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MATE 0066 - EJERCICIOS DE PRACTICA TEMA: Solución de inecuaciones polinómicas por factorización Instructora: Ana María Aparicio A. Hallar los puntos críticos de los siguientes polinomios.
Los puntos críticos son los ceros del polinomio, es decir aquellos valores de x para los cuales el polinomio es igual a cero. 1. ሺ࢞ + ሻሺ࢞ − ሻ Solución Igualamos el polinomio a cero: ሺ ݔ+ 4ሻሺ ݔ− 5ሻ = 0 Para que el polinomio dado sea cero por lo menos uno de sus factores debe ser cero, por lo tanto los ceros del polinomio se pueden determinar igualando cada factor del polinomio factorizado a cero y resolviendo para x las ecuaciones resultantes. ݔ+4=0
ó
= ݔ−4
ݔ−5=0
=ݔ5
Entonces los puntos críticos o ceros del polinomio son = ݔ−4 , = ݔ5
2. ࢞ + ࢞ + Solución ݔଶ + 5 ݔ+ 4 =0
ሺ ݔ+ 4ሻሺ ݔ+ 1ሻ=0 Luego, ݔ+4=0
= ݔ−4
ó
ݔ+1=0
= ݔ−1
Entonces los puntos críticos o ceros del polinomio son = ݔ−4 , = ݔ−1
B. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
El método de resolución usado a continuación toma ventaja del hecho de que el polinomio solo puede cambiar de signo en sus ceros (puntos críticos). Esto significa que cuando los ceros reales del polinomio se ponen en orden estos dividen a la recta real en intervalos en los cuales el polinomio no tendrá cambios de signo.
3. ሺ࢞ − ሻሺ࢞ + ሻ > 0 Solución El polinomio ሺ ݔ− 2ሻሺ ݔ+ 2ሻ es el resultante de la factorización del polinomio ݔଶ − 4 1. Si el polinomio no esta factorizado, realizar la factorización. 2. Se determinan los puntos críticos y se ordenan de menor a mayor: = ݔ−2, = ݔ2 3. Estos puntos críticos determinan intervalos en la recta real en los cuales se determinara el signo de cada factor del polinomio. Intervalos de prueba: ሺ−∞, −2ሻ, ሺ−2,2ሻ, ሺ2, ∞ሻ
La prueba es: en qué intervalos se cumple que ሺ ݔ− 2ሻሺ ݔ+ 2ሻ > 0 , es decir que el producto de ambos factores sea mayor que cero?. 4. Se toman valores arbitrarios para x en cada intervalo de prueba y se evalúan en los factores del polinomio. Se registra en una tabla el signo del resultado de las evaluaciones. 5. En la última fila de la tabla se realiza la multiplicación de los signos hallados. Para el intervalo ሺ−∞, −2ሻ podemos tomar x=-3 Evaluamos en los factores del polinomio y registramos
ݔ− 2 = −3 − 2 = −5
el resultado en la tabla.
ݔ+ 2 = −3 + 2 = −1
Para el intervalo ሺ−2,2ሻ podemos tomar x=0
ݔ− 2 = 0 − 2 = −2
Para el intervalo ሺ2, ∞ሻ podemos tomar x=3
negativo negativo negativo
ݔ+2=0+2=2
positivo
ݔ−2= 3−2 =1
positivo
ݔ+2=3+2=5
positivo
ሺ࢞ − ሻ
ሺ࢞ + ሻ
ሺ࢞ − ሻሺ࢞ + ሻ
ሺ−∞, −ሻ
ሺ−, ሻ
ሺ, ∞ሻ
-
-
+
-
+
+
+
-
+
Entonces el conjunto solución es: ሺ−∞, −2ሻ U ሺ2, ∞ሻ Expresado de otra forma: x < −2 > ݔ ݎ2
4. ሺ࢞ + ሻሺ࢞ + ሻ ≤ Solución Puntos críticos ordenados de menor a mayor: = ݔ−2, = ݔ−1 Intervalos de prueba: ሺ−∞, −2ሻ, ሺ−2, −1ሻ, ሺ−1, ∞ሻ
La prueba es: en que intervalos se cumple que ሺ ݔ+ 1ሻሺ ݔ+ 2ሻ ≤ 0, es decir que el producto de ambos factores
sea menor o igual que cero?.
Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, −2ሻ podemos tomar x=-3
ሺ࢞ + ሻ
Para el intervalo ሺ−2, −1ሻ podemos tomar x=-1.5
ሺ−∞, −ሻ
ሺ−, −ሻ
ሺ−, ∞ሻ
-
-
+
-
+
+
+
-
+
ሺ࢞ + ሻ
Para el intervalo ሺ−1, ∞ሻ podemos tomar x=0
ሺ࢞ + ሻሺ࢞ + ሻ
Entonces el conjunto solución es: [−2, −1] Expresado de otra forma: −2 ≤ x ≤ −1
5. ሺ − ሻሺ + ሻ ≥ Solución Puntos críticos ordenados de menor a mayor: ݊ = −5, ݊ = 3 Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, −5ሻ podemos tomar x=-6 Para el intervalo ሺ−5,3ሻ podemos tomar x=0
Para el intervalo ሺ3, ∞ሻ podemos tomar x=4
ሺ − ሻ
ሺ + ሻ
ሺ − ሻሺ + ሻ
ሺ−∞, −ሻ
ሺ−, ሻ
ሺ, ∞ሻ
-
-
+
-
+
+
+
-
+
Entonces el conjunto solución es: ሺ−∞, −] ܷ [3, ∞ሻ Expresado de otra forma: < ܠ−5 > ݔ ݎ3
6. ሺ࢞ − ሻሺ࢞ + ሻሺ࢞ − ሻ < 0 Solución ଵ
Puntos críticos: = ݔ−2, = ݔ, = ݔ3 ଶ
Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, −2ሻ podemos tomar x=-3 ଵ
Para el intervalo ቀ−2, ቁ podemos tomar x=0 ଵ
ଶ
Para el intervalo ቀ , 3ቁ podemos tomar x=2 ଶ
Para el intervalo ሺ3, ∞ሻ podemos tomar x=4
ሺ࢞ − ሻ ሺ࢞ + ሻ ሺ࢞ − ሻ
ሺ࢞ − ሻሺ࢞ + ሻሺ࢞ − ሻ
ሺ−∞, −ሻ
ቀ−, ቁ
ቀ , ቁ
ሺ, ∞ሻ
-
-
+
+
-
+
+
+
-
-
-
+
-
+
-
+
Entonces el conjunto solución es: ሺ−∞, −ሻ ࢁ ቀ , ቁ
Expresado de otra forma: < ܠ−2 ݎ
< < ݔ3
7. ሺ࢞ + ࢇሻ < 0 Esta inecuación no tiene solución real, ya que el cuadrado de un número real siempre es mayor que cero. 8. ࢞ + ࢞ − ૡ < 0 Solución ݔଶ + 2 ݔ− 8 < 0 ሺx + 4ሻሺx − 2ሻ < 0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= −4, = ݔ2
Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, −4ሻ podemos tomar x=-5 Para el intervalo ሺ−4,2ሻ podemos tomar x=0
Para el intervalo ሺ2, ∞ሻ podemos tomar x=5
ሺ ܠ+ ሻ ሺ ܠ− ) ሺ ܠ+ ሻሺ ܠ− ሻ
ሺ−∞, −ሻ
ሺ−, ሻ
ሺ, ∞ሻ
-
+
+
-
-
+
+
-
+
ሺ, ሻ
ሺ, ∞ሻ
-
+
+
-
-
+
+
-
+
Entonces el conjunto solución es: ሺ−, ሻ Expresado de otra forma: − < < ݔ2
9. ࢞ + > 6࢞ − Solución ݔଶ + 4 > 6 ݔ− 4 x ଶ − 6x + 8 > 0 ሺx − 2ሻሺx − 4ሻ > 0
Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 2, = ݔ4 Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, 2ሻ podemos tomar x=0
Para el intervalo ሺ2,4ሻ podemos tomar x=3
Para el intervalo ሺ4, ∞ሻ podemos tomar x=5
Entonces el conjunto solución es: ሺ−∞, ሻ ࢁ ሺ, ∞ሻ Expresado de otra forma: ࢞ < > ܠ ܚܗ4
10. ࢞ − ࢞ ≤ ࢞ − Solución ݔଶ − 3 ≤ ݔ2 ݔ− 4 ݔଶ − 5 ݔ+ 4 ≤ 0 ሺ ݔ− 4ሻሺ ݔ− 1ሻ ≤ 0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= 1, = ݔ4
ሺ ܠ− ሻ ሺ ܠ− ) ሺ ܠ− ሻሺ ܠ− ሻ
ሺ−∞, ሻ
Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, 1ሻ podemos tomar x=0
ሺ ܠ− ሻ
