MATEMÁTICA 6TO AÑO

Módulo de trabajo teórico – práctico Instituto Argentino Modelo Mar del Plata

Profesora: Julieta Buroni

2012

MATEMÁTICA 6TO AÑO

Tabla de contenido

UNIDAD N°1 FUNCIÓN LINEAL .............................................................................................. 3 1.1 Función lineal ..................................................................................................................... 4 1.2 Rectas paralelas y perpendiculares ..................................................................................... 7 1.3 Recta que pasa por dos puntos ........................................................................................... 8 1.4 Ecuación general de la recta............................................................................................... 9 GUÍA PRÁCTICA N°1................................................................................................................. 10 Ejercicios complementarios .................................................................................................... 13 UNIDAD N°2 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA ............................................................... 15 2.1 VECTORES .......................................................................................................................... 16 2.1.1 Vectores equivalentes ................................................................................................ 17 2.1.2 Vectores opuestos ...................................................................................................... 17 2.1.3 Suma gráfica de vectores ........................................................................................... 17 2.1.4 Vectores en el plano coordenado .............................................................................. 19 2.1.5 Suma de vectores en función de sus componentes ................................................... 20 2.1.6 Multiplicación por un escalar ..................................................................................... 20 2.1.7 Módulo de un vector en función de sus componentes .............................................. 20 2.1.8 Suma de un punto y un vector ................................................................................... 21 GUÍA PRÁCTICA N°2 – Sección 1 .......................................................................................... 22 2.2 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA ................................................................................. 24 GUÍA PRÁCTICA N°2 – Sección 2 .......................................................................................... 28 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LA UNIDAD 2 ............................................................. 30 UNIDAD N°3 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA ....................................... 35 3.1 FUNCIONES ........................................................................................................................ 36 3.1.1 Clasificación de funciones .......................................................................................... 36 3.1.2 Composición de funciones ......................................................................................... 37 3.1.3 Funciones inversas...................................................................................................... 39 GUÍA PRÁCTICA N°3................................................................................................................. 41

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UNIDAD N°4 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA ........................................ 44 4.1 Función exponencial.......................................................................................................... 45 4.1.1 Características de la función exponencial .................................................................. 46 4.2 Función logarítmica ........................................................................................................... 47 4.2.1 Características de la función logarítmica.................................................................... 47 4.2.2 Propiedades de los logaritmos ................................................................................... 48 4.3 Ecuaciones ......................................................................................................................... 48 GUÍA PRÁCTICA N°4................................................................................................................. 50

UNIDAD N°5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................... 55 5.1 Ángulos y arcos orientados ............................................................................................... 56 5.2 Funciones trigonométricas ................................................................................................ 58 5.2.1 Circunferencia trigonométrica ................................................................................... 58 5.2.2 Funciones trigonométricas: Definiciones ................................................................... 59 5.2.3 Signos de las funciones trigonométricas .................................................................... 60 5.2.4 Gráficas de las funciones trigonométricas ................................................................. 61 I) FUNCIÓN SENO ...................................................................................................... 61 II) FUNCIÓN COSENO................................................................................................. 62 III) FUNCIÓN TANGENTE............................................................................................ 63 5.2.5 Relaciones trigonométricas inversas .......................................................................... 64 5.2.6 Relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo.......... 65 5.2.7 Identidades trigonométricas ...................................................................................... 65 5.3 Resolución de triángulos ................................................................................................... 66 5.3.1 Resolución de triángulos rectángulos ........................................................................ 66 GUÍA PRÁCTICA N°5................................................................................................................. 68

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UNIDAD N°1 FUNCIÓN LINEAL En esta unidad vamos a aprender:  Qué es una función lineal  Interpretar gráficas  Rectas paralelas y perpendiculares  Diferentes formas de escribir la ecuación de la recta  Recta que pasa por dos puntos  Resolver problemas de la vida cotidiana

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1.1

FUNCIÓN LINEAL

Toda función f :



de la forma y  f  x   mx  b , donde

m y b son números reales constantes, es una función lineal.

En esta formula x representa la variable independiente e y la variable dependiente. Son ejemplos de funciones lineales:

a) y  2 x c) y  0,5 x  2

b) y  x  4 d) y  2

La gráfica de cualquier función del tipo y  mx  b es una RECTA. La ecuación y  mx  b se denomina ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA.

ORDENADA AL ORÍGEN:

A la constante b se la denomina ordenada al origen. El punto

(0, b) es el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas y .

PENDIENTE: A la constante m se la denomina pendiente. La pendiente está determinada por el cociente entre la variación de y y la variación de x .

Observación: La pendiente está relacionada con el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje x . Entonces, a partir de la pendiente podemos hallar el dicho ángulo  mediante la ecuación: m  tan   . La función tangente utilizada en esta ecuación la estudiaremos más adelante junto con las demás funciones trigonométricas.

