4.76) (2π)2 m T = k 2

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

33

observamos que la dependencia del periodo al cuadrado es lineal con la masa. Esto nos permitir´a analizar si realmente el periodo de oscilaci´on de un muelle depende de la masa que colguemos en el mismo. 4.- Disposici´on Experimental: Realizar el mismo montaje que en el experimento primero. Colgar el dispositivo rojo (muelle blando) del gancho y cargarlo con el portapesas y pesas para conseguir oscilaciones lentas (por ejemplo cinco pesas de 10 g). 5.- Realizaci´on y Toma de Datos: 5.1- Dependencia del Periodo de Oscilaci´ on con la Elongaci´ on: Con el dispositivo rojo cargado con las pesas, desplazemos el muelle de su posici´on de equilibrio las cantidades indicadas en la tabla siguiente y midamos el tiempo transcurrido en 30 oscilaciones t30 (Recordar que cada oscilaci´on corresponde a un periodo, es decir hay que contar una oscilaci´on cada vez que el muelle pasa por la misma posici´on superior o inferior). El periodo ser´a T = t30 /30. Tabla 5: Medidas del periodo de oscilaci´ on del resorte rojo en funci´ on de su amplitud Amplitud x(cm)

t30 (s)

T = t30 /30 (s)

1 2 3 4

5.2- Realizar las mismas medidas pero con el disapositivo azul. Se recomienda cargar el muelle con el portapesas y cinco pesas de 20 g. Tabla 6: Medidas del periodo de oscilaci´ on del resorte Azul en funci´ on de su amplitud Amplitud x(cm) 1 2 3 4

t30 (s)

T = t30 /30 (s)

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

34

1) Con los resutados obtenidos en las tablas 5 y 6, ¿es posible concluir que el periodo de oscilacion de un muelle no depende de la elongaci´on inicial del mismo? Comente su respuesta.

5.3- Dependencia del Periodo de Oscilaci´ on con el Peso Aplicado: Estudiemos ahora si el periodo de oscilaci´on depende o no de la fuerza que aplicamos al muelle. En este caso necesitamos tambi´en considerar el peso de la varilla porta´ındice ya que tambi´en est´a oscilado. El peso de esta varilla es de 7.5 g en ambos dispositivos. Haremos primero las medidas con el dispositivo rojo y a continuaci´on con el azul. Iremos a˜ nadiendo las masas indicadas en la tabla c (El portapesas y las 8 pesas de 10 g), desplazamos el muelle un poco de la posici´on de equilibrio y mediremos el tiempo transcurrido en 30 oscilaciones t30 . (recuerde que cada oscilaci´on se entiende como un periodo). El periodo ser´a T = t30 /30

Tabla 7: Medidas del periodo de oscilaci´ on del resorte Rojo en funci´ on de su peso Masas

Masa total incluyendo

aplicadas

varilla +

(kg)

porta´ındice m(kg)

t30 (s)

T = t30 /30 (s)

T 2 (s2 )

kr = (2π)2

m (N/m) T2

0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100 Calcule el valor medio de la constante del muelle kr con su error correspondiente kr ± ∆kr = .............. 5.4- Repetir estas medidas para el muelle del dispositivo azul. En este caso usaremos el portapesas, las cinco pesas de 20 g y las 8 pesas de 10 g.

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

35

Tabla 8: Medidas del periodo de oscilaci´ on del resorte azul en funci´ on de su peso Masas aplicadas (kg)

Masa total incluyendo varilla porta´ındice m(kg)

t30 (s)

T = t30 /30 (s)

T 2 (s2 )

ka = (2π)2 Tm2 (N/m)

0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200 Calcule el valor medio de la constante del muelle kr con su error correspondiente ka ± ∆ka = .............. 6.- Tareas a Realizar: 6.1- Realizar las gr´aficas de T 2 frente a m tanto para el muelle rojo como para el muelle azul. 6.2- De la pendiente de las rectas obtenidas calcular los valores de kr y ka . Recor2 m. dar que T 2 = (2π) k 6.3- ¿Se verifica la relaci´on lineal entre T 2 y m en ambos casos? 6.4- ¿Est´an en concordancia los valores obtenidos de kr y ka con los obtenidos en el experimento primero (Ley de Hooke)? 6.5- Discuta los resultados obtenidos en ambos casos justificando su respuesta. 6.6- Un efecto que no hemos tenido en cuenta es el peso del muelle que est´a oscilando. Parte de la masa del muelle habr´ıa que tomarla en cuenta junto con las masas que estamos suspendiendo en dicho muelle. Esta masas a tener en cuenta es aproximadamente la mitad de la masa del muelle. Si tomamos en consideraci´on esta masa, la expresi´on del periodo se ver´ıa modificada de la siguiente manera: r m + m0 /2 m + m0 /2 T = 2π ⇒ k = (2π)2 (N/m) k T2

´ 2 PRACTICA 2: LEY DE HOOKE

36

donde m0 es la masa del muelle. En nuestro caso este efecto es muy peque˜ no ya que la masa de los muelles es peque˜ na en comparaci´on con las masa saplicadas. Para el dispositivo rojo esta masa es de 1.2 g y para el azul la masa es de 2.6 g. Calcule cu´al ser´ıa la correcci´on en la medida de la constante k en cada un o de los muelles y compare los resultados obtenidos. 6.7- Los amortiguadores de un autom´ovil viejo con masa de 1000 kg est´an gastados. Cuando una persona de 980 N se sube lentamente al auto en su centro de gravedad, el auto baja 2.8 cm. Cuando el auto, con la persona a bordo, cae en un bache, comieza a oscilar verticalmente en M AS. Modele el auto y la persona como un solo cuerpo en un solo resorte y calcule el periodo y la frecuencia de la oscilaci´on

´ ´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ 3 PRACTICA 3: CONSERVACION

3.

37

Pr´ actica 3: Conservaci´ on de la Energ´ıa Mec´ anica

Figura 8: Rueda de Maxwell

3.1.

Conservaci´ on de la Energ´ıa Mec´ anica. Momento de Inercia

1.- Conceptos Implicados: Energ´ıa Cin´etica de Traslaci´on, Energ´ıa Cin´etica de Rotaci´on, Energ´ıa Potencial, Conservaci´on de Energ´ıa y Centro de Masa. 2.- Principio F´ısico: Demostrar que el movimiento de un s´olido r´ıgido siempre puede dividirse, en movimiento independiente de traslaci´on del centro de masa y rotaci´on al rededor del centro de masa, no tiene cabida en este laboratorio, pero si podemos comprobar que es cierto para la energ´ıa cin´etica de un cuerpo r´ıgido con movimiento tanto traslacional como rotacional. La energ´ıa cin´etica total del cuerpo es la suma de su energ´ıa cin´etica de traslaci´on, asociada a su centro de masa 2 (1/2) M vcm m´as la energ´ıa cin´etica de rotaci´on (1/2)Icm ω 2 asociada a la rotaci´on al rededor de un eje que pasa por su centro de masa. Para demostrar esto consideramos el movimiento de un disco homog´eneo Figura (8) que gira en sentido antihorario con respecto a su eje, (que tomaremos como eje z). El centro de masa del disco ser´a el origen de referencia y el disco se puede representar geom´etricamente como un c´ırculo en el plano xy que gira respecto al eje z. Como tratamos con un s´olido r´ıgido (indeformable), compuesto de N

´ ´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ 3 PRACTICA 3: CONSERVACION

38

part´ıculas cada una de ella con masa mi , donde la suma total de la masa de P cada part´ıcula N i mi es igual a la masa total del disco M . Si centramos nuestra atenci´on en cualquiera de esas part´ıcula de masa mi , con vector posici´on respecto al centro de masa igual a: ~ri = xi~i + yi~j su movimiento est´a relacionado con el movimiento del resto de las part´ıculas en el sentido de que todas recorren los mismos ´angulos en el mismo tiempo (s´olido r´ıdido), es decir, si la velocidad angular de rotaci´on de esa part´ıcula de masa mi en un instante dado es ω(t), entonces todas las N part´ıculas que componen el disco giran con la misma velocidad angular. El vector velocidad angular en relaci´on al eje de giro considerado (z) se define como : ω ~ = ω~k el vector unitario ~k nos est´a indicando que el disco est´a girando alrededor del eje z. La velocidad de esa part´ıcula de masa mi ser´a: ~ui =

d~ ri = ω ~ × ~ri. dt

(3.59)