Para el intervalo ሺ1,4ሻ podemos tomar x=3
Para el intervalo ሺ4, ∞ሻ podemos tomar x=5
ሺ−∞, ሻ
ሺ ܠ− ) ሺ ܠ− ሻሺ ܠ− ሻ
ሺ, ሻ
ሺ, ∞ሻ
-
-
+
-
+
+
+
-
+
Entonces el conjunto solución es: [, ] Expresado de otra forma: ≤ ࢞ ≤
11. ࢞ > ࢞ + Solución ݔଶ > ݔ+ 2 ݔ−ݔ−2> 0 ሺ ݔ− 2ሻሺ ݔ+ 1ሻ > 0 ଶ
Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= −1, = ݔ2 Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, −1ሻ podemos tomar x=-2
ሺ ܠ− ሻ
Para el intervalo ሺ−1,2ሻ podemos tomar x=0
ሺ ܠ+ ሻ
Para el intervalo ሺ2, ∞ሻ podemos tomar x=4
ሺ ܠ− ሻሺ ܠ+ ሻ
Entonces el conjunto solución es: ሺ−∞, −ሻ ࢁ ሺ, ∞ሻ Expresado de otra forma: ࢞ < − > ܠ ܚܗ
12. 2࢞ + ૡ࢞ < 5࢞ + Solución 2 ݔଶ + 8 < ݔ5 ݔ+ 2 2 ݔଶ + 3 ݔ− 2 < 0 ሺ2 ݔ− 1ሻሺ ݔ+ 2ሻ < 0 Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= −2, = ݔ
ଵ ଶ
ሺ−∞, −ሻ
ሺ−, ሻ
ሺ, ∞ሻ
-
-
+
-
+
+
+
-
+
Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, −2ሻ podemos tomar x=-4 ଵ
Para el intervalo ቀ−2, ቁ podemos tomar x=0 ଵ
ሺ ܠ− ሻ
ଶ
Para el intervalo ቀ , ∞ቁ podemos tomar x=1
ሺ ܠ+ ሻ
ଶ
ሺ ܠ− ሻሺ ܠ+ ሻ
Entonces el conjunto solución es: ቀ−, ቁ Expresado de otra forma: − < < ݔ
13. −࢞ + ࢞ ≤ − Solución −2 ݔଶ + 3 ≤ ݔ−5 −2 ݔଶ + 3 ݔ+ 5 ≤ 0 2 ݔଶ − 3 ݔ− 5 ≥ 0 ሺ2 ݔ− 5ሻሺ ݔ+ 1ሻ ≥ 0 ହ
Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= −1, = ݔଶ ହ
ହ
Los intervalos de prueba son: ሺ−∞, −1ሻ, ቀ−1, ቁ, ቀ , ∞ቁ ଶ
ଶ
Entonces el conjunto solución es: ሺ−∞, −ሻ ࢁ ቀ , ∞ቁ Expresado de otra forma: ࢞ < − > ܠ ܚܗ
14. −࢞ + < −࢞ Solución −3 ݔଶ + 10 < −13ݔ −3 ݔ+ 13 ݔ+ 10 < 0 3 ݔଶ − 13 ݔ− 10 > 0 ሺ3 ݔ+ 2ሻሺ ݔ− 5ሻ > 0 ଶ
ଶ
Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= − , = ݔ5 ଶ
ଷ
ଶ
Entonces, los intervalos de prueba son: ቀ−∞, − ቁ, ቀ− , 5ቁ, ሺ5, ∞ሻ ଷ
ଶ
El conjunto solución es: ቀ−∞, − ቁ ܷ ሺ5, ∞ሻ ଷ
Expresado de otra forma: ࢞ < −
> ܠ ܚܗ
ଷ
-
൬−, ൰ -
൬ , ∞൰ +
-
+
+
+
-
+
ሺ−∞, −ሻ
15. ࢞ > 4 Solución ݔଶ
ݔଶ > 4 −4>0
ሺ ݔ+ 2ሻሺ ݔ− 2ሻ > 0
aplicando diferencia de cuadrados
Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= −2, = ݔ2
Entonces, los intervalos de prueba son: ሺ−∞, −2ሻ, ሺ−2,2ሻ, ሺ2, ∞ሻ El conjunto solución es: ሺ−∞, −ሻ ࢁ ሺ, ∞ሻ Expresado de otra forma: ࢞ < − > ܠ ܚܗ
16.
࢞ା ࢞ି
>0
Puntos críticos ordenados de menor a mayor: x= −1, = ݔ2 Entonces, los intervalos de prueba son: Para el intervalo ሺ−∞, −1ሻ podemos tomar x=-2 Para el intervalo ሺ−1,2ሻ podemos tomar x=0
Para el intervalo ሺ2, ∞ሻ podemos tomar x=3
Entonces el conjunto solución es: ሺ−∞, −ሻ ࢁ ሺ, ∞ሻ Expresado de otra forma: ࢞ < − > ܠ ܚܗ
17.
࢞ା ࢞ା
0 ݔ ଶ ሺ ݔ− 1ሻ