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Ejemplo 1.1 Observemos en el gráfico que cuando la abscisa ( x ) aumenta 2 unidades, la ordenada ( y ) aumenta 3 unidades. Esto nos dice que la pendiente será m 

3

. Y la recta corta al eje y en el

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cero, o sea que b  0 . Por lo tanto la ecuación de la recta es: y 

3 x. 2

y

3 x 2

y 3

x2

Ejemplo 1.2

En este gráfico vemos que la recta corta al eje y en el -3, o sea que el valor de la ordenada al origen es b  3 . Para saber la pendiente de esta recta, observemos que si aumentamos en una unidad la abscisa, la ordenada aumenta 3 unidades:

m

3 3 1

Por lo tanto, la ecuación de la recta es:

y  3x  3

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El signo de la pendiente también está directamente relacionado con la inclinación de la recta:

 Si m  0 , la función es CRECIENTE y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje x es AGUDO.

 Si m  0 , la función es DECRECIENTE y el ángulo que forma la recta con el semieje positivo ox es OBTUSO.

 Si m  0 , la función es CONSTANTE y la recta es PARALELA al eje x .

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1.2 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Rectas paralelas: son aquellas que no se cortan en ningún punto. Rectas perpendiculares: son aquellas que se cortan en un punto formando un ángulo recto. Diremos que dos rectas y  m1 x  b1 , y  m2 x  b2 son PARALELAS si tienen igual pendiente, o sea, si m1  m2 .

Diremos que dos rectas y  m1 x  b1 , y  m2 x  b2 son PERPENDICULARES si tienen sus pendientes opuestas e inversas, es decir, m1  m21  

1 . m2

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1.3 RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Sean P  x0 , y0  y Q  x1 , y1  dos puntos del plano. La ecuación de la recta que pasa por estos puntos es:

y  y0 x  x0  y1  y0 x1  x0

Esta ecuación recibe el nombre de forma continua de la ecuación de la recta.

y1 y0 x1

x0

Observación: Como ya mencionamos, la pendiente es el cociente entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa. Por lo tanto, en el caso de una recta que pasa por dos puntos, la pendiente es:

m

y1  y0 x1  x0

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1.4 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Otra forma habitual de representar una recta es mediante su ecuación general o implícita, dada por:

ax  by  c  0

ó

ax  by  c 

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GUÍA PRÁCTICA No 1

1. Señala en cada una de las siguientes rectas cuál es la pendiente y la ordenada al origen:

1 a) y   x  3 2

c) y 

b) y  3x  1

d) y  1

3 x 4

2. Encuentra la ordenada al origen y pendiente en cada uno de los siguientes gráficos y escribí la ecuación explícita de la recta:

a) m= b=

b) m= b=

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c) m= b=

3. Determina la ecuación de la recta en cada caso: a)

Tiene pendiente 2 y ordenada al origen -1

b)

Tiene pendiente -2/7 y pasa por el punto (0,3)

c)

Corta al eje de abscisas en 4 y al eje de ordenadas en -2

4. Indica si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares. Justifica.

 R1 : 2 x  4 y  1  0  R2 : x  2 y  5  0

 R1 : x  2 y  2  0 a)   R2 : 4 x  8 y  3  0

b) 

 R1 : 2 x  y  1  0 c)   R2 :  x  2 y  6  0

d) 

1   R1 : y  x  2 3   R2 : y  3x  0

f) 

e)

 R1 : 5 x  y  4  0  R2 : 3 y  15 x  1  0

 R1 : y  1  x  R2 : y  1  x

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5. a) Halla analíticamente la ecuación de la recta paralela a otra de ecuación y= 6x-4, cuya ordenada al origen es -1. b) Determina la ecuación de la recta perpendicular a la recta R1 : y   pasa por el punto 1,3 .

2 x  1 y que 3

c) Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P  2, 2  y Q  8,3 . Luego pasar a la forma general.

6. PROBLEMAS DE APLICACIÓN A.

En algunos países suelen usar la escala Fahrenheit para medir temperaturas. En esta escala el punto de congelación del agua se alcanza a 320F, y el de ebullición a 2120F. Nosotros usamos la escala Celsius en la cual esos puntos los alcanzan a 0 0C y 1000C respectivamente. Halla la ecuación que relaciona 0C con 0F y grafícala. ¿A cuántos 0C equivalen 800F? ¿A cuántos 0F equivalen 360C?

B.

En una ciudad tienen una norma que regula el estacionamiento. La norma indica que se debe pagar cierta cantidad de dinero por cada minuto y que no hay un mínimo. José pone $1,35 y el parquímetro indica que dispone de 45 minutos. Sara con $0,84 dispone de 28 minutos. Halla la ecuación que relaciona el precio con el tiempo y dibújala. ¿Cuánto hay que pagar para estacionar 55 minutos? Si pago $2,40, ¿de cuánto tiempo dispongo?

C.

Halla la ecuación de la función que describe la siguiente situación: Un auto está a 3Km. de mí y se acerca a una velocidad de 2Km/h.

D.

En un circuito eléctrico el voltaje V en volts y la corriente I en amperes están relacionados linealmente. Cuando I = 9, v = 3 Cuando I = 18, v=6 Expresar V como una función de I. Encontrar el voltaje cuando la corriente es de 11 amperes.

E.

Un video club ofrece dos opciones para alquilar videos: Opción A: $20 de abono anual más $2,5 por video alquilado. Opción B: $30 de abono anual más $2 por video alquilado. Hallar para cada opción la expresión del precio a pagar en función del número x de videos alquilados y representarlas en un mismo gráfico.