La Energ´ıa Cin´etica de esa part´ıcula de masa mi ser´a E ci =

1 1 mi u2i = ω 2 (mi ri2 ) 2 2

(3.60)

La Energ´ıa Cin´etica total del disco ser´a la suma de la Energ´ıa Cin´etica de cada una de sus part´ıculas, adem´as como solo estamos considerando movimiento de rotaci´on a esta Energ´ıa Cin´etica se le llama Energ´ıa Cin´etica de Rotaci´on Er , por lo tanto: N N N X X 1 X 1 mi u2i = ω 2 mi ri2 (3.61) Er = E ci = 2 2 i=1 i=1 i=1 La cantidad

N X

mi ri2 = Iz

i=1

es una caracter´ıstica de los cuerpos r´ıgidos llamada Momento de Inercia del cuerpo con respecto al eje z (eje de giro). Por lo tanto la Energ´ıa Cin´etica de Rotaci´on del disco que gira respecto al eje z que pasa por su centro de masa con velocidad angular ω es: 1 (3.62) Er = Iz ω 2 2 Ahora bien, nuestra rueda de Maxwell, no solamente gira, sino que tambi´en se desplaza (cae), o sea que su centro de masa no est´a fijo sino que se mueve con una cierta velocidad que llamaremos vCM ≡ v. Por tanto, adem´as de la Energ´ıa

´ ´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ 3 PRACTICA 3: CONSERVACION

39

Cin´etica de Rotaci´on la rueda de Maxwell tiene una Energ´ıa Cin´etica de traslaci´on asociada a su centro de masa que ser´a: 1 Et = = M v 2 2

(3.63)

En el movimiento de la rueda de Maxwell tambi´en debemos considerar la Energ´ıa Potencial gravitatoria a la que est´a sometida la rueda. Si tomamos el origen de alturas en la posici´on inicial, la Energ´ıa Potencial total asociada a cada una de las part´ıculas ser´a Epi = − mi gsi , donde si es el desplazamiento vertical de la part´ıcula respecto a su posici´on inicial. La Energ´ıa Potencial total asociada a la rueda de Maxwell ser´a: N X

Ep =

i=1

Epi = −

N X

mi gsi

(3.64)

i=1

El desplazamiento si lo podemos escribir como la suma del desplazamiento vertical del centro de masa s m´as el desplazamiento vertical del punto i respecto al ′ ′ centro de masa si , o sea si = s + si . El desplazamiento vertical del centro de masa est´a relacionado con la velocidad del centro de masa, vCM ≡ v como: v =

ds dt

(3.65)

′

El t´ermino s , debido a la homogeniedad de la rueda de Maxwell no afecta a la Energ´ıa Potencial de la rueda. Por lo tanto : Ep = −

N X i=1

mi g s = −gs

N X i=1

= −gsM

(3.66)

Si durante el movimiento de la rueda de Maxwell, asumimos que la cuerda no desliza, la velocidad del centro de masa de la rueda ser´a igual a la velocidad lineal de cualquier punto situado en la periferia del eje de la rueda donde est´a arrollada la cuerda. Si el eje tiene radio r, eso significa que v = ωr

(3.67)

Con estas consideraciones podemos concluir que la Energ´ıa total de una rueda de Maxwell, que recorre una distancia s girando sin deslizar, es la suma de su Energ´ıa Cin´etica de Rotaci´on, m´as la Energ´ıa Cin´etica de Traslaci´on m´as la Energ´ıa Potencial, por lo tanto: Et =

1 1 Iz ω 2 + M v 2 − M gs 2 2

expresi´on que podemos reescribir como: 1 Et = −M sg + 2



Iz M + 2 r



v2

(3.68)

´ ´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ 3 PRACTICA 3: CONSERVACION

40

Donde M es la masa de la rueda, s es el desplazamiento vertical del centro de masa de la rueda desde la posici´ on inicial, Iz es el momento de inercia de la rueda respecto el eje de rotaci´ on que pasa por su centro de masa y v = ds/dt es la velocidad de traslaci´ on vertical del centro de masa. Puesto que la Energ´ıa Mec´anica total de la rueda es constante, es decir, es una magnitud que se conserva, la ecuaci´on (3.68) se puede simplificar si derivamos respecto del tiempo y obtener una expresi´on para la velocidad y el espacio recorrido en funci´on del momento de inercia. Si derivamos respecto del tiempo tenemos:   dv Iz (3.69) 0 = −mgv + m + 2 v r dt Si tomamos como condiciones iniciales que para: t = 0;

s0 = 0 y

v0 = 0

podemos integrar (3.69) y obtener una ecuaci´on para la velocidad v(t) de la rueda y otra para el espacio recorrido por la rueda s(t) en funci´on del momento de inercia y del tiempo transcurrido durante el desplazamiento.   Mg v(t) = t (3.70) M + Iz /r2   Mg 1 t2 (3.71) s(t) = 2 M + Iz /r2 3.- Objetivos: Determinar el momento de Inercia de la rueda de Maxwell y comprobar la conservaci´on de la energ´ıa. 4.- Material: Rueda de Mawxwell, barrera fotoel´ectrica con contador digital de tiempos, disparador de cable, escala milim´etrica y cables de conexi´on. 5.- Disposici´on Experimental: El montage de la pr´actica se puede observar en la figura (11): En el se puede ver la rueda de Maxwell en su posici´on inicial con las cuerdas arrolladas en el eje del disco. En esta posici´on se encuentra sujeto por el disparador, Figura (10) que se ha de mantener apretado, de manera que cuando se suelte el pulsador el disco quedar´a libre para caer y girar. Una vez que se ha dejado libre el disco y antes de que el eje del disco llegue a su puerta de medici´on, hay que volver a pulsar el disparador y mantenerlo pulsado, para que la puerta pueda medir el tiempo de ca´ıda. 6.- Realizaci´on y Toma de Datos:

´ ´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ 3 PRACTICA 3: CONSERVACION

Figura 9: Dispositivo Fotoel´ectrico

41

Figura 10: Dispositivo de disparo

A una cierta distancia s se coloca la puerta fotoel´ectrica, Figura (9) que mide el tiempo t que transcurre desde que se pulsa el disparador hasta que el eje del disco llega a la l´ınea de medida. La regla permite medir esta distancia con un error asociado a la precisi´on de la regla. Por otra parte, la puerta fotodetectora permite medir los tiempos con gran precisi´on. Las medidas se repetiran dos veces para disminuir el error cometido. Figura 11: Rueda de Maxwell

´ ´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ 3 PRACTICA 3: CONSERVACION

42

6.1- Medir el tiempo que tarda la rueda en recorrer la distancia que le separa desde el punto inicial hasta el detector para 6 valores diferentes de altura s. Medir dos veces el tiempo en cada caso y tomar el valor medio de las medidas e indicar el error cometido tanto en las distancias como en los tiempos.

Tabla 1: Medidas del espacio recorrido por la rueda de Maxwell en funci´ on del tiempo s (mm)

∆ s (mm)

t1 (s)

t2 (s)

t¯(s)

∆ t¯(s)

1) Representar gr´aficamente s frente a t¯2 . 2) Calcular la pendiente de la recta p y la ordenada en el origen b y el coeficiente de correlaci´on lineal c de la recta de m´ınimos cuadrados s = pt¯2 + b p =

b =

c =

3) Trazar esta recta sobre la representaci´on anterior 4) Haciendo uso de la pendiente de la recta de m´ınimos cuadrados y comparando con la ecuaci´on (3.71), determinar el momento de inercia I de la rueda de Maxwell. Tomar como valores para la rueda de Maxwell: m = 0.436 kg para su masa y r = 2.5mm para el radio de su eje. Iz =

6.2- Para cada valor de la distancia s, representar el valor de la velocidad v frente al tiempo.