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Si el cliente dispone de $90 ¿Cuántos videos puede alquilar con cada una de las dos opciones?

F.

Una pulsera de plata antigua comprada hoy en $2000 aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal que a los 15 años valdrá $2300. Escribir la fórmula que expresa el valor V de la pulsera en función del tiempo y determinar al cabo de cuánto tiempo se duplicará el valor inicial de la pulsera.

G.

La dosis en miligramos (mg) de antibiótico se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministran 40 mg y para uno de 4 kg se suministran 65 mg. Calcular la función que da la dosis de medicamento dependiendo del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño de 7,5 kg?

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Escribe la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) b) c) d) e) f)

Pasa por los puntos A(4, 7) y B(5, -1). Es paralela a y = 3x y pasa por el punto P(2, 0). Pasa por los puntos P(7, 5) y Q(2,-3). Es perpendicular a y = 5x y pasa por el punto A(0, 6). Pasa por los puntos A(15, 10) y B(8, -6). Paralela al eje X y que pasa por el punto P(4, 5).

2. Calcula c para que la recta 5x – 2y = c pase por el punto (–3, 7). 3. Calcula b para que la recta 3x + by = –5 pase por el punto (–3, 4). 4. ¿Cuáles son la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x – 5y + 15 = 0? 5. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas siguientes: a) –2x + 8y = 5

b) 7x – 3y = –2

c) 4y = 8

d) 4x – 3y – 12 = 0

6. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, y escribe su ecuación en cada uno de los siguientes casos: a) A(5, –3), B(2, 1)

c) A(–4, –2), B(8, –7)

e) A( 2/3, 4), B(1,7/3 )

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b) A(–6, 2), B(–3, 5)

d) A(0, 7), B(–4, 0)

f) A(1/2 ,5/4 ), B(1 , –1)

7.

Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos A(–1, 3), B(5, 0) y C(45, –20). Para ello, halla la ecuación de la recta que pasa por A y por B y prueba después si el punto C pertenece a esa recta.

8.

En la función y = mx + n, ¿cómo debe ser m para que la función sea decreciente?

9.

¿Cuál es la recta que tiene por ecuación y = 0? ¿Y la de ecuación x = 0?

10. De cada una de las siguientes rectas, di cuál es su pendiente y, según su signo, clasifícalas en funciones crecientes o decrecientes. Luego graficar.

DESAFÍO DE LA UNIDAD 1

¿Las siguientes rectas son paralelas?

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UNIDAD N°2 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA En esta unidad vamos a aprender:  Qué es un vector  Vectores equivalentes, opuestos y paralelos  Representación gráfica  Suma y resta de vectores  Ecuación vectorial de la recta  Reformulación de lo estudiado en la unidad 1

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2.1 VECTORES Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próximo año, etc.). Existen muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, y que reciben el nombre de escalares, por ejemplo, el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura, etc. También existen magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud. Por ejemplo, si a dos personas les decimos: “Caminen 5 metros”, probablemente no lleguen al mismo lugar, pero si les decimos “Caminen 5 metros hacia el Este” tendrán el mismo destino. Estas magnitudes se llaman vectoriales.

VECTOR Un vector es un segmento de recta orientado, que posee tres atributos: magnitud, dirección y sentido.

Un vector está caracterizado por:

Figura 2.1     

su origen o punto de aplicación: el punto O  o1 , o2  en la Fig. 2.1. su extremo: A  a1 , a2  en la Figura 2.1. su dirección: la dirección de la recta que lo contiene (la recta r en la figura). su sentido: indicado por la flecha. su módulo: la longitud del vector. Se designa escribiendo el nombre del vector entre dos líneas verticales. Para el vector â , su módulo se indica â .

Como se indica también en la figura, un vector se suele designar escribiendo su origen y su

  o minúscula con una flecha encima  â  .

extremo con una flecha encima OA , o bien, simplemente mediante una letra mayúscula

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2.1.1 Vectores equivalentes Dos vectores son equivalentes si son iguales sus respectivas magnitudes, direcciones y sentidos.

u vw z Figura 2.2 2.1.2 Vectores opuestos

Dos vectores son opuestos cuando sus magnitudes y sus direcciones son iguales y sus sentidos son opuestos.

U  V Figura 2.3

2.1.3 Suma gráfica de vectores Gráficamente, la suma o resultante de vectores se obtiene uniendo sucesivamente sus orígenes y extremos como se muestra en la siguiente figura:

A B C  R Figura 2.4

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Otra forma de sumar dos vectores gráficamente es uniendo sus orígenes y trazando una línea auxiliar paralela a cada vector que pasen por el extremo del otro, formando un paralelogramo. La resultante o suma, es el vector que une el origen en común con la intersección de las líneas paralelas auxiliares.

A B  R Figura 2.5

Observación: Resta de vectores Restar un vector B a un vector A es lo mismo que sumar A y el opuesto de B .

-B

 

A  B  A  B  R Figura 2.6

Vector unitario: es un vector cuya magnitud es uno. Vector nulo: es un vector cuya magnitud es cero. Gráficamente se representa con un punto. Vectores paralelos: son los que tienen la misma dirección. Sus coordenadas son proporcionales.

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Componente de un vector: es la proyección ortogonal del vector sobre una recta. Se determina como la magnitud del segmento de recta comprendido entre dos rectas perpendiculares a ella, una que pasa por el origen del vector y otra por su extremo. Esto se ve en la siguiente figura:

A

L

AL Figura 2.7

2.1.4 Vectores en el plano coordenado cartesiano

y y1 y0 x0

x1

x

Figura 2.8 El origen del vector en la figura 2.8 es el punto  x0 , y0  , y su extremo el punto  x1 , y1  . Como se observa en la figura,

 x1  x0 

 y1  y0  la componente sobre el eje y . Entonces A   Ax , Ay    x1  x0 , y1  y0 

es la componente del vector sobre el eje x , e

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2.1.5 Suma de vectores en función de sus componentes Dados dos vectores, A   a1 , a2  y B   b1 , b2  , su suma está dada por:

A  B   a1 , a2    b1 , b2    a1  b1 , a2  b2 

O sea, las componentes de la resultante (suma), es la suma de las componentes de los vectores.

Ejemplo 1:

a)

Si A   4, 2  y B   3,5 , entonces:

A  B   4  3, 2  5  1,7 

b) El opuesto de B es:  B    3,5   3, 5 c)

 

A  B  A   B   4  3, 2  5   7, 3

2.1.6 Multiplicación por un escalar Para multiplicar un vector A por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantiene la dirección del vector. El sentido será el mismo si k es positivo, y contrario, si k es negativo. En coordenadas, si A   a1 , a2  , el producto de un número real k por un vector A se calcula multiplicando cada coordenada por el número k.

En el ejemplo, 3 A  3  4, 2    3  4,3  2   12,6  .

2.1.7 Módulo de un vector en función de sus componentes Dado un vector A   a1 , a2  , se define su módulo como:

A  a12  a2 2

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En el ejemplo anterior, el módulo de A es: A  42  22  16  4  20  2 5 .

2.1.8 Suma de un punto y un vector

La suma de un punto A más un vector u es otro punto B que resulta de trasladar el punto A según el vector u . En

coordenadas,

si

A  a1 , a2 

y

u   u1 , u2  ,

su

suma

es

el

punto

B  b1 , b2    a1  u1 , a2  u2  .

Ejemplo 2: a) Si A  3, 4  y el vector u   3,5 , calcular las coordenadas del punto B  A  u y representa el resultado gráficamente. b) Si A  3, 0  es el trasladado de A por el vector v ¿cuáles son las coordenadas de v ? Solución: a) B  A  u   3, 4  +  3,5 =  3  (3), 4  5 =  0,1 b) A  A  v   3,0    3  v1 , 4  v2   v1  6 y v2  4

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MATEMÁTICA 6TO AÑO GUÍA PRÁCTICA No 2 Sección 1

1.

¿Cuáles son las coordenadas y el módulo de los siguientes vectores?

2.

Dados los puntos A  3,6  , B  3,0  , C  0, 5 y D  2,7  , representa y calcula las coordenadas y el módulo de los vectores AB, BC,CD y DA.

3.

Dibuja los vectores AB y BA , siendo A  4, 1 y B  5, 0  , y contesta a las siguientes cuestiones: a) ¿Son equivalentes? b) ¿Y paralelos? c) ¿Tienen la misma dirección? d) ¿Cómo son sus sentidos? e) ¿Cuáles son el origen y el extremo de cada uno? f) Calcula sus módulos.

4.

Las coordenadas de los puntos A, B, C y D son:

A  1,3

B  0, 6 

C  4, 7 

Calcula el resultado de estas operaciones. a) AB  AB

d) AB  CD

b) CD  CD

e) AB  CD

c)  AB  CD

f) CD  AB

D  4, 0 

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5. Halla gráficamente el vector suma u  v y el vector diferencia u  v .

6.

Sabiendo que A(−3, 3) y B (−1, 5), calcula gráfica y analíticamente k ⋅ AB. a) k  2

7.

8.

9.

b) k  4

c) k 

1 2

d) k  3

Si trasladamos el punto A por el vector u para obtener el punto B , calcula los valores x e y. Representa los puntos trasladados. a) A  0, 5

u  x, y   B  5,0 

b) A  3, x 

u  4,3  B  y, 2 

Los puntos A(−1, 1), B(0, 2) y C(2, 0) son los vértices de un triángulo. Halla las coordenadas de los vectores que forman sus lados. Si u   3, 2  y w   4, 1 , determina el vector v tal que u  v  w .

10. Efectúa las siguientes operaciones analítica y gráficamente, si u   6, 2  y v   2,1 : a) 2u  3v b)

 1  v  u

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2.2 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Sabemos que dos puntos determinan una recta en el plano. Del mismo modo, si esos puntos son extremos de vectores, podríamos generalizar diciendo que dos vectores dan origen a una recta. Si A  a, b  es un punto del plano, y v   v1 , v2  , podemos obtener cualquier punto P  x, y  de la recta L que pasa por el punto A y tiene la dirección de v de la siguiente manera:

 x, y    a, b   t  v1, v2  La expresión OP  OA  tv (donde O es el origen) recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta que pasa por A en la dirección de v .