´ ´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ 3 PRACTICA 3: CONSERVACION

43

Tabla 2: Representaci´ on de la velocidad de la rueda de Maxwell en funci´ on del tiempo

t¯(s)

v(m)

6.3- Para cada valor del tiempo, determinar el valor de la Energ´ıa Potencial Gravitatoria, Ep , el de la Energ´ıa Cin´etica de Rotaci´on Er y el de la Energ´ıa Cin´etica de Traslaci´on Et . Tabla 3: Representaci´ on de la Energ´ıa Potencial, Eneg´ıa Cin´ etica de Rotaci´ on y Energ´ıa Cin´ etica de Traslaci´ on en funci´ on del tiempo t¯

Ep

Er

Et

1) Representar el valor de cada Energ´ıa frente el tiempo indicando el tipo de curva que se obtiene en cada caso. 2) ¿Son las curvas obtenidas compatibles con los resultados esperados? Explique los mismos.

7.- Preguntas y conclusiones: 7.1- ¿Se puede deducir, partiendo de los datos obtenidos en el punto 6.3 que se conserva la Energ´ıa Mec´anica en el disco de Maxwell? 7.2- Obtener las ecuaciones (3.70) y (3.71)

´ ´ DE LA ENERG´IA MECANICA ´ 3 PRACTICA 3: CONSERVACION

44

7.3- Deducir las expresiones de la Energ´ıa Cin´etica de Traslaci´on, de Rotaci´on y de la Energ´ıa Potencial de la rueda de Maxwell en funci´on del tiempo. 7.4- Calcular la Energ´ıa total en funci´on del Tiempo. 7.5- En el apartado 6.2 ¿Como has determinado la velocidad v asociada a cada tiempo t¯ y por qu´e? ¿Obtienes los mismos resultados si utilizas para la velocidad v la expresi´on de s/t¯?. Si los resultados son distintos, ¿Cu´al es la expresi´on correcta que debemos utilizar para v, y por qu´e? 7.6- Se hace un yoyo enrollado en un hilo varias veces alrededor de un cilindro s´olido de masa M y radio R. Se sostiene el extremo del hilo fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. El hilo se desenrolla sin resbalar ni estirarse conforme el cilindro cae y gira. Use consideraciones de Energ´ıa para calcular la velocidad vcm del centro de masa del cilindro s´olido despu´es de caer una distancia h.

´ ´ ´ 4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO

4.

45

Pr´ actica 4: P´ endulo Matem´ atico

Figura 12: Pendulo

4.1.

Dependencia del periodo del p´ endulo con el ´ angulo de oscilaci´ on

1.- Conceptos Implicados: Periodo de oscilaci´on, aceleraci´on de la gravedad g, y ´angulo de oscilaci´on. 2.- Principio F´ısico: Un p´endulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa, de longitud l no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posici´on de equilibrio (vertical), oscilar´a alrededor de dicha posici´on. La trayectoria de la masa puntual no es una recta, sino el arco de un c´ırculo de radio l igual a la longitud del hilo Figura (12) Las fuerzas que act´ uan sobre el p´endulo simple son: su peso P~ = m~g , y la tensi´on T~ del hilo. Cuando el hilo forma un ´angulo θ con la vertical, el peso tiene las componentes mg cos θ a lo largo del hilo y mg sen θ tangencial al arco circular en el sentido de θ decreciente. Para la componente tangencial Fθ , o fuerza de restituci´on, si P aplicamos la segunda ley de Newton ( Fi = mai ), obtenemos: − mg sen θ = Fθ = m

d2 s dt2

(4.72)

´ ´ ´ 4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO

46

donde la longitud del arco s est´a relacionada con el ´angulo θ mediante s = lθ. Derivando dos veces con respecto al tiempo ambos lado de la expresi´on s = lθ se obtiene: d2 θ d2 s = l (4.73) dt2 dt2 Sustituyendo en la ecuaci´on (4.72) se obtiene: d2 θ g (4.74) = − sen θ 2 dt l Observese que la masa m no aparece en la ecuaci´on. Podemos considerar, analizando la ecuaci´on (4.74), que el movimiento de un p´endulo es aproximadamente arm´onico simple. De hecho, si consideramos ´angulos peque˜ nos, sen θ ≈ θ, pues el sen θ puede expresarse como una serie infinita de la forma sen θ = θ −

θ5 θ7 θ(2n+1) θ3 + − + ..... + . 3! 5! 7! (2n + 1)!

Para esta aproximaci´on, de ´angulos peque˜ nos, la ecuaci´on (4.74) se convierte en: g d2 θ = − θ (4.75) 2 dt l que corresponde a la ecuaci´on de un movimiento arm´onico simple, donde la fuerza de restituci´on Fθ es proporcinal a la coordenada para desplazamientos peque˜ nos y la constante de fuerza es k = mg/l. La frecuencia angular ω de un p´ endulo simple con amplitud peque˜ na es: r r r k mg/l g ω = = = m m l Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son: r 1 g ω = f = 2π 2π l s 2π l 1 T = = = 2π ω f g

(4.76)

Insistimos en que el movimiento de un p´endulo es aproximadamente arm´onico simple. Si la amplitud no es peque˜ na, la divergencia con respecto al movimiento arm´onico simples puede ser considerable. De hecho el periodo puede expresarse como una serie infinita de la forma: s   l 12 12 32 2 θ 4 θ 1 + 2 sen + 2 2 sen + ..... (4.77) T = 2π g 2 2 2 4 2 θ se expresa en radianes.

√ Nuestro objetivo es demostrar la dependencia de T con l y calcular el valor aproximado de g a partir de la expresion (4.76), despejando g obtenemos: g =

T2 l (2π)2 ⇔ = cte ⇔ 2 = cte 2 T l T

´ ´ ´ 4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO

47

3.- Material: Base soporte con varilla, nuez doble, mordaza con varilla, hilo, bola grande con gancho, cron´ometro y cinta m´etrica. 4.- Disposici´on Experimental: Realizar el montaje mostrado en la Figura (14). Para

Figura 13: P´endulo ello unir la varilla a la base soporte. Fijar la nuez doble y a ´esta la mordaza con varilla. Cortar unos 90 cm de hilo y atarlo por el extremo del orificio de la bola grande mediante un par de nudos simples. El otro extremo del hilo lo presionaremos en la mordaza y con ayuda de la cinta m´etrica mediremos la longitud deseada del p´endulo, teniendo en cuenta que la medida es hasta la mitad del di´ametro de la bola que es donde se encuentra el centro de masa. Otra opci´on es medir siempre hasta la superficie de la bola y sumarle el radio. Seg´ un disminuyamos la longitud del p´endulo debemos bajar la nuez doble hacia la parte vertical para ganar estabilidad.

´ ´ ´ 4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO

48

5.- Realizaci´on y toma de datos: Para cada valor de l medir el tiempo en segundos, transcurrido en 30 oscilaciones del p´endulo t30 y hallar el periodo T como T = t30 /30, usando en las medidas dos cifras significativas despu´es del cero (es decir precisi´on de cent´esimas de segundo que es lo que nos muestra el cron´ometro). Para ello desplazar el p´endulo desde su posici´on de equilibrio entre unos 5o o 10o y soltar la bola. Poner en marcha el cron´ometro cuando la bola llegue a uno de sus extremos y pararlo cuando halla pasado 30 veces por el mismo punto. (Se define una oscilaci´on como el recorrido que hace la bola desde que sale de un punto hasta que vuelve a pasar por el mismo punto). Con los datos obtenidos rellenar la siguiente tabla: Tabla 1: Medidas del Periodo de oscilaci´ on de un p´ endulo en funci´ on de su longitud

l(m)

t30 (s)

T = t30 /30 (s)

T 2 (s2 )

l/T 2 (m/s2 )

g =

(2π)2 l (m/s2 ) T2

0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 A partir de los valores de g obtenidos calcular el valor medio g¯ con su error correspondiente: g¯ ± ∆g = ................. 6.- Preguntas y Conclusiones: 6.1- ¿Se verifica que l/T 2 es constante? 6.2- Dibujar la gr´afica de T 2 frente a l. Obtener la pendiente de la recta por m´ınimos cuadrados. 6.3- Calcular el valor experimental de g a trav´es de la pendiente de la recta. (Si: (2π)2 l Esto indica que la pendiente de la recta obtenida es: (2π)2 /g). T2 = g ¿Se aproxima este valor al valor te´orico de g = 9.81 m/s2 ? 6.4- Comparar el valor medio de g¯ con el valor de g obtenido a trav´es de la pendiente.