El vector v   v1 , v2  se llama vector director de la recta. También podemos escribir a los puntos P  x, y  de la recta como:

 x  a  t  v1   y  b  t  v2 Estas son llamadas ecuaciones paramétricas de la recta. Ejemplo 4: Dados los puntos A  2,5 , B  1,1 de una recta. a) Calcular la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta. b) Estudiar si el punto C  1,9  pertenece a la recta. Solución: Como la recta pasa por los puntos A y B podemos tomar como vector director

de la recta a v  AB   1  (2),1  5  1, 4  . a) Las ecuaciones pedidas son: Ecuación vectorial:  x, y    2,5  t  1, 4 

 x  2  t  y  5  4t

Ecuaciones paramétricas: 

b) En las ecuaciones paramétricas sustituimos las coordenadas del punto C por x e y :

1  2  t . Luego despejamos t en ambas ecuaciones:  9  5  4t

t  1  2  1  .  95 t    1  4

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Como no dio el mismo valor en ambas ecuaciones, significa que el punto C  1,9  no pertenece a la recta. Si A  a, b  es un punto específico de una recta, v   v1 , v2  es su vector director y P  x, y  es un punto genérico, tenemos las siguientes ecuaciones de la recta:

 Ecuación continua:

x a y b  v1 v2

 Ecuación punto-pendiente: y  b  m  x  a   Ecuación explícita: y  mx  n donde m es la pendiente y n la ordenada al origen.  La pendiente es m 

v1 v y la ordenada al origen n  b  1 a . v2 v2

Recordemos que la ecuación general de la recta es Ax  By  C  0 donde A, B y C son números reales. Entonces, el vector director de la recta es v   B,  A , la pendiente m  y la ordenada al origen es n 

Ejemplo 5:

C . B

A B

Dada la recta expresada en forma vectorial:  x, y    2,1  t   4,3

a) Halla sus ecuaciones en forma continua, punto pendiente y explícita. b) Indica su pendiente y su ordenada al origen.

Solución: a) Un punto de la recta es A  2,1 , su vector director es v   4,3 y la ecuación continua es:

x  2 y 1 .  4 3

Multiplicando en cruz se tiene que 4  y  1  3  x  2  , y así obtenemos la ecuación punto-pendiente de la recta: y  1 

3  x  2 . 4

Por último, despejando “y” y operando, obtenemos la ecuación explícita de la recta:

y

3 1 x . 4 2

b) La pendiente es m 

1 3 y la ordenada al origen es n   . 2 4

MATEMÁTICA 6TO AÑO

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Ejemplo 6:

Dar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P 1, 2  , Q  0,3 .

Solución: Calculamos el vector director: PQ   0  1,3  (2)    1,5   B,  A . Por lo tanto, 5x  y  C  0 . Para hallar el valor de C reemplazamos uno de los puntos, por ejemplo, Q(0,3) y despejamos:

5  0  3  C  0  C  3 . Luego, la ecuación general de la recta es: 5x  y  3  0 .

2.2.1 Posiciones relativas de dos rectas

Ejemplo 7:

MATEMÁTICA 6TO AÑO

Observación: Dada la recta que pasa por un punto A  a, b  , cuyo vector director es

v   v1 , v2  , si una de sus dos coordenadas es cero, la recta es paralela a uno de los ejes de coordenadas. 

Si v1  0 y v2  0 , la ecuación de la recta es y  b . Esta es una recta paralela al eje x .



Si v1  0 y v2  0 , la ecuación de la recta es x  a . Esta es una recta paralela al eje y .

Las rectas paralelas a los ejes no se pueden expresar mediante una ecuación en forma continua, debido a que una de las coordenadas de su vector director es cero.

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MATEMÁTICA 6TO AÑO

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GUÍA PRÁCTICA No 2 Sección 2 1. Dados los puntos de coordenadas A(−1, 7) y B(0, 1): a) Calcula el vector director de la recta que pasa por A y B. b) Halla la ecuación vectorial de dicha recta. 2. Dada la siguiente ecuación vectorial de una recta:

 x, y    4,8  t   3,5 , indica un

punto de esa recta y su vector director. 3. Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A  0, 4  y tiene como vector director v   1, 7  . 4. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(−2, 3) y tiene como vector director:

a)

v   3, 4 

b)

v   3, 4 

c) 2v   6,8

¿Qué característica tienen en común estas tres rectas? 5. Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(−5, 2) y B (0, 1). 6. Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(0, −4) y tiene como vector director v   1, 7  .

7. ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y tiene como vector director v   1, 0  ?

 x  3  2t .  y  2t

8. Estudia si los puntos A(7, 4), B (1, 2) y C (0, 0) pertenecen o no a la recta:  9. Dados los puntos A(−1, 7) y B(0, 1), halla: a) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por ellos. b) Tres puntos que pertenezcan a dicha recta.

10. La siguiente gráfica muestra una recta. a) Escribe las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial. b) ¿Pertenece el punto (−6, 4) a la recta?

MATEMÁTICA 6TO AÑO

11. Expresa la ecuación que pasa por el punto A(1, −2) y que tiene por vector director

v   1,1 mediante sus ecuaciones:

a) Punto-pendiente. b) Explícita. 12. Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por estos puntos A(3, −1) y B(4, 5). 13. Halla la ecuación continua de la siguiente recta expresada en forma paramétrica:

 x  2  3t   y  2t 14. Expresa la recta que pasa por los puntos A(1, −2) y B(1, 2) mediante sus ecuaciones: a) Vectorial. b) Paramétricas. ¿Se puede expresar en forma continua? ¿Por qué? 15. Determina las ecuaciones explícita y punto-pendiente de la recta que pasa por A(0, −4) y su vector director es v   1, 7  .

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MATEMÁTICA 6TO AÑO

30

16. Calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(0, −1) y B(3,2).

17. Calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(2, 2) y B (−2, 3). 18. A partir de la ecuación 2 x  3 y  2  0 de una recta, halla el vector director, la pendiente y la ordenada en el origen. 19. ¿Cuál

es

la

ecuación  x, y   1,1  t   3,1 ?

general

de

la

recta

cuya

ecuación

vectorial

es

20. Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta r : y   x  5 que pase por el punto (0, 0) de todas las formas indicadas: a) Vectorial.

b) Punto-pendiente.

c) General.

21. Escribe la ecuación de una recta secante a la recta r : y   x  5 que pase por el punto (0, 0) de todas las formas indicadas: a) Vectorial.

b) Punto-pendiente.

c) General.

22. Indica cuál es la posición relativa de las siguientes rectas en el plano:

a)

r : x  3y  3  0 s : x  5y  3  0

b)

r : x  3y  2  0 s : 3x  9 y  6  0

23. Expresa, mediante las ecuaciones vectorial y explícita, las siguientes rectas:

 3  2

 

a) Paralela al eje Y, y que pasa por el punto A   , 0  b) Paralela al eje X, y que pasa por el punto B  0, 7 

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LA UNIDAD 2

1.

Dibuja el vector AB , cuyo origen y extremo son: a) A(−1, 2) y B(2, 0) b) A(2, 0) y B(−1, 2)

c) A(2, 3) y B(4, 7) d) A(−2, 3) y B(−4, 7)

MATEMÁTICA 6TO AÑO

2. Calcula las coordenadas del vector AB , siendo A y B los siguientes puntos: a) A(0, 2) y B(1, −1) b) A(2, 1) y B(4, 3)

c) A(−2, 1) y B(−5, 1) d) A(0, 0) y B(6, 2)

3. Calcula las coordenadas del punto A: a) Si AB   1,3 y B  5, 2  b) Si AB   2,3 y B 1, 4  c) Si AB   4,1 y B  3,3

4. Calcula las coordenadas del punto B: a) Si AB   0, 2  y A  3,5 b) Si AB  1,0  y A  4, 6  c) Si AB   2, 4  y A  2, 4 

5. Calcula las coordenadas de los vectores AC , BE y BD en el siguiente gráfico.

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32

MATEMÁTICA 6TO AÑO

6. Calcula el módulo del vector AB : a) A 1,1 y B  2,3 b) A  4,1 y B  5, 2  c) A  3, 2  y B 1, 1 d) A  3, 0  y B  0, 4  7. Halla la suma de los vectores AB y CD a) A(0, 2), B(2, 5), C(2, −1) y D(5, −2) b) A(3,5), B(-1,6), C(6, 4) y D(5, 0) 8. Halla la diferencia de los vectores AB y CD a) A(−3, 2), B(0, 5), C(3, 1) y D(4, −2) b) A(0, 5), B(−1, 3), C(−2, 4) y D(5, 1) 9. Dados los vectores u   6,1 y v   2,3 , calcula u  v y u  v . 10. Determina el módulo del vector que resulta de sumar u   3, 7  y v   6, 2  . 11. Determina el módulo del vector que resulta de restar u   4, 2  y v   3,1 . 12. Obtener gráficamente la suma y la resta de los vectores AB y CD .

MATEMÁTICA 6TO AÑO

13. Hallar v si u   5, 4  y u  v   2, 6  14. Hallar v si u   1, 6  y u  v   3, 2  15. Representa gráficamente el vector ku , con origen en  0, 0  , en los siguientes casos:

1 y u   2,3 2 3 d) k  y u  10, 20  5

a) k  4 y u  1, 2 

c) k 

b) k  2 y u   2,3

16. Sabiendo que A(8, −3), B(5, −1) y C(4, 3), calcula los siguientes vectores: a) 3  AB

b) 5  BC

c) 2  CA

d) 4  AC

e) BA  3  BC

f) AC  4  AB

17. Halla el punto trasladado del punto A(4, 5) por estos vectores: a) v   2,5

b) v   0, 4 

c) v  1, 3

d) v   4, 0 

18. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5, 3) y B(4, 7) en forma vectorial, paramétrica y continua. 19. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(4, 1) y tiene como vector director v   3,1 .

20. A partir de la representación de la siguiente recta, calcula sus ecuaciones en todas las formas posibles.

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MATEMÁTICA 6TO AÑO

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21. Escribe la ecuación de estas rectas de todas las formas posibles:

x  2  t  y  3  2t

 x, y    0,3  t  2,1

a) 

b)

c) y  3x  1

d) y  3  3  x  5

e) 2 x  y  5  0

22. ¿Cuáles son las ecuaciones que corresponden a las rectas que forman los ejes de coordenadas? Razona si puedes escribirlas de todas las formas.