´ ´ ´ 4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO

49

6.5- Analizar los errores de medida de los aparatos y los experimentales. 6.6- ¿Por qu´e hemos realizado la medida para 30 periodo y no s´olo para uno? 6.7- ¿De que factores geogr´aficos depende el valor de la aceleraci´on de g? 6.8- ¿ Se te ocurre alg´ un otro m´etodo para medir el valor de g? 6.9- Calcule el periodo y la frecuencia de un p´endulo simple de 1.000m de longitud en un lugar donde g = 9.800m/s2 . 6.10- En la Tierra cierto p´endulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ¿ Qu´e periodo tendr´a en Marte, donde g = 3.71m/s2 ? 6.11- Despu´es de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un p´endulo simple con longitud de 50.0 cm, y determina que efect´ ua 100 oscilaciones completas en 136 s ¿Cu´anto vale g en ese planeta?

4.2.

Dependencia del periodo del p´ endulo con la masa

1.- Material: Base soporte con varilla, nuez doble, mordaza con varilla, hilo, bola pequ˜ na con gancho, cron´ometro y cinta m´etrica. 2.- Objetivo: Estudiar la dependencia que existe entre el periodo de oscilaci´on de un p´endulo simple y la masa del mismo. 3.- Fundamento Te´orico: En la expresi´on que hemos obtenido para el periodo de osp cilaci´on de un p´endulo simple T = 2π l/g, no aparece ninguna dependencia con la masa del mismo. Se trata de demostrar experimentalmente que esto realmente es lo que ocurre, o sea que el periodo de oscilaci´on de un p´endulo simple no depende da la masa del mismo. 4.- Disposici´on Experimental: Realizar el mismo montaje que en el experimento anterior con la diferencia que ahora utilizaremos la bola peque˜ na a la que ataremos otro hilo. 5.- Realizaci´on y Toma de Datos: Repetir las medidas realizadas en el experimento anterior pero con la bola peque˜ na.

´ ´ ´ 4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO

50

Tabla2: Medidas del periodo de oscilaci´ on de un p´ endulo con bola peque˜ na en funci´ on de su longitud l(m)

t30 (s)

T = t30 /30 (s)

T 2 (s2 )

l/T 2 (m/s2 )

g =

(2π)2 l T2

(m/s2 )

0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 A partir de los valores de g obtenidos calcular el valor medio g¯ con su error correspondiente: g¯ ± ∆g = ................. 6.- Preguntas y Conclusiones: 6.1- ¿Depende el periodo del p´endulo de la masa del mismo? 6.2- ¿Qu´e debe hacerse a la longitud del hilo de un p´endulo simple para 1) Duplicar su frecuencia 2) Duplicar su periodo 3) Duplicar su frecuencia angular

4.3.

Dependencia del periodo del p´ endulo con el ´ angulo de oscilaci´ on

1.- Material: Base soporte con varilla, nuez doble, mordaza con varilla, hilo, bola peque˜ na con gancho, cron´ometro, cinta m´etrica y medidor de ´angulos. 2.- Objetivos: Estudiar cualitativamente la dependencia que existe entre el periodo de un p´endulo simple y el ´angulo de oscilaci´on del mismo. 3.- Fundamento Te´orico: Para analizar la dependencia del periodo de un p´endulo con p la longitud del mismo hemos realizado la aproximaci´on de T = 2π l/g con la condici´on de oscilaciones para ´angulos peque˜ nos (movimiento ´armonico simple). Si θ es lo suficientemente grande podemos apreciar una dependencia en el valor del periodo con el a´ngulo de oscilaci´on. Recordemos que la expresi´on que resulta de resolver la ecuaci´on de movimiento del p´endulo simples e (4.77)

´ ´ ´ 4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO

51

Figura 14: Dispositivo para medir ´angulos  p  2 2 2 T = 2π l/g 1 + 122 sen2 2θ + 122 432 sen4 2θ + ..... . Note que el periodo T difiere de T0 solamente para amplitudes muy grandes. Para peque˜ nas oscilaciones es suficiente tomar el primer t´ermino correctivo, y sustituir sen(θ/2) por θ/2, obtep niendose T = 2π l/g(1 + (1/16)θ2 ), donde θ se expresa en radianes. Esta es una aproximaci´on suficiente para la mayor parte de las situaciones pr´acticas. De hecho, el t´ermino θ2 /16 representa menos del 1 % para amplitudes menores de 230 . El signo positivo que precede al t´ermino (1/16)θ2 nos indica que para una longitud fija del p´endulo l, cuanto mayor sea el ´angulo de oscilaci´on del p´endulo mayor ser´a el periodo. 4.- Disposici´on Experimental: Realizar el mismo montaje que en el primer experimento, pero usando la bola peque˜ na para tener mas estabilidad. En esta ocasi´on mantendremos fijo el valor de l. Recomendamos que l no sobrepase los 40 cm para evitar desestabilizaciones para ´angulos grandes. 5.- Realizaci´on y Toma de Datos: Para el valor fijado de l, medir el tiempo transcurrido en 10 oscilaciones t10 y hallar el periodo T = t10 /10. Para ello desplace el p´endulo de su posici´on de equilibrio los grados indicados en la tabla 3 y soltar la bola. Poner en marcha el cron´ometro cuando la bola llegue a uno de los extremos y pararlo cuando haya pasado 10 veces por el mismo punto. Se recomienda realizar la medida varias veces y calcular el valor medio de t¯10 para minimizar los errores experimentales. Con los datos obtenidos rellenar la siguiente tabla, teniendo en cuenta que el % de desviaci´on se refiere a la desviaci´on relativa entre el valor del periodo medio a 5o y el medido a los otros ´angulos indicados. El T (5o ) se corresponder´ıa pr´acticamente con el valor te´orico usado en los experimentos 1

´ ´ ´ 4 PRACTICA 4: PENDULO MATEMATICO y 2, esto es T (5o ) ∼ = 2π

52

p l/g.

Tabla 3: Medidas del periodo de un p´ endulo en funci´ on del ´ angulo de oscilaci´ on inicial θ

t101

t102

t103

t¯10

T =

t¯10 (s) 10

%desviaci´on =

T −T (5o ) T (5o )

T¯(5o ) =

5o 30o 60o 90o

6.- Preguntas y Conclusiones: 6.1- ¿Se ha conseguido demostrar que efectivamente el periodo de oscilaci´on de un p´endulo simple depende del ´angulo con el que oscila? Explique el porqu´e. 6.2- Realizar la gr´afica T /T¯(5o ) frente a θ y comprobar que no se trata de una l´ınea recta. 6.3- Un p´endulo simple de 2.00 m de largo oscila con un ´angulo m´aximo de 30.0o con la vertical. Obtenga su periodo, 1) Suponiendo una amplitud peque˜ na 2) Utilizando los primeros tres t´erminos de la ecuaci´on (4.77). 3) ¿Cu´al de las respuestas a los incisos a) y b) es m´as precisa? 4) Para aquella que es menos precisa, ¿de qu´e porcentaje es el error con respecto a la m´as precisa?. 6.4- Si la amplitud de un p´endulo simple aumenta ¿deber´ıa aumentar o disminuir su periodo? Mencione un argumento cualitativo; no se base en la ecuaci´on (4.77).