23. Estudia la posición relativa en el plano de las siguientes parejas de rectas. a) r : 3x  y  7  0

s : 3x  y  5  0

b) r : x  y  3  0

s : 2x  2 y  6  0

c) r : x  3 y  4  0

s : x  2y  5  0

d) r : 5x  10 y  8  0

s :10x  20 y  16  0

e) r :  x  2 y 1  0

s : 2  x  3y  8  0 1 s : x y 8  0 5

f) r :

1 x  y 3  0 2

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UNIDAD N°3 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA

En esta unidad vamos a aprender:  Repaso de la definición de función  Clasificación de funciones  Composición de funciones  Propiedades de la composición  Función inversa

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MATEMÁTICA 6TO AÑO

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3.1 FUNCIONES Definición: Una relación f de un conjunto A en un conjunto B es una función si para cada elemento x  A existe un único elemento y  B tal que f  x   y . O sea, debe cumplir dos condiciones: 1) EXISTENCIA: para cualquier elemento de A existe un elemento en B tal que estén relacionados por f . 2) UNICIDAD: si f  x   y1 y f  x   y2 , entonces debe ser y1  y2 , es decir, a ningún elemento de A le puede corresponder dos elementos distintos de B . El conjunto A se llama DOMINIO de la función f y se escribe Dom  f   A . El conjunto B se llama CODOMINIO de f y se escribe Codom  f   B . La IMAGEN de f es el subconjunto del codominio formado por todos los " y " pertenecientes a B tales que y  f  x  para algún x  A .

Im  f    y  B / y  f  x  , x  A . Si

y  f  x  , se dice que y es la imagen de x por la función f .

3.1.1 Clasificación de funciones

1) Una función f : A  B se dice que es INYECTIVA si y sólo si para todo x1 , x2  A y

x1  x2 se tiene que f  x1   f  x2  . Es decir, elementos distintos del dominio

tienen distinta imagen. 2) Una función f : A  B es SURYECTIVA (o sobreyectiva) si y sólo si Im( f )  B , es decir, la imagen es igual al codominio de la función. 3) Una función f : A  B es BIYECTIVA si y sólo si es inyectiva y suryectiva.

Ejemplos: A)

f:



/ f  x   2x

Para ver si es inyectiva, suponemos que existen dos elementos que tienen la misma imagen y analizamos si estos elementos pueden ser distintos o deben ser iguales. Supongamos que f ( x1 )  f ( x2 )  2 x1  2 x2  x1  x2 . Por lo tanto, la función es inyectiva.

MATEMÁTICA 6TO AÑO

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Observemos que la imagen de f son todos los números naturales pares, es decir que todos los impares no están en la imagen, por lo tanto Im( f )  , o sea, la función no es suryectiva, y entonces tampoco biyectiva.

B)

f:



/ f  x   x2  2

y



f no es inyectiva pues, por 1, 1 ,1  1 y f (1)  f (1)  1.

ejemplo,







x 



Tampoco es suryectiva, ya que existen números reales que no están en la imagen, como por ejemplo el -3.























C)

f:



/ f  x   2x 1

f es inyectiva pues f  x1   f  x2  si y sólo si 2 x1  1  2 x2  1  x1  x2 . f es suryectiva pues para todo y 

, existe un x 

, x

1

2 f  x   y . Es decir, la imagen de la función coincide con el codominio.

1

y  , tal que 2

Por lo tanto, f es biyectiva.

3.1.2 Composición de funciones Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g , una nueva función, llamada la composición de f con g .

MATEMÁTICA 6TO AÑO

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La composición de dos funciones, f : A  B y g : B  C , tales que el codominio de

f esté contenido o sea igual al dominio de g , es la función g f : A  C , definida por

g f  x   g  f  x   para todo x  A . El símbolo g f denota la función compuesta de f con g. El dominio de g f es Dom( g f )  x  Dom( f ) / f ( x)  Dom( g ) .

Ejemplo: Sean f ( x)  2 x y g  x   3x  1 . Entonces  g f sea,  g f

 x   6 x  1 .

 x   g  f  x    g  2x   3 2x   1 . O

Propiedades:

f  g h   f g  h



Es asociativa:



No es conmutativa: f g  g f



El elemento neutro es la función identidad Id  x   x : f Id  Id f  f



Si f y g son funciones inyectivas, entonces f g es inyectiva.



Si f y g son funciones suryectivas, entonces f g es suryectiva.



Si f y g son funciones biyectivas, entonces f g es biyectiva.

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3.1.3 Funciones inversas Se llama función inversa o recíproca de f a otra función f −1 que cumple que: Si f(a) = b , entonces f −1 (b) = a.

La relación inversa siempre existe, pero no necesariamente es una función. Para que la función inversa f −1 exista es necesario y suficiente que f sea BIYECTIVA. Si

f es una función y

f −1 su inversa, se cumple que

f o f 1  Id  f o1 f .

Recíprocamente, si g es una función tal que fo g  Id  go f entonces g  f 1 . Observemos que el dominio de f 1 es la imagen de f y la imagen de f 1 es el dominio de f. Las gráficas de f y f 1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante y el tercero. Ejemplo: si f  x   x  4 , entonces f 1  x   x  4 y sus gráficas son:

Para calcular la inversa de una función despejamos x en función de y y luego intercambiamos x con y, o bien, primero intercambiamos x e y, y luego despejamos y.