× 100

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

5.

53

Pr´ actica 5: Principio de Arqu´ımedes

Figura 15: Arqu´ımedes

5.1.

Determinaci´ on de la densidad un s´ olido mediante el principio se Arqu´ımedes

1.- Conceptos Implicados: Dinam´ometro, principio de Arqu´ımedes, densidad, fluidos, 2.- Principio F´ısico: El principio de Arqu´ımedes establece que: Si un cuerpo est´ a parcial o totalmente sumergido en un fluido, ´este ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo (empuje) igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Es interesante comprender que el principio de Arqu´ımedes es una consecuencia de la presi´on hidrost´atica. Analicemos qu´e est´a ocurriendo con un cuerpo sumergido en un fluido con densidad ρ y cuales son las fuerzas que actuan sobre ´el Figura (16). Supongamos que este cuerpo es un cilindro de masa m, altura H y ´area A. En la superficie superior del cilindro la presi´on ejercida por el fluido es P1 = ρgh1 , con h1 la profundidad a la que se encuertra dicha superficie. En la

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

54

Figura 16: Empuje superficie inferior del cilindro la presi´on ser´a P2 = ρgh2 , con h2 la profundidad a la que se encuentra dicha superficie, con h2 > h1 . La fuerzas que act´ uan sobre ambas superficies debido a estas presiones ser´an: F~1 = −P1 A~j F~2 = P2 A~j por lo tanto: F~r = (p2 − p1 )A~j

⇒

F~r = (ρgh1 − ρgh2 )A~j

expresi´on que podemos escribir como: F~r = ρg(h2 − h1 )A~j ≡ ρgHA~j Como el volumen del cilindro Vc coincide con el volumen de agua desplazado por el cuerpo Va , Vc = Va , encontramos que la fuerza que act´ ua hacia arriba corresponde el empuje E, por lo tanto: E = ρgV

⇒

E = mg

(5.78)

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

55

Figura 17: Arquimedes siendo ρV = m, la masa de agua desalojada. Supongamos ahora que un cuerpo de masa mc , densidad ρc y volumen Vc cuelga de un dinam´ometro. El peso del cuerpo en el aire ser´a Pc . Si este mismo cuerpo se sumerge en un l´ıquido de densidad ρl , el dinam´ometro indicar´a el peso aparente Pap debido al empuje del l´ıquido E Figura (17). El peso aparente Pap del cuerpo totalmente sumergido en el l´ıquido ser´a igual a su peso en el aire menos el empuje E. Pap = Pc − E (5.79) Hemos visto que el empuje esta relacionado con la densidad del l´ıquido, el volumen de agua desalojada Vl y g eq.( 5.78). E = m l g = ρl V l g

(5.80)

Por otro lado el peso del cuerpo en el aire Pc se puede escribir como: Pc = mc g = ρc Vc g

(5.81)

Si sustituimos les ecuaciones (5.80) y (5.81) en (5.79) obtenemos que: Pap = ρc Vc g − ρl Vl g

(5.82)

Recordando que el volumen de agua desalojada Vl coincide con el volumen del cuerpo Vc si este est´a totalmente sumergido en el l´ıquido, tenemos: Pap = (ρc − ρl )Vc g

(5.83)

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

56

Si despejamos en esta ecuaci´on la densidad del cuerpo llegamos a: ρc =

Pap + ρl gVl

(5.84)

3.- Material: Base soporte con varilla, nuez con gancho, dispositivo de la ley de hooke (dinam´ometro), agua corriente, diversos cilindros regulares, probeta graduada, balanza de precisi´on, 4.- Disposici´on Experimental:

Figura 18: Dinam´ometro Realizar el montaje mostrado en la figura (18). Para ello roscar la varilla en la base soporte y fijar la nuez con gancho en la varilla vertical. Colgar de la nuez el dispositivo que corresponda (preferiblemente el muelle rojo). Colgar el cilindro de este muelle. La masa del cuerpo en el aire la determinamos con el dinam´ometro. Recuerde que |F~ | = kx = Pap . Una vez determinado el peso aparente del cuerpo sumergirlo totalmente en la probeta graduada llena de agua

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

57

destilada y determinar el volumen de agua desalojada. Usando la ecuaci´on (5.84) determinaremos la densidad de diferentes cuerpos. 5.- Realizaci´on y Toma de Datos: 5.1- Colgar del dinam´ometro uno de los cilindros, determinar y anotar su peso. 5.2- Anotar el volumen de agua corriente contenida en la probeta. 5.3- Sumergir el cuerpo en agua corriente y anotar su peso aparente y el volumen de agua desalojada. 5.4- Calcular la densidad del cilindro mediante la ecuaci´on (5.84) 5.5- Calcular el error ∆ρ de la medida obtenida para la densidad del cilindro 5.6- Repetir el proceso para los dem´as cinlindros rellenando la Tabla 1

Tabla 1: Medidas de Pap , Va y densidad para distintos solidos Cilindro

Pap (N )

Va (m3 )

ρl (kg/m3 )

Pap + ρl gVl (kg/m3 )

ρc =

∆ρc (kg/m3

6.- Preguntas y Conclusiones: 6.1- Compare las densidades obtenidas para cada cilindro ¿Son razonables los valores obtenidos? Comente los resultados. 6.2- ¿Por qu´e el volumen de agua desalojada con el cuerpo transparente es mayor que en el caso de los cilindros de metal si su peso es menor? ¿De que depende? 6.3- ¿Se podr´ıa utilizar este m´etodo para determinar densidades de l´ıquidos. ¿En caso afirmativo, como se har´ıa? 6.4- Pase las unidades de la densidad de los solidos obtenidos de (kg/m3 ) a (g/cm3 ). 6.5- Un trozo de aluminio totalmente cubierto con una capa de oro forma un lingote que pesa 45.0 N . Si el lingote se suspende de una balanza de resorte y se sumerge en agua, la lectura es de 39.0 N . ¿Qu´e peso de oro hay en el lingote? 6.6- Un trozo de acero pesa, P . Su peso aparente sumergido por completo en agua es Pa y sumergido en un fluido desconocido es Pf .

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

58

1) Demuestre que la densidad del fluido relativa al agua (gravedad especifica) es : (P − Pf )/(P − Pa ). 2) ¿Es razonable este resultado para los tres casos en el que Pf sea mayor, igual o menor que Pa .

3) El peso aparente de un trozo de acero en agua (densidad ρ = 1000kg/m3 ) equivale a 87.2 % de su peso. ¿Que porcentaje de su peso ser´a su peso aparente en ´acido f´ormico (densidad ρ = 1220 kg/m3 )?

5.2.

Determinaci´ on de la densidad de varios s´ olidos

1.- Material: Varios cilindros, aparatos de precisi´on: balanza, calibre, micr´ometro. 2.- Disposici´on Experimenal: Trataremos de calcular la densidad de varios cilindros determinando su masa y su volumen. Para determinar su masa utilizaremos una balanza de precisi´on. El valor del volumen lo obtendremos determinando con un calibre y micr´ometro el valor de su altura y el ´area de su base.

Figura 19: Calibre El calibre Figura (19) es un aparato empleado para la medida de espesores y di´ametros interiores y exteriores. Consta de una regla provista de un nonius. El nonius es un aparato destinado a la medida precisa de longitudes o de ´angulos. El empleado para la medida de longitudes consta de una regla dividida en partes iguales, sobre la que desliza una reglilla graduada (nonius) de tal forma que n − 1 divisiones de la regla se dividen en n partes iguales del nonius. Si D es la longitud de una de las divisiones de la regla, la longitud de una divisi´on de nonius

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

59

Figura 20: Micr´ometro es d = D(n − 1)/n). Se llama precisi´on p a la diferencia entre las longitudes de una divisi´on de la regla y otra del nonius. Su valor es: D D(n − 1) = (5.85) n n As´ı, si cada divisi´on de la regla tiene por longitud un mil´ımetro, y se han dividido nueve divisiones de ella en diez del nonius, la precisi´on es de 1/10 de mm (nonius decimal). p = D −d = D −

El micr´ ometro que tambi´en es denominado tornillo de Palmer, calibre Palmer o simplemente palmer, Figura (20) es un instrumento empleado para medir longitudes exteriores o interiores con alta precisi´on (en dependencia del modelo de que se trate) basado en la rotaci´on de un tornillo, cuyo desplazamiento axial es proporcional a su desplazamiento angular. (Palmer ide´o la forma pr´actica de utilizar este principio en la medici´on.) En la figura 20 se puede visualizar las partes fundamentales de un micr´ometro. 1. Cuerpo: Constituye la estructura o armaz´on del micr´ometro. 2. Tope Fijo: Determina el punto cero de la medida. 3. Tope M´ ovil o Espiga: Parte m´ovil que determina la lectura del instrumento. 4. Dispositivo de Seguro o Tuerca de Fijaci´ on: Permite paralizar el desplazamiento del tope m´ovil. 5. Tambor Microm´ etrico Fijo: Adherido al cuerpo, donde se graba la escala fija de 0 a 25 mm. 6. Tambor Microm´ etrico M´ ovil: Solidario al tope m´ovil, donde se graba la escala circular o m´ovil de 50 divisiones.

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

60

7. Trinquete o Freno: Sirve para limitar la presi´on del tope m´ovil sobre la pieza a medir, ya que una excesiva presi´on sobre la misma nos llevar´ıa a mediciones err´oneas. Pasos para realizar la lectura. En la figura 21 se puede apreciar la escala longitudinal y la circuferencial de un micr´ometro

Figura 21: Micr´ometro-Lectrura a) Se anota la u ´ltima lectura visible de la escala grabada longitudinalmente en el cuerpo del instrumento (escala fija). En nuestro ejemplo el valor es de 5.5 mm b) Se observa cu´al es la divisi´on del tambor que coincide exactamente con la raya longitudinal de la escala fija. En el ejemplo mostramos el n´ umero 11 (este valor es el n´ umero de cent´esimas de mm) y se agregar´a a la lectura anterior como 0.11 mm. c) 5.5 (mm) + 0.11 (mm)en el tambor = 5.61 lectura. 3.- Realizaci´on y Toma de Datos: 3.1- Pese cada uno de los cilindros con la balanza de precisi´on y anote la masa M de cada cilindro con su error correspondiente. 3.2- Mida la altura h de cada uno de los cinlindros con el calibre y anote su valor con el error correspondiente. 3.3- Mida el di´ametro D de cada uno de los cilindros con el micr´ometro y anote su valor con el error correspondiente. 3.4- Calcule el volumen V = π(D/2)2 h de cada cilindro con su error correspondiente.

´ 5 PRACTICA 5: PRINCIPIO DE ARQU´IMEDES

61

3.5- Calcule la densidad ρ = M/V de cada cilindro con su error correspondiente.

Tabla 2: Medidas de masa, volumen y densidad para distintos s´ olidos cilindro

M ± ∆M (g)

h ± ∆h (cm)

D ± ∆D (cm)

V ± ∆V (cm3 )

ρ ± ∆ρ (g/cm3 )

4.- Preguntas y Conclusiones: 4.1- Compare el valor de la densidad obtenida para cada cilindro utilizando el pricipio de Arqu´ımedes con la obtenida a trav´es de la expresi´on ρ = M/V . 4.2- ¿Cu´al de ellas es la m´as correcta y por qu´e? 4.3- Imagine que compra una pieza rectangular de metal de 5.0 × 15.0 × 30.0 mm y masa de 0.0158 kg. El vendedor le dice que es de oro. Para verificarlo, usted calcula la densidad media de la pieza. ¿Qu´e valor obtiene? ¿Fue una estafa? 4.4- Una esfera uniforme de plomo y una de aluminio tienen la misma masa ¿Cu´al es la raz´on entre el radio de la esfera de aluminio y el de la esfera de plomo? 4.5- Un tubo cil´ındrico hueco de cobre mide 1.50 m de longitud, tiene un di´ametro exterior de 3.50 cm y un di´ametro interior de 2.50 cm. ¿Cuanto pesa?

´ 6 PRACTICA 6: ESTUDIO DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

6.

62

Pr´ actica 6: Estudio del Principio de Bernoulli

Figura 22: Bernoulli

6.1.

Verificaci´ on del Principio de Bernoulli

1.- Conceptos Implicados: Conservaci´on de energ´ıa, presi´on de un fluido, flujo, densidad y masa de un fluido, caudal, ecuaci´on de continuidad. 2.- Principio F´ısico: El flujo de fluidos suele ser extremadamente complejo (por ejemplo corrientes de los r´ıos), pero en algunas situaciones se pueden representar con modelos idealizados relativamente simples. Definimos un fluido ideal a todo fluido con las siguientes caracter´ısticas: Fluido no viscoso: Se desprecia la fricci´on interna entre las distintas capas del fluido Flujo estacionario: La velocidad del fluido en un punto cualquiera del mismo es constante en el tiempo. Flujo incompresible: La densidad del fluido permanece constante. Flujo irrotacional: no presenta torbellinos. 2.1- Ecuaci´ on de Continuidad: Consideremos una porci´on de fluido ideal en la Figura (23), en el instante t y en el instante t + ∆t. En un intevalo de tiempo ∆t, la secci´on S1 que limita a la porci´on de fluido en la tuber´ıa inferior se

´ 6 PRACTICA 6: ESTUDIO DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

63

Figura 23: Continuidad mueve hacia la derecha la distancia ∆x1 = v1 ∆t, con v la velocidad de desplazamiento del fluido en ese tramo. La masa de fluido desplazada hacia la derecha en ese mismo instante de tiempo es ∆m = ρS1 ∆x1 = ρS1 v1 ∆t. An´alogamente, la secci´on S2 que limita la porci´on de en la tuber´ıa superior se mueve hacia la derecha ∆x2 = v2 ∆t en el intervalo de tiempo ∆t. La masa de fluido desplazada es ∆m2 = ρS2 v2 ∆t. Como el flujo es estacionario, la masa de fluido que atraviesa la secci´on S1 en el tiempo ∆t, es igual a la masa que atraviesa la secci´on S2 en el mismo intervalo de tiempo. Por lo tanto para tiempos infinitesimales, nos quedar´a ρS1 v1 dt = ρs2 v2 dt

(6.86)

v 1 S1 = v 2 S2

(6.87)

o bien, Esta relaci´on se conoce con el nombre de Ecuaci´ on de Continuidad, y establece una relaci´on entre las secciones transversales de la tuber´ıa y las velocidades correspondientes a esas secciones, o sea S2 v1 = v2 S1

(6.88)

Una condici´on importante que hemos utilizado para obtener esta relaci´on es que el fluido es incompresible. El producto Sv se define como Tasa de flujo de volumen o caudal y se

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entiende como la rapidez con que el volumen cruza una secci´on del tubo: dV = Sv = Q dt

(6.89)

La tasa de flujo de masa es el flujo de masa por unidad de tiempo a trav´es de una secci´on transversal, y es igual a la densidad ρ multiplicada por el dV o caudal Q. La ecuaci´on (6.87) indica que la tasa de flujo de volumen dt flujo tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de cualquier tubo de flujo. Si la secci´on transversal de un tubo de flujo disminuye, la rapidez o caudal aumenta y viceversa. (El chorro de agua que sale de un grifo se dV su caudal, tiene el adelgaza al adquirir velocidad durante su ca´ıda, pero dt mismo valor en todo el chorro). 2.2- Deducci´ on de la Ecuaci´ on de Bernoulli: Evaluemos los cambios energ´eticos que ocurren en la porci´on de fluido, cuando se desplaza a lo larga de la tuber´ıa. En la figura (24), se se˜ nala la situaci´on inicial y se compara con la situaci´on final despu´es de un tiempo ∆t.