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MATEMÁTICA 6TO AÑO

Por ejemplo, si y  f ( x)  2 x  5 :   

y 5 1 5  y 2 2 2 x 5 1 5 intercambiamos las variables: y   x 2 2 2 1 5 luego, f 1  x   x  2 2 despejamos x: x 

Observación: hay que distinguir entre f 1  x  y segunda la inversa de la función.

1 f

1

 x

, la primera es la función inversa y la

MATEMÁTICA 6TO AÑO GUÍA PRÁCTICA No 3 1. Determina si las siguientes funciones son inyectivas, suryectivas o biyectivas: a) f :



/ f  x   3x  1

b) f :



/ f  x  x

c) f :



/ f  x   x3

d) f :

 0,   / f  x   x

e) f : f)

  2,   / f  x   x 2  2

f : 0,     2,   / f  x   x2  2

2. Hallar las funciones compuestas f o g y g o f en los siguientes casos. ¿Cuál es el dominio de cada una de ellas? ¿Son iguales las dos funciones compuestas? a) f  x   x 2 ;

g  x  x

b) f  x   x 2  1;

g  x   cos x

c) f  x  

1 ; g  x   x2  1 x

d) f  x  

1 ; g  x  x  2 x

3. Hallar la función compuesta pedida en cada caso: a) f  x   ln( x 2  x);

g  x   x  1   fo g   ?

b) f  x  

1 x x ; g  x    go f   ? 2 x 1

c) f  x  

x  1; g  x   x  1   f o g   ?

d) f  x   sen(2 x); g  x   2 x 2  1   f o g   ? e) f  x   f)

x2  1 ; g  x   x2  2x   fo g   ? x2

f  x   2  3x; g  x   x3   f o g   ?

g) f  x  

x  1; g  x  

1   go f   ? x

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MATEMÁTICA 6TO AÑO

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4. Dadas las siguientes funciones definidas en

:

a) Grafica f  x  b) Determina el dominio e imagen de f  x  c) Analiza biyectividad d) Determina la función inversa cuando sea posible e) Grafica f 1  x  en el mismo sistema de coordenadas usado para graficar f  x  . 4.1) y  2  x 4.2) y  2 3

4.3) y   x  1 2

4.4) y  x 4.5) y  x3  2 4.6) y   x3

5. Determina en cada caso dominio y codominio como subconjuntos de

, para que con

cada una de las siguientes fórmulas, obtengas una función biyectiva. Luego halla su inversa. a) y  x 2 b) y  x 2  3 c) y  x d) y 

x 1 2

e) y 

x2  1

6. Dadas las funciones f  x   a) g o f b) f o g c) ho f o g d) h 1 e) g 1 f)

f 1

g) Probar que f o f 1  Id

1 2x 1 1 , g  x  y h  x   . Calcular: 2x 1 2x 1 x

MATEMÁTICA 6TO AÑO

7. Encuentra la inversa de la función y  f  x 

f 1  x  ? ¿Y la imagen?

x 1 , con x  3 . ¿Cuál es el dominio de x 3

8. Representar gráficamente, clasificar y, si es posible, hallar la inversa de las siguientes funciones: a) f :

 , f  x   x 1

b) f :

 1,   , f  x   x 2  1

c) f :

 , f  x 

9. Dada la función f :

x 1 2

 , f  x   x3  1 .

a) Analiza biyectividad b) Calcula f  0  y f 1  0  c) Halla la expresión de f 1  x  d) Grafica en el mismo sistema f  x  y f 1  x  e) Calcula f 1o f y f o f 1 10. Criterio de la recta horizontal Como ya vimos, no todas las funciones tienen inversa. Además de analizar la biyectividad, se puede utilizar un método que se basa en el gráfico para saber si una función tiene o no tiene inversa. Uno de los métodos consiste en trazar una recta imaginaria paralela al eje x y moverla de arriba a abajo. Si intersecta a la función en dos o más puntos, entonces la función NO tiene inversa. Determina, a partir del gráfico, cuáles de las siguientes funciones tienen inversa.

a)

b)

d) c)

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MATEMÁTICA 6TO AÑO

UNIDAD N°4 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

En esta unidad vamos a aprender:  Definición de función exponencial  Características de la función exponencial  Gráfica de la función exponencial  Definición de función logarítmica  Propiedades de logaritmos  Gráfica de la función logarítmica  Ecuaciones

MATEMÁTICA 6TO AÑO

4.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL

Definición: Una función exponencial es una función f : donde a  0, a  1, k 



tal que f  x   k  a x ,

 0 .

En particular, si k=1, obtenemos la función exponencial de la forma f  x   a x . Ejemplo: En la figura se ve el trazado de la gráfica de y  2 x .

En los gráficos siguientes se puede ver cómo cambia la gráfica al variar a. Observa que las

 a

gráficas de y  a x y de y  1

x

 a  x son simétricas respecto del eje OY.

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MATEMÁTICA 6TO AÑO

4.1.1 Características de la función exponencial de la forma f  x   a x :

 El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.  Si a>1 la función es creciente (es decir, al aumentar el valor de x, la función crece) y si 0