Figura 24: Deducci´on de la ecuaci´on de Bernoulli El trabajo realizado sobre este elemento de fluido durante el tiempo ∆t ser´a igual a la variaci´on de energ´ıa cin´etica m´as la variaci´on de energ´ıa potencial. Este trabajo, suponiendo que la fricci´on interna del fluido es despreciable, se debe a la presi´on de los fluidos circundantes. Si las presiones en los extremos son p1 y p2 , la fuerza sobre la secci´on transversal S1 es |F~1 | = p1 S1 y sobre la secci´on transversal S2 es |F~2 | = p2 S2 . Por lo tanto el trabajo neto infinitesimal efectuado sobre el elemento por el fluido circundante durante ese desplazamiento es: dW = p1 S1 dx1 − p2 S2 dx2

(6.90)

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La energ´ıa mec´anica para el fluido entre las secciones 1 y 2 no cambia. En el instante inicial de ∆t el fluido en 1 tiene volumen S1 ∆x1 y masa ρS1 ∆x1 y 1 energ´ıa cin´etica ρ(S1 ∆x1 )v12 . Al final ∆t el fluido en 2 tiene energ´ıa cin´etica 2 1 2 ρ((S2 ∆x2 )v2 . El cambio neto infinitesimal de energ´ıa cin´etica dEc durante 2 el tiempo dt ser´a: 1 ρdV (v22 − v12 ) (6.91) 2 De forma an´aloga al iniciar ∆t, la energ´ıa potencial para la masa que est´a en 1 es ∆mgy1 = ρ∆V gy1 y al final de ∆t para la masa que est´a en 2, la energ´ıa potencial es δmgy2 = ρ∆V gy2 . El cambio neto infinitesimal de energ´ıa potencial dU durante ese intervalo de tiempo infinitesimal dt ser´a: dEc =

dU = ρdV g(y2 − y1 )

(6.92)

Combinando las ecuaciones (6.90), (6.91) y (6.92) obtenemos: (p1 − p2 )dV p1 − p2 p1 + ρgy1 +

1 2 ρv 2 1

1 ρdV (v22 − v12 ) + ρdV g(y2 − y1 ) 2 1 2 ρ(v − v12 ) + ρg(y2 − y1 ) = 2 2 1 = p2 + ρgy2 + ρv22 2

=

(6.93)

´ Esta es la ecuaci´on de Bernoulli y dice que el trabajo efectuado sobre una unidad de volumen de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cambios de las energ´ıas cin´etica y potencial por unidad de volumen que ocurre durante el flujo. Tambi´en podemos interpretar la ecuaci´on (6.93) en t´erminos de presiones y nos dice que la suma del t´ermino correspondiente a la presi´on del fluido en un punto determinado , m´as la presi´on asociada a la velocidad en ese punto o t´ermino cin´etico m´as la presi´on asociada a la altura del fluido en ese punto o t´ermino potencial se mantiene constante. 2.3- Efecto Venturi: Cuando el desnivel es cero, la tuberia es horizontal, entonces tenemos el denominado tubo de Venturi, que se usa para medir la velocidad de un fluido en una tuber´ıa. El man´ometro mide la diferencia de presi´on entre las dos ramas de la tuber´ıa. La ecuaci´on de continuidad (6.87) nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tuber´ıa que tiene menor secci´on es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor secci´on,. Si S1 > S2 entonces necesariamente v1 < v2 . Adem´as, como y1 = y2 , la ecuaci´on de Benoulli (6.93) se expresa como: p1 +

1 1 2 ρv1 = p2 + ρv22 2 2

(6.94)

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Figura 25: Tubo de Venturi Como la velocidad en el tramo de menor secci´on es mayor, la presi´on en dicho tramo es menor. Si V1 < v2 p1 tiene que ser mayor que p2 , por lo tanto el l´ıquido manom´etrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el lado derecho. Las velocidades se obtienen despejando de la ecuaci´on (6.94), a partir de la lectura de las diferencias de presiones en el man´ometro. s 2(p1 − p2 ) (6.95) v 2 = S1 ρ(S12 − S22 ) Recordando que la medida de presi´on en un man´ometro es de la forma: p = ρgh, con h la altura de columna de l´ıquido en el man´ometro, podemos reemplazar esta presi´on en la ecuaci´on (6.94) y tenemos: 1 1 2 ρv1 = ρgh2 + ρv22 2 2 v12 v22 h1 + = h2 + 2g 2g

ρgh1 +

(6.96)

y la velocidad vendr´a dada por: v2 =

s

2gh 1 − (S2 /S1 )2

(6.97)

con h la diferencia entre las alturas de presiones manom´etricas h1 − h2 Podemos considerar tambi´en que a lo largo del recorrido entre 1 y 2 tenemos p´erdida de presi´on por fricci´on del l´ıquido con las paredes y accesorios de la tuber´ıa, entonces la ecuaci´on (6.96) toma la forma: h1 + con:

v2 v12 = h2 + 2 + hv 2g 2g

(6.98)

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1) h1 nivel de presi´on (altura de presi´on) en la secci´on transversal 1. 2) v1 velocidad del fluido en la secci´on transversal 1. 3) h2 nivel de presi´on (altura de presi´on) en la secci´on transvesal S2 . 4) v2 velocidad del fluido en la secci´on transversal S2 . 5) hv nivel de p´erdidas a lo largo del recorrido entre 1 y 2. 2.3.1-Presiones en el Tubo de Venturi: La ecuaci´on (6.96) la podemos reescribir de forma gen´erica en funci´on de las alturas de presiones como: hesta. + hdin. = htotal

(6.99)

con hesta. = h que corresponde a la altura de presi´on manom´etrica, y que 1 llamaremos altura de presi´on est´atica, hdin. = ρv 2 que corresponde al 2 t´ermino asociado con la velocidad del fluido y que llamaremos altura de presi´on din´amica. y htotal que corresponde a la altura de presiones totales y que para un fluido ideal y sin p´erdidas de presiones a lo largo del recorrido se mantiene constante. 2.3.2- Velocidad en el Tubo de Venturi: La ecuaci´on (6.88)establece una relaci´on entre las secciones transversales de una tuber´ıa y velocidad del fluido en esas secciones. Si tenemos un tubo de Venturi con i man´ometros y conocemos las secciones transversales de la tuber´ıa donde est´an colocados esos man´ometros, podremos determinar las velocidades del fluido en esos puntos. Vamos a definir: S1 (6.100) v¯i = Si como la velocidad de referencia estandarizada asociada a cada tubo de Venturi y que depende de la geometr´ıa del mismo. Conocido el caudal Q, sabeQ mos que v = , por lo tanto la velocidad en cada punto del tubo de Venturi S ser´a: Q S1 = v1¯vi

v1 = vi

(6.101)

2.3.3- Determinaci´ on del factor de paso: El tubo de Venturi se utiliza para medir el caudal y tiene la ventaja de su escasa p´erdida de presi´on. El caudal se puede medir como la diferencia de altura presi´on ∆h entre la entrada y el punto del tubo con menor di´ametro: √ (6.102) Q = K ∆h con K el llamado factor de paso. Este suele venir ajustado por el fabricante del tubo de Venturi. Si se desconoce este dato, se puede calcular a trav´es

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de la expresi´on anterior,o sea, conocido el caudal y la p´erdida de presi´on, tenemos: Q (6.103) K = √ ∆p Donde el caudal de expresa en l/s y la diferencia de presi´on ∆p en [bar] 3.- Material:

Figura 26: Panel El equipo presentado en la figura (26) nos permitir´a estudiar el principio de Bernoulli utilizando para ello un tubo de Venturi con seis puntos de medici´on de la presi´on. Las seis presiones est´aticas se muestran en un panel con seis man´ometros.

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Se puede medir la presi´on total en distintos puntos del tubo de Venturi. La presi´on total se indica en un segundo man´ometro. La medici´on se efect´ ua mediante una sonda m´ovil en sentido axial respecto al tubo de Venturi. La sonda est´a cerrada herm´eticamente con una empaquetadura para prensaestopas. 3.1- Seis man´ometros acoplados al tubo de Venturi 3.2- Tubo de Venturi 3.3- Sonda de medici´on de presi´on total 3.4- caudal´ımetro 4.- Disposici´on Experimental: Con la disposici´on experimental que tenemos podemos: Demostrar el principio de Bernoulli Medir la presi´on a lo largo del Tubo de Venturi Determinar el factor de paso Pasaremos a continuaci´on a describir los distintos elementos que componen nuestra disposici´on experimental que presentamos en la figura (27):

Figura 27: Descripci´on del equipo 1- Panel de pr´acticas. 2- Man´ometro de 6 tubitos. 3- Racor de manguera de entrada de agua

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4- V´alvula de entrada de agua 5- Tubo de Venturi con seis puntos de medici´on 6- Tubo de salida 7- V´alvula de salida 8- Empaquetedura para prensaestopas y Sonda de medici´on de presi´on total (m´ovil en sentido axial) 9- Man´ometro de tubito simple 5.- Realizaci´on y Toma de Datos: i.- Comprobar que todas la v´alvulas est´an cerradas. ii.- Ajustar la tuerca racor del prensaestopas de sonda de forma que la sonda se pueda mover f´acilmente. iii.- Conectar la bomba y abrir lentamente el grifo principal. iv.- Abrir las v´alvulas de purga de todos los man´ometros. v.- Cerrar con cuidado el grifo de salida hasta que los man´ometros queden irrigados. vi.- Ajustar simult´aneamente el grifo de entrada y de salida para regular el nivel de agua en los man´ometros de forma que no excedan los l´ımites inferiores y superiores del ´area de medici´on. vii.- Medir la presi´on en todos los puntos de medici´on. Despu´es colocar la sonda de presi´on total en el correspondiente nivel de medici´on y anotar la presi´on total en cada punto de medici´on. 5.1- Evoluci´ on de la Presi´ on en el tubo de Venturi: Rellene la siguiente tabla con la medida de los datos de las alturas de presiones para tres caudales distintos: Tabla 1: Medidas de altura de presiones en funci´ on del caudal Q h1 [mm.c.a.] hesta. htotal hdin. hesta. htotal hdin. hesta. htotal hdin.

h2 [mm.c.a.]

h3 [mm.c.a.]

h4 [mm.c.a.]

h5 [mm.c.a.]

h6 [mm.c.a.]

Q1 [l/s]

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hdin. corresponde a la altura de de presi´on din´amica y viene dado por: hdin. = htotal − hesta.

(6.104)

con: hesta. la altura de presi´on medida con los man´ometros en cada uno de los tubos de Venturi y hdin. corresponde a la altura de presi´on total en cada en cada tubo de Venturi medida con la sonda de medici´on de presi´on total. 5.2- Velocidad en el tubo de Venturi: La tabla siguiente muestra la velocidad de referencia estandarizada v¯, que se deriva de la geometr´ıa del tubo de Venturi asociada a cada tubo:

Tabla de Secciones transversales y velocidades estandarizadas Punto de medici´on i 1 2 3 4 5 6

Si en m × 10−4 2

3.38 2.33 0.846 1.70 2.55 3.38

v¯i 1.00 1.45 4.00 2.00 1.33 1.00

Con estas velocidades de referencia podemos calcular las velocidades te´oricas vcalc. Complete la siguiente tabla de Velocidades en el tubo de Venturi: Tome los mismos caudales utilizados para el c´alculo de las presiones. Tabla 2: Medidas de velocidades en funci´ on del caudal Q v1 [m/s] vmed. vcal. vmed. vcal. vmed. vcal.

v2 [m/s]

v3 [m/s]

v4 [m/s]

v5 [m/s]

v6 [m/s]

Q [l/s]

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La velocidad vmed. se calcula a partir de la altura de presi´on din´anica obtenida anteriormente mediate la relaci´on: vmed. =

p 2ghdin.

(6.105)

5.3- Determinaci´ on del factor de paso: Complete la tabla siguiente para tres caudales distintos: Tabla 3: Medidas del factor de paso K en funci´ on del caudal Punto de

Q =

medici´on

∆h

i

en mm.c.a.

[l/s]  K en  l √ s bar

Q = ∆h en mm.c.a.

[l/s]  K en  l √ s bar

Q = ∆h en mm.c.a.

1→3

6.- Preguntas y conclusiones: 6.1- Represente gr´aficamente las alturas de presiones en funci´on de los puntos de medici´on i del tubo de Venturi, para cada uno de los caudales 6.2- Verifique que se cumple hdin. = htotal − hesta. 6.3- Se verifica la ecuaci´on de Bernoulli. Explique su respuesta 6.4- Represente gr´aficamente las velocidades medidas vmed y calculadas vcal en el tubo de Venturi en funci´on de los puntos de medici´on para cada uno de los caudales 6.5- Interprete los resultados de dicha gr´afica 6.6- Explique los resultados obtenidos en la tabla del factor de paso. ¿Deber´ıamos obtener los mismos resultados? Explique su respuesta. 6.7- Deduzca, a partir de la ecuaci´on de continuidad la ecuaci´on (6.88) 6.8- Deduzca la expresi´on para la velocidad del fluido v1 en t´erminos de las secciones transversales y la diferencia de presiones (altura) para el tubo de Venturi. 6.9- Cuando un chorro de agua fluye suavemente de un grifo, se adelgaza al caer. Explique este fen´omeno.

[l/s]  K en  l √ s bar

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6.10- Una arteria cuya secci´on tiene un radio de 1 cm se bifurca en otras cuatro cuyas secciones tienen radios iguales y de 0.5 cm. Si la velocidad de la sangre en la arteria principal es de 20 cm/s ¿Cuanto es la velocidad en las arterias secundarias? 6.11- Si la presi´on en una arteria es de 100 mm de Hg sobre la presi´on atmosf´erica, ¿Hasta que altura subir´a la sangre si se pinchara dicha arteria? Sup´ongase la densidad de la sangre de 1.06 g/cm3 . 6.12- En el torrente circulatorio la ecuaci´on de continuidad: 1) No se debe aplicar, ya que la sangre es un l´ıquido viscoso. 2) Se puede aplicar en promedio, para intervalos de tiempos largos. 3) No se puede aplicar en los capilares. 4) Se puede aplicar en cualquier instante.

7 AGRADECIMIENTOS

7.

74

Agradecimientos

Mis agradecimientos a nuestro T´ecnico de Laboratorio D. Francisco Vega por aportar gran parte de las fotografias

Referencias ´ cticas de Fundamentos F´ısicos de la Informa ´ tica, [1] Manual de Pra E.T.S.I.I. Departamento de F´ısica Aplicada 1, Universidad de Sevilla. ´dica; curso 2004-2005; Univer[2] Cuestiones y Problemas de F´ısica Me sidad Complutense de Madrid ´ndulo [3] Manual de uso- Ventus Ciencia Experimental, 10214 Pe ´ tico. Matema ´ n de la Energ´ıa Meca ´ nica- Mechanical [4] Phywe, p2131800, Conservacio conservation of energy/ Maxwell’s Wheel. [5] Rueda de Maxwell http://www.sc.ehu./sbweb/fisica/solido/yoyo/yoyo.htm. [6] http://aleph.eii.us.es/palmeo/docencia/rueda.pdf [7] Manual de uso - Ventus Ciencia Experimental, 10132- Ley de Hooke. [8] www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle [9] www.monagrafia.com/trabajo93/micrometro-y-su-uso [10] www.ecured.cu/index.php/Micrometro(instrumento) [11] Gunt-Hamburg , Estudio del principio de Bernoulli-HM150.07. [12] www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/bernoulli. [13] Sears, Zemansky; Fisica Universitaria con Fisica Moderna, Volumen 1 [14] R. A. Serway and John W. Jewett, Jr. ; F´ısica Vol 1